Gauss yönteminin ileri hareketini tamamlamak için üç seçenek. Gauss yöntemi çevrimiçi

Gauss yöntemi kolaydır! Neden? Niye? Ünlü Alman matematikçi Johann Carl Friedrich Gauss, yaşamı boyunca tüm zamanların en büyük matematikçisi, bir dahi ve hatta "Matematik Kralı" lakabıyla tanındı. Ve bildiğiniz gibi ustaca olan her şey basit! Bu arada, sadece enayiler değil, dahiler de paraya giriyor - Gauss'un portresi 10 Deutschmarks'lık bir banknotta (euro'nun piyasaya sürülmesinden önce) gösteriş yaptı ve Gauss hala Almanlara sıradan posta pullarından gizemli bir şekilde gülümsüyor.

Gauss yöntemi basittir, çünkü BEŞİNCİ SINIF ÖĞRENCİSİNİN bu konuda ustalaşması için YETERLİ BİLGİSİ YETERLİDİR. Toplayabilmeli ve çarpabilmeli! Bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yönteminin öğretmenler tarafından okul matematik seçmeli derslerinde sıklıkla düşünülmesi tesadüf değildir. Bu bir paradokstur, ancak Gauss yöntemi öğrenciler için en büyük zorluklara neden olur. Şaşırtıcı bir şey yok - hepsi metodoloji ile ilgili ve yöntemin algoritması hakkında erişilebilir bir biçimde anlatmaya çalışacağım.

İlk olarak, lineer denklem sistemleri hakkındaki bilgileri biraz sistematize ediyoruz. Bir lineer denklem sistemi şunları yapabilir:

1) Benzersiz bir çözüme sahip olun.
2) Sonsuz sayıda çözüme sahip olun.
3) Çözüm yok (olmak uyumsuz).

Gauss yöntemi, bir çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araçtır. hiç lineer denklem sistemleri. hatırladığımız gibi Cramer kuralı ve matris yöntemi sistemin sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması için bir yöntem her neyse bizi cevaba götür! Bu dersimizde 1 numaralı durum (sistemin tek çözümü) için Gauss yöntemini tekrar ele alacağız, makale 2-3 numaralı noktalardaki durumlara ayrılmıştır. Yöntem algoritmasının kendisinin her üç durumda da aynı şekilde çalıştığını not ediyorum.

Dersten en basit sisteme dönelim Bir lineer denklem sistemi nasıl çözülür?
ve Gauss yöntemini kullanarak çözün.

İlk adım yazmaktır genişletilmiş matris sistemi:
. Katsayıların hangi prensibe göre kaydedildiğini herkesin görebileceğini düşünüyorum. Matrisin içindeki dikey çizgi herhangi bir matematiksel anlam taşımamaktadır - sadece tasarım kolaylığı için üstü çizili bir çizgidir.

Referans :hatırlamanı tavsiye ederim şartlar lineer Cebir. Sistem Matrisi sadece bilinmeyenler için katsayılardan oluşan bir matristir, bu örnekte sistemin matrisi: . Genişletilmiş Sistem Matrisi sistemin aynı matrisi artı bir serbest terimler sütunudur, bu durumda: . Matrislerden herhangi biri, kısaca kısalık için bir matris olarak adlandırılabilir.

Sistemin genişletilmiş matrisi yazıldıktan sonra, onunla da adlandırılan bazı eylemlerin gerçekleştirilmesi gerekir. temel dönüşümler.

Aşağıdaki temel dönüşümler vardır:

1) Teller matrisler Yapabilmek yeniden düzenlemek yer. Örneğin, incelenen matriste birinci ve ikinci satırları güvenle yeniden düzenleyebilirsiniz:

2) Matriste orantılı (özel durum olarak - özdeş) satırlar varsa (veya ortaya çıktıysa), o zaman şöyle olur: silmek matristen, biri hariç tüm bu satırlar. Örneğin, matrisi düşünün . Bu matriste, son üç satır orantılıdır, bu nedenle bunlardan sadece birini bırakmak yeterlidir: .

3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satırı belirirse, o zaman aşağıdakileri de takip eder: silmek. Elbette çizmeyeceğim, sıfır çizgisi, içinde bulunduğu çizgidir. sadece sıfırlar.

4) Matrisin satırı şu şekilde olabilir: çarpmak (bölmek) herhangi bir sayı için sıfır olmayan. Örneğin, matrisi düşünün. Burada ilk satırı -3'e bölmeniz ve ikinci satırı 2 ile çarpmanız önerilir. . Bu eylem, matrisin daha sonraki dönüşümlerini basitleştirdiği için çok kullanışlıdır.

5) Bu dönüşüm en çok zorluğa neden olur, ancak aslında karmaşık bir şey de yoktur. Matrisin satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayı ile çarpılan başka bir dize ekleyin, sıfırdan farklı. Matrisimizi pratik bir örnekten düşünün: . İlk önce, dönüşümü çok ayrıntılı olarak anlatacağım. İlk satırı -2 ile çarpın: , ve ikinci satıra -2 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz: . Şimdi ilk satır "geri" -2: ile bölünebilir. Gördüğünüz gibi, EKLENEN satır LI – değişmedi. Her zaman satır değiştirilir, HANGİ EKLENDİ UT.

Pratikte, elbette, bu kadar ayrıntılı boyamazlar, ancak daha kısa yazarlar:

Bir kez daha: ikinci satıra -2 ile çarpılan ilk satırı ekledi. Satır genellikle sözlü olarak veya taslakta çarpılırken, hesaplamaların zihinsel seyri şuna benzer:

“Matrisi yeniden yazıyorum ve ilk satırı yeniden yazıyorum: »

Önce ilk sütun. Aşağıda sıfır almam gerekiyor. Bu yüzden yukarıdaki birimi -2: ile çarpıyorum ve birinciyi ikinci satıra ekliyorum: 2 + (-2) = 0. İkinci satıra sonucu yazıyorum: »

“Şimdi ikinci sütun. -1 kere -2 üzeri: . İlk satırı ikinci satıra ekliyorum: 1 + 2 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

"Ve üçüncü sütun. -5 katın üzerinde -2: . İlk satırı ikinci satıra ekliyorum: -7 + 10 = 3. İkinci satıra sonucu yazıyorum: »

Lütfen bu örnek üzerinde dikkatlice düşünün ve sıralı hesaplama algoritmasını anlayın, eğer bunu anlarsanız, Gauss yöntemi pratik olarak "cebinizdedir". Ama tabii ki hala bu dönüşüm üzerinde çalışıyoruz.

Temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez

! DİKKAT: kabul edilen manipülasyonlar kullanılamaz, matrislerin "kendi başlarına" verildiği bir görev teklif edilirse. Örneğin, "klasik" ile matrisler hiçbir durumda matrislerin içindeki bir şeyi yeniden düzenlememelisiniz!

Sistemimize dönelim. Adeta parçalara ayrıldı.

Sistemin artırılmış matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu şuna indirgeyelim: kademeli görünüm:

(1) İlk satır, ikinci satıra -2 ile çarpılarak eklendi. Ve yine: neden ilk satırı -2 ile çarpıyoruz? Altta sıfır almak için, bu ikinci satırdaki bir değişkenden kurtulmak anlamına gelir.

(2) İkinci satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin amacı – matrisi adım formuna dönüştürün: . Görevin tasarımında, basit bir kalemle doğrudan “merdiveni” çizerler ve ayrıca “basamaklarda” bulunan sayıları daire içine alırlar. "Kademeli görüş" teriminin kendisi tamamen teorik değildir; bilimsel ve eğitim literatüründe genellikle denir. yamuk görünümü veya üçgen görünüm.

Elementer dönüşümler sonucunda elde ettiğimiz eşdeğer orijinal denklem sistemi:

Şimdi sistemin ters yönde "bükülmemiş" olması gerekiyor - aşağıdan yukarıya, bu sürece denir ters Gauss yöntemi.

Alt denklemde, zaten bitmiş sonuca sahibiz: .

Sistemin ilk denklemini düşünün ve zaten bilinen “y” değerini onun yerine değiştirin:

Üç bilinmeyenli üç lineer denklem sistemini çözmek için Gauss yönteminin gerekli olduğu en yaygın durumu ele alalım.

örnek 1

Gauss yöntemini kullanarak denklem sistemini çözün:

Sistemin artırılmış matrisini yazalım:

Şimdi çözüm sürecinde varacağımız sonucu hemen çizeceğim:

Ve tekrar ediyorum, amacımız temel dönüşümleri kullanarak matrisi basamaklı bir forma getirmek. Eyleme nereden başlamalı?

İlk önce, sol üstteki sayıya bakın:

Neredeyse her zaman burada olmalı birim. Genel olarak konuşursak, -1 (ve bazen diğer sayılar) da uygundur, ancak bir şekilde geleneksel olarak bir birimin genellikle oraya yerleştirildiği görülmüştür. Bir birim nasıl organize edilir? İlk sütuna bakıyoruz - bitmiş bir birimimiz var! Birinci dönüşüm: birinci ve üçüncü satırları değiştirin:

Şimdi ilk satır, çözümün sonuna kadar değişmeden kalacak. Şimdi iyi.

Sol üstteki birim düzenlenmiştir. Şimdi bu yerlerde sıfır almanız gerekiyor:

Sıfırlar sadece "zor" bir dönüşüm yardımıyla elde edilir. İlk önce ikinci satırla ilgileniyoruz (2, -1, 3, 13). İlk konumda sıfır almak için ne yapılması gerekiyor? İhtiyaç ikinci satıra -2 ile çarpılan ilk satırı ekleyin. Zihinsel olarak veya bir taslakta, ilk satırı -2: (-2, -4, 2, -18) ile çarpıyoruz. Ve sürekli olarak (yine zihinsel olarak veya bir taslakta) ekleme yapıyoruz, ikinci satıra, zaten -2 ile çarpılmış olan ilk satırı ekliyoruz:

Sonuç ikinci satıra yazılır:

Benzer şekilde, üçüncü satırla (3, 2, -5, -1) ilgileniyoruz. İlk konumda sıfır almak için ihtiyacınız olan üçüncü satıra -3 ile çarpılan ilk satırı ekleyin. Zihinsel olarak veya bir taslakta, ilk satırı -3: (-3, -6, 3, -27) ile çarpıyoruz. Ve üçüncü satıra -3 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz:

Sonuç üçüncü satırda yazılır:

Uygulamada, bu eylemler genellikle sözlü olarak gerçekleştirilir ve tek adımda yazılır:

Her şeyi aynı anda ve aynı anda saymaya gerek yok. Hesaplamaların sırası ve sonuçların "eklenmesi" tutarlı ve genellikle şöyledir: önce ilk satırı yeniden yazarız ve kendimizi sessizce üfleriz - TUTARLI OLARAK ve DİKKATLİCE:


Ve yukarıda hesaplamaların zihinsel seyrini zaten inceledim.

Bu örnekte bunu yapmak kolaydır, ikinci satırı -5'e böldük (çünkü oradaki tüm sayılar 5'e kalansız bölünebilir). Aynı zamanda üçüncü satırı -2'ye böleriz, çünkü sayı ne kadar küçükse çözüm o kadar basit olur:

Temel dönüşümlerin son aşamasında, burada bir sıfır daha elde edilmelidir:

Bunun için üçüncü satıra ikinci satırı ekliyoruz, -2 ile çarpıyoruz:


Bu eylemi kendiniz çözümlemeye çalışın - ikinci satırı zihinsel olarak -2 ile çarpın ve toplama işlemini gerçekleştirin.

Yapılan son işlem sonucun saç modelidir, üçüncü satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, eşdeğer bir başlangıç ​​doğrusal denklem sistemi elde edildi:

Serin.

Şimdi Gauss yönteminin ters yönü devreye giriyor. Denklemler aşağıdan yukarıya "gevşetilir".

Üçüncü denklemde, zaten bitmiş sonuca sahibiz:

İkinci denkleme bakalım: . "z"nin anlamı zaten biliniyor, dolayısıyla:

Ve son olarak, ilk denklem: . "Y" ve "Z" biliniyor, mesele küçük:

Cevap:

Tekrar tekrar belirtildiği gibi, herhangi bir denklem sistemi için bulunan çözümü kontrol etmek mümkün ve gereklidir, neyse ki bu zor ve hızlı değildir.

Örnek 2

Bu, kendi kendine çözme örneği, bitirme örneği ve dersin sonunda bir cevaptır.

Unutulmamalıdır ki, sizin hareket tarzı benim hareket tarzımla örtüşmeyebilir, ve bu Gauss yönteminin bir özelliğidir. Ama cevaplar aynı olmalı!

Örnek 3

Gauss yöntemini kullanarak bir lineer denklem sistemini çözün

Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu bir adım formuna getiriyoruz:

Sol üst "adım" a bakıyoruz. Orada bir birimimiz olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç kimse yok, bu nedenle satırları yeniden düzenleyerek hiçbir şey çözülemez. Bu gibi durumlarda, birim bir temel dönüşüm kullanılarak düzenlenmelidir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu ben yaptım:
(1) İlk satıra, ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz.. Yani ikinci satırı zihinsel olarak -1 ile çarparak birinci ve ikinci satırların toplamasını yaptık, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte "eksi bir", bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyenler ek bir hareket yapabilir: ilk satırı -1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

(2) 5 ile çarpılan birinci sıra ikinci sıraya, 3 ile çarpılan ilk sıra üçüncü sıraya eklendi.

(3) İlk satır -1 ile çarpıldı, prensipte bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adımda istediğimiz birime kavuştuk.

(4) 2 ile çarpılan ikinci satır, üçüncü satıra eklendi.

(5) Üçüncü sıra 3'e bölündü.

Bir hesaplama hatasını (daha az sıklıkla bir yazım hatası) gösteren kötü bir işaret, “kötü” bir alt satırdır. Yani, aşağıdaki gibi bir şeyimiz varsa ve buna göre, , o zaman yüksek bir olasılıkla, temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığı iddia edilebilir.

Örneklerin tasarımında ters hareketi yüklüyoruz, sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmıyor ve denklemler “doğrudan verilen matristen alınıyor”. Ters hareket, size hatırlatırım, aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Evet, işte bir hediye:

Cevap: .

Örnek 4

Gauss yöntemini kullanarak bir lineer denklem sistemini çözün

Bu bağımsız bir çözüm için bir örnektir, biraz daha karmaşıktır. Birinin kafası karışırsa sorun değil. Ders sonunda tam çözüm ve tasarım örneği. Sizin çözümünüz benimkinden farklı olabilir.

Son bölümde Gauss algoritmasının bazı özelliklerini ele alıyoruz.
İlk özellik, bazen sistemin denklemlerinde bazı değişkenlerin eksik olmasıdır, örneğin:

Sistemin artırılmış matrisi nasıl doğru yazılır? Derste bu an hakkında zaten konuştum. Cramer kuralı. matris yöntemi. Sistemin genişletilmiş matrisinde eksik değişkenlerin yerine sıfırları koyarız:

Bu arada, bu oldukça kolay bir örnek, çünkü ilk sütunda zaten bir sıfır var ve gerçekleştirilecek daha az temel dönüşüm var.

İkinci özellik şudur. Ele alınan tüm örneklerde, “adımlara” -1 veya +1 yerleştirdik. Başka numaralar olabilir mi? Bazı durumlarda yapabilirler. Sistemi düşünün: .

Burada sol üst "adım" da bir ikilimiz var. Ancak, ilk sütundaki tüm sayıların 2'ye kalansız bölünebildiğini ve diğer iki ve altının da bölünebildiğini fark ettik. Ve sol üstteki ikili bize çok yakışacak! İlk adımda, aşağıdaki dönüşümleri yapmanız gerekir: ilk satırı -1 ile çarpıp ikinci satıra ekleyin; üçüncü satıra -3 ile çarpılan ilk satırı ekleyin. Böylece ilk sütunda istediğimiz sıfırları alacağız.

Veya başka bir varsayımsal örnek: . Burada ikinci basamaktaki üçlü de bize uyar, çünkü 12 (sıfır almamız gereken yer) 3'e kalansız bölünebilir. Aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek gerekir: üçüncü satıra, ikinci satırı -4 ile çarparak ekleyin, bunun sonucunda ihtiyacımız olan sıfır elde edilir.

Gauss yöntemi evrenseldir, ancak bir özelliği vardır. Sistemleri diğer yöntemlerle (Cramer yöntemi, matris yöntemi) tam anlamıyla ilk kez nasıl çözeceğinizi güvenle öğrenebilirsiniz - çok katı bir algoritma var. Ancak Gauss yöntemine güvenebilmek için “elinizi doldurun” ve en az 5-10 sistem çözmelisiniz. Bu nedenle, ilk başta karışıklık, hesaplamalarda hatalar olabilir ve bunda olağandışı veya trajik bir şey yoktur.

Pencerenin dışında yağmurlu sonbahar havası .... Bu nedenle, herkes için bağımsız bir çözüm için daha karmaşık bir örnek:

Örnek 5

Gauss yöntemini kullanarak dört bilinmeyenli dört doğrusal denklem sistemini çözün.

Pratikte böyle bir görev çok nadir değildir. Bu sayfayı ayrıntılı olarak inceleyen bir çaydanlığın bile böyle bir sistemi sezgisel olarak çözme algoritmasını anladığını düşünüyorum. Temelde aynı - sadece daha fazla eylem.

Sistemin çözümü olmadığı (tutarsız) veya sonsuz sayıda çözümü olduğu durumlar, Uyumsuz sistemler ve genel çözümü olan sistemler dersinde ele alınır. Orada Gauss yönteminin dikkate alınan algoritmasını düzeltebilirsiniz.

Başarılar dilerim!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu kademeli bir forma getirelim.


Gerçekleştirilen temel dönüşümler:
(1) İlk satır, ikinci satıra -2 ile çarpılarak eklendi. İlk satır, üçüncü satıra eklendi, -1 ile çarpıldı. Dikkat! Burada ilk satırı üçüncü satırdan çıkarmak cazip gelebilir, çıkarmayı şiddetle tavsiye etmiyorum - hata riski büyük ölçüde artar. Biz sadece katlanırız!
(2) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). İkinci ve üçüncü satırlar değiştirildi. Not“adımlarda” sadece birinden değil, aynı zamanda daha da uygun olan -1'den de memnunuz.
(3) Üçüncü satıra, ikinci satırı 5 ile çarparak ekleyin.
(4) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). Üçüncü satır 14'e bölündü.

Ters hareket:

Cevap: .

Örnek 4: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu bir adım formuna getiriyoruz:

Gerçekleştirilen dönüşümler:
(1) İkinci satır ilk satıra eklendi. Böylece sol üst “adım” üzerinde istenilen birim düzenlenir.
(2) İlk satır 7 ile çarpılan ikinci satıra, 6 ile çarpılan ilk satır üçüncü satıra eklendi.

İkinci "adım" ile her şey daha kötü , bunun için "adaylar" 17 ve 23 sayılarıdır ve bir veya -1'e ihtiyacımız var. (3) ve (4) numaralı dönüşümler, istenen birimin elde edilmesine yönelik olacaktır.

(3) İkinci satır, üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi.
(4) -3 ile çarpılan üçüncü satır, ikinci satıra eklendi.
(3) 4 ile çarpılan ikinci satır üçüncü satıra, -1 ile çarpılan ikinci satır dördüncü satıra eklendi.
(4) İkinci satırın işareti değiştirildi. Dördüncü satır 3'e bölündü ve üçüncü satır yerine yerleştirildi.
(5) Üçüncü satır, dördüncü satıra -5 ile çarpılarak eklendi.

Ters hareket:

Bu makalede, yöntem doğrusal denklem sistemlerini (SLAE) çözmenin bir yolu olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani genel bir çözüm algoritması yazmanıza ve ardından oradaki belirli örneklerden değerleri değiştirmenize izin verir. Matris yönteminin veya Cramer formüllerinin aksine, Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla da çalışabilirsiniz. Ya da hiç sahip değiller.

Gauss'un anlamı nedir?

İlk önce denklem sistemimizi yazmanız gerekiyor Bu şuna benziyor. Sistem alınır:

Katsayılar bir tablo şeklinde ve sağda ayrı bir sütunda ücretsiz üyeler şeklinde yazılır. Kolaylık sağlamak için serbest üyeli sütun ayrılır.Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.

Ayrıca, katsayılı ana matris, üst üçgen şekle indirgenmelidir. Sistemi Gauss yöntemiyle çözmenin ana noktası budur. Basitçe söylemek gerekirse, belirli manipülasyonlardan sonra matris şöyle görünmelidir, böylece sol alt kısmında yalnızca sıfırlar bulunur:

Ardından, yeni matrisi tekrar bir denklem sistemi olarak yazarsanız, son satırın zaten köklerden birinin değerini içerdiğini ve daha sonra yukarıdaki denklemde ikame edildiğini, başka bir kökün bulunduğunu ve bu şekilde devam ettiğini fark edeceksiniz.

Bu, en genel terimlerle Gauss yöntemiyle çözümün bir açıklamasıdır. Ve aniden sistem bir çözüme sahip olmazsa ne olur? Yoksa sonsuz sayıda var mı? Bu ve daha pek çok soruyu cevaplamak için Gauss yöntemiyle çözümde kullanılan tüm unsurları ayrı ayrı ele almak gerekir.

Matrisler, özellikleri

Matriste gizli bir anlam yoktur. Daha sonraki işlemler için verileri kaydetmenin uygun bir yoludur. Okul çocukları bile onlardan korkmamalı.

Matris her zaman dikdörtgendir, çünkü daha uygundur. Her şeyin üçgen bir matris oluşturmaya indirgendiği Gauss yönteminde bile, girişte, sayıların olmadığı yerde yalnızca sıfırlarla birlikte bir dikdörtgen görünür. Sıfırlar atlanabilir, ancak bunlar ima edilir.

Matrisin bir boyutu vardır. "Genişliği" satır sayısıdır (m), "uzunluğu" sütun sayısıdır (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (belirlemeleri için genellikle büyük Latin harfleri kullanılır) A m×n olarak gösterilecektir. m=n ise, bu matris karedir ve m=n onun sırasıdır. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı satır ve sütun sayısı ile gösterilebilir: a xy ; x - satır numarası, değişiklikler, y - sütun numarası, değişiklikler.

B, çözümün ana noktası değildir. Prensip olarak, tüm işlemler doğrudan denklemlerin kendileriyle gerçekleştirilebilir, ancak gösterim çok daha hantal olacak ve içinde kafa karıştırmak çok daha kolay olacaktır.

determinant

Matrisin de bir determinantı vardır. Bu çok önemli bir özellik. Şimdi anlamını bulmak buna değmez, basitçe nasıl hesaplandığını gösterebilir ve ardından matrisin hangi özelliklerini belirlediğini söyleyebilirsiniz. Determinantı bulmanın en kolay yolu köşegenlerden geçer. Matriste hayali köşegenler çizilir; her birinin üzerinde bulunan elemanlar çarpılır ve daha sonra ortaya çıkan ürünler eklenir: sağa eğimli köşegenler - "artı" işaretli, sola eğimli - "eksi" işaretli.

Determinantın yalnızca bir kare matris için hesaplanabileceğini belirtmek son derece önemlidir. Dikdörtgen bir matris için şunları yapabilirsiniz: satır sayısı ve sütun sayısından (k olsun) en küçüğünü seçin ve ardından matriste k sütunu ve k satırı rasgele işaretleyin. Seçilen sütun ve satırların kesişim noktasında bulunan elemanlar yeni bir kare matris oluşturacaktır. Böyle bir matrisin determinantı sıfırdan farklı bir sayı ise, orijinal dikdörtgen matrisin temel minörü olarak adlandırılır.

Gauss yöntemiyle denklem sisteminin çözümüne geçmeden önce determinantı hesaplamaktan zarar gelmez. Sıfır olduğu ortaya çıkarsa, hemen matrisin sonsuz sayıda çözümü olduğunu veya hiç olmadığını söyleyebiliriz. Böyle üzücü bir durumda, daha ileri gitmeniz ve matrisin sıralamasını öğrenmeniz gerekir.

Sistem sınıflandırması

Matrisin rankı diye bir şey var. Bu, determinantının sıfırdan farklı olan maksimum mertebesidir (taban minörünü hatırlarsak, bir matrisin rankının minör temelin mertebesi olduğunu söyleyebiliriz).

Rütbe ile işlerin nasıl olduğuna göre, SLAE ayrılabilir:

• Bağlantı. saat ortak sistemlerin, ana matrisin sırası (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş olanın sırası ile (bir serbest üye sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir tane olması gerekmez, bu nedenle ortak sistemler ayrıca aşağıdakilere ayrılır:
• - belirli- benzersiz bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde, matrisin rankı ve bilinmeyenlerin sayısı (veya aynı şey olan sütunların sayısı) eşittir;
• - belirsiz - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemler için matrislerin sırası, bilinmeyenlerin sayısından daha azdır.
• Uyumsuz. saat bu tür sistemlerde, ana ve genişletilmiş matrislerin sıraları çakışmaz. Uyumsuz sistemlerin çözümü yoktur.

Gauss yöntemi, ya sistemin tutarsızlığının açık bir kanıtını (büyük matrislerin belirleyicilerini hesaplamadan) ya da çözüm sırasında sonsuz sayıda çözümü olan bir sistem için genel bir çözümü elde etmeye izin vermesi bakımından iyidir.

Temel dönüşümler

Doğrudan sistemin çözümüne geçmeden önce, onu daha az hantal ve hesaplamalar için daha uygun hale getirmek mümkündür. Bu, temel dönüşümler yoluyla elde edilir - öyle ki bunların uygulanması nihai cevabı hiçbir şekilde değiştirmez. Yukarıdaki temel dönüşümlerden bazılarının yalnızca kaynağı tam olarak SLAE olan matrisler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. İşte bu dönüşümlerin bir listesi:

1. Dize permütasyonu. Sistem kaydındaki denklemlerin sırasını değiştirirsek, bunun çözümü hiçbir şekilde etkilemeyeceği açıktır. Sonuç olarak, elbette, serbest üyeler sütununu unutmadan, bu sistemin matrisindeki satırları değiştirmek de mümkündür.
2. Bir dizenin tüm öğelerini bir faktörle çarpma. Çok kullanışlı! Bununla, matristeki büyük sayıları azaltabilir veya sıfırları kaldırabilirsiniz. Çözüm seti, her zamanki gibi değişmeyecek ve daha fazla işlem yapmak daha uygun hale gelecektir. Ana şey, katsayının sıfıra eşit olmamasıdır.
3. Orantılı katsayılı satırları silin. Bu kısmen önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Matristeki iki veya daha fazla satırın orantılı katsayıları varsa, o zaman satırlardan birini orantı katsayısı ile çarparken / bölerken, iki (veya yine, daha fazla) kesinlikle aynı satır elde edilir ve fazlalıkları kaldırabilir, yalnızca bir.
4. Boş satırı kaldırma. Dönüşümler sırasında, serbest üye de dahil olmak üzere tüm öğelerin sıfır olduğu bir yerde bir dize elde edilirse, böyle bir dize sıfır olarak adlandırılabilir ve matristen atılabilir.
5. Belirli bir katsayı ile çarpılarak bir satırın elemanlarına diğerinin elemanlarının (ilgili sütunlarda) eklenmesi. En belirsiz ve en önemli dönüşüm. Üzerinde daha ayrıntılı olarak durmaya değer.

Bir faktörle çarpılan bir dize ekleme

Anlama kolaylığı için, bu süreci adım adım sökmeye değer. Matristen iki satır alınır:

11 a 12 ... 1n | b1

21 a 22 ... 2n | b2

İlkini ikinciye eklemeniz gerektiğini varsayalım, "-2" katsayısı ile çarpılır.

a" 21 \u003d 21 + -2 × 11

a" 22 \u003d 22 + -2 × 12

a" 2n \u003d bir 2n + -2 × bir 1n

Daha sonra matriste ikinci satır yenisiyle değiştirilir ve birincisi değişmeden kalır.

11 a 12 ... 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Çarpma faktörünün, iki dizenin eklenmesi sonucunda yeni dizenin öğelerinden birinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçilebileceğine dikkat edilmelidir. Bu nedenle, sistemde bir bilinmeyenin daha az olacağı bir denklem elde etmek mümkündür. Ve böyle iki denklem alırsanız, işlem tekrar yapılabilir ve zaten iki daha az bilinmeyen içeren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalinden daha düşük olan tüm satırlar için bir katsayıyı her sıfıra çevirdiğimizde, adımlar gibi, matrisin en altına inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebiliriz. Buna Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözme denir.

Genel olarak

Bir sistem olsun. m tane denklemi ve n tane bilinmeyen kökü var. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Ana matris, sistemin katsayılarından derlenir. Genişletilmiş matrise bir serbest üye sütunu eklenir ve kolaylık olması için bir çubukla ayrılır.

• matrisin ilk satırı k = (-a 21 / a 11) katsayısı ile çarpılır;
• matrisin ilk değiştirilmiş satırı ve ikinci satırı eklenir;
• ikinci satır yerine, önceki paragraftan yapılan toplamanın sonucu matrise eklenir;
• şimdi yeni ikinci satırdaki ilk katsayı 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'dır.

Şimdi aynı dönüşüm serisi gerçekleştirilir, yalnızca birinci ve üçüncü satırlar dahil edilir. Buna göre, algoritmanın her adımında, a 21 elemanı bir 31 ile değiştirilir. Sonra her şey 41 , ... a m1 için tekrarlanır. Sonuç, satırlardaki ilk elemanın sıfıra eşit olduğu bir matristir. Şimdi bir numaralı satırı unutup ikinci satırdan başlayarak aynı algoritmayı uygulamamız gerekiyor:

• katsayısı k \u003d (-a 32 / 22);
• ikinci değiştirilmiş satır "geçerli" satıra eklenir;
• eklemenin sonucu üçüncü, dördüncü vb. satırlarda değiştirilirken birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
• matrisin satırlarında, ilk iki eleman zaten sıfıra eşittir.

Algoritma, k = (-a m,m-1 /a mm) katsayısı görünene kadar tekrarlanmalıdır. Bu, algoritmanın son çalıştırılışının yalnızca alt denklem için olduğu anlamına gelir. Şimdi matris bir üçgen gibi görünüyor veya kademeli bir şekle sahip. Alt satırda a mn × x n = b m eşitliği bulunur. Katsayı ve serbest terim bilinir ve kök bunlar aracılığıyla ifade edilir: x n = b m /a mn. Elde edilen kök, x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1'i bulmak için üst sıraya yerleştirilir. Ve benzer şekilde devam eder: sonraki her satırda yeni bir kök vardır ve sistemin "tepesine" ulaştıktan sonra birçok çözüm bulabilirsiniz. Tek olacak.

Çözüm olmadığında

Matris satırlarından birinde serbest terim hariç tüm elemanlar sıfıra eşitse, bu satıra karşılık gelen denklem 0 = b gibi görünür. Çözümü yok. Ve böyle bir denklem sisteme dahil edildiğinden, tüm sistemin çözüm kümesi boştur, yani dejeneredir.

Sonsuz sayıda çözüm olduğunda

Verilen üçgen matriste, bir elemanlı - denklemin katsayısı ve bir - serbest elemanlı satır olmadığı ortaya çıkabilir. Yalnızca yeniden yazıldığında iki veya daha fazla değişkenli bir denklem gibi görünen dizeler vardır. Bu, sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir. Bu durumda cevap genel bir çözüm şeklinde verilebilir. Nasıl yapılır?

Matristeki tüm değişkenler temel ve serbest olarak ayrılmıştır. Temel - bunlar, kademeli matristeki satırların "kenarında" olanlardır. Gerisi ücretsizdir. Genel çözümde temel değişkenler serbest olanlar cinsinden yazılır.

Kolaylık sağlamak için, matris önce bir denklem sistemine yeniden yazılır. Daha sonra, tam olarak sadece bir temel değişkenin kaldığı sonuncusunda, bir tarafta kalır ve diğer her şey diğerine aktarılır. Bu, bir temel değişkenli her denklem için yapılır. Daha sonra kalan denklemlerde mümkünse temel değişken yerine onun için elde edilen ifade ikame edilir. Sonuç yine sadece bir temel değişken içeren bir ifade ise, oradan tekrar ifade edilir ve her bir temel değişken serbest değişkenli bir ifade olarak yazılana kadar bu böyle devam eder. Bu, SLAE'nin genel çözümüdür.

Ayrıca sistemin temel çözümünü de bulabilirsiniz - serbest değişkenlere herhangi bir değer verin ve ardından bu özel durum için temel değişkenlerin değerlerini hesaplayın. Sonsuz sayıda özel çözüm vardır.

Özel örneklerle çözüm

İşte denklem sistemi.

