Phương pháp Gaussian là một công thức phổ quát. Đảo ngược phương pháp Gaussian

Cho hệ phương trình đại số tuyến tính cần giải (tìm các giá trị ẩn số xi để biến mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức).

Chúng ta biết rằng một hệ phương trình đại số tuyến tính có thể:

1) Không có giải pháp (được không khớp).
2) Có vô số nghiệm.
3) Có một giải pháp duy nhất.

Như chúng ta đã nhớ, quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm nghiệm cho bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, cái mà trong mọi trường hợp sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Bản thân thuật toán của phương pháp hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến ​​thức về định thức, thì để áp dụng phương pháp Gauss, bạn chỉ cần kiến ​​thức về các phép tính số học, điều này khiến ngay cả học sinh tiểu học cũng có thể tiếp cận được.

Các phép biến đổi ma trận tăng cường ( đây là ma trận của hệ thống - một ma trận chỉ bao gồm các hệ số của ẩn số, cộng với một cột các thuật ngữ tự do) hệ phương trình đại số tuyến tính trong phương pháp Gauss:

1) Với troki ma trận Có thể sắp xếp lạiở một số nơi.

2) nếu các hàng tỷ lệ (trong trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) xuất hiện (hoặc tồn tại) trong ma trận, thì bạn nên xóa bỏ từ ma trận tất cả các hàng này ngoại trừ một hàng.

3) nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ.

4) một hàng của ma trận có thể nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác 0.

5) vào một hàng của ma trận bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0.

Trong phương pháp Gauss, các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình.

Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn:

1. “Di chuyển trực tiếp” - sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính về dạng bước “tam giác”: các phần tử của ma trận mở rộng nằm dưới đường chéo chính bằng 0 (di chuyển từ trên xuống). Ví dụ: với loại này:

Để thực hiện việc này, hãy thực hiện các bước sau:

1) Xét phương trình thứ nhất của hệ phương trình đại số tuyến tính và hệ số của x 1 bằng K. Phương trình thứ hai, thứ ba, v.v. chúng ta biến đổi các phương trình như sau: chúng ta chia mỗi phương trình (các hệ số của ẩn số, bao gồm cả số hạng tự do) cho hệ số của ẩn số x 1 trong mỗi phương trình và nhân với K. Sau đó, chúng ta trừ đi phương trình thứ nhất từ ​​phương trình thứ hai ( hệ số ẩn số và số hạng tự do). Đối với x 1 trong phương trình thứ hai, chúng ta thu được hệ số 0. Từ phương trình biến đổi thứ ba, chúng ta trừ phương trình thứ nhất cho đến khi tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình thứ nhất, đối với x 1 chưa biết, có hệ số 0.

2) Hãy chuyển sang phương trình tiếp theo. Gọi đây là phương trình thứ hai và hệ số của x 2 bằng M. Chúng ta tiến hành với tất cả các phương trình “thấp hơn” như mô tả ở trên. Do đó, “dưới” ẩn số x 2 sẽ có số 0 trong mọi phương trình.

3) Chuyển sang phương trình tiếp theo, v.v. cho đến phương trình cuối cùng chưa biết và số hạng tự do đã biến đổi vẫn còn.

1. “Bước đi ngược lại” của phương pháp Gauss là thu được nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (bước đi “từ dưới lên”). Từ phương trình “thấp hơn” cuối cùng, chúng ta thu được một nghiệm đầu tiên - ẩn số x n. Để làm điều này, chúng ta giải phương trình cơ bản A * x n = B. Trong ví dụ đã cho ở trên, x 3 = 4. Chúng ta thay giá trị tìm được vào phương trình tiếp theo “trên” và giải nó theo ẩn số tiếp theo. Ví dụ: x 2 – 4 = 1, tức là x 2 = 5. Cứ như vậy cho đến khi tìm được tất cả những ẩn số.

Ví dụ.

Hãy giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, như một số tác giả khuyên:

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Làm thôi nào:
1 bước . Dòng đầu tiên chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –1. Nghĩa là, chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một hành động bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).

Bước 2 . Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ ba.

Bước 3 . Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Ký hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, để ở “bước” thứ hai chúng ta có đơn vị cần thiết.

Bước 4 . Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với 2.

Bước 5 . Dòng thứ ba được chia cho 3.

Dấu hiệu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó giống như (0 0 11 |23) bên dưới và theo đó, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, thì với khả năng cao là chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình học tiểu học. những biến đổi.

Hãy làm ngược lại, khi thiết kế các ví dụ, bản thân hệ thống thường không được viết lại mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn rằng động thái ngược lại được thực hiện từ dưới lên. Trong ví dụ này, kết quả là một món quà:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, do đó x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Trả lời:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Hãy giải quyết hệ thống tương tự bằng thuật toán được đề xuất. Chúng tôi nhận được

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Chia phương trình thứ hai cho 5 và phương trình thứ ba cho 3. Chúng ta nhận được:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Nhân phương trình thứ hai và thứ ba với 4, ta được:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai và thứ ba, ta có:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Chia phương trình thứ ba cho 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Nhân phương trình thứ ba với 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ ba, chúng ta thu được ma trận mở rộng “bậc thang”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Do đó, do sai số tích lũy trong quá trình tính toán nên chúng ta thu được x 3 = 0,96 hoặc xấp xỉ 1.

x 2 = 3 và x 1 = –1.

Bằng cách giải theo cách này, bạn sẽ không bao giờ bị nhầm lẫn trong các phép tính và dù có sai số tính toán nhưng bạn sẽ nhận được kết quả.

Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính này dễ lập trình và không tính đến đặc điểm cụ thể của các hệ số đối với ẩn số, vì trong thực tế (trong tính toán kinh tế và kỹ thuật) người ta phải xử lý các hệ số không nguyên.

Chúc các bạn thành công! Hẹn gặp bạn ở lớp! Gia sư Dmitry Aystrakhanov.

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.

Cho hệ phương trình đại số tuyến tính cần giải (tìm các giá trị ẩn số xi để biến mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức).

Chúng ta biết rằng một hệ phương trình đại số tuyến tính có thể:

1) Không có giải pháp (được không khớp).
2) Có vô số nghiệm.
3) Có một giải pháp duy nhất.

Như chúng ta đã nhớ, quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm nghiệm cho bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, cái mà trong mọi trường hợp sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Bản thân thuật toán của phương pháp hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến ​​thức về định thức, thì để áp dụng phương pháp Gauss, bạn chỉ cần kiến ​​thức về các phép tính số học, điều này khiến ngay cả học sinh tiểu học cũng có thể tiếp cận được.

Các phép biến đổi ma trận tăng cường ( đây là ma trận của hệ thống - một ma trận chỉ bao gồm các hệ số của ẩn số, cộng với một cột các thuật ngữ tự do) hệ phương trình đại số tuyến tính trong phương pháp Gauss:

1) Với troki ma trận Có thể sắp xếp lạiở một số nơi.

2) nếu các hàng tỷ lệ (trong trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) xuất hiện (hoặc tồn tại) trong ma trận, thì bạn nên xóa bỏ từ ma trận tất cả các hàng này ngoại trừ một hàng.

3) nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ.

4) một hàng của ma trận có thể nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác 0.

5) vào một hàng của ma trận bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0.

Trong phương pháp Gauss, các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình.

Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn:

1. “Di chuyển trực tiếp” - sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính về dạng bước “tam giác”: các phần tử của ma trận mở rộng nằm dưới đường chéo chính bằng 0 (di chuyển từ trên xuống). Ví dụ: với loại này:

Để thực hiện việc này, hãy thực hiện các bước sau:

1) Xét phương trình thứ nhất của hệ phương trình đại số tuyến tính và hệ số của x 1 bằng K. Phương trình thứ hai, thứ ba, v.v. chúng ta biến đổi các phương trình như sau: chúng ta chia mỗi phương trình (các hệ số của ẩn số, bao gồm cả số hạng tự do) cho hệ số của ẩn số x 1 trong mỗi phương trình và nhân với K. Sau đó, chúng ta trừ đi phương trình thứ nhất từ ​​phương trình thứ hai ( hệ số ẩn số và số hạng tự do). Đối với x 1 trong phương trình thứ hai, chúng ta thu được hệ số 0. Từ phương trình biến đổi thứ ba, chúng ta trừ phương trình thứ nhất cho đến khi tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình thứ nhất, đối với x 1 chưa biết, có hệ số 0.

2) Hãy chuyển sang phương trình tiếp theo. Gọi đây là phương trình thứ hai và hệ số của x 2 bằng M. Chúng ta tiến hành với tất cả các phương trình “thấp hơn” như mô tả ở trên. Do đó, “dưới” ẩn số x 2 sẽ có số 0 trong mọi phương trình.

3) Chuyển sang phương trình tiếp theo, v.v. cho đến phương trình cuối cùng chưa biết và số hạng tự do đã biến đổi vẫn còn.

1. “Bước đi ngược lại” của phương pháp Gauss là thu được nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (bước đi “từ dưới lên”). Từ phương trình “thấp hơn” cuối cùng, chúng ta thu được một nghiệm đầu tiên - ẩn số x n. Để làm điều này, chúng ta giải phương trình cơ bản A * x n = B. Trong ví dụ đã cho ở trên, x 3 = 4. Chúng ta thay giá trị tìm được vào phương trình tiếp theo “trên” và giải nó theo ẩn số tiếp theo. Ví dụ: x 2 – 4 = 1, tức là x 2 = 5. Cứ như vậy cho đến khi tìm được tất cả những ẩn số.

Ví dụ.

Hãy giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, như một số tác giả khuyên:

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Làm thôi nào:
1 bước . Dòng đầu tiên chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –1. Nghĩa là, chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một hành động bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).

Bước 2 . Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ ba.

Bước 3 . Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Ký hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, để ở “bước” thứ hai chúng ta có đơn vị cần thiết.

Bước 4 . Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với 2.

Bước 5 . Dòng thứ ba được chia cho 3.

Dấu hiệu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó giống như (0 0 11 |23) bên dưới và theo đó, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, thì với khả năng cao là chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình học tiểu học. những biến đổi.

Hãy làm ngược lại, khi thiết kế các ví dụ, bản thân hệ thống thường không được viết lại mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn rằng động thái ngược lại được thực hiện từ dưới lên. Trong ví dụ này, kết quả là một món quà:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, do đó x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Trả lời:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Hãy giải quyết hệ thống tương tự bằng thuật toán được đề xuất. Chúng tôi nhận được

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Chia phương trình thứ hai cho 5 và phương trình thứ ba cho 3. Chúng ta nhận được:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Nhân phương trình thứ hai và thứ ba với 4, ta được:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai và thứ ba, ta có:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Chia phương trình thứ ba cho 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Nhân phương trình thứ ba với 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ ba, chúng ta thu được ma trận mở rộng “bậc thang”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Do đó, do sai số tích lũy trong quá trình tính toán nên chúng ta thu được x 3 = 0,96 hoặc xấp xỉ 1.

x 2 = 3 và x 1 = –1.

Bằng cách giải theo cách này, bạn sẽ không bao giờ bị nhầm lẫn trong các phép tính và dù có sai số tính toán nhưng bạn sẽ nhận được kết quả.

Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính này dễ lập trình và không tính đến đặc điểm cụ thể của các hệ số đối với ẩn số, vì trong thực tế (trong tính toán kinh tế và kỹ thuật) người ta phải xử lý các hệ số không nguyên.

Chúc các bạn thành công! Hẹn gặp bạn ở lớp! Gia sư.

blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.

Định nghĩa và mô tả phương pháp Gaussian

Phương pháp biến đổi Gaussian (còn gọi là phương pháp loại tuần tự các biến chưa biết khỏi phương trình hoặc ma trận) để giải hệ phương trình tuyến tính là một phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình đại số (SLAE). Phương pháp cổ điển này cũng được sử dụng để giải các bài toán như lấy ma trận nghịch đảo và xác định hạng của ma trận.

Phép biến đổi bằng phương pháp Gaussian bao gồm thực hiện các thay đổi tuần tự nhỏ (cơ bản) đối với hệ phương trình đại số tuyến tính, dẫn đến việc loại bỏ các biến từ trên xuống dưới và hình thành một hệ phương trình tam giác mới tương đương với phương trình ban đầu một.

Định nghĩa 1

Phần này của lời giải được gọi là lời giải Gaussian chuyển tiếp, vì toàn bộ quá trình được thực hiện từ trên xuống dưới.

Sau khi rút gọn hệ phương trình ban đầu thành hệ phương trình tam giác, tất cả các biến của hệ được tìm từ dưới lên trên (nghĩa là các biến đầu tiên tìm được nằm chính xác ở dòng cuối cùng của hệ hoặc ma trận). Phần này của nghiệm còn được gọi là nghịch đảo của nghiệm Gaussian. Thuật toán của ông như sau: đầu tiên, các biến gần đáy của hệ phương trình hoặc ma trận được tính toán, sau đó các giá trị kết quả được thay thế cao hơn và do đó một biến khác được tìm thấy, v.v.

Mô tả thuật toán phương pháp Gaussian

Trình tự các hành động để giải tổng quát hệ phương trình sử dụng phương pháp Gaussian bao gồm việc áp dụng luân phiên các nét tiến và nét lùi vào ma trận dựa trên SLAE. Cho hệ phương trình ban đầu có dạng:

$\begin(case) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(case)$

Để giải SLAE bằng phương pháp Gaussian, cần viết hệ phương trình gốc dưới dạng ma trận:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Ma trận $A$ được gọi là ma trận chính và biểu thị các hệ số của các biến được viết theo thứ tự và $b$ được gọi là cột các số hạng tự do của nó. Ma trận $A$, được viết thông qua một thanh có cột các số hạng tự do, được gọi là ma trận mở rộng:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Bây giờ cần phải sử dụng các phép biến đổi cơ bản trên hệ phương trình (hoặc trên ma trận, vì cách này thuận tiện hơn) để đưa nó về dạng sau:

$\begin(case) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(case)$ (1)

Ma trận thu được từ các hệ số của hệ biến đổi của phương trình (1) được gọi là ma trận bước; ma trận bước thường có dạng như sau:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Các ma trận này được đặc trưng bởi tập hợp các thuộc tính sau:

1. Tất cả các dòng 0 của nó đều nằm sau các dòng khác 0
2. Nếu một hàng nào đó của ma trận có số $k$ khác 0 thì hàng trước của cùng ma trận đó có ít số 0 hơn hàng có số $k$ này.

Sau khi thu được ma trận bước, cần thay các biến kết quả vào các phương trình còn lại (bắt đầu từ cuối) và thu được các giá trị còn lại của các biến.

Các quy tắc cơ bản và các phép biến đổi được phép khi sử dụng phương pháp Gauss

Khi đơn giản hóa ma trận hoặc hệ phương trình bằng phương pháp này, bạn chỉ cần sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Các phép biến đổi như vậy được coi là các phép toán có thể áp dụng cho ma trận hoặc hệ phương trình mà không làm thay đổi ý nghĩa của nó:

• sắp xếp lại một số dòng,
• cộng hoặc trừ từ một hàng của ma trận một hàng khác từ nó,
• nhân hoặc chia một chuỗi cho một hằng số khác 0,
• một dòng chỉ gồm các số 0, thu được trong quá trình tính toán và đơn giản hóa hệ thống, phải bị xóa,
• Bạn cũng cần loại bỏ các đường tỷ lệ không cần thiết, chọn cho hệ thống đường duy nhất có hệ số phù hợp và thuận tiện hơn cho các phép tính tiếp theo.

Tất cả các phép biến đổi cơ bản đều có thể đảo ngược.

Phân tích ba trường hợp chính phát sinh khi giải phương trình tuyến tính bằng phương pháp biến đổi Gauss đơn giản

Có ba trường hợp phát sinh khi sử dụng phương pháp Gaussian để giải hệ:

1. Khi một hệ thống không nhất quán, nghĩa là nó không có giải pháp nào
2. Hệ phương trình có nghiệm và duy nhất, số hàng và cột khác 0 trong ma trận bằng nhau.
3. Hệ thống có một số hoặc tập hợp các giải pháp khả thi nhất định và số hàng trong đó ít hơn số cột.

Kết quả của một giải pháp với một hệ thống không nhất quán

Đối với tùy chọn này, khi giải phương trình ma trận bằng phương pháp Gaussian, thông thường sẽ thu được một số dòng không thể thực hiện được đẳng thức. Do đó, nếu xảy ra ít nhất một đẳng thức sai thì hệ kết quả và hệ ban đầu không có nghiệm, bất kể chúng chứa các phương trình khác. Một ví dụ về ma trận không nhất quán:

$\begin(mảng)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Ở dòng cuối cùng, một sự bình đẳng không thể xảy ra đã nảy sinh: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất

Các hệ thống này, sau khi được rút gọn thành ma trận bước và loại bỏ các hàng có số 0, sẽ có cùng số hàng và số cột trong ma trận chính. Đây là ví dụ đơn giản nhất của một hệ thống như vậy:

$\begin(case) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(case)$

Hãy viết nó dưới dạng ma trận:

$\begin(mảng)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(mảng)$

Để đưa ô đầu tiên của hàng thứ hai về 0, chúng ta nhân hàng trên cùng với $-2$ và trừ nó khỏi hàng dưới cùng của ma trận, rồi để hàng trên cùng ở dạng ban đầu, kết quả là chúng ta có kết quả sau :

$\begin(mảng)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(mảng)$

Ví dụ này có thể được viết dưới dạng một hệ thống:

$\begin(case) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(case)$

Phương trình dưới mang lại giá trị sau cho $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Thay giá trị này vào phương trình trên: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, ta được $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Một hệ thống có nhiều giải pháp khả thi

Hệ thống này được đặc trưng bởi số lượng hàng quan trọng nhỏ hơn số lượng cột trong đó (các hàng của ma trận chính được tính đến).

Các biến trong hệ thống như vậy được chia thành hai loại: cơ bản và miễn phí. Khi chuyển đổi một hệ thống như vậy, các biến chính chứa trong nó phải được để ở vùng bên trái cho đến dấu “=”, và các biến còn lại phải được chuyển sang vế phải của đẳng thức.

Một hệ thống như vậy chỉ có một giải pháp chung nhất định.

Hãy phân tích hệ phương trình sau:

$\begin(case) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(case)$

Hãy viết nó dưới dạng ma trận:

$\begin(mảng)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(mảng)$

Nhiệm vụ của chúng ta là tìm ra giải pháp chung cho hệ thống. Đối với ma trận này, các biến cơ sở sẽ là $y_1$ và $y_3$ (đối với $y_1$ - vì nó đứng đầu và trong trường hợp $y_3$ - nó nằm sau các số 0).

Là các biến cơ sở, chúng tôi chọn chính xác những biến đầu tiên trong hàng và không bằng 0.

Các biến còn lại được gọi là tự do, chúng ta cần biểu diễn những biến cơ bản thông qua chúng.

Bằng cách sử dụng cái gọi là hành trình ngược, chúng ta phân tích hệ thống từ dưới lên trên; để làm điều này, trước tiên chúng ta biểu thị $y_3$ từ dòng dưới cùng của hệ thống:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Bây giờ chúng ta thay $y_3$ đã biểu diễn vào phương trình trên của hệ $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Chúng ta biểu diễn $y_1$ dưới dạng các biến tự do $y_2$ và $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Giải pháp đã sẵn sàng.

ví dụ 1

Giải bài toán bằng phương pháp Gaussian. Ví dụ. Ví dụ giải hệ phương trình tuyến tính ma trận 3 nhân 3 bằng phương pháp Gaussian

$\begin(case) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(case)$

Hãy viết hệ thống của chúng tôi dưới dạng ma trận mở rộng:

$\begin(mảng)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Bây giờ, để thuận tiện và thiết thực, bạn cần biến đổi ma trận sao cho $1$ nằm ở góc trên của cột ngoài cùng.

Để làm điều này, ở dòng đầu tiên, bạn cần thêm dòng từ giữa, nhân với $-1$ và viết chính dòng ở giữa, hóa ra:

$\begin(mảng)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(mảng)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(mảng) $

Nhân dòng trên cùng và dòng cuối cùng với $-1$, đồng thời hoán đổi dòng cuối cùng và dòng giữa:

$\begin(mảng)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(mảng)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Và chia dòng cuối cùng cho $3$:

$\begin(mảng)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Ta thu được hệ phương trình sau, tương đương với hệ phương trình ban đầu:

$\begin(case) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(case)$

Từ phương trình trên chúng ta biểu thị $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Ví dụ 2

Một ví dụ về giải hệ thống được xác định bằng ma trận 4 x 4 bằng phương pháp Gaussian

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Lúc đầu, chúng tôi hoán đổi các dòng trên cùng theo sau nó để nhận được $1$ ở góc trên bên trái:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Bây giờ nhân dòng trên cùng với $-2$ và cộng vào dòng thứ 2 và thứ 3. Đến dòng thứ 4, chúng ta thêm dòng đầu tiên, nhân với $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Bây giờ đối với dòng số 3, chúng tôi thêm dòng 2 nhân với $4$ và với dòng 4, chúng tôi thêm dòng 2 nhân với $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Chúng tôi nhân dòng 2 với $-1$ và chia dòng 4 cho $3$ và thay thế dòng 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(mảng)$

Bây giờ chúng ta thêm vào dòng cuối cùng dòng áp chót, nhân với $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(mảng)$

Ta giải hệ phương trình thu được:

$\begin(case) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(case)$

1. Hệ phương trình đại số tuyến tính

1.1 Khái niệm hệ phương trình đại số tuyến tính

Hệ phương trình là một điều kiện bao gồm việc thực hiện đồng thời một số phương trình đối với một số biến. Hệ phương trình đại số tuyến tính (sau đây gọi tắt là SLAE) chứa m phương trình và n ẩn số được gọi là hệ có dạng:

trong đó số a ij được gọi là hệ số hệ thống, số b i được gọi là số hạng tự do, một ij Và tôi(i=1,…, m; b=1,…, n) biểu thị một số số đã biết và x 1,…,xn- không xác định. Trong việc chỉ định các hệ số một ij chỉ số đầu tiên i biểu thị số của phương trình và chỉ số thứ hai j là số chưa biết mà hệ số này đứng ở đó. Các số x n phải được tìm thấy. Thật thuận tiện khi viết một hệ thống như vậy dưới dạng ma trận thu gọn: AX=B.Ở đây A là ma trận hệ số của hệ, gọi là ma trận chính;

Tích của ma trận A*X được xác định, vì có số cột trong ma trận A bằng số hàng trong ma trận X (n phần).

Ma trận mở rộng của một hệ là ma trận A của hệ được bổ sung bởi cột các số hạng tự do

1.2 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Lời giải của hệ phương trình là một tập hợp số có thứ tự (giá trị của các biến), khi thay thế các biến thì mỗi phương trình của hệ trở thành một đẳng thức đúng.

Nghiệm của một hệ là n giá trị của các ẩn số x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, khi thay thế tất cả các phương trình của hệ sẽ trở thành đẳng thức thực. Mọi nghiệm của hệ đều có thể viết dưới dạng ma trận cột

Một hệ phương trình được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một nghiệm và không nhất quán nếu nó không có nghiệm nào.

Một hệ thống nhất quán được gọi là xác định nếu nó có một nghiệm duy nhất và không xác định nếu nó có nhiều hơn một nghiệm. Trong trường hợp sau, mỗi nghiệm của nó được gọi là một nghiệm riêng của hệ. Tập hợp tất cả các nghiệm cụ thể được gọi là nghiệm tổng quát.

Giải một hệ thống có nghĩa là tìm ra xem nó tương thích hay không nhất quán. Nếu hệ thống nhất quán, hãy tìm giải pháp chung của nó.

Hai hệ được gọi là tương đương (tương đương) nếu chúng có nghiệm tổng quát giống nhau. Nói cách khác, các hệ thống là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngược lại.

Một phép biến đổi, ứng dụng biến một hệ thống thành một hệ thống mới tương đương với hệ thống ban đầu, được gọi là một phép biến đổi tương đương hoặc tương đương. Ví dụ về các phép biến đổi tương đương bao gồm các phép biến đổi sau: hoán đổi hai phương trình của một hệ, hoán đổi hai ẩn số cùng với các hệ số của tất cả các phương trình, nhân cả hai vế của bất kỳ phương trình nào của hệ với một số khác 0.

Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là đồng nhất nếu tất cả các số hạng tự do đều bằng 0:

Một hệ thống đồng nhất luôn nhất quán, vì x1=x2=x3=…=xn=0 là một nghiệm của hệ thống. Giải pháp này được gọi là không hoặc tầm thường.

2. Phương pháp loại bỏ Gaussian

2.1 Bản chất của phương pháp khử Gaussian

Phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình đại số tuyến tính là phương pháp loại trừ tuần tự các ẩn số - phương pháp Gaussian(nó còn được gọi là phương pháp loại bỏ Gaussian). Đây là một phương pháp loại bỏ tuần tự các biến, khi sử dụng các phép biến đổi cơ bản, một hệ phương trình được rút gọn thành một hệ tương đương có dạng bước (hoặc tam giác), từ đó tất cả các biến khác được tìm thấy một cách tuần tự, bắt đầu từ biến cuối cùng (bằng số) biến.

Quá trình giải bằng phương pháp Gaussian bao gồm hai giai đoạn: di chuyển tiến và lùi.

1. Đột quỵ trực tiếp.

Ở giai đoạn đầu tiên, cái gọi là di chuyển trực tiếp được thực hiện khi, thông qua các phép biến đổi cơ bản trên các hàng, hệ thống được đưa về dạng bậc thang hoặc hình tam giác hoặc được xác định rằng hệ thống không tương thích. Cụ thể, trong số các phần tử của cột đầu tiên của ma trận, chọn một phần tử khác 0, di chuyển nó lên vị trí trên cùng bằng cách sắp xếp lại các hàng và trừ đi hàng đầu tiên thu được từ các hàng còn lại sau khi sắp xếp lại, nhân nó với một giá trị bằng tỷ lệ giữa phần tử đầu tiên của mỗi hàng này với phần tử đầu tiên của hàng đầu tiên, do đó bằng 0 cho cột bên dưới nó.

Sau khi các phép biến đổi này hoàn thành, hàng đầu tiên và cột đầu tiên sẽ được gạch bỏ và tiếp tục cho đến khi vẫn còn ma trận có kích thước bằng 0. Nếu tại bất kỳ lần lặp nào không có phần tử nào khác 0 trong số các phần tử của cột đầu tiên thì hãy chuyển sang cột tiếp theo và thực hiện thao tác tương tự.

Ở giai đoạn đầu tiên (hành trình trực tiếp), hệ thống được chuyển sang dạng bậc thang (đặc biệt là hình tam giác).

Hệ thống dưới đây có dạng từng bước:

Các hệ số aii được gọi là thành phần chính (dẫn đầu) của hệ thống.

Hãy biến đổi hệ thống bằng cách loại bỏ x1 chưa biết trong tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên (sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hệ thống). Để làm điều này, nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với

Tiếp tục quá trình này ta thu được hệ tương đương:

Như vậy, ở bước đầu tiên, tất cả các hệ số nằm dưới phần tử đầu tiên a 11 đều bị loại bỏ.

Nếu, trong quá trình giảm hệ thống về dạng từng bước, xuất hiện các phương trình bằng 0, tức là. các đẳng thức có dạng 0=0 thì chúng bị loại bỏ. Nếu xuất hiện một phương trình có dạng

Đây là nơi kết thúc quá trình phát triển trực tiếp của phương pháp Gauss.

2. Hành trình ngược.

Ở giai đoạn thứ hai, cái gọi là chuyển động ngược được thực hiện, bản chất của nó là thể hiện tất cả các biến cơ bản thu được dưới dạng các biến không cơ bản và xây dựng một hệ thống giải pháp cơ bản, hoặc, nếu tất cả các biến đều cơ bản , sau đó biểu thị bằng số nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính.

Quy trình này bắt đầu với phương trình cuối cùng, từ đó biểu thị biến cơ bản tương ứng (chỉ có một biến trong đó) và thay thế vào các phương trình trước đó, v.v., đi lên “các bước”.

Mỗi dòng tương ứng với chính xác một biến cơ sở, vì vậy tại mỗi bước ngoại trừ bước cuối cùng (trên cùng), tình huống lặp lại chính xác trường hợp của dòng cuối cùng.

Lưu ý: trong thực tế, sẽ thuận tiện hơn khi làm việc không phải với hệ thống mà với ma trận mở rộng của nó, thực hiện tất cả các phép biến đổi cơ bản trên các hàng của nó. Thuận tiện nhất là hệ số a11 bằng 1 (sắp xếp lại các phương trình, hoặc chia cả hai vế của phương trình cho a11).

2.2 Ví dụ giải SLAE bằng phương pháp Gaussian

Trong phần này, sử dụng ba ví dụ khác nhau, chúng tôi sẽ chỉ ra cách phương pháp Gaussian có thể giải quyết SLAE.

Ví dụ 1. Giải SLAE bậc 3.

Hãy thiết lập lại các hệ số tại

Trong bài viết này, phương pháp này được coi là phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính (SLAEs). Phương pháp này mang tính phân tích, nghĩa là nó cho phép bạn viết thuật toán giải ở dạng tổng quát, sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những phương trình có vô số nghiệm. Hoặc họ không có nó chút nào.

Việc giải quyết bằng phương pháp Gaussian có ý nghĩa gì?

Đầu tiên, chúng ta cần viết hệ phương trình của mình dưới dạng Nó trông như thế này. Lấy hệ thống:

Các hệ số được viết dưới dạng bảng và các thuật ngữ tự do được viết trong một cột riêng bên phải. Cột có các thuật ngữ tự do được tách ra để thuận tiện, ma trận chứa cột này được gọi là mở rộng.

Tiếp theo, ma trận chính với các hệ số phải được rút gọn về dạng tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông sao cho phần dưới bên trái của nó chỉ chứa các số 0:

Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng hàng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các nghiệm, sau đó được thay thế vào phương trình trên, một nghiệm khác sẽ được tìm thấy, v.v.

Đây là mô tả lời giải bằng phương pháp Gaussian một cách tổng quát nhất. Điều gì xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có lời giải? Hoặc có vô số trong số họ? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng để giải phương pháp Gaussian.

Ma trận, tính chất của chúng

Không có ý nghĩa ẩn trong ma trận. Đây chỉ đơn giản là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động tiếp theo với nó. Ngay cả học sinh cũng không cần phải sợ chúng.

Ma trận luôn có hình chữ nhật, vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mọi thứ đều bắt nguồn từ việc xây dựng một ma trận có dạng tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ có số 0 ở nơi không có số. Số không có thể không được viết ra, nhưng chúng được ngụ ý.

Ma trận có kích thước. “Chiều rộng” của nó là số hàng (m), “chiều dài” là số cột (n). Khi đó kích thước của ma trận A (chữ Latin viết hoa thường được dùng để biểu thị chúng) sẽ được ký hiệu là A m×n. Nếu m=n thì ma trận này là hình vuông và m=n là thứ tự của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A đều có thể được ký hiệu bằng số hàng và số cột: a xy ; x - số hàng, thay đổi, y - số cột, thay đổi.

B không phải là điểm chính của quyết định. Về nguyên tắc, tất cả các thao tác có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, nhưng ký hiệu sẽ cồng kềnh hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều.

Bản ngã

Ma trận cũng có định thức. Đây là một đặc điểm rất quan trọng. Bây giờ không cần phải tìm hiểu ý nghĩa của nó; bạn có thể chỉ cần chỉ ra cách tính nó và sau đó cho biết nó xác định những thuộc tính nào của ma trận. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử đó được nhân lên và sau đó cộng các sản phẩm thu được: các đường chéo có độ dốc về bên phải - bằng dấu cộng, có độ dốc về bên trái - bằng dấu trừ.

Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho ma trận vuông. Đối với ma trận hình chữ nhật, bạn có thể làm như sau: chọn giá trị nhỏ nhất từ ​​số hàng và số cột (đặt là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử tại giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo thành một ma trận vuông mới. Nếu định thức của ma trận như vậy là số khác 0 thì gọi là ma trận cơ sở nhỏ của ma trận chữ nhật ban đầu.

Trước khi bạn bắt đầu giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaussian, việc tính định thức sẽ không có hại gì. Nếu nó bằng 0 thì chúng ta có thể nói ngay rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.

Phân loại hệ thống

Có một thứ gọi là thứ hạng của một ma trận. Đây là bậc tối đa của định thức khác 0 của nó (nếu nhớ về cơ sở thứ, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là bậc của cơ sở thứ).

Dựa vào tình hình cấp bậc, SLAE có thể được chia thành:

• Chung. bạn Trong các hệ khớp, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (có cột các số hạng tự do). Các hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một giải pháp, do đó, các hệ thống chung được chia thành:
• - chắc chắn- có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, thứ hạng của ma trận và số ẩn số (hoặc số cột giống nhau) bằng nhau;
• - không xác định - với vô số giải pháp. Thứ hạng của ma trận trong các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
• Không tương thích. bạn Trong các hệ thống như vậy, thứ hạng của ma trận chính và ma trận mở rộng không trùng nhau. Hệ thống không tương thích không có giải pháp.

Phương pháp Gauss là tốt vì trong quá trình giải, nó cho phép người ta thu được một bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (không tính định thức của ma trận lớn) hoặc một giải pháp ở dạng tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm.

Các phép biến đổi cơ bản

Trước khi trực tiếp giải hệ, bạn có thể làm cho nó bớt cồng kềnh và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua các phép biến đổi cơ bản - sao cho việc thực hiện chúng không làm thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản đã cho chỉ có giá trị đối với ma trận có nguồn gốc là SLAE. Dưới đây là danh sách các chuyển đổi này:

1. Sắp xếp lại các dòng. Rõ ràng, nếu bạn thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, điều này sẽ không ảnh hưởng gì đến lời giải. Do đó, các hàng trong ma trận của hệ thống này cũng có thể được hoán đổi, tất nhiên không quên cột các số hạng tự do.
2. Nhân tất cả các phần tử của chuỗi với một hệ số nhất định. Rất hữu ích! Nó có thể được sử dụng để giảm số lượng lớn trong ma trận hoặc loại bỏ số không. Nhiều quyết định, như thường lệ, sẽ không thay đổi, nhưng các hoạt động tiếp theo sẽ trở nên thuận tiện hơn. Điều chính là hệ số không bằng 0.
3. Loại bỏ các hàng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong một ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân/chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc, một lần nữa, nhiều hơn) các hàng hoàn toàn giống nhau và các hàng thừa có thể bị loại bỏ, để lại chỉ một.
4. Xóa một dòng null. Nếu trong quá trình chuyển đổi, một hàng thu được ở đâu đó trong đó tất cả các phần tử, kể cả thành viên tự do, đều bằng 0, thì hàng đó có thể được gọi là 0 và bị loại khỏi ma trận.
5. Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (trong các cột tương ứng), nhân với một hệ số nhất định. Sự chuyển đổi không rõ ràng nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó đáng để xem xét nó chi tiết hơn.

Thêm một chuỗi nhân với một hệ số

Để dễ hiểu, cần chia nhỏ quá trình này ra từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Giả sử bạn cần cộng số thứ nhất với số thứ hai, nhân với hệ số "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Sau đó, hàng thứ hai trong ma trận được thay thế bằng hàng mới và hàng đầu tiên không thay đổi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách sao cho khi cộng hai hàng, một trong các phần tử của hàng mới bằng 0. Do đó, có thể thu được một phương trình trong một hệ trong đó sẽ có ít phương trình chưa biết hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì thao tác có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình chứa ít hơn hai ẩn số. Và nếu mỗi lần bạn biến một hệ số của tất cả các hàng nằm dưới hàng ban đầu thành 0, thì bạn có thể, giống như cầu thang, đi xuống cuối ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Điều này được gọi là giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.

Nói chung

Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó như sau:

Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột các thuật ngữ tự do được thêm vào ma trận mở rộng và để thuận tiện, được phân tách bằng một dòng.

• hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k = (-a 21 /a 11);
• hàng sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
• thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
• bây giờ hệ số đầu tiên ở hàng thứ hai mới là a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Bây giờ, một loạt các phép biến đổi tương tự được thực hiện, chỉ liên quan đến hàng thứ nhất và thứ ba. Theo đó, ở mỗi bước của thuật toán, phần tử a 21 được thay thế bằng phần tử 31. Sau đó mọi thứ được lặp lại cho 41, ... a m1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng bằng 0. Bây giờ bạn cần quên dòng số một và thực hiện thuật toán tương tự, bắt đầu từ dòng hai:

• hệ số k = (-a 32 /a 22);
• dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng “hiện tại”;
• kết quả của phép cộng được thay thế vào dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và dòng thứ hai không thay đổi;
• trong các hàng của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng 0.

Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi xuất hiện hệ số k = (-a m,m-1 /a mm). Điều này có nghĩa là lần cuối cùng thuật toán được thực thi chỉ dành cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có dạng bậc thang. Ở dòng dưới cùng có đẳng thức a mn × x n = b m. Hệ số và số hạng tự do đã biết và nghiệm được biểu thị qua chúng: x n = b m /a mn. Căn kết quả được thay thế vào dòng trên cùng để tìm x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))->a m-1,n-1. Và cứ thế tương tự: trong mỗi dòng tiếp theo có một gốc mới, và khi đạt đến “đỉnh” của hệ thống, bạn có thể tìm thấy nhiều giải pháp. Nó sẽ là duy nhất.

Khi không có giải pháp

Nếu ở một trong các hàng của ma trận, tất cả các phần tử ngoại trừ số hạng tự do đều bằng 0 thì phương trình tương ứng với hàng này có dạng 0 = b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ nên tập nghiệm của toàn hệ là rỗng, tức là nó suy biến.

Khi có vô số giải pháp

Có thể xảy ra trường hợp trong ma trận tam giác đã cho không có hàng nào có một phần tử hệ số của phương trình và một số hạng tự do. Chỉ có những dòng mà khi viết lại sẽ giống như một phương trình có hai biến trở lên. Điều này có nghĩa là hệ có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm nó?

Tất cả các biến trong ma trận được chia thành cơ bản và miễn phí. Những cái cơ bản là những cái đứng “trên rìa” của các hàng trong ma trận bước. Phần còn lại là miễn phí. Trong lời giải tổng quát, các biến cơ bản được viết thông qua các biến tự do.

Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành hệ phương trình. Sau đó, ở phần cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mọi phương trình có một biến cơ bản. Sau đó, trong các phương trình còn lại, nếu có thể, biểu thức thu được của nó sẽ được thay thế thay cho biến cơ bản. Nếu kết quả lại là một biểu thức chỉ chứa một biến cơ bản, thì nó lại được biểu thị từ đó, v.v., cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng biểu thức với các biến tự do. Đây là giải pháp chung của SLAE.

Bạn cũng có thể tìm giải pháp cơ bản của hệ thống - cung cấp bất kỳ giá trị nào cho các biến miễn phí, sau đó trong trường hợp cụ thể này, hãy tính giá trị của các biến cơ bản. Có vô số giải pháp cụ thể có thể được đưa ra.

Giải bằng ví dụ cụ thể

Đây là một hệ phương trình.

Để thuận tiện, tốt hơn là tạo ngay ma trận của nó

Được biết, khi giải bằng phương pháp Gaussian, phương trình tương ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận nhỏ nhất - khi đó phần tử đầu tiên của các hàng còn lại sau các phép toán sẽ chuyển về 0. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ thuận lợi hơn nếu đặt hàng thứ hai thay cho hàng đầu tiên.

dòng thứ hai: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

dòng thứ ba: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, bạn cần viết ra một ma trận với các kết quả trung gian của các phép biến đổi.

Rõ ràng, một ma trận như vậy có thể được tạo ra thuận tiện hơn cho việc nhận thức bằng cách sử dụng một số thao tác nhất định. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả “điểm trừ” khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với “-1”.

Điều đáng chú ý là ở dòng thứ ba, tất cả các phần tử đều là bội số của ba. Sau đó, bạn có thể rút ngắn chuỗi theo số này, nhân từng phần tử với "-1/3" (trừ - đồng thời, để loại bỏ các giá trị âm).

Trông đẹp hơn nhiều. Bây giờ chúng ta cần để nguyên dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là cộng dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a 32 bằng 0.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (nếu trong một số phép biến đổi, câu trả lời không phải là số nguyên, thì nên duy trì độ chính xác của các phép tính để lại nó “nguyên trạng”, ở dạng phân số thông thường và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, mới quyết định có làm tròn và chuyển đổi sang dạng ghi khác hay không)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Ma trận được viết lại với các giá trị mới.

Như bạn có thể thấy, ma trận kết quả đã có dạng bậc thang. Do đó, không cần phải chuyển đổi thêm hệ thống bằng phương pháp Gaussian. Những gì bạn có thể làm ở đây là loại bỏ hệ số tổng thể "-1/7" khỏi dòng thứ ba.

Bây giờ mọi thứ đều đẹp. Tất cả những gì còn lại phải làm là viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính nghiệm

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Thuật toán tìm được nghiệm bây giờ được gọi là bước đi ngược lại trong phương pháp Gaussian. Phương trình (3) chứa giá trị z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Và phương trình đầu tiên cho phép chúng ta tìm x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Chúng ta có quyền gọi một hệ thống như vậy là chung, và thậm chí là xác định, tức là có một giải pháp duy nhất. Câu trả lời được viết dưới dạng sau:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Ví dụ về hệ thống không chắc chắn

Phương án giải một hệ nào đó bằng phương pháp Gauss đã được phân tích, bây giờ cần xét trường hợp nếu hệ đó không chắc chắn, tức là có thể tìm được vô số nghiệm cho nó.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sự xuất hiện của hệ thống đã đáng báo động, bởi vì số lượng ẩn số là n = 5 và thứ hạng của ma trận hệ thống chính xác là nhỏ hơn con số này, bởi vì số lượng hàng là m = 4, nghĩa là bậc lớn nhất của bình phương định thức là 4. Điều này có nghĩa là có vô số nghiệm và bạn cần tìm hình thức tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính cho phép bạn thực hiện điều này.

Đầu tiên, như thường lệ, một ma trận mở rộng được biên dịch.

Dòng thứ hai: hệ số k = (-a 21 /a 11) = -3. Ở dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến đổi nên bạn không cần chạm vào bất cứ thứ gì mà chỉ cần để nguyên. Dòng thứ tư: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Bằng cách nhân lần lượt các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng cần tìm, chúng ta thu được ma trận có dạng sau:

Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư nhìn chung giống hệt nhau, vì vậy một trong số chúng có thể bị loại bỏ ngay lập tức và dòng còn lại có thể được nhân với hệ số “-1” và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, trong hai dòng giống hệt nhau, hãy để lại một dòng.

Kết quả là một ma trận như thế này. Mặc dù hệ thống vẫn chưa được viết ra, nhưng cần phải xác định các biến cơ bản ở đây - những biến đứng ở hệ số a 11 = 1 và a 22 = 1, và các biến tự do - tất cả những biến còn lại.

Trong phương trình thứ hai chỉ có một biến cơ bản - x 2. Điều này có nghĩa là nó có thể được biểu diễn từ đó bằng cách viết nó thông qua các biến x 3 , x 4 , x 5 , là các biến tự do.

Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.

Kết quả là một phương trình trong đó biến cơ bản duy nhất là x 1 . Hãy làm tương tự với nó như với x 2.

Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai biến, được biểu diễn dưới dạng ba biến tự do; bây giờ chúng ta có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát.

Bạn cũng có thể chỉ định một trong những giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, số 0 thường được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Khi đó câu trả lời sẽ là:

16, 23, 0, 0, 0.

Ví dụ về hệ thống không hợp tác

Giải các hệ phương trình không tương thích bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay lập tức khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là công đoạn tính toán gốc khá dài và tẻ nhạt đã được loại bỏ. Hệ thống sau đây được xem xét:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Như thường lệ, ma trận được biên dịch:

Và nó được rút gọn thành dạng từng bước:

k 1 = -2k 2 = -4

Sau phép biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa phương trình có dạng

không có giải pháp. Do đó, hệ thống không nhất quán và đáp án sẽ là tập rỗng.

Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp

Nếu bạn chọn phương pháp giải SLAE trên giấy bằng bút thì phương pháp được thảo luận trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Việc nhầm lẫn trong các phép biến đổi cơ bản sẽ khó hơn nhiều so với việc bạn phải tìm kiếm định thức hoặc ma trận nghịch đảo phức tạp nào đó theo cách thủ công. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với loại dữ liệu này, chẳng hạn như bảng tính, thì hóa ra các chương trình đó đã chứa các thuật toán để tính các tham số chính của ma trận - định thức, hàm phụ, nghịch đảo, v.v. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc lỗi, thì nên sử dụng phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, vì ứng dụng của chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính các định thức và ma trận nghịch đảo .

Ứng dụng

Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và ma trận thực chất là một mảng hai chiều nên nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự coi mình là hướng dẫn “dành cho người chưa biết”, nên phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để đưa phương pháp này vào là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và để thực hiện các thao tác với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước!), nhân với một số, nhân ma trận (cũng có một số hạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và ma trận chuyển vị và quan trọng nhất là , tính định thức. Nếu nhiệm vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì có thể xác định thứ hạng của ma trận nhanh hơn nhiều và do đó thiết lập tính tương thích hoặc không tương thích của nó.