Máy tính Slough sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận
Giả sử có ma trận vuông cấp n
Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo liên quan đến ma trận A, nếu A*A -1 = E, trong đó E là ma trận đơn vị bậc n.
Ma trận đơn vị- một ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử dọc theo đường chéo chính, đi từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải, là những phần tử và phần còn lại là số 0, ví dụ:
ma trận nghịch đảo có thể tồn tại chỉ dành cho ma trận vuông những thứ kia. cho các ma trận có số hàng và số cột trùng nhau.
Định lý về điều kiện tồn tại của ma trận nghịch đảo
Để một ma trận có ma trận nghịch đảo thì điều cần và đủ là ma trận đó không phải là ma trận số ít.
Ma trận A = (A1, A2,...A n) được gọi là không thoái hóa, nếu các vectơ cột độc lập tuyến tính. Số vectơ cột độc lập tuyến tính của ma trận được gọi là hạng của ma trận. Do đó, chúng ta có thể nói rằng để tồn tại một ma trận nghịch đảo, điều cần thiết và đủ là hạng của ma trận bằng chiều của nó, tức là. r = n.
Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo
- Viết ma trận A vào bảng giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaussian và gán ma trận E ở bên phải (thay cho vế phải của phương trình).
- Sử dụng các phép biến đổi Jordan, rút gọn ma trận A thành ma trận gồm các cột đơn vị; trong trường hợp này cần phải biến đổi đồng thời ma trận E.
- Nếu cần, hãy sắp xếp lại các hàng (phương trình) của bảng cuối cùng sao cho dưới ma trận A của bảng ban đầu, bạn sẽ nhận được ma trận nhận dạng E.
- Viết ma trận nghịch đảo A -1 nằm ở bảng cuối cùng dưới ma trận E của bảng gốc.
Cho ma trận A tìm ma trận nghịch đảo A -1
Giải: Viết ma trận A và gán ma trận đẳng thức E sang phải. Sử dụng phép biến đổi Jordan, ta rút gọn ma trận A về ma trận đẳng thức E. Kết quả tính toán được cho ở Bảng 31.1.
Hãy kiểm tra tính đúng đắn của phép tính bằng cách nhân ma trận gốc A với ma trận nghịch đảo A -1.
Kết quả của phép nhân ma trận là thu được ma trận đồng nhất. Do đó, các tính toán đã được thực hiện chính xác.
Trả lời: 
Giải phương trình ma trận
Phương trình ma trận có thể trông giống như:
AX = B, HA = B, AXB = C,
trong đó A, B, C là ma trận được chỉ định, X là ma trận mong muốn.
Phương trình ma trận được giải bằng cách nhân phương trình với ma trận nghịch đảo.
Ví dụ, để tìm ma trận từ phương trình, bạn cần nhân phương trình này với bên trái.
Do đó, để tìm nghiệm của phương trình, bạn cần tìm ma trận nghịch đảo và nhân nó với ma trận bên phải của phương trình.
Các phương trình khác giải tương tự.
Giải phương trình AX = B nếu 
Giải pháp: Vì ma trận nghịch đảo bằng (xem ví dụ 1)
Phương pháp ma trận trong phân tích kinh tế
Cùng với những thứ khác, chúng cũng được sử dụng phương pháp ma trận. Các phương pháp này dựa trên đại số tuyến tính và ma trận vectơ. Những phương pháp như vậy được sử dụng nhằm mục đích phân tích các hiện tượng kinh tế phức tạp và đa chiều. Thông thường, các phương pháp này được sử dụng khi cần đánh giá so sánh về hoạt động của các tổ chức và các bộ phận cơ cấu của chúng.
Trong quá trình áp dụng phương pháp phân tích ma trận, có thể phân biệt một số giai đoạn.
Ở giai đoạn đầu tiên một hệ thống các chỉ số kinh tế đang được hình thành và trên cơ sở đó, một ma trận dữ liệu ban đầu được biên soạn, đây là một bảng trong đó các số hệ thống được hiển thị theo các hàng riêng lẻ của nó (i = 1,2,....,n) và trong các cột dọc - số lượng chỉ báo (j = 1,2,....,m).
Ở giai đoạn thứ haiĐối với mỗi cột dọc, giá trị chỉ báo sẵn có lớn nhất được xác định, giá trị này được lấy làm một.
Sau đó, tất cả số tiền phản ánh trong cột này được chia cho giá trị lớn nhất và một ma trận các hệ số chuẩn hóa được hình thành.
Ở giai đoạn thứ ba tất cả các thành phần của ma trận đều bình phương. Nếu chúng có ý nghĩa khác nhau thì mỗi chỉ báo ma trận được gán một hệ số trọng số nhất định k. Giá trị của cái sau được xác định bởi ý kiến chuyên gia.
Ở cái cuối cùng, giai đoạn thứ tư giá trị xếp hạng được tìm thấy Rjđược nhóm theo thứ tự tăng hoặc giảm.
Ví dụ, nên sử dụng các phương pháp ma trận được nêu trong phân tích so sánh các dự án đầu tư khác nhau cũng như khi đánh giá các chỉ số kinh tế khác về hoạt động của tổ chức.
Hãy xem xét hệ phương trình đại số tuyến tính(SLAU) tương đối N không xác định x 1 , x 2 , ..., x N :
Hệ thống này ở dạng “thu gọn” có thể được viết như sau:
S N tôi=1 Một ij x j = b Tôi , tôi=1,2, ..., n.
Theo quy tắc nhân ma trận, hệ phương trình tuyến tính đang xét có thể được viết dưới dạng dạng ma trận Rìu=b, Ở đâu
,
,.
Ma trận MỘT, các cột là hệ số của các ẩn số tương ứng, các hàng là hệ số của các ẩn số trong phương trình tương ứng được gọi là ma trận của hệ thống. Ma trận cột b, các phần tử của nó là vế phải của các phương trình của hệ, được gọi là ma trận vế phải hay đơn giản là bên phải của hệ thống. Ma trận cột x , mà các phần tử của nó là những ẩn số chưa biết, được gọi là giải pháp hệ thống.
Hệ phương trình đại số tuyến tính được viết dưới dạng Rìu=b, là phương trình ma trận.
Nếu ma trận hệ thống không thoái hóa, thì nó có ma trận nghịch đảo và khi đó nghiệm của hệ là Rìu=bđược cho bởi công thức:
x=A -1 b.
Ví dụ Giải quyết hệ thống 
phương pháp ma trận.
Giải pháp hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận hệ số của hệ
Hãy tính định thức bằng cách khai triển dọc theo dòng đầu tiên:
Bởi vì Δ ≠ 0 , Cái đó MỘT -1 tồn tại.
Ma trận nghịch đảo đã được tìm thấy một cách chính xác.
Hãy tìm giải pháp cho hệ thống 
Kể từ đây, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Bài kiểm tra: 
7. Định lý Kronecker-Capelli về tính tương thích của hệ phương trình đại số tuyến tính.
Hệ phương trình tuyến tính có dạng:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Ở đây a i j và b i (i = ; j = ) đã cho và x j là các số thực chưa biết. Sử dụng khái niệm tích ma trận, ta có thể viết lại hệ (5.1) dưới dạng:
trong đó A = (a i j) là ma trận gồm các hệ số ẩn của hệ (5.1), được gọi là ma trận của hệ thống, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T là các vectơ cột gồm các ẩn số x j và các thuật ngữ tự do b i .
Bộ sưu tập theo yêu cầu N Các số thực (c 1, c 2,..., c n) được gọi là giải pháp hệ thống(5.1), nếu thay các số này vào các biến tương ứng x 1, x 2,..., x n thì mỗi phương trình của hệ trở thành một đẳng thức số học; nói cách khác, nếu tồn tại một vectơ C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T sao cho AC B.
Hệ (5.1) được gọi là chung, hoặc tan, nếu nó có ít nhất một giải pháp. Hệ thống này được gọi là không tương thích, hoặc không thể giải quyết được, nếu nó không có giải pháp.
,
được hình thành bằng cách gán một cột các số tự do vào vế phải của ma trận A được gọi là ma trận mở rộng của hệ thống.
Câu hỏi về tính tương thích của hệ thống (5.1) được giải quyết bằng định lý sau.
Định lý Kronecker-Capelli . Một hệ phương trình tuyến tính là nhất quán khi và chỉ khi cấp của ma trận A và A trùng nhau, tức là r(A) = r(A) = r.
Với tập nghiệm M của hệ (5.1), có ba khả năng xảy ra:
1) M = (trong trường hợp này hệ thống không nhất quán);
2) M bao gồm một phần tử, tức là hệ thống có một nghiệm duy nhất (trong trường hợp này hệ thống được gọi là chắc chắn);
3) M bao gồm nhiều hơn một phần tử (khi đó hệ thống được gọi là không chắc chắn). Trong trường hợp thứ ba, hệ (5.1) có vô số nghiệm.
Hệ chỉ có nghiệm duy nhất nếu r(A) = n. Trong trường hợp này, số phương trình không nhỏ hơn số ẩn số (mn); nếu m>n thì các phương trình m-n là hệ quả của các phương trình khác. Nếu 0 Để giải một hệ phương trình tuyến tính tùy ý, bạn cần có khả năng giải các hệ trong đó số phương trình bằng số ẩn - cái gọi là Hệ thống kiểu Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Hệ (5.3) được giải theo một trong các cách sau: 1) phương pháp Gauss, hoặc phương pháp loại bỏ ẩn số; 2) theo công thức Cramer; 3) phương pháp ma trận. Ví dụ 2.12. Khám phá hệ phương trình và giải nó nếu nó phù hợp: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Giải pháp. Chúng tôi viết ra ma trận mở rộng của hệ thống:
Hãy tính hạng của ma trận chính của hệ thống. Rõ ràng, chẳng hạn, cấp thứ hai ở góc trên bên trái = 7 0; các số hạng thứ ba chứa nó bằng 0: Do đó, hạng của ma trận chính của hệ thống là 2, tức là r(A) = 2. Để tính hạng của ma trận mở rộng A, xét phần giáp thứ điều này có nghĩa là hạng của ma trận mở rộng r(A) = 3. Vì r(A) r(A), nên hệ thống không nhất quán. Việc sử dụng các phương trình rất phổ biến trong cuộc sống của chúng ta. Chúng được sử dụng trong nhiều tính toán, xây dựng công trình và thậm chí cả thể thao. Con người đã sử dụng các phương trình từ xa xưa và kể từ đó việc sử dụng chúng ngày càng tăng lên. Phương pháp ma trận cho phép bạn tìm giải pháp cho SLAE (hệ phương trình đại số tuyến tính) ở bất kỳ mức độ phức tạp nào. Toàn bộ quá trình giải quyết SLAE bao gồm hai hành động chính: Xác định ma trận nghịch đảo dựa vào ma trận chính: Nhân ma trận nghịch đảo thu được với một vectơ cột của nghiệm. Giả sử chúng ta được cấp SLAE có dạng sau: \[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\] Hãy bắt đầu giải phương trình này bằng cách viết ra ma trận hệ thống: Ma trận bên phải: Hãy xác định ma trận nghịch đảo. Bạn có thể tìm ma trận bậc 2 như sau: 1 - bản thân ma trận phải không phải là số ít; 2 - các phần tử của nó nằm trên đường chéo chính được hoán đổi cho nhau và đối với các phần tử của đường chéo phụ, chúng ta đổi dấu thành dấu đối diện, sau đó chúng ta chia các phần tử kết quả cho định thức của ma trận. Chúng tôi nhận được: \[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ bắt đầu(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \] 2 ma trận được coi là bằng nhau nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau. Kết quả là chúng ta có câu trả lời sau cho giải pháp SLAE: Bạn có thể giải hệ phương trình trên trang web của chúng tôi. Bộ giải trực tuyến miễn phí sẽ cho phép bạn giải các phương trình trực tuyến có độ phức tạp bất kỳ chỉ trong vài giây. Tất cả những gì bạn cần làm chỉ đơn giản là nhập dữ liệu của bạn vào bộ giải. Bạn cũng có thể tìm hiểu cách giải phương trình trên trang web của chúng tôi. Và nếu bạn vẫn còn thắc mắc, bạn có thể hỏi họ trong nhóm VKontakte của chúng tôi. Đây là một khái niệm khái quát hóa tất cả các phép toán có thể được thực hiện với ma trận. Ma trận toán học - bảng phần tử. Về một cái bàn nơi tôi dòng và N cột thì ma trận này được gọi là có chiều tôi TRÊN N. Cái nhìn tổng quát về ma trận: Vì giải pháp ma trận cần phải hiểu ma trận là gì và biết các tham số chính của nó. Các phần tử chính của ma trận: Các loại ma trận chính: Ma trận có thể đối xứng qua các đường chéo chính và phụ. Nghĩa là, nếu một 12 = một 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. một m-1n = một mn-1, khi đó ma trận đối xứng qua đường chéo chính. Chỉ có ma trận vuông mới có thể đối xứng. Gần như tất cả phương pháp giải ma trận bao gồm việc tìm ra yếu tố quyết định của nó N-thứ tự và hầu hết chúng đều khá cồng kềnh. Để tìm định thức của bậc 2 và bậc 3, có những phương pháp khác hợp lý hơn. Để tính định thức của ma trận MỘT Bậc 2, cần trừ tích các phần tử của đường chéo phụ với tích các phần tử của đường chéo chính: Dưới đây là quy tắc tìm định thức bậc 3. Quy tắc đơn giản hóa tam giác là một trong phương pháp giải ma trận, có thể được mô tả theo cách này: Nói cách khác, tích các phần tử trong định thức thứ nhất nối nhau bằng đường thẳng được lấy dấu “+”; Ngoài ra, đối với định thức thứ 2, các tích tương ứng được lấy bằng dấu “-”, nghĩa là theo sơ đồ sau: Tại giải ma trận bằng quy tắc Sarrus, bên phải định thức cộng 2 cột đầu tiên và tích của các phần tử tương ứng trên đường chéo chính và các đường chéo song song với nó lấy dấu “+”; và tích các phần tử tương ứng của đường chéo phụ và các đường chéo song song với nó, có dấu “-”: Phân tách định thức thành hàng hoặc cột khi giải ma trận. Định thức bằng tổng các tích của các phần tử trong hàng của định thức và phần bù đại số của chúng. Thông thường hàng/cột chứa số 0 sẽ được chọn. Hàng hoặc cột dọc theo đó quá trình phân tách được thực hiện sẽ được biểu thị bằng một mũi tên. Chuyển định thức về dạng tam giác khi giải ma trận. Tại giải ma trận Phương pháp quy giản định thức về dạng tam giác, chúng hoạt động như sau: sử dụng các phép biến đổi đơn giản nhất trên hàng hoặc cột, định thức trở thành dạng tam giác và khi đó giá trị của nó, theo tính chất của định thức, sẽ bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Định lý Laplace để giải ma trận. Khi giải ma trận bằng định lý Laplace, bạn cần phải biết chính định lý đó. Định lý Laplace: Giả sử Δ
- đây là yếu tố quyết định N-thứ tự. Chúng tôi chọn bất kỳ k hàng (hoặc cột), được cung cấp k≤
n - 1. Trong trường hợp này, tổng tích của tất cả các phần tử phụ k-thứ tự chứa trong lựa chọn k các hàng (cột), bởi phần bù đại số của chúng sẽ bằng định thức. Chuỗi hành động cho giải pháp ma trận nghịch đảo: Vì giải pháp của hệ thống ma trận Phương pháp Gaussian được sử dụng phổ biến nhất. Phương pháp Gauss là một phương pháp tiêu chuẩn để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE) và nó bao gồm thực tế là các biến được loại bỏ một cách tuần tự, tức là với sự trợ giúp của các thay đổi cơ bản, hệ phương trình được đưa về một hệ tam giác tương đương và từ nó, tuần tự, bắt đầu từ cái sau (theo số), tìm từng phần tử của hệ thống. Phương pháp Gauss là công cụ linh hoạt nhất và tốt nhất để tìm nghiệm ma trận. Nếu một hệ có vô số nghiệm hoặc hệ không tương thích thì không thể giải được bằng quy tắc Cramer và phương pháp ma trận. Phương pháp Gauss cũng bao hàm các chuyển động trực tiếp (rút gọn ma trận mở rộng về dạng từng bước, tức là thu được các số 0 dưới đường chéo chính) và ngược lại (thu được các số 0 phía trên đường chéo chính của ma trận mở rộng). Bước tiến là phương pháp Gauss, bước lùi là phương pháp Gauss-Jordan. Phương pháp Gauss-Jordan khác với phương pháp Gauss chỉ ở trình tự loại bỏ các biến. Các phương trình nói chung, phương trình đại số tuyến tính và hệ thống của chúng, cũng như các phương pháp giải chúng, chiếm một vị trí đặc biệt trong toán học, cả về lý thuyết và ứng dụng. Điều này là do phần lớn các vấn đề vật lý, kinh tế, kỹ thuật và thậm chí cả sư phạm có thể được mô tả và giải bằng nhiều phương trình và hệ thống của chúng. Gần đây, mô hình toán học đã trở nên phổ biến đặc biệt trong các nhà nghiên cứu, nhà khoa học và người thực hành ở hầu hết các lĩnh vực chủ đề, điều này được giải thích bởi những ưu điểm rõ ràng của nó so với các phương pháp nổi tiếng và đã được chứng minh khác để nghiên cứu các đối tượng có tính chất khác nhau, đặc biệt là cái gọi là phương pháp phức tạp. hệ thống. Có rất nhiều định nghĩa khác nhau về một mô hình toán học được các nhà khoa học đưa ra ở những thời điểm khác nhau, nhưng theo chúng tôi, thành công nhất là phát biểu sau đây. Một mô hình toán học là một ý tưởng được thể hiện bằng một phương trình. Vì vậy, khả năng soạn và giải các phương trình cũng như hệ thống của chúng là một đặc điểm không thể thiếu của một chuyên gia hiện đại. Để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính, các phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là Cramer, Jordan-Gauss và phương pháp ma trận. Phương pháp giải ma trận là phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính với định thức khác 0 bằng ma trận nghịch đảo. Nếu chúng ta viết các hệ số của đại lượng chưa biết xi vào ma trận A, thu thập các đại lượng chưa biết vào cột vectơ X và các số hạng tự do vào cột vectơ B, thì hệ phương trình đại số tuyến tính có thể được viết dưới dạng sau phương trình ma trận A · X = B, phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận A không bằng 0. Trong trường hợp này, nghiệm của hệ phương trình có thể được tìm theo cách sau X = MỘT-1 · B, Ở đâu MỘT-1 là ma trận nghịch đảo. Phương pháp giải ma trận như sau. Cho ta một hệ phương trình tuyến tính với N không xác định: Nó có thể được viết lại dưới dạng ma trận: CÂY RÌU =
B, Ở đâu MỘT- ma trận chính của hệ thống, B Và X- Các cột thuật ngữ tự do và giải pháp của hệ thống lần lượt là: Hãy nhân phương trình ma trận này từ bên trái với MỘT-1 - ma trận nghịch đảo của ma trận MỘT: MỘT -1 (CÂY RÌU) = MỘT -1 B Bởi vì MỘT -1 MỘT = E, chúng tôi nhận được X=A -1 B. Vế phải của phương trình này sẽ cho cột nghiệm của hệ ban đầu. Điều kiện để áp dụng phương pháp này (cũng như sự tồn tại tổng quát của nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không đồng nhất với số phương trình bằng số ẩn số) là tính không suy biến của ma trận MỘT. Điều kiện cần và đủ cho việc này là định thức của ma trận không bằng 0 MỘT:det MỘT≠ 0. Đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nghĩa là khi vectơ B = 0
, thực ra quy luật ngược lại: hệ thống CÂY RÌU =
0 có nghiệm không tầm thường (nghĩa là khác 0) chỉ khi det MỘT= 0. Mối liên hệ như vậy giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính đồng nhất và không đồng nhất được gọi là phương án Fredholm. Ví dụ nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính không đồng nhất. Chúng ta hãy đảm bảo rằng định thức của ma trận, bao gồm các hệ số ẩn của hệ phương trình đại số tuyến tính, không bằng 0. Bước tiếp theo là tính phần bù đại số cho các phần tử của ma trận gồm các hệ số của ẩn số. Chúng sẽ cần thiết để tìm ma trận nghịch đảo.
.
Tôi có thể giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận trực tuyến ở đâu?
Các phương pháp giải ma trận.
Tìm định thức bậc 2.
Các phương pháp tìm định thức bậc 3.
Giải ma trận nghịch đảo.
Giải hệ ma trận.
