Matematikte karşılaştırma - sayıların hangisinin daha büyük veya daha az olduğu nasıl belirlenir. Negatif sayıların karşılaştırılması: kural, örnekler

6'da matematik dersi sınıfta

Başlık: "Pozitif ve negatif sayıların karşılaştırılması"

ders türü: bir öğrenme problemi oluşturan ders

Çalışma biçimleri: bireysel, önden, buhar odası, grup.

Öğretme teknikleri: sözlü, görsel, pratik, problemli.

Teçhizat: bilgisayar, multimedya projektör.

Dersin Hedefleri:

Bilişsel: sayıları farklı işaretlerle karşılaştırmak için bir kural formüle edin, nasıl uygulamaya koyacağınızı öğrenin.

Aşağıdakiler dahil metakonular:

Düzenleyici: öğrenciler tarafından halihazırda bilinenler ve öğrenilenler ile hala bilinmeyenler arasındaki korelasyona dayalı bir öğrenme görevi belirleyin; sorunu çözmek için eylemlerin sırasını belirleyin; öğrenci, öğretmen, yoldaşlar tarafından yapılan değerlendirmeyi dikkate alarak sonucu düzeltin; Malzemenin kalitesini ve asimilasyon seviyesini anlayın.

İletişimsel: soruna bir çözüm arayışında proaktif işbirliğini öğrenmek; iletişimin görev ve koşullarına uygun olarak düşüncelerini yeterli tamlık ve doğrulukla ifade etmeyi öğrenirler.

Dersler sırasında

Motivasyon.

Pozitif ve negatif sayılarla çalışmaya devam ediyoruz. Pozitif sayıları uzun zamandır biliyoruz, önce onları nasıl karşılaştıracağımızı öğrendik, ardından çeşitli eylemler gerçekleştirdik: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Negatif sayılarla pozitif sayılarla aynı işlemleri yapmanın mümkün olduğunu düşünüyor musunuz? (Cevap). Bugün sınıfta ne öğrenmek istersin?

Hedef ayarı: Sayıları farklı işaretlerle karşılaştırmak için bir kural türetin ve nasıl uygulanacağını öğrenin.

Temel bilgilerin güncellenmesi.

Sözlü çalışma için görevler:

Bir modül tanımlayın.

Sıfırın sağındaki koordinat doğrusu üzerinde bulunan sayıların işareti nedir? Sıfırın solu?

6.8 sayısının modülünü bulun; -3.5; 18.11; 0.03; -12.3

Eğitim görevinin beyanı.

Sayı modüllerini karşılaştırın

1. Bir koordinat çizgisi kullanarak sayılar nasıl karşılaştırılır?

   Koordinat doğrusu üzerinde A noktası B noktasının solunda yer alır. Hangi noktanın koordinatı daha büyüktür?

   Koordinat doğrusu üzerinde hangi nokta soldadır?

   1. A(0.6) veya B(3.11)

Çözüm.

Bir sonraki görevi tamamlamak için 6 kişilik 5 gruba ayrılacağız. Her grubun sayıları karşılaştırması ve soruları cevaplaması gerekir.

1. 2. 2 ve -11

   3. -15 ve 16

Birincil sabitleme.

Beş farklı sayı söyle

büyük 0;

daha küçük 0;

daha küçük -5;

büyük -3;

büyük -11, ancak daha küçük -3

3.8 sayısı komşu tam sayıların arasında; sayı -8.9

-2.5 ve 6 sayıları arasındaki koordinat doğrusu üzerinde bulunan tüm tam sayıları yazın; -17,3 ve -8,1 sayıları arasında

Rakamları sırayla yazın Azalan -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

Ev ödevi ayarlama. madde 29, pozitif ve negatif sayıları karşılaştırma kuralını öğrenin, tam No. 995, 996, 997, 999, 1000

Öğrenme etkinliklerinin sınıfa yansıması.

1. Bugün derste hangi hedefleri belirledik, sorulan tüm soruları cevapladık mı?

   Pozitif ve negatif sayıları nasıl karşılaştırırsınız?

   İki negatif sayı nasıl karşılaştırılır?

   Lütfen bugünün dersi için değerlendirme kartlarını doldurun.

Bir koordinat çizgisi kullanarak sayıları karşılaştırın:

2. 2 ve -11

3. -15 ve 16

Aşağıdaki sorulara cevaplar verin:

İki pozitif sayıyı karşılaştırın

Pozitif sayıyı sıfırla karşılaştırın

Negatif sayıyı sıfırla karşılaştırın

Pozitif ve negatif sayıları karşılaştırın

İki negatif sayıyı karşılaştırın

negatif sayılar eksi işaretli (-) sayılardır, örneğin -1, -2, -3. Şöyle okur: eksi bir, eksi iki, eksi üç.

Uygulama örneği negatif sayılar vücudun, havanın, toprağın veya suyun sıcaklığını gösteren bir termometredir. Kışın, dışarısı çok soğuk olduğunda, sıcaklık negatiftir (veya insanların dediği gibi "eksi").

Örneğin, -10 derece soğuk:

Daha önce ele aldığımız 1, 2, 3 gibi normal sayılara pozitif denir. Pozitif sayılar, artı işareti (+) olan sayılardır.

Pozitif sayılar yazarken + işareti yazılmaz, bu yüzden bize tanıdık gelen 1, 2, 3 sayılarını görürüz.Ancak bu pozitif sayıların şöyle göründüğünü unutmamak gerekir: +1, + 2, +3.

Bu, tüm sayıların bulunduğu düz bir çizgidir: hem negatif hem de pozitif. Aşağıdaki gibi:

Burada -5 ile 5 arasındaki sayılar gösterilmektedir. Aslında, koordinat çizgisi sonsuzdur. Şekil bunun sadece küçük bir parçasını göstermektedir.

