Hạng của một ma trận có thể bằng 0 không. Hạng ma trận và cơ số nhỏ của ma trận

Hãy để một số ma trận được đưa ra:

Chọn trong ma trận này đường tùy ý và cột tùy ý
. Khi đó định thức thứ tự, bao gồm các yếu tố ma trận
nằm ở giao điểm của các hàng và cột đã chọn được gọi là phần phụ -thứ tự ma trận
.

Định nghĩa 1.13. xếp hạng ma trận
là bậc lớn nhất của phần phụ khác 0 của ma trận này.

Để tính hạng của một ma trận, người ta nên xét tất cả các phần phụ của nó ở bậc nhỏ nhất và nếu ít nhất một trong số chúng khác 0, hãy chuyển sang xét các phần tử con ở bậc cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của ma trận được gọi là phương pháp giáp ranh (hoặc phương pháp vị thành niên giáp ranh).

Nhiệm vụ 1.4. Bằng phương pháp nhân giáp xác định hạng của ma trận
.

Ví dụ, hãy xem xét đường viền theo thứ tự đầu tiên,
. Sau đó, chúng tôi chuyển sang xem xét một số đường viền của thứ tự thứ hai.

Ví dụ,
.

Cuối cùng, hãy phân tích giáp của thứ tự thứ ba.

Vì vậy bậc cao nhất của một số nhỏ khác 0 là 2, do đó
.

Khi giải Bài toán 1.4, người ta có thể nhận thấy rằng chuỗi các con giáp của bậc hai là khác không. Về vấn đề này, khái niệm sau đây diễn ra.

Định nghĩa 1.14. Cơ sở nhỏ của ma trận là bất kỳ phần phụ khác không nào có bậc bằng với hạng của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý tiểu đối cơ bản). Các hàng cơ bản (cột cơ bản) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàng khác.

Định lý 1.3. Số hàng của ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột của ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức bằng không). Để định thức -thứ tự bằng 0 thì điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Việc tính hạng của một ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá rườm rà. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, hạng của ma trận được tính dựa trên việc áp dụng Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về ma trận tương đương và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận
và được gọi là tương đương nếu thứ hạng của chúng bằng nhau, tức là
.

Nếu ma trận
và là tương đương, sau đó lưu ý
 .

Định lý 1.5. Hạng của ma trận không đổi từ các phép biến hình sơ cấp.

Ta sẽ gọi các phép biến đổi sơ cấp của ma trận
bất kỳ hành động nào sau đây trên ma trận:

Thay thế hàng bằng cột và cột bằng hàng tương ứng;

Hoán vị các hàng của ma trận;

Gạch bỏ một dòng, tất cả các phần tử của nó đều bằng 0;

Nhân bất kỳ chuỗi nào với một số khác không;

Cộng các phần tử của một hàng với các phần tử tương ứng của một hàng khác nhân với cùng một số
.

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận
thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản, sau đó các ma trận
và là tương đương nhau.

Khi tính toán hạng của ma trận, nó phải được rút gọn thành dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn của ma trận khi ở phần tử nhỏ giáp ranh của bậc lớn nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới các đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

Nơi đây
, phần tử ma trận
chuyển sang số không. Khi đó dạng biểu diễn của một ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy định, ma trận được rút gọn thành hình thang bằng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gaussian là bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các thừa số tương ứng, chúng đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển thành không. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các số nhân tương ứng, chúng ta đạt được rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển thành không. Tiếp tục tiến hành tương tự.

Nhiệm vụ 1.5. Xác định hạng của ma trận bằng cách rút gọn nó về dạng hình thang.

Để thuận tiện cho việc áp dụng thuật toán Gaussian, bạn có thể hoán đổi hàng thứ nhất và hàng thứ ba.








.

Rõ ràng ở đây
. Tuy nhiên, để đưa kết quả về dạng thanh lịch hơn, có thể tiếp tục các phép biến đổi tiếp theo trên các cột.










.

Và cũng xem xét một ứng dụng thực tế quan trọng của chủ đề: nghiên cứu về một hệ phương trình tuyến tính để tương thích.

Hạng của một ma trận là gì?

Phần kết hài hước của bài báo chứa đựng rất nhiều sự thật. Bản thân từ "xếp hạng" thường được liên kết với một số loại phân cấp, thường là với bậc thang nghề nghiệp. Một người càng có nhiều kiến thức, kinh nghiệm, khả năng, mối quan hệ, v.v. - vị trí và phạm vi cơ hội của anh ta càng cao. Về giới trẻ, thứ hạng đề cập đến mức độ "dẻo dai" tổng thể.

Và anh em toán học của chúng tôi sống theo cùng một nguyên tắc. Hãy đi dạo một vài tùy ý ma trận bằng không:

Hãy nghĩ nếu trong ma trận chỉ số không, thì chúng ta có thể nói về thứ hạng nào? Mọi người đều quen thuộc với biểu thức không chính thức "tổng số không". Trong xã hội ma trận, mọi thứ đều giống hệt nhau:

Xếp hạng ma trận bằng khôngbất kỳ kích thước là số không.

Ghi chú : ma trận không được biểu thị bằng chữ Hy Lạp "theta"

Để hiểu rõ hơn về hạng của ma trận, sau đây tôi sẽ vẽ trên tài liệu hình học giải tích. xem xét số không véc tơ của không gian ba chiều của chúng ta, không đặt một hướng nhất định và vô ích cho việc xây dựng cơ sở affine. Theo quan điểm đại số, tọa độ của một vectơ đã cho được viết dưới dạng ma trận"một trong ba" và hợp lý (theo nghĩa hình học cụ thể) giả sử rằng hạng của ma trận này bằng không.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số khác không vectơ cột và vectơ hàng:

Mỗi phiên bản có ít nhất một phần tử khác null và đó là một cái gì đó!

Thứ hạng của bất kỳ vectơ hàng khác 0 (vectơ cột) nào đều bằng một

Và nói chung - nếu trong ma trận kích thước tùy ý có ít nhất một phần tử khác 0, thì hạng của nó không ít hơn các đơn vị.

Các vectơ hàng và cột đại số là trừu tượng ở một mức độ nhất định, vì vậy chúng ta hãy chuyển sang liên kết hình học một lần nữa. khác không véc tơ thiết lập một hướng được xác định rõ trong không gian và phù hợp để xây dựng nền tảng, vì vậy hạng của ma trận sẽ được coi là bằng một.

nền tảng lý thuyết : trong đại số tuyến tính, vectơ là một phần tử của không gian vectơ (được xác định thông qua 8 tiên đề), đặc biệt, có thể là một hàng (hoặc cột) có thứ tự của các số thực với các phép toán cộng và nhân với một số thực xác định cho họ. Để biết thêm thông tin về vectơ, xem bài viết phép biến đổi tuyến tính.

phụ thuộc tuyến tính(thể hiện qua nhau). Từ quan điểm hình học, dòng thứ hai chứa tọa độ của vectơ cộng tuyến , không thúc đẩy vấn đề trong việc xây dựng cơ sở ba chiều, là dư thừa theo nghĩa này. Như vậy, hạng của ma trận này cũng bằng một.

Chúng tôi viết lại tọa độ của các vectơ trong các cột ( chuyển vị ma trận):

Điều gì đã thay đổi về thứ hạng? Không. Các cột tỷ lệ thuận, có nghĩa là thứ hạng bằng một. Nhân tiện, lưu ý rằng cả ba dòng cũng tỷ lệ thuận. Chúng có thể được xác định với tọa độ số ba các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, trong đó chỉ một hữu ích cho việc xây dựng một cơ sở "phẳng". Và điều này hoàn toàn phù hợp với cảm giác xếp hạng hình học của chúng ta.

Một tuyên bố quan trọng sau từ ví dụ trên:

Hạng của ma trận theo hàng bằng hạng của ma trận theo cột. Tôi đã đề cập đến điều này một chút trong bài học về hiệu quả các phương pháp tính định thức.

Ghi chú : phụ thuộc tuyến tính của hàng dẫn đến phụ thuộc tuyến tính của cột (và ngược lại). Nhưng để tiết kiệm thời gian và theo thói quen, hầu như tôi sẽ luôn nói về sự phụ thuộc tuyến tính của các chuỗi.

Hãy tiếp tục huấn luyện thú cưng yêu quý của chúng ta. Thêm tọa độ của một vectơ cộng tuyến khác vào ma trận ở hàng thứ ba :

Anh ấy có giúp chúng tôi xây dựng cơ sở ba chiều không? Dĩ nhiên là không. Cả ba vectơ đi đi lại lại trên cùng một đường và hạng của ma trận là bằng nhau. Bạn có thể lấy bao nhiêu vectơ cộng tuyến tùy thích, chẳng hạn như 100, đặt tọa độ của chúng vào ma trận 100 nhân 3 và thứ hạng của một tòa nhà chọc trời như vậy sẽ vẫn là một.

Hãy làm quen với ma trận có các hàng độc lập tuyến tính. Một cặp vectơ không thẳng hàng phù hợp để xây dựng một cơ sở ba chiều. Hạng của ma trận này là hai.

Hạng của ma trận là gì? Các dòng dường như không cân xứng ... vì vậy, về lý thuyết, là ba. Tuy nhiên, hạng của ma trận này cũng bằng hai. Tôi đã thêm hai dòng đầu tiên và viết kết quả ở dưới cùng, tức là thể hiện tuyến tính dòng thứ ba thông qua hai dòng đầu tiên. Về mặt hình học, các hàng của ma trận tương ứng với tọa độ của ba vectơ đồng phẳng, và trong bộ ba này có một cặp đồng phân không thẳng hàng.

Bạn có thể thấy phụ thuộc tuyến tính trong ma trận được xem xét là không rõ ràng, và hôm nay chúng ta sẽ chỉ tìm hiểu cách đưa nó vào nước sạch.

Tôi nghĩ rằng nhiều người đoán thứ hạng của một ma trận là gì!

Xét một ma trận có các hàng độc lập tuyến tính. dạng vectơ cơ sở affine, và hạng của ma trận này là ba.

Như bạn đã biết, bất kỳ vectơ thứ tư, thứ năm, thứ mười của không gian ba chiều sẽ được biểu diễn tuyến tính dưới dạng các vectơ cơ sở. Do đó, nếu bất kỳ số hàng nào được thêm vào ma trận, thì thứ hạng của nó vẫn sẽ là ba.

Lập luận tương tự có thể được thực hiện cho các ma trận có kích thước lớn hơn (rõ ràng là không có ý nghĩa hình học).

Sự định nghĩa : xếp hạng ma trận là số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa. Hoặc là: hạng của ma trận là số cột độc lập tuyến tính tối đa. Vâng, họ luôn luôn phù hợp.

Một hướng dẫn thực tế quan trọng sau từ những điều trên: hạng của một ma trận không vượt quá kích thước tối thiểu của nó. Ví dụ, trong ma trận bốn hàng và năm cột. Kích thước tối thiểu là bốn, do đó, thứ hạng của ma trận này chắc chắn sẽ không vượt quá 4.

ký hiệu: trong lý thuyết và thực tiễn thế giới, không có tiêu chuẩn được chấp nhận chung để chỉ định thứ hạng của ma trận, có thể tìm thấy tiêu chuẩn phổ biến nhất: - như người ta nói, người Anh viết thế này, người Đức viết thế khác. Do đó, dựa trên giai thoại nổi tiếng về địa ngục của Mỹ và Nga, hãy chỉ định thứ hạng của ma trận bằng một từ bản địa. Ví dụ: . Và nếu ma trận là "không tên", trong đó có rất nhiều, thì bạn chỉ cần viết .

Làm cách nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng vị thành niên?

Nếu bà của chúng ta có cột thứ năm trong ma trận, thì một cột thứ 4 khác ("màu xanh lam", "quả mâm xôi" + cột thứ 5) phải được tính toán.

Phần kết luận: thứ tự tối đa của một phần phụ khác 0 là ba, vì vậy .

Có lẽ không phải ai cũng hiểu đầy đủ cụm từ này: đơn vị phụ bậc 4 bằng 0, nhưng trong số các đơn vị phụ bậc 3 có một số khác không - do đó, bậc tối đa khác không nhỏ và bằng ba.

Câu hỏi đặt ra, tại sao không tính ngay định thức? Chà, thứ nhất, trong hầu hết các nhiệm vụ, ma trận không phải là hình vuông và thứ hai, ngay cả khi bạn nhận được một giá trị khác 0, thì nhiệm vụ sẽ bị từ chối với xác suất cao, vì nó thường ngụ ý một tiêu chuẩn “từ dưới lên” dung dịch. Và trong ví dụ được xem xét, định thức bằng 0 của bậc 4 thậm chí cho phép chúng ta khẳng định rằng hạng của ma trận chỉ nhỏ hơn bốn.