Kolaylık sağlamak için matrisini hemen oluşturmak daha iyidir

Gauss yöntemi ile çözülürken, dönüşümlerin sonunda ilk satıra karşılık gelen denklemin değişmeden kalacağı bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol üst öğesinin en küçük olması daha karlı olacaktır - o zaman işlemlerden sonra kalan satırların ilk öğeleri sıfıra dönecektir. Bu, derlenmiş matriste ikinciyi ilk satırın yerine koymanın avantajlı olacağı anlamına gelir.

ikinci satır: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d 22 + k × bir 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

üçüncü satır: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Şimdi kafa karıştırmamak için dönüşümlerin ara sonuçlarını içeren matrisi yazmak gerekiyor.

Böyle bir matrisin bazı işlemler yardımıyla algıya daha uygun hale getirilebileceği açıktır. Örneğin, her bir elemanı "-1" ile çarparak ikinci satırdaki tüm "eksileri" kaldırabilirsiniz.

Üçüncü satırdaki tüm öğelerin üçün katları olduğunu da belirtmekte fayda var. Ardından, her öğeyi "-1/3" ile çarparak dizeyi bu sayıya kadar azaltabilirsiniz (eksi - aynı zamanda negatif değerleri kaldırmak için).

Çok daha güzel görünüyor. Şimdi ilk satırı yalnız bırakmalı ve ikinci ve üçüncü ile çalışmalıyız. Görev, ikinci satırı üçüncü satıra eklemek, öyle bir faktörle çarpılır ki, a 32 öğesi sıfıra eşit olur.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 kesirler ve ancak o zaman, cevaplar alındığında, yuvarlayıp başka bir gösterim biçimine çevirmeye karar verin)

a" 32 = 32 + k × 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matris yeni değerlerle tekrar yazılır.

Gördüğünüz gibi, ortaya çıkan matris zaten kademeli bir forma sahip. Bu nedenle, sistemin Gauss yöntemiyle daha fazla dönüştürülmesi gerekli değildir. Burada yapılabilecek şey, üçüncü satırdan "-1/7" genel katsayısını çıkarmaktır.

Şimdi her şey güzel. Nokta küçük - matrisi tekrar bir denklem sistemi şeklinde yazın ve kökleri hesaplayın

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Şimdi köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket denir. Denklem (3) z değerini içerir:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmanızı sağlar:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Böyle bir sisteme eklem ve hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olmak deme hakkımız var. Cevap aşağıdaki formda yazılmıştır:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Belirsiz bir sistem örneği

Belirli bir sistemi Gauss yöntemiyle çözmenin varyantı analiz edildi, şimdi sistemin belirsiz olup olmadığını, yani bunun için sonsuz sayıda çözüm bulunabileceğini düşünmek gerekiyor.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Bilinmeyenlerin sayısı n = 5 olduğundan ve sistemin matrisinin sırası zaten bu sayıdan tam olarak daha az olduğundan, sistemin şekli zaten endişe vericidir, çünkü satır sayısı m = 4'tür, yani, kare determinantın en büyük mertebesi 4'tür. Bu, sonsuz sayıda çözüm olduğu ve genel formunun aranması gerektiği anlamına gelir. Lineer denklemler için Gauss yöntemi bunu yapmayı mümkün kılar.

İlk olarak, her zamanki gibi, artırılmış matris derlenir.

İkinci satır: katsayı k = (-a 21 / a 11) = -3. Üçüncü satırda ise ilk eleman dönüşümlerden önce olduğu için hiçbir şeye dokunmanıza gerek yok, olduğu gibi bırakmanız gerekiyor. Dördüncü satır: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarının her biri ile çarparak ve istenen satırlara ekleyerek aşağıdaki formda bir matris elde ederiz:

Gördüğünüz gibi ikinci, üçüncü ve dördüncü sıralar birbiriyle orantılı elemanlardan oluşuyor. İkinci ve dördüncü genellikle aynıdır, bu nedenle bunlardan biri hemen kaldırılabilir ve geri kalanı "-1" katsayısı ile çarpılır ve satır numarası 3 olur. Ve yine, iki özdeş satırdan birini bırakın.

Böyle bir matris ortaya çıktı. Sistem henüz yazılmadı, burada temel değişkenleri belirlemek gerekiyor - 11 \u003d 1 ve 22 \u003d 1 katsayılarında ve serbest - geri kalan her şey.

İkinci denklemin yalnızca bir temel değişkeni vardır - x 2 . Dolayısıyla, buradan, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 değişkenleri aracılığıyla yazılarak ifade edilebilir.

Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemin yerine koyarız.

Tek temel değişkenin x 1 olduğu bir denklem ortaya çıktı. Aynısını x 2 ile de yapalım.

İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişken cinsinden ifade edilir, şimdi cevabı genel bir biçimde yazabilirsiniz.

Ayrıca sistemin belirli çözümlerinden birini de belirtebilirsiniz. Bu gibi durumlarda, kural olarak, serbest değişkenler için değerler olarak sıfırlar seçilir. O zaman cevap şöyle olacaktır:

16, 23, 0, 0, 0.

Uyumsuz bir sistem örneği

Tutarsız denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözümü en hızlı olanıdır. Aşamalardan birinde çözümü olmayan bir denklem elde edilir edilmez sona erer. Yani oldukça uzun ve kasvetli olan köklerin hesaplanması aşaması ortadan kalkar. Aşağıdaki sistem kabul edilir:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi, matris derlenir:

Ve kademeli bir forma indirgenir:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

İlk dönüşümden sonra, üçüncü satır formun bir denklemini içerir.

çözümü olmayan. Bu nedenle sistem tutarsızdır ve cevap boş kümedir.

Yöntemin avantajları ve dezavantajları

SLAE'yi kağıt üzerinde bir kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede ele alınan yöntem en çekici görünüyor. Temel dönüşümlerde, bir determinantı veya karmaşık bir ters matrisi manuel olarak aramanız gerektiğinden, kafanızın karışması çok daha zordur. Bununla birlikte, örneğin elektronik tablolar gibi bu tür verilerle çalışmak için programlar kullanırsanız, bu tür programların zaten matrislerin ana parametrelerini hesaplamak için algoritmalar içerdiği ortaya çıkar - belirleyici, küçükler, ters vb. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve hata yapmayacağından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmak daha uygundur, çünkü uygulamaları determinantların ve ters matrislerin hesaplanmasıyla başlar ve biter.

Başvuru

Gauss çözümü bir algoritma olduğundan ve matris aslında iki boyutlu bir dizi olduğundan, programlamada kullanılabilir. Ancak makale kendisini "aptallar için" bir kılavuz olarak konumlandırdığından, yöntemi yerleştirmenin en kolay yerinin elektronik tablolar, örneğin Excel olduğu söylenmelidir. Yine, bir tabloya matris şeklinde girilen herhangi bir SLAE, Excel tarafından iki boyutlu bir dizi olarak kabul edilecektir. Ve onlarla işlemler için birçok güzel komut vardır: toplama (yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebilirsiniz!), Sayı ile çarpma, matris çarpımı (belirli kısıtlamalarla), ters ve transpoze matrisleri bulma ve en önemlisi , determinantın hesaplanması. Bu zaman alıcı görevin yerini tek bir komut alırsa, matrisin derecesini belirlemek ve dolayısıyla uyumluluğunu veya tutarsızlığını belirlemek çok daha hızlı olur.

Lineer denklem sistemlerini düşünmeye devam ediyoruz. Bu ders konuyla ilgili üçüncü derstir. Genel olarak bir lineer denklem sisteminin ne olduğu hakkında belirsiz bir fikriniz varsa, kendinizi bir çaydanlık gibi hissediyorsanız, bir sonraki sayfadaki temel bilgilerden başlamanızı öneririm, dersi incelemenizde fayda var.

Gauss yöntemi kolaydır! Neden? Niye? Ünlü Alman matematikçi Johann Carl Friedrich Gauss, yaşamı boyunca tüm zamanların en büyük matematikçisi, bir dahi ve hatta "Matematik Kralı" lakabıyla tanındı. Ve bildiğiniz gibi ustaca olan her şey basit! Bu arada, sadece enayiler değil, dahiler de paraya giriyor - Gauss'un portresi 10 Deutschmarks'lık bir banknotta (euro'nun piyasaya sürülmesinden önce) gösteriş yaptı ve Gauss hala Almanlara sıradan posta pullarından gizemli bir şekilde gülümsüyor.

Gauss yöntemi basittir, çünkü BEŞİNCİ SINIF ÖĞRENCİSİNİN bu konuda ustalaşması için YETERLİ BİLGİSİ YETERLİDİR. Toplayabilmeli ve çarpabilmeli! Bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yönteminin öğretmenler tarafından okul matematik seçmeli derslerinde sıklıkla düşünülmesi tesadüf değildir. Bu bir paradokstur, ancak Gauss yöntemi öğrenciler için en büyük zorluklara neden olur. Şaşırtıcı bir şey yok - hepsi metodoloji ile ilgili ve yöntemin algoritması hakkında erişilebilir bir biçimde anlatmaya çalışacağım.

İlk olarak, lineer denklem sistemleri hakkındaki bilgileri biraz sistematize ediyoruz. Bir lineer denklem sistemi şunları yapabilir:

1) Benzersiz bir çözüme sahip olun. 2) Sonsuz sayıda çözüme sahip olun. 3) Çözüm yok (olmak uyumsuz).

Gauss yöntemi, bir çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araçtır. hiç lineer denklem sistemleri. hatırladığımız gibi Cramer kuralı ve matris yöntemi sistemin sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması için bir yöntem her neyse bizi cevaba götür! Bu dersimizde 1 numaralı durum için (sistemin tek çözümü) Gauss yöntemini tekrar ele alacağız, 2-3 numaralı noktalardaki durumlar için bir makale ayrılmıştır. Yöntem algoritmasının kendisinin her üç durumda da aynı şekilde çalıştığını not ediyorum.

Dersten en basit sisteme dönelim Bir lineer denklem sistemi nasıl çözülür? ve Gauss yöntemini kullanarak çözün.

İlk adım yazmaktır genişletilmiş matris sistemi: . Katsayıların hangi prensibe göre kaydedildiğini herkesin görebileceğini düşünüyorum. Matrisin içindeki dikey çizgi herhangi bir matematiksel anlam taşımamaktadır - sadece tasarım kolaylığı için üstü çizili bir çizgidir.

Referans : hatırlamanı tavsiye ederim şartlar lineer Cebir. Sistem Matrisi sadece bilinmeyenler için katsayılardan oluşan bir matristir, bu örnekte sistemin matrisi: . Genişletilmiş Sistem Matrisi sistemin aynı matrisi artı bu durumda bir serbest üye sütunu: . Matrislerden herhangi biri, kısaca kısalık için bir matris olarak adlandırılabilir.

Sistemin genişletilmiş matrisi yazıldıktan sonra, onunla da adlandırılan bazı eylemlerin gerçekleştirilmesi gerekir. temel dönüşümler.

Aşağıdaki temel dönüşümler vardır:

1) Teller matrisler Yapabilmek yeniden düzenlemek yer. Örneğin, incelenen matriste birinci ve ikinci satırları güvenle yeniden düzenleyebilirsiniz:

2) Matriste orantılı (özel durum olarak - özdeş) satırlar varsa (veya ortaya çıktıysa), o zaman şöyle olur: silmek matristen, biri hariç tüm bu satırlar. Örneğin, matrisi düşünün . Bu matriste, son üç satır orantılıdır, bu nedenle bunlardan sadece birini bırakmak yeterlidir: .

3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satırı belirirse, o zaman aşağıdakileri de takip eder: silmek. Elbette çizmeyeceğim, sıfır çizgisi, içinde bulunduğu çizgidir. sadece sıfırlar.

4) Matrisin satırı şu şekilde olabilir: çarpmak (bölmek) herhangi bir sayı için sıfır olmayan. Örneğin, matrisi düşünün. Burada ilk satırı -3'e bölmeniz ve ikinci satırı 2 ile çarpmanız önerilir. . Bu eylem, matrisin daha sonraki dönüşümlerini basitleştirdiği için çok kullanışlıdır.

5) Bu dönüşüm en çok zorluğa neden olur, ancak aslında karmaşık bir şey de yoktur. Matrisin satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayı ile çarpılan başka bir dize ekleyin, sıfırdan farklı. Matrisimizi pratik bir örnekten düşünün: . İlk önce, dönüşümü çok ayrıntılı olarak anlatacağım. İlk satırı -2 ile çarpın: , ve ikinci satıra -2 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz: . Şimdi ilk satır "geri" -2: ile bölünebilir. Gördüğünüz gibi, EKLENEN satır LI – değişmedi. Her zaman satır değiştirilir, HANGİ EKLENDİ UT.

Pratikte, elbette, bu kadar ayrıntılı boyamazlar, ancak daha kısa yazarlar: Bir kez daha: ikinci satıra -2 ile çarpılan ilk satırı ekledi. Satır genellikle sözlü olarak veya taslakta çarpılırken, hesaplamaların zihinsel seyri şuna benzer:

“Matrisi yeniden yazıyorum ve ilk satırı yeniden yazıyorum: »

Önce ilk sütun. Aşağıda sıfır almam gerekiyor. Bu yüzden yukarıdaki birimi -2: ile çarpıyorum ve birinciyi ikinci satıra ekliyorum: 2 + (-2) = 0. İkinci satıra sonucu yazıyorum: »

“Şimdi ikinci sütun. -1 kere -2 üzeri: . İlk satırı ikinci satıra ekliyorum: 1 + 2 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

"Ve üçüncü sütun. -5 katın üzerinde -2: . İlk satırı ikinci satıra ekliyorum: -7 + 10 = 3. İkinci satıra sonucu yazıyorum: »

Lütfen bu örnek üzerinde dikkatlice düşünün ve sıralı hesaplama algoritmasını anlayın, eğer bunu anlarsanız, Gauss yöntemi pratik olarak "cebinizdedir". Ama tabii ki hala bu dönüşüm üzerinde çalışıyoruz.

Temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez

! DİKKAT: kabul edilen manipülasyonlar kullanılamaz, matrislerin "kendi başlarına" verildiği bir görev teklif edilirse. Örneğin, "klasik" ile matrisler hiçbir durumda matrislerin içindeki bir şeyi yeniden düzenlememelisiniz! Sistemimize dönelim. Adeta parçalara ayrıldı.

Sistemin artırılmış matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu şuna indirgeyelim: kademeli görünüm:

(1) İlk satır, ikinci satıra -2 ile çarpılarak eklendi. Ve yine: neden ilk satırı -2 ile çarpıyoruz? Altta sıfır almak için, bu ikinci satırdaki bir değişkenden kurtulmak anlamına gelir.

(2) İkinci satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin amacı – matrisi adım formuna dönüştürün: . Görevin tasarımında, basit bir kalemle doğrudan “merdiveni” çizerler ve ayrıca “basamaklarda” bulunan sayıları daire içine alırlar. "Kademeli görüş" teriminin kendisi tamamen teorik değildir; bilimsel ve eğitim literatüründe genellikle denir. yamuk görünümü veya üçgen görünüm.

Elementer dönüşümler sonucunda elde ettiğimiz eşdeğer orijinal denklem sistemi:

Şimdi sistemin ters yönde "bükülmemiş" olması gerekiyor - aşağıdan yukarıya, bu sürece denir ters Gauss yöntemi.

Alt denklemde, zaten bitmiş sonuca sahibiz: .

Sistemin ilk denklemini düşünün ve zaten bilinen “y” değerini onun yerine değiştirin:

Üç bilinmeyenli üç lineer denklem sistemini çözmek için Gauss yönteminin gerekli olduğu en yaygın durumu ele alalım.

örnek 1

Gauss yöntemini kullanarak denklem sistemini çözün:

Sistemin artırılmış matrisini yazalım:

Şimdi çözüm sürecinde varacağımız sonucu hemen çizeceğim: Ve tekrar ediyorum, amacımız temel dönüşümleri kullanarak matrisi basamaklı bir forma getirmek. Eyleme nereden başlamalı?

İlk önce, sol üstteki sayıya bakın: Neredeyse her zaman burada olmalı birim. Genel olarak konuşursak, -1 (ve bazen diğer sayılar) da uygundur, ancak bir şekilde geleneksel olarak bir birimin genellikle oraya yerleştirildiği görülmüştür. Bir birim nasıl organize edilir? İlk sütuna bakıyoruz - bitmiş bir birimimiz var! Birinci dönüşüm: birinci ve üçüncü satırları değiştirin:

Şimdi ilk satır, çözümün sonuna kadar değişmeden kalacak. Şimdi iyi.

Sol üstteki birim düzenlenmiştir. Şimdi bu yerlerde sıfır almanız gerekiyor:

Sıfırlar sadece "zor" bir dönüşüm yardımıyla elde edilir. İlk önce ikinci satırla ilgileniyoruz (2, -1, 3, 13). İlk konumda sıfır almak için ne yapılması gerekiyor? İhtiyaç ikinci satıra -2 ile çarpılan ilk satırı ekleyin. Zihinsel olarak veya bir taslakta, ilk satırı -2: (-2, -4, 2, -18) ile çarpıyoruz. Ve sürekli olarak (yine zihinsel olarak veya bir taslakta) ekleme yapıyoruz, ikinci satıra, zaten -2 ile çarpılmış olan ilk satırı ekliyoruz:

Sonuç ikinci satıra yazılır:

Benzer şekilde, üçüncü satırla (3, 2, -5, -1) ilgileniyoruz. İlk konumda sıfır almak için ihtiyacınız olan üçüncü satıra -3 ile çarpılan ilk satırı ekleyin. Zihinsel olarak veya bir taslakta, ilk satırı -3: (-3, -6, 3, -27) ile çarpıyoruz. Ve üçüncü satıra -3 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz:

Sonuç üçüncü satırda yazılır:

Uygulamada, bu eylemler genellikle sözlü olarak gerçekleştirilir ve tek adımda yazılır:

Her şeyi aynı anda ve aynı anda saymaya gerek yok. Hesaplamaların sırası ve sonuçların "eklenmesi" tutarlı ve genellikle şöyledir: önce ilk satırı yeniden yazarız ve kendimizi sessizce üfleriz - TUTARLI OLARAK ve DİKKATLİCE:
Ve yukarıda hesaplamaların zihinsel seyrini zaten inceledim.

Bu örnekte bunu yapmak kolaydır, ikinci satırı -5'e böldük (çünkü oradaki tüm sayılar 5'e kalansız bölünebilir). Aynı zamanda üçüncü satırı -2'ye böleriz, çünkü sayı ne kadar küçükse çözüm o kadar basit olur:

Temel dönüşümlerin son aşamasında, burada bir sıfır daha elde edilmelidir:

Bunun için üçüncü satıra ikinci satırı ekliyoruz, -2 ile çarpıyoruz:
Bu eylemi kendiniz çözümlemeye çalışın - ikinci satırı zihinsel olarak -2 ile çarpın ve toplama işlemini gerçekleştirin.

Yapılan son işlem sonucun saç modelidir, üçüncü satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, eşdeğer bir başlangıç ​​doğrusal denklem sistemi elde edildi: Serin.

Şimdi Gauss yönteminin ters yönü devreye giriyor. Denklemler aşağıdan yukarıya "gevşetilir".

Üçüncü denklemde, zaten bitmiş sonuca sahibiz:

İkinci denkleme bakalım: . "z"nin anlamı zaten biliniyor, dolayısıyla:

Ve son olarak, ilk denklem: . "Y" ve "Z" biliniyor, mesele küçük:

Cevap:

Tekrar tekrar belirtildiği gibi, herhangi bir denklem sistemi için bulunan çözümü kontrol etmek mümkün ve gereklidir, neyse ki bu zor ve hızlı değildir.

Örnek 2

Bu, kendi kendine çözme örneği, bitirme örneği ve dersin sonunda bir cevaptır.

Unutulmamalıdır ki, sizin hareket tarzı benim hareket tarzımla örtüşmeyebilir, ve bu Gauss yönteminin bir özelliğidir. Ama cevaplar aynı olmalı!

Örnek 3

Gauss yöntemini kullanarak bir lineer denklem sistemini çözün

Sol üst "adım" a bakıyoruz. Orada bir birimimiz olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç kimse yok, bu nedenle satırları yeniden düzenleyerek hiçbir şey çözülemez. Bu gibi durumlarda, birim bir temel dönüşüm kullanılarak düzenlenmelidir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu yaptım: (1) İlk satıra, ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz.. Yani ikinci satırı zihinsel olarak -1 ile çarparak birinci ve ikinci satırların toplamasını yaptık, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte "eksi bir", bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyenler ek bir hareket yapabilir: ilk satırı -1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

(2) 5 ile çarpılan birinci sıra ikinci sıraya, 3 ile çarpılan ilk sıra üçüncü sıraya eklendi.

(3) İlk satır -1 ile çarpıldı, prensipte bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adımda istediğimiz birime kavuştuk.

(4) 2 ile çarpılan ikinci satır, üçüncü satıra eklendi.

(5) Üçüncü sıra 3'e bölündü.

Bir hesaplama hatasını (daha az sıklıkla bir yazım hatası) gösteren kötü bir işaret, “kötü” bir alt satırdır. Yani, aşağıdaki gibi bir şeyimiz varsa ve buna göre, , o zaman yüksek bir olasılıkla, temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığı iddia edilebilir.

Örneklerin tasarımında ters hareketi yüklüyoruz, sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmıyor ve denklemler “doğrudan verilen matristen alınıyor”. Ters hareket, size hatırlatırım, aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Evet, işte bir hediye:

Cevap: .

Örnek 4

Gauss yöntemini kullanarak bir lineer denklem sistemini çözün

Bu bağımsız bir çözüm için bir örnektir, biraz daha karmaşıktır. Birinin kafası karışırsa sorun değil. Ders sonunda tam çözüm ve tasarım örneği. Sizin çözümünüz benimkinden farklı olabilir.

Son bölümde Gauss algoritmasının bazı özelliklerini ele alıyoruz. İlk özellik, bazen sistemin denklemlerinde bazı değişkenlerin eksik olmasıdır, örneğin: Sistemin artırılmış matrisi nasıl doğru yazılır? Derste bu an hakkında zaten konuştum. Cramer kuralı. matris yöntemi. Sistemin genişletilmiş matrisinde eksik değişkenlerin yerine sıfırları koyarız: Bu arada, bu oldukça kolay bir örnek, çünkü ilk sütunda zaten bir sıfır var ve gerçekleştirilecek daha az temel dönüşüm var.

İkinci özellik şudur. Ele alınan tüm örneklerde, “adımlara” -1 veya +1 yerleştirdik. Başka numaralar olabilir mi? Bazı durumlarda yapabilirler. Sistemi düşünün: .

Burada sol üst "adım" da bir ikilimiz var. Ancak, ilk sütundaki tüm sayıların 2'ye kalansız bölünebildiğini ve diğer iki ve altının da bölünebildiğini fark ettik. Ve sol üstteki ikili bize çok yakışacak! İlk adımda, aşağıdaki dönüşümleri yapmanız gerekir: ilk satırı -1 ile çarpıp ikinci satıra ekleyin; üçüncü satıra -3 ile çarpılan ilk satırı ekleyin. Böylece ilk sütunda istediğimiz sıfırları alacağız.

Veya başka bir varsayımsal örnek: . Burada ikinci basamaktaki üçlü de bize uyar, çünkü 12 (sıfır almamız gereken yer) 3'e kalansız bölünebilir. Aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek gerekir: üçüncü satıra, ikinci satırı -4 ile çarparak ekleyin, bunun sonucunda ihtiyacımız olan sıfır elde edilir.

Gauss yöntemi evrenseldir, ancak bir özelliği vardır. Sistemleri diğer yöntemlerle (Cramer yöntemi, matris yöntemi) tam anlamıyla ilk kez nasıl çözeceğinizi güvenle öğrenebilirsiniz - çok katı bir algoritma var. Ancak Gauss yöntemine güvenmek için “elinizi doldurun” ve en az 5-10 on sistem çözmelisiniz. Bu nedenle, ilk başta karışıklık, hesaplamalarda hatalar olabilir ve bunda olağandışı veya trajik bir şey yoktur.

Pencerenin dışında yağmurlu sonbahar havası .... Bu nedenle, herkes için bağımsız bir çözüm için daha karmaşık bir örnek:

Örnek 5

Gauss yöntemini kullanarak dört bilinmeyenli 4 lineer denklem sistemini çözün.

Pratikte böyle bir görev çok nadir değildir. Bu sayfayı ayrıntılı olarak inceleyen bir çaydanlığın bile böyle bir sistemi sezgisel olarak çözme algoritmasını anladığını düşünüyorum. Temelde aynı - sadece daha fazla eylem.

Sistemin çözümü olmadığı (tutarsız) veya sonsuz sayıda çözümü olduğu durumlar derste ele alınır. Ortak bir çözüme sahip uyumsuz sistemler ve sistemler. Orada Gauss yönteminin dikkate alınan algoritmasını düzeltebilirsiniz.

Başarılar dilerim!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu kademeli bir forma getirelim.
Gerçekleştirilen temel dönüşümler: (1) İlk satır, ikinci satıra -2 ile çarpılarak eklendi. İlk satır, üçüncü satıra eklendi, -1 ile çarpıldı. Dikkat! Burada ilk satırı üçüncü satırdan çıkarmak cazip gelebilir, çıkarmayı şiddetle tavsiye etmiyorum - hata riski büyük ölçüde artar. Biz sadece katlanırız! (2) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). İkinci ve üçüncü satırlar değiştirildi. Not “adımlarda” sadece birinden değil, aynı zamanda daha da uygun olan -1'den de memnunuz. (3) Üçüncü satıra, ikinci satırı 5 ile çarparak ekleyin. (4) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). Üçüncü satır 14'e bölündü.

Ters hareket:

Cevap : .

Örnek 4: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu bir adım formuna getiriyoruz:

Gerçekleştirilen dönüşümler: (1) İkinci satır ilk satıra eklendi. Böylece sol üst “adım” üzerinde istenilen birim düzenlenir. (2) İlk satır 7 ile çarpılan ikinci satıra, 6 ile çarpılan ilk satır üçüncü satıra eklendi.

İkinci "adım" ile her şey daha kötü , bunun için "adaylar" 17 ve 23 sayılarıdır ve bir veya -1'e ihtiyacımız var. (3) ve (4) numaralı dönüşümler, istenen birimin elde edilmesine yönelik olacaktır. (3) İkinci satır, üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi. (4) -3 ile çarpılan üçüncü satır, ikinci satıra eklendi. İkinci adımda gerekli olan şey alınır . (5) Üçüncü satıra, ikinciyi 6 ile çarparak ekledik. (6) İkinci sıra -1 ile çarpıldı, üçüncü sıra -83 ile bölündü.

Ters hareket:

Cevap :

Örnek 5: Çözüm : Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getirelim:

Gerçekleştirilen dönüşümler: (1) Birinci ve ikinci satırlar değiştirildi. (2) İlk satır, ikinci satıra -2 ile çarpılarak eklendi. İlk satır, üçüncü satıra eklendi, -2 ile çarpıldı. İlk satır dördüncü satıra eklendi, -3 ile çarpıldı. (3) 4 ile çarpılan ikinci satır üçüncü satıra, -1 ile çarpılan ikinci satır dördüncü satıra eklendi. (4) İkinci satırın işareti değiştirildi. Dördüncü satır 3'e bölündü ve üçüncü satır yerine yerleştirildi. (5) Üçüncü satır, dördüncü satıra -5 ile çarpılarak eklendi.

Ters hareket:

Cevap :

Çözülmesi gereken bir lineer cebirsel denklem sistemi verilsin (sistemin her denklemini bir eşitliğe dönüştüren bilinmeyenlerin хi değerlerini bulun).

Bir lineer cebirsel denklem sisteminin şunları yapabileceğini biliyoruz:

1) Çözüm yok (olmak uyumsuz).
2) Sonsuz sayıda çözüme sahip olun.
3) Benzersiz bir çözüme sahip olun.

Hatırladığımız gibi, Cramer kuralı ve matris yöntemi, sistemin sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Gauss yöntemi – Herhangi bir lineer denklem sistemine çözüm bulmak için en güçlü ve çok yönlü araç, hangisi her durumda bizi cevaba götür! Her üç durumda da yöntemin algoritması aynı şekilde çalışır. Cramer ve matris yöntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss yönteminin uygulanması yalnızca aritmetik işlemler bilgisini gerektirir, bu da onu ilkokul öğrencileri için bile erişilebilir kılar.

Genişletilmiş matris dönüşümleri ( bu sistemin matrisidir - yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan bir matris ve bir serbest terimler sütunu) Gauss yönteminde lineer cebirsel denklem sistemleri:

1) İle birlikte troky matrisler Yapabilmek yeniden düzenlemek yer.

2) matriste orantılı (özel durum olarak - özdeş) satırlar varsa (veya varsa), o zaman şöyle olur: silmek matristen, biri hariç tüm bu satırlar.

3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satır belirirse, o zaman aşağıdakileri de takip eder: silmek.

4) matrisin satırı çarpmak (bölmek) sıfır dışında herhangi bir sayıya

5) matrisin satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayı ile çarpılan başka bir dize ekleyin, sıfırdan farklı.

Gauss yönteminde, temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez.

Gauss yöntemi iki aşamadan oluşur:

1. "Doğrudan hareket" - temel dönüşümleri kullanarak, doğrusal cebirsel denklemler sisteminin genişletilmiş matrisini "üçgen" kademeli bir forma getirin: ana köşegenin altında bulunan genişletilmiş matrisin öğeleri sıfıra eşittir (yukarıdan aşağıya hareket ). Örneğin, bu tür için:

Bunu yapmak için aşağıdaki adımları uygulayın:

1) Bir lineer cebirsel denklem sisteminin ilk denklemini ele alalım ve x 1'deki katsayı K'ye eşittir. İkinci, üçüncü, vb. denklemleri şu şekilde dönüştürürüz: her denklemi (serbest terimler dahil bilinmeyenler için katsayılar) her denklemde bulunan bilinmeyen x 1 katsayısına böler ve K ile çarparız. Bundan sonra, ilkini ikinci denklemden çıkarırız ( bilinmeyenler ve serbest terimler için katsayılar). İkinci denklemde x 1'de 0 katsayısını elde ederiz. Üçüncü dönüştürülmüş denklemden birinci denklemi çıkarırız, böylece x 1 bilinmeyen ilk denklem dışındaki tüm denklemlerin katsayısı 0 olmaz.

2) Bir sonraki denkleme geçin. Bu ikinci denklem olsun ve x 2'deki katsayı M'ye eşittir. Tüm "alt" denklemlerle yukarıda açıklandığı gibi ilerleyeceğiz. Böylece "altında" bilinmeyen tüm denklemlerde x 2 sıfır olacaktır.

3) Bir sonraki denkleme geçiyoruz ve son bir bilinmeyen ve dönüştürülmüş serbest terim kalana kadar böyle devam ediyoruz.

1. Gauss yönteminin "ters hareketi", bir lineer cebirsel denklem sistemine ("aşağıdan yukarıya" hareket) bir çözüm elde etmektir. Son "alt" denklemden bir ilk çözüm elde ederiz - bilinmeyen x n. Bunu yapmak için, A * x n \u003d B temel denklemini çözeriz. Yukarıdaki örnekte, x 3 \u003d 4. Bulunan değeri bir sonraki "üst" denklemde değiştirir ve bir sonraki bilinmeyene göre çözeriz. Örneğin, x 2 - 4 \u003d 1, yani. x 2 \u003d 5. Ve böylece tüm bilinmeyenleri bulana kadar.

Örnek.

Bazı yazarların önerdiği gibi, Gauss yöntemini kullanarak lineer denklem sistemini çözüyoruz:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu bir adım formuna getiriyoruz:

Sol üst "adım" a bakıyoruz. Orada bir birimimiz olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç kimse yok, bu nedenle satırları yeniden düzenleyerek hiçbir şey çözülemez. Bu gibi durumlarda, birim bir temel dönüşüm kullanılarak düzenlenmelidir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu şöyle yapalım:
1 adım . İlk satıra, ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak -1 ile çarparak birinci ve ikinci satırların toplamasını yaptık, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte "eksi bir", bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyenler ek bir işlem yapabilir: ilk satırı -1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

2 adım . 5 ile çarpılan ilk satır ikinci satıra, 3 ile çarpılan ilk satır üçüncü satıra eklendi.

3 adım . İlk satır -1 ile çarpıldı, prensipte bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adımda istediğimiz birime kavuştuk.

4 adım . Üçüncü satıra, ikinci satırı 2 ile çarparak ekleyin.

5 adım . Üçüncü satır 3'e bölünür.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu gösteren bir işaret (daha az sıklıkla bir yazım hatası) “kötü” bir alt satırdır. Yani, aşağıda (0 0 11 | 23) ve buna göre 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 gibi bir şey varsa, o zaman yüksek bir olasılıkla ilköğretimde bir hata yapıldığını söyleyebiliriz. dönüşümler.