Koordinat çizgisindeki sayılar nokta olarak işaretlenmiştir. Şekilde, koyu siyah nokta başlangıç ​​noktasıdır. Geri sayım sıfırdan başlar. Referans noktasının solunda negatif sayılar, sağında ise pozitif sayılar işaretlenir.

Koordinat çizgisi her iki tarafta süresiz olarak devam eder. Matematikte sonsuzluk ∞ sembolü ile gösterilir. Negatif yön −∞ sembolü ile ve pozitif yön +∞ sembolü ile gösterilecektir. O zaman eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar olan tüm sayıların koordinat doğrusu üzerinde olduğunu söyleyebiliriz:

Koordinat çizgisi üzerindeki her noktanın kendi adı ve koordinatı vardır. İsim herhangi bir Latin harfidir. Koordinat bir noktanın bu doğru üzerindeki konumunu gösteren bir sayıdır. Basitçe söylemek gerekirse, koordinat, koordinat satırında işaretlemek istediğimiz sayıyla aynıdır.

Örneğin, A(2) noktası şu şekilde okunur "Koordinat 2 ile A noktası" ve koordinat satırında aşağıdaki gibi gösterilecektir:

Burada A noktanın adı, 2 noktanın koordinatı A.

Örnek 2 B(4) noktası şu şekilde okunur "Koordinat 4'teki B noktası"

Burada B noktanın adı, 4 noktanın koordinatı b.

Örnek 3 M(−3) noktası şu şekilde okunur "Koordinat eksi üç olan M noktası" ve koordinat satırında aşağıdaki gibi gösterilecektir:

Burada M noktanın adıdır, -3 M noktasının koordinatıdır .

Noktalar herhangi bir harfle gösterilebilir. Ancak genellikle büyük Latin harfleriyle adlandırılması kabul edilir. Ayrıca, aksi halde denilen raporun başlangıcı Menşei genellikle büyük O harfi ile gösterilir

Negatif sayıların orijinin solunda ve pozitif sayıların sağda olduğunu görmek kolaydır.

gibi cümleler var "ne kadar çok sola, o kadar az" ve "ne kadar sağa, o kadar fazla". Muhtemelen neden bahsettiğimizi tahmin etmişsinizdir. Sola doğru her adımda, sayı aşağı doğru azalacaktır. Ve sağa doğru her adımda sayı artacaktır. Sağa dönük ok, saymanın pozitif yönünü gösterir.

Negatif ve pozitif sayıları karşılaştırma

Kural 1 Herhangi bir negatif sayı, herhangi bir pozitif sayıdan küçüktür.

Örneğin, iki sayıyı karşılaştıralım: -5 ve 3. Eksi beş azüçten daha büyük bir sayı olarak beş ilk etapta göze çarpmasına rağmen.

Bunun nedeni, -5'in negatif ve 3'ün pozitif olmasıdır. Koordinat satırında -5 ve 3 sayılarının nerede olduğunu görebilirsiniz.

-5'in solda ve 3'ün sağda olduğu görülebilir. Ve dedik ki "ne kadar çok sola, o kadar az" . Ve kural, herhangi bir negatif sayının herhangi bir pozitif sayıdan küçük olduğunu söylüyor. Bu nedenle şu şekildedir:

−5 < 3

"Eksi beş, üçten azdır"

Kural 2 İki negatif sayıdan küçük olanı, koordinat çizgisinin solunda yer alan sayıdır.

Örneğin, -4 ve -1 sayılarını karşılaştıralım. eksi dört az eksi bir değil.

Bunun nedeni yine −4 koordinat satırında −1'den daha solda yer almasıdır.

-4'ün solda ve -1'in sağda olduğu görülebilir. Ve dedik ki "ne kadar çok sola, o kadar az" . Ve kural, iki negatif sayıdan, koordinat çizgisinin solunda bulunanın daha az olduğunu söylüyor. Bu nedenle şu şekildedir:

Eksi dört eksi birden küçüktür

Kural 3 Sıfır, herhangi bir negatif sayıdan büyüktür.

Örneğin, 0 ile −3'ü karşılaştıralım. Sıfır daha fazla eksi üçten daha fazla. Bunun nedeni, 0 koordinat satırında -3'ten sağda yer almasıdır.

0'ın sağda ve -3'ün solda olduğu görülebilir. Ve dedik ki "ne kadar sağa, o kadar fazla" . Ve kural, sıfırın herhangi bir negatif sayıdan büyük olduğunu söylüyor. Bu nedenle şu şekildedir:

Sıfır, eksi üçten büyüktür

Kural 4 Sıfır, herhangi bir pozitif sayıdan küçüktür.

Örneğin, 0 ve 4'ü karşılaştırın. Sıfır az 4. Prensipte bu açık ve doğrudur. Ama yine koordinat çizgisinde kendi gözlerimizle görmeye çalışacağız:

Koordinat satırında 0 solda ve 4 sağda olduğu görülebilir. Ve dedik ki "ne kadar çok sola, o kadar az" . Ve kural, sıfırın herhangi bir pozitif sayıdan küçük olduğunu söylüyor. Bu nedenle şu şekildedir:

Sıfır dörtten az

Dersi beğendin mi?
Yeni Vkontakte grubumuza katılın ve yeni ders bildirimlerini almaya başlayın

§ 1 Pozitif sayıların karşılaştırılması

Bu derste, pozitif sayıları nasıl karşılaştıracağımızı hatırlayacağız ve negatif sayıları karşılaştırmaya bakacağız.

Görevle başlayalım. Gündüzleri +7 derece olan hava sıcaklığı, akşamları +2 dereceye, geceleri -2 dereceye, sabahları ise -7 dereceye kadar düştü. Hava sıcaklığı nasıl değişti?

