Ví dụ: Phải làm gì nếu giá trị phân biệt là 0. Cách giải phương trình bậc hai

Chủ đề này ban đầu có vẻ phức tạp do có nhiều công thức không đơn giản. Bản thân các phương trình bậc hai không chỉ có ký hiệu dài mà gốc của nó còn được tìm thấy thông qua phân biệt. Tổng cộng có ba công thức mới được thu được. Không dễ nhớ lắm. Điều này chỉ có thể thực hiện được sau khi giải các phương trình như vậy thường xuyên. Khi đó tất cả các công thức sẽ tự được ghi nhớ.

Tổng quát về phương trình bậc hai

Ở đây chúng tôi đề xuất cách ghi rõ ràng, khi mức độ lớn nhất được viết trước, sau đó theo thứ tự giảm dần. Thường có những tình huống khi các điều khoản không nhất quán. Sau đó, tốt hơn là viết lại phương trình theo thứ tự giảm dần của biến.

Hãy để chúng tôi giới thiệu một số ký hiệu. Chúng được trình bày trong bảng dưới đây.

Nếu chúng ta chấp nhận những ký hiệu này thì tất cả các phương trình bậc hai sẽ được rút gọn về ký hiệu sau.

Hơn nữa, hệ số a ≠ 0. Hãy coi công thức này là số một.

Khi đưa ra một phương trình, không rõ đáp án sẽ có bao nhiêu nghiệm. Bởi vì một trong ba lựa chọn luôn có thể thực hiện được:

• giải pháp sẽ có hai gốc;
• câu trả lời sẽ là một con số;
• phương trình sẽ không có nghiệm nào cả.

Và cho đến khi quyết định được đưa ra cuối cùng, thật khó để hiểu phương án nào sẽ xuất hiện trong một trường hợp cụ thể.

Các loại ghi phương trình bậc hai

Có thể có các mục khác nhau trong nhiệm vụ. Chúng không phải lúc nào cũng giống công thức phương trình bậc hai tổng quát. Đôi khi nó sẽ thiếu một số điều khoản. Những gì được viết ở trên là phương trình hoàn chỉnh. Nếu bạn loại bỏ số hạng thứ hai hoặc thứ ba trong đó, bạn sẽ nhận được thứ khác. Những bản ghi này còn được gọi là phương trình bậc hai, chỉ là không đầy đủ.

Hơn nữa, chỉ những thuật ngữ có hệ số “b” và “c” mới có thể biến mất. Số "a" không thể bằng 0 trong mọi trường hợp. Bởi vì trong trường hợp này công thức biến thành phương trình tuyến tính. Các công thức cho dạng phương trình không đầy đủ sẽ như sau:

Vì vậy, chỉ có hai loại, ngoài những loại hoàn chỉnh, còn có những phương trình bậc hai không đầy đủ. Đặt công thức đầu tiên là số hai và công thức thứ hai - ba.

Sự phân biệt và sự phụ thuộc của số lượng gốc vào giá trị của nó

Bạn cần biết con số này để tính nghiệm của phương trình. Nó luôn có thể được tính toán, bất kể công thức của phương trình bậc hai là gì. Để tính giá trị phân biệt, bạn cần sử dụng đẳng thức được viết bên dưới, giá trị này sẽ có số bốn.

Sau khi thay thế các giá trị hệ số vào công thức này, bạn có thể nhận được các số có dấu khác nhau. Nếu câu trả lời là có thì đáp án của phương trình sẽ có hai nghiệm khác nhau. Nếu số âm thì sẽ không có nghiệm của phương trình bậc hai. Nếu nó bằng 0 thì sẽ chỉ có một câu trả lời.

Làm thế nào để giải một phương trình bậc hai hoàn chỉnh?

Trên thực tế, việc xem xét vấn đề này đã bắt đầu. Bởi vì trước tiên bạn cần tìm một người phân biệt đối xử. Sau khi xác định được nghiệm của phương trình bậc hai và số của chúng đã biết, bạn cần sử dụng công thức cho các biến. Nếu có hai gốc thì bạn cần áp dụng công thức sau.

Vì nó có chứa dấu “±” nên sẽ có hai nghĩa. Biểu thức dưới dấu căn bậc hai là biểu thức phân biệt. Do đó, công thức có thể được viết lại khác nhau.

Công thức số năm. Từ cùng một bản ghi, rõ ràng là nếu phân biệt bằng 0 thì cả hai nghiệm sẽ có cùng giá trị.

Nếu chưa giải được phương trình bậc hai thì tốt hơn hết bạn nên ghi giá trị của tất cả các hệ số trước khi áp dụng công thức phân biệt và công thức biến. Sau này thời điểm này sẽ không gây khó khăn. Nhưng ngay từ đầu đã có sự nhầm lẫn.

Làm thế nào để giải một phương trình bậc hai không đầy đủ?

Mọi thứ ở đây đơn giản hơn nhiều. Thậm chí không cần phải có thêm công thức. Và những thứ đã được viết ra cho người phân biệt đối xử và những điều chưa biết sẽ không cần thiết.

Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét phương trình chưa hoàn chỉnh số hai. Trong đẳng thức này, cần phải lấy đại lượng chưa biết ra khỏi ngoặc và giải phương trình tuyến tính, phương trình này sẽ vẫn ở trong ngoặc. Câu trả lời sẽ có hai gốc rễ. Số đầu tiên nhất thiết phải bằng 0, vì có một số nhân bao gồm chính biến đó. Cái thứ hai sẽ thu được bằng cách giải phương trình tuyến tính.

Phương trình chưa hoàn chỉnh số ba được giải bằng cách di chuyển số từ vế trái của đẳng thức sang phải. Sau đó, bạn cần chia cho hệ số đối diện với ẩn số. Tất cả những gì còn lại là trích căn bậc hai và nhớ viết hai lần với dấu ngược nhau.

Dưới đây là một số bước sẽ giúp bạn học cách giải tất cả các loại đẳng thức chuyển thành phương trình bậc hai. Chúng sẽ giúp học sinh tránh được những sai sót do thiếu chú ý. Những bất cập này có thể gây ra điểm kém khi học chuyên đề mở rộng “Phương trình bậc hai (lớp 8)”. Sau đó, những hành động này sẽ không cần phải được thực hiện liên tục. Bởi vì một kỹ năng ổn định sẽ xuất hiện.

• Đầu tiên bạn cần viết phương trình ở dạng chuẩn. Nghĩa là, đầu tiên là thuật ngữ có bậc lớn nhất của biến, sau đó - không có bậc và cuối cùng - chỉ là một con số.

• Nếu một điểm trừ xuất hiện trước hệ số “a”, nó có thể làm phức tạp công việc của người mới bắt đầu nghiên cứu phương trình bậc hai. Tốt hơn là nên loại bỏ nó. Vì mục đích này, tất cả đẳng thức phải được nhân với “-1”. Điều này có nghĩa là tất cả các số hạng sẽ đổi dấu ngược lại.

• Nên loại bỏ các phân số theo cách tương tự. Đơn giản chỉ cần nhân phương trình với hệ số thích hợp để các mẫu số triệt tiêu.

Ví dụ

Cần phải giải các phương trình bậc hai sau:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Phương trình thứ nhất: x 2 − 7x = 0. Phương trình này không đầy đủ nên được giải như mô tả ở công thức số hai.

Sau khi lấy nó ra khỏi ngoặc, kết quả là: x (x - 7) = 0.

Căn thứ nhất lấy giá trị: x 1 = 0. Căn thứ hai sẽ được tìm từ phương trình tuyến tính: x - 7 = 0. Dễ dàng thấy rằng x 2 = 7.

Phương trình thứ hai: 5x 2 + 30 = 0. Một lần nữa không đầy đủ. Chỉ có nó được giải quyết như mô tả cho công thức thứ ba.

Sau khi di chuyển 30 sang vế phải của phương trình: 5x 2 = 30. Bây giờ bạn cần chia cho 5. Kết quả là: x 2 = 6. Đáp án sẽ là các số: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Phương trình thứ ba: 15 − 2x − x 2 = 0. Sau đây, việc giải phương trình bậc hai sẽ bắt đầu bằng cách viết lại chúng ở dạng chuẩn: − x 2 − 2x + 15 = 0. Bây giờ là lúc sử dụng mẹo hữu ích thứ hai và nhân mọi thứ với trừ đi một . Hóa ra x 2 + 2x - 15 = 0. Sử dụng công thức thứ tư, bạn cần tính phân biệt: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Đó là một số dương. Từ những gì đã nói ở trên, hóa ra phương trình có hai nghiệm. Chúng cần được tính toán bằng công thức thứ năm. Hoá ra x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Khi đó x 1 = 3, x 2 = - 5.

Phương trình thứ tư x 2 + 8 + 3x = 0 được chuyển thành: x 2 + 3x + 8 = 0. Phân biệt của nó bằng giá trị này: -23. Vì số này là số âm nên câu trả lời cho nhiệm vụ này sẽ là mục sau: “Không có gốc”.

Phương trình thứ năm 12x + x 2 + 36 = 0 nên được viết lại như sau: x 2 + 12x + 36 = 0. Sau khi áp dụng công thức phân biệt, thu được số 0. Điều này có nghĩa là nó sẽ có một nghiệm, đó là: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Phương trình thứ sáu (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) yêu cầu các phép biến đổi, bao gồm thực tế là bạn cần đưa các số hạng tương tự, trước tiên hãy mở ngoặc. Thay cho biểu thức đầu tiên sẽ có biểu thức sau: x 2 + 2x + 1. Sau khi đẳng thức, mục này sẽ xuất hiện: x 2 + 3x + 2. Sau khi đếm các số hạng tương tự, phương trình sẽ có dạng: x 2 - x = 0. Nó đã trở nên không đầy đủ . Một cái gì đó tương tự như thế này đã được thảo luận cao hơn một chút. Nguồn gốc của điều này sẽ là số 0 và 1.

Phương trình bậc hai - dễ giải! *Sau đây gọi là “KU”. Các bạn ơi, có vẻ như trong toán học không có gì đơn giản hơn việc giải một phương trình như vậy. Nhưng có điều gì đó mách bảo tôi rằng nhiều người có vấn đề với anh ấy. Tôi quyết định xem Yandex đưa ra bao nhiêu lần hiển thị theo yêu cầu mỗi tháng. Đây là những gì đã xảy ra, hãy nhìn xem:

Nó có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là khoảng 70.000 người mỗi tháng đang tìm kiếm thông tin này, và đây là mùa hè, và điều gì sẽ xảy ra trong năm học - số lượng yêu cầu sẽ tăng gấp đôi. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì những chàng trai, cô gái đã tốt nghiệp ra trường từ lâu và đang chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất đang tìm kiếm thông tin này, và các em học sinh cũng cố gắng ôn lại trí nhớ.

Mặc dù thực tế là có rất nhiều trang web hướng dẫn bạn cách giải phương trình này, nhưng tôi vẫn quyết định đóng góp và xuất bản tài liệu này. Đầu tiên, tôi muốn khách truy cập đến trang web của tôi dựa trên yêu cầu này; thứ hai, trong các bài viết khác, khi đề cập đến chủ đề “KU”, tôi sẽ cung cấp đường dẫn đến bài viết này; thứ ba, tôi sẽ cho bạn biết thêm một chút về giải pháp của anh ấy so với những gì thường được nêu trên các trang khác. Bắt đầu nào! Nội dung của bài viết:

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng:

trong đó hệ số a,bvà c là các số tùy ý, với a≠0.

Trong khóa học ở trường, tài liệu được đưa ra dưới dạng sau - các phương trình được chia thành ba lớp:

1. Họ có hai gốc rễ.

2. *Chỉ có một gốc.

3. Họ không có rễ. Điều đặc biệt cần lưu ý ở đây là chúng không có gốc rễ thực sự.

Gốc được tính như thế nào? Chỉ!

Chúng tôi tính toán sự phân biệt đối xử. Bên dưới từ “khủng khiếp” này là một công thức rất đơn giản:

Các công thức gốc như sau:

*Bạn cần phải thuộc lòng các công thức này.

Bạn có thể viết ngay ra và giải:

Ví dụ:

1. Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm.

2. Nếu D = 0 thì phương trình có một nghiệm.

3. Nếu D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Chúng ta hãy nhìn vào phương trình:

Về vấn đề này, khi phân biệt đối xử bằng 0, khóa học ở trường nói rằng lấy được một căn, ở đây nó bằng chín. Mọi thứ đều đúng, nó là vậy, nhưng...

Ý tưởng này có phần không đúng. Thực ra có hai gốc. Vâng, vâng, đừng ngạc nhiên, bạn có hai căn bằng nhau, và để chính xác về mặt toán học thì câu trả lời phải viết là hai căn:

x 1 = 3 x 2 = 3

Nhưng điều này là như vậy - một sự lạc đề nhỏ. Ở trường bạn có thể viết nó ra và nói rằng có một gốc.

Bây giờ là ví dụ tiếp theo:

Như chúng ta đã biết, căn nguyên của số âm không thể lấy được nên không có giải pháp nào trong trường hợp này.

Đó là toàn bộ quá trình quyết định.

Hàm bậc hai.

Điều này cho thấy giải pháp trông như thế nào về mặt hình học. Điều này cực kỳ quan trọng để hiểu (trong tương lai, trong một trong các bài viết chúng tôi sẽ phân tích chi tiết giải pháp cho bất đẳng thức bậc hai).

Đây là một chức năng của hình thức:

trong đó x và y là các biến

a, b, c – cho trước các số có a ≠ 0

Đồ thị là một parabol:

Nghĩa là, hóa ra bằng cách giải phương trình bậc hai với “y” bằng 0, chúng ta tìm được giao điểm của parabol với trục x. Có thể có hai trong số các điểm này (điểm phân biệt là dương), một (điểm phân biệt là 0) và không có điểm nào (điểm phân biệt là âm). Chi tiết về hàm bậc hai Bạn có thể xem bài viết của Inna Feldman.

Hãy xem xét các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Đáp án: x 1 = 8 x 2 = –12

*Có thể chia ngay vế trái và vế phải của phương trình cho 2, nghĩa là đơn giản hóa nó. Việc tính toán sẽ dễ dàng hơn.

Ví dụ 2: Quyết định x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Chúng tôi tìm thấy x 1 = 11 và x 2 = 11

Có thể viết x = 11 vào đáp án.

Đáp án: x = 11

Ví dụ 3: Quyết định x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Phân biệt đối xử là âm, không có giải pháp bằng số thực.

Trả lời: không có giải pháp

Sự phân biệt đối xử là tiêu cực. Có một giải pháp!

Ở đây chúng ta sẽ nói về việc giải phương trình trong trường hợp thu được phân biệt âm. Bạn có biết gì về số phức không? Ở đây tôi sẽ không đi vào chi tiết về lý do và nơi chúng xuất hiện cũng như vai trò và sự cần thiết cụ thể của chúng trong toán học là gì; đây là chủ đề cho một bài viết riêng biệt.

Khái niệm số phức.

Một chút lý thuyết.

Số phức z là số có dạng

z = a + bi

trong đó a và b là số thực, i được gọi là đơn vị ảo.

a+bi – đây là SỐ ĐƠN, không phải là số cộng.

Đơn vị ảo bằng căn của trừ một:

Bây giờ hãy xem xét phương trình:

Chúng ta có được hai rễ liên hợp.

Phương trình bậc hai không đầy đủ.

Hãy xem xét các trường hợp đặc biệt, đây là khi hệ số “b” hoặc “c” bằng 0 (hoặc cả hai đều bằng 0). Chúng có thể được giải quyết dễ dàng mà không có bất kỳ sự phân biệt đối xử nào.

Trường hợp 1. Hệ số b = 0.

Phương trình trở thành:

Hãy chuyển đổi:

Ví dụ:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Trường hợp 2. Hệ số c = 0.

Phương trình trở thành:

Hãy biến đổi và nhân tử hóa:

*Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0.

Ví dụ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 hoặc x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Trường hợp 3. Hệ số b = 0 và c = 0.

Ở đây rõ ràng là nghiệm của phương trình sẽ luôn là x = 0.

Các tính chất hữu ích và mô hình hệ số.

Có những tính chất cho phép bạn giải phương trình có hệ số lớn.

MỘTx 2 + bx+ c=0 sự bình đẳng giữ

Một + b+ c = 0, Cái đó

- nếu xét các hệ số của phương trình MỘTx 2 + bx+ c=0 sự bình đẳng giữ

Một+ c =b, Cái đó

Những tính chất này giúp giải quyết một loại phương trình nhất định.

Ví dụ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Tổng tỷ lệ cược là 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, nghĩa là

Ví dụ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Bình đẳng giữ vững Một+ c =b, Có nghĩa

Sự đều đặn của các hệ số.

1. Nếu trong phương trình ax 2 + bx + c = 0, hệ số “b” bằng (a 2 +1) và hệ số “c” bằng hệ số “a” thì nghiệm của nó bằng

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 => x 1 = –a x 2 = –1/a.

Ví dụ. Xét phương trình 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Nếu trong phương trình ax 2 – bx + c = 0, hệ số “b” bằng (a 2 +1), và hệ số “c” bằng hệ số “a” thì nghiệm của nó bằng

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 => x 1 = a x 2 = 1/a.

Ví dụ. Xét phương trình 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Nếu trong phương trình. ax 2 + bx – c = 0 hệ số “b” bằng (a 2 – 1), và hệ số “c” về số lượng bằng hệ số “a”, thì gốc của nó bằng nhau

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 => x 1 = – a x 2 = 1/a.

Ví dụ. Xét phương trình 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Nếu trong phương trình ax 2 – bx – c = 0 hệ số “b” bằng (a 2 – 1), và hệ số c bằng hệ số “a” thì nghiệm của nó bằng

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 => x 1 = a x 2 = – 1/a.

Ví dụ. Xét phương trình 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Định lý Vieta.

Định lý Vieta được đặt theo tên của nhà toán học nổi tiếng người Pháp Francois Vieta. Sử dụng định lý Vieta, chúng ta có thể biểu diễn tổng và tích các nghiệm của một KU tùy ý theo các hệ số của nó.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Tổng cộng, số 14 chỉ cho 5 và 9. Đây là những gốc. Với một kỹ năng nhất định, sử dụng định lý đã trình bày, bạn có thể giải bằng miệng nhiều phương trình bậc hai ngay lập tức.

Ngoài ra còn có định lý Vieta. Thuận tiện ở chỗ sau khi giải phương trình bậc hai theo cách thông thường (thông qua phân biệt), nghiệm kết quả có thể được kiểm tra. Tôi khuyên bạn nên làm điều này luôn.

PHƯƠNG THỨC VẬN CHUYỂN

Với phương pháp này, hệ số “a” được nhân với số hạng tự do, như thể được “ném” vào nó, đó là lý do tại sao nó được gọi là phương pháp “chuyển giao”. Phương pháp này được sử dụng khi có thể dễ dàng tìm thấy nghiệm của phương trình bằng định lý Vieta và quan trọng nhất là khi phân biệt đối xử là một bình phương chính xác.

Nếu như MỘT± b+c≠ 0 thì kỹ thuật truyền được sử dụng, ví dụ:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Áp dụng định lý Vieta vào phương trình (2), dễ dàng xác định được x 1 = 10 x 2 = 1

Các nghiệm kết quả của phương trình phải được chia cho 2 (vì cả hai được “ném” từ x 2), ta có

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Lý do là gì? Hãy nhìn xem chuyện gì đang xảy ra.

Các biệt thức của phương trình (1) và (2) bằng nhau:

Nếu bạn nhìn vào nghiệm của các phương trình, bạn chỉ nhận được các mẫu số khác nhau và kết quả phụ thuộc chính xác vào hệ số x 2:

Cái thứ hai (đã sửa đổi) có rễ lớn gấp 2 lần.

Do đó, chúng tôi chia kết quả cho 2.

*Nếu chúng tôi quay lại ba, chúng tôi sẽ chia kết quả cho 3, v.v.

Đáp án: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie và Kỳ thi Thống nhất.

Tôi sẽ nói ngắn gọn với bạn về tầm quan trọng của nó - BẠN PHẢI CÓ KHẢ NĂNG QUYẾT ĐỊNH nhanh chóng và không cần suy nghĩ, bạn cần thuộc lòng các công thức căn và phân biệt. Nhiều bài toán có trong các nhiệm vụ của Kỳ thi Thống nhất Tiểu bang tập trung vào việc giải phương trình bậc hai (bao gồm cả các phương trình hình học).

Một cái gì đó đáng chú ý!

1. Hình thức viết phương trình có thể là “ẩn”. Ví dụ: có thể nhập mục sau:

15+ 9x 2 - 45x = 0 hoặc 15x+42+9x 2 - 45x=0 hoặc 15 -5x+10x 2 = 0.

Bạn cần đưa về dạng chuẩn (để không bị nhầm lẫn khi giải).

2. Hãy nhớ rằng x là một đại lượng chưa biết và nó có thể được ký hiệu bằng bất kỳ chữ cái nào khác - t, q, p, h và các chữ cái khác.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét việc giải các phương trình bậc hai không đầy đủ.

Nhưng trước tiên, hãy nhắc lại phương trình nào được gọi là phương trình bậc hai. Một phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, trong đó x là một biến và các hệ số a, b và c là một số số và a ≠ 0, được gọi là quảng trường. Như chúng ta thấy, hệ số của x 2 không bằng 0, và do đó các hệ số của x hoặc số hạng tự do có thể bằng 0, trong trường hợp đó chúng ta thu được một phương trình bậc hai không đầy đủ.

Có ba loại phương trình bậc hai không đầy đủ:

1) Nếu b = 0, c ≠ 0 thì ax 2 + c = 0;

2) Nếu b ≠ 0, c = 0 thì ax 2 + bx = 0;

3) Nếu b = 0, c = 0 thì ax 2 = 0.

• Chúng ta hãy tìm ra cách giải quyết phương trình có dạng ax 2 + c = 0.

Để giải phương trình, ta chuyển số hạng tự do c sang vế phải của phương trình, ta được

rìu 2 = ‒s. Vì a ≠ 0, chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho a, khi đó x 2 = ‒c/a.

Nếu ‒с/а > 0 thì phương trình có hai nghiệm

x = ±√(–c/a) .

Nếu ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Chúng ta hãy cố gắng hiểu bằng các ví dụ về cách giải các phương trình như vậy.

ví dụ 1. Giải phương trình 2x 2 ‒ 32 = 0.

Đáp án: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Ví dụ 2. Giải phương trình 2x 2 + 8 = 0.

Trả lời: phương trình không có nghiệm.

• Hãy tìm ra cách giải quyết nó phương trình có dạng ax 2 + bx = 0.

Để giải phương trình ax 2 + bx = 0, hãy phân tích nó thành nhân tử, tức là lấy x ra khỏi ngoặc, ta được x(ax + b) = 0. Tích bằng 0 nếu có ít nhất một trong các thừa số bằng nhau về không. Khi đó x = 0 hoặc ax + b = 0. Giải phương trình ax + b = 0, ta được ax = - b, từ đó x = - b/a. Phương trình có dạng ax 2 + bx = 0 luôn có hai nghiệm x 1 = 0 và x 2 = ‒ b/a. Xem cách giải các phương trình loại này trông như thế nào trong sơ đồ.

Hãy củng cố kiến ​​thức của chúng ta bằng một ví dụ cụ thể.

Ví dụ 3. Giải phương trình 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 hoặc 3x – 12 = 0

Đáp án: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Phương trình loại ba ax 2 = 0đều được giải quyết rất đơn giản.

Nếu ax 2 = 0 thì x 2 = 0. Phương trình có hai nghiệm bằng nhau x 1 = 0, x 2 = 0.

Để rõ ràng, chúng ta hãy nhìn vào sơ đồ.

Chúng ta hãy đảm bảo rằng khi giải Ví dụ 4 rằng các phương trình loại này có thể được giải rất đơn giản.

Ví dụ 4. Giải phương trình 7x 2 = 0.

Đáp án: x 1, 2 = 0.

Không phải lúc nào cũng rõ ngay loại phương trình bậc hai không đầy đủ mà chúng ta phải giải. Hãy xem xét ví dụ sau.

Ví dụ 5. Giải phương trình

Hãy nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung, nghĩa là với 30

Hãy cắt nó xuống

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Hãy mở dấu ngoặc

25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.

Hãy đưa ra những điều tương tự

Hãy di chuyển 99 từ vế trái của phương trình sang phải, đổi dấu thành ngược lại

Trả lời: không có rễ.

Chúng tôi đã xem xét cách giải các phương trình bậc hai không đầy đủ. Tôi hy vọng rằng bây giờ bạn sẽ không gặp bất kỳ khó khăn nào với những nhiệm vụ như vậy. Hãy cẩn thận khi xác định loại phương trình bậc hai không đầy đủ, thì bạn sẽ thành công.

Nếu bạn có thắc mắc về chủ đề này, hãy đăng ký các bài học của tôi, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các vấn đề nảy sinh.

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết tới nguồn.

Phương trình bậc hai thường xuất hiện khi giải các bài toán khác nhau trong vật lý và toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét cách giải quyết những đẳng thức này một cách phổ biến “thông qua một phân biệt đối xử”. Ví dụ về việc sử dụng kiến ​​​​thức thu được cũng được đưa ra trong bài viết.

Chúng ta sẽ nói về những phương trình nào?

Hình dưới đây thể hiện một công thức trong đó x là một biến chưa biết và các ký hiệu Latin a, b, c đại diện cho một số số đã biết.

Mỗi ký hiệu này được gọi là một hệ số. Như bạn có thể thấy, số "a" xuất hiện trước biến x bình phương. Đây là lũy thừa tối đa của biểu thức được biểu diễn, đó là lý do tại sao nó được gọi là phương trình bậc hai. Tên khác của nó thường được sử dụng: phương trình bậc hai. Bản thân giá trị a là một hệ số bình phương (đứng với biến bình phương), b là một hệ số tuyến tính (nó nằm cạnh biến được nâng lên lũy thừa bậc một), và cuối cùng, số c là số hạng tự do.

Lưu ý rằng loại phương trình trong hình trên là một biểu thức bậc hai cổ điển tổng quát. Ngoài ra, còn có các phương trình bậc hai khác trong đó hệ số b và c có thể bằng 0.

Khi nhiệm vụ được đặt ra để giải quyết đẳng thức đang được đề cập, điều này có nghĩa là cần phải tìm ra các giá trị như vậy của biến x để thỏa mãn nó. Ở đây, điều đầu tiên bạn cần nhớ là điều sau: vì bậc lớn nhất của X là 2 nên biểu thức này không thể có nhiều hơn 2 nghiệm. Điều này có nghĩa là nếu khi giải một phương trình tìm thấy 2 giá trị của x thỏa mãn nó thì bạn có thể chắc chắn rằng không có số thứ 3 thay thế cho x thì đẳng thức cũng đúng. Các nghiệm của một phương trình trong toán học được gọi là nghiệm của nó.

Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Việc giải các phương trình loại này đòi hỏi phải có kiến ​​thức về một số lý thuyết về chúng. Trong khóa học đại số ở trường, 4 phương pháp giải khác nhau được xem xét. Hãy liệt kê chúng:

• sử dụng hệ số hóa;
• sử dụng công thức để có hình vuông hoàn hảo;
• bằng cách áp dụng đồ thị của hàm bậc hai tương ứng;
• sử dụng phương trình phân biệt.

Ưu điểm của phương pháp đầu tiên là tính đơn giản, tuy nhiên, nó không thể được sử dụng cho tất cả các phương trình. Phương pháp thứ hai là phổ biến, nhưng hơi cồng kềnh. Phương pháp thứ ba nổi bật bởi sự rõ ràng của nó, nhưng không phải lúc nào cũng thuận tiện và có thể áp dụng được. Và cuối cùng, sử dụng phương trình phân biệt là một cách phổ biến và khá đơn giản để tìm nghiệm của bất kỳ phương trình bậc hai nào. Vì vậy, trong bài viết này chúng tôi sẽ chỉ xem xét nó.

Công thức tìm nghiệm nguyên của phương trình

Chúng ta hãy chuyển sang dạng tổng quát của phương trình bậc hai. Hãy viết nó ra: a*x²+ b*x + c =0. Trước khi sử dụng phương pháp giải “thông qua phân biệt”, bạn phải luôn đưa đẳng thức về dạng viết. Nghĩa là, nó phải bao gồm ba số hạng (hoặc ít hơn nếu b hoặc c bằng 0).

Ví dụ: nếu có một biểu thức: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², thì trước tiên bạn nên di chuyển tất cả các số hạng của nó sang một vế của đẳng thức và thêm các số hạng chứa biến x vào quyền hạn như nhau.

Trong trường hợp này, thao tác này sẽ dẫn đến biểu thức sau: -6*x²-4*x+8=0, tương đương với phương trình 6*x²+4*x-8=0 (ở đây chúng tôi nhân bên trái và vế phải của đẳng thức bằng -1).

Trong ví dụ trên, a = 6, b=4, c=-8. Lưu ý rằng tất cả các số hạng của đẳng thức đang xét luôn được tính tổng với nhau, vì vậy nếu dấu “-” xuất hiện, điều này có nghĩa là hệ số tương ứng là âm, giống như số c trong trường hợp này.

Sau khi xem xét điểm này, bây giờ chúng ta hãy chuyển sang chính công thức, công thức này giúp chúng ta có thể tìm ra nghiệm của phương trình bậc hai. Nó trông giống như cái được hiển thị trong bức ảnh dưới đây.

Như có thể thấy từ biểu thức này, nó cho phép bạn có được hai nghiệm (chú ý đến dấu “±”). Để làm được điều này, chỉ cần thay các hệ số b, c và a vào đó là đủ.

Khái niệm về sự phân biệt đối xử

Trong đoạn trước, một công thức đã được đưa ra cho phép bạn giải nhanh bất kỳ phương trình bậc hai nào. Trong đó, biểu thức căn thức được gọi là phân biệt, tức là D = b2-4*a*c.

Tại sao phần này của công thức được đánh dấu và tại sao nó thậm chí còn có tên riêng? Thực tế là phân biệt đối xử kết nối cả ba hệ số của phương trình thành một biểu thức duy nhất. Thực tế thứ hai có nghĩa là nó mang đầy đủ thông tin về gốc rễ, có thể được thể hiện trong danh sách sau:

1. D>0: Phương trình có 2 nghiệm khác nhau, đều là số thực.
2. D=0: Phương trình chỉ có một nghiệm và là số thực.

Nhiệm vụ xác định phân biệt

Hãy đưa ra một ví dụ đơn giản về cách tìm một người phân biệt đối xử. Giả sử đẳng thức sau: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Đưa nó về dạng chuẩn, ta được: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, từ đó ta đi đến đẳng thức : -2*x² +2*x-11 = 0. Ở đây a=-2, b=2, c=-11.

Bây giờ bạn có thể sử dụng công thức trên để phân biệt: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Số kết quả là câu trả lời cho nhiệm vụ. Vì phân biệt trong ví dụ nhỏ hơn 0 nên chúng ta có thể nói rằng phương trình bậc hai này không có nghiệm thực. Giải pháp của nó sẽ chỉ là số loại phức tạp.

Một ví dụ về sự bất bình đẳng thông qua phân biệt đối xử

Hãy giải các bài toán thuộc loại hơi khác một chút: cho đẳng thức -3*x²-6*x+c = 0. Cần tìm các giá trị của c sao cho D>0.

Trong trường hợp này, chỉ có 2 trong 3 hệ số được biết nên không thể tính giá trị chính xác của biệt thức mà được biết là dương. Chúng ta sử dụng dữ kiện cuối cùng khi soạn bất đẳng thức: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Giải bất đẳng thức thu được sẽ có kết quả: c>-3.

Hãy kiểm tra số kết quả. Để làm điều này, chúng tôi tính D cho 2 trường hợp: c=-2 và c=-4. Số -2 thỏa mãn kết quả thu được (-2>-3), biệt thức tương ứng sẽ có giá trị: D = 12>0. Ngược lại, số -4 không thỏa mãn bất đẳng thức (-4. Như vậy, số c nào lớn hơn -3 sẽ thỏa mãn điều kiện.

Một ví dụ về giải phương trình

Hãy để chúng tôi trình bày một vấn đề không chỉ liên quan đến việc tìm ra biệt thức mà còn cả việc giải phương trình. Cần phải tìm nghiệm của đẳng thức -2*x²+7-9*x = 0.

Trong ví dụ này, phân biệt bằng giá trị sau: D = 81-4*(-2)*7= 137. Khi đó, nghiệm của phương trình được xác định như sau: x = (9±√137)/(- 4). Đây là các giá trị chính xác của các nghiệm; nếu tính gần đúng thì bạn nhận được các số: x = -5,176 và x = 0,676.

bài toán hình học

Hãy giải một bài toán không chỉ đòi hỏi khả năng tính phân biệt mà còn đòi hỏi việc sử dụng các kỹ năng tư duy trừu tượng và kiến ​​thức về cách viết phương trình bậc hai.

Bob có một chiếc chăn bông cỡ 5 x 4 mét. Cậu bé muốn khâu một dải vải đẹp liên tục xung quanh toàn bộ chu vi. Dải này sẽ dày bao nhiêu nếu biết Bob có 10 m2 vải.

Giả sử dải vải có độ dày x m thì diện tích vải dọc theo cạnh dài của chăn sẽ là (5+2*x)*x, và vì có 2 cạnh dài nên ta có: 2*x *(5+2*x). Về mặt ngắn, diện tích của tấm vải được may sẽ là 4*x, vì có 2 mặt này nên ta được giá trị 8*x. Lưu ý rằng giá trị 2*x đã được thêm vào cạnh dài vì chiều dài của chăn tăng theo con số đó. Tổng diện tích vải may vào chăn là 10 m2. Do đó, chúng ta thu được đẳng thức: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Trong ví dụ này, giá trị phân biệt bằng: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Căn nguyên của nó là 22. Sử dụng công thức, chúng ta tìm được các nghiệm cần thiết: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Rõ ràng trong hai nghiệm chỉ có số 0,5 là phù hợp với điều kiện của bài toán.

Như vậy, dải vải Bob may vào chăn của mình sẽ có chiều rộng là 50 cm.

Phương trình bậc hai. Phân biệt đối xử. Giải pháp, ví dụ.

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Các loại phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là gì? Nó trông như thế nào? Trong thời hạn phương trình bậc hai từ khóa là "quảng trường".Điều này có nghĩa là trong phương trình nhất thiết phải có một x bình phương. Ngoài nó ra, phương trình có thể (hoặc có thể không!) chỉ chứa X ( lũy thừa bậc một) và chỉ một số (thành viên miễn phí). Và không nên có X nào cho lũy thừa lớn hơn hai.

Về mặt toán học, phương trình bậc hai là phương trình có dạng:

Đây a, b và c- một số con số b và c- hoàn toàn bất kỳ, nhưng MỘT– bất cứ điều gì khác hơn số không. Ví dụ:

Đây MỘT =1; b = 3; c = -4

Đây MỘT =2; b = -0,5; c = 2,2

Đây MỘT =-3; b = 6; c = -18

Vâng, bạn hiểu...

Trong các phương trình bậc hai ở bên trái này có trọn bộ các thành viên. X bình phương với hệ số MỘT, x mũ thứ nhất với hệ số b Và thành viên miễn phí.

Những phương trình bậc hai như vậy được gọi là đầy.

Và nếu b= 0, chúng ta được gì? Chúng ta có X sẽ bị mất ở lũy thừa thứ nhất.Điều này xảy ra khi nhân với 0.) Ví dụ:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Và như thế. Và nếu cả hai hệ số b Và cđều bằng 0 thì thậm chí còn đơn giản hơn:

2x2 = 0,

-0,3x2 =0

Những phương trình như vậy khi thiếu một cái gì đó được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ.Điều này khá logic.) Xin lưu ý rằng x bình phương có mặt trong tất cả các phương trình.

Nhân tiện, tại sao MỘT không thể bằng 0? Và thay vào đó bạn thay thế MỘT bằng không.) Bình phương X của chúng ta sẽ biến mất! Phương trình sẽ trở thành tuyến tính. Và giải pháp hoàn toàn khác...

Đó là tất cả các loại phương trình bậc hai chính. Đầy đủ và không đầy đủ.

Giải phương trình bậc hai.

Giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh.

Phương trình bậc hai rất dễ giải. Theo công thức và quy tắc rõ ràng, đơn giản. Ở giai đoạn đầu tiên, cần đưa phương trình đã cho về dạng chuẩn, tức là. đến dạng:

Nếu phương trình đã được cung cấp cho bạn ở dạng này, bạn không cần phải thực hiện giai đoạn đầu tiên.) Điều chính là xác định chính xác tất cả các hệ số, MỘT, b Và c.

Công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai trông như sau:

Biểu thức dưới dấu gốc được gọi là phân biệt đối xử. Nhưng nhiều hơn về anh ấy dưới đây. Như bạn có thể thấy, để tìm X, chúng tôi sử dụng chỉ có a, b và c. Những thứ kia. các hệ số từ phương trình bậc hai. Chỉ cần cẩn thận thay thế các giá trị a, b và c Chúng tôi tính toán vào công thức này. Hãy thay thế với những dấu hiệu của riêng bạn! Ví dụ: trong phương trình:

MỘT =1; b = 3; c= -4. Ở đây chúng tôi viết nó ra:

Ví dụ gần như đã được giải quyết:

Đây là câu trả lời.

Mọi thứ đều rất đơn giản. Và bạn nghĩ rằng không thể phạm sai lầm? Vâng, vâng, làm thế nào...

Những lỗi phổ biến nhất là nhầm lẫn với các giá trị ký hiệu a, b và c. Hay đúng hơn, không phải bằng các dấu hiệu của chúng (lẫn lộn ở đâu?), mà bằng việc thay thế các giá trị âm vào công thức tính căn. Điều hữu ích ở đây là bản ghi chi tiết công thức với những con số cụ thể. Nếu có vấn đề về tính toán, làm việc đó đi!

Giả sử chúng ta cần giải ví dụ sau:

Đây Một = -6; b = -5; c = -1

Giả sử bạn biết rằng bạn hiếm khi nhận được câu trả lời ngay lần đầu tiên.

Đừng lười biếng. Sẽ mất khoảng 30 giây để viết thêm một dòng. Và số lỗi sai sẽ giảm mạnh. Vì vậy, chúng tôi viết chi tiết, với tất cả các dấu ngoặc và dấu hiệu:

Có vẻ như rất khó để viết ra một cách cẩn thận. Nhưng nó chỉ có vẻ như vậy. Hãy thử một lần. Vâng, hoặc chọn. Cái nào tốt hơn, nhanh hay đúng? Ngoài ra, tôi sẽ làm cho bạn hạnh phúc. Sau một thời gian, sẽ không cần thiết phải viết ra mọi thứ một cách cẩn thận như vậy nữa. Nó sẽ tự hoạt động. Đặc biệt nếu bạn sử dụng các kỹ thuật thực tế được mô tả dưới đây. Ví dụ xấu xa này với hàng loạt nhược điểm có thể được giải quyết một cách dễ dàng và không có sai sót!

Tuy nhiên, thông thường, các phương trình bậc hai trông hơi khác một chút. Ví dụ như thế này:

Bạn có nhận ra nó không?) Có! Cái này phương trình bậc hai không đầy đủ.

Giải phương trình bậc hai không đầy đủ.

Chúng cũng có thể được giải bằng công thức tổng quát. Bạn chỉ cần hiểu chính xác chúng bằng nhau ở đây là gì. a, b và c.

Bạn đã tìm ra nó chưa? Trong ví dụ đầu tiên a = 1; b = -4; MỘT c? Nó hoàn toàn không có ở đó! Vâng, đúng vậy. Trong toán học điều này có nghĩa là c = 0 ! Đó là tất cả. Thay thế số 0 vào công thức c, và chúng ta sẽ thành công. Tương tự với ví dụ thứ hai. Chỉ có chúng tôi không có số không ở đây Với, MỘT b !

Nhưng các phương trình bậc hai không đầy đủ có thể được giải đơn giản hơn nhiều. Không có bất kỳ công thức nào. Hãy xem xét phương trình không đầy đủ đầu tiên. Bạn có thể làm gì ở phía bên trái? Bạn có thể bỏ X ra khỏi ngoặc! Hãy lấy nó ra.

Và điều gì từ điều này? Và thực tế là tích bằng 0 khi và chỉ khi bất kỳ thừa số nào bằng 0! Không tin tôi? Được rồi, sau đó nghĩ ra hai số khác 0 mà khi nhân với nhau sẽ bằng 0!
Không hoạt động? Đó là nó...
Vì vậy, chúng ta có thể tự tin viết: x 1 = 0, x 2 = 4.

Tất cả. Đây sẽ là gốc rễ của phương trình của chúng tôi. Cả hai đều phù hợp. Khi thay bất kỳ giá trị nào trong số chúng vào phương trình ban đầu, chúng ta sẽ nhận được đẳng thức đúng 0 = 0. Như bạn có thể thấy, cách giải đơn giản hơn nhiều so với việc sử dụng công thức tổng quát. Nhân tiện, hãy để tôi lưu ý X nào sẽ là X đầu tiên và X nào sẽ là X thứ hai - hoàn toàn không quan tâm. Viết theo thứ tự thì thuận tiện x 1- cái gì nhỏ hơn và x 2- cái đó lớn hơn.

Phương trình thứ hai cũng có thể được giải một cách đơn giản. Di chuyển số 9 sang bên phải. Chúng tôi nhận được:

Tất cả những gì còn lại là trích xuất gốc từ 9, thế là xong. Nó sẽ bật ra:

Cũng có hai gốc . x 1 = -3, x 2 = 3.

Đây là cách tất cả các phương trình bậc hai không đầy đủ được giải. Hoặc bằng cách đặt X ra khỏi ngoặc, hoặc đơn giản bằng cách di chuyển số sang bên phải và sau đó trích xuất gốc.
Rất khó để nhầm lẫn các kỹ thuật này. Đơn giản vì trong trường hợp đầu tiên, bạn sẽ phải trích xuất gốc của X, điều này không thể hiểu được, còn trong trường hợp thứ hai thì không có gì để lấy ra khỏi ngoặc cả...

Phân biệt đối xử. Công thức phân biệt.

Lời kỳ diệu phân biệt đối xử ! Hiếm có học sinh trung học nào lại không nghe thấy từ này! Cụm từ “chúng tôi giải quyết bằng cách phân biệt đối xử” truyền cảm hứng cho sự tự tin và yên tâm. Bởi vì không cần phải mong chờ những thủ đoạn từ kẻ phân biệt đối xử! Nó đơn giản và dễ sử dụng.) Tôi xin nhắc bạn về công thức chung nhất để giải bất kì phương trình bậc hai:

Biểu thức dưới dấu gốc được gọi là phân biệt đối xử. Thông thường, yếu tố phân biệt được biểu thị bằng chữ cái D. Công thức phân biệt:

D = b 2 - 4ac

Và điều gì đáng chú ý ở biểu hiện này? Tại sao nó xứng đáng có một cái tên đặc biệt? Cái gì ý nghĩa của sự phân biệt đối xử? Rốt cuộc -b, hoặc 2a trong công thức này họ không gọi nó là gì cả... Chữ cái và chữ cái.

Vấn đề là như thế này. Khi giải phương trình bậc hai bằng công thức này, có thể chỉ có ba trường hợp.

1. Người phân biệt đối xử là tích cực.Điều này có nghĩa là root có thể được trích xuất từ ​​​​nó. Việc lấy gốc tốt hay kém lại là một câu hỏi khác. Điều quan trọng là những gì được trích xuất về nguyên tắc. Khi đó phương trình bậc hai của bạn có hai nghiệm. Hai giải pháp khác nhau.

2. Phân biệt đối xử bằng không. Sau đó, bạn sẽ có một giải pháp. Vì việc cộng hoặc trừ số 0 ở tử số không thay đổi gì cả. Nói đúng ra, đây không phải là một gốc, mà là hai giống hệt nhau. Tuy nhiên, trong một phiên bản đơn giản, người ta thường nói về một cách giải quyết.

3. Người phân biệt đối xử là tiêu cực. Căn bậc hai của số âm không thể được lấy. Được rồi. Điều này có nghĩa là không có giải pháp.

Thành thật mà nói, khi đơn giản giải phương trình bậc hai, khái niệm phân thức là không thực sự cần thiết. Chúng ta thay giá trị của các hệ số vào công thức và đếm. Mọi việc tự nó diễn ra ở đó, có hai gốc rễ, một và không có gốc rễ nào cả. Tuy nhiên, khi giải quyết những nhiệm vụ phức tạp hơn mà không có kiến ​​thức ý nghĩa và công thức của biệt thức không đủ. Đặc biệt là trong các phương trình có tham số. Những phương trình như vậy là những màn nhào lộn cho Kỳ thi cấp Bang và Kỳ thi Thống nhất!)

Vì thế, cách giải phương trình bậc hai thông qua sự phân biệt đối xử mà bạn đã nhớ. Hoặc bạn đã học, điều đó cũng không tệ.) Bạn biết cách xác định chính xác a, b và c. Bạn có biết làm thế nào? chăm chú thay thế chúng vào công thức gốc và chăm chúđếm kết quả. Bạn hiểu rằng từ khóa ở đây là chăm chú?

Bây giờ hãy lưu ý đến các kỹ thuật thực tế giúp giảm đáng kể số lỗi. Cũng là do thiếu chú ý... Mà sau này lại đau đớn và khó chịu...

Cuộc hẹn đầu tiên . Đừng lười biếng trước khi giải phương trình bậc hai và đưa nó về dạng chuẩn. Điều đó có nghĩa là gì?
Giả sử rằng sau tất cả các phép biến đổi, bạn nhận được phương trình sau:

Đừng vội viết công thức gốc! Bạn gần như chắc chắn sẽ nhận được tỷ lệ cược lẫn lộn a, b và c. Xây dựng ví dụ một cách chính xác. Đầu tiên, X bình phương, sau đó không bình phương, sau đó là số hạng tự do. Như thế này:

Và một lần nữa, đừng vội vàng! Một dấu trừ đứng trước bình phương X có thể thực sự làm bạn khó chịu. Thật dễ dàng để quên... Hãy loại bỏ điểm trừ. Làm sao? Có, như đã dạy ở chủ đề trước! Chúng ta cần nhân toàn bộ phương trình với -1. Chúng tôi nhận được:

Nhưng bây giờ bạn có thể viết ra công thức nghiệm một cách an toàn, tính phân biệt và hoàn thành việc giải ví dụ. Quyết định cho chính mình. Bây giờ bạn sẽ có gốc 2 và -1.

Tiếp nhận thứ hai. Kiểm tra rễ! Theo định lý Vieta. Đừng sợ, tôi sẽ giải thích mọi chuyện! Kiểm tra thứ cuối cùng phương trình. Những thứ kia. cái mà chúng ta đã sử dụng để viết ra công thức gốc. Nếu (như trong ví dụ này) hệ số một = 1, việc kiểm tra rễ rất dễ dàng. Chỉ cần nhân chúng lên là đủ. Kết quả phải là thành viên miễn phí, tức là. trong trường hợp của chúng tôi -2. Xin lưu ý, không phải 2, mà là -2! Thành viên miễn phí với dấu hiệu của bạn . Nếu nó không thành công, điều đó có nghĩa là họ đã làm hỏng việc ở đâu đó. Hãy tìm lỗi.

Nếu nó hoạt động, bạn cần thêm rễ. Kiểm tra cuối cùng và cuối cùng. Hệ số phải là b Với đối diện thân thuộc. Trong trường hợp của chúng tôi -1+2 = +1. một hệ số b, đứng trước X, bằng -1. Vì vậy, mọi thứ đều chính xác!
Thật đáng tiếc là điều này chỉ đơn giản đối với các ví dụ trong đó x bình phương là thuần túy, có hệ số một = 1. Nhưng ít nhất hãy kiểm tra các phương trình như vậy! Sẽ ngày càng có ít lỗi hơn.

Lễ tân thứ ba . Nếu phương trình của bạn có hệ số phân số, hãy loại bỏ phân số! Nhân phương trình với mẫu số chung như trong bài “Giải phương trình? Phép biến đổi đồng dạng”. Khi làm việc với phân số, vì lý do nào đó, lỗi luôn xuất hiện...

Nhân tiện, tôi đã hứa sẽ đơn giản hóa ví dụ xấu xa bằng một loạt điểm trừ. Vui lòng! Anh ta đây rồi.

Để không bị nhầm lẫn bởi các điểm trừ, chúng ta nhân phương trình với -1. Chúng tôi nhận được:

Đó là tất cả! Giải quyết là một niềm vui!

Vì vậy, hãy tóm tắt chủ đề.

Những mẹo có ích:

1. Trước khi giải, ta đưa phương trình bậc hai về dạng chuẩn và xây dựng nó Phải.

2. Nếu có hệ số âm phía trước bình phương X, chúng ta loại bỏ nó bằng cách nhân toàn bộ phương trình với -1.

3. Nếu các hệ số là phân số, chúng ta loại bỏ các phân số bằng cách nhân toàn bộ phương trình với hệ số tương ứng.

4. Nếu x bình phương thuần khiết, hệ số bằng 1 thì nghiệm có thể dễ dàng chứng minh bằng định lý Vieta. Làm đi!

Bây giờ chúng ta có thể quyết định.)

Giải phương trình:

8x2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Câu trả lời (hỗn loạn):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - bất kỳ số nào

x 1 = -3
x 2 = 3

không có giải pháp

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Mọi thứ có phù hợp không? Tuyệt vời! Phương trình bậc hai không phải là vấn đề đau đầu của bạn. Ba cái đầu tiên có tác dụng, nhưng cái còn lại thì không? Khi đó vấn đề không nằm ở phương trình bậc hai. Vấn đề nằm ở sự biến đổi giống hệt nhau của các phương trình. Hãy xem liên kết, nó hữu ích.

Không ổn lắm à? Hoặc nó không hoạt động chút nào? Sau đó Mục 555 sẽ giúp bạn. Tất cả những ví dụ này được chia nhỏ ở đó. Cho xem chủ yếu những sai sót trong giải pháp. Tất nhiên, chúng ta cũng nói về việc sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau để giải các phương trình khác nhau. Giúp đỡ rất nhiều!

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.