Mekanik salınımlar teorisi. Mekanik sistemlerin salınım teorisinin temelleri

Klasik mekaniğin kökenini, malzemelerin mukavemetini ve esneklik teorisini zaten düşündük. Mekaniğin en önemli bileşeni aynı zamanda titreşim teorisidir. Titreşimler, makinelerin ve yapıların tahrip olmasının ana nedenidir. Zaten 1950'lerin sonunda. Ekipman kazalarının %80'i artan titreşimler nedeniyle meydana geldi. Dalgalanmalar ayrıca makinelerin çalışmasıyla ilgili kişiler üzerinde zararlı bir etkiye sahiptir. Ayrıca kontrol sistemlerinin arızalanmasına da neden olabilirler.

Tüm bunlara rağmen, salınımlar teorisi ancak 19. yüzyılın başında bağımsız bir bilim olarak ortaya çıktı. Bununla birlikte, makine ve mekanizmaların hesaplamaları, başlangıçtan itibaren XX yüzyıl statik bir ortamda gerçekleştirildi. Makine mühendisliğinin gelişmesi, buhar motorlarının ağırlıklarını azaltırken güç ve hızlarındaki büyüme, yeni motor türlerinin ortaya çıkması - içten yanmalı motorlar ve buhar türbinleri, dinamik yükleri dikkate alan güç hesaplamalarına ihtiyaç duyulmasına neden oldu. Kural olarak, artan titreşimlerden kaynaklanan kazaların ve hatta felaketlerin etkisi altında teknolojide salınım teorisindeki yeni problemler ortaya çıktı.

Salınımlar, belirli bir derecede tekrarı olan bir hareket veya durum değişikliğidir.

Salınım teorisi dört döneme ayrılabilir.

Bencedönem- teorik mekanik çerçevesinde salınımlar teorisinin ortaya çıkışı (16. yüzyılın sonu - 18. yüzyılın sonu). Bu dönem, Galileo, Huygens, Newton, d "Alembert, Euler, D. Bernoulli ve Lagrange'ın eserlerinde dinamiklerin ortaya çıkması ve gelişmesi ile karakterize edilir.

Leonhard Euler, salınımlar teorisinin kurucusu oldu. 1737'de L. Euler, St. Petersburg Bilimler Akademisi adına geminin dengesi ve hareketi üzerine araştırmalara başladı ve 1749'da St. Petersburg'da "Gemi Bilimi" kitabı yayınlandı. Statik kararlılık teorisinin ve salınımlar teorisinin temelleri Euler'in bu çalışmasında atıldı.

Jean Leron d "Alembert, sayısız çalışmasında, bir cismin kütle merkezi etrafında ve dönme ekseni etrafında küçük salınımları gibi, Dünya'nın presesyonu ve nütasyonu sorunuyla bağlantılı olarak, bir sarkacın salınımları gibi bireysel sorunları ele aldı. , yüzen bir cisim, yaylar vs. Ama genel teori Tereddüt d "Alamber yaratmadı.

Titreşim teorisi yöntemlerinin en önemli uygulaması, Charles Coulomb tarafından gerçekleştirilen telin burulma sertliğinin deneysel olarak belirlenmesiydi. Ampirik olarak, Coulomb bu problemde de küçük salınımların eşzamanlılık özelliğini belirlemiştir. Titreşimlerin sönümlenmesini inceleyen bu büyük deneyci, bunun ana nedeninin hava direnci değil, tel malzemedeki iç sürtünmeden kaynaklanan kayıplar olduğu sonucuna vardı.

Statik kararlılık teorisi ve küçük salınımlar teorisinin temellerini atan L. Euler, salınımlar teorisinin temellerine büyük katkı sağlamıştır. salınımların periyodu ve sıklığı kavramları, salınımların şekli oluşturuldu, küçük salınımlar terimi kullanılmaya başlandı, çözümlerin süperpozisyonu ilkesi formüle edildi, çözümü trigonometrik bir seriye genişletme girişimleri yapıldı.

Salınım teorisinin ilk görevleri, bir sarkaç ve bir sicim salınımlarının sorunlarıydı. Sarkaçın salınımları hakkında zaten konuştuk - bu sorunu çözmenin pratik sonucu, Huygens tarafından saatin icadıydı.

Tel titreşimleri sorununa gelince, bu matematik ve mekaniğin gelişim tarihindeki en önemli sorunlardan biridir. Daha ayrıntılı olarak düşünelim.

akustik dize iki sabit nokta arasında gerilmiş, sonlu uzunlukta sert malzemeden yapılmış ideal bir pürüzsüz, ince ve esnek ipliktir. Modern yorumda, bir uzunluk dizisinin enine titreşimleri sorunu ben kısmi türevlerde (1) diferansiyel denklemine bir çözüm bulmaya indirgenir. Burada x uzunluk boyunca dize noktasının koordinatıdır ve y- enine yer değiştirmesi; H- ip gerilimi - koşan kütlesi. a dalganın hızıdır. Benzer bir denklem, borudaki hava kolonunun uzunlamasına salınımlarını da tanımlar.

Bu durumda, dize noktalarının düz bir çizgiden sapmalarının ilk dağılımı ve hızları belirtilmelidir, yani. denklem (1) başlangıç ​​koşullarını (2) ve sınır koşullarını (3) sağlamalıdır.

Sicim titreşimlerinin ilk temel deneysel çalışmaları, Hollandalı matematikçi ve mekanik Isaac Beckmann (1614-1618) ve bir dizi düzenlilik oluşturan ve sonuçlarını 1636'da “Uyumsuzluklar Kitabı”nda yayınlayan M. Mersenne tarafından gerçekleştirildi:

Mersenne'in düzenlilikleri, 1715'te Newton'un öğrencisi Brooke Taylor tarafından teorik olarak doğrulandı. İpi bir maddi noktalar sistemi olarak görür ve aşağıdaki varsayımları yapar: İpin tüm noktaları aynı anda denge konumlarını geçer (eksen ile çakışır). x) ve her noktaya etki eden kuvvet, yer değiştirmesi ile orantılıdır. y eksen hakkında x. Bu, sorunu tek serbestlik dereceli bir sisteme indirgediği anlamına gelir - denklem (4). Taylor, ilk doğal frekansı (temel tonu) doğru bir şekilde aldı - (5).

D "Alembert 1747'de bu problem için dinamik problemini statik problemine indirgeme yöntemini uygulamış (prensip d" ​​Alembert) ve homojen bir dizinin titreşimleri için kısmi türevlerde (1) bir diferansiyel denklem elde etmiştir - birinci denklem matematiksel fizik. Bu denklemin çözümünü iki keyfi fonksiyonun (6) toplamı şeklinde arıyordu.

nerede ve 2. periyodun periyodik fonksiyonlarıdır ben. Fonksiyonların biçimi sorusunu açıklarken ve d'Alembert, sınır koşullarını (1.2) hesaba katar.
dize eksenle çakışıyor x. Anlamı
görev bildiriminde belirtilmemiş.

Euler şu durumlarda özel bir durumu dikkate alır:
ip denge konumundan saptırılır ve başlangıç ​​hızı olmadan serbest bırakılır. Euler'in dizenin ilk şekline herhangi bir kısıtlama getirmemesi esastır, yani. "elle çizilebilecek" herhangi bir eğri dikkate alınarak analitik olarak verilmesini gerektirmez. Yazar tarafından elde edilen nihai sonuç: eğer
dizenin şekli denklemle tanımlanır
, sonra salınımlar şöyle görünür (7). Euler, önceki fikrin aksine, bir fonksiyon kavramı hakkındaki görüşlerini sadece analitik bir ifade olarak revize etti. Böylece, analizde çalışılacak fonksiyonların sınıfı genişletildi ve Euler, "herhangi bir fonksiyon belirli bir çizgiyi tanımlayacağı için, tersi de doğrudur - eğri çizgiler fonksiyonlara indirgenebilir" sonucuna varmıştır.

d "Alembert ve Euler tarafından elde edilen çözümler, birbirine doğru ilerleyen iki dalga şeklinde sicim titreşimleri yasasını temsil ediyor. Aynı zamanda, bükülme çizgisini tanımlayan fonksiyonun şekli üzerinde anlaşamadılar.

D. Bernoulli, bir sicimin titreşimlerini incelerken, sicimi sonsuz olduğunu düşündüğü maddi noktalara bölerek farklı bir yol izledi. Bir sistemin basit harmonik salınımı kavramını tanıtıyor, yani. sistemin tüm noktalarının aynı frekansta, ancak farklı genliklerde senkronize olarak salındığı hareket. Sondaj yapan cisimlerle yapılan deneyler, D. Bernoulli'yi, bir telin en genel hareketinin, kendisine sunulan tüm hareketlerin aynı anda yürütülmesinden ibaret olduğu fikrine götürdü. Bu sözde çözümlerin süperpozisyonudur. Böylece, 1753'te, fiziksel değerlendirmelere dayanarak, sicim titreşimleri için genel bir çözüm elde etti ve bunu, sicimin her biri için bir karakteristik eğri şeklinde büküldüğü kısmi çözümlerin bir toplamı olarak sundu (8).

Bu seride, salınımın ilk şekli yarım sinüzoiddir, ikincisi tam sinüzoiddir, üçüncüsü üç yarım sinüzoidden oluşur vb. Genlikleri zamanın işlevleri olarak temsil edilir ve özünde, söz konusu sistemin genelleştirilmiş koordinatlarıdır. D. Bernoulli'nin çözümüne göre, sicim hareketi, periyotları olan sonsuz bir harmonik titreşim dizisidir.
. Bu durumda düğüm sayısı (sabit noktalar) doğal frekans sayısından bir eksiktir. (8) serisini sonlu sayıda terimle sınırlayarak, sürekli sistem için sonlu sayıda denklem elde ederiz.

Ancak, D. Bernoulli'nin çözümü bir yanlışlık içeriyor - her bir salınım harmoniğinin faz kaymasının farklı olduğunu hesaba katmıyor.

D. Bernoulli, çözümü trigonometrik bir seri şeklinde sunarken, çözümün tam bir fonksiyonlar sistemi açısından süperpozisyon ve genişleme ilkesini kullandı. Doğru olarak, (8) formülündeki çeşitli terimlerin yardımıyla, telin temel tonuyla aynı anda yaydığı harmonik tonları açıklamanın mümkün olduğuna inanıyordu. Bunu, küçük titreşimler yapan herhangi bir cisim sistemi için geçerli olan genel bir yasa olarak kabul etti. Bununla birlikte, fiziksel motivasyon, o zaman sunulmayan matematiksel kanıtın yerini alamaz. Bu nedenle, meslektaşları D. Bernoulli'nin çözümlerini anlamadılar, ancak MS 1737 gibi erken bir tarihte A. Clairaut fonksiyonların açılımını bir dizide kullandı.

18. yüzyılın önde gelen bilim adamlarının neden olduğu sicim titreşimleri problemini çözmenin iki farklı yolunun varlığı. fırtınalı tartışma - "ip hakkında tartışma." Bu anlaşmazlık, esas olarak, problemin kabul edilebilir çözümlerinin biçimi, bir fonksiyonun analitik temsili ve bir trigonometrik seri şeklinde keyfi bir fonksiyonu temsil etmenin mümkün olup olmadığı hakkında sorularla ilgiliydi. Analizin en önemli kavramlarından biri olan fonksiyon kavramı, "sicim uyuşmazlığı"nda geliştirilmiştir.

D "Alamber ve Euler, D. Bernoulli tarafından önerilen çözümün genel olabileceği konusunda hemfikir değillerdi. Özellikle, Euler, şimdi fonksiyon kavramını tanımladığı için, bu serinin herhangi bir "serbest çizilmiş eğriyi" temsil edebileceği konusunda hemfikir değildi.

Tartışmaya giren Joseph Louis Lagrange, kütleyi merkezde toplayan aynı uzunlukta küçük yaylara böldü ve sonlu sayıda serbestlik derecesine sahip bir adi diferansiyel denklemler sisteminin çözümünü araştırdı. O zaman limite geçildiğinde, Lagrange, genel çözümün belirli çözümlerin sonsuz bir toplamı olması gerektiğini önceden varsaymadan, D. Bernoulli'ninkine benzer bir sonuç elde etti. Aynı zamanda, D. Bernoulli'nin çözümünü (9) formuna getirerek rafine eder ve ayrıca bu serinin katsayılarını belirlemek için formüller türetir. Analitik mekaniğin kurucusunun çözümü, matematiksel titizliğin tüm gereksinimlerini karşılamasa da, ileriye doğru gözle görülür bir adımdı.

Çözümün trigonometrik bir seriye genişletilmesiyle ilgili olarak, Lagrange serinin keyfi başlangıç ​​koşulları altında ıraksadığına inanıyordu. 40 yıl sonra, 1807'de, J. Fourier üçüncü kez fonksiyonun bir trigonometrik seriye genişlemesini buldu ve bunun sorunu çözmek için nasıl kullanılabileceğini gösterdi, böylece D. Bernoulli'nin çözümünün doğruluğunu teyit etti. Fourier teoreminin trigonometrik bir dizide tek değerli bir periyodik fonksiyonun genişlemesine ilişkin tam bir analitik kanıtı, Todgenter'in integral hesabında ve Thomson (Lord Kelvin) ve Tait tarafından "Doğa Felsefesi Üzerine İnceleme"de verildi.

Gerilmiş bir sicimin serbest titreşimleri üzerine yapılan araştırmalar, Beckmann'ın çalışmasından yola çıkarak iki yüzyıl sürmüştür. Bu problem, matematiğin gelişimi için güçlü bir teşvik görevi gördü. Euler, d "Alembert ve D. Bernoulli, süreklilik sistemlerinin salınımlarını göz önünde bulundurarak yeni bir disiplin yarattı - matematiksel fizik. Fiziğin matematikleştirilmesi, yani yeni bir analizle sunulması, bilimde yeni yolların açılması sayesinde Euler'in en büyük meziyetidir. Sonuçların mantıksal gelişimi Euler ve Fourier, Lobachevsky ve Lejeune Dirichlet tarafından iki kümenin bire bir yazışması fikrine dayanan fonksiyonun iyi bilinen tanımıydı.Dirichlet ayrıca genişleme olasılığını da kanıtladı. Fourier parçalı sürekli ve monoton fonksiyonlar serisine dönüştürülür. Tek boyutlu bir dalga denklemi de elde edildi ve iki çözümünün eşitliği kuruldu, bu da titreşimler ve dalgalar arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak doğruladı. Titreşen bir sicimin ses ürettiği gerçeği bilim adamlarını harekete geçirdi. ses yayılımı sürecinin ve sicim titreşimi sürecinin kimliği hakkında düşünmek. Sınır ve başlangıç ​​koşullarının bu tür problemlerdeki en önemli rolü de ortaya çıktı. Mekaniğin gelişimi için önemli bir sonuç, d "Alembert ilkesinin hareketin diferansiyel denklemlerini yazmak için kullanılması ve salınımlar teorisi için bu görev de çok önemli bir rol oynadı, yani, çözümün doğal salınım modları açısından süperpozisyon ve genişlemesi ilkesi uygulandı. , salınım teorisinin temel kavramları formüle edildi - doğal frekans ve salınım modu.

Bir sicimin serbest titreşimleri için elde edilen sonuçlar, süreklilik sistemlerinin titreşimleri teorisinin oluşturulmasına temel teşkil etti. Homojen olmayan sicimlerin, zarların ve çubukların titreşimlerinin daha fazla incelenmesi, ikinci ve dördüncü mertebeden en basit hiperbolik denklemleri çözmek için özel yöntemler bulmayı gerektiriyordu.

Gerilmiş bir telin serbest titreşimleri sorunu bilim adamlarıyla ilgileniyor, elbette pratik uygulaması için değil, bu titreşimlerin yasaları bir dereceye kadar müzik aletleri yapan ustalar tarafından biliniyordu. Bu, Amati, Stradivari, Guarneri ve başyapıtları 17. yüzyılda yaratılan diğerleri gibi ustaların eşsiz yaylı çalgılarıyla kanıtlanmıştır. Bu problemle ilgilenen en büyük bilim adamlarının çıkarları, büyük olasılıkla, halihazırda var olan sicim titreşim yasalarına matematiksel bir temel getirme arzusundaydı. Bu soruda, herhangi bir bilimin geleneksel yolu, daha sonra bilinmeyen fenomenleri bulmak ve araştırmak için zaten bilinen gerçekleri açıklayan bir teorinin yaratılmasıyla başlayarak kendini gösterdi.

IIdönem - analitik(18. yüzyılın sonu - 19. yüzyılın sonu). Mekaniğin gelişimindeki en önemli adım, yeni bir bilim - analitik mekanik yaratan Lagrange tarafından atıldı. Salınım teorisinin gelişimindeki ikinci dönemin başlangıcı Lagrange'ın çalışmasıyla ilişkilidir. Lagrange, 1788'de Paris'te yayınlanan Analitik Mekanik kitabında, 18. yüzyılda mekanikte yapılan her şeyi özetledi ve problemlerini çözmek için yeni bir yaklaşım formüle etti. Denge doktrininde, statiğin geometrik yöntemlerini terk etti ve olası yer değiştirmeler ilkesini (Lagrange ilkesi) önerdi. Dinamikte, Lagrange, aynı anda d "Alembert ilkesini ve olası yer değiştirmeler ilkesini uygulayarak, d" Alembert - Lagrange ilkesi olarak da adlandırılan genel bir değişken dinamik denklemi elde etti. Son olarak, genelleştirilmiş koordinatlar kavramını kullanıma soktu ve hareket denklemlerini en uygun biçimde elde etti - ikinci tür Lagrange denklemleri.

Bu denklemler, sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemlerle tanımlanan küçük salınımlar teorisini yaratmanın temeli oldu. Doğrusallık, mekanik bir sistemin doğasında nadiren bulunur ve çoğu durumda basitleştirilmesinin sonucudur. Düşük hızlarda gerçekleştirilen denge konumuna yakın küçük salınımlar göz önüne alındığında, genelleştirilmiş koordinatlara ve hızlara göre hareket denklemlerinde ikinci ve daha yüksek mertebelerin terimlerini atmak mümkündür.

Konservatif sistemler için ikinci tür Lagrange denklemlerinin uygulanması

sistemi alıyoruz s sabit katsayılı ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklemler

, (11)

nerede Bence ve C sırasıyla, bileşenleri atalet ve elastik katsayılar olacak olan atalet ve sertlik matrisleridir.

Özel çözüm (11) şeklinde aranır.

ve frekanslı bir monoharmonik salınım rejimini tanımlar k, tüm genelleştirilmiş koordinatlar için aynıdır. (12) ile ilgili olarak iki kez farklılaşma T ve sonucu denklemlere (11) koyarak, genlikleri matris formunda bulmak için bir lineer homojen denklemler sistemi elde ederiz.

. (13)

Sistem salınımları sırasında tüm genlikler sıfıra eşit olamayacağından, determinant sıfıra eşittir.

. (14)

Sıklık denklemi (14), seküler denklem olarak adlandırıldı, çünkü ilk olarak Lagrange ve Laplace tarafından gezegen yörüngelerinin elemanlarının laik pertürbasyonları teorisinde ele alındı. bu denklem s-inci derece göreli , köklerinin sayısı sistemin serbestlik derecesi sayısına eşittir. Bu kökler genellikle artan sırada düzenlenirken, doğal frekansların spektrumunu oluştururlar. her köke (12) formunun belirli bir çözümüne karşılık gelir, küme s genlikler dalga biçimini temsil eder ve genel çözüm bu çözümlerin toplamıdır.

Lagrange, D. Bernoulli'nin ifadesini verdi, ayrık noktalardan oluşan bir sistemin genel salınım hareketinin, tüm harmonik salınımlarının aynı anda yürütülmesinden, bir matematiksel teorem biçiminde, diferansiyel denklemlerin sabit katsayılarla entegrasyon teorisini kullanarak oluşturduğunu söyledi. 18. yüzyılın 40'larında Euler tarafından. ve bu tür denklem sistemlerinin nasıl entegre edildiğini gösteren d "Alembert'in başarıları. Aynı zamanda, laik denklemin köklerinin gerçek, pozitif ve birbirine eşit olmadığını kanıtlamak gerekiyordu.

Böylece, "Analitik Mekanik" de Lagrange, genel bir biçimde frekans denklemini elde etti. Aynı zamanda, 1761'de d "Alembert tarafından yapılan, seküler denklemin çoklu köklerinin kararsız bir çözüme tekabül ettiği hatasını tekrarlıyor, çünkü bu durumda çözümde seküler veya seküler terimler görünüyor. T sinüs veya kosinüs işareti altında değil. Bu bağlamda, hem d'Alembert hem de Lagrange, frekans denkleminin birden fazla kökü olamayacağına inanıyorlardı (d'Alembert-Lagrange paradoksu). Muhafazakar mekanik sistemlerde çoklu frekansların mümkün olduğundan emin olmak için Lagrange'ın en azından küresel bir sarkaç veya kesiti örneğin yuvarlak veya kare olan bir çubuğun salınımlarını dikkate alması yeterliydi. Analitik Mekanik'in ilk baskısında yapılan hata, Lagrange'ın yaşamı boyunca çıkan ikinci baskıda (1812) ve üçüncü baskıda (1853) tekrarlandı. Alembert ve Lagrange'ın bilimsel otoritesi o kadar yüksekti ki, hem Laplace hem de Poisson bu hatayı tekrarladılar ve ancak neredeyse 100 yıl sonra birbirlerinden bağımsız olarak 1858'de K. Weierstrass ve 1859'da Osip Ivanovich Somov tarafından düzelttiler. ayrık sistemlerin salınımları teorisinin gelişimine büyük katkı.

Bu nedenle, doğrusal bir sistemin dirençsiz serbest salınımlarının frekanslarını ve biçimlerini belirlemek için seküler denklemi (13) çözmek gerekir. Ancak, beşinci dereceden daha yüksek dereceli denklemlerin analitik bir çözümü yoktur.

Sorun sadece laik denklemin çözümü değil, aynı zamanda genişletilmiş determinant (13) olduğundan, daha büyük ölçüde derlenmesiydi.
örneğin 20 serbestlik derecesine sahip bir sistem için terim sayısı 2,4 10 18'dir ve saniyede 1 milyon işlem gerçekleştiren 1970'lerin en güçlü bilgisayarı için böyle bir belirleyiciyi açmak için gereken süre şöyledir: yaklaşık 1,5 milyon yıl ve modern bir bilgisayar için "sadece" birkaç yüz yıl.

Serbest salınımların frekanslarını ve modlarını belirleme problemi de bir lineer cebir problemi olarak kabul edilebilir ve sayısal olarak çözülebilir. Eşitliği (13) olarak yeniden yazma

, (14)

sütun matrisine dikkat edin matrisin bir özvektörüdür

, (15)

a kendi anlamı.

Özdeğerler ve vektörler problemini çözmek, sayısal analizde en çekici problemlerden biridir. Aynı zamanda uygulamada karşılaşılan tüm problemlerin çözümü için tek bir algoritma önermek mümkün değildir. Algoritma seçimi, matrisin türüne ve ayrıca tüm özdeğerleri veya yalnızca en küçük (en büyük) veya belirli bir sayıya yakın olanı belirlemenin gerekli olup olmadığına bağlıdır. 1846'da Carl Gustav Jacob Jacobi, tam özdeğer problemini çözmek için yinelemeli bir döndürme yöntemi önerdi. Yöntem, limitte matrisi (15) köşegen olana dönüştüren sonsuz bir temel rotasyon dizisine dayanmaktadır. Ortaya çıkan matrisin köşegen elemanları, istenen özdeğerler olacaktır. Bu durumda özdeğerleri belirlemek için
aritmetik işlemler ve özvektörler için
operasyonlar. Bu bağlamda, XIX yüzyıldaki yöntem. başvuru bulamadı ve yüz yıldan fazla bir süredir unutuldu.

Salınımlar teorisinin geliştirilmesindeki bir sonraki önemli adım, Rayleigh'in çalışması, özellikle de onun temel çalışması The Theory of Sound idi. Bu kitapta Rayleigh, mekanik, akustik ve elektrik sistemlerindeki salınım olaylarını birleşik bir bakış açısıyla ele alıyor. Rayleigh, doğrusal salınım teorisinin bir dizi temel teoremine sahiptir (durağanlık ve doğal frekansların özellikleri üzerine teoremler). Rayleigh ayrıca karşılıklılık ilkesini de formüle etti. Kinetik ve potansiyel enerjiye benzeterek, tüketen bir fonksiyon tanıttı, Rayleigh adını aldı ve enerji dağılma oranının yarısını temsil etti.

The Theory of Sound'da Rayleigh ayrıca muhafazakar bir sistemin ilk doğal frekansını belirlemek için yaklaşık bir yöntem sunar.

, (16)

nerede
. Bu durumda, potansiyel ve kinetik enerjilerin maksimum değerlerini hesaplamak için bir tür titreşim alınır. Sistemin ilk modu ile çakışırsa, ilk doğal frekansın tam değerini alacağız, aksi takdirde bu değer her zaman fazla tahmin edilir. Yöntem, sistemin statik deformasyonu ilk titreşim modu olarak alınırsa, uygulama için oldukça kabul edilebilir bir doğruluk verir.

Böylece, 19. yüzyılda, Somov ve Rayleigh'in çalışmalarında, ikinci tür Lagrange denklemlerini kullanarak ayrık mekanik sistemlerin küçük salınım hareketlerini tanımlayan diferansiyel denklemler oluşturmak için bir teknik oluşturuldu.

genelleştirilmiş kuvvetin neresinde
fonksiyonların kapsadığı elastik ve enerji tüketen hariç tüm kuvvet faktörleri dahil edilmelidir. r ve P.

Tüm fonksiyonları yerine koyduktan sonra mekanik bir sistemin zorlanmış titreşimlerini tanımlayan matris formundaki Lagrange denklemleri (17) şöyle görünür:

. (18)

Burada sönümleme matrisidir ve
karşılık gelen genelleştirilmiş koordinatların, hızların ve ivmelerin sütun vektörleridir. Bu denklemin genel çözümü, her zaman sönümlenen serbest ve beraberindeki salınımlardan ve bozucu kuvvetin frekansında meydana gelen zorunlu salınımlardan oluşur. Zorlanmış salınımlara karşılık gelen yalnızca belirli bir çözümü düşünmekle yetiniyoruz. Bir uyarı olarak, Rayleigh harmonik bir yasaya göre değişen genelleştirilmiş kuvvetleri düşündü. Birçoğu bu seçimi incelenen durumun basitliğine bağladı, ancak Rayleigh daha ikna edici bir açıklama yapıyor - Fourier serisinde genişleme.

Bu nedenle, ikiden fazla serbestlik derecesine sahip mekanik bir sistem için, bir denklem sisteminin çözümü, sistemin sırasının artmasıyla çığ gibi artan belirli zorluklar sunar. Beş ila altı serbestlik derecesinde bile, zorlamalı salınım sorunu klasik şekilde manuel olarak çözülemez.

Mekanik sistemlerin salınımları teorisinde, ayrık sistemlerin küçük (doğrusal) salınımları özel bir rol oynamıştır. Lineer sistemler için geliştirilen spektral teori, diferansiyel denklemlerin oluşturulmasını bile gerektirmez ve bir çözüm elde etmek için hemen lineer cebirsel denklem sistemleri yazılabilir. 19. yüzyılın ortalarında özvektörleri ve özdeğerleri (Jacobi) belirleme ve bir lineer cebirsel denklemler sistemini (Gauss) çözme yöntemleri geliştirilmiş olmasına rağmen, az sayıda serbestlik derecesine sahip sistemler için bile pratik uygulamaları tükenmiştir. sorusunun cevabı. Bu nedenle, yeterince güçlü bilgisayarların ortaya çıkmasından önce, doğrusal mekanik sistemlerin serbest ve zorlanmış salınımları problemini çözmek için birçok farklı yöntem geliştirildi. Birçok seçkin bilim adamı - matematikçi ve mekanik bu problemlerle uğraştı, aşağıda tartışılacaklar. Güçlü bilgi işlem teknolojisinin ortaya çıkışı, yalnızca büyük boyutlu doğrusal problemleri bir saniyenin çok kısa bir sürede çözmeyi değil, aynı zamanda denklem sistemlerini derleme sürecini otomatikleştirmeyi de mümkün kıldı.

Böylece, XVIII yüzyılda. Sonlu sayıda serbestlik derecesine sahip sistemlerin küçük salınımları ve sürekli elastik sistemlerin salınımları teorisinde, temel fiziksel şemalar geliştirildi ve problemlerin matematiksel analizi için gerekli ilkeler açıklandı. Bununla birlikte, bağımsız bir bilim olarak mekanik salınımlar teorisini oluşturmak için, dinamik problemlerini çözmek için yeterli birleşik bir yaklaşım yoktu ve daha hızlı gelişimi için teknik talepler yoktu.

18. yüzyılın sonlarında ve 19. yüzyılın başlarında buhar makinesinin yaygın olarak kullanılmasının neden olduğu büyük ölçekli sanayinin büyümesi, uygulamalı mekaniğin ayrı bir disipline ayrılmasına yol açtı. Ancak 19. yüzyılın sonuna kadar, makineler hala düşük güçlü ve yavaş hareket ettiğinden, mukavemet hesaplamaları statik bir formülasyonda yapıldı.

19. yüzyılın sonlarına doğru hızların artması ve makinelerin boyutlarının küçülmesi ile titreşimleri ihmal etmek imkansız hale geldi. Titreşimler sırasında rezonans veya yorulma arızasının başlangıcından itibaren meydana gelen çok sayıda kaza, mühendisleri salınım süreçlerine dikkat etmeye zorladı. Bu dönemde ortaya çıkan sorunlardan aşağıdakilere dikkat edilmelidir: köprülerin geçen trenlerden çökmesi, şaftların burulma titreşimleri ve dengesiz makinelerin hareketli parçalarının atalet kuvvetleri tarafından uyarılan gemi gövdelerinin titreşimleri.

IIIdönem- uygulamalı salınım teorisinin oluşumu ve gelişimi (1900–1960'lar). Makine mühendisliğinin gelişmesi, lokomotiflerin ve gemilerin iyileştirilmesi, buhar ve gaz türbinlerinin ortaya çıkması, yüksek hızlı içten yanmalı motorlar, otomobiller, uçaklar vb. makine parçalarındaki gerilimlerin daha doğru bir analizini talep etti. Bu, metalin daha ekonomik kullanımının gereklilikleri tarafından belirlendi. Yapıların hafifletilmesi, makine mukavemeti konularında giderek daha belirleyici hale gelen titreşim sorunlarına yol açmıştır. 20. yüzyılın başlarında, sayısız kaza, titreşimlerin ihmal edilmesinin veya bunların cehaletinin ne gibi feci sonuçlara yol açabileceğini ikna edici bir şekilde göstermektedir.

Yeni teknolojinin ortaya çıkışı, kural olarak, salınımlar teorisi için yeni sorunlar doğurur. Yani 30'lu ve 40'lı yıllarda. Havacılıkta durak çarpıntısı ve yalpalama, dönen şaftların eğilme ve eğilme-burulma titreşimleri gibi yeni problemler ortaya çıktı ve bu da titreşimleri hesaplamak için yeni yöntemlerin geliştirilmesini gerektirdi. 1920'lerin sonunda, önce fizikte, sonra mekanikte, doğrusal olmayan salınımların incelenmesi başladı. Otomatik kontrol sistemlerinin ve diğer teknik taleplerin gelişimi ile bağlantılı olarak, 1930'lardan beri, temeli A. M. Lyapunov'un “Genel hareket kararlılığı sorunu” doktora tezi olan hareket kararlılığı teorisi yaygın olarak geliştirildi ve uygulandı.

Bir yanda doğrusal bir formülasyonda ve diğer yanda bilgisayar teknolojisinde bile salınımlar teorisinin sorunları için analitik bir çözümün olmaması, çözmek için çok sayıda çeşitli sayısal yöntemin geliştirilmesine yol açmıştır. onlara.

Çeşitli ekipman türleri için titreşim hesaplamaları yapma ihtiyacı, 1930'larda titreşim teorisindeki ilk eğitim kurslarının ortaya çıkmasına neden oldu.

Geçis IVdönem(1960'ların başı - günümüz) bilimsel ve teknolojik devrim dönemi ile ilişkilidir ve başta havacılık ve uzay olmak üzere yeni teknolojinin ortaya çıkması, robotik sistemler ile karakterizedir. Ayrıca güç mühendisliğinin, ulaşımın vb. gelişmesi, ilk etapta dinamik güç ve güvenilirlik sorunlarını ortaya çıkarmıştır. Bunun nedeni, çalışma hızlarındaki bir artış ve aynı anda makinelerin kaynağını artırma arzusuyla malzeme tüketimindeki azalmadır. Salınımlar teorisinde, doğrusal olmayan bir ortamda giderek daha fazla problem çözülür. Sürekli ortam sistemlerinin salınımları alanında, havacılık ve uzay teknolojisinin taleplerinin etkisi altında, levha ve kabukların dinamiklerinde sorunlar ortaya çıkmaktadır.

Bu dönemde salınım teorisinin gelişimi üzerindeki en büyük etki, salınımları hesaplamak için sayısal yöntemlerin geliştirilmesine yol açan elektronik bilgi işlem teknolojisinin ortaya çıkması ve hızlı gelişimi ile gerçekleştirilir.

salınım hareketi Bu hareketi veya durumu belirleyen fiziksel niceliklerin değerlerinin zaman içinde bir veya daha fazla tekrarlama derecesi ile karakterize edilen herhangi bir hareket veya durum değişikliği denir. Dalgalanmalar tüm doğal fenomenlerin karakteristiğidir: yıldız darbelerinin radyasyonu; güneş sisteminin gezegenleri yüksek derecede periyodik olarak döner; rüzgarlar su yüzeyinde titreşimleri ve dalgaları harekete geçirir; herhangi bir canlı organizmanın içinde, sürekli olarak çeşitli, ritmik olarak tekrarlanan süreçler meydana gelir, örneğin, insan kalbi inanılmaz bir güvenilirlikle atar.

Fizikte titreşimler ayırt edilir mekanik ve elektromanyetik. Ses olarak algıladığımız havanın yoğunluğu ve basıncındaki mekanik dalgalanmaların yanı sıra ışık olarak algıladığımız elektrik ve manyetik alanlardaki çok hızlı dalgalanmaların yayılması sayesinde dünya hakkında büyük miktarda doğrudan bilgi alırız. etrafımızda. Mekanikte salınım hareketi örnekleri sarkaçların, tellerin, köprülerin vb. titreşimleri olabilir.

dalgalanmalar denir periyodik, salınımlar sürecinde değişen fiziksel niceliklerin değerleri düzenli aralıklarla tekrarlanırsa. Periyodik salınımların en basit türü harmonik salınımlardır. Salınımlara harmonik denir, burada salınım miktarındaki zaman içinde değişim sinüs (veya kosinüs) yasasına göre gerçekleşir:

burada x, denge konumundan yer değiştirmedir;

A - salınım genliği - denge konumundan maksimum yer değiştirme;

- döngüsel frekans;

- salınımın ilk aşaması;

- salınım aşaması; ofseti herhangi bir zamanda belirler, yani. salınım sisteminin durumunu belirler.

A değerinin kesinlikle harmonik salınımları olması durumunda, ve zamana bağlı kalmayın.

döngüsel frekans salınımların ve frekansın T periyodu ile ilgilidir oran:

(2)

Dönem T salınımlar, salınımları karakterize eden tüm fiziksel niceliklerin değerlerinin tekrarlandığı en küçük süre olarak adlandırılır.

Sıklık salınımlar, hertz cinsinden ölçülen, birim zaman başına tam salınım sayısı olarak adlandırılır (1 Hz = 1
).

döngüsel frekans 2'de yapılan salınımların sayısına sayısal olarak eşit saniye.

Değişken dış kuvvetlerin etkisine maruz kalmayan bir sistemde, bu sistemin kararlı bir denge durumundan herhangi bir başlangıç ​​sapması sonucunda meydana gelen salınım denir. Bedava(veya kendi).

Sistem muhafazakar ise, salınımlar sırasında enerji kaybı olmaz. Bu durumda serbest titreşimler denir. sönümsüz.

Hız nokta dalgalanmaları, zaman kaymasının türevi olarak tanımlanır:

(3)

Hızlanma salınım noktası hızın zamana göre türevine eşittir:

(4)

Denklem (4), harmonik salınımlar sırasında ivmenin değişken olduğunu, dolayısıyla salınımın değişken bir kuvvetin hareketinden kaynaklandığını göstermektedir.

Newton'un ikinci yasası, F kuvveti ile ivme arasındaki ilişkiyi genel terimlerle yazmanıza izin verir. kütleli bir malzeme noktasının doğrusal harmonik salınımları ile
:

nerede
, (6)

k, esneklik katsayısıdır.

Böylece harmonik titreşimlere neden olan kuvvet, yer değiştirme ile orantılıdır ve yer değiştirmeye karşı yönlendirilir. Bu bağlamda, harmonik salınımın dinamik bir tanımını verebiliriz: harmonik salınım, x yer değiştirmesi ile doğru orantılı olan ve yer değiştirmeye karşı yönlendirilen bir kuvvetin neden olduğu salınım olarak adlandırılır.

Geri yükleme kuvveti, örneğin bir elastik kuvvet olabilir. Elastik kuvvetlerden farklı nitelikte olan ancak aynı zamanda koşulu sağlayan (5) kuvvetlere denir. yarı elastik.

x ekseni boyunca doğrusal salınımlar olması durumunda, ivme eşittir:

.

Hızlanma için bu ifadenin değiştirilmesi ve gücün anlamı
Newton'un ikinci yasasına göre, doğrusal harmonik salınımların temel denklemi:

veya
(7)

Bu denklemin çözümü denklem (1)'dir.

Öğrenciler için titreşim teorisi ders programı 4 FACI kursu

Disiplin, klasik genel cebir, adi diferansiyel denklemler teorisi, teorik mekanik ve karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi gibi disiplinlerin sonuçlarına dayanmaktadır. Disiplin çalışmasının bir özelliği, matematiksel analiz cihazlarının ve diğer ilgili matematik disiplinlerinin sık kullanımı, teorik mekanik, fizik, elektrik mühendisliği, akustik konu alanından pratik olarak önemli örneklerin kullanılmasıdır.

1. Tek serbestlik dereceli muhafazakar bir sistemde hareketin kalitatif analizi

• Faz düzlemi yöntemi
• Salınım periyodunun genliğe bağımlılığı. Yumuşak ve sert sistemler

2. Duffing denklemi

• Eliptik fonksiyonlarda Duffing denkleminin genel çözümü için ifade

3. Yarı-doğrusal sistemler

• Van der Pol değişkenleri
• ortalama alma yöntemi

4. Gevşeme titreşimleri

• Van der Pol denklemi
• Tekil olarak bozulan diferansiyel denklem sistemleri

5. Tek Serbestlik Dereceli Genel Formlu Doğrusal Olmayan Otonom Sistemlerin Dinamiği

• Dinamik bir sistemin "pürüzlülüğü" kavramı
• Dinamik sistemlerin çatallanmaları

6. Floquet teorisinin unsurları

• Periyodik katsayılı doğrusal diferansiyel denklem sistemlerinin normal çözümleri ve çarpanları
• parametrik rezonans

7. tepe denklemi

• Floquet teorisinin periyodik katsayılı lineer Hamilton sistemlerine uygulanmasının bir örneği olarak Hill tipi denklem çözümlerinin davranışının analizi
• Hill-tipi denklemin özel bir hali olarak Mathieu denklemi. Ines-Strett diyagramı

8. Doğrusal olmayan bir geri yükleme kuvvetine sahip bir sistemde zorlanmış salınımlar

• Salınımların genliği ile sisteme uygulanan itici kuvvetin büyüklüğü arasındaki ilişki
• İtici gücün frekansını değiştirirken hareket modunu değiştirme. "Dinamik" histerezis kavramı

9. adyabatik değişmezler

• Eylem-Açı Değişkenleri
• Adyabatik değişmezlerin hareketin doğasında niteliksel bir değişiklik altında korunması

10. Çok boyutlu dinamik sistemlerin dinamiği

• Dinamik sistemlerde ergodiklik ve karıştırma kavramı
• Poincare haritalama

11. Lorentz denklemleri. garip çekici

• Termokonveksiyon modeli olarak Lorentz denklemleri
• Lorentz denklemlerinin çözümlerinin çatallanmaları. kaosa geçiş
• Garip bir çekicinin fraktal yapısı

12. Tek boyutlu eşlemeler. Feigenbaum'un çok yönlülüğü

• İkinci dereceden eşleme - en basit doğrusal olmayan eşleme
• Periyodik eşleme yörüngeleri. Periyodik Yörüngelerin Çatallanmaları

Edebiyat (ana)

1. Moiseev N.N. Doğrusal olmayan mekaniğin asimptotik yöntemleri. – M.: Nauka, 1981.

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Salınımlar ve dalgalar teorisine giriş. Ed. 2. Araştırma Merkezi "Düzenli ve Kaotik Dinamikler", 2000.

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Doğrusal Olmayan Salınımlar Teorisinde Asimptotik Yöntemler. – M.: Nauka, 1974.

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. Doğrusal olmayan salınımlar teorisine giriş. – M.: Nauka, 1987.

5. Loskutov A.Yu., Mihaylov A.Ş. Sinerjiklere giriş. – M.: Nauka, 1990.

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. Salınımlar, dalgalar, yapılar.. - M.: Fizmatlit, 2003.

Edebiyat (ek)

7. Zhuravlev V.F., Klimov D.M. Salınımlar Teorisinde Uygulanan Yöntemler. Yayınevi "Bilim", 1988.

8. Stoker J. Mekanik ve elektrik sistemlerinde doğrusal olmayan titreşimler. - M.: Yabancı edebiyat, 1952.

9. V. M. Starzhinsky, Doğrusal Olmayan Salınımların Uygulamalı Yöntemleri. – M.: Nauka, 1977.

10. Hayashi T. Fiziksel sistemlerde doğrusal olmayan salınımlar. – M.: Mir, 1968.

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Titreşim teorisi. – M.: Fizmatgiz, 1959.

Kitap, okuyucuya radyo mühendisliği, optik ve diğer sistemlerde meydana gelen salınımlı süreçlerin genel özelliklerini ve ayrıca bunları incelemek için çeşitli nitel ve nicel yöntemleri tanıtır. Parametrik, kendi kendine salınan ve diğer doğrusal olmayan salınımlı sistemlerin dikkate alınmasına büyük önem verilir.
Kitapta açıklanan salınım sistemleri ve süreçleri, salınımlar teorisinin bilinen yöntemleriyle, ayrıntılı bir sunum ve yöntemlerin kendilerinin doğrulanması olmadan verilmektedir. Gerçek sistemlerin incelenen salınım modellerinin temel özelliklerinin en uygun analiz yöntemleri kullanılarak açıklanmasına büyük önem verilmektedir.

Doğrusal olmayan endüktanslı bir devrede serbest salınımlar.
Şimdi, elektriksel doğrusal olmayan muhafazakar sistemin başka bir örneğini, yani içinden geçen akıma bağlı endüktansa sahip bir devreyi ele alalım. Kendi kendine endüksiyonun akıma bağımlılığı mekanik için kütlenin hıza bağımlılığı durumuna eşdeğer olduğundan, bu durumda açıklayıcı ve basit göreli olmayan mekanik bir analog yoktur.

İndüktörlerde ferromanyetik malzeme çekirdekleri kullanıldığında bu tip elektrik sistemleriyle karşılaşırız. Bu gibi durumlarda, verilen her bir çekirdek için, mıknatıslanma alanı ile manyetik indüksiyon akışı arasında bir ilişki elde etmek mümkündür. Bu bağımlılığı gösteren eğriye manyetizasyon eğrisi denir. Histerezis fenomenini ihmal edersek, yaklaşık seyri Şekil 1'de gösterilen grafikle temsil edilebilir. 1.13. H alanının büyüklüğü bobinde akan akımla orantılı olduğundan, akım doğrudan apsis ekseninde uygun ölçekte çizilebilir.

E-kitabı uygun bir formatta ücretsiz indirin, izleyin ve okuyun:
Salınım Teorisinin Temelleri kitabını indirin, Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, hızlı ve ücretsiz indirme.

• Teorik fiziğin ilkeleri, Mekanik, alan teorisi, kuantum mekaniğinin unsurları, Medvedev B.V., 2007
• Fizik kursu, Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruwell E.R., Medvedev D.A.
• Isı transferi ve hidrolik temelleri ile teknik termodinamik, Lashutina N.G., Makashova O.V., Medvedev R.M., 1988