Rung động hài hòa. Con lắc toán học: chu kỳ, gia tốc và công thức
(lat. biên độ- độ lớn) là độ lệch lớn nhất của vật dao động so với vị trí cân bằng của nó.
Đối với một con lắc, đây là khoảng cách tối đa mà quả bóng di chuyển ra khỏi vị trí cân bằng của nó (hình bên dưới). Đối với các dao động có biên độ nhỏ, khoảng cách như vậy có thể lấy bằng độ dài của cung 01 hoặc 02 và độ dài của các đoạn này.
Biên độ dao động được đo bằng đơn vị chiều dài - mét, cm, v.v. Trên biểu đồ dao động, biên độ được xác định là tọa độ cực đại (modulo) của đường cong hình sin (xem hình bên dưới).
Chu kỳ dao động.
Chu kỳ dao động- đây là khoảng thời gian ngắn nhất mà qua đó một hệ dao động trở lại trạng thái giống như tại thời điểm ban đầu, được chọn tùy ý.
Nói cách khác, chu kì dao động ( T) là thời gian xảy ra một dao động toàn phần. Ví dụ, trong hình bên dưới, đây là thời gian để con lắc chuyển động từ điểm ngoài cùng bên phải đến điểm cân bằng VỀđến điểm ngoài cùng bên trái và quay lại điểm VỀ một lần nữa về phía bên phải.
Do đó, trong toàn bộ chu kỳ dao động, vật truyền được một đường có biên độ bằng bốn. Chu kỳ dao động được đo bằng đơn vị thời gian - giây, phút, v.v. Chu kỳ dao động có thể được xác định từ biểu đồ dao động nổi tiếng (xem hình bên dưới).
Nói đúng ra, khái niệm “chu kỳ dao động” chỉ có giá trị khi các giá trị của đại lượng dao động được lặp lại chính xác sau một khoảng thời gian nhất định, tức là đối với các dao động điều hòa. Tuy nhiên, khái niệm này cũng áp dụng cho các trường hợp có đại lượng gần như lặp lại, ví dụ, đối với dao động tắt dần.
Tần số dao động.
Tần số dao động- đây là số dao động được thực hiện trong một đơn vị thời gian, ví dụ: trong 1 s.
Đơn vị tần số SI được đặt tên hertz(Hz) để vinh danh nhà vật lý người Đức G. Hertz (1857-1894). Nếu tần số dao động ( v) bằng 1 Hz, điều này có nghĩa là mỗi giây có một dao động. Tần số và chu kỳ dao động liên hệ với nhau bởi hệ thức:
Trong lý thuyết dao động họ cũng sử dụng khái niệm mang tính chu kỳ, hoặc tần số tròn ω . Nó liên quan đến tần số bình thường v và chu kỳ dao động T tỷ lệ:
.
Tần số tuần hoàn là số lượng dao động được thực hiện mỗi 2π giây
Chuyển động dao động- chuyển động định kỳ hoặc gần như định kỳ của một vật thể, tọa độ, tốc độ và gia tốc của chúng trong những khoảng thời gian bằng nhau có giá trị gần như nhau.
Dao động cơ học xảy ra khi một vật bị đưa ra khỏi vị trí cân bằng thì xuất hiện một lực có xu hướng kéo vật trở lại vị trí cân bằng.
Độ dời x là độ lệch của vật so với vị trí cân bằng.
Biên độ A là mô đun chuyển vị tối đa của cơ thể.
Chu kỳ dao động T - thời gian của một dao động:
Tần số dao động
Số dao động mà vật thực hiện trong một đơn vị thời gian: Trong quá trình dao động, tốc độ và gia tốc thay đổi tuần hoàn. Ở vị trí cân bằng, vận tốc đạt cực đại và gia tốc bằng 0. Tại những điểm có độ dịch chuyển cực đại, gia tốc đạt cực đại và tốc độ bằng không.
LỊCH RUNG HARMONIC
hài hòa dao động tuân theo định luật sin hoặc cosin được gọi là:
trong đó x(t) là độ dời của hệ tại thời điểm t, A là biên độ, ω là tần số dao động tuần hoàn.
Nếu vẽ đồ thị độ lệch của vật so với vị trí cân bằng dọc theo trục tung và thời gian dọc theo trục hoành, bạn sẽ thu được biểu đồ dao động x = x(t) - sự phụ thuộc của chuyển vị của vật vào thời gian. Đối với dao động điều hòa tự do, đó là sóng hình sin hoặc sóng cosin. Hình vẽ thể hiện đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của chuyển vị x, hình chiếu vận tốc V x và gia tốc a x theo thời gian.
Như có thể thấy từ đồ thị, ở độ dịch chuyển x cực đại, tốc độ V của vật dao động bằng 0, gia tốc a và do đó lực tác dụng lên vật là cực đại và có hướng ngược với độ dịch chuyển. Ở vị trí cân bằng, độ dời và gia tốc bằng 0, tốc độ đạt cực đại. Phép chiếu gia tốc luôn ngược dấu với độ dịch chuyển.
NĂNG LƯỢNG CỦA CHUYỂN ĐỘNG RUNG
Cơ năng tổng cộng của một vật dao động bằng tổng động năng và thế năng của nó và nếu không có ma sát thì cơ năng không đổi:
Tại thời điểm chuyển vị đạt cực đại x = A, tốc độ và cùng với nó là động năng sẽ bằng không.
Trong trường hợp này, tổng năng lượng bằng thế năng:
Cơ năng tổng cộng của một vật dao động tỷ lệ với bình phương biên độ dao động của nó.
Khi hệ đi qua vị trí cân bằng thì độ dời và thế năng bằng 0: x = 0, E p = 0. Do đó, tổng năng lượng bằng động năng:
Cơ năng tổng cộng của một vật dao động tỉ lệ với bình phương vận tốc của nó ở vị trí cân bằng. Kể từ đây:
Con lắc toán học
1. con lắc toán học là một điểm vật chất được treo trên một sợi dây không dãn, không trọng lượng.
Ở vị trí cân bằng, lực hấp dẫn được bù bằng lực căng của sợi dây. Nếu con lắc bị lệch và thả ra thì các lực sẽ không còn bù trừ cho nhau nữa và hợp lực sẽ xuất hiện hướng về vị trí cân bằng. Định luật II Newton:
Đối với các dao động nhỏ, khi độ dịch chuyển x nhỏ hơn l rất nhiều, điểm vật chất sẽ di chuyển gần như dọc theo trục x nằm ngang. Khi đó từ tam giác MAB ta có:
Bởi vì tội lỗi a = x/l, thì hình chiếu của lực R lên trục x bằng
Dấu trừ cho thấy lực R luôn hướng ngược chiều với độ dịch chuyển x.
2. Vì vậy, trong quá trình dao động của một con lắc toán học, cũng như trong quá trình dao động của con lắc lò xo, lực phục hồi tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển và hướng theo hướng ngược lại.
So sánh biểu thức lực phục hồi của con lắc toán học và con lắc lò xo:
Có thể thấy rằng mg/l là một dạng tương tự của k. Thay k bằng mg/l trong công thức tính chu kỳ của con lắc lò xo
chúng ta thu được công thức tính chu kỳ của con lắc toán học:
Chu kỳ dao động nhỏ của con lắc toán học không phụ thuộc vào biên độ.
Một con lắc toán học được sử dụng để đo thời gian và xác định gia tốc trọng trường tại một vị trí nhất định trên bề mặt trái đất.
Dao động tự do của một con lắc toán học có góc lệch nhỏ là dao động điều hòa. Chúng xảy ra do lực hấp dẫn và lực căng của sợi chỉ, cũng như quán tính của tải trọng. Hợp lực của các lực này là lực phục hồi.
Ví dụ. Xác định gia tốc trọng trường trên một hành tinh có một con lắc dài 6,25 m có chu kỳ dao động tự do là 3,14 s.
Chu kì dao động của con lắc phụ thuộc vào chiều dài của sợi dây và gia tốc trọng trường:
Bình phương cả hai vế của đẳng thức, ta có:
Trả lời: gia tốc trọng trường là 25 m/s 2 .
Các bài tập và bài kiểm tra về chủ đề “Chủ đề 4.” Cơ học. Dao động và sóng."
- Sóng ngang và sóng dọc. Bước sóng
Bài học: 3 Bài tập: 9 Bài kiểm tra: 1
- Sóng âm. Tốc độ âm thanh - Dao động cơ học và sóng. Âm thanh lớp 9
con lắc toán học
Giới thiệu
Chu kỳ dao động
kết luận
Văn học
Giới thiệu
Bây giờ không còn có thể xác minh truyền thuyết về việc Galileo, đứng cầu nguyện trong nhà thờ, cẩn thận theo dõi sự đung đưa của những chiếc đèn chùm bằng đồng. Tôi quan sát và xác định thời gian mà đèn chùm chuyển động qua lại. Thời gian này sau này được gọi là chu kỳ dao động. Galileo không có đồng hồ, và để so sánh chu kỳ dao động của đèn chùm treo trên những sợi dây có độ dài khác nhau, ông đã sử dụng tần số xung của mình.
Con lắc được sử dụng để điều chỉnh tốc độ của đồng hồ, vì bất kỳ con lắc nào cũng có chu kỳ dao động rất cụ thể. Con lắc còn có những ứng dụng quan trọng trong thăm dò địa chất. Được biết, ở những nơi khác nhau trên toàn cầu, các giá trị g là khác nhau. Chúng khác nhau vì Trái đất không phải là một hình cầu hoàn toàn đều đặn. Ngoài ra, ở những khu vực có đá dày đặc, chẳng hạn như một số quặng kim loại, giá trị g cao bất thường. Đo lường chính xác g với sự trợ giúp của con lắc toán học, đôi khi có thể phát hiện được những cặn lắng như vậy.
Phương trình chuyển động của con lắc toán học
Con lắc toán học là một điểm vật chất nặng di chuyển dọc theo một vòng tròn thẳng đứng (con lắc toán học phẳng) hoặc dọc theo một hình cầu (con lắc hình cầu). Theo phép tính gần đúng đầu tiên, một con lắc toán học có thể được coi là một tải trọng nhỏ được treo trên một sợi dây mềm không dãn.
Chúng ta hãy xem xét chuyển động của một con lắc toán học phẳng dọc theo một vòng tròn bán kính tôi tập trung tại một điểm VỀ(Hình 1). Ta sẽ xác định vị trí của điểm M(con lắc) góc lệch j bán kính ôi từ chiều dọc. Hướng một tiếp tuyến M t về phía góc dương j, chúng ta sẽ lập được phương trình chuyển động tự nhiên. Phương trình này được hình thành từ phương trình chuyển động
mW=F+N, (1)
Ở đâu F là lực chủ động tác dụng lên điểm, và N- phản ứng giao tiếp.
Bức tranh 1
Chúng ta thu được phương trình (1) theo định luật thứ hai của Newton, đây là định luật cơ bản của động lực học và phát biểu rằng đạo hàm theo thời gian của động lượng của một điểm vật chất bằng lực tác dụng lên nó, tức là.
Giả sử khối lượng không đổi, chúng ta có thể biểu diễn phương trình trước đó dưới dạng
Ở đâu W là gia tốc của điểm.
Vì vậy, phương trình (1) khi chiếu lên trục t sẽ cho chúng ta một trong các phương trình tự nhiên về chuyển động của một điểm dọc theo một đường cong trơn cố định cho trước:
Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi thu được phép chiếu lên trục t
,
Ở đâu tôi có khối lượng của con lắc.
Vì hoặc , từ đây ta tìm được
.
Giảm bằng cách tôi và tin tưởng
, (3)
cuối cùng chúng ta sẽ có:
,
,
,
. (4)
Đầu tiên chúng ta xét trường hợp dao động nhỏ. Cho con lắc tại thời điểm ban đầu lệch khỏi phương thẳng đứng một góc j và hạ xuống mà không có tốc độ ban đầu. Khi đó điều kiện ban đầu sẽ là:
Tại t= 0, 
. (5)
Từ tích phân năng lượng:
, (6)
Ở đâu V.- thế năng, và h là hằng số tích phân, nó suy ra rằng trong các điều kiện này tại bất kỳ thời điểm nào góc jЈj 0 . Giá trị hiện có h xác định từ dữ liệu ban đầu. Giả sử góc j 0 nhỏ (j 0 Ј1); thì góc j cũng sẽ nhỏ và chúng ta có thể đặt gần đúng sinj»j. Trong trường hợp này, phương trình (4) sẽ có dạng
. (7)
Phương trình (7) là phương trình vi phân của một dao động điều hòa đơn giản. Giải pháp tổng quát của phương trình này là
, (8)
Ở đâu MỘT Và B hoặc Một và e là các hằng số tích phân.
Từ đây ta tìm được ngay khoảng thời gian ( T) dao động nhỏ của một con lắc toán học (chu kỳ - khoảng thời gian mà điểm trở về vị trí trước đó với cùng tốc độ)
Và 
,
bởi vì sin có chu kỳ bằng 2p thì w T=2p Yu
(9)
Để tìm định luật chuyển động ở điều kiện ban đầu (5), ta tính:
. (10)
Thay các giá trị (5) vào phương trình (8) và (10), ta thu được:
j 0 = MỘT, 0 = w B,
những thứ kia. B= 0. Do đó, định luật chuyển động đối với các dao động nhỏ với điều kiện (5) sẽ là:
j = j 0 cos wt. (mười một)
Bây giờ chúng ta hãy tìm lời giải chính xác cho bài toán con lắc phẳng. Trước tiên chúng ta hãy xác định tích phân thứ nhất của phương trình chuyển động (4). Bởi vì
,
thì (4) có thể được biểu diễn dưới dạng
.
Do đó, nhân cả hai vế của phương trình với d j và tích phân, chúng ta nhận được:
. (12)
Ở đây chúng ta ký hiệu j 0 là góc lệch cực đại của con lắc; thì với j = j 0 chúng ta sẽ có, từ đó C= w 2 cosj 0 . Kết quả là tích phân (12) cho:
, (13)
trong đó w được xác định bởi đẳng thức (3).
Tích phân này là tích phân năng lượng và có thể thu được trực tiếp từ phương trình
, (14)
công việc đang di chuyển ở đâu M 0 M lực lượng hoạt động F, nếu chúng ta tính đến điều đó trong trường hợp của chúng ta v 0 = 0, và (xem hình).
Từ phương trình (13), rõ ràng khi con lắc chuyển động, góc j sẽ thay đổi giữa các giá trị +j 0 và -j 0 (|j|Јj 0, vì), tức là. con lắc sẽ thực hiện dao động điều hòa. Hãy cùng nhau đếm ngược thời gian t kể từ lúc con lắc đi qua phương thẳng đứng O.A. khi nó di chuyển sang phải (xem hình). Khi đó ta sẽ có điều kiện ban đầu:
Tại t=0, j=0. (15)
Ngoài ra, khi di chuyển từ một điểm MỘT sẽ ; lấy căn bậc hai của cả hai vế đẳng thức (13), ta có:
.
Tách các biến ở đây, ta có:
. (16)
, 
,
Cái đó
.
Thay kết quả này vào phương trình (16), chúng ta thu được.
Chu kì dao động của con lắc phụ thuộc vào chiều dài của sợi dây: chiều dài của sợi dây giảm thì chu kì dao động giảm
Đối với một con lắc toán học, một số định luật được thỏa mãn:
1 luật. Nếu, trong khi giữ nguyên chiều dài của con lắc, chúng ta treo các tải trọng khác nhau (ví dụ: 5 kg và 100 kg), thì chu kỳ dao động sẽ như nhau, mặc dù khối lượng của các tải trọng rất khác nhau. Chu kỳ của con lắc toán học không phụ thuộc vào khối lượng của tải trọng.
luật thứ 2. Nếu con lắc bị lệch bởi những góc khác nhau nhưng nhỏ thì nó sẽ dao động cùng chu kỳ mặc dù có biên độ khác nhau. Chỉ cần biên độ của con lắc nhỏ thì các dao động ở dạng của chúng sẽ giống như dao động điều hòa, khi đó chu kì của con lắc toán học không phụ thuộc vào biên độ của dao động. Tính chất này được gọi là đẳng thời.
Hãy rút ra công thức tính chu kì của một con lắc toán học.
Tải trọng m của con lắc toán học chịu tác dụng của trọng lực mg và lực đàn hồi của sợi chỉ Fynp. Hãy hướng trục 0X dọc theo tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động đi lên. Hãy viết định luật II Newton cho trường hợp này:
Chúng tôi chiếu mọi thứ lên trục OX:
Ở những góc nhỏ
Sau khi thực hiện các phép thay thế và biến đổi nhỏ, chúng ta thu được phương trình có dạng:
So sánh biểu thức thu được với phương trình dao động điều hòa, ta có:
Từ phương trình có thể thấy tần số tuần hoàn của con lắc lò xo sẽ có dạng:
Khi đó chu kỳ của con lắc toán học sẽ bằng:
Chu kỳ của con lắc toán học chỉ phụ thuộc vào gia tốc trọng trường g và chiều dài của con lắc l. Từ công thức thu được, ta suy ra rằng chu kỳ của con lắc không phụ thuộc vào khối lượng và biên độ của nó (với điều kiện là nó đủ nhỏ). Chúng tôi cũng thiết lập một mối quan hệ định lượng giữa chu kỳ của con lắc, chiều dài của nó và gia tốc trọng trường. Chu kì của một con lắc toán học tỉ lệ với căn bậc hai của tỉ số chiều dài của con lắc với gia tốc trọng trường. Hệ số tỉ lệ là 2p
Ngoài ra còn có:
Chu kì của con lắc lò xo
Chu kỳ của con lắc vật lý 
Chu kì của con lắc xoắn
Để làm ví dụ cụ thể về một vật quay quanh một trục, hãy xem xét chuyển động của con lắc.
Một con lắc vật lý là một vật rắn có trục quay nằm ngang xung quanh và nó thực hiện các chuyển động dao động dưới tác động của trọng lượng của nó (Hình 119).
Vị trí của con lắc hoàn toàn được xác định bởi góc lệch của nó so với vị trí cân bằng, và do đó, để xác định quy luật chuyển động của con lắc, chỉ cần tìm sự phụ thuộc của góc này vào thời gian là đủ.
Phương trình có dạng:
được gọi là phương trình (định luật) chuyển động của con lắc. Nó phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu, tức là vào góc và vận tốc góc.
Trường hợp giới hạn của Con lắc vật lý là một con lắc toán học, biểu diễn (như đã nêu trước đó - Chương 2, § 3) một điểm vật chất nối với trục ngang mà nó quay xung quanh bằng một thanh cứng không trọng lượng (Hình 120). Khoảng cách từ một điểm vật chất đến trục quay được gọi là chiều dài của con lắc toán học.
Các phương trình chuyển động của con lắc vật lý và toán học
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho mặt phẳng xy đi qua trọng tâm của vật C và trùng với mặt phẳng dao động của con lắc như hình vẽ (Hình 119). Hãy hướng trục vuông góc với mặt phẳng vẽ về phía chúng ta. Sau đó, dựa trên kết quả của đoạn trước, chúng ta viết phương trình chuyển động của một con lắc vật lý dưới dạng:
trong đó through biểu thị mô men quán tính của con lắc so với trục quay của nó và
Vì vậy bạn có thể viết:
Lực chủ động tác dụng lên con lắc là trọng lượng của nó, mômen của lực này đối với trục trọng lượng sẽ là:
khoảng cách từ trục quay của con lắc đến khối tâm C của nó.
Do đó, ta thu được phương trình chuyển động của con lắc vật lý sau đây:
Vì con lắc toán học là trường hợp đặc biệt của con lắc vật lý nên phương trình vi phân viết ở trên cũng đúng đối với con lắc toán học. Nếu chiều dài của một con lắc toán học bằng và trọng lượng của nó bằng thì mô men quán tính của nó đối với trục quay bằng
Vì khoảng cách từ trọng tâm của một con lắc toán học đến trục bằng nhau nên phương trình vi phân cuối cùng của chuyển động của con lắc toán học có thể được viết dưới dạng:
Giảm chiều dài của con lắc vật lý
So sánh phương trình (16.8) và (16.9), ta có thể kết luận rằng nếu các tham số của con lắc vật lý và con lắc toán học có liên hệ với nhau bởi hệ thức
thì định luật chuyển động của con lắc vật lý và toán học là như nhau (trong cùng điều kiện ban đầu).
Mối quan hệ cuối cùng chỉ ra độ dài mà một con lắc toán học phải có để chuyển động giống như con lắc vật lý tương ứng. Chiều dài này được gọi là chiều dài rút gọn của con lắc vật lý. Ý nghĩa của khái niệm này là việc nghiên cứu chuyển động của một con lắc vật lý có thể được thay thế bằng việc nghiên cứu chuyển động của một con lắc toán học, là một mạch cơ học đơn giản.
Tích phân thứ nhất của phương trình chuyển động của con lắc
Các phương trình chuyển động của các con lắc vật lý và toán học có dạng giống nhau nên phương trình chuyển động của chúng sẽ là
Vì lực duy nhất được tính đến trong phương trình này là lực hấp dẫn thuộc trường lực thế năng nên định luật bảo toàn cơ năng vẫn đúng.
Phương trình sau có thể thu được bằng một phương pháp đơn giản, cụ thể là chúng ta nhân phương trình (16.10) với sau đó
Tích hợp phương trình này, chúng ta nhận được
Xác định hằng số tích phân Cu từ điều kiện ban đầu, ta tìm được
Giải phương trình cuối cùng cho tương đối ta được
Mối quan hệ này biểu thị tích phân thứ nhất của phương trình vi phân (16.10).
Xác định phản lực tựa của các con lắc vật lý và toán học
Tích phân thứ nhất của phương trình chuyển động cho phép chúng ta xác định phản lực tựa của con lắc. Như đã chỉ ra ở đoạn trước, phản lực hỗ trợ được xác định từ phương trình (16.5). Trong trường hợp con lắc vật lý, các thành phần của lực chủ động dọc theo trục tọa độ và mômen của nó so với trục sẽ là:
Tọa độ khối tâm được xác định theo công thức:
Khi đó các phương trình xác định phản lực hỗ trợ có dạng:
Momen quán tính ly tâm của vật và khoảng cách giữa các giá đỡ phải được biết tùy theo điều kiện của bài toán. Gia tốc góc b và vận tốc góc с được xác định từ các phương trình (16.9) và (16.4) có dạng:
Như vậy, các phương trình (16.12) xác định hoàn toàn các thành phần phản lực hỗ trợ của một con lắc vật lý.
Các phương trình (16.12) còn được đơn giản hóa hơn nữa nếu chúng ta xét một con lắc toán học. Thật vậy, vì điểm vật chất của con lắc toán học nằm trong mặt phẳng nên Ngoài ra, do một điểm cố định nên phương trình (16.12) trở thành phương trình có dạng:
Từ phương trình (16.13) sử dụng phương trình (16.9), suy ra phản lực đỡ hướng dọc theo ren I (Hình 120). Sau này là một kết quả rõ ràng. Do đó, chiếu các thành phần của đẳng thức (16.13) lên phương của ren, chúng ta tìm được phương trình xác định phản lực của phần đỡ của hình (Hình 120):
Thay thế giá trị ở đây và tính đến việc chúng tôi viết:
Mối quan hệ cuối cùng xác định đáp ứng động của con lắc toán học. Lưu ý rằng phản ứng tĩnh của nó sẽ là
Nghiên cứu định tính về bản chất chuyển động của con lắc
Tích phân đầu tiên của phương trình chuyển động của con lắc cho phép chúng ta tiến hành nghiên cứu định tính về bản chất chuyển động của nó. Cụ thể, chúng ta viết tích phân (16.11) này dưới dạng:
Trong quá trình chuyển động, biểu thức căn thức phải dương hoặc biến mất ở một số điểm. Giả sử các điều kiện ban đầu là như vậy
Trong trường hợp này, biểu thức căn thức không biến mất ở đâu cả. Do đó, khi chuyển động con lắc sẽ đi qua tất cả các giá trị của góc và vận tốc góc của con lắc cùng dấu được xác định bởi hướng của vận tốc góc ban đầu, hoặc góc sẽ tăng toàn bộ theo thời gian hoặc giảm dần, tức là con lắc sẽ quay về một phía.
Các hướng chuyển động sẽ tương ứng với dấu hiệu này hoặc dấu hiệu khác trong biểu thức (16.11). Một điều kiện cần thiết để thực hiện một chuyển động như vậy là sự có mặt của vận tốc góc ban đầu, vì từ bất đẳng thức (16.14) rõ ràng là không thể thu được chuyển động như vậy của con lắc ở bất kỳ góc lệch ban đầu nào.
Bây giờ hãy để các điều kiện ban đầu sao cho
Trong trường hợp này, có hai giá trị góc mà tại đó biểu thức căn thức trở thành 0. Hãy để chúng tương ứng với các góc được xác định bởi đẳng thức
Hơn nữa, nó sẽ nằm ở đâu đó trong khoảng từ 0 đến . Hơn nữa, rõ ràng là khi
biểu thức căn thức (16.11) sẽ dương và nếu vượt quá một chút tùy ý nó sẽ âm.
Do đó, khi con lắc chuyển động thì góc của nó thay đổi trong khoảng:
Khi vận tốc góc của con lắc tiến tới 0 và góc bắt đầu giảm đến giá trị . Trong trường hợp này, dấu của vận tốc góc hoặc dấu đứng trước căn thức trong biểu thức (16.11) sẽ thay đổi. Khi vận tốc góc của con lắc lại bằng 0 và góc lại bắt đầu tăng đến giá trị
Như vậy con lắc sẽ thực hiện dao động điều hòa
Biên độ dao động của con lắc
Khi con lắc dao động, giá trị độ lệch cực đại của nó so với phương thẳng đứng gọi là biên độ dao động. Nó bằng với cái được xác định từ đẳng thức
Như sau từ công thức cuối cùng, biên độ dao động phụ thuộc vào dữ liệu ban đầu về các đặc tính chính của con lắc hoặc chiều dài rút gọn của nó.
Trong trường hợp cụ thể, khi con lắc bị lệch khỏi vị trí cân bằng và được thả ra không có vận tốc ban đầu thì nó sẽ bằng , do đó biên độ không phụ thuộc vào độ dài giảm đi.
Phương trình chuyển động của con lắc ở dạng cuối cùng
Giả sử tốc độ ban đầu của con lắc bằng 0 thì tích phân thứ nhất của phương trình chuyển động của nó sẽ là:
Tích hợp phương trình này, chúng tôi tìm thấy
Ta sẽ đếm thời gian từ vị trí của con lắc, tương ứng thì
Hãy biến đổi tích phân bằng công thức:
Sau đó chúng tôi nhận được:
Tích phân thu được được gọi là tích phân elip loại một. Nó không thể được biểu diễn bằng cách sử dụng một số hữu hạn các hàm cơ bản.
Sự đảo ngược của tích phân elip (16.15) đối với giới hạn trên của nó biểu thị phương trình chuyển động của con lắc:
Đây sẽ là hàm elip Jacobi được nghiên cứu kỹ lưỡng.
Chu kỳ dao động của con lắc
Thời gian thực hiện một dao động toàn phần của con lắc gọi là chu kì dao động của nó. Ta ký hiệu là T. Vì thời gian chuyển động của con lắc từ vị trí này sang vị trí khác bằng thời gian chuyển động từ vị trí này đến T sẽ được xác định theo công thức:
Hãy thực hiện thay đổi các biến bằng cách đặt
Khi thay đổi từ 0 tới sẽ thay đổi từ 0 sang . Hơn nữa,
và do đó
Tích phân cuối cùng được gọi là tích phân elip đầy đủ loại thứ nhất (giá trị của nó được đưa ra trong các bảng đặc biệt).
Khi tích phân có xu hướng thống nhất và .
Công thức gần đúng của dao động nhỏ của con lắc
Trong trường hợp con lắc dao động có biên độ nhỏ (thực tế không được vượt quá 20°), bạn có thể đặt
Khi đó phương trình vi phân chuyển động của con lắc có dạng:
