Thể tích của hình chóp tam giác là bao nhiêu? Làm thế nào để tìm khối lượng của một kim tự tháp

Định lý.

Thể tích của hình chóp bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao.

Bằng chứng:

1. Xét một hình chóp tam giácOABCcó thể tích V, diện tích đáyS và chiều cao h. Hãy vẽ trục ồ (OM2- chiều cao), hãy xem xét phầnA1 B1 C1kim tự tháp có mặt phẳng vuông góc với trụcỒvà do đó song song với mặt phẳng đáy. Hãy ký hiệu bằngXđiểm hoành M1 giao điểm của mặt phẳng này với trục x và quaS(x)- diện tích mặt cắt ngang. Hãy bày tỏ S(x) bởi vì S, h Và X. Lưu ý rằng tam giác A1 TRONG1 VỚI1 Và ABC cũng tương tự. Quả thực A1 TRONG1 II AB nên tam giác viêm khớp 1 TRONG 1 đồng dạng với tam giác OAB. VỚI Vì vậy, MỘT1 TRONG1 : MỘTB= viêm khớp 1: viêm khớp .

Tam giác vuông viêm khớp 1 TRONG 1 và OAV cũng giống nhau (chúng có chung một góc nhọn với đỉnh O). Vì vậy, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Như vậy MỘT 1 TRONG 1 : A B = x: h.Tương tự, người ta chứng minh rằngB1 C1:Mặt trời = X: h Và A1 C1:AC = X: h.Vì vậy, tam giácA1 B1 C1 Và ABCtương tự với hệ số tương tự X: h.Do đó, S(x): S = (x: h)² hoặc S(x) = S x²/ h².

Bây giờ chúng ta hãy áp dụng công thức cơ bản để tính thể tích của các vật thể tạiMột= 0, b =h chúng tôi nhận được

Vậy thể tích của hình chóp ban đầu là 1/3Sh. Định lý đã được chứng minh.

Kết quả:

Tập V của một hình chóp cụt có chiều cao h và diện tích đáy là S và S1 , được tính theo công thức

h - chiều cao của kim tự tháp

Dừng lại - diện tích của đế trên

Chậm hơn - diện tích đáy dưới

Ở đây chúng ta sẽ xem xét các ví dụ liên quan đến khái niệm khối lượng. Để giải quyết các nhiệm vụ như vậy, bạn phải biết công thức tính thể tích của kim tự tháp:

S

h - chiều cao của kim tự tháp

Cơ sở có thể là bất kỳ đa giác nào. Nhưng trong hầu hết các bài thi trong Kỳ thi Thống nhất, điều kiện thường là về các kim tự tháp đều. Hãy để tôi nhắc bạn về một trong những đặc tính của nó:

Đỉnh của một kim tự tháp thông thường được chiếu vào tâm của đế

Nhìn vào hình chiếu của các hình chóp tam giác, tứ giác và lục giác đều (CHẾ ĐỘ XEM TRÊN):

Bạn có thể vào blog, nơi các vấn đề liên quan đến việc tìm khối lượng của kim tự tháp đã được thảo luận.Hãy xem xét các nhiệm vụ:

27087. Tìm thể tích của một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng căn bậc ba.

S- diện tích đáy của kim tự tháp

h- chiều cao của kim tự tháp

Chúng ta hãy tìm diện tích đáy của kim tự tháp, đây là một hình tam giác đều. Chúng ta hãy sử dụng công thức - diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của các cạnh liền kề và sin của góc giữa chúng, có nghĩa là:

Đáp án: 0,25

27088. Tìm chiều cao của một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2 và thể tích bằng căn bậc ba.

Các khái niệm như chiều cao của kim tự tháp và đặc điểm đáy của nó có liên quan với nhau bằng công thức thể tích:

S- diện tích đáy của kim tự tháp

h- chiều cao của kim tự tháp

Chúng ta biết thể tích, chúng ta có thể tìm thấy diện tích của đáy, vì chúng ta biết các cạnh của tam giác, đó là đáy. Biết các giá trị được chỉ định, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy chiều cao.

Để tìm diện tích đáy, chúng ta sử dụng công thức - diện tích của một tam giác bằng một nửa tích của các cạnh kề và sin của góc giữa chúng, có nghĩa là:

Do đó, bằng cách thay thế các giá trị này vào công thức thể tích, chúng ta có thể tính được chiều cao của kim tự tháp:

Chiều cao là ba.

Trả lời: 3

27109. Trong một hình chóp tứ giác đều, chiều cao là 6 và cạnh bên là 10. Tìm thể tích của nó.

Thể tích của kim tự tháp được tính theo công thức:

S- diện tích đáy của kim tự tháp

h- chiều cao của kim tự tháp

Chúng tôi biết chiều cao. Bạn cần tìm diện tích của căn cứ. Hãy để tôi nhắc bạn rằng đỉnh của một kim tự tháp thông thường được chiếu vào tâm của đế của nó. Đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông. Chúng ta có thể tìm thấy đường chéo của nó. Xét một tam giác vuông (được đánh dấu màu xanh lam):

Đoạn nối tâm hình vuông với điểm B là một cạnh bằng nửa đường chéo của hình vuông. Chúng ta có thể tính chân này bằng định lý Pythagore:

Điều này có nghĩa là BD = 16. Hãy tính diện tích hình vuông bằng công thức tính diện tích hình tứ giác:

Kể từ đây:

Vậy thể tích của kim tự tháp là:

Đáp án: 256

27178. Trong một hình chóp tứ giác đều, chiều cao là 12 và thể tích là 200. Tìm cạnh bên của hình chóp này.

Chiều cao của hình chóp và thể tích của nó đã biết, có nghĩa là chúng ta có thể tìm được diện tích của hình vuông, là đáy. Biết diện tích hình vuông, chúng ta có thể tìm thấy đường chéo của nó. Tiếp theo, xem xét một tam giác vuông sử dụng định lý Pythagore, chúng ta tính cạnh bên:

Hãy tìm diện tích hình vuông (đáy kim tự tháp):

Hãy tính đường chéo của hình vuông. Vì diện tích của nó là 50 nên cạnh sẽ bằng căn bậc 50 và theo định lý Pythagore:

Điểm O chia đường chéo BD làm đôi, tức là cạnh của tam giác vuông OB = 5.

Vì vậy, chúng ta có thể tính toán cạnh bên của kim tự tháp bằng bao nhiêu:

Trả lời: 13

245353. Tìm thể tích của hình chóp như trong hình. Cơ sở của nó là một đa giác, các cạnh liền kề vuông góc và một trong các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng của đáy và bằng 3.

Như đã nói nhiều lần, thể tích của kim tự tháp được tính theo công thức:

S- diện tích đáy của kim tự tháp

h- chiều cao của kim tự tháp

Cạnh bên vuông góc với đáy bằng ba, nghĩa là chiều cao của kim tự tháp là ba. Đáy của hình chóp là một đa giác có diện tích bằng:

Như vậy:

Đáp án: 27

27086. Đáy của kim tự tháp là một hình chữ nhật có cạnh 3 và 4. Thể tích của nó là 16. Tìm chiều cao của kim tự tháp này.

Quay lại phía trước

Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Mục tiêu bài học.

Giáo dục: Suy ra công thức tính thể tích hình chóp

Phát triển: phát triển sự quan tâm nhận thức của học sinh đối với các môn học, khả năng áp dụng kiến ​​thức vào thực tế.

Giáo dục: trau dồi sự chú ý, tính chính xác, mở rộng tầm nhìn của học sinh.

Thiết bị, vật liệu: máy tính, màn hình, máy chiếu, thuyết trình “Khối Kim tự tháp”.

1. Khảo sát trực diện. Trang trình bày 2, 3

Cái được gọi là kim tự tháp, đáy của kim tự tháp, các đường gân, chiều cao, trục, đường trung đoạn. Kim tự tháp nào được gọi là kim tự tháp đều, tứ diện, cắt cụt?

Hình chóp là một khối đa diện gồm một mặt phẳng đa giác, điểm, không nằm trong mặt phẳng của đa giác này và tất cả các phân đoạn, nối điểm này với các điểm của đa giác.

Điểm này gọi điện đứng đầu kim tự tháp, và một đa giác phẳng là đáy của kim tự tháp. Phân đoạn nối đỉnh của kim tự tháp với các đỉnh của đáy được gọi là xương sườn . Chiều cao kim tự tháp - vuông góc, hạ từ đỉnh kim tự tháp xuống mặt phẳng đáy. Apothem - chiều cao cạnh bênđúng kim tự tháp. Kim tự tháp mà ở căn cứđúng n-gon, MỘT đế chiều cao trùng với trung tâm của cơ sở gọi điện Chính xác kim tự tháp n-giác. Trục của một hình chóp đều là đường thẳng chứa chiều cao của nó. Một hình chóp tam giác đều được gọi là tứ diện. Nếu hình chóp cắt nhau bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy thì sẽ cắt đứt hình chóp, tương tựđược cho. Phần còn lại được gọi là kim tự tháp cắt ngắn.

2. Suy ra công thức tính thể tích khối chóp V=SH/3 Slide 4, 5, 6

1. Cho SABC là hình chóp tam giác có đỉnh S và đáy ABC.

2. Hãy cộng hình chóp này vào một hình lăng trụ tam giác có cùng đáy và chiều cao.

3. Lăng kính này bao gồm ba kim tự tháp:

1) của kim tự tháp SABC này.

2) kim tự tháp SCC 1 B 1.

3) và kim tự tháp SCBB 1.

4. Khối chóp thứ hai và thứ ba có đáy bằng nhau CC 1 B 1 và B 1 BC và có tổng chiều cao tính từ đỉnh S đến mặt hình bình hành BB 1 C 1 C. Do đó, chúng có thể tích bằng nhau.

5. Hình chóp thứ nhất và thứ ba cũng có đáy SAB và BB 1 S bằng nhau và có các đường cao trùng nhau tính từ đỉnh C đến mặt hình bình hành ABB 1 S. Do đó, chúng cũng có thể tích bằng nhau.

Điều này có nghĩa là cả ba kim tự tháp đều có cùng thể tích. Vì tổng các thể tích này bằng thể tích của lăng kính nên thể tích của hình chóp bằng SH/3.

Thể tích của bất kỳ hình chóp tam giác nào đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao.

3. Hợp nhất vật liệu mới. Giải bài tập.

1) Vấn đề № 33 từ sách giáo khoa của A.N. Pogorelova. Slide 7, 8, 9

Về phía cơ sở? và cạnh bên b, tính thể tích của một hình chóp đều, đáy của nó nằm:

1) hình tam giác,

2) hình tứ giác,

3) hình lục giác.

Trong một kim tự tháp thông thường, chiều cao đi qua tâm của một vòng tròn bao quanh đáy. Khi đó: (Phụ lục)

4. Thông tin lịch sử về kim tự tháp. Slide 15, 16, 17

Người đầu tiên cùng thời với chúng ta xác định được một số hiện tượng bất thường liên quan đến kim tự tháp là nhà khoa học người Pháp Antoine Bovy. Khi khám phá kim tự tháp Cheops vào những năm 30 của thế kỷ XX, ông phát hiện xác của những động vật nhỏ vô tình rơi vào phòng hoàng gia đã được ướp xác. Bovey tự giải thích lý do cho điều này là do hình dạng của một kim tự tháp và hóa ra ông đã không nhầm. Các công trình của ông đã hình thành nên nền tảng của nghiên cứu hiện đại, kết quả là trong 20 năm qua, nhiều cuốn sách và ấn phẩm đã xuất hiện xác nhận rằng năng lượng của các kim tự tháp có thể có ý nghĩa thực tiễn.

Bí ẩn của kim tự tháp

Một số nhà nghiên cứu cho rằng kim tự tháp chứa một lượng thông tin khổng lồ về cấu trúc của Vũ trụ, hệ mặt trời và con người, được mã hóa dưới dạng hình học của nó, hay chính xác hơn là dưới dạng bát diện, một nửa trong số đó tượng trưng cho kim tự tháp. Kim tự tháp từ trên xuống tượng trưng cho sự sống, từ trên xuống tượng trưng cho cái chết, thế giới khác. Cũng giống như các thành phần của Ngôi sao David (Magen David), trong đó hình tam giác hướng lên trên tượng trưng cho sự đi lên tới Tâm trí cao hơn, Chúa và hình tam giác với đỉnh hướng xuống tượng trưng cho sự xuống dốc của linh hồn xuống Trái đất, sự tồn tại vật chất...

Giá trị kỹ thuật số của mã mà thông tin về Vũ trụ được mã hóa trong kim tự tháp, số 365, không được chọn một cách tình cờ. Trước hết, đây là vòng đời hàng năm của hành tinh chúng ta. Ngoài ra, số 365 được tạo thành từ ba chữ số 3, 6 và 5. Chúng có ý nghĩa gì? Nếu trong hệ mặt trời, Mặt trời đi qua số 1, Sao Thủy - 2, Sao Kim - 3, Trái Đất - 4, Sao Hỏa - ​​5, Sao Mộc - 6, Sao Thổ - 7, Sao Thiên Vương - 8, Sao Hải Vương - 9, Sao Diêm Vương - 10, rồi 3 là Sao Kim, 6 – Sao Mộc và 5 – Sao Hỏa. Do đó, Trái đất được kết nối một cách đặc biệt với các hành tinh này. Cộng các số 3, 6 và 5 ta được 14, trong đó 1 là Mặt Trời, 4 là Trái Đất.

Con số 14 nói chung có ý nghĩa toàn cầu: đặc biệt, cấu trúc của bàn tay con người dựa trên nó, tổng số đốt ngón tay của mỗi ngón cũng là 14. Mã này cũng liên quan đến chòm sao Ursa Major, mà bao gồm Mặt trời của chúng ta, và trong đó từng là một ngôi sao khác đã phá hủy Phaethon, một hành tinh nằm giữa Sao Hỏa và Sao Mộc, sau đó Sao Diêm Vương xuất hiện trong hệ mặt trời và đặc điểm của các hành tinh còn lại đã thay đổi.

Nhiều nguồn bí truyền cho rằng nhân loại trên Trái đất đã trải qua thảm họa toàn cầu bốn lần. Chủng tộc Lemurian thứ ba biết đến khoa học Thần thánh của Vũ trụ, sau đó học thuyết bí mật này chỉ được truyền lại cho những người đồng tu. Vào đầu các chu kỳ và nửa chu kỳ của năm thiên văn, họ đã xây dựng các kim tự tháp. Họ đã gần khám phá được quy luật của sự sống. Nền văn minh Atlantis đã thành công về nhiều mặt, nhưng ở một mức độ hiểu biết nào đó, họ đã bị chặn lại bởi một thảm họa hành tinh khác, kèm theo sự thay đổi chủng tộc. Có lẽ, các đồng tu muốn truyền đạt cho chúng ta rằng các kim tự tháp chứa đựng kiến ​​thức về các quy luật vũ trụ...

Các thiết bị đặc biệt ở dạng kim tự tháp vô hiệu hóa bức xạ điện từ tiêu cực lên con người từ máy tính, TV, tủ lạnh và các thiết bị điện khác.

Một trong những cuốn sách mô tả trường hợp kim tự tháp được lắp đặt trong khoang hành khách của ô tô giúp giảm mức tiêu thụ nhiên liệu và giảm hàm lượng CO trong khí thải.

Hạt giống của các loại cây trồng trong vườn được giữ trong kim tự tháp có khả năng nảy mầm và năng suất tốt hơn. Các ấn phẩm thậm chí còn khuyến nghị ngâm hạt trong nước kim tự tháp trước khi gieo.

Kim tự tháp đã được chứng minh là có tác dụng có lợi cho môi trường. Loại bỏ các khu vực gây bệnh trong căn hộ, văn phòng và nhà tranh mùa hè, tạo ra bầu không khí tích cực.

Nhà nghiên cứu người Hà Lan Paul Dickens trong cuốn sách của mình đã đưa ra những ví dụ về đặc tính chữa bệnh của kim tự tháp. Ông nhận thấy rằng với sự giúp đỡ của họ, bạn có thể giảm đau đầu, đau khớp, cầm máu từ những vết cắt nhỏ và năng lượng của kim tự tháp sẽ kích thích quá trình trao đổi chất và tăng cường hệ thống miễn dịch.

Một số ấn phẩm hiện đại lưu ý rằng các loại thuốc được giữ trong kim tự tháp sẽ rút ngắn quá trình điều trị và vật liệu băng bó, bão hòa năng lượng tích cực, sẽ thúc đẩy quá trình lành vết thương.

Kem và thuốc mỡ mỹ phẩm cải thiện tác dụng của chúng.

Đồ uống, bao gồm cả đồ uống có cồn, cải thiện hương vị và nước chứa trong rượu vodka 40% sẽ có tác dụng chữa bệnh. Đúng như vậy, để sạc năng lượng dương cho một chai 0,5 lít tiêu chuẩn, bạn sẽ cần một kim tự tháp cao.

Một bài báo nói rằng nếu đồ trang sức được cất giữ dưới kim tự tháp, nó sẽ tự làm sạch và có được độ sáng bóng đặc biệt, trong khi đá quý và đá bán quý tích tụ năng lượng sinh học tích cực rồi dần dần giải phóng nó.

Theo các nhà khoa học Mỹ, các sản phẩm thực phẩm như ngũ cốc, bột mì, muối, đường, cà phê, trà sau khi nằm trong kim tự tháp sẽ cải thiện mùi vị và thuốc lá rẻ tiền trở nên giống với những người anh em quý tộc của chúng.

Điều này có thể không phù hợp với nhiều người, nhưng trong một kim tự tháp nhỏ, những lưỡi dao cạo cũ tự mài sắc và trong một kim tự tháp lớn, nước không đóng băng ở -40 độ C.

Theo hầu hết các nhà nghiên cứu, tất cả những điều này là bằng chứng cho sự tồn tại của năng lượng kim tự tháp.

Trải qua hơn 5000 năm tồn tại, các kim tự tháp đã trở thành một loại biểu tượng, nhân cách hóa khát vọng vươn tới đỉnh cao tri thức của con người.

5. Tóm tắt bài học.

Thư mục.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A.V. Hình học 10-11, nhà xuất bản Prosveshchenie.

3) Bách khoa toàn thư “Cây tri thức” Marshall K.

Để tìm thể tích của một kim tự tháp, bạn cần biết một số công thức. Hãy nhìn vào chúng.

Cách tìm thể tích của kim tự tháp - phương pháp thứ 1

Thể tích của một kim tự tháp có thể được tính bằng cách sử dụng chiều cao và diện tích đáy của nó. V = 1/3*S*h. Vì vậy, ví dụ: nếu chiều cao của kim tự tháp là 10 cm và diện tích đáy của nó là 25 cm 2 thì thể tích sẽ bằng V = 1/3*25*10 = 1/3*250 = 83,3cm3

Cách tìm thể tích của kim tự tháp - phương pháp thứ 2

Nếu một đa giác đều nằm ở đáy của hình chóp thì thể tích của nó có thể được tính bằng công thức sau: V = na 2 h/12*tg(180/n), trong đó a là cạnh của đa giác nằm ở đáy , và n là số cạnh của nó. Ví dụ: Đáy là một hình lục giác đều, tức là n = 6. Vì nó đều nên tất cả các cạnh của nó đều bằng nhau, tức là tất cả a đều bằng nhau. Giả sử a = 10 và h - 15. Chúng ta chèn các số vào công thức và nhận được câu trả lời gần đúng - 1299 cm 3

Cách tìm thể tích của kim tự tháp - phương pháp thứ 3

Nếu một tam giác đều nằm ở đáy hình chóp thì thể tích của nó có thể được tính bằng công thức sau: V = ha 2 /4√3, trong đó a là cạnh của tam giác đều. Ví dụ: chiều cao của hình chóp là 10 cm, cạnh đáy là 5 cm, thể tích sẽ bằng V = 10*25/4√ 3 = 250/4√ 3. Thông thường, mẫu số là gì không được tính toán và được giữ nguyên ở dạng tương tự. Bạn cũng có thể nhân cả tử số và mẫu số với 4√ 3. Chúng ta nhận được 1000√ 3/48. Bằng cách giảm chúng ta nhận được 125√ 3/6 cm 3.

Cách tìm thể tích của kim tự tháp - phương pháp thứ 4

Nếu có một hình vuông ở đáy hình chóp thì thể tích của nó có thể được tính bằng công thức sau: V = 1/3*h*a 2, trong đó a là các cạnh của hình vuông. Ví dụ: chiều cao – 5 cm, cạnh hình vuông – 3 cm, V = 1/3*5*9 = 15 cm 3

Cách tìm thể tích của kim tự tháp - phương pháp thứ 5

Nếu hình chóp là một hình tứ diện, nghĩa là tất cả các mặt của nó đều là hình tam giác đều, bạn có thể tìm thể tích của hình chóp bằng công thức sau: V = a 3 √2/12, trong đó a là cạnh của tứ diện. Ví dụ: cạnh tứ diện = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 cm 3