Cách tìm bội số chung nhỏ nhất. Đa ít chung nhất (LCM) - Định nghĩa, Ví dụ và Thuộc tính

Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên.

Các số chia hết cho 2 mà không có dư được gọi làthậm chí .

Các số không chia hết cho 2 được gọi làsố lẻ .

Dấu hiệu chia hết cho 2

Nếu bản ghi của một số tự nhiên có chữ số chẵn thì số này chia hết cho 2 mà không có dư, còn nếu bản ghi của một số có chữ số lẻ thì số này không chia hết cho 2 mà không có dư.

Ví dụ, các số 60 , 30 8 , 8 4 chia hết mà không có dư cho 2 và các số 51 , 8 5 , 16 7 không chia hết cho 2 mà không có dư.

Dấu hiệu chia hết cho 3

Nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 3 thì số đó cũng chia hết cho 3; Nếu tổng các chữ số của một số không chia hết cho 3 thì số đó không chia hết cho 3.

Ví dụ, chúng ta hãy tìm xem số 2772825 có chia hết cho 3. Để làm điều này, chúng ta tính tổng các chữ số của số này: 2 + 7 + 7 + 2 + 8 + 2 + 5 = 33 - chia hết cho 3 .Vậy số 2772825 chia hết cho 3.

Dấu hiệu chia hết cho 5

Nếu bản ghi của một số tự nhiên kết thúc bằng chữ số 0 hoặc chữ số 5 thì số này chia hết mà không có dư cho 5. Nếu bản ghi của một số kết thúc bằng một chữ số khác thì số không có dư không chia hết cho 5.

Ví dụ, số 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 chia hết mà không có dư cho 5 và các số 17 , 37 8 , 9 1 không chia sẻ.

Dấu hiệu chia hết cho 9

Nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 9 thì số đó cũng chia hết cho 9; Nếu tổng các chữ số của một số không chia hết cho 9 thì số đó không chia hết cho 9.

Ví dụ, chúng ta hãy tìm xem số 5402070 có chia hết cho 9. Để làm điều này, chúng tôi tính tổng các chữ số của số này: 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 7 + 0 = 16 - không chia hết cho 9. Điều này có nghĩa là số 5402070 không chia hết cho 9.

Dấu hiệu chia hết cho 10

Nếu ghi một số tự nhiên có chữ số 0 thì số này chia hết cho 10 mà không có dư, nếu ghi một số tự nhiên có chữ số khác thì không chia hết cho 10 mà không có dư.

Ví dụ, các số 40 , 17 0 , 1409 0 chia hết mà không có dư cho 10 và các số 17 , 9 3 , 1430 7 - không chia sẻ.

Quy tắc tìm ước chung lớn nhất (gcd).

Để tìm ước chung lớn nhất của một số số tự nhiên, bạn cần:

2) từ các yếu tố có trong khai triển của một trong những số này, gạch bỏ những yếu tố không có trong khai triển của các số khác;

3) tìm tích của các yếu tố còn lại.

Thí dụ. Hãy tìm GCD (48; 36). Hãy sử dụng quy tắc.

1. Ta phân tích các số 48 và 36 thành các thừa số nguyên tố.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Từ các yếu tố có trong khai triển số 48, chúng ta xóa các yếu tố không có trong khai triển số 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Có các yếu tố 2, 2 và 3.

3. Nhân các thừa số còn lại ta được 12. Số này là ước chung lớn nhất của các số 48 và 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Quy tắc tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM).

Để tìm bội số chung nhỏ nhất của một số số tự nhiên, bạn cần:

1) phân hủy chúng thành các thừa số nguyên tố;

2) viết ra các thừa số có trong khai triển của một trong các số;

3) thêm vào chúng các thừa số còn thiếu từ các mở rộng của các số còn lại;

4) tìm tích của các yếu tố kết quả.

Thí dụ. Hãy tìm LCM (75; 60). Hãy sử dụng quy tắc.

1. Chúng ta phân tích các số 75 và 60 thành các thừa số nguyên tố.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Viết các thừa số có trong khai triển của số 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Thêm vào chúng những yếu tố còn thiếu từ sự phân hủy của số 60, tức là 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Tìm tích của các yếu tố kết quả

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Máy tính trực tuyến cho phép bạn nhanh chóng tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của hai hoặc bất kỳ số nào khác.

Máy tính để tìm GCD và NOC

Tìm GCD và NOC

GCD và NOC được tìm thấy: 5806

Cách sử dụng máy tính

• Nhập số vào trường nhập
• Trong trường hợp nhập sai ký tự, trường nhập sẽ được tô màu đỏ
• nhấn nút "Tìm GCD và NOC"

Cách nhập số

• Các số được nhập cách nhau bằng dấu cách, dấu chấm hoặc dấu phẩy
• Độ dài của các số đã nhập không giới hạn, vì vậy việc tìm gcd và lcm của các số dài sẽ không khó

NOD và NOK là gì?

Ước chung lớn nhất của một số số là số nguyên tự nhiên lớn nhất mà tất cả các số ban đầu đều chia hết mà không có dư. Ước số chung lớn nhất được viết tắt là GCD.
Bội số chung nhỏ nhất một số số là số nhỏ nhất chia hết cho mỗi số ban đầu không có dư. Bội số chung nhỏ nhất được viết tắt là NOC.

Làm thế nào để kiểm tra xem một số có chia hết cho một số khác mà không có dư hay không?

Để tìm hiểu xem một số có chia hết cho một số khác mà không có dư hay không, bạn có thể sử dụng một số tính chất về tính chất chia hết của các số. Sau đó, bằng cách kết hợp chúng, người ta có thể kiểm tra tính chất chia hết của một số chúng và tổ hợp của chúng.

Một số dấu hiệu chia hết các số

1. Dấu hiệu chia hết của một số cho 2
Để xác định xem một số có chia hết cho hai hay không (là số chẵn), chỉ cần nhìn vào chữ số cuối cùng của số này: nếu nó bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8 thì số đó là chẵn, có nghĩa là nó chia hết cho 2.
Thí dụ: xác định xem số 34938 có chia hết cho 2 hay không.
Dung dịch: nhìn vào chữ số tận cùng: 8 có nghĩa là số chia hết cho hai.

2. Dấu hiệu chia hết của một số cho 3
Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Do đó, để xác định một số có chia hết cho 3 hay không, bạn cần tính tổng các chữ số và kiểm tra xem nó có chia hết cho 3. Ngay cả khi tổng các chữ số là rất lớn, bạn có thể lặp lại quy trình tương tự. lại.
Thí dụ: xác định xem số 34938 có chia hết cho 3 hay không.
Dung dịch: ta đếm tổng các chữ số: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27. 27 chia hết cho 3 tức là số đó chia hết cho ba.

3. Dấu hiệu chia hết của một số cho 5
Một số chia hết cho 5 khi chữ số cuối cùng của nó là 0 hoặc 5.
Thí dụ: xác định xem số 34938 có chia hết cho 5 hay không.
Dung dịch: nhìn vào chữ số cuối cùng: 8 có nghĩa là số KHÔNG chia hết cho năm.

4. Dấu hiệu chia hết của một số cho 9
Dấu hiệu này rất giống với dấu hiệu chia hết cho ba: một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Thí dụ: xác định xem số 34938 có chia hết cho 9 không.
Dung dịch: ta tính tổng các chữ số: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27. 27 chia hết cho 9 tức là số đó chia hết cho chín.

Cách tìm GCD và LCM của hai số

Cách tìm GCD của hai số

Cách đơn giản nhất để tính ước chung lớn nhất của hai số là tìm tất cả các ước có thể có của những số này và chọn ước lớn nhất của chúng.

Hãy xem xét phương pháp này bằng cách sử dụng ví dụ về tìm GCD (28, 36):

1. Ta tính thừa cả hai số: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. Chúng ta tìm thừa số chung, nghĩa là những thừa số mà cả hai số đều có: 1, 2 và 2.
3. Chúng tôi tính tích của các thừa số này: 1 2 2 \ u003d 4 - đây là ước chung lớn nhất của các số 28 và 36.

Cách tìm LCM của hai số

Có hai cách phổ biến nhất để tìm bội số nhỏ nhất của hai số. Cách đầu tiên là bạn có thể viết ra bội số đầu tiên của hai số, sau đó chọn trong số chúng một số sao cho là chung cho cả hai số và đồng thời là nhỏ nhất. Và thứ hai là tìm GCD của những con số này. Hãy cứ xem xét nó.

Để tính LCM, bạn cần tính tích của các số ban đầu và sau đó chia nó cho GCD đã tìm được trước đó. Hãy tìm LCM cho các số giống nhau 28 và 36:

1. Tìm tích của các số 28 và 36: 28 36 = 1008
2. gcd (28, 36) đã được biết đến là 4
3. LCM (28, 36) = 1008/4 = 252.

Tìm GCD và LCM cho nhiều số

Ước số chung lớn nhất có thể được tìm thấy cho một số số, và không chỉ cho hai. Vì vậy, các số cần tìm ước số chung lớn nhất được phân tách thành các thừa số nguyên tố, sau đó tích các số nguyên tố chung của các số này được tìm thấy. Ngoài ra, để tìm GCD của một số số, bạn có thể sử dụng mối quan hệ sau: gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b), c).

Mối quan hệ tương tự cũng áp dụng cho bội số phổ biến nhất: LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c)

Thí dụ: tìm GCD và LCM cho các số 12, 32 và 36.

1. Đầu tiên, hãy phân tích các số: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3.
2. Hãy tìm thừa số chung: 1, 2 và 2.
3. Sản phẩm của họ sẽ cho gcd: 1 2 2 = 4
4. Bây giờ chúng ta hãy tìm LCM: đối với điều này, đầu tiên chúng ta tìm LCM (12, 32): 12 32/4 = 96.
5. Để tìm ƯCLN của cả ba số, bạn cần tìm ƯCLN (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.

Nhưng có nhiều số tự nhiên chia hết cho các số tự nhiên khác.

Ví dụ:

Các số 12 chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12;

Các số 36 chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12, cho 18, cho 36.

Các số mà số chia hết (cho 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12) được gọi là ước số. Chia của một số tự nhiên một là số tự nhiên chia số đã cho một Không một dâu vêt. Số tự nhiên có nhiều hơn hai thừa số được gọi là hỗn hợp .

Lưu ý rằng các số 12 và 36 có ước chung. Đó là các số: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ước lớn nhất của các số này là 12. Ước chung của hai số này một và b là số mà cả hai số đã cho đều chia hết mà không có dư một và b.

Phổ biến nhiều một số số được gọi là số chia hết cho mỗi số đó. Ví dụ, các số 9, 18 và 45 có bội chung là 180. Nhưng 90 và 360 cũng là bội chung của chúng. Trong số tất cả các bội số của jcommon, luôn có một bội số nhỏ nhất, trong trường hợp này là 90. Số này được gọi là ít nhấtbội số chung (LCM).

LCM luôn là một số tự nhiên, phải lớn hơn số lớn nhất trong các số mà nó được xác định.

Bội số chung ít nhất (LCM). Đặc tính.

Tính giao hoán:

Tính liên kết:

Đặc biệt, nếu và là số nguyên tố, thì:

Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên m và N là một ước của tất cả các bội chung khác m và N. Hơn nữa, tập hợp các bội số chung m, n trùng với bộ bội số của LCM ( m, n).

Các tiệm cận cho có thể được biểu diễn dưới dạng một số hàm số-lý thuyết.

Vì thế, Hàm Chebyshev. Cũng như:

Điều này dựa trên định nghĩa và các thuộc tính của hàm Landau g (n).

Điều gì tuân theo quy luật phân phối các số nguyên tố.

Tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM).

NOC ( a, b) có thể được tính theo một số cách:

1. Nếu ước số chung lớn nhất đã biết, bạn có thể sử dụng mối quan hệ của nó với LCM:

2. Để phân tích chính tắc của cả hai số thành thừa số nguyên tố được biết:

ở đâu p 1, ..., p k là các số nguyên tố khác nhau, và d 1, ..., d k và e 1, ..., ek là các số nguyên không âm (chúng có thể bằng 0 nếu số nguyên tố tương ứng không nằm trong phân tích).

Sau đó, LCM ( một,b) được tính theo công thức:

Nói cách khác, mở rộng LCM chứa tất cả các thừa số nguyên tố được bao gồm trong ít nhất một trong các mở rộng số a, b, và lấy số mũ lớn nhất trong hai số mũ của thừa số này.

Thí dụ:

Phép tính bội chung nhỏ nhất của một số số có thể được rút gọn thành một số phép tính liên tiếp của LCM của hai số:

Qui định.Để tìm LCM của một chuỗi số, bạn cần:

- phân tích số thành thừa số nguyên tố;

- chuyển khai triển lớn nhất thành các thừa số của tích mong muốn (tích của các thừa số của số lớn nhất trong số các sản phẩm đã cho), và sau đó thêm các thừa số từ khai triển của các số khác không xuất hiện trong số đầu tiên hoặc ở trong đó một số lần nhỏ hơn;

- tích kết quả của các thừa số nguyên tố sẽ là LCM của các số đã cho.

Hai hoặc nhiều số tự nhiên bất kỳ đều có LCM riêng. Nếu các số không phải là bội của nhau hoặc không có cùng thừa số trong khai triển thì LCM của chúng bằng tích của các số này.

Các thừa số nguyên tố của số 28 (2, 2, 7) được bổ sung với thừa số 3 (số 21), tích (84) sẽ là số nhỏ nhất chia hết cho 21 và 28.

Các thừa số nguyên tố của số lớn nhất 30 được cộng với thừa số là 5 của số 25, được tích 150 lớn hơn số lớn nhất 30 và chia hết cho các số đã cho mà không có dư. Đây là tích nhỏ nhất có thể có (150, 250, 300 ...) mà tất cả các số đã cho đều là bội của.

Các số 2,3,11,37 là số nguyên tố nên LCM của chúng bằng tích của các số đã cho.

qui định. Để tính LCM của các số nguyên tố, bạn cần nhân tất cả các số này với nhau.

Một lựa chọn khác:

Để tìm bội số chung (LCM) nhỏ nhất của một số số, bạn cần:

1) biểu diễn mỗi số dưới dạng tích các thừa số nguyên tố của nó, ví dụ:

504 \ u003d 2 2 2 3 3 7,

2) viết ra lũy thừa của tất cả các thừa số nguyên tố:

504 \ u003d 2 2 2 3 3 7 \ u003d 2 3 3 2 7 1,

3) viết ra tất cả các ước số nguyên tố (cấp số nhân) của mỗi số này;

4) chọn mức độ lớn nhất trong số chúng, được tìm thấy trong tất cả các mở rộng của những con số này;

5) nhân các quyền hạn này.

Thí dụ. Tìm LCM của các số: 168, 180 và 3024.

Dung dịch. 168 \ u003d 2 2 2 3 7 \ u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \ u003d 2 2 3 3 5 \ u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Chúng tôi viết ra lũy thừa lớn nhất của tất cả các ước số nguyên tố và nhân chúng:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Nhiều ước số

Xét bài toán sau: tìm ước của số 140. Rõ ràng là số 140 không có một ước mà là một số. Trong những trường hợp như vậy, nhiệm vụ được cho là có nhiều các giải pháp. Chúng ta hãy tìm tất cả chúng. Trước hết, chúng tôi phân tích số này thành các thừa số nguyên tố:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng viết ra tất cả các ước số. Hãy bắt đầu với những ước số đơn giản, tức là những ước số có trong khai triển ở trên:

Sau đó, chúng tôi viết ra những người có được bằng cách nhân từng cặp các ước số nguyên tố:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Sau đó - những người có chứa ba ước số đơn giản:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Cuối cùng, đừng quên đơn vị và chính số có thể phân tách:

Tất cả các ước số do chúng tôi tìm thấy đều tạo thành nhiềuước của số 140, được viết bằng dấu ngoặc nhọn:

Tập hợp các ước của số 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Để thuận tiện cho nhận thức, chúng tôi đã viết ra các ước số ở đây ( thiết lập các yếu tố) theo thứ tự tăng dần, nhưng nói chung, điều này là không cần thiết. Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu một chữ viết tắt. Thay vì "Tập hợp các ước của số 140" ta sẽ viết "D (140)". Bằng cách này,

Tương tự, người ta có thể tìm tập hợp các ước cho bất kỳ số tự nhiên nào khác. Ví dụ, từ sự phân hủy

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

chúng tôi nhận được:

D (105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Từ tập hợp tất cả các ước, ta cần phân biệt tập hợp các ước nguyên tố mà các số 140 và 105 tương ứng bằng nhau:

PD (140) = (2, 5, 7).

PD (105) = (3, 5, 7).

Cần nhấn mạnh rằng trong sự phân hủy số 140 thành các thừa số nguyên tố, hai số có mặt hai lần, trong khi trong tập hợp PD (140), nó chỉ là một. Tập hợp PD (140) về bản chất là tất cả các đáp án cho bài toán: "Tìm một thừa số nguyên tố của số 140". Rõ ràng là không nên lặp lại cùng một câu trả lời nhiều hơn một lần.

Giảm phân số. Ước chung lớn nhất

Hãy xem xét một phân số

Chúng ta biết rằng phân số này có thể được rút gọn bởi một số vừa là ước của tử số (105) vừa là ước của mẫu số (140). Hãy xem các tập hợp D (105) và D (140) và viết ra các phần tử chung của chúng.

D (105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D (140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Phần tử chung của tập D (105) và D (140) =

Đẳng thức cuối cùng có thể được viết ngắn hơn, cụ thể là:

D (105) ∩ D (140) = (1, 5, 7, 35).

Ở đây, biểu tượng đặc biệt "∩" ("cái túi có lỗ xuống") chỉ ra rằng từ hai tập hợp được viết trên các mặt đối diện của nó, chỉ nên chọn các phần tử chung. Mục nhập "D (105) ∩ D (140)" đọc " ngã tư bộ Te từ 105 và Te từ 140.

[Lưu ý rằng bạn có thể thực hiện các phép toán nhị phân khác nhau với các tập hợp, gần giống như với các số. Một phép toán nhị phân phổ biến khác là một hiệp hội, được biểu thị bằng biểu tượng "∪" ("túi có lỗ lên"). Sự kết hợp của hai tập hợp bao gồm tất cả các phần tử của cả hai tập hợp:

PD (105) = (3, 5, 7);

PD (140) = (2, 5, 7);

PD (105) ∪ PD (140) = (2, 3, 5, 7). ]

Vì vậy, chúng tôi phát hiện ra rằng phân số

có thể được giảm xuống bất kỳ số nào thuộc tập hợp

D (105) ∩ D (140) = (1, 5, 7, 35)

và không thể bị giảm bởi bất kỳ số tự nhiên nào khác. Dưới đây là tất cả các cách có thể để giảm (ngoại trừ cách giảm không thú vị bởi một):

Rõ ràng là thực tế nhất là giảm phân số đi một số, nếu có thể, một số lớn hơn. Trong trường hợp này, đó là số 35, được cho là ước chung lớn nhất (GCD) số 105 và 140. Nó được viết là

gcd (105, 140) = 35.

Tuy nhiên, trong thực tế, nếu chúng ta được cho hai số và cần tìm ước chung lớn nhất của chúng, chúng ta không phải xây dựng bất kỳ bộ nào cả. Chỉ cần tính cả hai số thành thừa số nguyên tố và gạch chân những thừa số này chung cho cả hai thừa số là đủ, ví dụ:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Nhân các số được gạch dưới (trong bất kỳ phần mở rộng nào), chúng tôi nhận được:

gcd (105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Tất nhiên, có thể có nhiều hơn hai yếu tố được gạch chân:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Từ đây rõ ràng là

gcd (168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Đề cập đặc biệt xứng đáng với tình huống không có yếu tố chung nào cả và không có gì cần nhấn mạnh, ví dụ:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Trong trường hợp này,

gcd (42, 55) = 1.

Hai số tự nhiên mà gcd bằng một được gọi là coprime. Ví dụ: nếu bạn tạo ra một phân số từ những con số như vậy,

thì một phân số như vậy là không thể điều khiển được.

Nói chung, quy tắc rút gọn phân số có thể được viết như sau:

Ở đây người ta giả định rằng một và b là các số tự nhiên và tất cả các phân số đều dương. Nếu bây giờ chúng ta gán một dấu trừ cho cả hai vế của đẳng thức này, chúng ta sẽ nhận được quy tắc tương ứng cho phân số âm.

Phép cộng và phép trừ phân số. Bội số chung nhỏ nhất

Giả sử bạn muốn tính tổng của hai phân số:

Chúng ta đã biết cách phân số mẫu số thành thừa số nguyên tố:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Từ sự mở rộng này, ngay sau đó, để đưa các phân số về một mẫu số chung, chỉ cần nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với 2 ∙ 2 (tích của các thừa số nguyên tố không nén của mẫu số thứ hai), và tử số và mẫu số của phân số thứ hai bằng 3 (thừa số nguyên tố không gạch chân “tích” của mẫu số thứ nhất). Kết quả là, mẫu số của cả hai phân số sẽ bằng một số có thể được biểu diễn như sau:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Dễ dàng nhận thấy rằng cả hai mẫu số ban đầu (cả 105 và 140) đều là ước của số 420, và số 420, đến lượt nó, là bội của cả hai mẫu số - và không chỉ là bội số, nó là bội số chung nhỏ nhất (NOC) số 105 và 140. Nó được viết như thế này:

LCM (105, 140) = 420.

Xem xét kỹ hơn sự mở rộng của các số 105 và 140, chúng ta thấy rằng

105 ∙ 140 = LCM (105, 140) ∙ GCD (105, 140).

Tương tự, đối với các số tự nhiên tùy ý b và d:

b ∙ d= LCM ( b, d) ∙ GCD ( b, d).

Bây giờ chúng ta hãy hoàn thành phép tính tổng các phân số của chúng ta:

Bội số chung nhỏ nhất của hai số liên quan trực tiếp đến ước số chung lớn nhất của các số đó. Đây liên kết giữa GCD và NOCđược xác định bởi định lý sau.

Định lý.

Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương a và b bằng tích của a và b chia cho ước chung lớn nhất của a và b, nghĩa là LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).

Bằng chứng.

Để cho M là bội của các số a và b. Tức là M chia hết cho a và theo định nghĩa của phép chia hết, có một số nguyên k sao cho đẳng thức M = a · k là đúng. Mà M cũng chia hết cho b thì a k chia hết cho b.

Kí hiệu gcd (a, b) là d. Sau đó, chúng ta có thể viết ra các đẳng thức a = a 1 · d và b = b 1 · d, và a 1 = a: d và b 1 = b: d sẽ là các số nguyên tố. Do đó, điều kiện nhận được trong đoạn trước mà a k chia hết cho b có thể được định dạng lại như sau: a 1 d k chia hết cho b 1 d, và điều này, do tính chất của phép chia hết, tương đương với điều kiện a 1 k chia hết cho b một.

Chúng ta cũng cần viết ra hai hệ quả quan trọng từ định lý đã xét.

Bội chung của hai số cũng giống bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.

Điều này đúng, vì bội chung bất kỳ của M số a và b được xác định bởi đẳng thức M = LCM (a, b) t với một giá trị nguyên t nào đó.

Bội số chung nhỏ nhất của các số dương a và b bằng nhau bằng tích của chúng.

Cơ sở lý luận cho thực tế này là khá rõ ràng. Vì a và b là số nguyên tố nên gcd (a, b) = 1, do đó, LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) = a b: 1 = a b.

Bội số chung ít nhất của ba số trở lên

Tìm bội chung nhỏ nhất của ba hoặc nhiều số có thể được rút gọn thành liên tiếp tìm LCM của hai số. Cách thực hiện điều này được chỉ ra trong định lý sau: a 1, a 2,…, a k trùng với bội chung của các số m k-1 và a k, do đó, trùng với bội của m k. Và vì bội số dương nhỏ nhất của số m k là chính số m k, nên bội số chung nhỏ nhất của các số a 1, a 2,…, a k là m k.

Thư mục.

• Vilenkin N.Ya. vv Toán học. Lớp 6: sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục.
• Vinogradov I.M. Cơ bản của lý thuyết số.
• Mikhelovich Sh.Kh. Lý thuyết số.
• Kulikov L.Ya. và các bài toán khác. Tuyển tập các bài toán trong lý thuyết đại số và số: Sách giáo khoa dành cho học sinh lớp fiz.-mat. các chuyên ngành của học viện sư phạm.