Sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập tuyến tính của vectơ. Cơ sở của vectơ

Cho phép L là một không gian tuyến tính tùy ý, a Tôi Î L,- các phần tử của nó (vectơ).

Định nghĩa 3.3.1. Sự biểu lộ , Ở đâu , - số thực tùy ý, được gọi là tổ hợp tuyến tính vectơ a 1 , a 2 ,…, a N.

Nếu vectơ R = , sau đó họ nói rằng R phân hủy thành các vectơ a 1 , a 2 ,…, a N.

Định nghĩa 3.3.2. Tổ hợp tuyến tính của các vectơ được gọi là không tầm thường, nếu trong số các số có ít nhất một số khác 0. Ngược lại, tổ hợp tuyến tính được gọi là không đáng kể.

Định nghĩa 3.3.3 . Các vectơ a 1 , a 2 ,…, a Nđược gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của chúng sao cho

= 0 .

Định nghĩa 3.3.4. Các vectơ a 1 , a 2 ,…, a Nđược gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức = 0 chỉ có thể thực hiện được trong trường hợp tất cả các số tôi 1, tôi 2,…, tôiđồng thời bằng 0.

Lưu ý rằng mọi phần tử khác 0 a 1 đều có thể được coi là một hệ thống độc lập tuyến tính, vì đẳng thức tôi một 1 = 0 chỉ có thể nếu tôi= 0.

Định lý 3.3.1.Điều kiện cần và đủ cho sự phụ thuộc tuyến tính a 1 , a 2 ,…, a N là khả năng phân hủy ít nhất một trong các phần tử này thành phần còn lại.

Bằng chứng. Sự cần thiết. Cho các phần tử a 1 , a 2 ,…, a N phụ thuộc tuyến tính. Nó có nghĩa là = 0 , và ít nhất một trong các số tôi 1, tôi 2,…, tôi khác với số không. Hãy chắc chắn tôi 1 ¹ 0. Sau đó

tức là phần tử a 1 bị phân hủy thành các phần tử a 2 , a 3 , …, a N.

Sự đầy đủ. Giả sử phần tử a 1 được phân tích thành các phần tử a 2 , a 3 , …, a N, tức là 1 = . Sau đó = 0 , do đó tồn tại một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các vectơ a 1 , a 2 ,…, a N, bình đẳng 0 , nên chúng phụ thuộc tuyến tính .

Định lý 3.3.2. Nếu có ít nhất một trong các phần tử a 1 , a 2 ,…, a N bằng 0 thì các vectơ này phụ thuộc tuyến tính.

Bằng chứng . Cho phép Một N= 0 , thì = 0 , có nghĩa là sự phụ thuộc tuyến tính của các phần tử này.

Định lý 3.3.3. Nếu trong số n vectơ bất kỳ p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Bằng chứng. Giả sử, để xác định, các phần tử a 1 , a 2 ,…, a P phụ thuộc tuyến tính. Điều này có nghĩa là có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường sao cho = 0 . Đẳng thức đã chỉ định sẽ được giữ nguyên nếu chúng ta thêm phần tử vào cả hai phần của nó. Sau đó + = 0 , và ít nhất một trong các số tôi 1, tôi 2,…, lp khác với số không. Do đó, các vectơ a 1 , a 2 ,…, a N phụ thuộc tuyến tính.

Hệ quả 3.3.1. Nếu n phần tử độc lập tuyến tính thì k bất kỳ trong số chúng độc lập tuyến tính (k< n).

Định lý 3.3.4. Nếu các vectơ a 1 , a 2 ,…, a N- 1 độc lập tuyến tính và các phần tử a 1 , a 2 ,…, a N- 1, một n phụ thuộc tuyến tính thì vectơ Một n có thể được mở rộng thành các vectơ a 1 , a 2 ,…, a N- 1 .

Bằng chứng. Vì theo điều kiện a 1 , a 2 ,…, Một N- 1, một N phụ thuộc tuyến tính thì có sự kết hợp tuyến tính không tầm thường của chúng = 0 và (nếu không các vectơ a 1 , a 2 ,…, a sẽ phụ thuộc tuyến tính N- 1). Nhưng sau đó vectơ

,

Q.E.D.

Hệ vectơ được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu có các số trong đó ít nhất một số khác 0, sao cho đẳng thức https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" Height="24 src= " >.

Nếu đẳng thức này chỉ được thỏa mãn trong trường hợp tất cả , thì hệ vectơ được gọi là độc lập tuyến tính.

Định lý. Hệ vectơ sẽ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ nếu ít nhất một trong các vectơ của nó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

Ví dụ 1.đa thức là tổ hợp tuyến tính của các đa thức https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 Height=24" Height="24">. Các đa thức tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính, vì đa thức https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" Height="24">.

Ví dụ 2. Hệ thống ma trận, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" Height="48 src="> độc lập tuyến tính, vì tổ hợp tuyến tính bằng ma trận 0 chỉ trong trường hợp https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" Height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" Height="21"> phụ thuộc tuyến tính.

Giải pháp.

Hãy tạo sự kết hợp tuyến tính của các vectơ này https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" Height="24">=0..gif" width="360" chiều cao=" 22">.

Đánh đồng cùng tọa độ của các vectơ bằng nhau, chúng ta nhận được https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" Height="69">

Cuối cùng chúng tôi nhận được

Và

Hệ thống có nghiệm tầm thường duy nhất, do đó tổ hợp tuyến tính của các vectơ này chỉ bằng 0 trong trường hợp tất cả các hệ số đều bằng 0. Do đó, hệ vectơ này độc lập tuyến tính.

Ví dụ 4. Các vectơ độc lập tuyến tính. Các hệ thống vectơ sẽ như thế nào?

Một).;

b).?

Giải pháp.

Một). Hãy tạo một tổ hợp tuyến tính và đánh đồng nó bằng 0

Sử dụng tính chất của các phép toán với vectơ trong không gian tuyến tính, ta viết lại đẳng thức cuối cùng dưới dạng

Vì các vectơ độc lập tuyến tính nên các hệ số tại phải bằng 0, tức là..gif" width="12" Height="23 src=">

Hệ phương trình thu được có nghiệm tầm thường duy nhất .

Vì bình đẳng (*) chỉ được thực thi khi https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 Height=20" Height="20"> – độc lập tuyến tính;

b). Hãy tạo sự bình đẳng https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" Height="24 src="> (**)

Áp dụng lý luận tương tự, chúng ta thu được

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, ta thu được

hoặc

Hệ thống thứ hai có vô số giải pháp https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" Height="24 src=">. Do đó, không có tập hợp 0 ​​các hệ số giữ đẳng thức (**) . Do đó hệ vectơ - phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 5 Một hệ vectơ độc lập tuyến tính và một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính..gif" width="80" Height="24">.gif" width="149 Height=24" Height="24"> (***)

Bình đẳng (***) . Thật vậy, tại , hệ thống sẽ phụ thuộc tuyến tính.

Từ mối quan hệ (***) chúng tôi nhận được hoặc Hãy biểu thị .

Chúng tôi nhận được

Các vấn đề cần giải quyết độc lập (trong lớp học)

1. Một hệ thống chứa vectơ 0 là phụ thuộc tuyến tính.

2. Hệ thống gồm một vectơ MỘT, phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi, a=0.

3. Một hệ thống gồm hai vectơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi các vectơ tỷ lệ (nghĩa là một trong số chúng thu được từ vectơ kia bằng cách nhân với một số).

4. Nếu bạn thêm một vectơ vào một hệ phụ thuộc tuyến tính, bạn sẽ có một hệ phụ thuộc tuyến tính.

5. Nếu một vectơ được loại bỏ khỏi hệ độc lập tuyến tính thì hệ vectơ thu được sẽ độc lập tuyến tính.

6. Nếu hệ thống Sđộc lập tuyến tính, nhưng trở nên phụ thuộc tuyến tính khi thêm một vectơ b, thì vectơ bđược biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ hệ thống S.

c). Hệ ma trận , , trong không gian ma trận bậc hai.

10. Cho hệ vectơ Một,b,c không gian vectơ độc lập tuyến tính. Chứng minh tính độc lập tuyến tính của các hệ vectơ sau:

Một).một+b, b, c.

b).một+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" Height="19">– số tùy ý

c).một+b, a+c, b+c.

11. Cho phép Một,b,c– ba vectơ trên mặt phẳng từ đó tạo thành một tam giác. Các vectơ này có phụ thuộc tuyến tính không?

12. Hai vectơ được cho a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Tìm thêm hai vectơ bốn chiều a3 vàa4để hệ thống a1,a2,a3,a4độc lập tuyến tính .

Một 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, Một 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, Một 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Giải pháp. Ta đang tìm lời giải tổng quát của hệ phương trình

Một 1 x 1 + Một 2 x 2 + Một 3 x 3 = Θ

Phương pháp Gauss. Để làm điều này, chúng tôi viết hệ thống đồng nhất này theo tọa độ:

Ma trận hệ thống

Hệ phương trình được phép có dạng: (r A = 2, N= 3). Hệ thống có tính hợp tác và không chắc chắn. Giải pháp chung của nó ( x 2 – biến tự do): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => Xồ = . Ví dụ, sự có mặt của một nghiệm cụ thể khác 0 chỉ ra rằng các vectơ Một 1 , Một 2 , Một 3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 2.

Tìm hiểu xem một hệ vectơ đã cho là phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính:

1. Một 1 = { -20, -15, - 4 }, Một 2 = { –7, -2, -4 }, Một 3 = { 3, –1, –2 }.

Giải pháp. Xét hệ phương trình thuần nhất Một 1 x 1 + Một 2 x 2 + Một 3 x 3 = Θ

hoặc ở dạng mở rộng (theo tọa độ)

Hệ thống này là đồng nhất. Nếu nó không suy biến thì nó có nghiệm duy nhất. Trong trường hợp hệ thống đồng nhất, có nghiệm bằng 0 (tầm thường). Điều này có nghĩa là trong trường hợp này hệ vectơ là độc lập. Nếu hệ suy biến thì nó có nghiệm khác 0 và do đó nó phụ thuộc.

Chúng tôi kiểm tra hệ thống về sự suy biến:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Hệ thống này không suy biến và do đó các vectơ Một 1 , Một 2 , Một 3 độc lập tuyến tính.

Nhiệm vụ. Tìm hiểu xem một hệ vectơ đã cho là phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính:

1. Một 1 = { -4, 2, 8 }, Một 2 = { 14, -7, -28 }.

2. Một 1 = { 2, -1, 3, 5 }, Một 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. Một 1 = { -7, 5, 19 }, Một 2 = { -5, 7 , -7 }, Một 3 = { -8, 7, 14 }.

4. Một 1 = { 1, 2, -2 }, Một 2 = { 0, -1, 4 }, Một 3 = { 2, -3, 3 }.

5. Một 1 = { 1, 8 , -1 }, Một 2 = { -2, 3, 3 }, Một 3 = { 4, -11, 9 }.

6. Một 1 = { 1, 2 , 3 }, Một 2 = { 2, -1 , 1 }, Một 3 = { 1, 3, 4 }.

7. Một 1 = {0, 1, 1 , 0}, Một 2 = {1, 1 , 3, 1}, Một 3 = {1, 3, 5, 1}, Một 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. Một 1 = {-1, 7, 1 , -2}, Một 2 = {2, 3 , 2, 1}, Một 3 = {4, 4, 4, -3}, Một 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Chứng minh rằng hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính nếu nó chứa:

a) hai vectơ bằng nhau;

b) hai vectơ tỷ lệ.

Sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập tuyến tính của vectơ.
Cơ sở của vectơ. Hệ tọa độ Affine

Có một xe đẩy sôcôla trong khán phòng và mỗi du khách hôm nay sẽ nhận được một cặp đôi ngọt ngào - hình học giải tích với đại số tuyến tính. Bài viết này sẽ đề cập đến hai phần của toán học cao cấp cùng một lúc và chúng ta sẽ xem chúng cùng tồn tại như thế nào trong một gói. Hãy nghỉ ngơi, ăn Twix! ...chết tiệt, thật là một điều vô nghĩa. Mặc dù, được thôi, tôi sẽ không ghi điểm nhưng cuối cùng thì bạn cũng nên có thái độ tích cực trong việc học.

Sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ, độc lập vector tuyến tính, cơ sở của vectơ và các thuật ngữ khác không chỉ có ý nghĩa hình học mà trên hết còn có ý nghĩa đại số. Khái niệm “vectơ” theo quan điểm của đại số tuyến tính không phải lúc nào cũng là vectơ “thông thường” mà chúng ta có thể mô tả trên mặt phẳng hoặc trong không gian. Bạn không cần phải tìm đâu xa để chứng minh, hãy thử vẽ một vectơ không gian năm chiều . Hoặc vectơ thời tiết mà tôi vừa đến Gismeteo để tìm: nhiệt độ và áp suất khí quyển. Tất nhiên, ví dụ này không chính xác xét từ quan điểm về các tính chất của không gian vectơ, tuy nhiên, không ai cấm hình thức hóa các tham số này dưới dạng vectơ. Hơi thở của mùa thu...

Không, tôi sẽ không làm bạn nhàm chán với lý thuyết, không gian vectơ tuyến tính, nhiệm vụ là hiểuđịnh nghĩa và định lý. Các thuật ngữ mới (sự phụ thuộc tuyến tính, tính độc lập, tổ hợp tuyến tính, cơ sở, v.v.) áp dụng cho tất cả các vectơ theo quan điểm đại số, nhưng sẽ đưa ra các ví dụ hình học. Vì vậy, mọi thứ đều đơn giản, dễ tiếp cận và rõ ràng. Ngoài các bài toán về hình học giải tích, chúng ta cũng sẽ xét một số bài toán đại số điển hình. Để nắm vững tài liệu, nên làm quen với các bài học Vector cho người giả Và Làm thế nào để tính định thức?

Sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập của vectơ phẳng.
Cơ sở mặt phẳng và hệ tọa độ affine

Hãy xem xét mặt phẳng của bàn máy tính của bạn (chỉ là một cái bàn, bàn cạnh giường ngủ, sàn nhà, trần nhà, bất cứ thứ gì bạn thích). Nhiệm vụ sẽ bao gồm các hành động sau:

1) Chọn cơ sở mặt phẳng. Nói một cách đại khái, mặt bàn có chiều dài và chiều rộng, do đó, trực quan là cần có hai vectơ để xây dựng cơ sở. Một vectơ rõ ràng là không đủ, ba vectơ là quá nhiều.

2) Dựa trên cơ sở đã chọn thiết lập hệ tọa độ(lưới tọa độ) để gán tọa độ cho tất cả các đối tượng trên bàn.

Đừng ngạc nhiên, lúc đầu những lời giải thích sẽ nằm trên đầu ngón tay. Hơn nữa, về phía bạn. Hãy đặt ngón trỏ trái trên mép bàn để anh ấy nhìn vào màn hình. Đây sẽ là một vectơ. Bây giờ đặt ngón út bên phải trên cạnh bàn theo cách tương tự - sao cho nó hướng vào màn hình điều khiển. Đây sẽ là một vectơ. Cười lên, bạn trông thật tuyệt! Chúng ta có thể nói gì về vectơ? Vectơ dữ liệu thẳng hàng, nghĩa là tuyến tínhđược thể hiện qua nhau:
, vâng, hoặc ngược lại: , trong đó một số khác 0.

Bạn có thể xem hình ảnh của hành động này trong lớp. Vector cho người giả, trong đó tôi đã giải thích quy tắc nhân một vectơ với một số.

Ngón tay của bạn có đặt chân đế trên mặt phẳng của bàn máy tính không? Rõ ràng là không. Các vectơ cộng tuyến di chuyển qua lại trên một mình hướng, và một mặt phẳng có chiều dài và chiều rộng.

Các vectơ như vậy được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Thẩm quyền giải quyết: Các từ "tuyến tính", "tuyến tính" biểu thị thực tế là trong các phương trình và biểu thức toán học không có hình vuông, hình khối, lũy thừa khác, logarit, sin, v.v. Chỉ có các biểu thức và phụ thuộc tuyến tính (cấp 1).

Hai vectơ phẳng phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ nếu chúng thẳng hàng.

Bắt chéo các ngón tay của bạn trên bàn sao cho có bất kỳ góc nào giữa chúng không phải là 0 hoặc 180 độ. Hai vectơ phẳngtuyến tính Không phụ thuộc khi và chỉ nếu chúng không thẳng hàng. Vì vậy, cơ sở đã đạt được. Không cần phải xấu hổ khi cơ sở hóa ra bị “nghiêng” với các vectơ không vuông góc có độ dài khác nhau. Chúng ta sẽ sớm thấy rằng không chỉ góc 90 độ là phù hợp cho cấu trúc của nó, mà không chỉ các vectơ đơn vị có độ dài bằng nhau

Bất kì véc tơ máy bay cách duy nhấtđược mở rộng theo cơ sở:
, đâu là số thực. Những con số được gọi tọa độ vector trong cơ sở này.

Người ta cũng nói rằng vectơtrình bày như kết hợp tuyến tính vectơ cơ sở. Tức là biểu thức được gọi là phân rã véc tơtheo cơ sở hoặc kết hợp tuyến tính các vectơ cơ sở.

Ví dụ, chúng ta có thể nói rằng vectơ được phân tách dọc theo cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng hoặc chúng ta có thể nói rằng nó được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

Hãy xây dựng định nghĩa cơ sở chính thức: Cơ sở của máy bayđược gọi là một cặp vectơ độc lập tuyến tính (không cộng tuyến), , trong đó bất kì vectơ phẳng là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở.

Một điểm thiết yếu của định nghĩa là thực tế là các vectơ được lấy theo một thứ tự nhất định. căn cứ - đây là hai căn cứ hoàn toàn khác nhau! Như người ta nói, bạn không thể thay thế ngón út của bàn tay trái bằng ngón út của bàn tay phải.

Chúng ta đã tìm ra cơ sở nhưng việc thiết lập lưới tọa độ và gán tọa độ cho từng mục trên bàn máy tính của bạn là chưa đủ. Tại sao nó không đủ? Các vectơ tự do và di chuyển khắp toàn bộ mặt phẳng. Vậy làm thế nào để bạn gán tọa độ cho những chỗ bẩn nhỏ còn sót lại trên bàn sau một ngày cuối tuần hoang dã? Một điểm khởi đầu là cần thiết. Và mốc như vậy là một điểm quen thuộc với mọi người - nguồn gốc của tọa độ. Hãy hiểu hệ tọa độ:

Tôi sẽ bắt đầu với hệ thống “trường học”. Đã có trong bài học giới thiệu Vector cho người giả Tôi đã nhấn mạnh một số khác biệt giữa hệ tọa độ hình chữ nhật và cơ sở trực giao. Đây là hình ảnh tiêu chuẩn:

Khi họ nói về Hệ toạ độ hình chữ nhật, thì thông thường chúng có nghĩa là gốc, trục tọa độ và tỷ lệ dọc theo các trục. Hãy thử gõ “hệ tọa độ hình chữ nhật” vào công cụ tìm kiếm, bạn sẽ thấy nhiều nguồn sẽ cho bạn biết về trục tọa độ quen thuộc từ lớp 5-6 và cách vẽ điểm trên mặt phẳng.

Mặt khác, dường như một hệ tọa độ chữ nhật có thể được xác định hoàn toàn dưới dạng cơ sở trực chuẩn. Và điều đó gần như đúng. Lời văn như sau:

nguồn gốc, Và trực giao cơ sở được thiết lập Hệ tọa độ mặt phẳng hình chữ nhật Descartes . Tức là hệ tọa độ chữ nhật chắc chắnđược xác định bởi một điểm và hai vectơ trực giao đơn vị. Đó là lý do tại sao bạn thấy hình vẽ mà tôi đưa ra ở trên - trong các bài toán hình học, cả vectơ và trục tọa độ thường (nhưng không phải luôn luôn) được vẽ.

Tôi nghĩ mọi người đều hiểu rằng việc sử dụng một điểm (gốc) và một cơ sở trực chuẩn BẤT KỲ ĐIỂM NÀO trên mặt phẳng và BẤT CỨ Vectơ nào trên mặt phẳng tọa độ có thể được chỉ định. Nói một cách hình tượng, “mọi thứ trên một mặt phẳng đều có thể được đánh số”.

Các vectơ tọa độ có bắt buộc phải là đơn vị không? Không, chúng có thể có độ dài khác 0 tùy ý. Xét một điểm và hai vectơ trực giao có độ dài khác 0 tùy ý:

Cơ sở như vậy được gọi là trực giao. Gốc tọa độ với các vectơ được xác định bởi một lưới tọa độ, và bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng, bất kỳ vectơ nào cũng có tọa độ của nó trong một cơ sở nhất định. Ví dụ, hoặc. Sự bất tiện rõ ràng là các vectơ tọa độ nói chung có độ dài khác nhau ngoài sự thống nhất. Nếu độ dài bằng 1 thì thu được cơ sở trực chuẩn thông thường.

! Ghi chú : trong cơ sở trực giao, cũng như dưới đây trong các cơ sở affine của mặt phẳng và không gian, các đơn vị dọc theo trục được xem xét CÓ ĐIỀU KIỆN. Ví dụ: một đơn vị dọc theo trục x chứa 4 cm và một đơn vị dọc theo trục tọa độ chứa 2 cm. Thông tin này đủ để, nếu cần, chuyển đổi tọa độ "không chuẩn" thành "cm thông thường của chúng ta".

Và câu hỏi thứ hai, thực tế đã được trả lời, là liệu góc giữa các vectơ cơ sở có phải bằng 90 độ hay không? KHÔNG! Như định nghĩa nêu rõ, các vectơ cơ sở phải là chỉ không thẳng hàng. Theo đó, góc có thể là bất cứ thứ gì ngoại trừ 0 và 180 độ.

Một điểm trên mặt phẳng gọi là nguồn gốc, Và không thẳng hàng vectơ, , bộ hệ tọa độ mặt phẳng affine :

Đôi khi hệ tọa độ như vậy được gọi là xiên hệ thống. Ví dụ: hình vẽ hiển thị các điểm và vectơ:

Như bạn đã hiểu, hệ tọa độ affine thậm chí còn kém thuận tiện hơn; các công thức tính độ dài của vectơ và đoạn thẳng mà chúng ta đã thảo luận trong phần thứ hai của bài học không hoạt động trong đó Vector cho người giả, nhiều công thức ngon liên quan đến tích vô hướng của vectơ. Nhưng các quy tắc cộng vectơ và nhân vectơ với một số, công thức chia đoạn trong quan hệ này, cũng như một số loại bài toán khác mà chúng ta sẽ xem xét sau đây đều hợp lệ.

Và kết luận là trường hợp đặc biệt thuận tiện nhất của hệ tọa độ affine là hệ chữ nhật Descartes. Đó là lý do tại sao bạn thường xuyên phải gặp cô ấy nhất, bạn thân mến. ...Tuy nhiên, mọi thứ trong cuộc sống này đều là tương đối - có nhiều tình huống trong đó một góc xiên (hoặc một góc nào đó khác chẳng hạn, vùng cực) hệ tọa độ. Và người máy có thể thích những hệ thống như vậy =)

Hãy chuyển sang phần thực tế. Tất cả các bài toán trong bài này đều đúng cho cả hệ tọa độ chữ nhật và trường hợp affine tổng quát. Không có gì phức tạp ở đây, tất cả tài liệu đều có thể truy cập được ngay cả với một học sinh.

Làm thế nào để xác định độ cộng tuyến của vectơ phẳng?

Điều điển hình. Để có hai vectơ phẳng thẳng hàng thì tọa độ tương ứng của chúng tỉ lệ thuận với nhau Về cơ bản, đây là sự trình bày chi tiết theo từng tọa độ của mối quan hệ rõ ràng.

ví dụ 1

a) Kiểm tra xem các vectơ có thẳng hàng không .
b) Các vectơ có phải là cơ sở không? ?

Giải pháp:
a) Hãy cùng tìm hiểu xem có tồn tại vectơ không hệ số tỷ lệ, sao cho các đẳng thức được thỏa mãn:

Tôi chắc chắn sẽ kể cho bạn nghe về phiên bản “dở hơi” của việc áp dụng quy tắc này, nó hoạt động khá hiệu quả trong thực tế. Ý tưởng là lập tức lập tỷ lệ và xem nó có đúng không:

Hãy lập một tỷ lệ từ các tỷ lệ tọa độ tương ứng của các vectơ:

Hãy rút ngắn:
, do đó tọa độ tương ứng tỷ lệ thuận, do đó,

Mối quan hệ có thể được thực hiện theo cách khác; đây là một lựa chọn tương đương:

Để tự kiểm tra, bạn có thể sử dụng thực tế là các vectơ cộng tuyến được biểu diễn tuyến tính qua nhau. Trong trường hợp này, sự bình đẳng xảy ra . Tính hợp lệ của chúng có thể được xác minh dễ dàng thông qua các phép toán cơ bản với vectơ:

b) Hai vectơ phẳng tạo thành một cơ sở nếu chúng không thẳng hàng (độc lập tuyến tính). Chúng tôi kiểm tra các vectơ cho sự cộng tuyến . Hãy tạo ra một hệ thống:

Từ phương trình thứ nhất suy ra , từ phương trình thứ hai suy ra , nghĩa là hệ thống không nhất quán(không có giải pháp). Do đó, tọa độ tương ứng của các vectơ không tỷ lệ thuận.

Phần kết luận: các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Phiên bản đơn giản hóa của giải pháp trông như thế này:

Hãy lập tỷ lệ từ tọa độ tương ứng của các vectơ :
, có nghĩa là các vectơ này độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Thông thường, tùy chọn này không bị người đánh giá từ chối, nhưng vấn đề sẽ phát sinh trong trường hợp một số tọa độ bằng 0. Như thế này: . Hoặc như thế này: . Hoặc như thế này: . Làm thế nào để làm việc thông qua tỷ lệ ở đây? (thực sự, bạn không thể chia cho số 0). Chính vì lý do này mà tôi gọi giải pháp đơn giản hóa là “foppish”.

Trả lời: a) , b) hình thức.

Một ví dụ sáng tạo nhỏ cho giải pháp của riêng bạn:

Ví dụ 2

Tại giá trị nào của tham số là các vectơ liệu chúng có thẳng hàng không?

Trong dung dịch mẫu, thông số được tìm thấy thông qua tỷ lệ.

Có một cách đại số rất hay để kiểm tra sự cộng tuyến của các vectơ. Hãy hệ thống hóa kiến ​​thức của chúng ta và thêm nó vào điểm thứ năm:

Đối với hai vectơ phẳng các mệnh đề sau là tương đương:

2) các vectơ tạo thành một cơ sở;
3) các vectơ không thẳng hàng;

+ 5) định thức gồm tọa độ của các vectơ này khác 0.

Tương ứng, các phát biểu ngược lại sau đây là tương đương:
1) vectơ phụ thuộc tuyến tính;
2) vectơ không tạo thành cơ sở;
3) các vectơ thẳng hàng;
4) các vectơ có thể được biểu diễn tuyến tính qua nhau;
+ 5) định thức gồm tọa độ của các vectơ này bằng 0.

Tôi thực sự, thực sự hy vọng rằng đến bây giờ bạn đã hiểu tất cả các điều khoản và tuyên bố mà bạn gặp phải.

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn điểm thứ năm mới: hai vectơ phẳng là thẳng hàng khi và chỉ khi định thức gồm tọa độ của các vectơ đã cho bằng 0:. Tất nhiên, để áp dụng tính năng này, bạn cần có khả năng tìm yếu tố quyết định.

Hãy quyết định Ví dụ 1 theo cách thứ 2:

a) Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ của vectơ :
, nghĩa là các vectơ này thẳng hàng.

b) Hai vectơ phẳng tạo thành một cơ sở nếu chúng không thẳng hàng (độc lập tuyến tính). Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ vectơ :
, có nghĩa là các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Trả lời: a) , b) hình thức.

Nó trông nhỏ gọn và đẹp hơn nhiều so với một giải pháp có tỷ lệ.

Với sự trợ giúp của tài liệu đã xem xét, có thể thiết lập không chỉ tính chất thẳng hàng của các vectơ mà còn có thể chứng minh tính song song của các đoạn thẳng và đường thẳng. Hãy xem xét một số vấn đề với các hình dạng hình học cụ thể.

Ví dụ 3

Các đỉnh của một tứ giác đã cho. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.

Bằng chứng: Không cần tạo hình vẽ trong bài toán vì lời giải sẽ thuần túy mang tính phân tích. Hãy nhớ lại định nghĩa của hình bình hành:
Hình bình hành Tứ giác có các cặp cạnh đối song song được gọi là tứ giác.

Vì vậy cần chứng minh:
1) sự song song của các cạnh đối diện và;
2) sự song song của các cạnh đối diện và.

Chúng tôi chứng minh:

1) Tìm các vectơ:

2) Tìm các vectơ:

Kết quả là cùng một vectơ (“theo trường” – vectơ bằng nhau). Sự hợp tác là khá rõ ràng, nhưng tốt hơn hết là nên chính thức hóa quyết định một cách rõ ràng, có sự sắp xếp. Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ vectơ:
, có nghĩa là các vectơ này thẳng hàng và .

Phần kết luận: Các cạnh đối diện của một tứ giác song song thành từng cặp, có nghĩa là theo định nghĩa nó là hình bình hành. Q.E.D.

Nhiều số liệu tốt và khác nhau:

Ví dụ 4

Các đỉnh của một tứ giác đã cho. Chứng minh tứ giác là hình thang.

Tất nhiên, để xây dựng chứng minh chặt chẽ hơn, tốt hơn hết là bạn nên lấy định nghĩa về hình thang, nhưng chỉ cần nhớ nó trông như thế nào là đủ.

Đây là một nhiệm vụ để bạn tự giải quyết. Giải đáp đầy đủ ở cuối bài.

Và bây giờ là lúc di chuyển từ từ từ máy bay vào không gian:

Làm thế nào để xác định độ cộng tuyến của vectơ không gian?

Quy tắc này rất giống nhau. Để hai vectơ không gian thẳng hàng thì tọa độ tương ứng của chúng tỷ lệ thuận với nhau.

Ví dụ 5

Tìm hiểu xem các vectơ không gian sau có thẳng hàng hay không:

MỘT) ;
b)
V)

Giải pháp:
a) Hãy kiểm tra xem tọa độ tương ứng của các vectơ có hệ số tỷ lệ hay không:

Hệ không có nghiệm nên các vectơ không thẳng hàng.

“Đơn giản hóa” được chính thức hóa bằng cách kiểm tra tỷ lệ. Trong trường hợp này:
– tọa độ tương ứng không tỷ lệ, nghĩa là các vectơ không thẳng hàng.

Trả lời: các vectơ không thẳng hàng.

b-c) Đây là những điểm cho quyết định độc lập. Hãy thử nó theo hai cách.

Có một phương pháp kiểm tra tính cộng tuyến của vectơ không gian thông qua định thức bậc ba; phương pháp này được đề cập trong bài viết Tích vectơ của vectơ.

Tương tự như trường hợp mặt phẳng, các công cụ được xem xét có thể được sử dụng để nghiên cứu tính song song của các đoạn không gian và đường thẳng.

Chào mừng đến với phần thứ hai:

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập của vectơ trong không gian ba chiều.
Cơ sở không gian và hệ tọa độ affine

Nhiều mô hình mà chúng ta đã xem xét trên mặt phẳng sẽ có giá trị trong không gian. Tôi đã cố gắng giảm thiểu các ghi chú lý thuyết, vì phần lớn thông tin đã được nhai kỹ. Tuy nhiên, tôi khuyên bạn nên đọc kỹ phần giới thiệu vì các thuật ngữ và khái niệm mới sẽ xuất hiện.

Bây giờ, thay vì mặt phẳng của bàn máy tính, chúng ta khám phá không gian ba chiều. Đầu tiên, hãy tạo cơ sở của nó. Bây giờ có người ở trong nhà, có người ở ngoài trời, nhưng dù thế nào đi nữa, chúng ta cũng không thể thoát khỏi ba chiều: chiều rộng, chiều dài và chiều cao. Vì vậy, để xây dựng một cơ sở, cần có ba vectơ không gian. Một hoặc hai vectơ là không đủ, vectơ thứ tư là thừa.

Và một lần nữa chúng tôi làm ấm ngón tay của mình. Hãy giơ tay lên và xòe ra các hướng khác nhau ngón cái, ngón trỏ và ngón giữa. Đây sẽ là các vectơ, chúng nhìn theo các hướng khác nhau, có độ dài khác nhau và có các góc khác nhau giữa chúng. Xin chúc mừng, cơ sở của không gian ba chiều đã sẵn sàng! Nhân tiện, không cần phải chứng minh điều này với giáo viên, dù bạn có vặn ngón tay đến đâu nhưng cũng không thoát khỏi định nghĩa =)

Tiếp theo, chúng ta hãy tự hỏi mình một câu hỏi quan trọng: ba vectơ bất kỳ có tạo thành cơ sở của không gian ba chiều không? Hãy ấn mạnh ba ngón tay lên mặt bàn máy tính. Chuyện gì đã xảy ra thế? Ba vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng và nói một cách đại khái, chúng ta đã mất một trong các chiều - chiều cao. Các vectơ như vậy là đồng phẳng và khá rõ ràng là cơ sở của không gian ba chiều không được tạo ra.

Cần lưu ý là các vectơ đồng phẳng không nhất thiết phải nằm trong cùng một mặt phẳng, chúng có thể nằm trong các mặt phẳng song song (chỉ cần đừng dùng ngón tay làm điều này, chỉ có Salvador Dali mới làm được điều này =)).

Sự định nghĩa: vectơ được gọi là đồng phẳng, nếu có một mặt phẳng mà chúng song song với nó. Điều hợp lý khi nói thêm ở đây là nếu một mặt phẳng như vậy không tồn tại thì các vectơ sẽ không đồng phẳng.

Ba vectơ đồng phẳng luôn phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là chúng được biểu diễn tuyến tính thông qua nhau. Để đơn giản, chúng ta hãy tưởng tượng lần nữa rằng chúng nằm trong cùng một mặt phẳng. Thứ nhất, vectơ không chỉ đồng phẳng mà còn có thể thẳng hàng, khi đó bất kỳ vectơ nào cũng có thể biểu diễn qua bất kỳ vectơ nào. Trong trường hợp thứ hai, ví dụ, nếu các vectơ không thẳng hàng, thì vectơ thứ ba được biểu thị thông qua chúng theo một cách duy nhất: (và tại sao thì dễ đoán từ các tài liệu ở phần trước).

Các ngược lại cũng đúng: ba vectơ không đồng phẳng luôn độc lập tuyến tính, nghĩa là chúng không được thể hiện qua nhau theo bất kỳ cách nào. Và rõ ràng, chỉ những vectơ như vậy mới có thể tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.

Sự định nghĩa: Cơ sở của không gian ba chiềuđược gọi là bộ ba vectơ độc lập tuyến tính (không đồng phẳng), thực hiện theo một thứ tự nhất định và bất kỳ vectơ không gian nào cách duy nhấtđược phân rã trên một cơ sở nhất định, tọa độ của vectơ trong cơ sở này ở đâu

Hãy để tôi nhắc bạn rằng chúng ta cũng có thể nói rằng vectơ được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính các vectơ cơ sở.

Khái niệm hệ tọa độ được giới thiệu giống hệt như đối với trường hợp mặt phẳng; một điểm và ba vectơ độc lập tuyến tính bất kỳ là đủ:

nguồn gốc, Và không đồng phẳng vectơ, thực hiện theo một thứ tự nhất định, bộ hệ tọa độ affine của không gian ba chiều :

Tất nhiên, lưới tọa độ là “xiên” và bất tiện, tuy nhiên, hệ tọa độ được xây dựng cho phép chúng ta chắc chắn xác định tọa độ của bất kỳ vectơ nào và tọa độ của bất kỳ điểm nào trong không gian. Tương tự như mặt phẳng, một số công thức mà tôi đã đề cập sẽ không hoạt động trong hệ tọa độ affine của không gian.

Trường hợp đặc biệt quen thuộc và tiện lợi nhất của hệ tọa độ affine, như mọi người đoán, là hệ tọa độ không gian hình chữ nhật:

Một điểm trong không gian gọi là nguồn gốc, Và trực giao cơ sở được thiết lập Hệ tọa độ không gian hình chữ nhật Descartes . Hình ảnh quen thuộc:

Trước khi chuyển sang các công việc thực tế, chúng ta hãy hệ thống hóa lại thông tin một lần nữa:

Đối với ba vectơ không gian, các câu lệnh sau là tương đương:
1) các vectơ độc lập tuyến tính;
2) các vectơ tạo thành một cơ sở;
3) các vectơ không đồng phẳng;
4) các vectơ không thể được biểu diễn tuyến tính qua nhau;
5) định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ này, khác 0.

Tôi nghĩ những tuyên bố ngược lại là có thể hiểu được.

Sự phụ thuộc/độc lập tuyến tính của vectơ không gian thường được kiểm tra bằng cách sử dụng định thức (điểm 5). Các nhiệm vụ thực tế còn lại sẽ có tính chất đại số rõ rệt. Đã đến lúc treo cây gậy hình học và cầm cây gậy bóng chày của đại số tuyến tính:

Ba vectơ không gian là đồng phẳng khi và chỉ khi định thức gồm tọa độ của các vectơ đã cho bằng 0: .

Tôi muốn bạn chú ý đến một sắc thái kỹ thuật nhỏ: tọa độ của vectơ có thể được viết không chỉ theo cột mà còn theo hàng (giá trị của định thức sẽ không thay đổi vì điều này - xem tính chất của định thức). Nhưng nó tốt hơn nhiều trong các cột vì nó có lợi hơn cho việc giải quyết một số vấn đề thực tế.

Đối với những độc giả hơi quên phương pháp tính định thức, hoặc có thể hiểu biết rất ít về chúng, tôi xin giới thiệu một trong những bài học lâu đời nhất của tôi: Làm thế nào để tính định thức?

Ví dụ 6

Kiểm tra xem các vectơ sau có phải là cơ sở của không gian ba chiều hay không:

Giải pháp: Trên thực tế, toàn bộ lời giải đều bắt nguồn từ việc tính định thức.

a) Tính định thức được tạo thành từ tọa độ vectơ (định thức được biểu thị ở dòng đầu tiên):

, có nghĩa là các vectơ độc lập tuyến tính (không đồng phẳng) và tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.

Trả lời: các vectơ này tạo thành một cơ sở

b) Đây là điểm để quyết định độc lập. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Ngoài ra còn có các nhiệm vụ sáng tạo:

Ví dụ 7

Tại giá trị nào của tham số thì các vectơ sẽ đồng phẳng?

Giải pháp: Các vectơ là đồng phẳng khi và chỉ khi định thức gồm tọa độ của các vectơ này bằng 0:

Về cơ bản, bạn cần giải một phương trình với định thức. Chúng ta lao xuống các số 0 như thả diều trên cá giật - tốt nhất là mở định thức ở dòng thứ hai và loại bỏ ngay các điểm trừ:

Chúng tôi thực hiện đơn giản hóa hơn nữa và giảm vấn đề thành phương trình tuyến tính đơn giản nhất:

Trả lời: Tại

Thật dễ dàng để kiểm tra ở đây; để làm điều này, bạn cần thay thế giá trị kết quả vào định thức ban đầu và đảm bảo rằng , mở lại.

Để kết luận, chúng ta sẽ xem xét một bài toán điển hình khác, có tính chất đại số nhiều hơn và thường được đưa vào giáo trình đại số tuyến tính. Nó phổ biến đến mức nó xứng đáng có chủ đề riêng:

Chứng minh 3 vectơ là cơ sở của không gian ba chiều
và tìm tọa độ của vectơ thứ 4 trong cơ sở này

Ví dụ 8

Các vectơ được cho. Chứng minh rằng các vectơ tạo thành một cơ sở trong không gian ba chiều và tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở đó.

Giải pháp: Đầu tiên, hãy giải quyết điều kiện. Theo điều kiện, bốn vectơ đã cho và như bạn có thể thấy, chúng đã có tọa độ trên một số cơ sở. Cơ sở này là gì thì chúng tôi không quan tâm. Và điều đáng quan tâm sau đây: ba vectơ có thể hình thành một cơ sở mới. Và giai đoạn đầu hoàn toàn trùng khớp với lời giải của Ví dụ 6, cần kiểm tra xem các vectơ có thực sự độc lập tuyến tính hay không:

Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ vectơ:

, có nghĩa là các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.

! Quan trọng : tọa độ vectơ nhất thiết viết ra thành cộtđịnh thức, không phải trong chuỗi. Nếu không, sẽ có sự nhầm lẫn trong thuật toán giải tiếp theo.

Nhiệm vụ 1. Tìm hiểu xem hệ vectơ có độc lập tuyến tính hay không. Hệ vectơ sẽ được xác định bằng ma trận của hệ, các cột trong đó là tọa độ của các vectơ.

.

Giải pháp. Cho tổ hợp tuyến tính bằng không. Viết đẳng thức này dưới dạng tọa độ, chúng ta thu được hệ phương trình sau:

.

Hệ phương trình như vậy được gọi là hệ tam giác. Cô chỉ có một giải pháp . Do đó, các vectơ độc lập tuyến tính.

Nhiệm vụ 2. Tìm hiểu xem hệ vectơ có độc lập tuyến tính hay không.

.

Giải pháp. Vectơ độc lập tuyến tính (xem bài toán 1). Chứng minh vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ . Hệ số mở rộng vectơ được xác định từ hệ phương trình

.

Hệ thống này, giống như một hệ thống tam giác, có một giải pháp duy nhất.

Do đó hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Bình luận. Các ma trận cùng loại như ở Bài toán 1 được gọi là hình tam giác , và trong vấn đề 2 – bước tam giác . Câu hỏi về sự phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ có thể dễ dàng giải được nếu ma trận gồm tọa độ của các vectơ này là tam giác bậc. Nếu ma trận không có dạng đặc biệt thì sử dụng chuyển đổi chuỗi cơ bản , duy trì mối quan hệ tuyến tính giữa các cột, nó có thể được rút gọn thành dạng tam giác bậc thang.

Chuyển đổi chuỗi cơ bản ma trận (EPS), các phép toán sau trên ma trận được gọi là:

1) sắp xếp lại các dòng;

2) nhân một chuỗi với một số khác 0;

3) thêm một chuỗi khác vào một chuỗi, nhân với một số tùy ý.

Nhiệm vụ 3. Tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại và tính hạng của hệ vectơ

.

Giải pháp. Chúng ta hãy rút gọn ma trận của hệ thống sử dụng EPS thành dạng tam giác bậc thang. Để giải thích quy trình, chúng ta biểu thị đường thẳng có số ma trận cần chuyển đổi bằng ký hiệu . Cột sau mũi tên chỉ ra các hành động trên các hàng của ma trận đang được chuyển đổi phải được thực hiện để thu được các hàng của ma trận mới.

.

Rõ ràng, hai cột đầu tiên của ma trận kết quả là độc lập tuyến tính, cột thứ ba là sự kết hợp tuyến tính của chúng và cột thứ tư không phụ thuộc vào hai cột đầu tiên. Vectơ được gọi là cơ bản. Chúng tạo thành một hệ thống con độc lập tuyến tính tối đa của hệ thống , và hạng của hệ thống là ba.

Cơ sở, tọa độ

Nhiệm vụ 4. Tìm cơ sở và tọa độ của các vectơ cơ sở này trên tập hợp vectơ hình học có tọa độ thỏa mãn điều kiện .

Giải pháp. Tập hợp là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. Một cơ sở tùy ý trên một mặt phẳng bao gồm hai vectơ không thẳng hàng. Tọa độ của các vectơ trong cơ sở đã chọn được xác định bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng.

Có một cách khác để giải quyết vấn đề này là bạn có thể tìm cơ sở bằng cách sử dụng tọa độ.

tọa độ các không gian không phải là tọa độ trên mặt phẳng vì chúng liên hệ với nhau bằng quan hệ , tức là chúng không độc lập. Các biến độc lập và (chúng được gọi là tự do) xác định duy nhất một vectơ trên mặt phẳng và do đó, chúng có thể được chọn làm tọa độ trong . Sau đó cơ sở bao gồm các vectơ nằm trong và tương ứng với các tập biến tự do Và , đó là .

Nhiệm vụ 5. Tìm cơ sở và tọa độ của các vectơ cơ sở này trên tập hợp tất cả các vectơ trong không gian có tọa độ lẻ bằng nhau.

Giải pháp. Chúng ta hãy chọn, như trong bài toán trước, tọa độ trong không gian.

Bởi vì , thì các biến tự do xác định duy nhất vectơ từ và do đó là tọa độ. Cơ sở tương ứng bao gồm các vectơ.

Nhiệm vụ 6. Tìm cơ sở và tọa độ của các vectơ cơ sở này trên tập hợp tất cả các ma trận có dạng , Ở đâu - số tùy ý.

Giải pháp. Mỗi ma trận từ được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Mối quan hệ này là sự khai triển của vectơ từ đối với cơ sở
có tọa độ .

Nhiệm vụ 7. Tìm kích thước và cơ sở của bao tuyến tính của một hệ vectơ

.

Giải pháp. Sử dụng EPS, chúng tôi chuyển đổi ma trận từ tọa độ của vectơ hệ thống sang dạng tam giác bước.

.

Cột các ma trận cuối cùng độc lập tuyến tính và các cột được biểu diễn tuyến tính thông qua chúng. Do đó, các vectơ tạo thành một cơ sở , Và .

Bình luận. Cơ sở ở được chọn một cách mơ hồ. Ví dụ, vectơ cũng tạo thành cơ sở .