Kỳ vọng của người bạn đời là gì? Công thức kỳ vọng

Kỳ vọng là phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng toán học, định nghĩa, kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, mẫu, kỳ vọng có điều kiện, phép tính, tính chất, bài toán, ước lượng kỳ vọng, độ phân tán, hàm phân phối, công thức, ví dụ tính toán

Mở rộng nội dung

Thu gọn nội dung

Kỳ vọng toán học là định nghĩa

Một trong những khái niệm quan trọng nhất trong thống kê toán học và lý thuyết xác suất, mô tả đặc điểm phân bố giá trị hoặc xác suất của một biến ngẫu nhiên. Thường được biểu thị dưới dạng trung bình có trọng số của tất cả các tham số có thể có của một biến ngẫu nhiên. Được sử dụng rộng rãi trong phân tích kỹ thuật, nghiên cứu chuỗi số và nghiên cứu các quy trình liên tục và tốn thời gian. Nó quan trọng trong việc đánh giá rủi ro, dự đoán các chỉ số giá khi giao dịch trên thị trường tài chính và được sử dụng trong việc phát triển các chiến lược và phương pháp chiến thuật chơi game trong lý thuyết cờ bạc.

Kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên, phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên được xem xét trong lý thuyết xác suất.

Kỳ vọng toán học là thước đo giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất. Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên xđóng góp bởi M(x).

Kỳ vọng toán học là

Kỳ vọng toán học là trong lý thuyết xác suất, là giá trị trung bình có trọng số của tất cả các giá trị có thể có mà một biến ngẫu nhiên có thể lấy.

Kỳ vọng toán học là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất của các giá trị này.

Kỳ vọng toán học là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện là quyết định đó có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết số lượng lớn và khoảng cách xa.

Kỳ vọng toán học là trong lý thuyết cờ bạc, số tiền thắng trung bình mà người chơi có thể kiếm được hoặc thua cho mỗi lần đặt cược. Theo cách nói cờ bạc, điều này đôi khi được gọi là "lợi thế của người chơi" (nếu nó là tích cực đối với người chơi) hoặc "lợi thế nhà cái" (nếu nó là tiêu cực đối với người chơi).

Kỳ vọng toán học là tỷ lệ phần trăm lợi nhuận trên mỗi lần thắng nhân với lợi nhuận trung bình, trừ đi khả năng thua lỗ nhân với mức lỗ trung bình.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết toán học

Một trong những đặc tính số quan trọng của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học của nó. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một hệ thống các biến ngẫu nhiên. Hãy xem xét một tập hợp các biến ngẫu nhiên là kết quả của cùng một thí nghiệm ngẫu nhiên. Nếu là một trong những giá trị có thể có của hệ thống thì sự kiện tương ứng với một xác suất nhất định thỏa mãn tiên đề Kolmogorov. Hàm được xác định cho bất kỳ giá trị có thể có nào của biến ngẫu nhiên được gọi là luật phân phối chung. Hàm này cho phép bạn tính toán xác suất của bất kỳ sự kiện nào từ đó. Đặc biệt, luật phân phối chung của các biến ngẫu nhiên và lấy các giá trị từ tập hợp và được đưa ra bởi xác suất.

Thuật ngữ “kỳ vọng toán học” được Pierre Simon Marquis de Laplace đưa ra (1795) và xuất phát từ khái niệm “giá trị kỳ vọng của tiền thắng cược”, xuất hiện lần đầu tiên vào thế kỷ 17 trong lý thuyết cờ bạc trong các tác phẩm của Blaise Pascal và Christiaan. Huygens. Tuy nhiên, sự hiểu biết và đánh giá lý thuyết đầy đủ đầu tiên về khái niệm này được đưa ra bởi Pafnuty Lvovich Chebyshev (giữa thế kỷ 19).

Luật phân phối của các biến số ngẫu nhiên (hàm phân phối và chuỗi phân phối hoặc mật độ xác suất) mô tả đầy đủ hành vi của một biến ngẫu nhiên. Nhưng trong một số vấn đề, chỉ cần biết một số đặc tính số của đại lượng đang nghiên cứu (ví dụ: giá trị trung bình của nó và độ lệch có thể có so với nó) là đủ để trả lời câu hỏi đã đặt ra. Các đặc điểm số chính của các biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học, phương sai, mode và trung vị.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng các tích của các giá trị có thể có của nó và xác suất tương ứng của chúng. Đôi khi kỳ vọng toán học được gọi là trung bình có trọng số, vì nó xấp xỉ bằng giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của một biến ngẫu nhiên trong một số lượng lớn thử nghiệm. Từ định nghĩa của kỳ vọng toán học, giá trị của nó không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất có thể có của một biến ngẫu nhiên và không lớn hơn giá trị lớn nhất. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là một biến không ngẫu nhiên (không đổi).

Kỳ vọng toán học có ý nghĩa vật lý đơn giản: nếu bạn đặt một khối lượng đơn vị trên một đường thẳng, đặt một khối lượng nhất định tại một số điểm (đối với phân bố rời rạc) hoặc “bôi nhọ” nó với một mật độ nhất định (đối với phân bố hoàn toàn liên tục) , thì điểm tương ứng với kỳ vọng toán học sẽ là tọa độ “trọng tâm” thẳng.

Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên là một số nhất định, giống như “đại diện” của nó và thay thế nó trong các phép tính gần đúng. Khi chúng tôi nói: “thời gian hoạt động trung bình của đèn là 100 giờ” hoặc “điểm tác động trung bình được dịch chuyển so với mục tiêu 2 m về bên phải”, chúng tôi đang chỉ ra một đặc tính số nhất định của một biến ngẫu nhiên mô tả vị trí của nó. trên trục số, tức là “đặc điểm vị trí”.

Trong số các đặc điểm của một vị trí trong lý thuyết xác suất, kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng nhất, đôi khi được gọi đơn giản là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên.

Xét biến ngẫu nhiên X, có các giá trị có thể x1, x2, …, xn với xác suất p1, p2, …, pn. Chúng ta cần mô tả bằng một số số vị trí của các giá trị của một biến ngẫu nhiên trên trục x, có tính đến thực tế là các giá trị này có xác suất khác nhau. Với mục đích này, điều tự nhiên là sử dụng cái gọi là “trung bình có trọng số” của các giá trị xi và mỗi giá trị xi trong quá trình lấy trung bình phải được tính đến với “trọng số” tỷ lệ với xác suất của giá trị này. Vì vậy, chúng ta sẽ tính giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X, mà chúng tôi biểu thị M |X|:

Giá trị trung bình có trọng số này được gọi là kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên. Vì vậy, chúng tôi đã giới thiệu một trong những khái niệm quan trọng nhất của lý thuyết xác suất - khái niệm kỳ vọng toán học. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất của các giá trị này.

Hãy để nó được sản xuất N các thí nghiệm độc lập, trong đó mỗi giá trị X nhận một giá trị nhất định. Giả sử rằng giá trị x1đã xuất hiện m1 lần, giá trị x2đã xuất hiện m2 thời gian, ý nghĩa chung xi xuất hiện mi lần. Chúng ta hãy tính giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của giá trị X, trái ngược với kỳ vọng toán học M|X| chúng tôi biểu thị M*|X|:

Với số lượng thí nghiệm ngày càng tăng N tần số số Pi sẽ tiến tới (hội tụ về xác suất) các xác suất tương ứng. Do đó, giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên M|X| với sự gia tăng số lượng thí nghiệm nó sẽ tiếp cận (hội tụ về xác suất) với kỳ vọng toán học của nó. Mối liên hệ giữa trung bình số học và kỳ vọng toán học được nêu ở trên là nội dung của một trong các dạng của định luật số lớn.

Chúng ta đã biết rằng tất cả các dạng của định luật số lớn đều phát biểu một thực tế là một số giá trị trung bình ổn định qua một số lượng lớn thí nghiệm. Ở đây chúng ta đang nói về tính ổn định của trung bình số học từ một loạt các quan sát có cùng đại lượng. Với một số ít thí nghiệm, giá trị trung bình số học của kết quả là ngẫu nhiên; với sự gia tăng đủ số lượng thí nghiệm, nó trở nên “gần như không ngẫu nhiên” và ổn định, đạt đến một giá trị không đổi - kỳ vọng toán học.

Độ ổn định của giá trị trung bình qua một số lượng lớn các thí nghiệm có thể được xác minh dễ dàng bằng thực nghiệm. Ví dụ, khi cân một cơ thể trong phòng thí nghiệm trên những chiếc cân chính xác, kết quả của việc cân là mỗi lần chúng ta thu được một giá trị mới; Để giảm sai số quan sát, chúng tôi cân cơ thể nhiều lần và sử dụng giá trị trung bình số học của các giá trị thu được. Dễ dàng nhận thấy rằng với sự gia tăng hơn nữa về số lượng thí nghiệm (cân), giá trị trung bình số học phản ứng với sự gia tăng này ngày càng ít hơn và với số lượng thí nghiệm đủ lớn, thực tế sẽ không còn thay đổi.

Cần lưu ý rằng đặc tính quan trọng nhất về vị trí của một biến ngẫu nhiên - kỳ vọng toán học - không tồn tại đối với tất cả các biến ngẫu nhiên. Có thể soạn các ví dụ về các biến ngẫu nhiên như vậy mà kỳ vọng toán học không tồn tại, vì tổng hoặc tích phân tương ứng phân kỳ. Tuy nhiên, những trường hợp như vậy không được quan tâm nhiều trong thực tế. Thông thường, các biến ngẫu nhiên mà chúng ta xử lý có một phạm vi giới hạn các giá trị có thể có và tất nhiên có kỳ vọng toán học.

Ngoài các đặc điểm quan trọng nhất về vị trí của biến ngẫu nhiên - kỳ vọng toán học - trong thực tế, các đặc điểm khác của vị trí đôi khi cũng được sử dụng, đặc biệt là mode và trung vị của biến ngẫu nhiên.

Mode của một biến ngẫu nhiên là giá trị có thể xảy ra nhất của nó. Nói một cách chính xác, thuật ngữ “giá trị có thể xảy ra nhất” chỉ áp dụng cho các đại lượng không liên tục; đối với một đại lượng liên tục, mode là giá trị tại đó mật độ xác suất là lớn nhất. Các hình vẽ lần lượt thể hiện chế độ của các biến ngẫu nhiên không liên tục và liên tục.

Nếu đa giác phân phối (đường cong phân phối) có nhiều hơn một mức tối đa thì phân phối được gọi là "đa phương thức".

Đôi khi có những phân phối có mức tối thiểu ở giữa thay vì mức tối đa. Những phân phối như vậy được gọi là “phản phương thức”.

Trong trường hợp tổng quát, mode và kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên không trùng nhau. Trong trường hợp cụ thể, khi phân bố đối xứng và có tính chất phương thức (tức là có một phương thức) và có kỳ vọng toán học thì nó trùng với phương thức và tâm đối xứng của phương thức phân bố.

Một đặc điểm vị trí khác thường được sử dụng - cái gọi là trung vị của một biến ngẫu nhiên. Đặc tính này thường chỉ được sử dụng cho các biến ngẫu nhiên liên tục, mặc dù nó có thể được xác định chính thức cho biến không liên tục. Về mặt hình học, đường trung tuyến là hoành độ của điểm mà tại đó diện tích được bao quanh bởi đường cong phân phối được chia làm đôi.

Trong trường hợp phân phối phương thức đối xứng, trung vị trùng với kỳ vọng và phương thức toán học.

Kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên - một đặc tính số của phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên. Một cách tổng quát nhất, kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X(w)được định nghĩa là tích phân Lebesgue đối với thước đo xác suất R trong không gian xác suất ban đầu:

Kỳ vọng toán học cũng có thể được tính bằng tích phân Lebesgue của X theo phân bố xác suất px số lượng X:

Khái niệm biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán học vô hạn có thể được định nghĩa một cách tự nhiên. Một ví dụ điển hình là thời gian quay trở lại của một số bước đi ngẫu nhiên.

Sử dụng kỳ vọng toán học, nhiều đặc tính số và hàm của một phân bố được xác định (như kỳ vọng toán học của các hàm tương ứng của một biến ngẫu nhiên), ví dụ: hàm sinh, hàm đặc trưng, ​​mô men theo thứ tự bất kỳ, đặc biệt là độ phân tán, hiệp phương sai .

Kỳ vọng toán học là một đặc tính về vị trí của các giá trị của một biến ngẫu nhiên (giá trị trung bình của phân bố của nó). Trong khả năng này, kỳ vọng toán học đóng vai trò như một tham số phân bố “điển hình” nào đó và vai trò của nó tương tự như vai trò của mômen tĩnh - tọa độ của trọng tâm phân bố khối lượng - trong cơ học. Từ các đặc điểm khác của vị trí mà sự phân bố được mô tả bằng các thuật ngữ chung - trung vị, chế độ, kỳ vọng toán học khác nhau ở giá trị lớn hơn mà nó và đặc tính tán xạ tương ứng - độ phân tán - có trong các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất. Ý nghĩa của kỳ vọng toán học được bộc lộ đầy đủ nhất qua định luật số lớn (bất đẳng thức Chebyshev) và định luật củng cố số lớn.

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử có một biến ngẫu nhiên nào đó có thể nhận một trong nhiều giá trị số (ví dụ: số điểm khi ném xúc xắc có thể là 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6). Thông thường trong thực tế, đối với một giá trị như vậy, câu hỏi đặt ra là: "trung bình" nó nhận được giá trị nào với một số lượng lớn các thử nghiệm? Thu nhập (hoặc lỗ) trung bình của chúng ta từ mỗi giao dịch rủi ro sẽ là bao nhiêu?

Giả sử có một loại xổ số nào đó. Chúng tôi muốn hiểu liệu việc tham gia vào nó có mang lại lợi nhuận hay không (hoặc thậm chí tham gia nhiều lần, thường xuyên). Giả sử mỗi vé thứ tư là người chiến thắng, giải thưởng sẽ là 300 rúp và giá của bất kỳ vé nào sẽ là 100 rúp. Với số lượng người tham gia vô cùng lớn, đây là điều sẽ xảy ra. Trong 3/4 trường hợp, chúng tôi sẽ thua, cứ ba lần thua sẽ tốn 300 rúp. Trong mọi trường hợp thứ tư, chúng tôi sẽ giành được 200 rúp. (giải thưởng trừ đi chi phí), nghĩa là, đối với bốn lần tham gia, chúng tôi mất trung bình 100 rúp cho một lần tham gia - trung bình là 25 rúp. Tổng cộng, tỷ lệ hủy hoại trung bình của chúng tôi sẽ là 25 rúp mỗi vé.

Chúng tôi ném xúc xắc. Nếu không gian lận (không dịch chuyển trọng tâm, v.v.), thì trung bình mỗi lần chúng ta sẽ có bao nhiêu điểm? Vì mỗi lựa chọn đều có khả năng xảy ra như nhau nên chúng ta chỉ cần lấy trung bình số học và nhận được 3,5. Vì đây là TRUNG BÌNH nên không cần phải phẫn nộ vì không có cuộn cụ thể nào sẽ cho 3,5 điểm - à, khối lập phương này không có mặt với con số như vậy!

Bây giờ hãy tóm tắt các ví dụ của chúng tôi:

Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh vừa được đưa ra. Bên trái là bảng phân phối của một biến ngẫu nhiên. Giá trị X có thể nhận một trong n giá trị có thể (hiển thị ở dòng trên cùng). Không thể có bất kỳ ý nghĩa nào khác. Dưới mỗi giá trị có thể, xác suất của nó được viết dưới đây. Bên phải là công thức, trong đó M(X) được gọi là kỳ vọng toán học. Ý nghĩa của giá trị này là với số lượng lớn các thử nghiệm (với một mẫu lớn), giá trị trung bình sẽ có xu hướng giống với kỳ vọng toán học này.

Hãy quay trở lại cùng một khối chơi. Kỳ vọng toán học về số điểm khi ném là 3,5 (bạn tự tính theo công thức nếu bạn không tin tôi). Giả sử bạn đã ném nó một vài lần. Kết quả là 4 và 6. Điểm trung bình là 5, cách xa 3,5. Họ ném nó thêm một lần nữa, họ nhận được 3, tức là trung bình (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Không hiểu sao lại khác xa với kỳ vọng toán học. Bây giờ hãy thực hiện một thí nghiệm điên rồ - lăn khối lập phương 1000 lần! Và ngay cả khi mức trung bình không chính xác là 3,5 thì nó cũng sẽ gần với mức đó.

Hãy tính kỳ vọng toán học cho xổ số được mô tả ở trên. Tấm sẽ trông như thế này:

Khi đó kỳ vọng toán học sẽ như chúng ta đã thiết lập ở trên:

Một điều nữa là sẽ khó thực hiện “trên ngón tay” nếu không có công thức nếu có nhiều lựa chọn hơn. Chà, giả sử sẽ có 75% vé thua, 20% vé thắng và 5% đặc biệt là vé thắng.

Bây giờ một số tính chất của kỳ vọng toán học.

Thật dễ dàng để chứng minh:

Hệ số không đổi có thể được coi là dấu của kỳ vọng toán học, đó là:

Đây là trường hợp đặc biệt của tính chất tuyến tính của kỳ vọng toán học.

Một hệ quả khác của tính tuyến tính của kỳ vọng toán học:

nghĩa là kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của các biến ngẫu nhiên.

Đặt X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, Sau đó:

Điều này cũng dễ chứng minh) XY bản thân nó là một biến ngẫu nhiên và nếu các giá trị ban đầu có thể lấy N Và tôi các giá trị tương ứng thì XY có thể nhận giá trị nm. Xác suất của mỗi giá trị được tính toán dựa trên thực tế là xác suất của các sự kiện độc lập được nhân lên. Kết quả là, chúng tôi nhận được điều này:

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên liên tục

Các biến ngẫu nhiên liên tục có đặc điểm như mật độ phân phối (mật độ xác suất). Về cơ bản, nó đặc trưng cho tình huống một biến ngẫu nhiên lấy một số giá trị từ tập hợp số thực thường xuyên hơn và một số ít thường xuyên hơn. Ví dụ: hãy xem xét biểu đồ này:

Đây X- biến ngẫu nhiên thực tế, f(x)- mật độ phân bố. Đánh giá theo biểu đồ này, trong quá trình thử nghiệm, giá trị X thường sẽ là một số gần bằng 0. Cơ hội đã vượt quá 3 hoặc nhỏ hơn -3 khá thuần túy về mặt lý thuyết.

Ví dụ: giả sử có sự phân bố đồng đều:

Điều này khá phù hợp với sự hiểu biết trực quan. Giả sử, nếu chúng ta nhận được nhiều số thực ngẫu nhiên có phân bố đều, thì mỗi phân số |0; 1| thì giá trị trung bình số học phải vào khoảng 0,5.

Các tính chất của kỳ vọng toán học - tính tuyến tính, v.v., áp dụng cho các biến ngẫu nhiên rời rạc, cũng được áp dụng ở đây.

Mối quan hệ giữa kỳ vọng toán học và các chỉ số thống kê khác

Trong phân tích thống kê, cùng với kỳ vọng toán học, có một hệ thống các chỉ số phụ thuộc lẫn nhau phản ánh tính đồng nhất của các hiện tượng và tính ổn định của các quá trình. Các chỉ số biến thiên thường không có ý nghĩa độc lập và được sử dụng để phân tích dữ liệu sâu hơn. Ngoại lệ là hệ số biến thiên, đặc trưng cho tính đồng nhất của dữ liệu, là một đặc tính thống kê có giá trị.

Mức độ biến đổi hoặc tính ổn định của các quá trình trong khoa học thống kê có thể được đo lường bằng một số chỉ số.

Chỉ số quan trọng nhất mô tả sự biến thiên của một biến ngẫu nhiên là phân tán, liên quan chặt chẽ và trực tiếp nhất đến kỳ vọng toán học. Tham số này được sử dụng tích cực trong các loại phân tích thống kê khác (kiểm tra giả thuyết, phân tích mối quan hệ nhân quả, v.v.). Giống như độ lệch tuyến tính trung bình, phương sai cũng phản ánh mức độ phân tán dữ liệu xung quanh giá trị trung bình.

Sẽ rất hữu ích nếu dịch ngôn ngữ ký hiệu sang ngôn ngữ của từ ngữ. Hóa ra độ phân tán là bình phương trung bình của độ lệch. Nghĩa là, giá trị trung bình được tính toán đầu tiên, sau đó chênh lệch giữa mỗi giá trị ban đầu và trung bình được lấy, bình phương, cộng lại, sau đó chia cho số giá trị trong tổng thể. Sự khác biệt giữa một giá trị riêng lẻ và giá trị trung bình phản ánh thước đo độ lệch. Nó được bình phương sao cho tất cả các độ lệch chỉ trở thành số dương và tránh sự phá hủy lẫn nhau của các độ lệch dương và âm khi tổng hợp chúng. Sau đó, với độ lệch bình phương, chúng ta chỉ cần tính giá trị trung bình số học. Trung bình - bình phương - độ lệch. Các độ lệch được bình phương và tính giá trị trung bình. Câu trả lời cho từ kỳ diệu “phân tán” chỉ nằm trong ba từ.

Tuy nhiên, ở dạng thuần túy, chẳng hạn như trung bình số học hoặc chỉ số, độ phân tán không được sử dụng. Nó đúng hơn là một chỉ báo phụ trợ và trung gian được sử dụng cho các loại phân tích thống kê khác. Nó thậm chí không có đơn vị đo lường bình thường. Đánh giá theo công thức, đây là bình phương của đơn vị đo của dữ liệu gốc.

Chúng ta hãy đo một biến ngẫu nhiên N lần, chẳng hạn, chúng tôi đo tốc độ gió mười lần và muốn tìm giá trị trung bình. Giá trị trung bình liên quan đến hàm phân phối như thế nào?

Hoặc chúng ta sẽ tung xúc xắc nhiều lần. Số điểm sẽ xuất hiện trên xúc xắc sau mỗi lần ném xúc xắc là một biến ngẫu nhiên và có thể nhận bất kỳ giá trị tự nhiên nào từ 1 đến 6. Giá trị trung bình số học của số điểm rơi được tính cho tất cả các lần ném xúc xắc cũng là một biến ngẫu nhiên, nhưng đối với số điểm lớn. N nó hướng đến một con số rất cụ thể - kỳ vọng toán học Mx. Trong trường hợp này Mx = 3,5.

Làm thế nào bạn có được giá trị này? Cho vào N kiểm tra n1 khi bạn nhận được 1 điểm, n2 một lần - 2 điểm, v.v. Sau đó, số kết quả có một điểm giảm:

Tương tự cho kết quả khi tung được 2, 3, 4, 5 và 6 điểm.

Bây giờ giả sử ta biết luật phân phối của biến ngẫu nhiên x, tức là ta biết biến ngẫu nhiên x có thể nhận các giá trị x1, x2, ..., xk với các xác suất p1, p2, ..., pk.

Kỳ vọng toán học Mx của biến ngẫu nhiên x bằng:

Kỳ vọng toán học không phải lúc nào cũng là ước tính hợp lý của một số biến ngẫu nhiên. Vì vậy, để ước tính mức lương trung bình, sẽ hợp lý hơn khi sử dụng khái niệm trung vị, tức là giá trị sao cho số người nhận được mức lương thấp hơn mức trung vị và số lớn hơn trùng khớp với nhau.

Xác suất p1 để biến ngẫu nhiên x sẽ nhỏ hơn x1/2 và xác suất p2 để biến ngẫu nhiên x sẽ lớn hơn x1/2 đều bằng nhau và bằng 1/2. Trung vị không được xác định duy nhất cho tất cả các phân phối.

Độ lệch chuẩn hoặc tiêu chuẩn trong thống kê, mức độ sai lệch của dữ liệu quan sát hoặc các tập hợp so với giá trị TRUNG BÌNH được gọi là. Ký hiệu bằng chữ cái s hoặc s. Độ lệch chuẩn nhỏ cho biết các cụm dữ liệu xung quanh giá trị trung bình, trong khi độ lệch chuẩn lớn cho biết dữ liệu ban đầu nằm cách xa giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của một đại lượng gọi là phương sai. Nó là giá trị trung bình của tổng các sai phân bình phương của dữ liệu ban đầu lệch khỏi giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên là căn bậc hai của phương sai:

Ví dụ. Trong điều kiện thử nghiệm khi bắn vào mục tiêu, hãy tính độ phân tán và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên:

Biến thể- sự dao động, khả năng thay đổi giá trị của một đặc tính giữa các đơn vị dân số. Các giá trị số riêng lẻ của một đặc điểm được tìm thấy trong quần thể đang nghiên cứu được gọi là các biến thể của giá trị. Việc thiếu giá trị trung bình để mô tả đầy đủ dân số buộc chúng ta phải bổ sung các giá trị trung bình bằng các chỉ số cho phép chúng ta đánh giá tính điển hình của các mức trung bình này bằng cách đo lường độ biến thiên (biến thiên) của đặc tính đang được nghiên cứu. Hệ số biến thiên được tính theo công thức:

Phạm vi biến đổi(R) biểu thị sự khác biệt giữa giá trị tối đa và tối thiểu của thuộc tính trong quần thể đang được nghiên cứu. Chỉ báo này đưa ra ý tưởng chung nhất về tính biến thiên của đặc tính đang được nghiên cứu, vì nó chỉ hiển thị sự khác biệt giữa các giá trị tối đa của các tùy chọn. Sự phụ thuộc vào các giá trị cực trị của một đặc tính làm cho phạm vi biến đổi trở thành một ký tự ngẫu nhiên, không ổn định.

Độ lệch tuyến tính trung bình biểu thị giá trị trung bình số học của độ lệch tuyệt đối (modulo) của tất cả các giá trị của dân số được phân tích so với giá trị trung bình của chúng:

Kỳ vọng toán học trong lý thuyết cờ bạc

Kỳ vọng toán học là Số tiền trung bình mà một con bạc có thể thắng hoặc thua khi đặt cược. Đây là một khái niệm rất quan trọng đối với người chơi vì nó là nền tảng để đánh giá hầu hết các tình huống chơi game. Kỳ vọng toán học cũng là công cụ tối ưu để phân tích cách bố trí quân bài cơ bản và các tình huống chơi game.

Giả sử bạn đang chơi trò chơi xu với một người bạn, đặt cược bằng nhau 1 đô la mỗi lần, bất kể điều gì xảy ra. Mặt sấp nghĩa là bạn thắng, mặt ngửa nghĩa là bạn thua. Tỷ lệ cược là 1 ăn 1 là nó sẽ ngửa, vì vậy bạn đặt cược từ 1 đến 1 đô la. Do đó, kỳ vọng toán học của bạn bằng 0, bởi vì Từ quan điểm toán học, bạn không thể biết mình sẽ dẫn trước hay thua sau hai lần ném hay sau 200.

Mức tăng hàng giờ của bạn bằng không. Tiền thắng hàng giờ là số tiền bạn mong đợi giành được trong một giờ. Bạn có thể tung đồng xu 500 lần trong một giờ, nhưng bạn sẽ không thắng hay thua vì... cơ hội của bạn không tích cực cũng không tiêu cực. Nếu nhìn từ góc độ của một người chơi nghiêm túc, hệ thống cá cược này không tệ. Nhưng điều này chỉ đơn giản là một sự lãng phí thời gian.

Nhưng giả sử ai đó muốn đặt cược 2 đô la vào 1 đô la của bạn trong cùng một trò chơi. Sau đó, bạn ngay lập tức có kỳ vọng tích cực là 50 xu từ mỗi lần đặt cược. Tại sao lại là 50 xu? Trung bình, bạn thắng một lần đặt cược và thua lần thứ hai. Đặt cược đô la đầu tiên và bạn sẽ thua 1 đô la, đặt cược lần thứ hai và bạn sẽ thắng 2 đô la. Bạn đặt cược 1 đô la hai lần và dẫn trước 1 đô la. Vì vậy, mỗi lần đặt cược một đô la của bạn mang lại cho bạn 50 xu.

Nếu một đồng xu xuất hiện 500 lần trong một giờ, số tiền thắng hàng giờ của bạn sẽ là 250 USD, bởi vì... Trung bình, bạn thua 1 đô la 250 lần và thắng 2 đô la 250 lần. $500 trừ đi $250 bằng $250, là tổng số tiền thắng. Xin lưu ý rằng giá trị dự kiến, tức là số tiền trung bình bạn thắng được cho mỗi lần đặt cược, là 50 xu. Bạn đã thắng 250 đô la bằng cách đặt cược 1 đô la 500 lần, tương đương 50 xu cho mỗi lần đặt cược.

Kỳ vọng toán học không liên quan gì đến kết quả ngắn hạn. Đối thủ của bạn, người đã quyết định đặt cược 2 đô la chống lại bạn, có thể đánh bại bạn trong mười lượt đầu tiên liên tiếp, nhưng bạn, có lợi thế cá cược 2 ăn 1, tất cả các yếu tố khác đều bằng nhau, sẽ kiếm được 50 xu cho mỗi lần đặt cược 1 đô la trong bất kỳ trận đấu nào. trường hợp. Sẽ không có gì khác biệt dù bạn thắng hay thua một lần đặt cược hay nhiều lần đặt cược, miễn là bạn có đủ tiền mặt để thoải mái trang trải chi phí. Nếu bạn tiếp tục đặt cược theo cách tương tự, thì trong một thời gian dài, số tiền thắng của bạn sẽ đạt đến tổng số kỳ vọng trong các lần ném riêng lẻ.

Mỗi khi bạn đặt cược tốt nhất (một cuộc đặt cược có thể mang lại lợi nhuận về lâu dài), khi tỷ lệ cược có lợi cho bạn, bạn chắc chắn sẽ thắng được thứ gì đó ở đó, bất kể bạn có thua hay không trong trận đấu. trao tay. Ngược lại, nếu bạn đặt cược cửa dưới (cược không có lãi về lâu dài) khi tỷ lệ cược chống lại bạn, bạn sẽ thua một số thứ bất kể bạn thắng hay thua.

Bạn đặt cược với kết quả tốt nhất nếu kỳ vọng của bạn là tích cực và sẽ tích cực nếu tỷ lệ cược nghiêng về phía bạn. Khi bạn đặt cược với kết quả tồi tệ nhất, bạn có kỳ vọng tiêu cực, điều này xảy ra khi tỷ lệ cược chống lại bạn. Những người chơi nghiêm túc chỉ đặt cược vào kết quả tốt nhất; nếu điều tồi tệ nhất xảy ra, họ sẽ bỏ bài. Tỷ lệ cược có ý nghĩa gì đối với bạn? Bạn có thể sẽ thắng nhiều hơn tỷ lệ cược thực sự mang lại. Tỷ lệ thực tế của việc hạ cánh là 1 ăn 1, nhưng bạn nhận được 2 ăn 1 do tỷ lệ cược. Trong trường hợp này, tỷ lệ cược đang có lợi cho bạn. Bạn chắc chắn nhận được kết quả tốt nhất với kỳ vọng tích cực là 50 xu cho mỗi lần đặt cược.

Đây là một ví dụ phức tạp hơn về kỳ vọng toán học. Một người bạn viết các số từ một đến năm và đặt cược 5 đô la vào 1 đô la của bạn rằng bạn sẽ không đoán được số đó. Bạn có nên đồng ý đặt cược như vậy? Sự mong đợi ở đây là gì?

Trung bình bạn sẽ sai bốn lần. Dựa trên điều này, tỷ lệ bạn đoán được số đó là 4 trên 1. Tỷ lệ bạn mất một đô la trong một lần thử. Tuy nhiên, bạn thắng 5 ăn 1, có khả năng thua 4 ăn 1. Vì vậy, tỷ lệ cược nghiêng về bạn, bạn có thể đặt cược và hy vọng vào kết quả tốt nhất. Nếu bạn đặt cược này năm lần, trung bình bạn sẽ thua 1 đô la bốn lần và thắng 5 đô la một lần. Dựa trên điều này, với tất cả năm lần thử, bạn sẽ kiếm được 1 đô la với kỳ vọng toán học dương là 20 xu cho mỗi lần đặt cược.

Một người chơi sẽ thắng nhiều hơn số tiền anh ta đặt cược, như trong ví dụ trên, đang nắm lấy cơ hội. Ngược lại, anh ta sẽ phá hỏng cơ hội của mình khi anh ta mong đợi sẽ thắng ít hơn số tiền anh ta đặt cược. Người đặt cược có thể có kỳ vọng tích cực hoặc tiêu cực, điều này phụ thuộc vào việc anh ta thắng hay làm hỏng tỷ lệ cược.

Nếu bạn đặt cược 50 đô la để thắng 10 đô la với cơ hội thắng 4 ăn 1, bạn sẽ có kỳ vọng âm là 2 đô la vì Trung bình, bạn sẽ thắng 10 đô la bốn lần và thua 50 đô la một lần, điều này cho thấy số tiền thua mỗi lần đặt cược sẽ là 10 đô la. Nhưng nếu bạn đặt cược 30 đô la để thắng 10 đô la, với cùng tỷ lệ thắng 4 ăn 1, thì trong trường hợp này bạn có kỳ vọng dương là 2 đô la, bởi vì bạn lại thắng 10 đô la bốn lần và thua 30 đô la một lần, với số tiền lãi là 10 đô la. Những ví dụ này cho thấy lần đặt cược đầu tiên là xấu và lần đặt cược thứ hai là tốt.

Kỳ vọng toán học là trung tâm của mọi tình huống chơi game. Khi một nhà cái khuyến khích người hâm mộ bóng đá đặt cược 11 đô la để thắng 10 đô la, anh ta có kỳ vọng tích cực là 50 xu cho mỗi 10 đô la. Nếu sòng bạc trả số tiền chẵn từ đường chuyền trong xúc xắc thì kỳ vọng tích cực của sòng bạc sẽ là khoảng 1,40 đô la cho mỗi 100 đô la, bởi vì Trò chơi này được cấu trúc sao cho ai đặt cược vào dòng này thua trung bình 50,7% và thắng 49,3% tổng thời gian. Không còn nghi ngờ gì nữa, chính kỳ vọng tích cực tưởng chừng như tối thiểu này đã mang lại lợi nhuận khổng lồ cho các chủ sòng bạc trên toàn thế giới. Như chủ sở hữu sòng bạc Vegas World, Bob Stupak đã lưu ý, “xác suất âm một phần nghìn của một phần trăm trong một khoảng cách đủ dài sẽ hủy hoại người giàu nhất thế giới”.

Kỳ vọng khi chơi Poker

Trò chơi Poker là ví dụ minh họa và minh họa rõ nhất về mặt sử dụng lý thuyết và tính chất của kỳ vọng toán học.

Giá trị kỳ vọng trong Poker là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện là quyết định đó có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết về số lượng lớn và khoảng cách xa. Một trò chơi poker thành công là luôn chấp nhận những nước đi có giá trị kỳ vọng dương.

Ý nghĩa toán học của kỳ vọng toán học khi chơi poker là chúng ta thường gặp các biến số ngẫu nhiên khi đưa ra quyết định (không biết đối thủ có bài gì trên tay, bài nào sẽ ra ở các vòng cược tiếp theo). Chúng ta phải xem xét từng giải pháp theo quan điểm của lý thuyết số lớn, trong đó phát biểu rằng với một mẫu đủ lớn, giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên sẽ có xu hướng giống với kỳ vọng toán học của nó.

Trong số các công thức cụ thể để tính kỳ vọng toán học, công thức sau đây được áp dụng nhiều nhất trong poker:

Khi chơi bài poker, giá trị kỳ vọng có thể được tính cho cả cược và cuộc gọi. Trong trường hợp đầu tiên, tỷ lệ gấp đôi nên được tính đến, trong trường hợp thứ hai, tỷ lệ cược của chính ngân hàng. Khi đánh giá kỳ vọng toán học của một nước đi cụ thể, bạn nên nhớ rằng một ván gấp luôn có kỳ vọng bằng 0. Vì vậy, loại bỏ quân bài sẽ luôn là một quyết định có lợi hơn bất kỳ động thái tiêu cực nào.

Kỳ vọng cho bạn biết bạn có thể mong đợi điều gì (lợi nhuận hoặc thua lỗ) đối với mỗi đô la bạn gặp rủi ro. Sòng bạc kiếm tiền vì kỳ vọng toán học của tất cả các trò chơi được chơi trong đó đều có lợi cho sòng bạc. Với một chuỗi trò chơi đủ dài, bạn có thể mong đợi rằng khách hàng sẽ mất tiền của mình, vì “tỷ lệ cược” nghiêng về sòng bạc. Tuy nhiên, những người chơi sòng bạc chuyên nghiệp giới hạn trò chơi của họ trong khoảng thời gian ngắn, từ đó nâng cao tỷ lệ cược có lợi cho họ. Việc đầu tư cũng vậy. Nếu kỳ vọng của bạn là tích cực, bạn có thể kiếm được nhiều tiền hơn bằng cách thực hiện nhiều giao dịch trong một khoảng thời gian ngắn. Kỳ vọng là tỷ lệ phần trăm lợi nhuận trên mỗi chiến thắng nhân với lợi nhuận trung bình của bạn, trừ đi khả năng thua lỗ nhân với mức lỗ trung bình của bạn.

Poker cũng có thể được xem xét từ quan điểm kỳ vọng toán học. Bạn có thể cho rằng một nước đi nhất định sẽ mang lại lợi nhuận, nhưng trong một số trường hợp, nó có thể không phải là nước đi tốt nhất vì một nước đi khác có lợi hơn. Giả sử bạn đánh được toàn bộ bài trong bài poker rút năm lá bài. Đối thủ của bạn đặt cược. Bạn biết rằng nếu bạn tăng tiền cược, anh ta sẽ đáp lại. Vì vậy, nâng cao dường như là chiến thuật tốt nhất. Nhưng nếu bạn raise thì chắc chắn hai người chơi còn lại sẽ bỏ bài. Nhưng nếu bạn call, bạn hoàn toàn tin tưởng rằng hai người chơi còn lại phía sau bạn cũng sẽ làm như vậy. Khi bạn tố cược, bạn sẽ nhận được một đơn vị và khi bạn chỉ cần theo cược, bạn sẽ nhận được hai đơn vị. Vì vậy, việc call mang lại cho bạn giá trị kỳ vọng tích cực cao hơn và sẽ là chiến thuật tốt nhất.

Kỳ vọng toán học cũng có thể đưa ra ý tưởng về chiến thuật poker nào mang lại ít lợi nhuận hơn và chiến thuật nào mang lại nhiều lợi nhuận hơn. Ví dụ: nếu bạn chơi một ván bài nhất định và bạn cho rằng số tiền thua của bạn sẽ trung bình là 75 xu bao gồm cả tiền cược, thì bạn nên chơi ván bài đó vì điều này tốt hơn là bỏ bài khi tiền cược là 1 đô la.

Một lý do quan trọng khác để hiểu khái niệm giá trị kỳ vọng là nó mang lại cho bạn cảm giác yên tâm dù bạn có thắng cược hay không: nếu bạn đặt cược tốt hoặc bỏ bài đúng lúc, bạn sẽ biết mình đã kiếm được hoặc đã tiết kiệm được một số tiền nhất định mà người chơi yếu hơn không thể tiết kiệm được. Sẽ khó bỏ bài hơn nhiều nếu bạn khó chịu vì đối thủ của bạn có bài mạnh hơn. Với tất cả những điều này, số tiền bạn tiết kiệm được bằng cách không chơi thay vì cá cược sẽ được cộng vào số tiền thắng của bạn trong đêm hoặc tháng.

Chỉ cần nhớ rằng nếu bạn đổi bài, đối thủ của bạn sẽ theo bạn, và như bạn sẽ thấy trong bài viết Định lý cơ bản về Poker, đây chỉ là một trong những lợi thế của bạn. Bạn nên vui mừng khi điều này xảy ra. Bạn thậm chí có thể học cách tận hưởng việc thua một ván bài vì bạn biết rằng những người chơi khác ở vị trí của bạn sẽ thua nhiều hơn.

Như đã đề cập trong ví dụ về trò chơi tiền xu ở phần đầu, tỷ lệ lợi nhuận hàng giờ có liên quan đến kỳ vọng toán học và khái niệm này đặc biệt quan trọng đối với những người chơi chuyên nghiệp. Khi đi chơi poker, bạn nên ước tính trong đầu xem mình có thể thắng được bao nhiêu trong một giờ chơi. Trong hầu hết các trường hợp, bạn sẽ cần phải dựa vào trực giác và kinh nghiệm của mình, nhưng bạn cũng có thể sử dụng một số phép toán. Ví dụ: bạn đang chơi draw lowball và bạn thấy ba người chơi đặt cược 10 đô la và sau đó đổi hai lá bài, đây là một chiến thuật rất tệ, bạn có thể nhận ra rằng mỗi lần họ đặt cược 10 đô la, họ sẽ thua khoảng 2 đô la. Mỗi người trong số họ thực hiện việc này tám lần mỗi giờ, điều đó có nghĩa là cả ba người đều mất khoảng 48 USD mỗi giờ. Bạn là một trong bốn người chơi còn lại có số điểm gần bằng nhau, vì vậy bốn người chơi này (và bạn trong số họ) phải chia 48 đô la, mỗi người kiếm được 12 đô la mỗi giờ. Tỷ lệ cược hàng giờ của bạn trong trường hợp này chỉ đơn giản bằng phần chia của bạn trong số tiền bị mất bởi ba người chơi xấu trong một giờ.

Trong một khoảng thời gian dài, tổng số tiền thắng của người chơi là tổng số kỳ vọng toán học của anh ta trong từng ván bài. Càng chơi nhiều ván bài với kỳ vọng tích cực thì bạn càng thắng nhiều, và ngược lại, bạn chơi càng nhiều ván bài với kỳ vọng tiêu cực thì bạn càng thua nhiều. Do đó, bạn nên chọn một trò chơi có thể tối đa hóa dự đoán tích cực của bạn hoặc phủ nhận dự đoán tiêu cực của bạn để bạn có thể tối đa hóa số tiền thắng hàng giờ của mình.

Kỳ vọng toán học tích cực trong chiến lược chơi game

Nếu bạn biết cách đếm bài, bạn có thể có lợi thế hơn sòng bạc, miễn là họ không chú ý và ném bạn ra ngoài. Sòng bạc yêu thích những người chơi say rượu và không chấp nhận những người chơi đếm bài. Một lợi thế sẽ cho phép bạn thắng nhiều lần hơn thua theo thời gian. Quản lý tiền tốt bằng cách sử dụng các tính toán giá trị kỳ vọng có thể giúp bạn thu được nhiều lợi nhuận hơn từ lợi thế của mình và giảm tổn thất. Nếu không có lợi thế, tốt hơn hết bạn nên quyên tiền làm từ thiện. Trong trò chơi trên sàn giao dịch chứng khoán, lợi thế được đưa ra bởi hệ thống trò chơi, tạo ra lợi nhuận lớn hơn thua lỗ, chênh lệch giá và hoa hồng. Không có cách quản lý tiền nào có thể cứu được một hệ thống chơi game tồi.

Kỳ vọng tích cực được định nghĩa là giá trị lớn hơn 0. Con số này càng lớn thì kỳ vọng thống kê càng mạnh. Nếu giá trị nhỏ hơn 0 thì kỳ vọng toán học cũng sẽ âm. Mô-đun có giá trị âm càng lớn thì tình hình càng tệ. Nếu kết quả bằng 0 thì thời gian chờ là hòa vốn. Bạn chỉ có thể giành chiến thắng khi có kỳ vọng toán học tích cực và hệ thống chơi hợp lý. Chơi theo trực giác sẽ dẫn đến thảm họa.

Kỳ vọng toán học và giao dịch chứng khoán

Kỳ vọng toán học là một chỉ báo thống kê được sử dụng khá rộng rãi và phổ biến khi thực hiện giao dịch hối đoái trên thị trường tài chính. Trước hết, tham số này được sử dụng để phân tích sự thành công của giao dịch. Không khó để đoán rằng giá trị này càng cao thì càng có nhiều lý do để coi giao dịch đang được nghiên cứu là thành công. Tất nhiên, việc phân tích công việc của nhà giao dịch không thể được thực hiện chỉ bằng tham số này. Tuy nhiên, giá trị được tính toán, kết hợp với các phương pháp đánh giá chất lượng công việc khác, có thể làm tăng đáng kể độ chính xác của phân tích.

Kỳ vọng toán học thường được tính toán trong các dịch vụ giám sát tài khoản giao dịch, cho phép bạn nhanh chóng đánh giá công việc được thực hiện đối với khoản tiền gửi. Các trường hợp ngoại lệ bao gồm các chiến lược sử dụng các giao dịch không có lợi nhuận “ngồi ngoài”. Một nhà giao dịch có thể gặp may mắn trong một thời gian nào đó và do đó công việc của anh ta có thể không bị thua lỗ chút nào. Trong trường hợp này, sẽ không thể chỉ được hướng dẫn bởi kỳ vọng toán học, bởi vì những rủi ro được sử dụng trong công việc sẽ không được tính đến.

Trong giao dịch trên thị trường, kỳ vọng toán học thường được sử dụng nhiều nhất khi dự đoán lợi nhuận của bất kỳ chiến lược giao dịch nào hoặc khi dự đoán thu nhập của nhà giao dịch dựa trên dữ liệu thống kê từ giao dịch trước đó của anh ta.

Liên quan đến quản lý tiền, điều rất quan trọng là phải hiểu rằng khi thực hiện giao dịch với kỳ vọng tiêu cực, không có kế hoạch quản lý tiền nào chắc chắn có thể mang lại lợi nhuận cao. Nếu bạn tiếp tục chơi thị trường chứng khoán trong những điều kiện này thì bất kể bạn quản lý tiền của mình như thế nào, bạn sẽ mất toàn bộ tài khoản của mình, bất kể số tiền ban đầu lớn đến đâu.

Tiên đề này không chỉ đúng với các trò chơi hoặc giao dịch có kỳ vọng tiêu cực mà còn đúng với các trò chơi có cơ hội ngang nhau. Do đó, thời điểm duy nhất bạn có cơ hội kiếm được lợi nhuận trong dài hạn là khi bạn thực hiện các giao dịch có giá trị kỳ vọng dương.

Sự khác biệt giữa kỳ vọng tiêu cực và kỳ vọng tích cực là sự khác biệt giữa sự sống và cái chết. Không quan trọng kỳ vọng đó tích cực hay tiêu cực như thế nào; Điều quan trọng là nó tích cực hay tiêu cực. Vì vậy, trước khi cân nhắc việc quản lý tiền bạc, bạn nên tìm một trò chơi có kỳ vọng tích cực.

Nếu bạn không có trò chơi đó thì mọi cách quản lý tiền trên thế giới sẽ không cứu được bạn. Mặt khác, nếu bạn có kỳ vọng tích cực, bạn có thể, thông qua việc quản lý tiền hợp lý, biến nó thành hàm tăng trưởng theo cấp số nhân. Không quan trọng kỳ vọng tích cực nhỏ đến mức nào! Nói cách khác, việc hệ thống giao dịch có lợi nhuận như thế nào dựa trên một hợp đồng không quan trọng. Nếu bạn có một hệ thống kiếm được 10 USD cho mỗi hợp đồng cho mỗi giao dịch (sau khi trừ hoa hồng và trượt giá), bạn có thể sử dụng các kỹ thuật quản lý tiền để kiếm được nhiều lợi nhuận hơn so với hệ thống kiếm được trung bình 1.000 USD cho mỗi giao dịch (sau khi khấu trừ hoa hồng và trượt giá).

Điều quan trọng không phải là hệ thống mang lại lợi nhuận như thế nào mà là hệ thống có thể chắc chắn như thế nào để đạt được ít nhất lợi nhuận tối thiểu trong tương lai. Do đó, sự chuẩn bị quan trọng nhất mà nhà giao dịch có thể thực hiện là đảm bảo rằng hệ thống sẽ hiển thị giá trị kỳ vọng tích cực trong tương lai.

Để có giá trị kỳ vọng dương trong tương lai, điều quan trọng là không hạn chế mức độ tự do của hệ thống của bạn. Điều này đạt được không chỉ bằng cách loại bỏ hoặc giảm số lượng tham số cần tối ưu hóa mà còn bằng cách giảm càng nhiều quy tắc hệ thống càng tốt. Mọi tham số bạn thêm vào, mọi quy tắc bạn thực hiện, mọi thay đổi nhỏ bạn thực hiện đối với hệ thống đều làm giảm số bậc tự do. Lý tưởng nhất là bạn cần xây dựng một hệ thống khá nguyên thủy và đơn giản để luôn tạo ra lợi nhuận nhỏ ở hầu hết mọi thị trường. Một lần nữa, điều quan trọng là bạn phải hiểu rằng hệ thống sinh lãi như thế nào không quan trọng, miễn là nó có lãi. Số tiền bạn kiếm được trong giao dịch sẽ được tạo ra thông qua việc quản lý tiền hiệu quả.

Hệ thống giao dịch chỉ đơn giản là một công cụ mang lại cho bạn giá trị kỳ vọng tích cực để bạn có thể sử dụng việc quản lý tiền bạc. Các hệ thống hoạt động (hiển thị ít nhất lợi nhuận tối thiểu) chỉ ở một hoặc một vài thị trường hoặc có các quy tắc hoặc thông số khác nhau cho các thị trường khác nhau, rất có thể sẽ không hoạt động lâu dài trong thời gian thực. Vấn đề với hầu hết các nhà giao dịch thiên về kỹ thuật là họ dành quá nhiều thời gian và công sức để tối ưu hóa các quy tắc và giá trị tham số khác nhau của hệ thống giao dịch. Điều này cho kết quả hoàn toàn trái ngược. Thay vì lãng phí năng lượng và thời gian sử dụng máy tính để tăng lợi nhuận của hệ thống giao dịch, hãy hướng năng lượng của bạn vào việc tăng mức độ tin cậy để đạt được lợi nhuận tối thiểu.

Biết rằng quản lý tiền chỉ là một trò chơi với những con số đòi hỏi phải sử dụng những kỳ vọng tích cực, nhà giao dịch có thể ngừng tìm kiếm “chén thánh” trong giao dịch chứng khoán. Thay vào đó, anh ta có thể bắt đầu thử nghiệm phương pháp giao dịch của mình, tìm hiểu xem phương pháp này hợp lý đến mức nào và liệu nó có mang lại những kỳ vọng tích cực hay không. Các phương pháp quản lý tiền phù hợp, được áp dụng cho bất kỳ phương pháp giao dịch nào, thậm chí rất tầm thường, sẽ tự thực hiện phần còn lại của công việc.

Để bất kỳ nhà giao dịch nào thành công trong công việc của mình, anh ta cần giải quyết ba nhiệm vụ quan trọng nhất: . Đảm bảo số lượng giao dịch thành công vượt xa những sai sót, tính toán sai lầm không thể tránh khỏi; Thiết lập hệ thống giao dịch của bạn để bạn có cơ hội kiếm tiền thường xuyên nhất có thể; Đạt được kết quả tích cực ổn định từ hoạt động của bạn.

Và ở đây, đối với chúng tôi, những nhà giao dịch đang làm việc, kỳ vọng toán học có thể giúp ích rất nhiều. Thuật ngữ này là một trong những thuật ngữ quan trọng trong lý thuyết xác suất. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể đưa ra ước tính trung bình của một số giá trị ngẫu nhiên. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên tương tự như trọng tâm, nếu bạn tưởng tượng tất cả các xác suất có thể xảy ra dưới dạng các điểm có khối lượng khác nhau.

Liên quan đến chiến lược giao dịch, kỳ vọng toán học về lãi (hoặc lỗ) thường được sử dụng nhiều nhất để đánh giá tính hiệu quả của nó. Tham số này được định nghĩa là tổng các sản phẩm của các mức lãi và lỗ nhất định và xác suất xảy ra của chúng. Ví dụ: chiến lược giao dịch được phát triển giả định rằng 37% tất cả các giao dịch sẽ mang lại lợi nhuận và phần còn lại - 63% - sẽ không có lãi. Đồng thời, thu nhập trung bình từ một giao dịch thành công sẽ là 7 USD và mức lỗ trung bình sẽ là 1,4 USD. Hãy tính toán kỳ vọng toán học của giao dịch bằng hệ thống này:

con số này có nghĩa là gì? Nó nói rằng, tuân theo các quy tắc của hệ thống này, trung bình chúng tôi sẽ nhận được 1.708 USD từ mỗi giao dịch đã đóng. Vì đánh giá hiệu quả thu được lớn hơn 0 nên hệ thống như vậy có thể được sử dụng cho công việc thực tế. Nếu kết quả của phép tính là kỳ vọng toán học là âm, thì điều này đã cho thấy mức lỗ trung bình và giao dịch như vậy sẽ dẫn đến hủy hoại.

Số tiền lãi trên mỗi giao dịch cũng có thể được biểu thị dưới dạng giá trị tương đối dưới dạng %. Ví dụ:

– tỷ lệ phần trăm thu nhập trên 1 giao dịch - 5%;

– tỷ lệ hoạt động giao dịch thành công - 62%;

– tỷ lệ thua lỗ trên 1 giao dịch - 3%;

– tỷ lệ giao dịch không thành công - 38%;

Nghĩa là, giao dịch trung bình sẽ mang lại 1,96%.

Có thể phát triển một hệ thống, mặc dù chiếm ưu thế là các giao dịch không sinh lời, nhưng sẽ tạo ra kết quả tích cực, vì MO>0.

Tuy nhiên, chỉ chờ đợi thôi là chưa đủ. Rất khó kiếm tiền nếu hệ thống đưa ra rất ít tín hiệu giao dịch. Trong trường hợp này, lợi nhuận của nó sẽ tương đương với lãi suất ngân hàng. Giả sử mỗi hoạt động chỉ tạo ra trung bình 0,5 đô la, nhưng nếu hệ thống bao gồm 1000 hoạt động mỗi năm thì sao? Đây sẽ là một số tiền rất đáng kể trong một thời gian tương đối ngắn. Từ đó, theo logic, một đặc điểm khác biệt khác của một hệ thống giao dịch tốt có thể được coi là thời gian nắm giữ vị thế ngắn.

Nguồn và liên kết

dic.academic.ru – từ điển học thuật trực tuyến

math.ru – trang web giáo dục về toán học

nsu.ru – trang web giáo dục của Đại học bang Novosibirsk

webmath.ru là một cổng thông tin giáo dục dành cho sinh viên, người nộp đơn và học sinh.

trang web giáo dục toán học exponta.ru

ru.tradimo.com – trường giao dịch trực tuyến miễn phí

crypto.hut2.ru – nguồn thông tin đa ngành

poker-wiki.ru – bách khoa toàn thư miễn phí về poker

sernam.ru – Thư viện khoa học tuyển chọn các ấn phẩm khoa học tự nhiên

reshim.su – website CHÚNG TÔI SẼ GIẢI QUYẾT các vấn đề trong bài kiểm tra khóa học

unfx.ru - Forex trên UNFX: đào tạo, tín hiệu giao dịch, quản lý niềm tin

slovopedia.com – Từ điển bách khoa toàn thư lớn Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Hướng dẫn bạn về thế giới poker

statanaliz.info – blog thông tin “Phân tích dữ liệu thống kê”

forex-trader.rf – Cổng thông tin Forex-Trader

megafx.ru – phân tích Forex hiện tại

fx-by.com – mọi thứ dành cho nhà giao dịch

Khái niệm kỳ vọng toán học có thể được xem xét bằng cách sử dụng ví dụ về việc ném xúc xắc. Với mỗi lần ném, số điểm rơi sẽ được ghi lại. Để thể hiện chúng, các giá trị tự nhiên trong phạm vi 1 – 6 được sử dụng.

Sau một số lần ném nhất định, bằng cách sử dụng các phép tính đơn giản, bạn có thể tìm ra giá trị trung bình số học của số điểm đã lăn.

Giống như sự xuất hiện của bất kỳ giá trị nào trong phạm vi, giá trị này sẽ là ngẫu nhiên.

Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn tăng số lần ném lên nhiều lần? Với số lần ném lớn, trung bình số học của các điểm sẽ tiến đến một con số cụ thể mà trong lý thuyết xác suất gọi là kỳ vọng toán học.

Vì vậy, theo kỳ vọng toán học, chúng tôi muốn nói đến giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên. Chỉ báo này cũng có thể được trình bày dưới dạng tổng có trọng số của các giá trị có thể xảy ra.

Khái niệm này có một số từ đồng nghĩa:

• giá trị trung bình;
• giá trị trung bình;
• chỉ báo xu hướng trung tâm;
• Khoảnh khắc đầu tiên.

Nói cách khác, nó không gì khác hơn là một con số xung quanh đó các giá trị của một biến ngẫu nhiên được phân bổ.

Trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, các cách tiếp cận để hiểu kỳ vọng toán học sẽ có phần khác nhau.

Nó có thể được coi là:

• lợi ích trung bình thu được từ việc đưa ra quyết định, khi quyết định đó được xem xét theo quan điểm của lý thuyết số lớn;
• số tiền thắng hoặc thua có thể có (lý thuyết cờ bạc), được tính trung bình cho mỗi lần đặt cược. Trong tiếng lóng, chúng có vẻ giống như “lợi thế của người chơi” (tích cực đối với người chơi) hoặc “lợi thế sòng bạc” (tiêu cực đối với người chơi);
• phần trăm lợi nhuận nhận được từ tiền thắng cược.

Kỳ vọng không bắt buộc đối với tất cả các biến ngẫu nhiên. Nó vắng mặt đối với những người có sự khác biệt về tổng hoặc tích phân tương ứng.

Tính chất của kỳ vọng toán học

Giống như bất kỳ tham số thống kê nào, kỳ vọng toán học có các thuộc tính sau:

Các công thức cơ bản cho kỳ vọng toán học

Việc tính toán kỳ vọng toán học có thể được thực hiện cho cả các biến ngẫu nhiên được đặc trưng bởi cả tính liên tục (công thức A) và tính rời rạc (công thức B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, trong đó xi là các giá trị của biến ngẫu nhiên, pi là xác suất:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, trong đó f(x) là mật độ xác suất đã cho.

Ví dụ về tính toán kỳ vọng toán học

Ví dụ A

Có thể tìm ra chiều cao trung bình của các chú lùn trong truyện cổ tích Bạch Tuyết không? Được biết, mỗi người trong số 7 chú lùn đều có chiều cao nhất định: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 và 0,81m.

Thuật toán tính toán khá đơn giản:

• chúng tôi tìm tổng của tất cả các giá trị của chỉ báo tăng trưởng (biến ngẫu nhiên):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Chia số tiền thu được cho số lượng gnomes:
  6,31:7=0,90.

Như vậy, chiều cao trung bình của các chú lùn trong truyện cổ tích là 90 cm, nói cách khác, đây là kỳ vọng toán học về sự trưởng thành của các chú lùn.

Công thức tính - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Triển khai thực tế kỳ vọng toán học

Việc tính toán chỉ số thống kê về kỳ vọng toán học được sử dụng trong nhiều lĩnh vực hoạt động thực tế khác nhau. Trước hết, chúng ta đang nói về lĩnh vực thương mại. Xét cho cùng, việc Huygens đưa ra chỉ báo này gắn liền với việc xác định các cơ hội có thể thuận lợi hoặc ngược lại, bất lợi đối với một số sự kiện.

Thông số này được sử dụng rộng rãi để đánh giá rủi ro, đặc biệt là khi nói đến đầu tư tài chính.
Như vậy, trong kinh doanh, việc tính toán kỳ vọng có vai trò như một phương pháp đánh giá rủi ro khi tính giá.

Chỉ số này cũng có thể được sử dụng để tính toán hiệu quả của một số biện pháp nhất định, ví dụ như bảo hộ lao động. Nhờ nó, bạn có thể tính toán xác suất xảy ra một sự kiện.

Một lĩnh vực ứng dụng khác của tham số này là quản lý. Nó cũng có thể được tính toán trong quá trình kiểm soát chất lượng sản phẩm. Ví dụ: sử dụng mat. mong đợi, bạn có thể tính toán số lượng các bộ phận bị lỗi có thể được sản xuất.

Kỳ vọng toán học cũng trở nên không thể thiếu khi tiến hành xử lý thống kê các kết quả thu được trong quá trình nghiên cứu khoa học. Nó cho phép bạn tính toán xác suất của kết quả mong muốn hoặc không mong muốn của một thử nghiệm hoặc nghiên cứu tùy thuộc vào mức độ đạt được mục tiêu. Suy cho cùng, thành tựu của nó có thể gắn liền với được và lợi, còn sự thất bại của nó có thể gắn liền với mất mát hoặc mất mát.

Sử dụng kỳ vọng toán học trong Forex

Việc áp dụng thông số thống kê này vào thực tế là có thể thực hiện được khi thực hiện các giao dịch trên thị trường ngoại hối. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể phân tích sự thành công của các giao dịch thương mại. Hơn nữa, sự gia tăng giá trị kỳ vọng cho thấy sự thành công của họ ngày càng tăng.

Điều quan trọng cần nhớ là không nên coi kỳ vọng toán học là thông số thống kê duy nhất được sử dụng để phân tích hiệu suất của nhà giao dịch. Việc sử dụng một số tham số thống kê cùng với giá trị trung bình làm tăng đáng kể độ chính xác của phân tích.

Thông số này đã được chứng minh là tốt trong việc giám sát việc quan sát các tài khoản giao dịch. Nhờ đó, việc đánh giá nhanh chóng công việc được thực hiện trên tài khoản tiền gửi được thực hiện. Trong trường hợp hoạt động của nhà giao dịch thành công và tránh được thua lỗ, không nên chỉ sử dụng phép tính kỳ vọng toán học. Trong những trường hợp này, rủi ro không được tính đến, điều này làm giảm hiệu quả của việc phân tích.

Các nghiên cứu được tiến hành về chiến thuật của nhà giao dịch chỉ ra rằng:

• Các chiến thuật hiệu quả nhất là những chiến thuật dựa trên mục nhập ngẫu nhiên;
• Ít hiệu quả nhất là các chiến thuật dựa trên đầu vào có cấu trúc.

Để đạt được kết quả tích cực, không kém phần quan trọng là:

• chiến thuật quản lý tiền;
• các chiến lược rút lui.

Sử dụng chỉ báo như kỳ vọng toán học, bạn có thể dự đoán lãi hoặc lỗ khi đầu tư 1 đô la. Được biết, chỉ số này, được tính cho tất cả các trò chơi được thực hành trong sòng bạc, có lợi cho cơ sở. Đây là những gì cho phép bạn kiếm tiền. Trong trường hợp chơi một chuỗi trò chơi dài, khả năng khách hàng mất tiền sẽ tăng lên đáng kể.

Các trò chơi do người chơi chuyên nghiệp chơi được giới hạn trong khoảng thời gian ngắn, điều này làm tăng khả năng thắng và giảm nguy cơ thua. Mô hình tương tự được quan sát thấy khi thực hiện các hoạt động đầu tư.

Một nhà đầu tư có thể kiếm được số tiền đáng kể bằng cách có những kỳ vọng tích cực và thực hiện một số lượng lớn giao dịch trong một khoảng thời gian ngắn.

Kỳ vọng có thể được coi là sự khác biệt giữa tỷ lệ phần trăm lợi nhuận (PW) nhân với lợi nhuận trung bình (AW) và xác suất thua lỗ (PL) nhân với khoản lỗ trung bình (AL).

Ví dụ: chúng ta có thể xem xét những điều sau: vị thế – 12,5 nghìn đô la, danh mục đầu tư – 100 nghìn đô la, rủi ro tiền gửi – 1%. Khả năng sinh lời của các giao dịch là 40% các trường hợp với lợi nhuận trung bình là 20%. Trong trường hợp thua lỗ, mức lỗ trung bình là 5%. Tính toán kỳ vọng toán học cho giao dịch sẽ có giá trị là 625 USD.

Các đặc tính số cơ bản của các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục: kỳ vọng toán học, độ phân tán và độ lệch chuẩn. Tính chất và ví dụ của họ.

Luật phân phối (hàm phân phối và chuỗi phân phối hoặc mật độ xác suất) mô tả đầy đủ hành vi của một biến ngẫu nhiên. Nhưng trong một số vấn đề, chỉ cần biết một số đặc tính số của giá trị đang nghiên cứu (ví dụ: giá trị trung bình của nó và độ lệch có thể xảy ra với nó) là đủ để trả lời câu hỏi được đặt ra. Hãy xem xét các đặc điểm số chính của các biến ngẫu nhiên rời rạc.

Định nghĩa 7.1.Kỳ vọng toán học Một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng các tích của các giá trị có thể có của nó và xác suất tương ứng của chúng:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Nếu số lượng giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên là vô hạn thì chuỗi kết quả sẽ hội tụ tuyệt đối.

Lưu ý 1. Kỳ vọng toán học đôi khi được gọi là bình quân gia quyền, vì nó gần bằng giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên qua một số lượng lớn thử nghiệm.

Lưu ý 2. Từ định nghĩa của kỳ vọng toán học, giá trị của nó không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất có thể có của một biến ngẫu nhiên và không lớn hơn giá trị lớn nhất.

Lưu ý 3. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là không ngẫu nhiên(không thay đổi. Sau này chúng ta sẽ thấy điều tương tự cũng đúng với các biến ngẫu nhiên liên tục.

Ví dụ 1. Tìm kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X- số lượng các bộ phận tiêu chuẩn trong số ba bộ phận được chọn từ một lô 10 bộ phận, trong đó có 2 bộ phận bị lỗi. Hãy tạo một chuỗi phân phối cho X. Từ điều kiện bài toán suy ra rằng X có thể lấy các giá trị 1, 2, 3. Khi đó

Ví dụ 2. Xác định kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên X- số lần tung đồng xu trước khi quốc huy xuất hiện lần đầu tiên. Đại lượng này có thể mang vô số giá trị (tập hợp các giá trị có thể có là tập hợp các số tự nhiên). Chuỗi phân phối của nó có dạng:

+ (khi tính toán, công thức tính tổng cấp số nhân giảm vô hạn được sử dụng hai lần: , từ đâu ).

Các tính chất của kỳ vọng toán học.

1) Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng chính hằng số đó:

M(VỚI) = VỚI.(7.2)

Bằng chứng. Nếu chúng ta xem xét VỚI là biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận một giá trị VỚI với xác suất R= 1 thì M(VỚI) = VỚI?1 = VỚI.

2) Hệ số không đổi có thể được rút ra khỏi dấu của kỳ vọng toán học:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Bằng chứng. Nếu biến ngẫu nhiên Xđược cho bởi chuỗi phân phối

Sau đó M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = VỚI(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Định nghĩa 7.2. Hai biến ngẫu nhiên được gọi độc lập, nếu luật phân phối của một trong số chúng không phụ thuộc vào những giá trị mà cái kia đã lấy. Ngược lại các biến ngẫu nhiên sự phụ thuộc.

Định nghĩa 7.3. Hãy gọi tích của các biến ngẫu nhiên độc lập X Và Y biến ngẫu nhiên XY, các giá trị có thể có của nó bằng tích của tất cả các giá trị có thể có X cho tất cả các giá trị có thể Y, và các xác suất tương ứng bằng tích các xác suất của các thừa số.

3) Kỳ vọng toán học của tích hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích kỳ vọng toán học của chúng:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Bằng chứng. Để đơn giản hóa việc tính toán, chúng ta giới hạn trong trường hợp khi X Và Y chỉ nhận hai giá trị có thể:

Kể từ đây, M(XY) = x 1 y 1 ?P 1 g 1 + x 2 y 1 ?P 2 g 1 + x 1 y 2 ?P 1 g 2 + x 2 y 2 ?P 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 P 1 + x 2 P 2) + + y 2 g 2 (x 1 P 1 + x 2 P 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 P 1 + x 2 P 2) = M(X)?M(Y).

Lưu ý 1. Bạn có thể chứng minh tương tự tính chất này với số lượng lớn hơn các giá trị có thể có của các thừa số.

Lưu ý 2. Tính chất 3 đúng với tích của bất kỳ số biến ngẫu nhiên độc lập nào, được chứng minh bằng quy nạp toán học.

Định nghĩa 7.4. Hãy xác định tổng các biến ngẫu nhiên X Và Y như một biến ngẫu nhiên X+Y, các giá trị có thể có của chúng bằng tổng của từng giá trị có thể có X với mọi giá trị có thể Y; xác suất của các tổng như vậy bằng tích các xác suất của các số hạng (đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc - tích của xác suất của một số hạng với xác suất có điều kiện của số hạng thứ hai).

4) Kỳ vọng toán học của tổng hai biến ngẫu nhiên (phụ thuộc hoặc độc lập) bằng tổng kỳ vọng toán học của các số hạng:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Bằng chứng.

Chúng ta hãy xem xét lại các biến ngẫu nhiên được xác định bởi chuỗi phân phối được đưa ra trong chứng minh tính chất 3. Khi đó các giá trị có thể có X+Y là X 1 + Tại 1 , X 1 + Tại 2 , X 2 + Tại 1 , X 2 + Tại 2. Chúng ta hãy biểu thị xác suất của chúng tương ứng là R 11 , R 12 , R 21 và R 22. Chúng ta sẽ tìm thấy M(X+Y) = (x 1 + y 1)P 11 + (x 1 + y 2)P 12 + (x 2 + y 1)P 21 + (x 2 + y 2)P 22 =

= x 1 (P 11 + P 12) + x 2 (P 21 + P 22) + y 1 (P 11 + P 21) + y 2 (P 12 + P 22).

Hãy chứng minh điều đó R 11 + R 22 = R 1 . Thật vậy, sự kiện mà X+Y sẽ nhận các giá trị X 1 + Tại 1 hoặc X 1 + Tại 2 và xác suất của nó là R 11 + R 22 trùng với sự kiện X = X 1 (xác suất của nó là R 1). Nó được chứng minh một cách tương tự rằng P 21 + P 22 = R 2 , P 11 + P 21 = g 1 , P 12 + P 22 = g 2. Có nghĩa,

M(X+Y) = x 1 P 1 + x 2 P 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Bình luận. Từ tính chất 4, suy ra rằng tổng của bất kỳ số lượng biến ngẫu nhiên nào cũng bằng tổng các kỳ vọng toán học của các số hạng.

Ví dụ. Tìm kỳ vọng toán học của tổng số điểm đạt được khi ném năm viên xúc xắc.

Hãy tìm kỳ vọng toán học về số điểm lăn được khi ném một viên xúc xắc:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Cùng một số bằng kỳ vọng toán học về số điểm lăn trên bất kỳ viên xúc xắc nào. Do đó, theo tính chất 4 M(X)=

phân tán.

Để có ý tưởng về hành vi của một biến ngẫu nhiên, việc chỉ biết kỳ vọng toán học của nó là chưa đủ. Hãy xem xét hai biến ngẫu nhiên: X Và Y, được xác định bởi chuỗi phân phối có dạng

Chúng ta sẽ tìm thấy M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Như bạn có thể thấy, kỳ vọng toán học của cả hai đại lượng đều bằng nhau, nhưng nếu với HM(X) mô tả rõ ràng hành vi của một biến ngẫu nhiên, là giá trị có thể xảy ra nhất của nó (và các giá trị còn lại không khác nhiều so với 50), thì các giá trị Y loại bỏ đáng kể khỏi M(Y). Do đó, cùng với kỳ vọng toán học, người ta mong muốn biết giá trị của một biến ngẫu nhiên lệch khỏi nó bao nhiêu. Để mô tả đặc điểm của chỉ báo này, độ phân tán được sử dụng.

Định nghĩa 7.5.Sự phân tán (tán xạ) của một biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học của bình phương độ lệch của nó so với kỳ vọng toán học của nó:

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Hãy tìm phương sai của biến ngẫu nhiên X(số phần chuẩn trong số các phần được chọn) ở ví dụ 1 của bài giảng này. Hãy tính độ lệch bình phương của từng giá trị có thể có so với kỳ vọng toán học:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Kể từ đây,

Lưu ý 1. Khi xác định độ phân tán, người ta đánh giá không phải độ lệch so với giá trị trung bình mà là bình phương của nó. Điều này được thực hiện sao cho độ lệch của các dấu hiệu khác nhau không triệt tiêu lẫn nhau.

Lưu ý 2. Từ định nghĩa về độ phân tán, đại lượng này chỉ nhận các giá trị không âm.

Lưu ý 3. Có một công thức tính phương sai thuận tiện hơn cho việc tính toán, giá trị của công thức này được chứng minh ở định lý sau:

Định lý 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Bằng chứng.

Sử dụng cái gì M(X) là một giá trị không đổi, và thuộc tính của kỳ vọng toán học, ta biến đổi công thức (7.6) về dạng:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X 2 - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), đó là điều cần chứng minh.

Ví dụ. Hãy tính phương sai của các biến ngẫu nhiên X Và Yđược thảo luận ở phần đầu của phần này. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Như vậy, phương sai của biến ngẫu nhiên thứ hai lớn hơn phương sai của biến ngẫu nhiên thứ nhất vài nghìn lần. Do đó, ngay cả khi không biết luật phân phối của các đại lượng này, dựa trên các giá trị phân tán đã biết, chúng ta có thể phát biểu rằng X sai lệch một chút so với kỳ vọng toán học của nó, trong khi đối với Y sự sai lệch này là khá đáng kể.

Tính chất của sự phân tán.

1) Phương sai của một giá trị không đổi VỚI bằng 0:

D (C) = 0. (7.8)

Bằng chứng. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Hệ số hằng số có thể được loại bỏ khỏi dấu phân tán bằng cách bình phương nó:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Bằng chứng. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng phương sai của chúng:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Bằng chứng. D(X+Y) = M(X 2 + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Hệ quả 1. Phương sai của tổng của một số biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau bằng tổng phương sai của chúng.

Hệ quả 2. Phương sai của tổng của một hằng số và một biến ngẫu nhiên bằng phương sai của biến ngẫu nhiên.

4) Phương sai của chênh lệch giữa hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng phương sai của chúng:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Bằng chứng. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1) 2 D(Y) = D(X) + D(X).

Phương sai cho giá trị trung bình của độ lệch bình phương của một biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình; Để đánh giá độ lệch, một giá trị gọi là độ lệch chuẩn được sử dụng.

Định nghĩa 7.6.Độ lệch chuẩnσ biến ngẫu nhiên Xđược gọi là căn bậc hai của phương sai:

Ví dụ. Trong ví dụ trước, độ lệch chuẩn X Và Y tương ứng bằng nhau

Các biến ngẫu nhiên, ngoài luật phân phối, còn có thể được mô tả đặc điểm số .

Kỳ vọng toán học M(x) của một biến ngẫu nhiên được gọi là giá trị trung bình của nó.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc được tính bằng công thức

Ở đâu – giá trị biến ngẫu nhiên, p Tôi- xác suất của chúng.

Hãy xem xét các tính chất của kỳ vọng toán học:

1. Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng chính hằng số đó

2. Nếu nhân một biến ngẫu nhiên với một số k nhất định thì kỳ vọng toán học sẽ được nhân với cùng một số đó

M(kx) = km(x)

3. Kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của chúng

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M(x1 - x2) = M(x1) - M(x2)

5. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập x 1, x 2,… x n thì kỳ vọng toán học của tích bằng tích kỳ vọng toán học của chúng

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M(x - M(x)) = M(x) - M(M(x)) = M(x) - M(x) = 0

Hãy tính kỳ vọng toán học cho biến ngẫu nhiên từ Ví dụ 11.

M(x) = = .

Ví dụ 12. Cho các biến ngẫu nhiên x 1, x 2 được xác định tương ứng theo quy luật phân phối:

x 1 Bảng 2

x 2 Bảng 3

Hãy tính M (x 1) và M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Kỳ vọng toán học của cả hai biến ngẫu nhiên đều giống nhau - chúng bằng 0. Tuy nhiên, bản chất phân phối của chúng là khác nhau. Nếu các giá trị của x 1 khác một chút so với kỳ vọng toán học của chúng, thì các giá trị của x 2 khác biệt rất nhiều so với kỳ vọng toán học của chúng và xác suất của những sai lệch đó là không nhỏ. Những ví dụ này cho thấy rằng không thể xác định từ giá trị trung bình những sai lệch nào xảy ra so với nó, cả nhỏ hơn và lớn hơn. Vì vậy, với lượng mưa trung bình hàng năm như nhau ở hai khu vực, không thể nói rằng những khu vực này thuận lợi như nhau cho công việc nông nghiệp. Tương tự, dựa vào chỉ số lương trung bình cũng không thể đánh giá được tỷ trọng lao động được trả lương cao và thấp. Do đó, một đặc tính số được đưa ra - sự phân tán D(x) , đặc trưng cho mức độ sai lệch của một biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của nó:

D(x) = M(x - M(x)) 2 . (2)

Độ phân tán là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, phương sai được tính bằng công thức:

D(x)= = (3)

Từ định nghĩa độ phân tán suy ra D(x) 0.

Đặc tính phân tán:

1. Phương sai của hằng số bằng 0

2. Nếu nhân một biến ngẫu nhiên với một số k nhất định thì phương sai sẽ được nhân với bình phương của số này

D(kx) = k2D(x)

3. D(x) = M(x2) – M2(x)

4. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập theo cặp x 1 , x 2 , … x n phương sai của tổng bằng tổng của các phương sai.

D(x 1 + x 2 + … + x n) = D(x 1) + D(x 2) +…+ D(x n)

Hãy tính phương sai của biến ngẫu nhiên từ Ví dụ 11.

Kỳ vọng toán học M(x) = 1. Do đó, theo công thức (3) ta có:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Lưu ý rằng việc tính phương sai sẽ dễ dàng hơn nếu bạn sử dụng thuộc tính 3:

D(x) = M(x2) – M2(x).

Hãy tính phương sai của các biến ngẫu nhiên x 1 , x 2 từ Ví dụ 12 bằng công thức này. Kỳ vọng toán học của cả hai biến ngẫu nhiên đều bằng không.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Giá trị phương sai càng gần 0 thì độ chênh lệch của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình càng nhỏ.

Đại lượng đó được gọi là độ lệch chuẩn. Chế độ biến ngẫu nhiên x loại rời rạc Md Giá trị của biến ngẫu nhiên có xác suất cao nhất được gọi.

Chế độ biến ngẫu nhiên x loại liên tục Md, là số thực được xác định là điểm cực đại của mật độ phân bố xác suất f(x).

Trung vị của một biến ngẫu nhiên x loại liên tục Mn là số thực thỏa mãn phương trình

Mỗi giá trị riêng lẻ được xác định hoàn toàn bởi hàm phân phối của nó. Ngoài ra, để giải các bài toán thực tế, chỉ cần biết một số đặc tính số là đủ, nhờ đó có thể trình bày các đặc điểm chính của biến ngẫu nhiên ở dạng ngắn gọn.

Số lượng này chủ yếu bao gồm gia trị được ki vọng Và sự phân tán .

Gia trị được ki vọng— giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất. Ký hiệu là .

Theo cách đơn giản nhất, kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X(w), tìm cách tích phânLebesgue liên quan đến thước đo xác suất R nguyên bản không gian xác suất

Bạn cũng có thể tìm thấy kỳ vọng toán học của một giá trị như Tích phân Lebesgue từ X theo phân bố xác suất R X số lượng X:

tập hợp tất cả các giá trị có thể ở đâu X.

Kỳ vọng toán học của hàm từ một biến ngẫu nhiên Xđược tìm thấy thông qua phân phối R X. Ví dụ, Nếu như X- một biến ngẫu nhiên có giá trị trong và f(x)- rõ ràng của Borelchức năng X , Cái đó:

Nếu như F(x)- Chức năng phân phối X, thì kỳ vọng toán học có thể biểu diễn được tích phânLebesgue - Stieltjes (hoặc Riemann - Stieltjes):

trong trường hợp này khả năng tích hợp X Về mặt ( * ) tương ứng với tính hữu hạn của tích phân

Trong trường hợp cụ thể, nếu X có sự phân bố rời rạc với các giá trị có thể xảy ra xk, k=1, 2, . và xác suất thì

Nếu như X có phân phối tuyệt đối liên tục với mật độ xác suất p(x), Cái đó

trong trường hợp này, sự tồn tại của một kỳ vọng toán học tương đương với sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi hoặc tích phân tương ứng.

Các tính chất của kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên.

• Kỳ vọng toán học của một giá trị không đổi bằng giá trị này:

C- không thay đổi;

• M=C.M[X]

• Kỳ vọng toán học của tổng các giá trị được lấy ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của chúng:

• Kỳ vọng toán học của tích của các biến được lấy ngẫu nhiên độc lập = tích của kỳ vọng toán học của chúng:

M=M[X]+M[Y]

Nếu như X Và Yđộc lập.

nếu chuỗi hội tụ:

Thuật toán tính kỳ vọng toán học.

Thuộc tính của các biến ngẫu nhiên rời rạc: tất cả các giá trị của chúng có thể được đánh số lại bằng số tự nhiên; gán cho mỗi giá trị một xác suất khác 0.

1. Nhân từng cặp một: x tôi TRÊN số Pi.

2. Thêm sản phẩm của mỗi cặp x tôi p tôi.

Ví dụ, Vì N = 4 :

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc theo từng bước, nó tăng đột ngột tại những điểm có xác suất mang dấu dương.

Ví dụ: Tìm kỳ vọng toán học bằng cách sử dụng công thức.