Cách kiểm tra phương pháp Gaussian. Đảo ngược phương pháp Gaussian

Một trong những cách đơn giản nhất để giải hệ phương trình tuyến tính là kỹ thuật dựa trên việc tính các định thức ( Quy tắc Cramer). Ưu điểm của nó là cho phép bạn ghi lại lời giải ngay lập tức, nó đặc biệt thuận tiện trong trường hợp các hệ số của hệ thống không phải là số mà là một số tham số. Nhược điểm của nó là tính toán phức tạp trong trường hợp có số lượng lớn phương trình; hơn nữa, quy tắc Cramer không thể áp dụng trực tiếp cho các hệ trong đó số phương trình không trùng với số ẩn số. Trong những trường hợp như vậy, nó thường được sử dụng phương pháp Gaussian.

Hệ phương trình tuyến tính có cùng tập nghiệm được gọi là tương đương. Rõ ràng, tập nghiệm của một hệ tuyến tính sẽ không thay đổi nếu bất kỳ phương trình nào bị hoán đổi hoặc nếu một trong các phương trình được nhân với một số khác 0 hoặc nếu một phương trình được thêm vào một phương trình khác.

Phương pháp Gauss (phương pháp loại bỏ tuần tự các ẩn số) là với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ thống được rút gọn thành một hệ thống tương đương thuộc loại bước. Đầu tiên, sử dụng phương trình 1, chúng ta loại bỏ x 1 trong tất cả các phương trình tiếp theo của hệ. Sau đó, sử dụng phương trình thứ 2, chúng ta loại bỏ x 2 từ phương trình thứ 3 và tất cả các phương trình tiếp theo. Quá trình này, được gọi là phương pháp Gaussian trực tiếp, tiếp tục cho đến khi chỉ còn một ẩn số ở vế trái của phương trình cuối cùng xn. Sau đó, nó được thực hiện nghịch đảo của phương pháp Gaussian- giải phương trình cuối cùng ta tìm được xn; sau đó, sử dụng giá trị này, từ phương trình áp chót, chúng ta tính được xn–1, v.v. Chúng tôi tìm thấy cái cuối cùng x 1 từ phương trình đầu tiên.

Thật thuận tiện khi thực hiện các phép biến đổi Gaussian bằng cách thực hiện các phép biến đổi không phải với chính các phương trình mà bằng ma trận các hệ số của chúng. Hãy xem xét ma trận:

gọi điện ma trận mở rộng của hệ thống, bởi vì, ngoài ma trận chính của hệ thống, nó còn có một cột các thuật ngữ tự do. Phương pháp Gaussian dựa trên việc quy đổi ma trận chính của hệ thành dạng tam giác (hoặc dạng hình thang trong trường hợp hệ không vuông) bằng cách sử dụng các phép biến đổi hàng cơ bản (!) của ma trận mở rộng của hệ.

Ví dụ 5.1. Giải hệ phương trình Gaussian:

Giải pháp. Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng hàng đầu tiên, sau đó chúng ta sẽ đặt lại các phần tử còn lại:

chúng ta nhận được số 0 ở hàng thứ 2, thứ 3 và thứ 4 của cột đầu tiên:

Bây giờ chúng ta cần tất cả các phần tử trong cột thứ hai bên dưới hàng thứ 2 bằng 0. Để làm điều này, bạn có thể nhân dòng thứ hai với –4/7 và cộng nó vào dòng thứ 3. Tuy nhiên, để không phải xử lý phân số, chúng ta hãy tạo đơn vị ở hàng thứ 2 của cột thứ hai và chỉ

Bây giờ, để có được ma trận tam giác, bạn cần đặt lại phần tử của hàng thứ tư của cột thứ 3; để làm điều này, bạn có thể nhân hàng thứ ba với 8/54 và cộng nó với hàng thứ tư. Tuy nhiên, để không xử lý phân số, chúng ta sẽ hoán đổi hàng thứ 3 và thứ 4 cũng như cột thứ 3 và thứ 4 và chỉ sau đó chúng ta sẽ đặt lại phần tử đã chỉ định. Lưu ý khi sắp xếp lại các cột các biến tương ứng sẽ thay đổi vị trí và điều này phải được ghi nhớ; không thể thực hiện được các phép biến đổi cơ bản khác có cột (cộng và nhân với một số)!

Ma trận đơn giản hóa cuối cùng tương ứng với hệ phương trình tương đương với ma trận ban đầu:

Từ đây, sử dụng nghịch đảo của phương pháp Gaussian, chúng ta tìm được từ phương trình thứ tư x 3 = –1; từ thứ ba x 4 = –2, tính từ giây x 2 = 2 và từ phương trình đầu tiên x 1 = 1. Ở dạng ma trận, đáp án được viết là

Chúng tôi đã xem xét trường hợp khi hệ thống là xác định, tức là khi chỉ có một giải pháp. Hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu hệ thống không nhất quán hoặc không chắc chắn.

Ví dụ 5.2. Khám phá hệ thống bằng phương pháp Gaussian:

Giải pháp. Chúng tôi viết ra và biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống

Chúng tôi viết một hệ phương trình đơn giản:

Ở đây, trong phương trình cuối cùng hóa ra 0=4, tức là mâu thuẫn. Do đó, hệ thống không có giải pháp, tức là. cô ấy không tương thích. à

Ví dụ 5.3. Khám phá và giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian:

Giải pháp. Chúng tôi viết và biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống:

Kết quả của các phép biến đổi là dòng cuối cùng chỉ chứa số 0. Điều này có nghĩa là số phương trình đã giảm đi một:

Như vậy, sau khi đơn giản hóa, còn lại hai phương trình và bốn ẩn số, tức là hai "phụ" không xác định. Hãy để chúng trở nên "thừa", hoặc, như người ta nói, biến miễn phí, sẽ x 3 và x 4 . Sau đó

tin tưởng x 3 = 2Một Và x 4 = b, chúng tôi nhận được x 2 = 1–Một Và x 1 = 2b–Một; hoặc ở dạng ma trận

Một giải pháp được viết theo cách này được gọi là tổng quan, bởi vì, đưa ra các tham số Một Và b các giá trị khác nhau thì có thể mô tả được tất cả các nghiệm có thể có của hệ thống. Một

Hôm nay chúng ta xem xét phương pháp Gauss để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính. Bạn có thể đọc về những hệ thống này là gì trong bài viết trước nhằm giải quyết các SLAE tương tự bằng phương pháp Cramer. Phương pháp Gauss không yêu cầu bất kỳ kiến ​​thức cụ thể nào, bạn chỉ cần sự chú ý và nhất quán. Mặc dù thực tế là, từ quan điểm toán học, đào tạo ở trường là đủ để áp dụng nó, nhưng học sinh thường khó thành thạo phương pháp này. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng giảm chúng xuống không có gì!

Phương pháp Gauss

M phương pháp Gaussian– phương pháp phổ biến nhất để giải SLAE (ngoại trừ các hệ thống rất lớn). Không giống như những gì đã thảo luận trước đó, nó phù hợp không chỉ cho các hệ thống có một giải pháp duy nhất mà còn cho các hệ thống có vô số giải pháp. Có ba lựa chọn có thể ở đây.

1. Hệ có nghiệm duy nhất (định thức của ma trận chính của hệ không bằng 0);
2. Hệ thống có vô số nghiệm;
3. Không có giải pháp, hệ thống không tương thích.

Vì vậy, chúng ta có một hệ thống (hãy để nó có một nghiệm) và chúng ta sẽ giải nó bằng phương pháp Gaussian. Làm thế nào nó hoạt động?

Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn - tiến và nghịch đảo.

Hành trình trực tiếp của phương pháp Gaussian

Đầu tiên, hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống. Để thực hiện việc này, hãy thêm một cột gồm các thành viên miễn phí vào ma trận chính.

Toàn bộ bản chất của phương pháp Gauss là đưa ma trận này về dạng bậc thang (hoặc, như người ta cũng nói, dạng tam giác) thông qua các phép biến đổi cơ bản. Ở dạng này, chỉ có các số 0 ở dưới (hoặc ở trên) đường chéo chính của ma trận.

Bạn có thể làm gì:

1. Bạn có thể sắp xếp lại các hàng của ma trận;
2. Nếu có các hàng bằng nhau (hoặc tỷ lệ) trong một ma trận, bạn có thể xóa tất cả trừ một trong số chúng;
3. Bạn có thể nhân hoặc chia một chuỗi cho bất kỳ số nào (trừ số 0);
4. Các hàng rỗng sẽ bị xóa;
5. Bạn có thể nối thêm một chuỗi nhân với một số khác 0 vào một chuỗi.

Phương pháp Gaussian đảo ngược

Sau khi chúng tôi chuyển đổi hệ thống theo cách này, một ẩn số Xn trở nên đã biết và bạn có thể tìm tất cả các ẩn số còn lại theo thứ tự ngược lại, thay thế các x đã biết vào các phương trình của hệ thống, cho đến phương trình đầu tiên.

Khi có Internet, bạn có thể giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaussian trực tuyến. Bạn chỉ cần nhập các hệ số vào máy tính trực tuyến. Nhưng bạn phải thừa nhận, sẽ dễ chịu hơn nhiều khi nhận ra rằng ví dụ này được giải không phải bằng chương trình máy tính mà bằng chính bộ não của bạn.

Ví dụ giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss

Và bây giờ - một ví dụ để mọi thứ trở nên rõ ràng và dễ hiểu. Cho một hệ phương trình tuyến tính và bạn cần giải nó bằng phương pháp Gauss:

Đầu tiên chúng ta viết ma trận mở rộng:

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện các phép biến đổi. Chúng ta nhớ rằng chúng ta cần đạt được hình dạng tam giác của ma trận. Hãy nhân dòng thứ 1 với (3). Nhân dòng thứ 2 với (-1). Thêm dòng thứ 2 vào dòng thứ nhất và nhận được:

Sau đó nhân dòng thứ 3 với (-1). Hãy thêm dòng thứ 3 vào dòng thứ 2:

Hãy nhân dòng thứ 1 với (6). Hãy nhân dòng thứ 2 với (13). Hãy thêm dòng thứ 2 vào dòng thứ nhất:

Thì đấy - hệ thống được đưa về dạng thích hợp. Vẫn còn phải tìm những điều chưa biết:

Hệ thống trong ví dụ này có một giải pháp duy nhất. Chúng ta sẽ xem xét việc giải các hệ có vô số nghiệm trong một bài viết riêng. Có lẽ lúc đầu bạn sẽ không biết bắt đầu chuyển đổi ma trận từ đâu, nhưng sau khi thực hành thích hợp, bạn sẽ hiểu rõ về nó và sẽ bẻ khóa SLAE bằng phương pháp Gaussian như một quả hạch. Và nếu bạn bất ngờ gặp một SLA hóa ra lại quá khó để bẻ khóa, hãy liên hệ với tác giả của chúng tôi! bạn có thể bằng cách để lại yêu cầu tại Văn phòng Thư tín. Cùng nhau chúng ta sẽ giải quyết mọi vấn đề!

Máy tính trực tuyến này tìm ra nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (SLE) bằng phương pháp Gaussian. Một giải pháp chi tiết được đưa ra. Để tính toán, chọn số lượng biến và số lượng phương trình. Sau đó nhập dữ liệu vào các ô và nhấp vào nút "Tính toán".

Biểu diễn số:

Số vị trí sau dấu phân cách thập phân

×

Cảnh báo

Xóa tất cả các ô?

Đóng Xóa

Hướng dẫn nhập dữ liệu. Các số được nhập dưới dạng số nguyên (ví dụ: 487, 5, -7623, v.v.), số thập phân (ví dụ: 67., 102,54, v.v.) hoặc phân số. Phân số phải được nhập ở dạng a/b, trong đó a và b (b>0) là số nguyên hoặc số thập phân. Ví dụ 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, v.v.

Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss là phương pháp chuyển từ hệ phương trình tuyến tính ban đầu (sử dụng các phép biến đổi tương đương) sang hệ dễ giải hơn hệ phương trình gốc.

Các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình tuyến tính là:

• hoán đổi hai phương trình trong hệ thống,
• nhân bất kỳ phương trình nào trong hệ với một số thực khác 0,
• thêm vào một phương trình một phương trình khác nhân với một số tùy ý.

Xét hệ phương trình tuyến tính:

Viết hệ (1) dưới dạng ma trận:

(3)

MỘT- gọi là ma trận hệ số của hệ, b− phía bên phải của các hạn chế, x− vectơ của các biến cần tìm. Hãy xếp hạng( MỘT)=P.

Các phép biến đổi tương đương không làm thay đổi hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận mở rộng của hệ. Tập nghiệm của hệ cũng không thay đổi dưới các phép biến đổi tương đương. Bản chất của phương pháp Gauss là rút gọn ma trận các hệ số MỘT theo đường chéo hoặc theo bậc.

Hãy xây dựng một ma trận mở rộng của hệ thống:

Ở giai đoạn tiếp theo, chúng tôi đặt lại tất cả các phần tử của cột 2, bên dưới phần tử. Nếu phần tử này bằng 0 thì hàng này được đổi chỗ với hàng nằm bên dưới hàng này và có phần tử khác 0 ở cột thứ hai. Tiếp theo, đặt lại tất cả các phần tử của cột 2 bên dưới phần tử đầu tiên Một 22. Để thực hiện việc này, hãy thêm dòng 3, ... tôi với chuỗi 2 nhân với − Một 32 /Một 22 , ..., −Một m2/ Một 22, tương ứng. Tiếp tục quy trình, chúng ta thu được ma trận dạng đường chéo hoặc bậc thang. Cho ma trận mở rộng thu được có dạng:

Bởi vì rangA=rang(A|b), thì tập nghiệm (7) là ( n-p)- đa dạng. Kể từ đây n-p những ẩn số có thể được chọn tùy ý. Các ẩn số còn lại từ hệ thống (7) được tính như sau. Từ phương trình cuối cùng chúng ta biểu thị x p thông qua các biến còn lại và chèn vào các biểu thức trước đó. Tiếp theo, từ phương trình áp chót chúng ta biểu thị x p−1 thông qua các biến còn lại và chèn vào các biểu thức trước đó, v.v. Hãy xem xét phương pháp Gauss bằng các ví dụ cụ thể.

Ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss:

Hãy ký hiệu bằng Một phần tử ij Tôi-dòng thứ và j cột thứ.

Một mười một . Để làm điều này, hãy thêm dòng 2,3 với dòng 1, nhân với -2/3, -1/2 tương ứng:

Kiểu ghi ma trận: Rìu=b, Ở đâu

Hãy ký hiệu bằng Một phần tử ij Tôi-dòng thứ và j cột thứ.

Hãy loại trừ các phần tử của cột thứ 1 của ma trận bên dưới phần tử Một mười một . Để làm điều này, hãy thêm dòng 2,3 với dòng 1, nhân với -1/5, -6/5 tương ứng:

Chúng ta chia mỗi hàng của ma trận cho phần tử đầu tương ứng (nếu phần tử đầu tồn tại):

Ở đâu x 3 , x

Thay thế các biểu thức trên vào biểu thức dưới, chúng ta thu được giải pháp.

Khi đó nghiệm vectơ có thể được biểu diễn như sau:

Ở đâu x 3 , x 4 là số thực tùy ý.

1. Hệ phương trình đại số tuyến tính

1.1 Khái niệm hệ phương trình đại số tuyến tính

Hệ phương trình là một điều kiện bao gồm việc thực hiện đồng thời một số phương trình đối với một số biến. Hệ phương trình đại số tuyến tính (sau đây gọi tắt là SLAE) chứa m phương trình và n ẩn số được gọi là hệ có dạng:

trong đó số a ij được gọi là hệ số hệ thống, số b i được gọi là số hạng tự do, một ij Và tôi(i=1,…, m; b=1,…, n) biểu thị một số số đã biết và x 1,…,xn- không xác định. Trong việc chỉ định các hệ số một ij chỉ số đầu tiên i biểu thị số của phương trình và chỉ số thứ hai j là số chưa biết mà hệ số này đứng ở đó. Các số x n phải được tìm thấy. Thật thuận tiện khi viết một hệ thống như vậy dưới dạng ma trận thu gọn: AX=B.Ở đây A là ma trận hệ số của hệ, gọi là ma trận chính;

Tích của ma trận A*X được xác định, vì có số cột trong ma trận A bằng số hàng trong ma trận X (n phần).

Ma trận mở rộng của một hệ là ma trận A của hệ được bổ sung bởi cột các số hạng tự do

1.2 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Lời giải của hệ phương trình là một tập hợp số có thứ tự (giá trị của các biến), khi thay thế các biến thì mỗi phương trình của hệ trở thành một đẳng thức đúng.

Nghiệm của một hệ là n giá trị của các ẩn số x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, khi thay thế tất cả các phương trình của hệ sẽ trở thành đẳng thức thực. Mọi nghiệm của hệ đều có thể viết dưới dạng ma trận cột

Một hệ phương trình được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một nghiệm và không nhất quán nếu nó không có nghiệm nào.

Một hệ thống nhất quán được gọi là xác định nếu nó có một nghiệm duy nhất và không xác định nếu nó có nhiều hơn một nghiệm. Trong trường hợp sau, mỗi nghiệm của nó được gọi là một nghiệm riêng của hệ. Tập hợp tất cả các nghiệm cụ thể được gọi là nghiệm tổng quát.

Giải một hệ thống có nghĩa là tìm ra xem nó tương thích hay không nhất quán. Nếu hệ thống nhất quán, hãy tìm giải pháp chung của nó.

Hai hệ được gọi là tương đương (tương đương) nếu chúng có nghiệm tổng quát giống nhau. Nói cách khác, các hệ thống là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngược lại.

Một phép biến đổi, ứng dụng biến một hệ thống thành một hệ thống mới tương đương với hệ thống ban đầu, được gọi là một phép biến đổi tương đương hoặc tương đương. Ví dụ về các phép biến đổi tương đương bao gồm các phép biến đổi sau: hoán đổi hai phương trình của một hệ, hoán đổi hai ẩn số cùng với các hệ số của tất cả các phương trình, nhân cả hai vế của bất kỳ phương trình nào của hệ với một số khác 0.

Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là đồng nhất nếu tất cả các số hạng tự do đều bằng 0:

Một hệ thống đồng nhất luôn nhất quán, vì x1=x2=x3=…=xn=0 là một nghiệm của hệ thống. Giải pháp này được gọi là không hoặc tầm thường.

2. Phương pháp loại bỏ Gaussian

2.1 Bản chất của phương pháp khử Gaussian

Phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình đại số tuyến tính là phương pháp loại trừ tuần tự các ẩn số - phương pháp Gaussian(nó còn được gọi là phương pháp loại bỏ Gaussian). Đây là một phương pháp loại bỏ tuần tự các biến, khi sử dụng các phép biến đổi cơ bản, một hệ phương trình được rút gọn thành một hệ tương đương có dạng bước (hoặc tam giác), từ đó tất cả các biến khác được tìm thấy một cách tuần tự, bắt đầu từ biến cuối cùng (bằng số) biến.

Quá trình giải bằng phương pháp Gaussian bao gồm hai giai đoạn: di chuyển tiến và lùi.

1. Đột quỵ trực tiếp.

Ở giai đoạn đầu tiên, cái gọi là di chuyển trực tiếp được thực hiện khi, thông qua các phép biến đổi cơ bản trên các hàng, hệ thống được đưa về dạng bậc thang hoặc hình tam giác hoặc được xác định rằng hệ thống không tương thích. Cụ thể, trong số các phần tử của cột đầu tiên của ma trận, chọn một phần tử khác 0, di chuyển nó lên vị trí trên cùng bằng cách sắp xếp lại các hàng và trừ đi hàng đầu tiên thu được từ các hàng còn lại sau khi sắp xếp lại, nhân nó với một giá trị bằng tỷ lệ giữa phần tử đầu tiên của mỗi hàng này với phần tử đầu tiên của hàng đầu tiên, do đó bằng 0 cho cột bên dưới nó.

Sau khi các phép biến đổi này hoàn thành, hàng đầu tiên và cột đầu tiên sẽ được gạch bỏ và tiếp tục cho đến khi vẫn còn ma trận có kích thước bằng 0. Nếu tại bất kỳ lần lặp nào không có phần tử nào khác 0 trong số các phần tử của cột đầu tiên thì hãy chuyển sang cột tiếp theo và thực hiện thao tác tương tự.

Ở giai đoạn đầu tiên (hành trình trực tiếp), hệ thống được chuyển sang dạng bậc thang (đặc biệt là hình tam giác).

Hệ thống dưới đây có dạng từng bước:

Các hệ số aii được gọi là thành phần chính (dẫn đầu) của hệ thống.

Hãy biến đổi hệ thống bằng cách loại bỏ x1 chưa biết trong tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên (sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hệ thống). Để làm điều này, nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với

Tiếp tục quá trình này ta thu được hệ tương đương:

Như vậy, ở bước đầu tiên, tất cả các hệ số nằm dưới phần tử đầu tiên a 11 đều bị loại bỏ.

Nếu, trong quá trình giảm hệ thống về dạng từng bước, xuất hiện các phương trình bằng 0, tức là. các đẳng thức có dạng 0=0 thì chúng bị loại bỏ. Nếu xuất hiện một phương trình có dạng

Đây là nơi kết thúc quá trình phát triển trực tiếp của phương pháp Gauss.

2. Hành trình ngược.

Ở giai đoạn thứ hai, cái gọi là chuyển động ngược được thực hiện, bản chất của nó là thể hiện tất cả các biến cơ bản thu được dưới dạng các biến không cơ bản và xây dựng một hệ thống giải pháp cơ bản, hoặc, nếu tất cả các biến đều cơ bản , sau đó biểu thị bằng số nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính.

Quy trình này bắt đầu với phương trình cuối cùng, từ đó biểu thị biến cơ bản tương ứng (chỉ có một biến trong đó) và thay thế vào các phương trình trước đó, v.v., đi lên “các bước”.

Mỗi dòng tương ứng với chính xác một biến cơ sở, vì vậy tại mỗi bước ngoại trừ bước cuối cùng (trên cùng), tình huống lặp lại chính xác trường hợp của dòng cuối cùng.

Lưu ý: trong thực tế, sẽ thuận tiện hơn khi làm việc không phải với hệ thống mà với ma trận mở rộng của nó, thực hiện tất cả các phép biến đổi cơ bản trên các hàng của nó. Thuận tiện nhất là hệ số a11 bằng 1 (sắp xếp lại các phương trình, hoặc chia cả hai vế của phương trình cho a11).

2.2 Ví dụ giải SLAE bằng phương pháp Gaussian

Trong phần này, sử dụng ba ví dụ khác nhau, chúng tôi sẽ chỉ ra cách phương pháp Gaussian có thể giải quyết SLAE.

Ví dụ 1. Giải SLAE bậc 3.

Hãy thiết lập lại các hệ số tại

Chúng ta tiếp tục xem xét các hệ phương trình tuyến tính. Bài học này là bài học thứ ba về chủ đề này. Nếu bạn chưa hiểu rõ về hệ phương trình tuyến tính nói chung là gì, nếu bạn cảm thấy thích một ấm trà, thì tôi khuyên bạn nên bắt đầu với những điều cơ bản trên trang Tiếp theo, sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu bài học.

Phương pháp Gaussian rất dễ dàng! Tại sao? Nhà toán học nổi tiếng người Đức Johann Carl Friedrich Gauss khi còn sống đã được công nhận là nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, một thiên tài và thậm chí còn có biệt danh là “Vua toán học”. Và mọi thứ khéo léo, như bạn biết, đều đơn giản! Nhân tiện, không chỉ những kẻ ngu ngốc mới có được tiền, mà cả những thiên tài - chân dung của Gauss có trên tờ tiền 10 Deutschmark (trước khi đồng euro ra đời), và Gauss vẫn mỉm cười một cách bí ẩn với người Đức từ những con tem bưu chính thông thường.

Phương pháp Gauss đơn giản ở chỗ KIẾN THỨC CỦA HỌC SINH LỚP NĂM ĐỦ để nắm vững nó. Bạn phải biết cộng và nhân! Không phải ngẫu nhiên mà giáo viên thường quan tâm đến phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số trong các môn tự chọn toán học phổ thông. Đó là một nghịch lý, nhưng học sinh nhận thấy phương pháp Gaussian là khó nhất. Không có gì đáng ngạc nhiên - tất cả đều là về phương pháp luận và tôi sẽ cố gắng nói về thuật toán của phương pháp đó ở dạng dễ tiếp cận.

Đầu tiên chúng ta hãy hệ thống hóa một chút kiến ​​thức về hệ phương trình tuyến tính. Một hệ phương trình tuyến tính có thể:

1) Có một giải pháp độc đáo. 2) Có vô số nghiệm. 3) Không có giải pháp (được không khớp).

Phương pháp Gauss là công cụ mạnh mẽ và phổ biến nhất để tìm giải pháp bất kì hệ phương trình tuyến tính. Như chúng ta nhớ, Phương pháp ma trận và quy tắc Cramer không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Và phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số Dù sao sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét lại phương pháp Gauss cho trường hợp số 1 (lời giải duy nhất của hệ thống), một bài viết dành cho các tình huống ở điểm số 2-3. Tôi lưu ý rằng thuật toán của phương pháp này hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp.

Hãy quay lại hệ thống đơn giản nhất trong bài học Làm thế nào để giải một hệ phương trình tuyến tính? và giải nó bằng phương pháp Gaussian.

Bước đầu tiên là viết ra ma trận hệ thống mở rộng: . Tôi nghĩ mọi người đều có thể thấy các hệ số được viết theo nguyên tắc nào. Đường thẳng đứng bên trong ma trận không có bất kỳ ý nghĩa toán học nào - nó chỉ đơn giản là gạch ngang để dễ thiết kế.

Thẩm quyền giải quyết : Tôi khuyên bạn nên nhớ điều kiện đại số tuyến tính. Ma trận hệ thống là một ma trận chỉ bao gồm các hệ số cho ẩn số, trong ví dụ này là ma trận của hệ thống: . Ma trận hệ thống mở rộng – đây chính là ma trận của hệ cộng với một cột các số hạng tự do, trong trường hợp này: . Để cho ngắn gọn, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được gọi đơn giản là ma trận.

Sau khi ma trận hệ thống mở rộng được viết, cần thực hiện một số hành động với nó, còn được gọi là các phép biến đổi cơ bản.

Có các phép biến đổi cơ bản sau:

1) Dây ma trận Có thể sắp xếp lạiở một số nơi. Ví dụ: trong ma trận đang được xem xét, bạn có thể sắp xếp lại hàng đầu tiên và hàng thứ hai một cách dễ dàng:

2) Nếu có (hoặc đã xuất hiện) các hàng tỷ lệ (trong trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) trong ma trận, thì bạn nên xóa bỏ từ ma trận tất cả các hàng này ngoại trừ một hàng. Ví dụ, hãy xem xét ma trận . Trong ma trận này, ba hàng cuối cùng tỷ lệ thuận với nhau, vì vậy chỉ cần để lại một trong số chúng là đủ: .

3) Nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ. Tất nhiên là tôi sẽ không vẽ, đường số 0 là đường trong đó tất cả số không.

4) Hàng ma trận có thể là nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác không. Hãy xem xét, ví dụ, ma trận. Ở đây nên chia dòng đầu tiên cho –3 và nhân dòng thứ hai với 2: . Hành động này rất hữu ích vì nó đơn giản hóa các phép biến đổi tiếp theo của ma trận.

5) Sự chuyển đổi này gây ra nhiều khó khăn nhất nhưng thực tế cũng không có gì phức tạp cả. Đối với một hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0. Hãy xem ma trận của chúng ta từ một ví dụ thực tế: . Đầu tiên tôi sẽ mô tả sự chuyển đổi một cách chi tiết. Nhân dòng đầu tiên với –2: , Và ở dòng thứ hai chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –2: . Bây giờ dòng đầu tiên có thể được chia “trở lại” cho –2: . Như bạn có thể thấy, dòng được THÊM LI – vẫn chưa thay đổi. Luôn luôn dòng TO WHICH IS ADDED thay đổi UT.

Tất nhiên, trong thực tế, họ không viết chi tiết như vậy mà viết ngắn gọn: Một lần nữa: đến dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Một dòng thường được nhân lên bằng miệng hoặc bằng bản nháp, với quá trình tính nhẩm sẽ diễn ra như thế này:

“Tôi viết lại ma trận và viết lại dòng đầu tiên: »

"Cột đầu tiên. Ở phía dưới tôi cần lấy số không. Do đó, tôi nhân số ở trên cùng với –2: , và cộng số đầu tiên vào dòng thứ hai: 2 + (–2) = 0. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Bây giờ là cột thứ hai. Ở trên cùng, tôi nhân -1 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: 1 + 2 = 3. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Và cột thứ ba. Ở trên cùng tôi nhân -5 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: –7 + 10 = 3. Tôi viết kết quả ở dòng thứ hai: »

Hãy hiểu kỹ ví dụ này và hiểu thuật toán tính toán tuần tự, nếu bạn hiểu điều này thì phương pháp Gaussian thực tế nằm trong túi của bạn. Nhưng tất nhiên, chúng tôi vẫn sẽ tiếp tục thực hiện sự chuyển đổi này.

Các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình

! CHÚ Ý: được coi là thao túng không thể sử dụng, nếu bạn được giao một nhiệm vụ trong đó các ma trận được đưa ra “tự chúng”. Ví dụ: với “cổ điển” các phép toán với ma trận Trong mọi trường hợp, bạn không nên sắp xếp lại bất cứ thứ gì bên trong ma trận! Hãy quay trở lại hệ thống của chúng tôi. Nó gần như bị xé thành từng mảnh.

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để rút gọn nó thành chế độ xem từng bước:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Và một lần nữa: tại sao chúng ta nhân dòng đầu tiên với –2? Để có số 0 ở cuối, có nghĩa là loại bỏ một biến ở dòng thứ hai.

(2) Chia dòng thứ hai cho 3.

Mục đích của các phép biến đổi cơ bản – giảm ma trận về dạng từng bước: . Khi thiết kế nhiệm vụ, các em chỉ cần đánh dấu các “cầu thang” bằng bút chì đơn giản, đồng thời khoanh tròn các số nằm trên “bậc thang”. Bản thân thuật ngữ “quan điểm từng bước” không hoàn toàn mang tính lý thuyết; trong tài liệu khoa học và giáo dục nó thường được gọi là góc nhìn hình thang hoặc chế độ xem hình tam giác.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta thu được tương đương hệ phương trình ban đầu:

Bây giờ hệ thống cần được “tháo cuộn” theo hướng ngược lại - từ dưới lên trên, quá trình này được gọi là nghịch đảo của phương pháp Gaussian.

Trong phương trình dưới, chúng ta đã có sẵn một kết quả: .

Hãy xem xét phương trình đầu tiên của hệ thống và thay thế giá trị đã biết của “y” vào nó:

Hãy xem xét tình huống phổ biến nhất, khi phương pháp Gaussian yêu cầu giải một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số.

ví dụ 1

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống:

Bây giờ tôi sẽ rút ra ngay kết quả mà chúng ta sẽ đạt được trong quá trình giải: Và tôi nhắc lại, mục tiêu của chúng ta là đưa ma trận về dạng từng bước bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Bắt đầu từ đâu?

Đầu tiên, hãy nhìn vào số trên cùng bên trái: Đáng lẽ phải luôn ở đây đơn vị. Nói chung, –1 (và đôi khi các số khác) sẽ phù hợp, nhưng bằng cách nào đó, theo truyền thống, số 1 thường được đặt ở đó. Tổ chức đơn vị như thế nào? Chúng tôi nhìn vào cột đầu tiên - chúng tôi có một đơn vị đã hoàn thành! Chuyển đổi thứ nhất: hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba:

Bây giờ dòng đầu tiên sẽ không thay đổi cho đến khi kết thúc giải pháp. Bây giờ tốt.

Đơn vị ở góc trên bên trái được tổ chức. Bây giờ bạn cần lấy số không ở những nơi này:

Chúng ta nhận được số không bằng cách sử dụng một phép biến đổi “khó”. Đầu tiên chúng ta xử lý dòng thứ hai (2, –1, 3, 13). Cần phải làm gì để có được số 0 ở vị trí đầu tiên? Cần phải vào dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –2: (–2, –4, 2, –18). Và chúng tôi liên tục thực hiện phép cộng (trong đầu hoặc trong bản nháp), vào dòng thứ hai, chúng tôi thêm dòng đầu tiên, đã nhân với –2:

Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ hai:

Chúng ta xử lý dòng thứ ba theo cách tương tự (3, 2, –5, –1). Để có được số 0 ở vị trí đầu tiên, bạn cần vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –3: (–3, –6, 3, –27). VÀ đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –3:

Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ ba:

Trong thực tế, những hành động này thường được thực hiện bằng miệng và viết ra trong một bước:

Không cần phải đếm mọi thứ cùng một lúc và cùng một lúc. Thứ tự tính toán và “ghi” kết quả nhất quán và thường thì nó như thế này: đầu tiên chúng ta viết lại dòng đầu tiên và từ từ tự thổi phồng lên - MỘT CÁCH NHẤT ĐỊNH và CHĂM SÓC:
Và tôi đã thảo luận về quá trình tính toán tinh thần ở trên.

Trong ví dụ này, điều này rất dễ thực hiện; chúng ta chia dòng thứ hai cho –5 (vì tất cả các số ở đó đều chia hết cho 5 mà không có phần dư). Đồng thời, chúng ta chia dòng thứ ba cho –2, vì số càng nhỏ thì lời giải càng đơn giản:

Ở giai đoạn cuối cùng của các phép biến đổi cơ bản, bạn cần lấy một số 0 khác ở đây:

Vì điều này đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –2:
Hãy cố gắng tự mình tìm ra hành động này - nhân dòng thứ hai với –2 và thực hiện phép cộng.

Hành động cuối cùng được thực hiện là kiểu tóc của kết quả, chia dòng thứ ba cho 3.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, thu được hệ phương trình tuyến tính tương đương: Mát mẻ.

Bây giờ mặt trái của phương pháp Gaussian được áp dụng. Các phương trình “thư giãn” từ dưới lên trên.

Trong phương trình thứ ba, chúng ta đã có sẵn kết quả:

Hãy xét phương trình thứ hai: . Ý nghĩa của "zet" đã được biết đến, do đó:

Và cuối cùng, phương trình đầu tiên: . “Igrek” và “zet” đều được biết đến, đó chỉ là vấn đề nhỏ nhặt:

Trả lời:

Như đã được lưu ý nhiều lần, đối với bất kỳ hệ phương trình nào, việc kiểm tra nghiệm tìm được là có thể và cần thiết, may mắn thay, việc này rất dễ dàng và nhanh chóng.

Ví dụ 2

Đây là ví dụ cho một giải pháp độc lập, mẫu của thiết kế cuối cùng và câu trả lời ở cuối bài học.

Cần lưu ý rằng tiến độ của quyết định có thể không trùng với quá trình ra quyết định của tôi, và đây là một đặc điểm của phương pháp Gauss. Nhưng câu trả lời phải giống nhau!

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Tôi đã làm điều này: (1) Dòng đầu tiên thêm dòng thứ hai nhân với -1. Nghĩa là, chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một động tác bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).

(2) Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ 2. Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ 3.

(3) Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Ký hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, để ở “bước” thứ hai chúng ta có đơn vị cần thiết.

(4) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 2.

(5) Dòng thứ ba chia cho 3.

Một dấu hiệu xấu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó như , bên dưới, và theo đó, , thì với xác suất cao, chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình biến đổi cơ bản.

Chúng tôi tính ngược lại, khi thiết kế các ví dụ, họ thường không viết lại chính hệ thống mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn, nét ngược lại hoạt động từ dưới lên trên. Vâng, đây là một món quà:

Trả lời: .

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, nó có phần phức tạp hơn. Không sao nếu ai đó bối rối. Giải pháp đầy đủ và thiết kế mẫu ở cuối bài học. Giải pháp của bạn có thể khác với giải pháp của tôi.

Trong phần cuối chúng ta sẽ xem xét một số tính năng của thuật toán Gaussian. Đặc điểm đầu tiên là đôi khi một số biến bị thiếu trong các phương trình của hệ thống, ví dụ: Làm thế nào để viết chính xác ma trận hệ thống mở rộng? Tôi đã nói về điểm này trong lớp. Quy tắc Cramer. Phương pháp ma trận. Trong ma trận mở rộng của hệ thống, chúng ta đặt các số 0 thay cho các biến bị thiếu: Nhân tiện, đây là một ví dụ khá dễ dàng, vì cột đầu tiên đã có một số 0 và có ít phép biến đổi cơ bản hơn để thực hiện.

Tính năng thứ hai là thế này. Trong tất cả các ví dụ được xem xét, chúng tôi đặt –1 hoặc +1 cho “bậc thang”. Có thể có những con số khác ở đó? Trong một số trường hợp họ có thể. Hãy xem xét hệ thống: .

Ở đây ở “bậc thang” phía trên bên trái, chúng ta có hai. Nhưng chúng tôi nhận thấy thực tế là tất cả các số trong cột đầu tiên đều chia hết cho 2 mà không có phần dư - và số còn lại là hai và sáu. Và hai cái ở trên cùng bên trái sẽ phù hợp với chúng ta! Ở bước đầu tiên, bạn cần thực hiện các phép biến đổi sau: thêm dòng đầu tiên nhân với –1 vào dòng thứ hai; vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Bằng cách này, chúng ta sẽ nhận được các số 0 cần thiết trong cột đầu tiên.

Hoặc một ví dụ thông thường khác: . Ở đây, ba ở “bước” thứ hai cũng phù hợp với chúng ta, vì 12 (nơi chúng ta cần lấy số 0) chia hết cho 3 mà không có số dư. Cần phải thực hiện phép biến đổi sau: thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với –4, kết quả là chúng ta sẽ thu được số 0 mà chúng ta cần.

Phương pháp của Gauss là phổ quát, nhưng có một điểm đặc biệt. Bạn có thể tự tin học cách giải các hệ thống bằng các phương pháp khác (phương pháp Cramer, phương pháp ma trận) ngay lần đầu tiên - chúng có thuật toán rất nghiêm ngặt. Nhưng để cảm thấy tự tin với phương pháp Gaussian, bạn nên “bắt tay vào nghề” và giải ít nhất 5-10 hệ mười. Vì vậy, lúc đầu có thể có sự nhầm lẫn và sai sót trong tính toán, và điều này không có gì bất thường hay bi thảm.

Ngoài cửa sổ mưa thu mùa thu.... Do đó, dành cho những ai muốn có một ví dụ phức tạp hơn để tự mình giải quyết:

Ví dụ 5

Giải hệ 4 phương trình tuyến tính với 4 ẩn bằng phương pháp Gauss.

Một nhiệm vụ như vậy không quá hiếm trong thực tế. Tôi nghĩ ngay cả một ấm trà đã nghiên cứu kỹ lưỡng trang này cũng sẽ hiểu được thuật toán giải hệ thống như vậy một cách trực quan. Về cơ bản, mọi thứ đều giống nhau - chỉ có nhiều hành động hơn.

Các trường hợp hệ không có nghiệm (không nhất quán) hoặc có vô số nghiệm được thảo luận trong bài Hệ thống không tương thích và hệ thống có giải pháp chung. Ở đó bạn có thể sửa thuật toán được xem xét của phương pháp Gaussian.

Chúc các bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Giải pháp : Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước.
Các phép biến đổi cơ bản được thực hiện: (1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1. Chú ý! Ở đây bạn có thể muốn trừ dòng đầu tiên khỏi dòng thứ ba; tôi thực sự khuyên bạn không nên trừ nó - nguy cơ sai sót sẽ tăng lên rất nhiều. Chỉ cần gấp nó lại! (2) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ hai và thứ ba đã được hoán đổi cho nhau. ghi chú , rằng trên các “bước”, chúng tôi hài lòng không chỉ với một mà còn với –1, điều này thậm chí còn thuận tiện hơn. (3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 5. (4) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ ba được chia cho 14.

Đảo ngược:

Trả lời : .

Ví dụ 4: Giải pháp : Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chuyển đổi được thực hiện: (1) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên. Do đó, đơn vị mong muốn được sắp xếp ở “bậc thang” phía trên bên trái. (2) Dòng đầu tiên nhân với 7 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 6 được thêm vào dòng thứ ba.

Với “bước” thứ hai, mọi thứ trở nên tồi tệ hơn , “ứng cử viên” cho nó là các số 17 và 23, và chúng ta cần một hoặc –1. Các phép biến đổi (3) và (4) sẽ nhằm mục đích đạt được đơn vị mong muốn (3) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1. (4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3. Mục yêu cầu ở bước thứ hai đã được nhận. . (5) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 6. (6) Dòng thứ hai nhân với –1, dòng thứ ba chia cho -83.

Đảo ngược:

Trả lời :

Ví dụ 5: Giải pháp : Chúng ta hãy viết ma trận của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chuyển đổi được thực hiện: (1) Dòng đầu tiên và dòng thứ hai đã được hoán đổi cho nhau. (2) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ tư, nhân với –3. (3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba nhân với 4. Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ tư nhân với –1. (4) Dấu của dòng thứ hai đã được thay đổi. Dòng thứ tư được chia cho 3 và đặt ở vị trí của dòng thứ ba. (5) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ tư, nhân với –5.

Đảo ngược:

Trả lời :