Ters hareketi yapıyoruz, örneklerin tasarımında sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmaz ve denklemler “doğrudan verilen matristen alınır”. Ters hareket, size hatırlatırım, "aşağıdan yukarıya" çalışır. Bu örnekte, hediye ortaya çıktı:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, dolayısıyla x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Cevap:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Aynı sistemi önerilen algoritmayı kullanarak çözelim. alırız

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

İkinci denklemi 5'e ve üçüncü denklemi 3'e bölün.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

İkinci ve üçüncü denklemleri 4 ile çarpın, şunu elde ederiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Birinci denklemi ikinci ve üçüncü denklemlerden çıkarın, elimizde:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Üçüncü denklemi 0,64'e bölün:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Üçüncü denklemi 0,4 ile çarpın

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

İkinci denklemi üçüncü denklemden çıkarın, “adımlı” artırılmış matrisi elde ederiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Böylece, hesaplama sürecinde bir hata biriktiğinden, x 3 \u003d 0.96 veya yaklaşık 1 elde ederiz.

x 2 \u003d 3 ve x 1 \u003d -1.

Bu şekilde çözerek hesaplamalarda asla kafanız karışmaz ve hesaplama hatalarına rağmen sonuca ulaşırsınız.

Bu lineer cebirsel denklem sistemini çözme yöntemi kolayca programlanabilir ve bilinmeyenler için katsayıların belirli özelliklerini hesaba katmaz, çünkü pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tamsayı olmayan katsayılarla uğraşmak gerekir.

Başarılar dilerim! Sınıfta görüşürüz! Özel öğretmen.

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Bu makalede, yöntem doğrusal denklem sistemlerini (SLAE) çözmenin bir yolu olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani genel bir çözüm algoritması yazmanıza ve ardından oradaki belirli örneklerden değerleri değiştirmenize izin verir. Matris yönteminin veya Cramer formüllerinin aksine, Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla da çalışabilirsiniz. Ya da hiç sahip değiller.

Gauss'un anlamı nedir?

İlk önce denklem sistemimizi yazmanız gerekiyor Bu şuna benziyor. Sistem alınır:

Katsayılar bir tablo şeklinde ve sağda ayrı bir sütunda ücretsiz üyeler şeklinde yazılır. Kolaylık sağlamak için serbest üyeli sütun ayrılır.Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.

Ayrıca, katsayılı ana matris, üst üçgen şekle indirgenmelidir. Sistemi Gauss yöntemiyle çözmenin ana noktası budur. Basitçe söylemek gerekirse, belirli manipülasyonlardan sonra matris şöyle görünmelidir, böylece sol alt kısmında yalnızca sıfırlar bulunur:

Ardından, yeni matrisi tekrar bir denklem sistemi olarak yazarsanız, son satırın zaten köklerden birinin değerini içerdiğini ve daha sonra yukarıdaki denklemde ikame edildiğini, başka bir kökün bulunduğunu ve bu şekilde devam ettiğini fark edeceksiniz.

Bu, en genel terimlerle Gauss yöntemiyle çözümün bir açıklamasıdır. Ve aniden sistem bir çözüme sahip olmazsa ne olur? Yoksa sonsuz sayıda var mı? Bu ve daha pek çok soruyu cevaplamak için Gauss yöntemiyle çözümde kullanılan tüm unsurları ayrı ayrı ele almak gerekir.

Matrisler, özellikleri

Matriste gizli bir anlam yoktur. Daha sonraki işlemler için verileri kaydetmenin uygun bir yoludur. Okul çocukları bile onlardan korkmamalı.

Matris her zaman dikdörtgendir, çünkü daha uygundur. Her şeyin üçgen bir matris oluşturmaya indirgendiği Gauss yönteminde bile, girişte, sayıların olmadığı yerde yalnızca sıfırlarla birlikte bir dikdörtgen görünür. Sıfırlar atlanabilir, ancak bunlar ima edilir.

Matrisin bir boyutu vardır. "Genişliği" satır sayısıdır (m), "uzunluğu" sütun sayısıdır (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (belirlemeleri için genellikle büyük Latin harfleri kullanılır) A m×n olarak gösterilecektir. m=n ise, bu matris karedir ve m=n onun sırasıdır. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı satır ve sütun sayısı ile gösterilebilir: a xy ; x - satır numarası, değişiklikler, y - sütun numarası, değişiklikler.

B, çözümün ana noktası değildir. Prensip olarak, tüm işlemler doğrudan denklemlerin kendileriyle gerçekleştirilebilir, ancak gösterim çok daha hantal olacak ve içinde kafa karıştırmak çok daha kolay olacaktır.

determinant

Matrisin de bir determinantı vardır. Bu çok önemli bir özellik. Şimdi anlamını bulmak buna değmez, basitçe nasıl hesaplandığını gösterebilir ve ardından matrisin hangi özelliklerini belirlediğini söyleyebilirsiniz. Determinantı bulmanın en kolay yolu köşegenlerden geçer. Matriste hayali köşegenler çizilir; her birinin üzerinde bulunan elemanlar çarpılır ve daha sonra ortaya çıkan ürünler eklenir: sağa eğimli köşegenler - "artı" işaretli, sola eğimli - "eksi" işaretli.

Determinantın yalnızca bir kare matris için hesaplanabileceğini belirtmek son derece önemlidir. Dikdörtgen bir matris için şunları yapabilirsiniz: satır sayısı ve sütun sayısından (k olsun) en küçüğünü seçin ve ardından matriste k sütunu ve k satırı rasgele işaretleyin. Seçilen sütun ve satırların kesişim noktasında bulunan elemanlar yeni bir kare matris oluşturacaktır. Böyle bir matrisin determinantı sıfırdan farklı bir sayı ise, orijinal dikdörtgen matrisin temel minörü olarak adlandırılır.

Gauss yöntemiyle denklem sisteminin çözümüne geçmeden önce determinantı hesaplamaktan zarar gelmez. Sıfır olduğu ortaya çıkarsa, hemen matrisin sonsuz sayıda çözümü olduğunu veya hiç olmadığını söyleyebiliriz. Böyle üzücü bir durumda, daha ileri gitmeniz ve matrisin sıralamasını öğrenmeniz gerekir.

Sistem sınıflandırması

Matrisin rankı diye bir şey var. Bu, determinantının sıfırdan farklı olan maksimum mertebesidir (taban minörünü hatırlarsak, bir matrisin rankının minör temelin mertebesi olduğunu söyleyebiliriz).

Rütbe ile işlerin nasıl olduğuna göre, SLAE ayrılabilir:

• Bağlantı. saat ortak sistemlerin, ana matrisin sırası (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş olanın sırası ile (bir serbest üye sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir tane olması gerekmez, bu nedenle ortak sistemler ayrıca aşağıdakilere ayrılır:
• - belirli- benzersiz bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde, matrisin rankı ve bilinmeyenlerin sayısı (veya aynı şey olan sütunların sayısı) eşittir;
• - belirsiz - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemler için matrislerin sırası, bilinmeyenlerin sayısından daha azdır.
• Uyumsuz. saat bu tür sistemlerde, ana ve genişletilmiş matrislerin sıraları çakışmaz. Uyumsuz sistemlerin çözümü yoktur.

Gauss yöntemi, ya sistemin tutarsızlığının açık bir kanıtını (büyük matrislerin belirleyicilerini hesaplamadan) ya da çözüm sırasında sonsuz sayıda çözümü olan bir sistem için genel bir çözümü elde etmeye izin vermesi bakımından iyidir.

Temel dönüşümler

Doğrudan sistemin çözümüne geçmeden önce, onu daha az hantal ve hesaplamalar için daha uygun hale getirmek mümkündür. Bu, temel dönüşümler yoluyla elde edilir - öyle ki bunların uygulanması nihai cevabı hiçbir şekilde değiştirmez. Yukarıdaki temel dönüşümlerden bazılarının yalnızca kaynağı tam olarak SLAE olan matrisler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. İşte bu dönüşümlerin bir listesi:

1. Dize permütasyonu. Sistem kaydındaki denklemlerin sırasını değiştirirsek, bunun çözümü hiçbir şekilde etkilemeyeceği açıktır. Sonuç olarak, elbette, serbest üyeler sütununu unutmadan, bu sistemin matrisindeki satırları değiştirmek de mümkündür.
2. Bir dizenin tüm öğelerini bir faktörle çarpma. Çok kullanışlı! Bununla, matristeki büyük sayıları azaltabilir veya sıfırları kaldırabilirsiniz. Çözüm seti, her zamanki gibi değişmeyecek ve daha fazla işlem yapmak daha uygun hale gelecektir. Ana şey, katsayının sıfıra eşit olmamasıdır.
3. Orantılı katsayılı satırları silin. Bu kısmen önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Matristeki iki veya daha fazla satırın orantılı katsayıları varsa, o zaman satırlardan birini orantı katsayısı ile çarparken / bölerken, iki (veya yine, daha fazla) kesinlikle aynı satır elde edilir ve fazlalıkları kaldırabilir, yalnızca bir.
4. Boş satırı kaldırma. Dönüşümler sırasında, serbest üye de dahil olmak üzere tüm öğelerin sıfır olduğu bir yerde bir dize elde edilirse, böyle bir dize sıfır olarak adlandırılabilir ve matristen atılabilir.
5. Belirli bir katsayı ile çarpılarak bir satırın elemanlarına diğerinin elemanlarının (ilgili sütunlarda) eklenmesi. En belirsiz ve en önemli dönüşüm. Üzerinde daha ayrıntılı olarak durmaya değer.

Bir faktörle çarpılan bir dize ekleme

Anlama kolaylığı için, bu süreci adım adım sökmeye değer. Matristen iki satır alınır:

11 a 12 ... 1n | b1

21 a 22 ... 2n | b2

İlkini ikinciye eklemeniz gerektiğini varsayalım, "-2" katsayısı ile çarpılır.

a" 21 \u003d 21 + -2 × 11

a" 22 \u003d 22 + -2 × 12

a" 2n \u003d bir 2n + -2 × bir 1n

Daha sonra matriste ikinci satır yenisiyle değiştirilir ve birincisi değişmeden kalır.

11 a 12 ... 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Çarpma faktörünün, iki dizenin eklenmesi sonucunda yeni dizenin öğelerinden birinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçilebileceğine dikkat edilmelidir. Bu nedenle, sistemde bir bilinmeyenin daha az olacağı bir denklem elde etmek mümkündür. Ve böyle iki denklem alırsanız, işlem tekrar yapılabilir ve zaten iki daha az bilinmeyen içeren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalinden daha düşük olan tüm satırlar için bir katsayıyı her sıfıra çevirdiğimizde, adımlar gibi, matrisin en altına inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebiliriz. Buna Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözme denir.

Genel olarak

Bir sistem olsun. m tane denklemi ve n tane bilinmeyen kökü var. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Ana matris, sistemin katsayılarından derlenir. Genişletilmiş matrise bir serbest üye sütunu eklenir ve kolaylık olması için bir çubukla ayrılır.

• matrisin ilk satırı k = (-a 21 / a 11) katsayısı ile çarpılır;
• matrisin ilk değiştirilmiş satırı ve ikinci satırı eklenir;
• ikinci satır yerine, önceki paragraftan yapılan toplamanın sonucu matrise eklenir;
• şimdi yeni ikinci satırdaki ilk katsayı 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'dır.

Şimdi aynı dönüşüm serisi gerçekleştirilir, yalnızca birinci ve üçüncü satırlar dahil edilir. Buna göre, algoritmanın her adımında, a 21 elemanı bir 31 ile değiştirilir. Sonra her şey 41 , ... a m1 için tekrarlanır. Sonuç, satırlardaki ilk elemanın sıfıra eşit olduğu bir matristir. Şimdi bir numaralı satırı unutup ikinci satırdan başlayarak aynı algoritmayı uygulamamız gerekiyor:

• katsayısı k \u003d (-a 32 / 22);
• ikinci değiştirilmiş satır "geçerli" satıra eklenir;
• eklemenin sonucu üçüncü, dördüncü vb. satırlarda değiştirilirken birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
• matrisin satırlarında, ilk iki eleman zaten sıfıra eşittir.

Algoritma, k = (-a m,m-1 /a mm) katsayısı görünene kadar tekrarlanmalıdır. Bu, algoritmanın son çalıştırılışının yalnızca alt denklem için olduğu anlamına gelir. Şimdi matris bir üçgen gibi görünüyor veya kademeli bir şekle sahip. Alt satırda a mn × x n = b m eşitliği bulunur. Katsayı ve serbest terim bilinir ve kök bunlar aracılığıyla ifade edilir: x n = b m /a mn. Elde edilen kök, x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1'i bulmak için üst sıraya yerleştirilir. Ve benzer şekilde devam eder: sonraki her satırda yeni bir kök vardır ve sistemin "tepesine" ulaştıktan sonra birçok çözüm bulabilirsiniz. Tek olacak.

Çözüm olmadığında

Matris satırlarından birinde serbest terim hariç tüm elemanlar sıfıra eşitse, bu satıra karşılık gelen denklem 0 = b gibi görünür. Çözümü yok. Ve böyle bir denklem sisteme dahil edildiğinden, tüm sistemin çözüm kümesi boştur, yani dejeneredir.

Sonsuz sayıda çözüm olduğunda

Verilen üçgen matriste, bir elemanlı - denklemin katsayısı ve bir - serbest elemanlı satır olmadığı ortaya çıkabilir. Yalnızca yeniden yazıldığında iki veya daha fazla değişkenli bir denklem gibi görünen dizeler vardır. Bu, sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir. Bu durumda cevap genel bir çözüm şeklinde verilebilir. Nasıl yapılır?

Matristeki tüm değişkenler temel ve serbest olarak ayrılmıştır. Temel - bunlar, kademeli matristeki satırların "kenarında" olanlardır. Gerisi ücretsizdir. Genel çözümde temel değişkenler serbest olanlar cinsinden yazılır.

Kolaylık sağlamak için, matris önce bir denklem sistemine yeniden yazılır. Daha sonra, tam olarak sadece bir temel değişkenin kaldığı sonuncusunda, bir tarafta kalır ve diğer her şey diğerine aktarılır. Bu, bir temel değişkenli her denklem için yapılır. Daha sonra kalan denklemlerde mümkünse temel değişken yerine onun için elde edilen ifade ikame edilir. Sonuç yine sadece bir temel değişken içeren bir ifade ise, oradan tekrar ifade edilir ve her bir temel değişken serbest değişkenli bir ifade olarak yazılana kadar bu böyle devam eder. Bu, SLAE'nin genel çözümüdür.

Ayrıca sistemin temel çözümünü de bulabilirsiniz - serbest değişkenlere herhangi bir değer verin ve ardından bu özel durum için temel değişkenlerin değerlerini hesaplayın. Sonsuz sayıda özel çözüm vardır.

Özel örneklerle çözüm

İşte denklem sistemi.

Kolaylık sağlamak için matrisini hemen oluşturmak daha iyidir

Gauss yöntemi ile çözülürken, dönüşümlerin sonunda ilk satıra karşılık gelen denklemin değişmeden kalacağı bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol üst öğesinin en küçük olması daha karlı olacaktır - o zaman işlemlerden sonra kalan satırların ilk öğeleri sıfıra dönecektir. Bu, derlenmiş matriste ikinciyi ilk satırın yerine koymanın avantajlı olacağı anlamına gelir.

ikinci satır: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d 22 + k × bir 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

üçüncü satır: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Şimdi kafa karıştırmamak için dönüşümlerin ara sonuçlarını içeren matrisi yazmak gerekiyor.

Böyle bir matrisin bazı işlemler yardımıyla algıya daha uygun hale getirilebileceği açıktır. Örneğin, her bir elemanı "-1" ile çarparak ikinci satırdaki tüm "eksileri" kaldırabilirsiniz.

Üçüncü satırdaki tüm öğelerin üçün katları olduğunu da belirtmekte fayda var. Ardından, her öğeyi "-1/3" ile çarparak dizeyi bu sayıya kadar azaltabilirsiniz (eksi - aynı zamanda negatif değerleri kaldırmak için).

Çok daha güzel görünüyor. Şimdi ilk satırı yalnız bırakmalı ve ikinci ve üçüncü ile çalışmalıyız. Görev, ikinci satırı üçüncü satıra eklemek, öyle bir faktörle çarpılır ki, a 32 öğesi sıfıra eşit olur.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 kesirler ve ancak o zaman, cevaplar alındığında, yuvarlayıp başka bir gösterim biçimine çevirmeye karar verin)

a" 32 = 32 + k × 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matris yeni değerlerle tekrar yazılır.

Gördüğünüz gibi, ortaya çıkan matris zaten kademeli bir forma sahip. Bu nedenle, sistemin Gauss yöntemiyle daha fazla dönüştürülmesi gerekli değildir. Burada yapılabilecek şey, üçüncü satırdan "-1/7" genel katsayısını çıkarmaktır.

Şimdi her şey güzel. Nokta küçük - matrisi tekrar bir denklem sistemi şeklinde yazın ve kökleri hesaplayın

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Şimdi köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket denir. Denklem (3) z değerini içerir:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmanızı sağlar:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Böyle bir sisteme eklem ve hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olmak deme hakkımız var. Cevap aşağıdaki formda yazılmıştır:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Belirsiz bir sistem örneği

Belirli bir sistemi Gauss yöntemiyle çözmenin varyantı analiz edildi, şimdi sistemin belirsiz olup olmadığını, yani bunun için sonsuz sayıda çözüm bulunabileceğini düşünmek gerekiyor.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Bilinmeyenlerin sayısı n = 5 olduğundan ve sistemin matrisinin sırası zaten bu sayıdan tam olarak daha az olduğundan, sistemin şekli zaten endişe vericidir, çünkü satır sayısı m = 4'tür, yani, kare determinantın en büyük mertebesi 4'tür. Bu, sonsuz sayıda çözüm olduğu ve genel formunun aranması gerektiği anlamına gelir. Lineer denklemler için Gauss yöntemi bunu yapmayı mümkün kılar.

İlk olarak, her zamanki gibi, artırılmış matris derlenir.

İkinci satır: katsayı k = (-a 21 / a 11) = -3. Üçüncü satırda ise ilk eleman dönüşümlerden önce olduğu için hiçbir şeye dokunmanıza gerek yok, olduğu gibi bırakmanız gerekiyor. Dördüncü satır: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarının her biri ile çarparak ve istenen satırlara ekleyerek aşağıdaki formda bir matris elde ederiz:

Gördüğünüz gibi ikinci, üçüncü ve dördüncü sıralar birbiriyle orantılı elemanlardan oluşuyor. İkinci ve dördüncü genellikle aynıdır, bu nedenle bunlardan biri hemen kaldırılabilir ve geri kalanı "-1" katsayısı ile çarpılır ve satır numarası 3 olur. Ve yine, iki özdeş satırdan birini bırakın.

Böyle bir matris ortaya çıktı. Sistem henüz yazılmadı, burada temel değişkenleri belirlemek gerekiyor - 11 \u003d 1 ve 22 \u003d 1 katsayılarında ve serbest - geri kalan her şey.

İkinci denklemin yalnızca bir temel değişkeni vardır - x 2 . Dolayısıyla, buradan, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 değişkenleri aracılığıyla yazılarak ifade edilebilir.

Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemin yerine koyarız.

Tek temel değişkenin x 1 olduğu bir denklem ortaya çıktı. Aynısını x 2 ile de yapalım.

İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişken cinsinden ifade edilir, şimdi cevabı genel bir biçimde yazabilirsiniz.

Ayrıca sistemin belirli çözümlerinden birini de belirtebilirsiniz. Bu gibi durumlarda, kural olarak, serbest değişkenler için değerler olarak sıfırlar seçilir. O zaman cevap şöyle olacaktır:

16, 23, 0, 0, 0.

Uyumsuz bir sistem örneği

Tutarsız denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözümü en hızlı olanıdır. Aşamalardan birinde çözümü olmayan bir denklem elde edilir edilmez sona erer. Yani oldukça uzun ve kasvetli olan köklerin hesaplanması aşaması ortadan kalkar. Aşağıdaki sistem kabul edilir:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi, matris derlenir:

Ve kademeli bir forma indirgenir:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

İlk dönüşümden sonra, üçüncü satır formun bir denklemini içerir.

çözümü olmayan. Bu nedenle sistem tutarsızdır ve cevap boş kümedir.

Yöntemin avantajları ve dezavantajları

SLAE'yi kağıt üzerinde bir kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede ele alınan yöntem en çekici görünüyor. Temel dönüşümlerde, bir determinantı veya karmaşık bir ters matrisi manuel olarak aramanız gerektiğinden, kafanızın karışması çok daha zordur. Bununla birlikte, örneğin elektronik tablolar gibi bu tür verilerle çalışmak için programlar kullanırsanız, bu tür programların zaten matrislerin ana parametrelerini hesaplamak için algoritmalar içerdiği ortaya çıkar - belirleyici, küçükler, ters vb. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve hata yapmayacağından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmak daha uygundur, çünkü uygulamaları determinantların ve ters matrislerin hesaplanmasıyla başlar ve biter.

Başvuru

Gauss çözümü bir algoritma olduğundan ve matris aslında iki boyutlu bir dizi olduğundan, programlamada kullanılabilir. Ancak makale kendisini "aptallar için" bir kılavuz olarak konumlandırdığından, yöntemi yerleştirmenin en kolay yerinin elektronik tablolar, örneğin Excel olduğu söylenmelidir. Yine, bir tabloya matris şeklinde girilen herhangi bir SLAE, Excel tarafından iki boyutlu bir dizi olarak kabul edilecektir. Ve onlarla işlemler için birçok güzel komut vardır: toplama (yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebilirsiniz!), Sayı ile çarpma, matris çarpımı (belirli kısıtlamalarla), ters ve transpoze matrisleri bulma ve en önemlisi , determinantın hesaplanması. Bu zaman alıcı görevin yerini tek bir komut alırsa, matrisin derecesini belirlemek ve dolayısıyla uyumluluğunu veya tutarsızlığını belirlemek çok daha hızlı olur.