Sorun, düşürme ile ilgilidir, yani. Sıcaklıktaki düşüş hakkında. Bu, her durumda son sıcaklık değerinin ilkinden daha düşük olduğu anlamına gelir, bu nedenle 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

Koordinat doğrusu üzerinde 7, 2, -2, -7 rakamlarını gösterelim. Koordinat çizgisinde sağda daha büyük bir pozitif sayı olduğunu hatırlayın.

Negatif sayılara bakalım, -2 sayısı -7'nin sağında, yani. koordinat satırındaki negatif sayılar için aynı sıra korunur: nokta sağa hareket ettiğinde koordinatı artar ve nokta sola hareket ettiğinde koordinatı azalır.

Şu sonuca varabiliriz: Herhangi bir pozitif sayı sıfırdan büyüktür ve herhangi bir negatif sayıdan büyüktür. 1 > 0; 12 > -2.5. Herhangi bir negatif sayı, sıfırdan küçüktür ve herhangi bir pozitif sayıdan küçüktür. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Modülü kullanarak rasyonel sayıları (yani tüm tam sayıları ve kesirli sayıları) karşılaştırmak uygundur.

Pozitif sayılar, orijinden artan sırada koordinat satırında bulunur; bu, sayı orijinden ne kadar uzaksa, segmentin sıfırdan sayıya kadar olan uzunluğunun o kadar büyük olduğu anlamına gelir, yani. onun modülü. Bu nedenle, iki pozitif sayıdan modülü daha büyük olanı daha büyüktür.

§ 2 Negatif sayıların karşılaştırılması

İki negatif sayıyı karşılaştırırken, daha büyük olanı sağa, yani orijine daha yakın olacaktır. Bu, modülünün (sıfırdan sayıya kadar olan segmentin uzunluğu) daha az olacağı anlamına gelir. Böylece, iki negatif sayıdan, modülü daha küçük olan daha büyüktür.

Örneğin. -1 ve -5 sayılarını karşılaştıralım. -1 sayısına karşılık gelen nokta, orijine -5 sayısına karşılık gelen noktadan daha yakındır. Yani 0'dan -1'e kadar olan parçanın uzunluğu veya -1 sayısının modülü, 0'dan -5'e kadar olan parçanın uzunluğundan veya -5 sayısının modülünden daha küçüktür, bu da -1 sayısının daha büyük olduğu anlamına gelir. -5 sayısından daha fazla.

Sonuçlar çıkarıyoruz:

Rasyonel sayıları karşılaştırırken şunlara dikkat edin:

İşaretler: Negatif bir sayı her zaman pozitif bir sayıdan ve sıfırdan küçüktür;

Koordinat çizgisi üzerindeki konumda: sağa doğru ne kadar çoksa o kadar fazla;

Modüllerde: pozitif sayılar için modül daha büyüktür ve sayı daha büyüktür, negatif sayılar için modül daha büyüktür ve sayı daha küçüktür.

Kullanılan literatür listesi:

1. Mathematics.6. sınıf: I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // yazar-derleyici L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Matematik. 6. sınıf: eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
3. Matematik. 6. sınıf: eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – E.: Mnemosyne, 2013
4. Matematik El Kitabı - http://lyudmilanik.com.ua
5. Ortaokuldaki öğrenciler için el kitabı http://shkolo.ru

İlk seviye

Sayıların karşılaştırılması. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken, modüllerle ilgili problemlerin yanı sıra, bulunan kökleri gerçek çizgiye yerleştirmek gerekir. Bildiğiniz gibi, bulunan kökler farklı olabilir. Şu şekilde olabilirler: veya şöyle olabilirler:,.

Buna göre, sayılar rasyonel değil irrasyonel (ne olduğunu unuttuysanız konuya bakın) veya karmaşık matematiksel ifadeler ise, onları sayı doğrusuna yerleştirmek çok sorunludur. Ayrıca, sınavda hesap makinesi kullanılamaz ve yaklaşık bir hesaplama, bir sayının diğerinden daha az olduğu konusunda %100 garanti vermez (karşılaştırılan sayılar arasında fark varsa ne olur?).

Elbette, pozitif sayıların her zaman negatif olanlardan daha büyük olduğunu ve bir sayı eksenini temsil edersek, karşılaştırıldığında en büyük sayıların en küçükten sağda olacağını bilirsiniz: ; ; vb.

Ama her zaman bu kadar kolay mı? Sayı doğrusunda işaretlediğimiz yer .

Örneğin, bir sayı ile nasıl karşılaştırılır? Ovmanın olduğu yer ...)

Başlamak için, nasıl ve neyin karşılaştırılacağı hakkında genel olarak konuşalım.

Önemli: Eşitsizlik işareti değişmeyecek şekilde dönüşümler yapılması arzu edilir! Yani, dönüşümler sırasında negatif bir sayı ile çarpmak istenmez ve yasaktır parçalardan biri negatifse kare.

Kesir Karşılaştırması

Bu nedenle, iki kesri karşılaştırmamız gerekiyor: ve.

Bunun nasıl yapılacağına dair birkaç seçenek var.

Seçenek 1. Kesirleri ortak bir paydaya getirin.

Sıradan bir kesir olarak yazalım:

- (Gördüğünüz gibi, pay ve payda da azalttım).

Şimdi kesirleri karşılaştırmamız gerekiyor:

Şimdi de iki şekilde karşılaştırmaya devam edebiliriz. Yapabiliriz:

1. her iki kesri de uygunsuz olarak sunarak her şeyi ortak bir paydaya indirgeyin (pay paydadan büyüktür):

   Hangi sayı daha büyüktür? Bu doğru, payı daha büyük olan, yani ilk.

2. “at” (her kesirden bir tane çıkardığımızı ve sırasıyla kesirlerin birbirine oranının değişmediğini varsayalım) ve kesirleri karşılaştıracağız:

   Ayrıca onları ortak bir paydaya getiriyoruz:

   Önceki durumdakiyle tamamen aynı sonucu aldık - ilk sayı ikinciden büyük:

   Birini doğru çıkarmış mıyız bir de kontrol edelim mi? İlk hesaplamada ve ikincide paydaki farkı hesaplayalım:
   1)
   2)

Böylece, kesirleri ortak bir paydaya getirerek nasıl karşılaştıracağımıza baktık. Başka bir yönteme geçelim - kesirleri ortak bir paya getirerek karşılaştırma.

Seçenek 2. Kesirleri ortak bir paya indirgeyerek karşılaştırma.

Evet evet. Bu bir yazım hatası değil. Okulda bu yöntem nadiren kimseye öğretilir, ancak çoğu zaman çok uygundur. Özünü çabucak anlamanız için size sadece bir soru soracağım - “hangi durumlarda kesrin değeri en büyük?” Tabii ki, "Pay mümkün olduğunca büyük ve payda mümkün olduğunca küçük olduğunda" diyeceksiniz.

Örneğin, kesinlikle doğru mu diyeceksiniz? Ve bu tür kesirleri karşılaştırmamız gerekirse: İşareti de hemen doğru bir şekilde koyacağınızı düşünüyorum, çünkü ilk durumda parçalara ayrılırlar ve ikincisinde bütünlere bölünürler, bu da ikinci durumda parçaların çok küçük olduğu anlamına gelir ve buna göre: . Gördüğünüz gibi burada paydalar farklı ama paylar aynı. Ancak bu iki kesri karşılaştırmak için ortak bir payda bulmanız gerekmez. Her ne kadar ... onu bulun ve karşılaştırma işaretinin hala yanlış olup olmadığına bakın?

Ama işaret aynı.

Orijinal görevimize dönelim - karşılaştırmak ve. karşılaştıracağız ve Bu kesirleri ortak bir paydaya değil, ortak bir paya getiriyoruz. Bunun için basit pay ve payda ilk kesri ile çarp. Alırız:

ve. Hangi kesir daha büyüktür? Bu doğru, ilki.

Seçenek 3. Çıkarma kullanarak kesirleri karşılaştırma.

Çıkarma kullanarak kesirler nasıl karşılaştırılır? Evet, çok basit. Bir kesirden diğerini çıkarıyoruz. Sonuç pozitifse, ilk kesir (azaltılmış) ikinciden (çıkarılmış) daha büyüktür ve negatifse, bunun tersi de geçerlidir.

Bizim durumumuzda, ilk kesri ikinciden çıkarmaya çalışalım: .

Zaten anladığınız gibi, biz de sıradan bir kesre çeviriyoruz ve aynı sonucu alıyoruz -. İfademiz şu hale gelir:

Ayrıca, hala ortak bir paydaya indirgemeye başvurmamız gerekiyor. Soru şudur: ilk olarak, kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürmek mi, yoksa ikinci olarak, birimi “çıkarmak” gibi mi? Bu arada, bu eylemin tamamen matematiksel bir gerekçesi var. Bak:

İkinci seçeneği daha çok seviyorum, çünkü ortak bir paydaya indirirken payda çarpmak birçok kez daha kolay hale geliyor.

Ortak bir paydaya getiriyoruz:

Burada asıl mesele hangi sayıdan ve nereden çıkardığımız konusunda kafa karıştırmamaktır. Çözümün seyrine dikkatlice bakın ve işaretleri yanlışlıkla karıştırmayın. Birinciyi ikinci sayıdan çıkardık ve olumsuz bir cevap aldık, yani? .. Doğru, ilk sayı ikinciden büyük.

Anladım? Kesirleri karşılaştırmayı deneyin:

Dur dur. Ortak bir paydaya getirmek veya çıkarmak için acele etmeyin. Bakın: kolayca ondalık kesire dönüştürülebilir. Ne kadar olacak? Doğru şekilde. Daha fazla ne biter?

Bu başka bir seçenektir - kesirleri ondalık sayıya indirerek karşılaştırmak.

Seçenek 4. Bölme kullanarak kesirleri karşılaştırma.

Evet evet. Ve böylece de mümkündür. Mantık basittir: Daha büyük bir sayıyı daha küçük bir sayıya böldüğümüzde, cevapta birden büyük bir sayı elde ederiz ve daha küçük bir sayıyı daha büyük bir sayıya bölersek, cevap aralığına düşer.

Bu kuralı hatırlamak için, herhangi iki asal sayıyı karşılaştırın, örneğin ve. Daha ne var biliyor musun? Şimdi bölelim. Cevabımız şudur. Buna göre teori doğrudur. Bölürsek, elde ettiğimiz şey birden küçüktür, bu da aslında daha az olanı doğrular.

Bu kuralı adi kesirlere uygulamaya çalışalım. Karşılaştırmak:

İlk kesri ikinciye bölün:

Ara ara kısaltalım.

Sonuç daha azdır, dolayısıyla temettü bölenden daha azdır, yani:

Kesirleri karşılaştırmak için tüm olası seçenekleri analiz ettik. Gördüğünüz gibi 5 tane var:

• ortak bir paydaya indirgeme;
• ortak bir paya indirgeme;
• ondalık kesir biçimine indirgeme;
• çıkarma;
• bölüm.

Egzersiz yapmaya hazır mısınız? Kesirleri en iyi şekilde karşılaştırın:

Cevapları karşılaştıralım:

1. (- ondalık basamağa dönüştür)
2. (bir kesri diğerine bölün ve pay ve payda ile azaltın)
3. (tüm parçayı seçin ve kesirleri aynı pay ilkesine göre karşılaştırın)
4. (bir kesri diğerine bölün ve pay ve payda ile azaltın).

2. Derecelerin karşılaştırılması

Şimdi sadece sayıları değil, derece () olan ifadeleri de karşılaştırmamız gerektiğini hayal edin.

Tabii ki, kolayca bir işaret koyabilirsiniz:

Sonuçta, dereceyi çarpma ile değiştirirsek, şunu elde ederiz:

Bu küçük ve ilkel örnekten, kural şu ​​şekildedir:

Şimdi aşağıdakileri karşılaştırmayı deneyin: . Ayrıca kolayca bir işaret koyabilirsiniz:

Çünkü üslü çarpma işlemini çarpma ile değiştirirsek...

Genel olarak, her şeyi anlıyorsunuz ve hiç de zor değil.

Zorluklar, ancak dereceler karşılaştırıldığında farklı temellere ve göstergelere sahip olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda ortak bir zemine getirmeye çalışmak gerekir. Örneğin:

Elbette, buna göre ifadenin şu şekilde olduğunu biliyorsunuz:

Parantezleri açalım ve ne olduğunu karşılaştıralım:

Biraz özel bir durum, () derecesinin tabanının birden küçük olmasıdır.

İki derece veya daha fazla ise, göstergesi daha az olan.

Bu kuralı kanıtlamaya çalışalım. İzin vermek.

ve arasındaki fark olarak bazı doğal sayıları tanıtıyoruz.

Mantıklı, değil mi?

Şimdi duruma dikkat edelim - .

Sırasıyla: . Sonuç olarak, .

Örneğin:

Anladığınız gibi, güçlerin temellerinin eşit olduğu durumu ele aldık. Şimdi tabanın ile aralığında olduğunu, ancak üslerin eşit olduğunu görelim. Burada her şey çok basit.

Bunu bir örnekle nasıl karşılaştıracağımızı hatırlayalım:

Tabii ki, hızlı bir şekilde hesapladınız:

Bu nedenle, karşılaştırma için benzer problemlerle karşılaştığınızda, hızlı bir şekilde hesaplayabileceğiniz bazı basit benzer örnekleri aklınızda bulundurun ve bu örneğe dayanarak, daha karmaşık olana işaretler koyun.

Dönüşümler yaparken, çarparsanız, eklerseniz, çıkarırsanız veya bölerseniz, tüm işlemlerin hem sol hem de sağ tarafta yapılması gerektiğini unutmayın (eğer çarparsanız, ikisini de çarpmanız gerekir).

Ek olarak, herhangi bir manipülasyon yapmanın sadece kârsız olduğu zamanlar vardır. Örneğin, karşılaştırmanız gerekir. Bu durumda, bir güce yükseltmek ve işareti buna göre düzenlemek o kadar zor değil:

Hadi çalışalım. Dereceleri karşılaştırın:

Cevapları karşılaştırmaya hazır mısınız? Ben de öyle yaptım:

1. - aynı
2. - aynı
3. - aynı
4. - aynı

3. Kök ile sayıların karşılaştırılması

Kökler nedir ile başlayalım mı? Bu girişi hatırlıyor musunuz?

Gerçek bir sayının kökü, eşitliğin geçerli olduğu bir sayıdır.

kökler negatif ve pozitif sayılar için tek derece vardır ve hatta kökler- Sadece pozitif için.

Kökün değeri genellikle sonsuz bir ondalıktır, bu da onu doğru bir şekilde hesaplamayı zorlaştırır, bu nedenle kökleri karşılaştırabilmek önemlidir.

Ne olduğunu ve neyle yendiğini unuttuysanız -. Her şeyi hatırlıyorsanız, kökleri adım adım karşılaştırmayı öğrenelim.

Diyelim ki karşılaştırmamız gerekiyor:

Bu iki kökü karşılaştırmak için herhangi bir hesaplama yapmanıza gerek yoktur, sadece "kök" kavramını analiz etmeniz yeterlidir. Ne hakkında konuştuğumu anladın mı? Evet, bununla ilgili: Aksi takdirde, bir sayının kök ifadesine eşit üçüncü kuvveti olarak yazılabilir.

Dahası? veya? Bu, elbette, herhangi bir zorluk çekmeden karşılaştırabilirsiniz. Bir güce yükselttiğimiz sayı ne kadar büyükse, değer o kadar büyük olur.

Yani. Hadi kuralı alalım.

Köklerin üsleri aynıysa (bizim durumumuzda bu), o zaman kök ifadelerini (ve) karşılaştırmak gerekir - kök sayısı ne kadar büyükse, kökün değeri eşit göstergelerle o kadar büyük olur.

Hatırlamak zor mu? O zaman sadece bir örneği aklınızda tutun ve. Bu daha mı?

Kök kare olduğu için köklerin üsleri aynıdır. Bir sayının () kök ifadesi diğerinden () büyüktür, bu da kuralın gerçekten doğru olduğu anlamına gelir.

Peki ya radikal ifadeler aynıysa, fakat köklerin dereceleri farklıysa? Örneğin: .

Ayrıca, daha büyük bir dereceden bir kök çıkarıldığında, daha küçük bir sayı elde edileceği de oldukça açıktır. Örneğin:

İlk kökün değerini ve ikincisinin değerini - olarak belirtin, ardından:

Bu denklemlerde daha fazla olması gerektiğini kolayca görebilirsiniz, bu nedenle:

Kök ifadeler aynıysa(bizim durumumuzda), ve köklerin üsleri farklıdır(bizim durumumuzda, bu ve), o zaman üsleri karşılaştırmak gerekir(ve) - üs ne kadar büyükse, verilen ifade o kadar küçük.

Aşağıdaki kökleri karşılaştırmayı deneyin:

Sonuçları karşılaştıralım mı?

Bunu başarıyla hallettik :). Başka bir soru ortaya çıkıyor: Ya hepimiz farklıysak? Ve derece ve radikal ifade? Her şey o kadar zor değil, sadece kökten "kurtulmamız" gerekiyor. Evet evet. Ondan kurtulmak.)

Farklı derecelere ve kök ifadelere sahipsek, kök üsler için en küçük ortak katı bulmamız (hakkındaki bölümü okuyun) ve her iki ifadeyi de en küçük ortak kata eşit bir kuvvete yükseltmemiz gerekir.

Hepimizin kelimelerde ve kelimelerde olduğunu. İşte bir örnek:

1. Köklerin göstergelerine bakıyoruz - ve. En küçük ortak katları ise .
2. Her iki ifadeyi de bir kuvvete yükseltelim:
3. İfadeyi dönüştürelim ve parantezleri genişletelim (bölümde daha fazla ayrıntı):
4. Ne yaptığımızı düşünelim ve bir işaret koyalım:

4. Logaritmaların Karşılaştırılması

Böylece, yavaş ama emin adımlarla logaritmaların nasıl karşılaştırılacağı sorusuna yaklaştık. Bunun ne tür bir hayvan olduğunu hatırlamıyorsanız, önce teoriyi bölümden okumanızı tavsiye ederim. Okumak? Ardından bazı önemli soruları yanıtlayın:

1. Logaritmanın argümanı nedir ve temeli nedir?
2. Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğunu ne belirler?

Her şeyi hatırlıyor ve iyi öğrendiyseniz - başlayalım!

Logaritmaları birbirleriyle karşılaştırmak için sadece 3 numara bilmeniz gerekir:

• aynı tabana indirgeme;
• aynı argümana döküm;
• üçüncü sayı ile karşılaştırma.

İlk olarak, logaritmanın tabanına dikkat edin. Daha azsa, fonksiyonun azaldığını ve daha büyükse arttığını hatırlarsınız. Yargılarımız buna göre olacaktır.

Aynı temele veya argümana indirgenmiş logaritmaları karşılaştırmayı düşünün.

Başlamak için, sorunu basitleştirelim: karşılaştırılan logaritmalara izin verin eşit gerekçeler. O zamanlar:

1. İşlev, aralıkta arttığında, tanım olarak, o zaman anlamına gelir (“doğrudan karşılaştırma”).
2. Örnek:- tabanlar sırasıyla aynıdır, argümanları karşılaştırırız: , bu nedenle:
3. At işlevi, aralıkta azalır, bu da tanım gereği o zaman anlamına gelir (“ters karşılaştırma”). - tabanlar sırasıyla aynıdır, argümanları karşılaştırırız: , ancak, fonksiyon azaldığından logaritmaların işareti “ters” olacaktır: .

Şimdi temellerin farklı olduğu, ancak argümanların aynı olduğu durumları düşünün.

1. Baz daha büyük.
   • . Bu durumda, "ters karşılaştırma" kullanırız. Örneğin: - bağımsız değişkenler aynıdır ve. Tabanları karşılaştırıyoruz: ancak logaritmaların işareti “ters” olacaktır:
2. Baz a, aradadır.
   • . Bu durumda, "doğrudan karşılaştırma" kullanıyoruz. Örneğin:
   • . Bu durumda, "ters karşılaştırma" kullanırız. Örneğin:

Her şeyi genel bir tablo biçiminde yazalım:

Buna göre, zaten anladığınız gibi, logaritmaları karşılaştırırken, aynı tabana veya argümana getirmemiz gerekiyor, Bir tabandan diğerine geçmek için formülü kullanarak aynı tabana geliyoruz.

Ayrıca logaritmaları üçüncü sayı ile karşılaştırabilir ve buna dayanarak neyin daha az neyin daha fazla olduğunu çıkarabilirsiniz. Örneğin, bu iki logaritmayı nasıl karşılaştıracağınızı düşünün.

Küçük bir ipucu - karşılaştırma için, logaritma, argümanı eşit olacak şekilde size çok yardımcı olacaktır.

Düşünce? Birlikte karar verelim.

Bu iki logaritmayı sizinle kolayca karşılaştırabiliriz:

Nasıl olduğunu bilmiyor musun? Yukarıyı görmek. Sadece ayırdık. Orada ne işareti olacak? Doğru şekilde:

Kabul ediyorum?

Birbirimizle karşılaştıralım:

Aşağıdakileri almalısınız:

Şimdi tüm sonuçlarımızı bir araya getirin. Olmuş?

5. Trigonometrik ifadelerin karşılaştırılması.

Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant nedir? Birim çember ne işe yarar ve üzerindeki trigonometrik fonksiyonların değeri nasıl bulunur? Bu soruların cevaplarını bilmiyorsanız, bu konudaki teoriyi okumanızı şiddetle tavsiye ederim. Ve biliyorsanız, trigonometrik ifadeleri birbiriyle karşılaştırmak sizin için zor değil!

Biraz hafızamızı tazeleyelim. Bir birim trigonometrik daire ve içinde yazılı bir üçgen çizelim. Becerebildin mi? Şimdi üçgenin kenarlarını kullanarak kosinüsün hangi tarafında ve hangi sinüste olduğunu işaretleyin. (Elbette, sinüsün, karşı tarafın hipotenüse oranı ve bitişik olanın kosinüsü olduğunu hatırlıyor musunuz?). çizdin mi? Harika! Son dokunuş - nereye sahip olacağımızı, nerede vb. İndirmek mi? Phew) Ben ve seninle olanları karşılaştırın.

Vay! Şimdi karşılaştırmaya başlayalım!

Diyelim ki karşılaştırmamız gerekiyor ve . Kutulardaki komutları kullanarak bu açıları çizin (nereyi işaretledik), birim çember üzerindeki noktaları ortaya koyun. Becerebildin mi? Ben de öyle yaptım.

Şimdi çember üzerinde işaretlediğimiz noktalardan eksene dik olanı indirelim... Hangisi? Hangi eksen sinüslerin değerini gösterir? Doğru şekilde, . İşte almanız gerekenler:

Bu şekle bakıldığında hangisi daha büyük: veya? Tabii ki, çünkü nokta noktanın üstünde.

Benzer şekilde, kosinüslerin değerini karşılaştırırız. Sadece eksene dik olanı indiriyoruz ... Sağ, . Buna göre, hangi noktanın sağda olduğuna (iyi veya sinüs durumunda olduğu gibi daha yüksek) bakarız, o zaman değer daha büyüktür.

Muhtemelen teğetleri nasıl karşılaştıracağınızı zaten biliyorsunuzdur, değil mi? Bilmeniz gereken tek şey teğet olanın ne olduğu. Peki tanjant nedir?) Bu doğru, sinüsün kosinüs oranına oranı.

Teğetleri karşılaştırmak için önceki durumda olduğu gibi bir açı da çiziyoruz. Diyelim ki karşılaştırmamız gerekiyor:

çizdin mi? Şimdi sinüsün değerlerini de koordinat ekseninde işaretliyoruz. Kayıt edilmiş? Ve şimdi kosinüs değerlerini koordinat satırında belirtin. Olmuş? Hadi karşılaştıralım:

Şimdi yazdıklarınızı analiz edin. - büyük bir segmenti küçük bir parçaya bölüyoruz. Cevap tam olarak birden büyük bir değer olacaktır. Doğru?

Ve küçük olanı büyük olana böldüğümüzde. Cevap tam olarak birden küçük bir sayı olacaktır.

Peki hangi trigonometrik ifadenin değeri daha büyüktür?

Doğru şekilde:

Şimdi anladığınız gibi, kotanjantların karşılaştırılması aynıdır, sadece tersi: kosinüs ve sinüsü tanımlayan bölümlerin birbirleriyle nasıl ilişkili olduğuna bakıyoruz.

Aşağıdaki trigonometrik ifadeleri kendiniz karşılaştırmaya çalışın:

Örnekler.

Yanıtlar.

SAYILARIN KARŞILAŞTIRILMASI. ORTALAMA SEVİYE.

Sayılardan hangisi daha büyük: veya? Cevap açık. Ve şimdi: veya? Artık çok açık değil, değil mi? Ve böylece: veya?

Genellikle sayısal ifadelerden hangisinin daha büyük olduğunu bilmeniz gerekir. Örneğin, bir eşitsizliği çözerken eksen üzerindeki noktaları doğru sırada koyun.

Şimdi size bu sayıları karşılaştırmayı öğreteceğim.

Rakamları karşılaştırmanız ve aralarına bir işaret koymanız gerekiyorsa (Latince Versus kelimesinden türetilmiştir veya kısaltılmış vs. - karşı): Bu işaret, bilinmeyen eşitsizlik işaretinin () yerini alır. Ayrıca, sayılar arasına hangi işaretin konması gerektiği netleşene kadar aynı dönüşümleri yapacağız.

Sayıları karşılaştırmanın özü şudur: İşarete bir tür eşitsizlik işaretiymiş gibi davranıyoruz. Ve ifadeyle, genellikle yaptığımız her şeyi eşitsizliklerle yapabiliriz:

• her iki kısma da herhangi bir sayı ekleyin (ve elbette çıkartabiliriz)
• "her şeyi bir yönde hareket ettir", yani karşılaştırılan ifadelerden birini her iki kısımdan çıkarın. Çıkarılan ifadenin yerine kalacak: .
• aynı sayı ile çarpma veya bölme. Bu sayı negatifse, eşitsizlik işareti tersine çevrilir: .
• Her iki tarafı da aynı güce yükseltin. Bu güç çift ise, her iki parçanın da aynı işarete sahip olduğundan emin olmalısınız; Her iki kısım da pozitifse, bir kuvvete yükseltildiğinde işaret değişmez, negatifse tam tersi olur.
• her iki kısımdan da aynı derecenin kökünü alın. Çift derecenin kökünü çıkarırsak, önce her iki ifadenin de negatif olmadığından emin olmalısınız.
• diğer eşdeğer dönüşümler.

Önemli: Eşitsizlik işareti değişmeyecek şekilde dönüşümler yapılması arzu edilir! Yani, dönüşümler sırasında negatif bir sayı ile çarpmak istenmez ve parçalardan biri negatifse kare almak imkansızdır.

Birkaç tipik duruma bakalım.

1. Üstelleştirme.

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif olduğundan, kökten kurtulmak için kare alabiliriz:

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Burada da kare alabiliriz, ancak bu yalnızca karekökten kurtulmamıza yardımcı olur. Burada, her iki kökün de ortadan kalkacağı bir dereceye kadar yükseltmek gerekir. Bu, bu derecenin üssünün hem (birinci kökün derecesi) hem de tarafından bölünebilir olması gerektiği anlamına gelir. Bu sayı, bu yüzden onu inci güce yükseltiyoruz:

2. Eşleniği ile çarpma.

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Her farkı eşlenik toplamla çarpın ve bölün:

Açıkçası, sağ taraftaki payda soldaki paydadan daha büyüktür. Bu nedenle, sağ kesir soldan daha küçüktür:

3. Çıkarma

Bunu hatırlayalım.

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Tabii ki, her şeyi kareye alabilir, yeniden gruplayabilir ve tekrar kare alabiliriz. Ancak daha akıllıca bir şey yapabilirsiniz:

Sol taraftaki her terimin sağ taraftaki her terimden daha az olduğu görülebilir.

Buna göre sol taraftaki tüm terimlerin toplamı, sağ taraftaki tüm terimlerin toplamından küçüktür.

Ama dikkat et! Daha çok sorulduk...

Sağ taraf daha büyük.

Örnek.

Rakamları karşılaştırın ve.

Çözüm.

Trigonometri formüllerini hatırlayın:

Noktaların hangi çeyreklerde olduğunu kontrol edelim ve trigonometrik daire üzerinde duralım.

4. Bölüm.

Burada ayrıca basit bir kural kullanıyoruz: .

Veya ile, yani.

İşaret değiştiğinde: .

Örnek.

Karşılaştırma yapmak: .

Çözüm.

5. Sayıları üçüncü sayı ile karşılaştırın

If and, o zaman (geçişlilik yasası).

Örnek.

Karşılaştırmak.

Çözüm.

Rakamları birbirleriyle değil, sayılarla karşılaştıralım.

Bu çok açık.

Diğer taraftan, .

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Her iki sayı da daha büyük ancak daha küçüktür. Birinden büyük, diğerinden küçük olacak şekilde bir sayı seçin. Örneğin, . Hadi kontrol edelim:

6. Logaritmalarla ne yapmalı?

Özel birşey yok. Logaritmalardan nasıl kurtulacağınız konu içerisinde detaylı olarak anlatılmaktadır. Temel kurallar şunlardır:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(dizi)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \kama (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \kama y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Aynı argümana ve farklı tabanlara sahip logaritmalar hakkında da bir kural ekleyebiliriz:

Şu şekilde açıklanabilir: taban ne kadar büyükse, aynısını elde etmek için o kadar az yükseltilmesi gerekecektir. Taban daha küçükse, karşılık gelen fonksiyon monoton olarak azaldığı için bunun tersi doğrudur.

Örnek.

Rakamları karşılaştırın: i.

Çözüm.

Yukarıdaki kurallara göre:

Ve şimdi gelişmiş formül.

Logaritma karşılaştırma kuralı daha kısa da yazılabilir:

Örnek.

Hangisi daha fazla: veya?

Çözüm.

Örnek.

Sayılardan hangisinin daha büyük olduğunu karşılaştırın: .

Çözüm.

SAYILARIN KARŞILAŞTIRILMASI. KISACA ANA HAKKINDA

1. üs alma

Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitifse, kökten kurtulmak için kareleri alınabilir.

2. Eşleniği ile çarpma

Bir eşlenik, kareler farkı formülünün ifadesini tamamlayan bir çarpandır: - için eşlenik ve tam tersi, çünkü .

3. Çıkarma

4. Bölüm

at veya bu

İşaret değiştiğinde:

5. Üçüncü sayı ile karşılaştırma

eğer ve sonra

6. Logaritmaların Karşılaştırılması

Temel Kurallar.

Tanım 1. Eğer iki sayı 1) a ve b bölündüğünde p aynı kalanı ver r, o zaman bu tür sayılara eşit mesafeli veya modüloda karşılaştırılabilir p.

Beyan 1. İzin vermek p bir miktar pozitif sayı. sonra herhangi bir sayı a her zaman ve ayrıca benzersiz bir şekilde formda temsil edilebilir

Ancak bu sayılar istenerek elde edilebilir. r eşit 0, 1, 2,..., p-1. Sonuç olarak sp+r=a olası tüm tamsayı değerlerini alır.

Bu gösterimin benzersiz olduğunu gösterelim. farz edelim ki p iki şekilde temsil edilebilir a=sp+r ve a=s 1 p+r bir . O zamanlar

(2)

Çünkü r 1, 0,1, ..., sayılarından birini alır. p-1, sonra mutlak değer r 1 −r az p. Ama (2)'den şu sonucu çıkar: r 1 −rçoklu p. Sonuç olarak r 1 =r ve s 1 =s.

Sayı r aranan eksi sayılar a modül p(başka bir deyişle, sayı r bir sayının bölümünden kalanı denir aüzerinde p).

Beyan 2. eğer iki sayı a ve b karşılaştırılabilir modül p, sonra a−b bölü p.

Yok canım. eğer iki sayı a ve b karşılaştırılabilir modül p, sonra bölündüğünde p aynı kalana sahip p. O zamanlar

bölü p, çünkü (3) denkleminin sağ tarafı şuna bölünür: p.

Beyan 3. İki sayının farkı bölünebiliyorsa p, o zaman bu sayılar karşılaştırılabilir modulo p.

Kanıt. ile belirtmek r ve r bölmeden 1 kalan a ve büzerinde p. O zamanlar

Örnekler 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

İlk örnekten, 25'in 7'ye bölündüğünde 39 ile aynı kalanı verdiği sonucu çıkar. Gerçekten de, 25=3 7+4 (kalan 4). 39=3 7+4 (kalan 4). İkinci örneği değerlendirirken, kalanın modülden (yani 4) daha küçük negatif olmayan bir sayı olması gerektiğini unutmayın. O zaman şunu yazabiliriz: −18=−5 4+2 (2. kalan), 14=3 4+2 (2. kalan). Bu nedenle, −18, 4'e bölündüğünde 2, 4'e bölündüğünde 14, 2 kalanını bırakır.

Modulo Karşılaştırmalarının Özellikleri

Mülk 1. Herkes için a ve p Her zaman

karşılaştırma her zaman gerekli değildir

nerede λ sayıların en büyük ortak bölenidir m ve p.

Kanıt. İzin vermek λ sayıların en büyük ortak böleni m ve p. O zamanlar

Çünkü m(a−b) bölü k, sonra

Sonuç olarak

ve m sayının bölenlerinden biridir p, sonra

nerede h=pqs.

Negatif modüllerde karşılaştırmalara izin verebileceğimizi unutmayın, yani. karşılaştırmak a≡b mod( p) bu durumda fark anlamına gelir a−b bölü p. Karşılaştırmaların tüm özellikleri, negatif modüller için geçerli kalır.