Tôi phải thừa nhận rằng tôi đã tự mình nghĩ ra vấn đề được phân tích để giải thích rõ hơn về phương pháp tiểu nhân giáp. Trong thực tế, mọi thứ đơn giản hơn:

ví dụ 2

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp bao con

Lời giải và đáp án ở cuối bài.

Khi nào thuật toán chạy nhanh nhất? Hãy quay trở lại ma trận bốn nhân bốn . Rõ ràng, giải pháp sẽ ngắn nhất trong trường hợp "tốt" trẻ vị thành niên góc:

Và, nếu , thì , ngược lại - .

Suy nghĩ hoàn toàn không phải là giả thuyết - có rất nhiều ví dụ trong đó toàn bộ sự việc chỉ giới hạn ở những góc nhỏ.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, một phương pháp khác hiệu quả hơn và thích hợp hơn:

Làm cách nào để tìm hạng của ma trận bằng phương pháp Gauss?

Phần này dành cho những độc giả đã quen thuộc với phương pháp Gauss và từng chút một đã chạm tay vào nó.

Từ quan điểm kỹ thuật, phương pháp này không phải là mới:

1) sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng tôi đưa ma trận về dạng bước;

2) hạng của ma trận bằng số hàng.

Nó là khá rõ ràng rằng sử dụng phương pháp Gauss không làm thay đổi hạng của ma trận, và bản chất ở đây cực kỳ đơn giản: theo thuật toán, trong quá trình biến đổi cơ bản, tất cả các đường tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) không cần thiết được xác định và loại bỏ, do đó vẫn còn "dư lượng khô" - số lượng tối đa đường độc lập tuyến tính.

Hãy biến đổi ma trận quen thuộc cũ với tọa độ của ba vectơ thẳng hàng:

(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba.

(2) Các dòng số 0 bị xóa.

Vì vậy, còn một dòng, do đó . Không cần phải nói, điều này nhanh hơn nhiều so với việc tính toán chín số không phụ của bậc 2 và chỉ sau đó rút ra kết luận.

Tôi nhắc nhở bạn rằng bản thân nó ma trận đại số không có gì có thể thay đổi và các phép biến đổi được thực hiện chỉ với mục đích tìm ra thứ hạng! Nhân tiện, chúng ta hãy xem lại câu hỏi, tại sao không? Ma trận nguồn mang thông tin khác về cơ bản với thông tin hàng và ma trận. Trong một số mô hình toán học (không cường điệu), sự khác biệt trong một con số có thể là vấn đề sống chết. ... Tôi nhớ đến những giáo viên dạy toán cấp tiểu học và trung học cơ sở, những người đã thẳng tay trừ điểm 1-2 điểm vì sai sót nhỏ nhất hoặc sai lệch so với thuật toán. Và thật đáng thất vọng khi thay vì "năm" dường như được đảm bảo, nó lại trở thành "tốt" hoặc thậm chí tệ hơn. Sự hiểu biết đến muộn hơn nhiều - còn cách nào khác để giao phó vệ tinh, đầu đạn hạt nhân và nhà máy điện cho một người? Nhưng đừng lo, tôi không làm việc trong những lĩnh vực này =)

Hãy chuyển sang các nhiệm vụ có ý nghĩa hơn, trong đó, ngoài những thứ khác, chúng ta sẽ làm quen với các kỹ thuật tính toán quan trọng phương pháp Gauss:

ví dụ 3

Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Phán quyết: đưa ra một ma trận 4 nhân 5, có nghĩa là hạng của nó chắc chắn không quá 4.

Trong cột đầu tiên, không có 1 hoặc -1, do đó, cần thực hiện các bước bổ sung để có được ít nhất một đơn vị. Trong toàn bộ sự tồn tại của trang web, tôi đã nhiều lần đặt câu hỏi: “Có thể sắp xếp lại các cột trong quá trình biến đổi cơ bản không?”. Ở đây - đã sắp xếp lại cột đầu tiên hoặc cột thứ hai và mọi thứ đều ổn! Trong hầu hết các nhiệm vụ mà phương pháp Gauss, các cột thực sự có thể được sắp xếp lại. NHƯNG KHÔNG. Và vấn đề thậm chí không thể nhầm lẫn với các biến số, vấn đề là trong quá trình giảng dạy toán cao cấp cổ điển, hành động này theo truyền thống không được xem xét, do đó, một hành động cúi chào như vậy sẽ bị RẤT coi là quanh co (hoặc thậm chí buộc phải làm lại mọi thứ) .

Điểm thứ hai liên quan đến các con số. Trong quá trình ra quyết định, sẽ rất hữu ích khi được hướng dẫn bởi quy tắc ngón tay cái sau: các phép biến đổi cơ bản, nếu có thể, sẽ làm giảm các số của ma trận. Thật vậy, làm việc với một-hai-ba dễ dàng hơn nhiều so với, chẳng hạn như với 23, 45 và 97. Và hành động đầu tiên không chỉ nhằm mục đích lấy một đơn vị trong cột đầu tiên mà còn loại bỏ các số 7 và 11.

Đầu tiên là giải pháp đầy đủ, sau đó là nhận xét:

(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -3. Và với đống: dòng đầu tiên, nhân với -1, được thêm vào dòng thứ 4.

(2) Ba dòng cuối tỉ lệ thuận. Đã xóa dòng thứ 3 và thứ 4, dòng thứ 2 được chuyển lên vị trí đầu tiên.

(3) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -3.

Ma trận rút gọn thành dạng bậc có hai hàng.

Câu trả lời:

Bây giờ đến lượt bạn tra tấn ma trận bốn nhân bốn:

Ví dụ 4

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian

tôi sẽ nhắc bạn điều đó phương pháp Gauss không ngụ ý sự cứng nhắc rõ ràng và giải pháp của bạn rất có thể sẽ khác với giải pháp của tôi. Một ví dụ ngắn gọn về nhiệm vụ ở cuối bài học.

Dùng phương pháp nào để tìm hạng của ma trận?

Trong thực tế, người ta thường không nói rõ nên sử dụng phương pháp nào để tìm thứ hạng. Trong tình huống như vậy, người ta nên phân tích điều kiện - đối với một số ma trận, việc thực hiện giải pháp thông qua các phép vị thành niên sẽ hợp lý hơn, trong khi đối với những ma trận khác, việc áp dụng các phép biến đổi cơ bản sẽ có lợi hơn nhiều:

Ví dụ 5

Tìm hạng của ma trận

Phán quyết: cách đầu tiên bằng cách nào đó ngay lập tức biến mất =)

Cao hơn một chút, tôi khuyên không nên chạm vào các cột của ma trận, nhưng khi có cột bằng 0 hoặc cột tỷ lệ/khớp, thì vẫn có giá trị cắt cụt:

(1) Cột thứ năm bằng 0, chúng tôi loại bỏ nó khỏi ma trận. Như vậy, hạng của ma trận nhiều nhất là bốn. Hàng đầu tiên được nhân với -1. Đây là một tính năng đặc trưng khác của phương pháp Gaussian, giúp cho hành động sau đây trở nên thú vị:

(2) Đối với tất cả các dòng, bắt đầu từ dòng thứ hai, dòng đầu tiên đã được thêm vào.

(3) Hàng đầu tiên nhân với -1, hàng thứ ba chia cho 2, hàng thứ tư chia cho 3. Hàng thứ hai nhân với -1 được thêm vào hàng thứ năm.

(4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ năm, nhân với -2.

(5) Hai dòng cuối cùng tỷ lệ, xóa dòng thứ năm.

Kết quả là 4 hàng.

Câu trả lời:

Tòa nhà năm tầng tiêu chuẩn để tự khám phá:

Ví dụ 6

Tìm hạng của ma trận

Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Cần lưu ý rằng cụm từ "thứ hạng ma trận" không quá phổ biến trong thực tế và trong hầu hết các vấn đề bạn có thể làm mà không cần nó. Nhưng có một nhiệm vụ mà khái niệm đang được xem xét là nhân vật chính và để kết thúc bài viết, chúng tôi sẽ xem xét ứng dụng thực tế này:

Cách tra hệ phương trình tuyến tính cho tương thích?

Thông thường, bên cạnh việc giải quyết hệ phương trình tuyến tính tùy theo điều kiện, trước tiên cần phải kiểm tra tính tương thích của nó, nghĩa là chứng minh rằng bất kỳ giải pháp nào cũng tồn tại. Một vai trò quan trọng trong việc xác minh này được thực hiện bởi Định lý Kronecker-Capelli, mà tôi sẽ xây dựng ở dạng yêu cầu:

Nếu xếp hạng ma trận hệ thống bằng cấp hệ thống ma trận tăng cường, thì hệ thống nhất quán và nếu số đã cho trùng với số ẩn số thì nghiệm là duy nhất.

Như vậy, để nghiên cứu tính tương thích của hệ thống, cần phải kiểm tra sự bình đẳng , ở đâu - ma trận hệ thống(nhớ thuật ngữ từ bài học phương pháp Gauss), một - hệ thống ma trận tăng cường(tức là ma trận có hệ số tại các biến + cột số hạng tự do).

Để tính hạng của ma trận, có thể áp dụng phương pháp lấy phần tử phụ hoặc phương pháp Gauss. Hãy xem xét phương pháp Gauss hoặc phương pháp biến đổi cơ bản.

Thứ hạng của ma trận là thứ tự lớn nhất của các phần tử con của nó, trong đó có ít nhất một phần tử không bằng 0.

Bậc của một hệ thống hàng (cột) là số lượng lớn nhất các hàng (cột) độc lập tuyến tính của hệ thống này.

Thuật toán tìm hạng của ma trận bằng phương pháp diềm phụ:

Người vị thành niên m thứ tự không phải là số không.
Nếu bao vây trẻ vị thành niên cho trẻ vị thành niên M (k+1)-thứ thứ tự, không thể soạn (tức là ma trận chứa k dòng hoặc k cột), thì hạng của ma trận là k. Nếu các con giáp ranh tồn tại và tất cả đều bằng 0, thì thứ hạng là k. Nếu trong số các con giáp có ít nhất một con không bằng 0 thì ta thử lập một con giáp mới k+2 vân vân.

Hãy phân tích thuật toán chi tiết hơn. Đầu tiên, hãy xem xét các phần tử nhỏ của thứ tự đầu tiên (các phần tử ma trận) của ma trận Một. Nếu tất cả chúng đều bằng không, thì hạngA = 0. Nếu có các phần tử nhỏ bậc nhất (phần tử ma trận) không bằng 0 M1 ≠ 0, sau đó xếp hạng rangA ≥ 1.

M1. Nếu có những trẻ vị thành niên như vậy, thì chúng sẽ là trẻ vị thành niên của trật tự thứ hai. Nếu tất cả trẻ vị thành niên giáp trẻ vị thành niên M1đều bằng 0, sau đó hạngA = 1. Nếu có ít nhất một số nhỏ bậc hai không bằng 0 M2 ≠ 0, sau đó xếp hạng rangA ≥ 2.

Kiểm tra xem có con giáp nào cho trẻ vị thành niên không M2. Nếu có những trẻ vị thành niên như vậy, thì chúng sẽ là trẻ vị thành niên của trật tự thứ ba. Nếu tất cả trẻ vị thành niên giáp trẻ vị thành niên M2đều bằng 0, sau đó hạngA = 2. Nếu có ít nhất một số phụ của bậc ba không bằng 0 M3 ≠ 0, sau đó xếp hạng rangA ≥ 3.

Kiểm tra xem có con giáp nào cho trẻ vị thành niên không M3. Nếu có những trẻ vị thành niên như vậy, thì chúng sẽ là trẻ vị thành niên của trật tự thứ tư. Nếu tất cả trẻ vị thành niên giáp trẻ vị thành niên M3đều bằng 0, sau đó hạngA = 3. Nếu có ít nhất một số phụ của bậc 4 không bằng 0 M4 ≠ 0, sau đó xếp hạng rangA ≥ 4.

Kiểm tra xem có con giáp nào đối với trẻ vị thành niên không M4, và như thế. Thuật toán dừng lại nếu ở một giai đoạn nào đó, các phần tử con giáp bằng 0 hoặc không thể lấy được phần tử con giáp (không có hàng hoặc cột nào trong ma trận). Thứ tự của một phần phụ khác 0 mà chúng tôi đã sắp xếp được sẽ là thứ hạng của ma trận.

Thí dụ

Hãy xem xét phương pháp này với một ví dụ. Cho ma trận 4x5:

Ma trận này không thể có hạng lớn hơn 4. Ngoài ra, ma trận này có các phần tử khác 0 (yếu tố phụ bậc nhất), có nghĩa là hạng của ma trận là ≥ 1.

Hãy làm một trẻ vị thành niên lần 2 gọi món. Hãy bắt đầu từ góc.

Vì yếu tố quyết định bằng 0, chúng tôi soạn một phần nhỏ khác.

Tìm yếu tố quyết định của tiểu này.

Xác định tiểu phần đã cho là -2 . Vậy hạng của ma trận ≥ 2 .

Nếu vị thành niên này bằng 0, thì các vị thành niên khác sẽ được thêm vào. Cho đến cuối cùng, tất cả các trẻ vị thành niên sẽ được xếp vào hàng 1 và 2. Sau đó trên dòng 1 và 3, trên dòng 2 và 3, trên dòng 2 và 4, cho đến khi tìm thấy một phụ không bằng 0, ví dụ:

Nếu tất cả các phần tử phụ bậc hai đều bằng 0, thì hạng của ma trận sẽ là 1. Lời giải có thể bị dừng lại.

lần thứ 3 gọi món.

Tiểu hóa ra không phải là không. nghĩa là hạng của ma trận ≥ 3 .

Nếu vị thành niên này bằng 0, thì các vị thành niên khác sẽ phải được sáng tác. Ví dụ:

Nếu tất cả các phần tử phụ bậc ba đều bằng 0, thì hạng của ma trận sẽ là 2. Lời giải có thể bị dừng lại.

Chúng tôi tiếp tục tìm kiếm thứ hạng của một ma trận. Hãy làm một trẻ vị thành niên lần thứ 4 gọi món.

Hãy tìm định thức của tiểu phân này.

Các yếu tố quyết định của trẻ vị thành niên hóa ra là bằng nhau 0 . Hãy xây dựng một trẻ vị thành niên khác.

Hãy tìm định thức của tiểu phân này.

Hóa ra tiểu nhân đều bình đẳng 0 .

Xây dựng một trẻ vị thành niên ngày 5 thứ tự sẽ không hoạt động, không có hàng nào trong ma trận này cho việc này. Số phụ khác không cuối cùng là lần thứ 3 thứ tự, vì vậy hạng của ma trận là 3 .

tiểu học Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột) khác nhân với một số.

Hai ma trận được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng được lấy từ cái kia với sự trợ giúp của một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Các ma trận tương đương nói chung không bằng nhau, nhưng hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B tương đương nhau, thì điều này được viết là: A ~ B.

kinh điển Ma trận là một ma trận có nhiều số 1 liên tiếp ở đầu đường chéo chính (số có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác bằng 0, ví dụ:

Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chuẩn. Hạng của ma trận chính tắc bằng số hạng trên đường chéo chính của nó.

ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận

và đưa nó về dạng kinh điển.

Phán quyết. Trừ hàng đầu tiên từ hàng thứ hai và sắp xếp lại các hàng này:

Bây giờ, từ hàng thứ hai và thứ ba, lần lượt trừ đi hàng thứ nhất, nhân với 2 và 5:

;

trừ hàng đầu tiên từ hàng thứ ba; chúng tôi nhận được ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng rút gọn thành ma trận chính tắc. Trừ cột đầu tiên, nhân với các số phù hợp, từ tất cả các cột tiếp theo, chúng tôi chuyển tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ cột đầu tiên, và các phần tử của các hàng còn lại, không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số thích hợp, từ tất cả các cột tiếp theo, chúng tôi chuyển thành 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ cột thứ hai và nhận được ma trận chính tắc:

Định lý Kronecker - Capelli- tiêu chí về tính tương thích của hệ phương trình đại số tuyến tính:

Để một hệ thống tuyến tính tương thích, điều cần và đủ là hạng của ma trận mở rộng của hệ thống này bằng với hạng của ma trận chính của nó.

Bằng chứng (điều kiện tương thích hệ thống)

sự cần thiết

Cho phép hệ thống chung. Khi đó tồn tại các số sao cho . Do đó, cột là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận. Từ thực tế là thứ hạng của một ma trận sẽ không thay đổi nếu hệ thống các hàng (cột) của nó bị xóa hoặc một hàng (cột) được gán, là sự kết hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác, suy ra điều đó.

đầy đủ

Cho phép . Hãy lấy một số phụ cơ bản trong ma trận. Vì , thì nó cũng sẽ là cơ sở nhỏ của ma trận . Khi đó, theo định lý cơ sở người vị thành niên, cột cuối cùng của ma trận sẽ là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở, nghĩa là các cột của ma trận. Vì vậy, cột các thành viên tự do của hệ thống là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận.

Kết quả

Số biến chính hệ thống bằng cấp của hệ thống.

Chung hệ thống sẽ được xác định (nghiệm pháp của nó là duy nhất) nếu thứ hạng của hệ thống bằng số lượng tất cả các biến của nó.

Hệ phương trình thuần nhất

Phục vụ15 . 2 Hệ phương trình thuần nhất

luôn luôn hợp tác.

Bằng chứng. Đối với hệ này, bộ số , , , là nghiệm.

Trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ma trận của hệ thống: .

Phục vụ15 . 3 Tổng các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một nghiệm của hệ này. Một giải pháp nhân với một số cũng là một giải pháp.

Bằng chứng. Hãy để và phục vụ như là giải pháp của hệ thống. Sau đó và . Cho phép . sau đó

Vì , sau đó là một giải pháp.

Cho là một số tùy ý, . sau đó

Vì , sau đó là một giải pháp.

Kết quả15 . 1 Nếu một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác 0 thì nó có vô số nghiệm khác nhau.

Thật vậy, nhân một nghiệm khác 0 với các số khác nhau, ta sẽ được các nghiệm khác nhau.

Sự định nghĩa15 . 5 Chúng tôi sẽ nói rằng các giải pháp hình thức hệ thống hệ thống quyết định cơ bản nếu các cột tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính và bất kỳ giải pháp nào cho hệ thống là sự kết hợp tuyến tính của các cột này.

>>Xếp hạng ma trận

xếp hạng ma trận

Xác định hạng của ma trận

Hãy xem xét một ma trận hình chữ nhật. Nếu trong ma trận này, chúng tôi chọn tùy ý k dòng và k cột, thì các phần tử tại giao điểm của các hàng và cột đã chọn tạo thành ma trận vuông bậc k. Định thức của ma trận này được gọi là thứ tự thứ k ma trận A. Rõ ràng, ma trận A có các phần tử phụ thuộc bất kỳ thứ tự nào từ 1 đến nhỏ nhất trong các số m và n. Trong số tất cả các phần tử con khác 0 của ma trận A, có ít nhất một phần tử con có bậc lớn nhất. Bậc lớn nhất khác 0 của các phần tử con của một ma trận đã cho được gọi là cấp ma trận. Nếu hạng của ma trận A là r, thì điều này có nghĩa là ma trận A có bậc phụ khác 0 r, nhưng mọi cấp bậc nhỏ hơn r, bằng không. Hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A). Rõ ràng là mối quan hệ

Tính hạng của ma trận bằng cách sử dụng phần phụ

Thứ hạng của ma trận được tìm thấy bằng cách giáp các phần phụ hoặc bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Khi tính hạng của ma trận theo cách thứ nhất, người ta phải chuyển từ các phần phụ của bậc thấp hơn sang phần phụ của bậc cao hơn. Nếu đã tìm thấy một D phụ khác 0 của bậc k của ma trận A, thì chỉ phải tính các phần tử phụ thứ (k + 1) giáp với D phụ, tức là chứa nó như là một trẻ vị thành niên. Nếu chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận là k.

ví dụ 1Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp lũy thừa

Phán quyết.Chúng tôi bắt đầu với trẻ vị thành niên của đơn hàng đầu tiên, tức là từ các phần tử của ma trận A. Ví dụ, chúng ta hãy chọn phần tử phụ (phần tử) М 1 = 1 nằm ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên. Giáp với hàng thứ hai và cột thứ ba, chúng ta thu được M 2 = , khác 0. Bây giờ chúng tôi chuyển sang trẻ vị thành niên của thứ tự thứ 3, giáp với M 2 . Chỉ có hai trong số chúng (bạn có thể thêm cột thứ hai hoặc cột thứ tư). Chúng tôi tính toán chúng: = 0. Do đó, tất cả các trẻ vị thành niên giáp ranh của bậc ba hóa ra đều bằng không. Hạng của ma trận A là hai.

Tính hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

tiểu họcCác phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là: