Parametrik bir fonksiyonun türevi. Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi

Logaritmik farklılaşma

Temel fonksiyonların türevleri

Farklılaşmanın temel kuralları

Fonksiyon diferansiyeli

Fonksiyon artışının ana doğrusal kısmı A D X bir fonksiyonun diferansiyellenebilirliğini belirlemede

D f=f(X)- F(X 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0

fonksiyonun diferansiyeli denir F(X) noktada X 0 ve gösterilir

df(X 0)=f¢(X 0)D x=A D X.

Diferansiyel noktaya bağlıdır X 0 ve D artışından X. D'de X aynı zamanda bağımsız bir değişken olarak da bakıyorlar, yani her noktada diferansiyel, D artışının doğrusal bir fonksiyonudur X.

Bir fonksiyon olarak düşünürsek F(X)=x, sonra elde ederiz dx= D x,dy=Adx. Bu Leibniz'in notasyonuyla tutarlıdır.

Bir teğetin ordinatının artışı olarak diferansiyelin geometrik yorumu.

Pirinç. 4.3

1) f= yapı , f¢= 0,df= 0 gün x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Sonuçlar. (bkz.(X))¢=cf¢(X), (C 1 F 1 (X)+…+c n f n(X))¢= c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)

4) f=u/v, v(X 0)¹0 ve türevi mevcutsa, o halde f¢=(u¢v-v¢ sen)/v 2 .

Kısaltmak için şunu belirteceğiz sen=sen(X)sen 0 =sen(X 0), sonra

D'deki sınıra geçme x® 0 Gerekli eşitliği elde ederiz.

5) Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Teorem. f¢ varsa(X 0), g¢(X 0)ve x 0 =g(T 0), sonra bir mahallede t 0 karmaşık fonksiyon f tanımlanır(G(T))t noktasında türevlenebilir 0 Ve

Kanıt.

F(X)- F(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ A( X)(x-x 0), XÎ sen(X 0).

F(G(T))- F(G(T 0))= f¢(X 0)(G(T)- G(T 0))+ A( G(T))(G(T)- G(T 0)).

Bu eşitliğin her iki tarafını da ( t - t 0) ve hadi şu sınıra gidelim t®t 0 .

6) Ters fonksiyonun türevinin hesaplanması.

Teorem. F'nin sürekli ve kesinlikle monoton olmasına izin verin[a,b]. x noktasında olsun 0 Î( a,b)f¢ var(X 0)¹ 0 , sonra ters fonksiyon x=f -1 (sen)y noktasında var 0 türev eşittir

Kanıt. Sayarız F kesinlikle monoton olarak artıyor, o zaman F -1 (sen) süreklidir, monoton olarak [ kadar artar F(A),F(B)]. Hadi koyalım sen 0 =f(X 0), y=f(X), x - x 0 =D X,

y - y 0 =D sen. Ters D fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı sen®0 Ş D X®0, elimizde

Limite geçerek gerekli eşitliği elde ederiz.

7) Çift bir fonksiyonun türevi tektir, tek bir fonksiyonun türevi çifttir.

Gerçekten eğer x® - x 0 , O - x®x 0 , Bu yüzden

Çift işlev için Tek işlev için

1) f= yapı, f¢(X)=0.

2) F(X)=x,f¢(X)=1.

3) F(X)= ex, f¢(X)= ex ,

4) F(X)=a x ,(bir x)¢ = balta içinde A.

5) içinde A.

6) F(X)=ln X,

Sonuçlar. (Çift bir fonksiyonun türevi tektir)

7) (X M )¢= M X m -1 , X>0, X M =e M içinde X .

8) (günah X)¢= çünkü X,

9) (çünkü X)¢=- günah X,(çünkü X)¢= (günah( x+ p/2)) ¢= çünkü( x+ p/2)=-sin X.

10) (tg) X)¢= 1/cos2 X.

11) (ctg X)¢= -1/günah 2 X.

16)sh X, ch X.

f(x),, bundan şu sonuç çıkıyor f¢(X)=f(X)(in F(X))¢ .

Aynı formül farklı şekilde elde edilebilir F(X)=e içinde F(X) , f¢=e içinde F(X) (in F(X))¢.

Örnek. Bir fonksiyonun türevini hesaplama f=xx .

=x x = x x = x x = x x(in x+ 1).

Düzlemdeki noktaların geometrik konumu

buna bir fonksiyonun grafiği diyeceğiz, parametrik olarak verilmiştir. Ayrıca bir fonksiyonun parametrik spesifikasyonundan da bahsediyorlar.

Not 1. Eğer x, y için sürekli [a,b] Ve X(T) segmentte kesinlikle monoton (örneğin, kesinlikle monoton bir şekilde artar), sonra [ a,b], a=x(A) , b=x(B) fonksiyon tanımlanmış F(X)=y(T(X)), nerede(X) – x(t)'nin tersi olan fonksiyon. Bu fonksiyonun grafiği fonksiyonun grafiğiyle çakışıyor

Tanım alanı ise parametrik olarak verilen bir fonksiyon sonlu sayıda parçaya bölünebilir ,k= 1,2,...,N, her birinde bir fonksiyon var X(T) kesinlikle monotonsa, parametrik olarak tanımlanmış fonksiyon sonlu sayıda sıradan fonksiyona ayrışır fk(X)=y(T -1 (X)) alan adlarıyla [ X(A k), X(B k)] bölümleri artırmak için X(T) ve alan adlarıyla [ X(B k), X(A k)] fonksiyonu azalan alanlar için X(T). Bu şekilde elde edilen fonksiyonlara parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tek değerli dalları denir.

Şekilde parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun grafiği gösterilmektedir

Seçilen parametrelendirmeyle tanımlama alanı sin(2) fonksiyonunun katı monotonluğuna sahip beş bölüme ayrılmıştır T), Kesinlikle: TÎ TÎ ,TÎ ,TÎ , ve buna göre grafik, bu bölümlere karşılık gelen beş net dala bölünecektir.

Pirinç. 4.4

Pirinç. 4.5

Noktaların aynı geometrik konumu için farklı bir parametrelendirme seçebilirsiniz.

Bu durumda bu türden yalnızca dört dal olacaktır. Katı monotonluk alanlarına karşılık gelecekler TÎ ,TÎ , TÎ ,TÎ işlevler günah(2 T).

Pirinç. 4.6

Sin(2) fonksiyonunun monotonluğunun dört bölümü T) uzun bir segmentte.

Pirinç. 4.7

Her iki grafiğin tek bir şekilde gösterilmesi, parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini, her iki fonksiyonun monotonluk alanlarını kullanarak yaklaşık olarak tasvir etmenize olanak tanır.

Örnek olarak segmente karşılık gelen ilk dalı düşünün. TÎ . Bu bölümün sonundaki fonksiyon x= günah(2 T) -1 değerlerini alır ve 1 yani bu dal [-1,1]'de tanımlanacaktır. Bundan sonra ikinci fonksiyonun monotonluk alanlarına bakmanız gerekiyor. y=çünkü( T), üzerinde var monotonluğun iki bölümü . Bu da bize ilk dalın iki monotonluk bölümü olduğunu söylememizi sağlıyor. Grafiğin uç noktalarını bulduktan sonra, grafiğin monotonluğunun doğasını belirtmek için bunları düz çizgilerle birleştirebilirsiniz. Bunu her dalda yaptıktan sonra grafiğin belirgin dallarının monotonluk alanlarını elde ederiz (bunlar şekilde kırmızıyla vurgulanmıştır)

Pirinç. 4.8

İlk tek değerli dal F 1 (X)=y(T(X)) , siteye karşılık gelen için belirlenecek XО[-1,1] . İlk tek değerli dal TÎ , XО[-1,1].

Diğer üç dalın tümü de bir tanım alanına sahip olacaktır [-1,1] .

Pirinç. 4.9

İkinci şube TÎ XО[-1,1].

Pirinç. 4.10

Üçüncü şube TÎ XО[-1,1]

Pirinç. 4.11

Dördüncü şube TÎ XО[-1,1]

Pirinç. 4.12

Yorum 2. Aynı fonksiyonun farklı parametrik ayarları olabilir. Farklılıklar her iki fonksiyonun kendisiyle de ilgili olabilir X(T), sen(T) , ve tanım alanı bu işlevler.

Aynı fonksiyon için farklı parametrik atamalara örnek

Ve TО[-1, 1] .

Not 3. Eğer x,y sürekli ise , X(T)- segmentte kesinlikle monoton ve türevleri var y¢(T 0),x¢(T 0)¹0, o zaman var f¢(X 0)= .

Gerçekten mi, .

Son ifade aynı zamanda parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tek değerli dalları için de geçerlidir.

4.2 Yüksek dereceli türevler ve diferansiyeller

Daha yüksek türevler ve diferansiyeller. Parametrik olarak belirtilen fonksiyonların türevi. Leibniz'in formülü.

Örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi.
Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Bu makalede, yüksek matematik testlerinde sıklıkla karşılaşılan iki tipik göreve daha bakacağız. Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olabilmek için en azından orta düzeyde türevler bulabilmelisiniz. Türevleri pratik olarak sıfırdan bulmayı iki temel derste öğrenebilirsiniz ve Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Eğer farklılaştırma becerileriniz iyiyse, hadi gidelim.

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi

Veya kısacası örtülü bir fonksiyonun türevi. Örtük işlev nedir? Öncelikle tek değişkenli bir fonksiyonun tanımını hatırlayalım:

Tek değişkenli fonksiyon bağımsız değişkenin her değerinin, fonksiyonun yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır.

Değişken denir bağımsız değişken veya argüman.
Değişken denir bağımlı değişken veya işlev .

Şu ana kadar tanımlanan fonksiyonlara baktık. açık biçim. Bu ne anlama geliyor? Belirli örnekler kullanarak bir bilgilendirme yapalım.

İşlevi düşünün

Solda yalnız bir "oyuncumuzun" olduğunu görüyoruz ve sağda - yalnızca "X'ler". Yani, fonksiyon açıkça bağımsız değişken aracılığıyla ifade edilir.

Başka bir fonksiyona bakalım:

Değişkenlerin karıştığı yer burasıdır. Dahası hiçbir şekilde imkansız“Y”yi yalnızca “X” aracılığıyla ifade edin. Bu yöntemler nelerdir? Terimleri işaret değiştirerek parçadan parçaya aktarmak, parantezlerin dışına taşımak, orantı kuralına göre çarpanları atmak vb. Eşitliği yeniden yazın ve “y”yi açıkça ifade etmeye çalışın: . Denklemi saatlerce çarpıtıp çevirebilirsiniz ama başaramazsınız.

Sizi tanıştırayım: – örnek örtülü işlev.

Matematiksel analiz sırasında örtülü fonksiyonun olduğu kanıtlandı. var(ancak her zaman değil), bir grafiği vardır (tıpkı “normal” bir fonksiyon gibi). Örtülü işlev tamamen aynıdır var birinci türev, ikinci türev vb. Dedikleri gibi, cinsel azınlıkların tüm haklarına saygı duyulmaktadır.

Ve bu derste örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. O kadar da zor değil! Tüm türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu yürürlükte kalır. Aradaki fark, şu anda inceleyeceğimiz tuhaf bir andadır.

Evet, size iyi haberi vereceğim - aşağıda tartışılan görevler, üç parçanın önünde taş olmadan oldukça katı ve net bir algoritmaya göre gerçekleştirilir.

örnek 1

1) İlk aşamada her iki parçaya da vuruşlar ekliyoruz:

2) Türevin doğrusallık kurallarını kullanıyoruz (dersin ilk iki kuralı) Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri):

3) Doğrudan farklılaşma.
Nasıl ayırt edileceği tamamen açıktır. Vuruşların altında “oyunların” olduğu yerde ne yapmalı?

- utanç verici derecede, bir fonksiyonun türevi türevine eşittir: .

Nasıl ayırt edilir
İşte elimizde karmaşık fonksiyon. Neden? Görünüşe göre sinüsün altında sadece bir "Y" harfi var. Ama gerçek şu ki, yalnızca bir "y" harfi var - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(Dersin başındaki tanıma bakınız). Dolayısıyla sinüs harici bir fonksiyondur ve dahili bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz :

Ürünü olağan kurala göre farklılaştırıyoruz :

Lütfen şunu unutmayın – aynı zamanda karmaşık bir fonksiyondur, herhangi bir “çın ve ıslıklı oyun” karmaşık bir işlevdir:

Çözümün kendisi şöyle görünmelidir:

Parantez varsa bunları genişletin:

4) Sol tarafta içinde asal sayı olan “Y” içeren terimleri topluyoruz. Diğer her şeyi sağ tarafa taşıyın:

5) Sol tarafta türevi parantezlerden çıkarıyoruz:

6) Ve orantı kuralına göre bu parantezleri sağ taraftaki paydaya bırakıyoruz:

Türevi bulunmuştur. Hazır.

Herhangi bir fonksiyonun örtülü olarak yeniden yazılabileceğini belirtmek ilginçtir. Örneğin, fonksiyon şu şekilde yeniden yazılabilir: . Ve az önce tartışılan algoritmayı kullanarak bunu ayırt edin. Aslında, "örtük işlev" ve "örtük işlev" ifadeleri bir anlamsal nüansta farklılık gösterir. “Örtülü olarak belirtilen işlev” ifadesi daha genel ve doğrudur, – bu işlev örtülü olarak belirtilmiştir, ancak burada “oyunu” ifade edebilir ve işlevi açıkça sunabilirsiniz. "Örtülü işlev" ifadesi, "y" ifade edilemediğinde "klasik" örtülü işlevi ifade eder.

İkinci çözüm

Dikkat!İkinci yönteme ancak güvenle nasıl bulacağınızı biliyorsanız alışabilirsiniz. kısmi türevler. Calculus'a yeni başlayanlar ve acemiler, lütfen okumayın ve bu noktayı atlamayın aksi takdirde kafanız tamamen karışacaktır.

İkinci yöntemi kullanarak örtülü fonksiyonun türevini bulalım.

Tüm terimleri sol tarafa taşıyoruz:

Ve iki değişkenli bir fonksiyonu düşünün:

Daha sonra türevimiz aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Kısmi türevleri bulalım:

Böylece:

İkinci çözüm, bir kontrol yapmanızı sağlar. Ancak ödevin son versiyonunu yazmaları tavsiye edilmez, çünkü kısmi türevler daha sonra öğrenilir ve "Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi" konusunu inceleyen bir öğrencinin henüz kısmi türevleri bilmemesi gerekir.

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçaya da kontur ekleyin:

Doğrusallık kurallarını kullanıyoruz:

Türevlerin bulunması:

Tüm parantezlerin açılması:

Tüm terimleri sol tarafa, geri kalanını sağ tarafa taşıyoruz:

Son cevap:

Örnek 3

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım.

Farklılaşma sonrasında kesirlerin ortaya çıkması alışılmadık bir durum değildir. Bu gibi durumlarda kesirlerden kurtulmanız gerekir. İki örneğe daha bakalım.

Örnek 4

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçayı da konturların altına alıyoruz ve doğrusallık kuralını kullanıyoruz:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak türev alma ve bölümlerin farklılaşma kuralı :

Parantezleri genişletiyoruz:

Artık kesirden kurtulmamız gerekiyor. Bu daha sonra yapılabilir, ancak hemen yapmak daha mantıklıdır. Kesrin paydası içerir. Çarpmak Açık . Ayrıntılı olarak şöyle görünecek:

Bazen farklılaşmadan sonra 2-3 fraksiyon ortaya çıkar. Örneğin başka bir kesirimiz olsaydı, işlemin tekrarlanması gerekirdi - çarpma her bölümün her dönemi Açık

Sol tarafta onu parantezlerin dışına çıkardık:

Son cevap:

Örnek 5

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Tek şey, kesirden kurtulmadan önce kesirin üç katlı yapısından kurtulmanız gerekecek. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Vurgu yapmayalım, bu paragrafta her şey de oldukça basit. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun genel formülünü yazabilirsiniz, ancak konuyu açıklığa kavuşturmak için hemen belirli bir örneği yazacağım. Parametrik formda fonksiyon iki denklemle verilir: . Çoğu zaman denklemler küme parantezleri altında değil, sırayla yazılır: , .

Değişkene parametre denir ve “eksi sonsuz”dan “artı sonsuza” kadar değerler alabilir. Örneğin değeri düşünün ve onu her iki denklemde değiştirin: . Veya insani terimlerle: "eğer x dörde eşitse, o zaman y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelecektir. Benzer şekilde “te” parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Normal" bir fonksiyona gelince, Amerikan Kızılderilileri için parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tüm haklarına da saygı duyulur: bir grafik oluşturabilir, türevleri bulabilirsiniz vb. Bu arada, parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekiyorsa programımı kullanabilirsiniz.

En basit durumlarda fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade edelim: – ve bunu ikinci denklemde yerine koyun: . Sonuç sıradan bir kübik fonksiyondur.

Daha “ağır” vakalarda bu hile işe yaramaz. Ancak bunun önemi yok çünkü parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın bir formülü var:

“Te değişkenine göre oyunun” türevini buluyoruz:

Harf için doğal olarak tüm türev kuralları ve türev tablosu geçerlidir, dolayısıyla, Türev bulma sürecinde herhangi bir yenilik yok. Tablodaki tüm "X"leri zihinsel olarak "Te" harfiyle değiştirin.

“x”in te değişkenine göre türevini buluyoruz:

Şimdi geriye kalan tek şey bulunan türevleri formülümüzde yerine koymaktır:

Hazır. Fonksiyonun kendisi gibi türev de parametreye bağlıdır.

Gösterime gelince, bunu formülde yazmak yerine, alt simge olmadan basitçe yazabilirsiniz, çünkü bu "X'e göre" "düzenli" bir türevdir. Ancak literatürde her zaman bir seçenek vardır, bu yüzden standarttan sapmayacağım.

Örnek 6

Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Böylece:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın özel bir özelliği şudur: her adımda sonucu mümkün olduğunca basitleştirmek faydalıdır. Dolayısıyla ele alınan örnekte, bulduğumda kökün altındaki parantezleri açtım (gerçi bunu yapmamış olabilirim). Formüle ikame edildiğinde birçok şeyin iyi şekilde azaltılma ihtimali yüksektir. Tabii ki, beceriksiz cevaplara sahip örnekler var.

Örnek 7

Parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Makalede Türevlerle ilgili en basit tipik problemler Bir fonksiyonun ikinci türevini bulmamız gereken örneklere baktık. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci türevini de bulabilirsiniz ve bu, aşağıdaki formül kullanılarak bulunur: . İkinci türevi bulmak için önce birinci türevi bulmanız gerektiği oldukça açıktır.

Örnek 8

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

İlk önce birinci türevi bulalım.
Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Bulunan türevleri formülde yerine koyarız. Basitleştirme amacıyla trigonometrik formülü kullanıyoruz:

Fonksiyon çeşitli şekillerde belirtilebilir. Bunu belirtmek için kullanılan kurala bağlıdır. Fonksiyonu belirtmenin açık biçimi y = f(x) şeklindedir. Açıklamasının imkansız veya uygunsuz olduğu zamanlar vardır. (a; b) aralığı boyunca t parametresi için hesaplanması gereken çok sayıda (x; y) çifti varsa. 0 ≤ t ile x = 3 cos t y = 3 sin t sistemini çözmek için< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parametrik fonksiyonun tanımı

Buradan x = φ (t), y = ψ (t)'nin t ∈ (a; b) değeri için tanımlandığını ve x = φ (t) için ters bir t = Θ (x) fonksiyonuna sahip olduğumuzu elde ederiz, o zaman y = ψ (Θ (x)) formundaki bir fonksiyonun parametrik denklemini belirtmekten bahsediyoruz.

Bir fonksiyonu incelemek için x'e göre türevi aramanın gerekli olduğu durumlar vardır. y x " = ψ " (t) φ " (t) formunda parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevinin formülünü ele alalım, 2. ve n. mertebeden türev hakkında konuşalım.

Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevinin formülünün türetilmesi

t ∈ a için tanımlanmış ve türevlenebilir x = φ (t), y = ψ (t)'ye sahibiz; b, burada x t " = φ " (t) ≠ 0 ve x = φ (t), bu durumda t = Θ (x) formunun ters bir fonksiyonu vardır.

Başlangıç olarak parametrik bir görevden açık bir göreve geçmelisiniz. Bunu yapmak için, x argümanının olduğu y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) formunda karmaşık bir fonksiyon elde etmeniz gerekir.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma kuralına dayanarak, y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x sonucunu elde ederiz.

Bu, t = Θ (x) ve x = φ (t)'nin ters fonksiyon formülü Θ " (x) = 1 φ " (t)'den ters fonksiyonlar olduğunu gösterir, bu durumda y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Farklılaşma kuralına göre bir türev tablosu kullanarak birkaç örneği çözmeyi düşünelim.

örnek 1

x = t 2 + 1 y = t fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm

Koşul olarak φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, buradan φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1 sonucunu elde ederiz. Türetilmiş formülü kullanmalı ve cevabı forma yazmalısınız:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Cevap: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Bir h fonksiyonunun türevi ile çalışırken, t parametresi, türevin değerleri ile argümanla parametrik olarak tanımlanmış fonksiyon arasındaki bağlantıyı kaybetmemek için aynı t parametresi aracılığıyla x argümanının ifadesini belirtir. bu değerlerin karşılık geldiği.

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun ikinci dereceden türevini belirlemek için, elde edilen fonksiyonun birinci dereceden türevinin formülünü kullanmanız gerekir, sonra şunu elde ederiz:

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Örnek 2

Verilen x = cos (2 t) y = t 2 fonksiyonunun 2. ve 2. dereceden türevlerini bulun.

Çözüm

Koşulla φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 olduğunu elde ederiz.

Daha sonra dönüşümden sonra

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Bundan şu sonuç çıkar: y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

1. dereceden türevin formunun x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) olduğunu elde ederiz.

Çözmek için ikinci dereceden türev formülünü uygulamanız gerekir. Formun bir ifadesini alıyoruz

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · günah (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 günah (2 t) = = 1 günah (2 t) - t çünkü (2 t) (2 t) " 2 günah 3 (2 t) = günah (2 t) - 2 t çünkü (2 t) 2 günah 3 (2 t)

Daha sonra parametrik bir fonksiyon kullanarak 2. dereceden türevi belirleme

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Benzer bir çözüm başka bir yöntem kullanılarak çözülebilir. Daha sonra

φ " t = (çünkü (2 t)) " = - günah (2 t) 2 t " = - 2 günah (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 günah (2 t) " = - 2 günah (2 t) " = - 2 çünkü (2 t) · (2 t) " = - 4 çünkü (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t)" = 2

Buradan şunu anlıyoruz

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 günah 2 t 3 = = günah (2 t) - 2 t çünkü (2 t) 2 s ben n 3 (2 t)

Cevap: y "" x = sin (2 t) - 2 t çünkü (2 t) 2 s ben n 3 (2 t)

Parametrik olarak tanımlanmış fonksiyonlara sahip yüksek dereceli türevler de benzer şekilde bulunur.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Değişkene parametre denir ve “eksi sonsuz”dan “artı sonsuz”a kadar değerler alabilir. Örneğin değeri düşünün ve onu her iki denklemde değiştirin: . Veya insani terimlerle: "eğer x dörde eşitse, o zaman y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelecektir. Benzer şekilde “te” parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Normal" bir fonksiyona gelince, Amerikan Kızılderilileri için parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tüm haklarına da saygı duyulur: bir grafik oluşturabilir, türevleri bulabilirsiniz vb. Bu arada, parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekiyorsa, sayfadaki geometrik programımı indirin Matematiksel formüller ve tablolar.

En basit durumlarda fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade edelim: – ve bunu ikinci denklemde yerine koyun: . Sonuç sıradan bir kübik fonksiyondur.

Daha “ağır” vakalarda bu hile işe yaramaz. Ancak bunun önemi yok çünkü parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın bir formülü var:

“Te değişkenine göre oyunun” türevini buluyoruz:

“x”in te değişkenine göre türevini buluyoruz:

Şimdi geriye kalan tek şey bulunan türevleri formülümüzde yerine koymaktır:

Hazır. Fonksiyonun kendisi gibi türev de parametreye bağlıdır.

Örnek 6

Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Böylece:

Örnek 7

Parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Örnek 8

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

İlk önce birinci türevi bulalım.
Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Bulunan türevleri formülde yerine koyar. Basitleştirme amacıyla trigonometrik formülü kullanıyoruz:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulma probleminde, çoğu zaman basitleştirme amacıyla şunun kullanılması gerektiğini fark ettim: trigonometrik formüller . Bunları hatırlayın veya el altında bulundurun ve her ara sonucu ve yanıtı basitleştirme fırsatını kaçırmayın. Ne için? Şimdi türevini almamız gerekiyor ve bu açıkça türevini bulmaktan daha iyi.

İkinci türevi bulalım.
Şu formülü kullanıyoruz: .

Formülümüze bakalım. Payda önceki adımda zaten bulunmuştur. Geriye “te” değişkenine göre birinci türevin türevi olan payı bulmak kalıyor:

Formülü kullanmaya devam ediyor:

Malzemeyi güçlendirmek için kendi başınıza çözmeniz için birkaç örnek daha sunuyorum.

Örnek 9

Örnek 10

Parametrik olarak belirtilen bir işlevi bulun ve bulun

Sana başarılar diliyorum!

Umarım bu ders faydalı olmuştur ve artık örtülü olarak belirtilen fonksiyonların türevlerini ve parametrik fonksiyonlardan kolayca bulabilirsiniz.

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 3: Çözüm:

Böylece:

Fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilmesine izin verin:
(1)
parametre adı verilen bazı değişkenler nerede? Ve fonksiyonların değişkenin belirli bir değerinde türevleri olsun. Üstelik fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda da ters fonksiyona sahiptir. O halde fonksiyon (1)'in, parametrik formda aşağıdaki formüllerle belirlenen noktada bir türevi vardır:
(2)

Burada ve fonksiyonların ve değişkene (parametreye) göre türevleridir. Genellikle şu şekilde yazılırlar:
;
.

O halde sistem (2) şu şekilde yazılabilir:

Kanıt

Koşul gereği, fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. olarak belirtelim
.
O zaman orijinal fonksiyon karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebilir:
.
Karmaşık ve ters fonksiyonların diferansiyel kurallarını kullanarak türevini bulalım:
.

Kural kanıtlandı.

İkinci şekilde kanıt

Fonksiyonun noktadaki türevinin tanımına dayanarak türevi ikinci şekilde bulalım:
.
Gösterimi tanıtalım:
.
Daha sonra önceki formül şu şekli alır:
.

Fonksiyonun noktanın komşuluğunda ters fonksiyona sahip olmasından yararlanalım.
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
; ;
; .
Kesrin payını ve paydasını şuna bölün:
.
, tarihinde. Daha sonra
.

Kural kanıtlandı.

Yüksek dereceli türevler

Daha yüksek dereceli türevleri bulmak için farklılaşmanın birkaç kez yapılması gerekir. Diyelim ki parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci dereceden türevini aşağıdaki biçimde bulmamız gerekiyor:
(1)

Formül (2)'yi kullanarak yine parametrik olarak belirlenen birinci türevi buluruz:
(2)

Birinci türevi değişkenle gösterelim:
.
Daha sonra bir fonksiyonun değişkene göre ikinci türevini bulmak için, fonksiyonun değişkene göre birinci türevini bulmanız gerekir. Bir değişkenin bir değişkene bağımlılığı da parametrik bir şekilde belirtilir:
(3)
(3)'ü formül (1) ve (2) ile karşılaştırdığımızda şunu buluruz:

Şimdi sonucu ve fonksiyonları aracılığıyla ifade edelim. Bunu yapmak için türev kesir formülünü yerine koyalım ve uygulayalım:
.
Daha sonra
.

Buradan fonksiyonun değişkene göre ikinci türevini elde ederiz:

Ayrıca parametrik formda da verilmektedir. İlk satırın şu şekilde de yazılabileceğini unutmayın:
.

İşleme devam ederek üçüncü ve daha yüksek dereceli bir değişkenden fonksiyonların türevlerini elde edebilirsiniz.

Türev için bir notasyon eklememiz gerekmediğine dikkat edin. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:
;
.

örnek 1

Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm

göre türevlerini buluyoruz.
Türev tablosundan şunları buluyoruz:
;
.
Başvuruyoruz:

.
Burada .

.
Burada .

Gerekli türev:
.

Cevap

Örnek 2

Parametre aracılığıyla ifade edilen fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm

Güç fonksiyonları ve köklerine ilişkin formülleri kullanarak parantezleri açalım:
.

Türevi bulma:

.

Türevi bulma. Bunu yapmak için bir değişken tanıtıyoruz ve karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin formülü uyguluyoruz.

.

İstenilen türevi buluyoruz:
.

Cevap

Örnek 3

Örnek 1'de parametrik olarak tanımlanan fonksiyonun ikinci ve üçüncü dereceden türevlerini bulun:

Çözüm

Örnek 1'de birinci dereceden türevi bulduk:

Tanımı tanıtalım. O halde fonksiyon 'a göre türevdir. Parametrik olarak belirtilir:

'ye göre ikinci türevi bulmak için, 'ye göre birinci türevi bulmamız gerekir.

ile ayırt edelim.
.
Örnek 1'de türevini bulduk:
.
göre ikinci dereceden türev, aşağıdakilere göre birinci dereceden türeve eşittir:
.

Böylece parametrik forma göre ikinci dereceden türevi bulduk:

Şimdi üçüncü dereceden türevi buluyoruz. Tanımı tanıtalım. Daha sonra fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilen birinci dereceden türevini bulmamız gerekiyor:

'ye göre türevini bulun. Bunu yapmak için eşdeğer biçimde yeniden yazıyoruz:
.
İtibaren
.

Üçüncü dereceden türev, aşağıdakilere göre birinci dereceden türeve eşittir:
.

Yorum

Sırasıyla ve'nin türevleri olan ve değişkenlerini girmenize gerek yoktur. Daha sonra şu şekilde yazabilirsiniz:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Cevap

Parametrik gösterimde ikinci dereceden türev aşağıdaki forma sahiptir:

Üçüncü dereceden türev.

Parametrik bir fonksiyonun türevi. Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi

Örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi

Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Parametrik fonksiyonun tanımı

Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevinin formülünün türetilmesi

Kanıt

İkinci şekilde kanıt

Yüksek dereceli türevler

örnek 1

Çözüm

Cevap

Örnek 2

Çözüm

Cevap

Örnek 3

Çözüm

Yorum

Cevap

Örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi.
Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi