Cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước: ví dụ, nghiệm

Bài viết này tiếp tục chủ đề về phương trình đường thẳng trên mặt phẳng: ta sẽ coi loại phương trình này là phương trình tổng quát của đường thẳng. Chúng ta hãy định nghĩa định lý và đưa ra bằng chứng của nó; Chúng ta hãy tìm hiểu phương trình tổng quát không hoàn chỉnh của một đường thẳng là gì và cách thực hiện các chuyển đổi từ phương trình tổng quát sang các loại phương trình khác của đường thẳng. Chúng tôi sẽ củng cố toàn bộ lý thuyết bằng các hình ảnh minh họa và giải pháp cho các vấn đề thực tế.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cho hệ tọa độ chữ nhật O x y được xác định trên mặt phẳng.

Định lý 1

Bất kỳ phương trình bậc một nào có dạng A x + B y + C = 0, trong đó A, B, C là một số số thực (A và B không bằng 0 cùng một lúc), xác định một đường thẳng trong hệ tọa độ chữ nhật trên mặt phẳng. Ngược lại, bất kỳ đường thẳng nào trong hệ tọa độ hình chữ nhật trên mặt phẳng đều được xác định bằng phương trình có dạng A x + B y + C = 0 đối với một tập hợp các giá trị A, B, C nhất định.

Bằng chứng

Định lý này bao gồm hai điểm; chúng ta sẽ chứng minh từng điểm.

  1. Hãy chứng minh rằng phương trình A x + B y + C = 0 xác định một đường thẳng trên mặt phẳng.

Giả sử có một điểm M 0 (x 0 , y 0) có tọa độ tương ứng với phương trình A x + B y + C = 0. Do đó: A x 0 + B y 0 + C = 0. Trừ vế trái và vế phải của phương trình A x + B y + C = 0 vế trái và vế phải của phương trình A x 0 + B y 0 + C = 0, ta thu được phương trình mới có dạng A (x - x 0) + B(y - y 0) = 0 . Nó tương đương với A x + B y + C = 0.

Phương trình thu được A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 là điều kiện cần và đủ cho sự vuông góc của các vectơ n → = (A, B) và M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Như vậy, tập hợp các điểm M(x,y) xác định đường thẳng trong hệ tọa độ chữ nhật vuông góc với phương của vectơ n → = (A, B). Chúng ta có thể giả sử rằng điều này không phải như vậy, nhưng khi đó các vectơ n → = (A, B) và M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) sẽ không vuông góc và đẳng thức A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 sẽ không đúng.

Do đó, phương trình A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 xác định một đường nhất định trong hệ tọa độ chữ nhật trên mặt phẳng, và do đó phương trình tương đương A x + B y + C = 0 xác định cùng một dòng. Đây là cách chúng ta chứng minh phần đầu tiên của định lý.

  1. Chúng ta hãy chứng minh rằng bất kỳ đường thẳng nào trong hệ tọa độ chữ nhật trên mặt phẳng đều có thể được xác định bằng phương trình bậc một A x + B y + C = 0.

Hãy xác định đường thẳng a trong hệ tọa độ chữ nhật trên mặt phẳng; điểm M 0 (x 0 , y 0) mà đường thẳng này đi qua, cũng như vectơ pháp tuyến của đường thẳng này n → = (A, B) .

Giả sử cũng có một số điểm M (x, y) - một điểm nổi trên một đường thẳng. Trong trường hợp này, các vectơ n → = (A, B) và M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vuông góc với nhau và tích vô hướng của chúng bằng 0:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Viết lại phương trình A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, xác định C: C = - A x 0 - B y 0 và kết quả cuối cùng ta được phương trình A x + B y + C = 0.

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được phần thứ hai của định lý và chúng ta đã chứng minh được toàn bộ định lý.

Định nghĩa 1

Một phương trình có dạng A x + B y + C = 0 - Cái này phương trình tổng quát của đường thẳng trên mặt phẳng trong hệ tọa độ chữ nhậtOxy.

Dựa trên định lý đã được chứng minh, chúng ta có thể kết luận rằng một đường thẳng và phương trình tổng quát của nó xác định trên một mặt phẳng trong hệ tọa độ hình chữ nhật cố định có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Nói cách khác, đường thẳng ban đầu tương ứng với phương trình tổng quát của nó; phương trình tổng quát của một đường thẳng tương ứng với một đường thẳng cho trước.

Từ việc chứng minh định lý cũng suy ra rằng các hệ số A và B của các biến x và y là tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng, được cho bởi phương trình tổng quát của đường thẳng A x + B y + C = 0.

Hãy xem xét một ví dụ cụ thể về phương trình tổng quát của đường thẳng.

Cho phương trình 2 x + 3 y - 2 = 0, tương ứng với một đường thẳng trong hệ tọa độ hình chữ nhật cho trước. Vectơ pháp tuyến của đường này là vectơ n → = (2, 3) ​​. Hãy vẽ đường thẳng đã cho trong hình vẽ.

Chúng ta cũng có thể phát biểu như sau: đường thẳng mà chúng ta thấy trong hình vẽ được xác định bởi phương trình tổng quát 2 x + 3 y - 2 = 0, vì tọa độ của tất cả các điểm trên một đường thẳng đã cho đều tương ứng với phương trình này.

Chúng ta có thể thu được phương trình λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 bằng cách nhân cả hai vế của phương trình tổng quát với một số λ không bằng 0. Phương trình thu được tương đương với phương trình tổng quát ban đầu nên sẽ mô tả cùng một đường thẳng trên mặt phẳng.

Định nghĩa 2

Hoàn thành phương trình tổng quát của đường thẳng– là phương trình tổng quát của đường thẳng A x + B y + C = 0 trong đó các số A, B, C khác 0. Ngược lại phương trình là chưa hoàn thiện.

Chúng ta hãy phân tích tất cả các biến thể của phương trình tổng quát không hoàn chỉnh của một đường thẳng.

  1. Khi A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, phương trình tổng quát có dạng B y + C = 0. Phương trình tổng quát không đầy đủ như vậy xác định trong hệ tọa độ chữ nhật O x y một đường thẳng song song với trục O x, vì với bất kỳ giá trị thực nào của x biến y sẽ nhận giá trị -C B. Nói cách khác, phương trình tổng quát của đường thẳng A x + B y + C = 0, khi A = 0, B ≠ 0, xác định quỹ tích các điểm (x, y), có tọa độ bằng cùng một số -C B.
  2. Nếu A = 0, B ≠ 0, C = 0 thì phương trình tổng quát có dạng y = 0. Phương trình không đầy đủ này xác định trục x O x .
  3. Khi A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, ta thu được phương trình tổng quát không đầy đủ A x + C = 0, xác định đường thẳng song song với tọa độ.
  4. Cho A ≠ 0, B = 0, C = 0 thì phương trình tổng quát không hoàn chỉnh sẽ có dạng x = 0 và đây là phương trình đường tọa độ O y.
  5. Cuối cùng, với A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, phương trình tổng quát không hoàn chỉnh có dạng A x + B y = 0. Và phương trình này mô tả một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Thật vậy, cặp số (0, 0) tương ứng với đẳng thức A x + B y = 0, vì A · 0 + B · 0 = 0.

Hãy để chúng tôi minh họa bằng đồ họa tất cả các loại phương trình tổng quát không đầy đủ ở trên của một đường thẳng.

ví dụ 1

Biết rằng đường thẳng đã cho song song với trục tọa độ và đi qua các điểm 2 7, - 11. Cần viết phương trình tổng quát của đường thẳng đã cho.

Giải pháp

Một đường thẳng song song với trục tọa độ được cho bởi phương trình có dạng A x + C = 0, trong đó A ≠ 0. Điều kiện cũng chỉ định tọa độ của điểm mà đường thẳng đi qua và tọa độ của điểm này đáp ứng các điều kiện của phương trình tổng quát không đầy đủ A x + C = 0, tức là. đẳng thức là đúng:

A 2 7 + C = 0

Từ đó có thể xác định C nếu chúng ta cho A một giá trị nào đó khác 0, ví dụ: A = 7. Trong trường hợp này, chúng ta nhận được: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Ta biết cả hai hệ số A và C, thay chúng vào phương trình A x + C = 0 và thu được phương trình đường thẳng cần tìm: 7 x - 2 = 0

Trả lời: 7 x - 2 = 0

Ví dụ 2

Hình vẽ thể hiện một đường thẳng, bạn cần viết phương trình của nó.

Giải pháp

Hình vẽ đã cho cho phép chúng ta dễ dàng lấy số liệu ban đầu để giải quyết bài toán. Trên hình vẽ ta thấy đường thẳng đã cho song song với trục O x và đi qua điểm (0, 3).

Đường thẳng song song với trục hoành được xác định bởi phương trình tổng quát B y + C = 0. Hãy tìm giá trị của B và C. Tọa độ của điểm (0, 3) vì đường thẳng đã cho đi qua nó sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng B y + C = 0 nên đẳng thức đúng: B · 3 + C = 0. Hãy đặt B thành một giá trị nào đó khác 0. Giả sử B = 1, trong trường hợp đó từ đẳng thức B · 3 + C = 0 chúng ta có thể tìm thấy C: C = - 3. Sử dụng các giá trị đã biết của B và C, ta thu được phương trình cần tìm của đường thẳng: y - 3 = 0.

Trả lời: y - 3 = 0 .

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua một điểm cho trước trong mặt phẳng

Cho đường thẳng đã cho đi qua điểm M 0 (x 0 , y 0) thì tọa độ của nó tương ứng với phương trình tổng quát của đường thẳng, tức là. đẳng thức đúng: A x 0 + B y 0 + C = 0. Chúng ta hãy trừ vế trái và vế phải của phương trình này khỏi vế trái và vế phải của phương trình đầy đủ tổng quát của đường thẳng. Ta có: A(x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, phương trình này tương đương với phương trình tổng quát ban đầu, đi qua điểm M 0 (x 0, y 0) và có nghiệm vectơ n → = (A, B) .

Kết quả mà chúng ta thu được cho phép viết phương trình tổng quát của một đường thẳng với tọa độ đã biết của vectơ pháp tuyến của đường thẳng và tọa độ của một điểm nhất định trên đường thẳng này.

Ví dụ 3

Cho một điểm M 0 (- 3, 4) mà một đường thẳng đi qua và vectơ pháp tuyến của đường thẳng này n → = (1 , - 2) . Cần phải viết phương trình của đường thẳng đã cho.

Giải pháp

Các điều kiện ban đầu cho phép ta thu được dữ liệu cần thiết để biên soạn phương trình: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Sau đó:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Vấn đề có thể đã được giải quyết theo cách khác. Phương trình tổng quát của đường thẳng là A x + B y + C = 0. Vectơ pháp tuyến đã cho cho phép ta thu được các giá trị của hệ số A và B thì:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Bây giờ chúng ta hãy tìm giá trị của C bằng cách sử dụng điểm M 0 (- 3, 4) được xác định bởi điều kiện bài toán, qua đó đường thẳng đi qua. Tọa độ của điểm này tương ứng với phương trình x - 2 · y + C = 0, tức là - 3 - 2 4 + C = 0. Do đó C = 11. Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: x - 2 · y + 11 = 0.

Trả lời: x - 2 y + 11 = 0 .

Ví dụ 4

Cho đường thẳng 2 3 x - y - 1 2 = 0 và điểm M 0 nằm trên đường thẳng này. Chỉ có hoành độ của điểm này được biết và nó bằng - 3. Cần phải xác định tọa độ của một điểm nhất định.

Giải pháp

Hãy gọi tọa độ của điểm M 0 là x 0 và y 0 . Dữ liệu nguồn chỉ ra rằng x 0 = - 3. Vì điểm thuộc một đường thẳng cho trước nên tọa độ của nó tương ứng với phương trình tổng quát của đường thẳng này. Khi đó đẳng thức sẽ đúng:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Xác định y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Trả lời: - 5 2

Chuyển từ phương trình tổng quát của đường thẳng sang các dạng phương trình khác của đường thẳng và ngược lại

Như chúng ta đã biết, có một số loại phương trình cho cùng một đường thẳng trên mặt phẳng. Việc lựa chọn loại phương trình phụ thuộc vào điều kiện của bài toán; có thể chọn cái nào thuận tiện hơn cho việc giải quyết nó. Kỹ năng chuyển đổi phương trình loại này thành phương trình loại khác rất hữu ích ở đây.

Đầu tiên, hãy xem xét sự chuyển đổi từ phương trình tổng quát có dạng A x + B y + C = 0 sang phương trình chính tắc x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Nếu A ≠ 0 thì chúng ta chuyển số hạng B y sang vế phải của phương trình tổng quát. Ở phía bên trái, chúng tôi lấy A ra khỏi ngoặc. Kết quả ta được: A x + C A = - B y.

Đẳng thức này có thể được viết dưới dạng tỷ lệ: x + C A - B = y A.

Nếu B ≠ 0, ta chỉ để lại số hạng A x ở vế trái của phương trình tổng quát, chuyển các số còn lại sang vế phải, ta được: A x = - B y - C. Ta lấy – B ra khỏi ngoặc, khi đó: A x = - B y + C B .

Hãy viết lại đẳng thức dưới dạng tỉ lệ: x - B = y + C B A.

Tất nhiên, không cần phải ghi nhớ các công thức kết quả. Chỉ cần biết thuật toán hành động khi chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình chính tắc là đủ.

Ví dụ 5

Đã cho phương trình tổng quát của đường thẳng 3 y - 4 = 0. Cần phải chuyển đổi nó thành một phương trình chính tắc.

Giải pháp

Hãy viết phương trình ban đầu là 3 y - 4 = 0. Tiếp theo, chúng ta tiến hành theo thuật toán: số hạng 0 x vẫn ở vế trái; và ở phía bên phải, chúng tôi đặt - 3 trong ngoặc; chúng ta nhận được: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Hãy viết đẳng thức thu được theo tỷ lệ: x - 3 = y - 4 3 0 . Như vậy, chúng ta đã thu được một phương trình có dạng chính tắc.

Đáp án: x - 3 = y - 4 3 0.

Để chuyển đổi phương trình tổng quát của một đường thẳng thành phương trình tham số, trước tiên phải thực hiện chuyển đổi sang dạng chính tắc, sau đó chuyển từ phương trình chính tắc của đường thẳng sang phương trình tham số.

Ví dụ 6

Đường thẳng được cho bởi phương trình 2 x - 5 y - 1 = 0. Viết các phương trình tham số của đường thẳng này.

Giải pháp

Chúng ta hãy thực hiện chuyển đổi từ phương trình tổng quát sang phương trình chính tắc:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Bây giờ chúng ta lấy cả hai vế của phương trình chính tắc thu được bằng λ, khi đó:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Trả lời:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Phương trình tổng quát có thể chuyển thành phương trình đường thẳng có hệ số góc y = k · x + b, nhưng chỉ khi B ≠ 0. Để chuyển đổi, chúng ta để số hạng B y ở bên trái, phần còn lại chuyển sang bên phải. Ta được: B y = - A x - C . Hãy chia cả hai vế của đẳng thức thu được cho B, khác 0: y = - A B x - C B.

Ví dụ 7

Phương trình tổng quát của đường thẳng đã cho: 2 x + 7 y = 0. Bạn cần chuyển đổi phương trình đó thành phương trình độ dốc.

Giải pháp

Hãy thực hiện các hành động cần thiết theo thuật toán:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Trả lời: y = - 2 7 x .

Từ phương trình tổng quát của một đường thẳng, chỉ cần thu được phương trình theo các đoạn có dạng x a + y b = 1 là đủ. Để thực hiện sự chuyển đổi như vậy, chúng ta di chuyển số C sang vế phải của đẳng thức, chia cả hai vế của đẳng thức thu được cho – C và cuối cùng, chuyển các hệ số của các biến x và y sang mẫu số:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Ví dụ 8

Cần chuyển phương trình tổng quát của đường thẳng x - 7 y + 1 2 = 0 thành phương trình đường thẳng phân đoạn.

Giải pháp

Hãy di chuyển 1 2 sang bên phải: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Hãy chia cả hai vế của đẳng thức cho -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Trả lời: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Nói chung, việc chuyển đổi ngược lại cũng dễ dàng: từ các loại phương trình khác sang loại phương trình tổng quát.

Phương trình của một đường thẳng và một phương trình có hệ số góc có thể dễ dàng chuyển thành phương trình tổng quát bằng cách thu thập tất cả các số hạng ở vế trái của đẳng thức:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Phương trình chính tắc được chuyển đổi thành phương trình tổng quát theo sơ đồ sau:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Để chuyển từ tham số, trước tiên hãy chuyển sang tham số chính tắc, sau đó đến tham số chung:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Ví dụ 9

Đã cho phương trình tham số của đường thẳng x = - 1 + 2 · λ y = 4. Cần phải viết phương trình tổng quát của đường thẳng này.

Giải pháp

Chúng ta hãy thực hiện chuyển đổi từ phương trình tham số sang phương trình chính tắc:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Hãy chuyển từ kinh điển sang tổng quát:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Trả lời: y - 4 = 0

Ví dụ 10

Cho phương trình đường thẳng trong các đoạn x 3 + y 1 2 = 1. Cần phải chuyển sang dạng tổng quát của phương trình.

Giải pháp:

Chúng ta chỉ cần viết lại phương trình ở dạng yêu cầu:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Trả lời: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng

Chúng ta đã nói ở trên rằng phương trình tổng quát có thể được viết với tọa độ đã biết của vectơ pháp tuyến và tọa độ của điểm mà đường thẳng đi qua. Một đường thẳng như vậy được xác định bởi phương trình A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Ở đó chúng tôi cũng đã phân tích ví dụ tương ứng.

Bây giờ chúng ta hãy xem các ví dụ phức tạp hơn, trong đó trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 11

Cho một đường thẳng song song với đường thẳng 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Điểm M 0 (4, 1) mà đường thẳng đã cho đi qua cũng được biết đến. Cần phải viết phương trình của đường thẳng đã cho.

Giải pháp

Các điều kiện ban đầu cho chúng ta biết các đường thẳng song song, khi đó, là vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần viết phương trình, chúng ta lấy vectơ chỉ phương của đường thẳng n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Bây giờ chúng ta đã biết tất cả dữ liệu cần thiết để tạo phương trình tổng quát của đường thẳng:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Trả lời: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Ví dụ 12

Đường thẳng đã cho đi qua gốc tọa độ vuông góc với đường thẳng x - 2 3 = y + 4 5. Cần phải tạo một phương trình tổng quát cho một đường thẳng cho trước.

Giải pháp

Vectơ pháp tuyến của một đường thẳng cho trước sẽ là vectơ chỉ phương của đường thẳng x - 2 3 = y + 4 5.

Khi đó n → = (3, 5) . Đường thẳng đi qua gốc tọa độ, tức là qua điểm O (0, 0). Hãy tạo một phương trình tổng quát cho một dòng nhất định:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Trả lời: 3 x + 5 y = 0 .

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Các phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian là các phương trình xác định một đường thẳng đi qua một điểm cho trước thẳng hàng với vectơ chỉ phương.

Cho một điểm và một vectơ chỉ phương. Một điểm tùy ý nằm trên một đường thẳng tôi chỉ khi các vectơ và thẳng hàng, tức là điều kiện được thỏa mãn đối với chúng:

.

Các phương trình trên là phương trình chính tắc của đường thẳng.

số tôi , N Và P là hình chiếu của vectơ chỉ phương lên các trục tọa độ. Vì vectơ khác 0 nên mọi số tôi , N Và P không thể đồng thời bằng 0. Nhưng một hoặc hai trong số chúng có thể bằng không. Ví dụ, trong hình học giải tích, mục sau được cho phép:

,

điều đó có nghĩa là hình chiếu của vectơ lên ​​trục Ôi Và Ozđều bằng không. Do đó, cả vectơ và đường thẳng xác định bởi phương trình chính tắc đều vuông góc với các trục Ôi Và Oz, tức là máy bay yOz .

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng trong không gian vuông góc với một mặt phẳng và đi qua giao điểm của mặt phẳng này với trục Oz .

Giải pháp. Hãy tìm giao điểm của mặt phẳng này với trục Oz. Vì điểm bất kỳ nằm trên trục Oz, có tọa độ , khi đó, giả sử trong phương trình đã cho của mặt phẳng x = y = 0, ta được 4 z- 8 = 0 hoặc z= 2 . Do đó, giao điểm của mặt phẳng này với trục Oz có tọa độ (0; 0; 2). Vì đường thẳng mong muốn vuông góc với mặt phẳng nên nó song song với vectơ pháp tuyến của nó. Do đó, vectơ chỉ hướng của đường thẳng có thể là vectơ pháp tuyến mặt phẳng đã cho.

Bây giờ hãy viết các phương trình cần thiết của đường thẳng đi qua một điểm MỘT= (0; 0; 2) theo hướng của vectơ:

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Một đường thẳng có thể được xác định bởi hai điểm nằm trên đó Và Trong trường hợp này, vectơ chỉ hướng của đường thẳng có thể là vectơ . Khi đó các phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng

.

Các phương trình trên xác định đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng trong không gian đi qua các điểm và .

Giải pháp. Hãy viết các phương trình cần thiết của đường thẳng theo dạng đã cho ở trên trong tài liệu tham khảo lý thuyết:

.

Vì , thì đường thẳng mong muốn vuông góc với trục Ôi .

Thẳng như giao tuyến của các mặt phẳng

Một đường thẳng trong không gian có thể được định nghĩa là đường giao nhau của hai mặt phẳng không song song và, tức là, là một tập hợp các điểm thỏa mãn hệ hai phương trình tuyến tính

Các phương trình của hệ còn gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian.

Ví dụ 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian cho bởi phương trình tổng quát

Giải pháp. Để viết phương trình chính tắc của một đường thẳng hay tương tự như phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, bạn cần tìm tọa độ của hai điểm bất kỳ trên đường thẳng đó. Chúng có thể là giao điểm của một đường thẳng với hai mặt phẳng tọa độ bất kỳ, chẳng hạn yOz Và xOz .

Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng yOz có một cơ bụng x= 0 . Do đó, giả sử trong hệ phương trình này x= 0, ta được hệ hai biến:

Quyết định của cô y = 2 , z= 6 cùng với x= 0 xác định một điểm MỘT(0; 2; 6) dòng mong muốn. Khi đó giả sử trong hệ phương trình đã cho y= 0, ta được hệ

Quyết định của cô x = -2 , z= 0 cùng với y= 0 xác định một điểm B(-2; 0; 0) giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng xOz .

Bây giờ hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm MỘT(0; 2; 6) và B (-2; 0; 0) :

,

hoặc sau khi chia mẫu số cho -2:

,

Cho đường thẳng đi qua các điểm M 1 (x 1; y 1) và M 2 (x 2; y 2). Phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1 có dạng y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Ở đâu k - hệ số vẫn chưa biết.

Vì đường thẳng đi qua điểm M 2 (x 2 y 2) nên tọa độ của điểm này phải thỏa mãn phương trình (10.6): y 2 -y 1 = k (x2 - x1).

Từ đây chúng ta tìm thấy Thay thế giá trị tìm thấy k vào phương trình (10.6), ta thu được phương trình đường thẳng đi qua các điểm M 1 và M 2:

Giả sử trong phương trình này x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Nếu x 1 = x 2 thì đường thẳng đi qua các điểm M 1 (x 1,y I) và M 2 (x 2,y 2) song song với trục tọa độ. phương trình của nó là x = x 1 .

Nếu y 2 = y I thì phương trình đường thẳng viết được là y = y 1, đường thẳng M 1 M 2 song song với trục hoành.

Phương trình của một đường trong đoạn

Giả sử đường thẳng cắt trục Ox tại điểm M 1 (a;0), và trục Oy tại điểm M 2 (0;b). Phương trình sẽ có dạng:
những thứ kia.
. Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng trong các đoạn thẳng vì các số a và b chỉ ra những đoạn đường thẳng cắt trên trục tọa độ.

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một vectơ cho trước

Hãy tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm Mo (x O; y o) vuông góc với một vectơ khác 0 n = (A; B).

Lấy một điểm M(x; y) tùy ý trên đường thẳng và xét vectơ M 0 M (x - x 0; y - y o) (xem Hình 1). Vì các vectơ n và M o M vuông góc nên tích vô hướng của chúng bằng 0: nghĩa là

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Phương trình (10.8) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước vuông góc với một vectơ cho trước .

Vector n= (A; B), vuông góc với đường thẳng, gọi là pháp tuyến vectơ pháp tuyến của đường này .

Phương trình (10.8) có thể được viết lại thành À + Wu + C = 0 , (10.9)

trong đó A và B là tọa độ của vectơ pháp tuyến, C = -Ax o - Vu o là số hạng tự do. Phương trình (10.9) là phương trình tổng quát của đường thẳng(xem hình 2).

Hình 1 Hình 2

Phương trình chính tắc của đường thẳng

,

Ở đâu
- tọa độ của điểm mà đường thẳng đi qua, và
- vectơ chỉ phương.

Đường cong bậc hai Vòng tròn

Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước, gọi là tâm.

Phương trình chính tắc của đường tròn bán kính R tập trung tại một điểm
:

Cụ thể, nếu tâm cọc trùng với gốc tọa độ thì phương trình sẽ có dạng:

hình elip

Hình elip là tập hợp các điểm trên mặt phẳng, tổng khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai điểm cho trước Và , được gọi là tiêu điểm, là một đại lượng không đổi
, lớn hơn khoảng cách giữa các tiêu điểm
.

Phương trình chính tắc của một elip có tiêu điểm nằm trên trục Ox và gốc tọa độ ở giữa các tiêu điểm có dạng
G de Một chiều dài trục bán lớn; b – chiều dài của trục bán phụ (Hình 2).

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước theo một hướng cho trước. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Góc giữa hai đường thẳng. Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng. Xác định giao điểm của hai đường thẳng

1. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước MỘT(x 1 , y 1) theo một hướng nhất định, được xác định bởi độ dốc k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Phương trình này xác định một bút chì gồm các đường đi qua một điểm MỘT(x 1 , y 1), được gọi là tâm chùm tia.

2. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: MỘT(x 1 , y 1) và B(x 2 , y 2), viết như thế này:

Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước được xác định theo công thức

3. Góc giữa các đường thẳng MỘT Và B là góc mà đường thẳng thứ nhất phải quay MỘT quanh giao điểm của các đường này ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi trùng với đường thứ hai B. Nếu hai đường thẳng được cho bởi phương trình có hệ số góc

y = k 1 x + B 1 ,

Sự định nghĩa. Bất kỳ đường thẳng nào trên mặt phẳng đều có thể được xác định bằng phương trình bậc nhất

Rìu + Wu + C = 0,

Hơn nữa, các hằng số A và B không đồng thời bằng 0. Phương trình bậc nhất này được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Tùy thuộc vào giá trị của các hằng số A, B và C, có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – đường thẳng đi qua gốc tọa độ

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - đường thẳng song song với trục Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – đường thẳng song song với trục Oy

B = C = 0, A ≠0 – đường thẳng trùng với trục Oy

A = C = 0, B ≠0 – đường thẳng trùng với trục Ox

Phương trình của đường thẳng có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào điều kiện ban đầu cho trước.

Phương trình đường thẳng từ một điểm và vectơ pháp tuyến

Sự định nghĩa. Trong hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes, một vectơ có các thành phần (A, B) vuông góc với đường thẳng cho bởi phương trình Ax + By + C = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, 2) vuông góc với (3, -1).

Giải pháp. Với A = 3 và B = -1, hãy viết phương trình đường thẳng: 3x – y + C = 0. Để tìm hệ số C, ta thay tọa độ của điểm A đã cho vào biểu thức thu được: 3 – 2 + C = 0 nên C = -1 . Tổng: phương trình cần tìm: 3x – y – 1 = 0.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Cho hai điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2, y 2, z 2) trong không gian thì phương trình đường thẳng đi qua các điểm đó là:

Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0 thì tử số tương ứng phải bằng 0. Trên mặt phẳng, phương trình đường thẳng viết trên được đơn giản hóa:

nếu x 1 ≠ x 2 và x = x 1, nếu x 1 = x 2.

Phân số = k được gọi là dốc thẳng.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm A(1, 2) và B(3, 4).

Giải pháp.Áp dụng công thức viết ở trên, ta có:

Phương trình đường thẳng từ một điểm và hệ số góc

Nếu tổng Ax + Bu + C = 0 thì dẫn đến dạng:

và chỉ định , thì phương trình thu được được gọi là phương trình đường thẳng có độ dốck.

Phương trình đường thẳng từ một điểm và một vectơ chỉ phương

Bằng cách tương tự với điểm xét phương trình đường thẳng đi qua một vectơ pháp tuyến, ta có thể nhập định nghĩa đường thẳng đi qua một điểm và vectơ chỉ hướng của đường thẳng.

Sự định nghĩa. Mỗi vectơ khác 0 (α 1, α 2) có các thành phần thỏa mãn điều kiện A α 1 + B α 2 = 0 được gọi là vectơ chỉ hướng của đường thẳng

Rìu + Wu + C = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng có vectơ chỉ phương (1, -1) và đi qua điểm A(1, 2).

Giải pháp. Chúng ta sẽ tìm phương trình của đường thẳng mong muốn có dạng: Ax + By + C = 0. Theo định nghĩa, các hệ số phải thỏa mãn điều kiện:

1 * A + (-1) * B = 0, tức là A = B.

Khi đó phương trình đường thẳng có dạng: Ax + Ay + C = 0, hoặc x + y + C / A = 0. với x = 1, y = 2 ta thu được C/ A = -3, tức là. phương trình cần thiết:

Phương trình của một đường trong đoạn

Nếu trong phương trình tổng quát của đường thẳng Ах + Ву + С = 0 С≠0 thì chia cho –С, ta được: hoặc

Ý nghĩa hình học của các hệ số là hệ số MỘT là tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Ox và b- tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Oy.

Ví dụ.Đã cho phương trình tổng quát của đường thẳng x – y + 1 = 0. Tìm phương trình đường thẳng này theo các đoạn.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Phương trình chuẩn của đường thẳng

Nếu nhân cả hai vế của phương trình Ax + By + C = 0 với số được gọi là yếu tố bình thường hóa, sau đó chúng tôi nhận được

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

phương trình bình thường của một đường thẳng. Dấu ± của hệ số chuẩn hóa phải được chọn sao cho μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Ví dụ. Đã cho phương trình tổng quát của đường thẳng 12x – 5y – 65 = 0. Cần phải viết các loại phương trình cho đường thẳng này.

phương trình của đường này trong các phân đoạn:

phương trình của đường thẳng này có độ dốc: (chia cho 5)

; cos φ = 12/13; tội lỗi φ= -5/13; p = 5.

Cần lưu ý rằng không phải mọi đường thẳng đều có thể được biểu diễn bằng phương trình thành các đoạn thẳng, ví dụ đường thẳng song song với các trục hoặc đi qua gốc tọa độ.

Ví dụ. Đường thẳng cắt các đoạn dương bằng nhau trên trục tọa độ. Viết phương trình đường thẳng nếu diện tích tam giác tạo bởi các đoạn thẳng này là 8 cm 2.

Giải pháp. Phương trình đường thẳng có dạng: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. một = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-2, -3) và gốc tọa độ.

Giải pháp. Phương trình của đường thẳng là: , trong đó x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.

Góc giữa các đường thẳng trên mặt phẳng

Sự định nghĩa. Nếu cho hai đường thẳng y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 thì góc nhọn giữa các đường thẳng này sẽ được xác định là

.

Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc nếu k 1 = -1/ k 2.

Định lý. Các đường thẳng Ax + Bу + C = 0 và A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 song song khi các hệ số A 1 = λA, B 1 = λB tỷ lệ thuận. Nếu C 1 = λC thì các đường thẳng trùng nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được tìm là nghiệm của hệ phương trình của các đường thẳng này.

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước

Sự định nghĩa.Đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y = kx + b được biểu diễn bằng phương trình:

Khoảng cách từ điểm tới đường

Định lý. Nếu cho điểm M(x 0, y 0) thì khoảng cách đến đường thẳng Ax + Bу + C = 0 được xác định như sau

.

Bằng chứng. Cho điểm M 1 (x 1, y 1) là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm M xuống một đường thẳng cho trước. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và M 1:

(1)

Tọa độ x 1 và y 1 có thể tìm được bằng cách giải hệ phương trình:

Phương trình thứ hai của hệ là phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 vuông góc với một đường thẳng cho trước. Nếu biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

thì giải ra ta được:

Thay các biểu thức này vào phương trình (1), chúng ta tìm thấy:

Định lý đã được chứng minh.

Ví dụ. Xác định góc giữa các đường thẳng: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Ví dụ. Chứng minh rằng các đường thẳng 3x – 5y + 7 = 0 và 10x + 6y – 3 = 0 vuông góc.

Giải pháp. Ta tìm được: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, do đó các đường thẳng vuông góc.

Ví dụ. Cho trước các đỉnh của tam giác A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Tìm phương trình đường cao vẽ từ đỉnh C.

Giải pháp. Ta tìm phương trình cạnh AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Phương trình chiều cao cần tìm có dạng: Ax + By + C = 0 hoặc y = kx + b. k = . Khi đó y = . Bởi vì độ cao đi qua điểm C thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình: từ đó b = 17. Tổng cộng: .

Đáp án: 3 x + 2 y – 34 = 0.