Công thức tính tổng diện tích của hình chóp cụt. Máy tính trực tuyến để tính diện tích bề mặt của hình chóp bị cắt cụt

• 09.10.2014

  Bộ tiền khuếch đại trong hình được thiết kế để sử dụng với 4 loại nguồn âm thanh, ví dụ: micrô, đầu đĩa CD, radio, v.v. Trong trường hợp này, bộ tiền khuếch đại có một đầu vào, có thể thay đổi độ nhạy từ 50 mV đến 500 mV. điện áp đầu ra khuếch đại 1000mV. Bằng cách kết nối các nguồn tín hiệu khác nhau khi chuyển đổi công tắc SA1, chúng ta sẽ luôn nhận được...

• 20.09.2014

  Bộ nguồn được thiết kế cho tải 15…20 W. Nguồn được chế tạo theo mạch của bộ biến đổi tần số cao xung một chu kỳ. Một bóng bán dẫn được sử dụng để lắp ráp một bộ tự dao động hoạt động ở tần số 20…40 kHz. Tần số được điều chỉnh bằng điện dung C5. Các phần tử VD5, VD6 và C6 tạo thành mạch khởi động bộ dao động. Trong mạch thứ cấp sau bộ chỉnh lưu cầu có bộ ổn định tuyến tính thông thường trên vi mạch, cho phép bạn có ...

• 28.09.2014

  Hình vẽ cho thấy một máy phát điện dựa trên vi mạch K174XA11, tần số của nó được điều khiển bằng điện áp. Bằng cách thay đổi điện dung C1 từ 560 thành 4700 pF, có thể thu được dải tần số rộng, trong khi tần số được điều chỉnh bằng cách thay đổi điện trở R4. Vì vậy, ví dụ, tác giả phát hiện ra rằng, với C1 = 560pF, tần số của máy phát có thể thay đổi bằng R4 từ 600Hz đến 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Thiết bị này được thiết kế để cấp nguồn cho ULF mạnh mẽ, được thiết kế cho điện áp đầu ra ±27V và tải lên tới 3A trên mỗi cánh tay. Nguồn điện là lưỡng cực, được chế tạo trên các bóng bán dẫn composite hoàn chỉnh KT825-KT827. Cả hai nhánh của bộ ổn định đều được chế tạo theo cùng một mạch, nhưng ở nhánh còn lại (nó không được hiển thị), cực tính của tụ điện được thay đổi và các bóng bán dẫn thuộc loại khác được sử dụng...

là một khối đa diện được hình thành bởi đáy của kim tự tháp và một phần song song với nó. Chúng ta có thể nói rằng kim tự tháp cụt là một kim tự tháp có phần trên bị cắt bỏ. Hình này có nhiều đặc tính độc đáo:

• Các mặt bên của kim tự tháp là hình thang;
• Các cạnh bên của hình chóp cụt đều có cùng chiều dài và nghiêng với đáy một góc như nhau;
• Các đáy là các đa giác giống nhau;
• Trong một hình chóp cắt cụt đều, các mặt là các hình thang cân giống hệt nhau, có diện tích bằng nhau. Chúng cũng nghiêng về phía đế một góc.

Công thức tính diện tích bề mặt bên của hình chóp cụt là tổng diện tích các cạnh của nó:

Vì các cạnh của hình chóp cụt là hình thang nên để tính các tham số bạn sẽ phải sử dụng công thức diện tích hình thang. Đối với hình chóp cụt thông thường, bạn có thể áp dụng một công thức khác để tính diện tích. Vì tất cả các cạnh, mặt và góc ở đáy đều bằng nhau nên có thể áp dụng chu vi của đáy và trung điểm, đồng thời tính diện tích thông qua góc ở đáy.

Nếu, theo các điều kiện trong một hình chóp cụt thông thường, nếu cho trước trung đoạn (chiều cao của cạnh) và độ dài các cạnh của đáy, thì diện tích có thể được tính bằng nửa tích của tổng chu vi của các căn cứ và trung đoạn:

Chúng ta hãy xem một ví dụ về tính diện tích bề mặt bên của một hình chóp cụt.
Cho một hình chóp ngũ giác đều. Apothem tôi= 5cm thì độ dài cạnh đáy lớn là Một= 6 cm và cạnh ở đáy nhỏ hơn b= 4 cm, tính diện tích hình chóp cụt.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm chu vi của các căn cứ. Vì chúng ta được cho một hình chóp ngũ giác nên chúng ta hiểu rằng các đáy là các hình ngũ giác. Điều này có nghĩa là các đáy chứa một hình có năm cạnh giống nhau. Hãy tìm chu vi của đáy lớn hơn:

Tương tự như vậy, chúng ta tìm chu vi của đáy nhỏ hơn:

Bây giờ chúng ta có thể tính diện tích của một hình chóp cắt cụt thông thường. Thay dữ liệu vào công thức:

Vì vậy, chúng tôi đã tính diện tích của một hình chóp cắt cụt đều thông qua chu vi và đường trung đoạn.

Một cách khác để tính diện tích bề mặt bên của hình chóp thông thường là công thức thông qua các góc ở đáy và diện tích của chính những căn cứ này.

Hãy xem xét một tính toán ví dụ. Chúng ta nhớ rằng công thức này chỉ áp dụng cho hình chóp cắt cụt thông thường.

Cho một hình chóp tứ giác đều. Cạnh đáy dưới là a = 6 cm, cạnh đáy trên là b = 4 cm, góc nhị diện ở đáy là β = 60°. Tìm diện tích bề mặt bên của một hình chóp cắt cụt đều.

Đầu tiên chúng ta hãy tính diện tích của các căn cứ. Vì kim tự tháp đều đặn nên tất cả các cạnh của các đáy đều bằng nhau. Xét đáy là một tứ giác nên ta hiểu cần phải tính diện tích hình vuông. Nó là tích của chiều rộng và chiều dài, nhưng khi bình phương thì các giá trị này bằng nhau. Hãy tìm diện tích của đáy lớn hơn:


Bây giờ chúng ta sử dụng các giá trị tìm được để tính diện tích bề mặt bên.

Biết một số công thức đơn giản, chúng ta dễ dàng tính diện tích hình thang bên của hình chóp cụt bằng cách sử dụng các giá trị khác nhau.

Kim tự tháp. Kim tự tháp cắt ngắn

Kim tự tháp là một khối đa diện, một trong các mặt của nó là đa giác ( căn cứ ) và tất cả các mặt còn lại là các tam giác có chung một đỉnh ( mặt bên ) (Hình 15). Kim tự tháp được gọi là Chính xác , nếu đáy của nó là một đa giác đều và đỉnh của kim tự tháp được chiếu vào tâm của đế (Hình 16). Hình chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là tứ diện .

Sườn bên của hình chóp là cạnh của mặt bên không thuộc đáy Chiều cao kim tự tháp là khoảng cách từ đỉnh của nó đến mặt phẳng đáy. Tất cả các cạnh bên của một hình chóp đều bằng nhau, tất cả các mặt bên đều là các tam giác cân bằng nhau. Chiều cao của mặt bên của hình chóp đều vẽ từ đỉnh được gọi là huyền thoại . Mặt cắt chéo được gọi là một phần của hình chóp bởi một mặt phẳng đi qua hai cạnh bên không thuộc cùng một mặt.

Diện tích bề mặt bên kim tự tháp là tổng diện tích của tất cả các mặt bên. Tổng diện tích bề mặt được gọi là tổng diện tích các mặt bên và đáy.

Định lý

1. Nếu trong một hình chóp, tất cả các cạnh bên đều nghiêng với mặt phẳng của đáy thì đỉnh của hình chóp được chiếu vào tâm của vòng tròn ngoại tiếp gần chân đế.

2. Nếu tất cả các cạnh bên của hình chóp có chiều dài bằng nhau thì đỉnh của hình chóp được chiếu vào tâm của một vòng tròn ngoại tiếp gần đáy.

3. Nếu tất cả các mặt của một hình chóp đều nghiêng bằng nhau với mặt phẳng của đáy thì đỉnh của hình chóp được chiếu vào tâm của một vòng tròn nội tiếp ở đáy.

Để tính thể tích của một hình chóp tùy ý, công thức đúng là:

Ở đâu V.- âm lượng;

Đế chữ S- vùng cơ sở;

H- chiều cao của kim tự tháp.

Đối với một kim tự tháp thông thường, các công thức sau đây là đúng:

Ở đâu P- chu vi đáy;

ha– châm ngôn;

H- chiều cao;

đầy đủ

bên S

Đế chữ S- vùng cơ sở;

V.- thể tích của hình chóp đều.

Kim tự tháp cắt ngắn gọi là phần kim tự tháp được bao bọc giữa đế và mặt phẳng cắt song song với đáy kim tự tháp (Hình 17). Kim tự tháp cắt ngắn thông thường gọi là phần của hình chóp đều được bao bọc giữa đáy và mặt phẳng cắt song song với đáy của hình chóp.

Lý do kim tự tháp cắt ngắn - đa giác tương tự. Mặt bên – hình thang. Chiều cao của một hình chóp cụt là khoảng cách giữa các đáy của nó. Đường chéo hình chóp cụt là đoạn nối các đỉnh của nó không nằm trên cùng một mặt. Mặt cắt chéo là một phần của hình chóp cụt bởi một mặt phẳng đi qua hai cạnh bên không thuộc cùng một mặt.

Đối với hình chóp cụt, các công thức sau là hợp lệ:

(4)

Ở đâu S 1 , S 2 – diện tích đáy trên và đáy dưới;

đầy đủ- Tổng diện tích bề mặt;

bên S- diện tích bề mặt bên;

H- chiều cao;

V.- thể tích của hình chóp cụt.

Đối với một kim tự tháp cắt cụt thông thường, công thức là đúng:

Ở đâu P 1 , P 2 – chu vi của các căn cứ;

ha– đỉnh của một kim tự tháp cắt ngắn đều đặn.

Ví dụ 1. Trong một hình chóp tam giác đều, góc nhị diện ở đáy là 60°. Tìm tiếp tuyến của góc nghiêng của cạnh bên với mặt phẳng đáy.

Giải pháp. Hãy vẽ một bức tranh (Hình 18).

Kim tự tháp đều, có nghĩa là ở đáy có một tam giác đều và tất cả các mặt bên đều là các tam giác cân bằng nhau. Góc nhị diện ở đáy là góc nghiêng của mặt bên của hình chóp với mặt phẳng của đế. Góc tuyến tính là góc Một giữa hai đường vuông góc: v.v. Đỉnh của kim tự tháp chiếu vào tâm của tam giác (tâm của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác) ABC). Góc nghiêng của cạnh bên (ví dụ S.B.) là góc giữa cạnh đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy. Đối với xương sườn S.B. góc này sẽ là góc SBD. Để tìm tiếp tuyến bạn cần biết chân VÌ THẾ Và O.B.. Cho độ dài của đoạn BD bằng 3 MỘT. chấm VỀđoạn đường BDđược chia thành các phần: và Từ chúng tôi tìm thấy VÌ THẾ: Từ đó chúng tôi tìm thấy:

Trả lời:

Ví dụ 2. Tìm thể tích của một hình chóp tứ giác cắt cụt đều nếu các đường chéo của đáy bằng cm và cm và chiều cao của nó là 4 cm.

Giải pháp.Để tìm thể tích của hình chóp cụt, chúng ta sử dụng công thức (4). Để tìm diện tích của các đáy, bạn cần tìm các cạnh của các hình vuông đáy, biết các đường chéo của chúng. Các cạnh của các đáy lần lượt bằng 2 cm và 8 cm, nghĩa là diện tích của các đáy và thay thế tất cả dữ liệu vào công thức, chúng ta tính thể tích của hình chóp cụt:

Trả lời: 112cm3.

Ví dụ 3. Tìm diện tích mặt bên của một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy là 10 cm và 4 cm, chiều cao của hình chóp là 2 cm.

Giải pháp. Hãy vẽ một bức tranh (Hình 19).

Mặt bên của kim tự tháp này là một hình thang cân. Để tính diện tích hình thang, bạn cần biết đáy và chiều cao. Các căn cứ được đưa ra theo điều kiện, chỉ có chiều cao là không rõ. Chúng ta sẽ tìm thấy cô ấy từ đâu MỘT 1 E vuông góc từ một điểm MỘT 1 trên mặt phẳng của đế dưới, MỘT 1 D- vuông góc với MỘT 1 mỗi AC. MỘT 1 E= 2 cm, vì đây là chiều cao của kim tự tháp. Để tìm DE Hãy tạo một bản vẽ bổ sung hiển thị góc nhìn từ trên xuống (Hình 20). chấm VỀ- hình chiếu tâm của đáy trên và đáy dưới. vì (xem Hình 20) và Mặt khác ĐƯỢC RỒI- bán kính nội tiếp trong đường tròn và ôi- Bán kính nội tiếp đường tròn:

MK = DE.

Theo định lý Pythagore từ

Diện tích mặt bên:

Trả lời:

Ví dụ 4. Dưới đáy của kim tự tháp là một hình thang cân, các đáy của nó MỘT Và b (Một> b). Mỗi mặt bên tạo thành một góc bằng mặt phẳng đáy của kim tự tháp j. Tìm tổng diện tích bề mặt của kim tự tháp.

Giải pháp. Hãy vẽ một bức tranh (Hình 21). Tổng diện tích bề mặt của kim tự tháp SABCD bằng tổng diện tích và diện tích hình thang A B C D.

Chúng ta hãy sử dụng phát biểu rằng nếu tất cả các mặt của hình chóp đều nghiêng với mặt phẳng của đáy thì đỉnh được chiếu vào tâm của đường tròn nội tiếp ở đáy. chấm VỀ– phép chiếu đỉnh Sở đáy của kim tự tháp. Tam giác CỎ NHÂN TẠO là hình chiếu trực giao của tam giác CSD tới mặt phẳng của đáy. Áp dụng định lý về diện tích hình chiếu trực giao của hình phẳng, ta thu được:

Tương tự như vậy nó có nghĩa là Như vậy, bài toán đã được rút gọn thành việc tìm diện tích hình thang A B C D. Hãy vẽ một hình thang A B C D riêng biệt (Hình 22). chấm VỀ- tâm của đường tròn nội tiếp hình thang.

Vì một đường tròn có thể nội tiếp trong một hình thang nên hoặc Từ định lý Pythagore chúng ta có

Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét một kim tự tháp cụt, làm quen với một kim tự tháp cụt thông thường và nghiên cứu các tính chất của chúng.

Chúng ta hãy nhớ lại khái niệm về hình chóp n-giác bằng ví dụ về hình chóp tam giác. Tam giác ABC đã cho. Bên ngoài mặt phẳng tam giác lấy một điểm P nối các đỉnh của tam giác. Bề mặt đa diện thu được được gọi là hình chóp (Hình 1).

Cơm. 1. Kim tự tháp hình tam giác

Chúng ta hãy cắt hình chóp có mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy của hình chóp. Hình thu được giữa các mặt phẳng này được gọi là hình chóp cụt (Hình 2).

Cơm. 2. Kim tự tháp cắt ngắn

Yếu tố cần thiết:

Đế trên;

Đáy dưới ABC;

Mặt bên;

Nếu PH là chiều cao của hình chóp ban đầu thì đó là chiều cao của hình chóp bị cắt cụt.

Các đặc tính của hình chóp cụt phát sinh từ phương pháp xây dựng nó, cụ thể là từ sự song song của các mặt phẳng của các đáy:

Tất cả các mặt bên của hình chóp cụt đều là hình thang. Hãy xem xét, ví dụ, cạnh. Nó có đặc tính của các mặt phẳng song song (vì các mặt phẳng song song nên chúng cắt mặt bên của hình chóp AVR ban đầu dọc theo các đường thẳng song song), nhưng đồng thời chúng không song song. Rõ ràng, tứ giác là một hình thang, giống như tất cả các mặt bên của hình chóp cụt.

Tỉ số các đáy là như nhau đối với mọi hình thang:

Chúng ta có một số cặp tam giác giống nhau có cùng hệ số tương tự. Ví dụ: hình tam giác và RAB giống nhau do tính song song của các mặt phẳng và hệ số tương tự:

Đồng thời, hình tam giác và RVS tương tự nhau với hệ số tương tự:

Rõ ràng, các hệ số đồng dạng của cả ba cặp tam giác đồng dạng đều bằng nhau, nên tỉ số các đáy là như nhau đối với mọi hình thang.

Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt thu được bằng cách cắt một hình chóp đều có mặt phẳng song song với đáy (Hình 3).

Cơm. 3. Kim tự tháp cắt ngắn đều đặn

Sự định nghĩa.

Một hình chóp được gọi là đều nếu đáy của nó là một n-giác đều, và đỉnh của nó chiếu vào tâm của n-giác này (tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp).

Trong trường hợp này, có một hình vuông ở đáy kim tự tháp và đỉnh được chiếu tại điểm giao nhau của các đường chéo của nó. Kết quả là hình chóp tứ giác đều ABCD có đáy dưới và đáy trên. Chiều cao của hình chóp ban đầu là RO, hình chóp cụt là (Hình 4).

Cơm. 4. Hình chóp tứ giác đều

Sự định nghĩa.

Chiều cao của hình chóp cụt là đường vuông góc được vẽ từ bất kỳ điểm nào của một đáy đến mặt phẳng của đáy thứ hai.

Điểm trung bình của hình chóp ban đầu là RM (M là điểm giữa của AB), điểm trung bình của hình chóp cụt là (Hình 4).

Sự định nghĩa.

Đường trung điểm của hình chóp cụt là chiều cao của bất kỳ mặt bên nào.

Rõ ràng là tất cả các cạnh bên của hình chóp cụt đều bằng nhau, tức là các mặt bên đều là hình thang cân bằng nhau.

Diện tích bề mặt bên của một hình chóp cắt cụt đều bằng tích của một nửa tổng chu vi của các đáy và trung đoạn.

Chứng minh (đối với hình chóp tứ giác đều - Hình 4):

Vì vậy, ta cần chứng minh:

Diện tích của các mặt bên ở đây sẽ bao gồm tổng diện tích của các mặt bên - hình thang. Vì các hình thang giống nhau nên ta có:

Diện tích của hình thang cân là tích của một nửa tổng hai đáy và chiều cao; trung điểm là chiều cao của hình thang. Chúng ta có:

Q.E.D.

Đối với kim tự tháp n-giác:

Trong đó n là số mặt bên của hình chóp, a và b là các đáy của hình thang và là trung điểm.

Các cạnh của đáy của hình chóp tứ giác cắt đều bằng 3 cm và 9 cm, chiều cao - 4 cm, tính diện tích xung quanh.

Cơm. 5. Minh họa bài toán 1

Giải pháp. Hãy minh họa điều kiện:

Được hỏi bởi: , ,

Qua điểm O vẽ đường thẳng MN song song với hai cạnh của đáy dưới, tương tự qua điểm vẽ đường thẳng (Hình 6). Vì các hình vuông và cấu trúc ở đáy của hình chóp cụt song song với nhau nên chúng ta thu được một hình thang có các mặt bên bằng nhau. Hơn nữa, cạnh của nó sẽ đi qua điểm giữa của cạnh trên và cạnh dưới của các mặt bên và sẽ là trung điểm của hình chóp cụt.

Cơm. 6. Công trình bổ sung

Hãy xem xét hình thang thu được (Hình 6). Trong hình thang này đã biết đáy trên, đáy dưới và chiều cao. Bạn cần tìm cạnh trung bình của một hình chóp cụt đã cho. Hãy vẽ vuông góc với MN. Từ điểm chúng ta hạ thấp NQ vuông góc. Chúng tôi thấy rằng cơ sở lớn hơn được chia thành các đoạn ba cm (). Xét một tam giác vuông, đã biết hai chân trong đó, đây là tam giác Ai Cập, sử dụng định lý Pythagore chúng ta xác định độ dài cạnh huyền: 5 cm.

Bây giờ có tất cả các yếu tố để xác định diện tích bề mặt bên của kim tự tháp:

Kim tự tháp được giao với một mặt phẳng song song với đáy. Sử dụng ví dụ về hình chóp tam giác, chứng minh rằng các cạnh bên và chiều cao của hình chóp được mặt phẳng này chia thành các phần tỉ lệ.

Bằng chứng. Hãy minh họa:

Cơm. 7. Minh họa bài 2

Kim tự tháp RABC được đưa ra. PO - chiều cao của kim tự tháp. Kim tự tháp được cắt bằng một mặt phẳng, thu được một kim tự tháp cắt ngắn và. Điểm - điểm giao nhau của chiều cao RO với mặt phẳng đáy của hình chóp cụt. Cần phải chứng minh:

Chìa khóa của lời giải là tính chất của các mặt phẳng song song. Hai mặt phẳng song song cắt nhau sao cho hai đường giao nhau song song. Từ đây: . Sự song song của các đường thẳng tương ứng ngụ ý sự hiện diện của bốn cặp tam giác giống nhau:

Từ sự giống nhau của các hình tam giác, hãy tính tỷ lệ của các cạnh tương ứng. Một đặc điểm quan trọng là hệ số tương tự của các tam giác này giống nhau:

Q.E.D.

Một hình chóp tam giác đều RABC có chiều cao và cạnh đáy được cắt bởi một mặt phẳng đi qua điểm giữa có đường cao PH song song với đáy ABC. Tìm diện tích bề mặt bên của hình chóp bị cắt cụt.

Giải pháp. Hãy minh họa:

Cơm. 8. Minh họa bài 3

ACB là tam giác đều, H là tâm của tam giác này (tâm của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp). RM là điểm trung bình của một kim tự tháp nhất định. - apothem của một kim tự tháp cắt ngắn. Theo tính chất của các mặt phẳng song song (hai mặt phẳng song song cắt bất kỳ mặt phẳng thứ ba nào sao cho các đường giao nhau song song), ta có một số cặp tam giác đồng dạng có hệ số đồng dạng bằng nhau. Đặc biệt, chúng tôi quan tâm đến mối quan hệ:

Hãy tìm NM. Đây là bán kính của hình tròn nội tiếp đáy, ta biết công thức tương ứng:

Bây giờ từ tam giác vuông PHM, sử dụng định lý Pythagore, chúng ta tìm được RM - điểm trung bình của kim tự tháp ban đầu:

Từ tỉ lệ ban đầu:

Bây giờ chúng ta đã biết tất cả các yếu tố để tìm diện tích bề mặt bên của một hình chóp cụt:

Vì vậy, chúng ta đã làm quen với các khái niệm về hình chóp cụt và hình chóp cụt đều, đưa ra những định nghĩa cơ bản, xem xét các tính chất và chứng minh định lý về diện tích bề mặt bên. Bài học tiếp theo sẽ tập trung vào việc giải quyết vấn đề.

Thư mục

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Hình học. Lớp 10-11: Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông (cấp độ cơ bản và chuyên ngành) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Tái bản lần thứ 5, tái bản. và bổ sung - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 tr.: ốm.
2. Sharygin I. F. Hình học. Lớp 10-11: Sách giáo khoa phổ thông / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 tr.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Hình học. Lớp 10: Sách giáo khoa dành cho cơ sở giáo dục phổ thông nghiên cứu chuyên sâu và chuyên sâu về toán/E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - tái bản lần thứ 6, khuôn mẫu. - M.: Bustard, 2008. - 233 tr.: ốm.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Bài tập về nhà