Giá trị riêng tối đa của ma trận. Phương trình đặc trưng của ma trận

Ma trận đường chéo có cấu trúc đơn giản nhất. Câu hỏi đặt ra là liệu có thể tìm được cơ sở trong đó ma trận của toán tử tuyến tính có dạng đường chéo hay không. Cơ sở như vậy tồn tại.
Cho một không gian tuyến tính R n và toán tử tuyến tính A tác dụng trong đó; trong trường hợp này, toán tử A lấy R n vào chính nó, tức là A:R n → R n .

Sự định nghĩa. Một vectơ khác 0 được gọi là vectơ riêng của toán tử A nếu toán tử A chuyển thành vectơ cộng tuyến. Số λ được gọi là giá trị riêng hoặc giá trị riêng của toán tử A, tương ứng với vectơ riêng.
Chúng ta hãy lưu ý một số tính chất của giá trị riêng và vectơ riêng.
1. Bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của vectơ riêng toán tử A tương ứng với cùng giá trị riêng λ là một vectơ riêng có cùng giá trị riêng.
2. Vector riêng toán tử A với các giá trị riêng khác nhau từng cặp λ 1 , λ 2 , …, λ m độc lập tuyến tính.
3. Nếu các giá trị riêng λ 1 =λ 2 = λ m = λ thì giá trị riêng λ tương ứng với không quá m vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Vì vậy, nếu có n vectơ riêng độc lập tuyến tính , tương ứng với các giá trị riêng λ 1, λ 2, ..., λ n khác nhau thì chúng độc lập tuyến tính nên có thể lấy chúng làm cơ sở của không gian R n. Chúng ta hãy tìm dạng ma trận của toán tử tuyến tính A trên cơ sở các vectơ riêng của nó, mà chúng ta sẽ thao tác với toán tử A trên các vectơ cơ sở: Sau đó .
Do đó, ma trận của toán tử tuyến tính A trên cơ sở các vectơ riêng của nó có dạng đường chéo và các giá trị riêng của toán tử A nằm dọc theo đường chéo.
Có cơ sở nào khác trong đó ma trận có dạng đường chéo không? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý sau đây.

Định lý. Ma trận của toán tử tuyến tính A trong cơ sở (i = 1..n) có dạng đường chéo khi và chỉ khi tất cả các vectơ của cơ sở là vectơ riêng của toán tử A.

Quy tắc tìm giá trị riêng và vectơ riêng

. (*)

(1)
Ở đâu - ma trận toán tử tuyến tính.

Hệ (1) có nghiệm khác 0 nếu định thức D của nó bằng 0

Ví dụ 12. Toán tử tuyến tính A tác dụng trong R 3 theo định luật, trong đó x 1, x 2,.., xn là tọa độ của vectơ trong cơ sở , , . Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử này.
Giải pháp. Chúng tôi xây dựng ma trận của toán tử này:
.
Chúng tôi tạo ra một hệ thống để xác định tọa độ của các vectơ riêng:

Chúng tôi soạn một phương trình đặc trưng và giải nó:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Thay λ = -1 vào hệ ta có:
hoặc
Bởi vì , thì có hai biến phụ thuộc và một biến tự do.
Giả sử x 1 là ẩn số tự do thì Ta giải hệ này bằng cách nào đó và tìm nghiệm tổng quát của hệ này: Hệ nghiệm cơ bản gồm một nghiệm, vì n - r = 3 - 2 = 1.
Tập hợp các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = -1 có dạng: , trong đó x 1 là số bất kỳ khác 0. Hãy chọn một vectơ từ tập hợp này, ví dụ: đặt x 1 = 1: .
Lý giải tương tự, ta tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 3: .
Trong không gian R 3, cơ sở bao gồm ba vectơ độc lập tuyến tính, nhưng chúng ta chỉ nhận được hai vectơ riêng độc lập tuyến tính, từ đó không thể tạo cơ sở trong R 3. Do đó, chúng ta không thể quy ma trận A của toán tử tuyến tính về dạng đường chéo.

Ví dụ 13. Cho một ma trận .
1. Chứng minh rằng vectơ là vectơ riêng của ma trận A. Tìm giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng này.
2. Tìm cơ sở để ma trận A có dạng đường chéo.
Giải pháp.
1. Nếu , thì là một vectơ riêng

.
Vector (1, 8, -1) là một vectơ riêng. Giá trị riêng λ = -1.
Ma trận có dạng đường chéo trên cơ sở gồm các vectơ riêng. Một trong số họ nổi tiếng. Hãy tìm phần còn lại.
Chúng tôi tìm kiếm các vectơ riêng từ hệ thống:

Phương trình đặc trưng: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Hãy tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = -3:

Hạng của ma trận của hệ này là hai và bằng số ẩn số nên hệ này chỉ có nghiệm 0 x 1 = x 3 = 0. x 2 ở đây có thể là bất cứ giá trị nào khác 0, ví dụ x 2 = 1. Như vậy, vectơ (0 ,1,0) là vectơ riêng tương ứng với λ = -3. Hãy kiểm tra:
.
Nếu λ = 1 thì ta thu được hệ
Thứ hạng của ma trận là hai. Chúng tôi gạch bỏ phương trình cuối cùng.
Cho x 3 là một ẩn số tự do. Khi đó x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Giả sử x 3 = 1 thì ta có (-3,-9,1) - vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 1. Kiểm tra:

.
Vì các giá trị riêng là số thực và phân biệt nên các vectơ tương ứng với chúng độc lập tuyến tính nên có thể lấy chúng làm cơ sở trong R 3. Như vậy, trên cơ sở , , ma trận A có dạng:
.
Không phải mọi ma trận của toán tử tuyến tính A:R n → R n đều có thể rút gọn về dạng đường chéo, vì đối với một số toán tử tuyến tính có thể có ít hơn n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, nếu ma trận đối xứng thì nghiệm của phương trình đặc tính bội m tương ứng với chính xác m vectơ độc lập tuyến tính.

Sự định nghĩa. Ma trận đối xứng là ma trận vuông trong đó các phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau, tức là trong đó .
Ghi chú. 1. Tất cả các giá trị riêng của ma trận đối xứng đều là số thực.
2. Các vectơ riêng của ma trận đối xứng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau theo cặp là trực giao.
Là một trong nhiều ứng dụng của bộ máy được nghiên cứu, chúng tôi xem xét bài toán xác định loại đường cong bậc hai.

Định nghĩa 9.3. Vectơ X gọi điện vectơ riêng ma trận MỘT, nếu có một con số như vậy λ, mà đẳng thức xảy ra: MỘT X= λ X, tức là kết quả của việc nộp đơn vào X phép biến đổi tuyến tính được xác định bởi ma trận MỘT, là phép nhân của vectơ này với số λ . Bản thân con số λ gọi điện giá trị riêng ma trận MỘT.

Thay thế vào công thức (9.3) x` j = λx j , chúng ta thu được hệ phương trình xác định tọa độ của vectơ riêng:

. (9.5)

Hệ thống đồng nhất tuyến tính này sẽ chỉ có nghiệm không tầm thường nếu định thức chính của nó bằng 0 (quy tắc Cramer). Bằng cách viết điều kiện này dưới dạng:

chúng ta thu được một phương trình để xác định giá trị riêng λ , gọi điện phương trình đặc trưng. Có thể biểu diễn ngắn gọn như sau:

| A - λE | = 0, (9.6)

vì vế trái của nó chứa định thức của ma trận A-λE. Đa thức tương đối λ | A - λE| gọi điện Đặc biệt đa thức ma trận A.

Tính chất của đa thức đặc trưng:

1) Đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở. Bằng chứng. (xem (9.4)), nhưng kể từ đây, . Vì vậy, nó không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở. Điều này có nghĩa là | A-λE| không thay đổi khi chuyển sang cơ sở mới.

2) Nếu ma trận MỘT biến đổi tuyến tính là đối xứng(những thứ kia. và ij =a ji), thì mọi nghiệm của phương trình đặc tính (9.6) đều là số thực.

Thuộc tính của giá trị riêng và vectơ riêng:

1) Nếu bạn chọn một cơ sở từ các vectơ riêng x1, x2, x3 , tương ứng với các giá trị riêng λ 1, λ 2, λ 3 ma trận MỘT, thì trên cơ sở này phép biến đổi tuyến tính A có ma trận dạng đường chéo:

(9.7) Chứng minh tính chất này được rút ra từ định nghĩa của vectơ riêng.

2) Nếu giá trị riêng của phép biến đổi MỘT khác nhau thì các vectơ riêng tương ứng của chúng độc lập tuyến tính.

3) Nếu đa thức đặc trưng của ma trận MỘT có ba nghiệm khác nhau thì về cơ bản nào đó ma trận MỘT có hình dạng chéo.

Hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận Hãy lập phương trình đặc trưng: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ 2 + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Hãy tìm tọa độ các vectơ riêng tương ứng với từng giá trị tìm được λ. Từ (9.5) suy ra nếu X (1) ={x1,x2,x3) – vectơ riêng tương ứng λ 1 =-2 thì

- một hệ thống hợp tác nhưng không chắc chắn. Lời giải của nó có thể viết dưới dạng X (1) ={Một,0,-Một), trong đó a là số bất kỳ. Đặc biệt, nếu chúng tôi yêu cầu | x (1) |=1, X (1) =

Thay thế vào hệ thống (9.5) λ 2 =3, ta thu được hệ xác định tọa độ của vectơ riêng thứ hai - x (2) ={y 1, y 2, y 3}:

, Ở đâu X (2) ={b,-b,b) hoặc, được cung cấp | x (2) |=1, x (2) =

Vì λ 3 = 6 tìm vectơ riêng x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={c,2c,c) hoặc trong phiên bản chuẩn hóa

x (3) = Có thể nhận thấy rằng X (1) X (2) = ab–ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Do đó, các vectơ riêng của ma trận này trực giao từng cặp.

Bài giảng 10.

Dạng bậc hai và mối liên hệ của chúng với ma trận đối xứng. Tính chất của vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận đối xứng. Rút gọn dạng bậc hai về dạng chính tắc.

Định nghĩa 10.1.Hình bậc hai biến thực x 1, x 2,…, xnđược gọi là đa thức bậc hai trong các biến không chứa số hạng tự do và các số hạng bậc một.

Ví dụ về dạng bậc hai:

(N = 2),

(N = 3). (10.1)

Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa về ma trận đối xứng được đưa ra trong bài giảng trước:

Định nghĩa 10.2. Ma trận vuông được gọi là đối xứng, if , nghĩa là, nếu các phần tử ma trận đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau.

Tính chất của giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận đối xứng:

1) Tất cả các giá trị riêng của ma trận đối xứng đều là số thực.

Chứng minh (cho N = 2).

Để ma trận MỘT có dạng: . Hãy lập phương trình đặc trưng:

(10.2) Hãy tìm biệt thức:

Do đó, phương trình chỉ có nghiệm thực.

2) Các vectơ riêng của ma trận đối xứng là trực giao.

Chứng minh (cho N= 2).

Tọa độ của các vectơ riêng và phải thỏa mãn các phương trình.

HỆ THỐNG PHƯƠNG TIỆN TUYẾN TÍNH ĐỒNG NHẤT

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ có dạng

Rõ ràng là trong trường hợp này , bởi vì tất cả các phần tử của một trong các cột trong các định thức này đều bằng 0.

Vì ẩn số được tìm theo công thức , thì trong trường hợp Δ ≠ 0 thì hệ có nghiệm 0 duy nhất x = y = z= 0. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, câu hỏi thú vị là liệu một hệ thuần nhất có nghiệm khác 0 hay không.

Định lý.Để hệ phương trình tuyến tính đồng nhất có nghiệm khác 0 thì điều cần và đủ là Δ ≠ 0.

Vì vậy, nếu định thức Δ ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất. Nếu Δ ≠ 0 thì hệ phương trình tuyến tính đồng nhất có vô số nghiệm.

Ví dụ.

Vector riêng và giá trị riêng của ma trận

Cho một ma trận vuông , X– một số cột ma trận có chiều cao trùng với thứ tự của ma trận MỘT. .

Trong nhiều bài toán chúng ta phải xét phương trình của X

trong đó λ là một số nhất định. Rõ ràng là với mọi λ phương trình này có nghiệm bằng 0.

Số λ mà phương trình này có nghiệm khác 0 được gọi là giá trị riêng ma trận MỘT, MỘT X vì λ như vậy được gọi là vectơ riêng ma trận MỘT.

Hãy tìm vectơ riêng của ma trận MỘT. Bởi vì E∙X = X, thì phương trình ma trận có thể được viết lại thành hoặc . Ở dạng mở rộng, phương trình này có thể được viết lại thành một hệ phương trình tuyến tính. Thật sự .

Và do đó

Như vậy, ta đã thu được hệ phương trình tuyến tính đồng nhất để xác định tọa độ x 1, x 2, x 3 vectơ X. Để một hệ có nghiệm khác 0 thì điều cần và đủ là định thức của hệ phải bằng 0, tức là

Đây là phương trình bậc 3 của λ. Nó được gọi là phương trình đặc trưng ma trận MỘT và dùng để xác định các giá trị riêng của λ.

Mỗi giá trị riêng λ tương ứng với một vectơ riêng X, có tọa độ được xác định từ hệ thống tại giá trị tương ứng là λ.

Ví dụ.

ĐẠI SỐ Vectơ. KHÁI NIỆM Vectơ

Khi nghiên cứu các ngành vật lý khác nhau, có những đại lượng được xác định hoàn toàn bằng cách chỉ định các giá trị số của chúng, ví dụ: chiều dài, diện tích, khối lượng, nhiệt độ, v.v. Những đại lượng như vậy được gọi là vô hướng. Tuy nhiên, ngoài chúng còn có những đại lượng, để xác định, ngoài trị số, còn cần biết hướng của chúng trong không gian, ví dụ như lực tác dụng lên vật, tốc độ và gia tốc của vật. cơ thể khi nó di chuyển trong không gian, cường độ từ trường tại một điểm nhất định trong không gian, v.v. Những đại lượng như vậy được gọi là đại lượng vectơ.

Hãy để chúng tôi giới thiệu một định nghĩa chặt chẽ.

Phân đoạn được định hướng Chúng ta hãy gọi một đoạn, so với các đầu của nó, người ta biết đoạn nào là đoạn đầu tiên và đoạn nào là đoạn thứ hai.

Vectơđược gọi là đoạn được định hướng có độ dài nhất định, tức là Đây là một đoạn có độ dài nhất định, trong đó một trong những điểm giới hạn nó được lấy làm điểm bắt đầu và điểm thứ hai là điểm kết thúc. Nếu như MỘT– phần đầu của vectơ, B tận cùng thì vectơ được ký hiệu bằng ký hiệu, ngoài ra vectơ thường được ký hiệu bằng một chữ cái duy nhất. Trong hình, vectơ được biểu thị bằng một đoạn và hướng của nó bằng một mũi tên.

mô-đun hoặc chiều dài Một vectơ được gọi là độ dài của đoạn có hướng xác định nó. Ký hiệu là || hoặc ||.

Chúng ta cũng sẽ bao gồm cái gọi là vectơ 0, có điểm đầu và cuối trùng nhau, dưới dạng vectơ. Nó được chỉ định. Vectơ 0 không có hướng cụ thể và mô đun của nó bằng 0 ||=0.

Vector được gọi là thẳng hàng, nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song. Hơn nữa, nếu các vectơ và cùng hướng thì ta sẽ viết , ngược lại.

Các vectơ nằm trên đường thẳng song song với cùng một mặt phẳng được gọi là đồng phẳng.

Hai vectơ đó được gọi là bình đẳng, nếu chúng thẳng hàng thì có cùng hướng và có độ dài bằng nhau. Trong trường hợp này họ viết .

Từ định nghĩa về sự bằng nhau của các vectơ, ta suy ra rằng một vectơ có thể được truyền song song với chính nó, đặt gốc tọa độ của nó tại bất kỳ điểm nào trong không gian.

Ví dụ.

HOẠT ĐỘNG TUYẾN TÍNH TRÊN Vectơ

1. Nhân một vectơ với một số.

   Tích của một vectơ và số λ là một vectơ mới sao cho:

   Tích của một vectơ và một số λ được ký hiệu là .

   

   Ví dụ, có một vectơ cùng hướng với vectơ và có chiều dài bằng một nửa vectơ.

   Hoạt động được giới thiệu có nội dung sau của cải:

2. Phép cộng vectơ.

   Cho và là hai vectơ tùy ý. Hãy lấy một điểm tùy ý ồ và xây dựng một vectơ. Sau đó từ điểm MỘT chúng ta hãy đặt vector sang một bên. Vectơ nối điểm đầu của vectơ thứ nhất với điểm cuối của vectơ thứ hai được gọi là số lượng của các vectơ này và được ký hiệu .

   

   Định nghĩa công thức của phép cộng vectơ được gọi là quy tắc hình bình hành, vì có thể thu được cùng một tổng vectơ như sau. Hãy hoãn lại từ điểm ồ vectơ và . Hãy dựng hình bình hành trên các vectơ này OABC. Vì vectơ, rồi vectơ, là đường chéo của hình bình hành vẽ từ đỉnh ồ, rõ ràng sẽ là tổng của các vectơ.

   

   Thật dễ dàng để kiểm tra những điều sau đây tính chất của phép cộng vectơ.

3. Sự khác biệt của vectơ.

   Một vectơ thẳng hàng với một vectơ cho trước, có độ dài bằng nhau và hướng ngược nhau, được gọi là đối diện vector cho một vectơ và được ký hiệu là . Vectơ ngược có thể được coi là kết quả của việc nhân vectơ với số λ = –1: .

Vector riêng của ma trận vuông là vector mà khi nhân với một ma trận đã cho sẽ thu được một vectơ cộng tuyến. Nói một cách đơn giản, khi một ma trận được nhân với một vectơ riêng, thì vectơ riêng vẫn giữ nguyên, nhưng được nhân với một số nhất định.

Sự định nghĩa

Vector riêng là một vectơ V khác 0, khi nhân với ma trận vuông M, bản thân nó sẽ tăng thêm một số λ. Trong ký hiệu đại số, nó trông giống như:

M × V = λ × V,

trong đó λ là giá trị riêng của ma trận M.

Hãy xem xét một ví dụ bằng số. Để dễ ghi chép, các số trong ma trận sẽ cách nhau bằng dấu chấm phẩy. Chúng ta hãy có một ma trận:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Hãy nhân nó với một vectơ cột:

• V = -2;

Khi nhân ma trận với vectơ cột, chúng ta cũng nhận được vectơ cột. Trong ngôn ngữ toán học chặt chẽ, công thức nhân ma trận 2 × 2 với vectơ cột sẽ như sau:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 là phần tử của ma trận M nằm ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên, còn M22 là phần tử nằm ở hàng thứ hai và cột thứ hai. Đối với ma trận của chúng ta, các phần tử này bằng M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Đối với vectơ cột, các giá trị này bằng V11 = –2, V21 = 1. Theo công thức này, ta thu được kết quả sau của tích ma trận vuông với một vectơ:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Để thuận tiện, hãy viết vectơ cột thành một hàng. Vì vậy, chúng ta nhân ma trận vuông với vectơ (-2; 1), thu được vectơ (4; -2). Rõ ràng, đây là cùng một vectơ nhân với λ = -2. Lambda trong trường hợp này biểu thị giá trị riêng của ma trận.

Vector riêng của ma trận là vectơ cộng tuyến, tức là vật không thay đổi vị trí trong không gian khi nhân với ma trận. Khái niệm cộng tuyến trong đại số vectơ cũng tương tự như khái niệm song song trong hình học. Theo cách giải thích hình học, các vectơ cộng tuyến là các đoạn có hướng song song có độ dài khác nhau. Kể từ thời Euclid, chúng ta đã biết rằng một đường thẳng có vô số đường thẳng song song với nó, do đó, thật hợp lý khi giả sử rằng mỗi ma trận có vô số vectơ riêng.

Từ ví dụ trước, rõ ràng các vectơ riêng có thể là (-8; 4) và (16; -8) và (32, -16). Đây đều là các vectơ cộng tuyến tương ứng với giá trị riêng λ = -2. Khi nhân ma trận gốc với các vectơ này, chúng ta vẫn sẽ thu được một vectơ khác vectơ ban đầu 2 lần. Đó là lý do vì sao khi giải bài toán tìm vectơ riêng chỉ cần tìm các đối tượng vectơ độc lập tuyến tính. Thông thường, đối với ma trận n × n, có n vectơ riêng. Máy tính của chúng tôi được thiết kế để phân tích ma trận vuông bậc hai, vì vậy hầu như kết quả luôn luôn tìm thấy hai vectơ riêng, ngoại trừ trường hợp chúng trùng nhau.

Trong ví dụ trên, chúng ta đã biết trước vectơ riêng của ma trận gốc và xác định rõ ràng số lambda. Tuy nhiên, trong thực tế, mọi thứ diễn ra theo chiều ngược lại: các giá trị riêng được tìm thấy trước tiên và chỉ sau đó mới đến các vectơ riêng.

Thuật toán giải

Chúng ta hãy nhìn lại ma trận M ban đầu và cố gắng tìm cả hai vectơ riêng của nó. Vì vậy, ma trận trông giống như:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Đầu tiên chúng ta cần xác định giá trị riêng λ, giá trị này yêu cầu tính định thức của ma trận sau:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Ma trận này thu được bằng cách trừ λ chưa biết khỏi các phần tử trên đường chéo chính. Định thức được xác định bằng công thức chuẩn:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Vì vectơ của chúng ta phải khác 0, nên chúng ta chấp nhận phương trình thu được là phụ thuộc tuyến tính và đánh đồng định thức detA bằng 0.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Hãy mở ngoặc và lấy phương trình đặc tính của ma trận:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Đây là một phương trình bậc hai tiêu chuẩn cần được giải bằng cách sử dụng phân biệt.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Căn nguyên của biệt thức là sqrt(D) = 14, do đó λ1 = -2, λ2 = 12. Bây giờ với mỗi giá trị lambda, chúng ta cần tìm vectơ riêng. Hãy biểu thị các hệ số của hệ thống cho λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Trong công thức này, E là ma trận nhận dạng. Dựa vào ma trận thu được, ta lập hệ phương trình tuyến tính:

2x + 4y = 6x + 12y,

trong đó x và y là các phần tử vectơ riêng.

Hãy thu thập tất cả chữ X ở bên trái và tất cả chữ Y ở bên phải. Hiển nhiên - 4x = 8y. Chia biểu thức cho - 4 và nhận được x = –2y. Bây giờ chúng ta có thể xác định vectơ riêng đầu tiên của ma trận, lấy bất kỳ giá trị nào của ẩn số (hãy nhớ vô số của vectơ riêng phụ thuộc tuyến tính). Giả sử y = 1 thì x = –2. Do đó, vectơ riêng thứ nhất có dạng V1 = (–2; 1). Quay lại phần đầu của bài viết. Chính đối tượng vectơ này mà chúng tôi đã nhân ma trận với nhau để thể hiện khái niệm vectơ riêng.

Bây giờ hãy tìm vector riêng cho λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Hãy tạo cùng một hệ phương trình tuyến tính;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Bây giờ chúng ta lấy x = 1, do đó y = 3. Do đó, vectơ riêng thứ hai có dạng V2 = (1; 3). Khi nhân ma trận ban đầu với một vectơ cho trước, kết quả sẽ luôn là vectơ đó nhân với 12. Đây là lúc thuật toán giải kết thúc. Bây giờ bạn đã biết cách xác định vectơ riêng của ma trận theo cách thủ công.

• bản ngã;
• dấu vết, tức là tổng các phần tử trên đường chéo chính;
• xếp hạng, nghĩa là số lượng hàng/cột độc lập tuyến tính tối đa.

Chương trình hoạt động theo thuật toán trên, rút ​​ngắn quá trình giải một cách tối đa. Điều quan trọng cần chỉ ra là trong chương trình lambda được ký hiệu bằng chữ cái “c”. Hãy xem xét một ví dụ bằng số.

Ví dụ về cách chương trình hoạt động

Hãy thử xác định các vectơ riêng của ma trận sau:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Hãy nhập các giá trị này vào các ô của máy tính và nhận được câu trả lời dưới dạng sau:

• Xếp hạng ma trận: 2;
• Định thức ma trận: 18;
• Dấu vết ma trận: 19;
• Tính vectơ riêng: c 2 − 19,00c + 18,00 (phương trình đặc tính);
• Tính toán vectơ riêng: 18 (giá trị lambda đầu tiên);
• Tính toán vectơ riêng: 1 (giá trị lambda thứ hai);
• Hệ phương trình vectơ 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Hệ phương trình vectơ 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Véc tơ riêng 1: (1; 1);
• Vectơ riêng 2: (-3,25; 1).

Như vậy, chúng ta thu được hai vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Phần kết luận

Đại số tuyến tính và hình học giải tích là những môn học tiêu chuẩn cho bất kỳ sinh viên kỹ thuật năm nhất nào. Số lượng lớn vectơ và ma trận thật đáng sợ và rất dễ mắc sai lầm trong những phép tính rườm rà như vậy. Chương trình của chúng tôi sẽ cho phép sinh viên kiểm tra các phép tính của mình hoặc tự động giải quyết vấn đề tìm vectơ riêng. Có các máy tính đại số tuyến tính khác trong danh mục của chúng tôi; hãy sử dụng chúng trong học tập hoặc công việc của bạn.

www.trang web cho phép bạn tìm thấy . Trang web thực hiện tính toán. Trong vài giây, máy chủ sẽ đưa ra giải pháp chính xác. Phương trình đặc tính của ma trận sẽ là một biểu thức đại số được tìm bằng cách sử dụng quy tắc tính định thức ma trận ma trận, trong khi dọc theo đường chéo chính sẽ có sự khác biệt về giá trị của các phần tử trên đường chéo và biến. Khi tính toán phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến, mỗi phần tử ma trận sẽ được nhân với các phần tử tương ứng khác ma trận. Tìm trong chế độ trực tuyến chỉ có thể cho hình vuông ma trận. Hoạt động tìm kiếm phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến quy về việc tính tổng đại số của tích các phần tử ma trận nhờ tìm được yếu tố quyết định ma trận, chỉ nhằm mục đích xác định phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến. Hoạt động này chiếm một vị trí đặc biệt trong lý thuyết ma trận, cho phép bạn tìm giá trị riêng và vectơ bằng cách sử dụng nghiệm. Nhiệm vụ tìm phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến bao gồm các yếu tố nhân ma trận tiếp theo là tính tổng các sản phẩm này theo một quy luật nhất định. www.trang web tìm thấy phương trình đặc trưng của ma trận kích thước nhất định trong chế độ trực tuyến. Phép tính phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến với kích thước của nó, đây là việc tìm một đa thức có các hệ số bằng số hoặc ký hiệu, được tìm theo quy tắc tính định thức ma trận- là tổng tích của các phần tử tương ứng ma trận, chỉ nhằm mục đích xác định phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến. Tìm đa thức theo biến của phương trình bậc hai ma trận, như một định nghĩa phương trình đặc trưng của ma trận, phổ biến trong lý thuyết ma trận. Ý nghĩa của nghiệm của đa thức phương trình đặc tính của ma trận trực tuyếnđược sử dụng để xác định vectơ riêng và giá trị riêng cho ma trận. Hơn nữa, nếu yếu tố quyết định ma trận sẽ bằng 0 thì phương trình đặc trưng của ma trận sẽ vẫn tồn tại, không giống như điều ngược lại ma trận. Để tính toán phương trình đặc trưng của ma trận hoặc tìm nhiều cùng một lúc phương trình đặc trưng của ma trận, bạn cần phải dành nhiều thời gian và công sức, trong khi máy chủ của chúng tôi sẽ tìm thấy chỉ trong vài giây phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến. Trong trường hợp này, câu trả lời cho việc tìm phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến sẽ chính xác và có đủ độ chính xác, ngay cả khi các con số khi tìm phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến sẽ là vô lý. Trên trang web www.trang web mục nhập ký tự được phép trong các phần tử ma trận, đó là phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến có thể được biểu diễn dưới dạng ký hiệu tổng quát khi tính toán phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến. Sẽ rất hữu ích khi kiểm tra câu trả lời thu được khi giải bài toán tìm phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến sử dụng trang web www.trang web. Khi thực hiện phép tính một đa thức - phương trình đặc trưng của ma trận, bạn cần phải cẩn thận và cực kỳ tập trung khi giải quyết vấn đề này. Đổi lại, trang web của chúng tôi sẽ giúp bạn kiểm tra quyết định của bạn về chủ đề này phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến. Nếu bạn không có thời gian để kiểm tra lâu dài các vấn đề đã được giải quyết thì www.trang web chắc chắn sẽ là công cụ thuận tiện cho việc kiểm tra khi tìm và tính toán phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến.