Xây dựng phương trình mặt phẳng từ ba điểm. Phương trình của mặt phẳng: cách soạn thảo? Các loại phương trình mặt phẳng

Để vẽ một mặt phẳng đi qua ba điểm bất kỳ trong không gian, điều cần thiết là các điểm này không nằm trên cùng một đường thẳng.

Xét các điểm M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) trong hệ tọa độ Descartes tổng quát.

Để một điểm M(x, y, z) tùy ý nằm trong cùng mặt phẳng với các điểm M 1, M 2, M 3 thì các vectơ phải đồng phẳng.

(
) = 0

Như vậy,

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm:

Phương trình mặt phẳng cho hai điểm và một vectơ thẳng hàng với mặt phẳng.

Cho các điểm M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) và vectơ cho trước
.

Hãy lập phương trình mặt phẳng đi qua các điểm M 1 và M 2 cho trước và một điểm M(x, y, z) tùy ý song song với vectơ .

Vectơ
và vectơ
phải đồng phẳng, tức là

(
) = 0

Phương trình mặt phẳng:

Phương trình mặt phẳng sử dụng một điểm và hai vectơ

thẳng hàng với mặt phẳng.

Cho hai vectơ
Và
, các mặt phẳng thẳng hàng. Khi đó với một điểm tùy ý M(x, y, z) thuộc mặt phẳng thì các vectơ
phải đồng phẳng.

Phương trình mặt phẳng:

Phương trình mặt phẳng theo điểm và vectơ pháp tuyến .

Định lý. Cho một điểm M trong không gian 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), thì phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 vuông góc với vectơ pháp tuyến (MỘT, B, C) có dạng:

MỘT(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bằng chứng. Đối với một điểm M(x, y, z) tùy ý thuộc mặt phẳng, chúng ta tạo một vectơ. Bởi vì vectơ là vectơ pháp tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng và do đó vuông góc với vectơ
. Khi đó tích vô hướng

= 0

Như vậy, ta thu được phương trình của mặt phẳng

Định lý đã được chứng minh.

Phương trình mặt phẳng trong các đoạn thẳng.

Nếu trong phương trình tổng quát Ax + Bi + Cz + D = 0 ta chia cả hai vế cho (-D)

,

thay thế
, ta thu được phương trình của mặt phẳng theo đoạn:

Các số a, b, c lần lượt là giao điểm của mặt phẳng với các trục x, y, z.

Phương trình mặt phẳng ở dạng vector.

Ở đâu

- vectơ bán kính của điểm hiện tại M(x, y, z),

Một vectơ đơn vị có hướng vuông góc rơi xuống một mặt phẳng kể từ gốc tọa độ.

,  và  là các góc tạo bởi vectơ này với các trục x, y, z.

p là độ dài đường vuông góc này.

Trong tọa độ, phương trình này trông giống như:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Khoảng cách từ một điểm tùy ý M 0 (x 0, y 0, z 0) đến mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0 là:

Ví dụ. Tìm phương trình của mặt phẳng, biết rằng điểm P(4; -3; 12) là đáy của đường vuông góc hạ từ gốc tọa độ xuống mặt phẳng này.

Vậy A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, chúng tôi sử dụng công thức:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm P(2; 0; -1) và

Q(1; -1; 3) vuông góc với mặt phẳng 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 3x + 2y – z + 5 = 0
song song với mặt phẳng mong muốn.

Chúng tôi nhận được:

Ví dụ. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A(2, -1, 4) và

B(3, 2, -1) vuông góc với mặt phẳng X + Tại + 2z – 3 = 0.

Phương trình cần tìm của mặt phẳng có dạng: A x+B y+C z+ D = 0, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này (A, B, C). Vectơ
(1, 3, -5) thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng cho chúng ta, vuông góc với mặt phẳng mong muốn, có vectơ pháp tuyến (1, 1, 2). Bởi vì điểm A và B thuộc cả hai mặt phẳng và hai mặt phẳng này vuông góc với nhau thì

Vậy vectơ pháp tuyến (11, -7, -2). Bởi vì điểm A thuộc mặt phẳng mong muốn thì tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình của mặt phẳng này, tức là. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Tổng cộng, chúng ta có được phương trình của mặt phẳng: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình của mặt phẳng, biết rằng điểm P(4, -3, 12) là đáy của đường vuông góc hạ từ gốc tọa độ xuống mặt phẳng này.

Tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến
= (4, -3, 12). Phương trình cần tìm của mặt phẳng có dạng: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Để tìm hệ số D ta thay tọa độ điểm P vào phương trình:

16 + 9 + 144 + D = 0

Tổng cộng, chúng ta nhận được phương trình cần thiết: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Ví dụ. Cho là tọa độ các đỉnh của hình chóp A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Tìm độ dài cạnh A 1 A 2.

Tìm góc giữa các cạnh A 1 A 2 và A 1 A 4.

Tìm góc giữa cạnh A 1 A 4 và mặt A 1 A 2 A 3.

Đầu tiên chúng ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt A 1 A 2 A 3 là tích chéo của vectơ
Và
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Hãy tìm góc giữa vectơ pháp tuyến và vectơ
.

-4 – 4 = -8.

Góc mong muốn  giữa vectơ và mặt phẳng sẽ bằng  = 90 0 - .

Tìm diện tích mặt A 1 A 2 A 3.

Tìm khối lượng của kim tự tháp.

Tìm phương trình của mặt phẳng A 1 A 2 A 3.

Hãy áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Khi sử dụng phiên bản máy tính “ Khóa học toán cao hơn” bạn có thể chạy một chương trình sẽ giải ví dụ trên cho bất kỳ tọa độ nào của các đỉnh của hình chóp.

Để bắt đầu chương trình, nhấp đúp vào biểu tượng:

Trong cửa sổ chương trình mở ra, nhập tọa độ các đỉnh của hình chóp và nhấn Enter. Bằng cách này, tất cả các điểm quyết định có thể đạt được từng điểm một.

Lưu ý: Để chạy chương trình, chương trình Maple ( Waterloo Maple Inc.) của bất kỳ phiên bản nào, bắt đầu từ MapleV Release 4, phải được cài đặt trên máy tính của bạn.

Giả sử chúng ta cần tìm phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước không nằm trên cùng một đường thẳng. Biểu thị vectơ bán kính của chúng bằng và vectơ bán kính hiện tại bằng , chúng ta có thể dễ dàng thu được phương trình cần thiết ở dạng vectơ. Trên thực tế, các vectơ phải đồng phẳng (tất cả chúng đều nằm trong mặt phẳng mong muốn). Do đó, tích vô hướng vectơ của các vectơ này phải bằng 0:

Đây là phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước, dưới dạng vectơ.

Chuyển sang tọa độ, chúng ta có được phương trình theo tọa độ:

Nếu ba điểm cho trước cùng nằm trên một đường thẳng thì các vectơ thẳng hàng. Do đó, các phần tử tương ứng của hai dòng cuối cùng của định thức trong phương trình (18) sẽ tỉ lệ thuận và định thức sẽ bằng 0. Do đó, phương trình (18) sẽ trở nên giống hệt với mọi giá trị x, y và z. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là qua mỗi điểm trong không gian có một mặt phẳng chứa ba điểm đã cho.

Nhận xét 1. Bài toán tương tự có thể được giải mà không cần sử dụng vectơ.

Biểu thị tọa độ tương ứng của ba điểm đã cho, chúng ta sẽ viết phương trình của bất kỳ mặt phẳng nào đi qua điểm đầu tiên:

Để có được phương trình của mặt phẳng mong muốn, cần phải thỏa mãn phương trình (17) bởi tọa độ của hai điểm khác:

Từ các phương trình (19), cần xác định tỉ số của hai hệ số trên hệ số thứ ba và nhập các giá trị tìm được vào phương trình (17).

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm đầu tiên sẽ là:

Điều kiện để mặt phẳng (17) đi qua hai điểm còn lại và điểm thứ nhất là:

Cộng phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất, ta tìm được:

Thay vào phương trình thứ hai, ta được:

Thay các số tương ứng vào phương trình (17) thay cho A, B, C lần lượt là 1, 5, -4 (các số tỷ lệ với chúng), ta thu được:

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Phương trình của mặt phẳng bất kỳ đi qua điểm (0, 0, 0) sẽ là]

Điều kiện để mặt phẳng này đi qua các điểm (1, 1, 1) và (2, 2, 2) là:

Rút gọn phương trình thứ hai đi 2, ta thấy rằng để xác định hai ẩn số có một phương trình với

Từ đây chúng tôi nhận được . Bây giờ thay thế giá trị của mặt phẳng vào phương trình, chúng ta tìm thấy:

Đây là phương trình của mặt phẳng mong muốn; nó phụ thuộc vào tùy ý

đại lượng B, C (cụ thể là từ quan hệ tức là có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho (ba điểm đã cho nằm trên cùng một đường thẳng).

Nhận xét 2. Bài toán vẽ mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng có thể giải dễ dàng ở dạng tổng quát nếu ta sử dụng định thức. Thật vậy, vì trong các phương trình (17) và (19) các hệ số A, B, C không thể đồng thời bằng 0 nên coi các phương trình này là một hệ thuần nhất với ba ẩn số A, B, C, ta viết cần và đủ điều kiện tồn tại nghiệm của hệ này khác 0 (Phần 1, Chương VI, § 6):

Sau khi mở rộng định thức này thành các phần tử của hàng đầu tiên, chúng ta thu được phương trình bậc nhất đối với tọa độ hiện tại, đặc biệt là tọa độ của ba điểm đã cho.

Bạn cũng có thể trực tiếp xác minh điều này sau bằng cách thay thế tọa độ của bất kỳ điểm nào trong số này thay vì . Ở vế bên trái, chúng ta nhận được định thức trong đó các phần tử của hàng đầu tiên bằng 0 hoặc có hai hàng giống hệt nhau. Do đó, phương trình được xây dựng biểu thị một mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho.

Phương trình của một mặt phẳng. Làm thế nào để viết một phương trình của mặt phẳng?
Sự sắp xếp lẫn nhau của các mặt phẳng. Nhiệm vụ

Hình học không gian không phức tạp hơn nhiều so với hình học “phẳng” và các chuyến bay của chúng ta trong không gian bắt đầu bằng bài viết này. Để nắm vững chủ đề, bạn cần phải hiểu rõ về vectơ Ngoài ra, nên làm quen với hình học của mặt phẳng - sẽ có nhiều điểm tương đồng, nhiều điểm tương đồng nên thông tin sẽ được tiếp thu tốt hơn rất nhiều. Trong loạt bài học của tôi, thế giới 2D mở đầu bằng một bài viết Phương trình đường thẳng trên mặt phẳng. Nhưng bây giờ Batman đã rời khỏi màn hình TV phẳng và phóng từ Sân bay vũ trụ Baikonur.

Hãy bắt đầu với các hình vẽ và ký hiệu. Về mặt sơ đồ, mặt phẳng có thể được vẽ dưới dạng hình bình hành, tạo ra ấn tượng về không gian:

Mặt phẳng là vô hạn, nhưng chúng ta chỉ có cơ hội khắc họa một phần của nó. Trong thực tế, ngoài hình bình hành, người ta còn vẽ một hình bầu dục hoặc thậm chí là đám mây. Vì lý do kỹ thuật, sẽ thuận tiện hơn cho tôi khi mô tả mặt phẳng theo cách này và ở vị trí chính xác như vậy. Các mặt phẳng thực, mà chúng ta sẽ xem xét trong các ví dụ thực tế, có thể được định vị theo bất kỳ cách nào - hãy nhẩm lấy bản vẽ trong tay và xoay nó trong không gian, tạo cho mặt phẳng bất kỳ độ dốc, góc nào.

Chỉ định: các mặt phẳng thường được biểu thị bằng các chữ cái Hy Lạp nhỏ, rõ ràng là để không nhầm lẫn chúng với đường thẳng trên mặt phẳng Hoặc với đường thẳng trong không gian. Tôi đã quen với việc sử dụng chữ cái này. Trong bản vẽ nó là chữ “sigma” chứ không phải một cái lỗ nào cả. Mặc dù vậy, chiếc máy bay Holey chắc chắn khá buồn cười.

Trong một số trường hợp, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng các chữ cái Hy Lạp tương tự với các chỉ số dưới thấp hơn để chỉ định các mặt phẳng, ví dụ: .

Rõ ràng là mặt phẳng được xác định duy nhất bởi ba điểm khác nhau không nằm trên cùng một đường thẳng. Do đó, các ký hiệu ba chữ cái của các mặt phẳng khá phổ biến - chẳng hạn như theo các điểm thuộc về chúng, v.v. Thông thường các chữ cái được đặt trong dấu ngoặc đơn: , để không nhầm lẫn mặt phẳng với một hình hình học khác.

Đối với những độc giả có kinh nghiệm tôi sẽ cung cấp menu truy cập nhanh:

• Làm thế nào để tạo phương trình mặt phẳng khi sử dụng một điểm và hai vectơ?
• Làm thế nào để tạo phương trình của mặt phẳng khi sử dụng một điểm và vectơ pháp tuyến?

và chúng tôi sẽ không mòn mỏi chờ đợi lâu:

Phương trình mặt phẳng tổng quát

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng , trong đó các hệ số không bằng 0 cùng một lúc.

Một số tính toán lý thuyết và các bài toán thực tế có giá trị cho cả cơ sở trực chuẩn thông thường và cơ sở affine của không gian (nếu dầu là dầu, hãy quay lại bài học). Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ). Để đơn giản, chúng ta sẽ giả sử rằng tất cả các sự kiện xảy ra trên cơ sở trực giao và hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes.

Bây giờ hãy thực hành trí tưởng tượng không gian của chúng ta một chút. Nếu cái của bạn tệ cũng không sao, bây giờ chúng ta sẽ phát triển nó một chút. Ngay cả việc chơi đùa cũng cần phải luyện tập.

Trong trường hợp tổng quát nhất, khi các số không bằng 0 thì mặt phẳng cắt cả ba trục tọa độ. Ví dụ như thế này:

Tôi nhắc lại một lần nữa rằng chiếc máy bay tiếp tục vô tận theo mọi hướng và chúng ta chỉ có cơ hội khắc họa một phần của nó.

Hãy xem xét các phương trình đơn giản nhất của mặt phẳng:

Làm thế nào để hiểu phương trình này? Hãy suy nghĩ về điều này: “Z” LUÔN bằng 0 đối với mọi giá trị của “X” và “Y”. Đây là phương trình của mặt phẳng tọa độ "gốc". Thật vậy, về mặt hình thức phương trình có thể được viết lại như sau: , từ đó bạn có thể thấy rõ rằng chúng tôi không quan tâm đến giá trị “x” và “y” nhận, điều quan trọng là “z” bằng 0.

Tương tự:
– phương trình mặt phẳng tọa độ;
- phương trình mặt phẳng tọa độ.

Hãy phức tạp hóa vấn đề một chút, hãy xem xét một mặt phẳng (ở đây và trong đoạn này, chúng tôi giả định rằng các hệ số số không bằng 0). Viết lại phương trình dưới dạng: . Làm thế nào để hiểu nó? “X” LUÔN LUÔN, với mọi giá trị của “Y” và “Z”, bằng một số nhất định. Mặt phẳng này song song với mặt phẳng tọa độ. Ví dụ, một mặt phẳng song song với một mặt phẳng và đi qua một điểm.

Tương tự:
- phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ;
- Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ.

Hãy thêm thành viên: . Phương trình có thể được viết lại như sau: , nghĩa là “zet” có thể là bất cứ thứ gì. Nó có nghĩa là gì? “X” và “Y” được nối với nhau bằng mối quan hệ vẽ một đường thẳng nhất định trong mặt phẳng (bạn sẽ tìm ra phương trình đường thẳng trong mặt phẳng?). Vì “z” có thể là bất cứ thứ gì nên đường thẳng này được “sao chép” ở bất kỳ độ cao nào. Như vậy phương trình xác định mặt phẳng song song với trục tọa độ

Tương tự:
- phương trình mặt phẳng song song với trục tọa độ;
- Phương trình mặt phẳng song song với trục tọa độ.

Nếu các số hạng tự do bằng 0 thì các mặt phẳng sẽ trực tiếp đi qua các trục tương ứng. Ví dụ: “tỷ lệ thuận trực tiếp” cổ điển: . Vẽ một đường thẳng trong mặt phẳng và nhẩm nhân nó lên xuống (vì “Z” là bất kỳ). Kết luận: mặt phẳng xác định bởi phương trình đi qua trục tọa độ.

Chúng tôi hoàn thành việc xem xét: phương trình của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. Vâng, ở đây khá rõ ràng là điểm thỏa mãn phương trình này.

Và cuối cùng, trường hợp trong hình vẽ: – mặt phẳng thân thiện với tất cả các trục tọa độ, trong khi nó luôn “cắt đứt” một hình tam giác, tam giác này có thể nằm ở bất kỳ góc nào trong tám quãng tám.

Bất đẳng thức tuyến tính trong không gian

Để hiểu rõ thông tin bạn cần học tốt bất đẳng thức tuyến tính trong mặt phẳng, bởi vì nhiều thứ sẽ giống nhau. Đoạn văn này sẽ có tính chất tổng quan ngắn gọn với một số ví dụ, vì tài liệu này khá hiếm trong thực tế.

Nếu phương trình xác định một mặt phẳng thì các bất đẳng thức
hỏi nửa khoảng trống. Nếu bất đẳng thức không nghiêm ngặt (hai bất đẳng thức cuối cùng trong danh sách), thì nghiệm của bất đẳng thức, ngoài nửa không gian, còn bao gồm chính mặt phẳng.

Ví dụ 5

Tìm vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng .

Giải pháp: Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1. Chúng ta hãy biểu thị vectơ này bằng . Rõ ràng là các vectơ thẳng hàng:

Đầu tiên, chúng ta loại bỏ vectơ pháp tuyến khỏi phương trình của mặt phẳng: .

Làm thế nào để tìm một vector đơn vị? Để tìm vectơ đơn vị, bạn cần mọi chia tọa độ vectơ cho chiều dài vectơ.

Hãy viết lại vectơ pháp tuyến dưới dạng và tìm độ dài của nó:

Theo như trên:

Trả lời:

Xác minh: những gì cần phải được xác minh.

Bạn đọc đọc kỹ đoạn cuối của bài học có thể nhận thấy rằng tọa độ của vectơ đơn vị chính xác là cosin chỉ phương của vectơ:

Chúng ta hãy tạm dừng vấn đề hiện tại: khi bạn được cho một vectơ khác 0 tùy ý, và tùy theo điều kiện cần tìm cosin hướng của nó (xem các bài toán cuối bài Tích vô hướng của vectơ), thì trên thực tế, bạn sẽ tìm thấy một vectơ đơn vị thẳng hàng với vectơ này. Trên thực tế hai nhiệm vụ trong một chai.

Nhu cầu tìm vectơ pháp tuyến đơn vị nảy sinh trong một số bài toán giải tích.

Chúng ta đã tìm ra cách tìm ra một vectơ pháp tuyến, bây giờ hãy trả lời câu hỏi ngược lại:

Làm thế nào để tạo phương trình của mặt phẳng khi sử dụng một điểm và vectơ pháp tuyến?

Cấu trúc cứng nhắc của một vectơ pháp tuyến và một điểm đã được biết rõ đối với bảng phóng phi tiêu. Hãy đưa tay về phía trước và nhẩm chọn một điểm tùy ý trong không gian, chẳng hạn như một con mèo nhỏ trong tủ búp phê. Rõ ràng, qua điểm này bạn có thể vẽ một mặt phẳng vuông góc với bàn tay của mình.

Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm vuông góc với vectơ được biểu diễn bằng công thức:

Có thể được chỉ định theo nhiều cách khác nhau (một điểm và một vectơ, hai điểm và một vectơ, ba điểm, v.v.). Chính vì điều này mà phương trình mặt phẳng có thể có các dạng khác nhau. Ngoài ra, tùy thuộc vào các điều kiện nhất định, các mặt phẳng có thể song song, vuông góc, cắt nhau, v.v. Chúng ta sẽ nói về điều này trong bài viết này. Chúng ta sẽ học cách tạo một phương trình tổng quát của mặt phẳng và hơn thế nữa.

Dạng phương trình thông thường

Giả sử có một không gian R 3 có hệ tọa độ XYZ hình chữ nhật. Chúng ta hãy xác định vectơ α, vectơ này sẽ được giải phóng khỏi điểm ban đầu O. Qua điểm cuối của vectơ α, chúng ta vẽ một mặt phẳng P sẽ vuông góc với nó.

Chúng ta hãy biểu thị một điểm tùy ý trên P là Q = (x, y, z). Hãy ký hiệu vectơ bán kính của điểm Q bằng chữ p. Trong trường hợp này, độ dài của vectơ α bằng р=IαI và Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Đây là một vectơ đơn vị hướng sang một bên, giống như vectơ α. α, β và γ lần lượt là các góc tạo bởi vectơ Ʋ và hướng dương của các trục không gian x, y, z. Hình chiếu của bất kỳ điểm QϵП nào lên vectơ Ʋ là một giá trị không đổi bằng p: (p,Ʋ) = p(p ≥0).

Phương trình trên có ý nghĩa khi p=0. Điều duy nhất là mặt phẳng P trong trường hợp này sẽ cắt điểm O (α=0), là gốc tọa độ, và vectơ đơn vị Ʋ được thả ra từ điểm O sẽ vuông góc với P, bất chấp hướng của nó. có nghĩa là vectơ Ʋ được xác định chính xác đến dấu. Phương trình trước đó là phương trình của mặt phẳng P của chúng ta, được biểu thị dưới dạng vectơ. Nhưng trong tọa độ nó sẽ trông như thế này:

P ở đây lớn hơn hoặc bằng 0. Ta đã tìm được phương trình mặt phẳng trong không gian ở dạng chuẩn.

phương trình tổng quát

Nếu chúng ta nhân phương trình trong tọa độ với bất kỳ số nào không bằng 0, chúng ta thu được một phương trình tương đương với phương trình này, xác định chính mặt phẳng đó. Nó sẽ trông giống thế này:

Ở đây A, B, C là các số khác 0 cùng một lúc. Phương trình này được gọi là phương trình mặt phẳng tổng quát.

Phương trình của mặt phẳng. Trường hợp đặc biệt

Phương trình ở dạng tổng quát có thể được sửa đổi khi có thêm các điều kiện. Chúng ta hãy nhìn vào một số trong số họ.

Giả sử hệ số A bằng 0. Điều này có nghĩa là mặt phẳng này song song với trục Ox đã cho. Trong trường hợp này, dạng của phương trình sẽ thay đổi: Ву+Cz+D=0.

Tương tự, dạng của phương trình sẽ thay đổi theo các điều kiện sau:

• Đầu tiên, nếu B = 0 thì phương trình sẽ thay đổi thành Ax + Cz + D = 0, biểu thị sự song song với trục Oy.
• Thứ hai, nếu C=0 thì phương trình sẽ được chuyển thành Ax+By+D=0, biểu thị sự song song với trục Oz đã cho.
• Thứ ba, nếu D=0, phương trình sẽ có dạng Ax+By+Cz=0, điều này có nghĩa là mặt phẳng cắt O (gốc).
• Thứ tư, nếu A=B=0 thì phương trình sẽ thay đổi thành Cz+D=0, chứng tỏ nó song song với Oxy.
• Thứ năm, nếu B=C=0 thì phương trình trở thành Ax+D=0, có nghĩa là mặt phẳng tới Oyz song song.
• Thứ sáu, nếu A=C=0 thì phương trình sẽ có dạng Ву+D=0, nghĩa là nó sẽ báo cáo tính song song với Oxz.

Loại phương trình trong phân đoạn

Trong trường hợp các số A, B, C, D khác 0 thì dạng phương trình (0) có thể như sau:

x/a + y/b + z/c = 1,

trong đó a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Ta được kết quả, điều đáng chú ý là mặt phẳng này sẽ cắt trục Ox tại một điểm có tọa độ (a,0,0), Oy - (0,b,0) và Oz - (0,0,c ).

Khi tính đến phương trình x/a + y/b + z/c = 1, không khó để hình dung trực quan vị trí của mặt phẳng so với một hệ tọa độ nhất định.

Tọa độ vector chuẩn

Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng P có tọa độ là các hệ số của phương trình tổng quát của mặt phẳng này, tức là n (A, B, C).

Để xác định tọa độ của pháp tuyến n, chỉ cần biết phương trình tổng quát của một mặt phẳng đã cho là đủ.

Khi sử dụng phương trình phân đoạn có dạng x/a + y/b + z/c = 1, cũng như khi sử dụng phương trình tổng quát, bạn có thể viết tọa độ của bất kỳ vectơ pháp tuyến nào của một mặt phẳng đã cho: (1 /a + 1/b + 1/ Với).

Điều đáng chú ý là vectơ pháp tuyến giúp giải quyết nhiều vấn đề khác nhau. Những dạng phổ biến nhất bao gồm các bài toán liên quan đến việc chứng minh tính vuông góc hoặc song song của các mặt phẳng, bài toán tìm góc giữa các mặt phẳng hoặc góc giữa mặt phẳng và đường thẳng.

Kiểu phương trình mặt phẳng theo tọa độ điểm và vectơ pháp tuyến

Một vectơ khác 0 n vuông góc với một mặt phẳng đã cho được gọi là vectơ bình thường đối với một mặt phẳng đã cho.

Giả sử rằng trong không gian tọa độ (hệ tọa độ hình chữ nhật) Oxyz được cho:

• điểm Mₒ có tọa độ (xₒ,yₒ,zₒ);
• vectơ không n=A*i+B*j+C*k.

Cần phải lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm Mₒ vuông góc với pháp tuyến n.

Chúng ta chọn bất kỳ điểm tùy ý nào trong không gian và ký hiệu là M (x y, z). Đặt vectơ bán kính của điểm M (x,y,z) bất kỳ là r=x*i+y*j+z*k và vectơ bán kính của điểm Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Điểm M sẽ thuộc một mặt phẳng cho trước nếu vectơ MₒM vuông góc với vectơ n. Chúng ta hãy viết điều kiện trực giao bằng tích vô hướng:

[MₒM, n] = 0.

Vì MₒM = r-rₒ nên phương trình vectơ của mặt phẳng sẽ như sau:

Phương trình này có thể có dạng khác. Để làm điều này, các tính chất của tích vô hướng được sử dụng và vế trái của phương trình được biến đổi. = - . Nếu chúng ta ký hiệu nó là c, chúng ta nhận được phương trình sau: - c = 0 hoặc = c, biểu thị hằng số của các hình chiếu lên vectơ pháp tuyến của các vectơ bán kính của các điểm đã cho thuộc mặt phẳng.

Bây giờ chúng ta có thể có dạng tọa độ để viết phương trình vectơ của mặt phẳng = 0. Vì r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k và n = A*i+B *j+С*k, ta có:

Hóa ra chúng ta có phương trình cho một mặt phẳng đi qua một điểm vuông góc với pháp tuyến n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Kiểu phương trình mặt phẳng theo tọa độ của hai điểm và một vectơ thẳng hàng với mặt phẳng

Chúng ta hãy xác định hai điểm tùy ý M′ (x′,y′,z′) và M" (x",y",z"), cũng như một vectơ a (a′,a",a‴).

Bây giờ chúng ta có thể tạo một phương trình cho một mặt phẳng cho trước sẽ đi qua các điểm M′ và M″ hiện có, cũng như bất kỳ điểm M nào có tọa độ (x, y, z) song song với vectơ a đã cho.

Trong trường hợp này, các vectơ M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) và M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) phải đồng phẳng với vectơ a=(a′,a″,a‴), có nghĩa là (M′M, M″M, a)=0.

Vì vậy, phương trình mặt phẳng của chúng ta trong không gian sẽ như thế này:

Dạng phương trình mặt phẳng cắt ba điểm

Giả sử chúng ta có ba điểm: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), không thuộc cùng một đường thẳng. Cần viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước. Lý thuyết hình học cho rằng loại mặt phẳng này thực sự tồn tại nhưng nó là duy nhất và duy nhất. Vì mặt phẳng này cắt điểm (x′,y′,z′), nên phương trình của nó sẽ có dạng như sau:

Ở đây A, B, C đồng thời khác 0. Ngoài ra, mặt phẳng đã cho còn giao nhau với hai điểm nữa: (x",y",z") và (x‴,y‴,z‴). Về vấn đề này, các điều kiện sau phải được đáp ứng:

Bây giờ chúng ta có thể tạo ra một hệ thống thuần nhất với các ẩn số u, v, w:

Trong trường hợp của chúng tôi, x, y hoặc z là một điểm tùy ý thỏa mãn phương trình (1). Cho phương trình (1) và hệ phương trình (2) và (3), hệ phương trình biểu thị ở hình trên thỏa mãn vectơ N (A,B,C), không tầm thường. Đó là lý do tại sao định thức của hệ thống này bằng 0.

Phương trình (1) mà chúng ta thu được là phương trình của mặt phẳng. Nó đi qua chính xác 3 điểm và điều này rất dễ kiểm tra. Để làm điều này, chúng ta cần mở rộng định thức thành các phần tử ở hàng đầu tiên. Từ các tính chất hiện có của định thức, suy ra rằng mặt phẳng của chúng ta đồng thời cắt ba điểm cho trước ban đầu (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Tức là chúng ta đã giải quyết được nhiệm vụ được giao.

Góc nhị diện giữa các mặt phẳng

Góc nhị diện là một hình hình học không gian được hình thành bởi hai nửa mặt phẳng xuất phát từ một đường thẳng. Nói cách khác, đây là phần không gian bị giới hạn bởi các nửa mặt phẳng này.

Giả sử chúng ta có hai mặt phẳng có các phương trình sau:

Chúng ta biết rằng các vectơ N=(A,B,C) và N¹=(A¹,B¹,C¹) vuông góc theo các mặt phẳng đã cho. Về vấn đề này, góc φ giữa các vectơ N và N¹ bằng góc (lưỡng diện) nằm giữa các mặt phẳng này. Tích vô hướng có dạng:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

chính xác là vì

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A2+B2+C2))*(√(A¹)2+(B¹)²+(C¹)²)).

Chỉ cần tính đến 0 φ π là đủ.

Trên thực tế, hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành hai góc (lưỡng diện): φ 1 và φ 2. Tổng của chúng bằng π (φ 1 + φ 2 = π). Đối với các cosin của chúng, giá trị tuyệt đối của chúng bằng nhau nhưng khác nhau về dấu, tức là cos φ 1 = -cos φ 2. Nếu trong phương trình (0) ta thay A, B, C lần lượt bằng các số -A, -B và -C thì phương trình ta nhận được sẽ xác định cùng một mặt phẳng duy nhất là góc φ trong phương trình cos φ= NN 1 /| N||N 1 | sẽ được thay thế bằng π-φ.

Phương trình mặt phẳng vuông góc

Các mặt phẳng có góc bằng 90 độ được gọi là vuông góc. Sử dụng tài liệu đã trình bày ở trên, chúng ta có thể tìm được phương trình của một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác. Giả sử chúng ta có hai mặt phẳng: Ax+By+Cz+D=0 và A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Chúng ta có thể nói rằng chúng sẽ vuông góc nếu cosφ=0. Điều này có nghĩa là NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Phương trình mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng không chứa điểm chung gọi là song song.

Điều kiện (phương trình của chúng giống như trong đoạn trước) là các vectơ N và N¹ vuông góc với chúng thì thẳng hàng. Điều này có nghĩa là các điều kiện tỷ lệ sau được đáp ứng:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Nếu các điều kiện tỷ lệ được mở rộng - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

điều này chỉ ra rằng những mặt phẳng này trùng nhau. Điều này có nghĩa là các phương trình Ax+By+Cz+D=0 và A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 mô tả một mặt phẳng.

Khoảng cách đến mặt phẳng từ điểm

Giả sử chúng ta có một mặt phẳng P, được cho bởi phương trình (0). Cần tìm khoảng cách đến nó từ một điểm có tọa độ (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Để làm điều này, bạn cần đưa phương trình của mặt phẳng P về dạng bình thường:

(ρ,v)=р(р ≥0).

Trong trường hợp này, ρ (x,y,z) là vectơ bán kính của điểm Q nằm trên P, p là chiều dài của đường vuông góc P được thả ra từ điểm 0, v là vectơ đơn vị, nằm trong hướng A.

Vectơ hiệu bán kính ρ-ρº của một số điểm Q = (x, y, z), thuộc P, cũng như vectơ bán kính của một điểm cho trước Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) là một vectơ như vậy, giá trị tuyệt đối của hình chiếu lên v bằng khoảng cách d cần tìm từ Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) đến P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, nhưng

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Hóa ra là vậy

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Vì vậy, chúng ta sẽ tìm thấy giá trị tuyệt đối của biểu thức thu được, tức là d mong muốn.

Sử dụng ngôn ngữ tham số, chúng ta có được điều hiển nhiên:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Nếu một điểm Q 0 cho trước nằm ở phía bên kia của mặt phẳng P, giống như gốc tọa độ, thì giữa vectơ ρ-ρ 0 và v có:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Trong trường hợp điểm Q 0 cùng với gốc tọa độ nằm cùng phía với P thì góc tạo ra là góc nhọn, đó là:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Kết quả là, trong trường hợp đầu tiên (ρ 0 ,v)>р, trong trường hợp thứ hai (ρ 0 ,v)<р.

Mặt phẳng tiếp tuyến và phương trình của nó

Mặt phẳng tiếp tuyến với bề mặt tại điểm tiếp xúc M° là mặt phẳng chứa tất cả các tiếp tuyến có thể có của các đường cong vẽ qua điểm này trên bề mặt.

Với dạng phương trình bề mặt F(x,y,z)=0 này, phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm tiếp tuyến Mº(xº,yº,zº) sẽ có dạng như sau:

F x (x°,y°,z°)(x- xº)+ F x (x°, y°, z°)(y- yº)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.

Nếu bạn chỉ định bề mặt ở dạng rõ ràng z=f (x,y), thì mặt phẳng tiếp tuyến sẽ được mô tả bằng phương trình:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Giao điểm của hai mặt phẳng

Trong hệ tọa độ (hình chữ nhật) nằm ở Oxyz, có hai mặt phẳng П′ và П″ cắt nhau và không trùng nhau. Vì bất kỳ mặt phẳng nào nằm trong hệ tọa độ hình chữ nhật đều được xác định bởi một phương trình tổng quát, nên chúng ta sẽ giả sử rằng P′ và P″ được cho bởi các phương trình A′x+B′y+C′z+D′=0 và A″x +B″y+ С″z+D″=0. Trong trường hợp này, chúng ta có pháp tuyến n′ (A′,B′,C′) của mặt phẳng P′ và pháp tuyến n″ (A″,B″,C″) của mặt phẳng P″. Vì các mặt phẳng của chúng ta không song song và không trùng nhau nên các vectơ này không thẳng hàng. Sử dụng ngôn ngữ toán học, chúng ta có thể viết điều kiện này như sau: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Giả sử đường thẳng nằm tại giao điểm của P′ và P″ được ký hiệu là a, trong trường hợp này a = P′ ∩ P″.

a là đường thẳng gồm tập hợp tất cả các điểm thuộc các mặt phẳng (chung) P' và P'. Điều này có nghĩa là tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc đường thẳng a phải đồng thời thỏa mãn các phương trình A′x+B′y+C′z+D′=0 và A″x+B″y+C″z+D″=0 . Điều này có nghĩa là tọa độ của điểm sẽ là nghiệm một phần của hệ phương trình sau:

Kết quả là nghiệm (tổng quát) của hệ phương trình này sẽ xác định được tọa độ của từng điểm trên đường thẳng, đóng vai trò là giao điểm của P′ và P″, đồng thời xác định được đường thẳng a trong hệ tọa độ Oxyz (hình chữ nhật) trong không gian.

Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét cách sử dụng định thức để tạo ra phương trình mặt phẳng. Nếu bạn chưa biết định thức là gì, hãy xem phần đầu tiên của bài học - “Ma trận và định thức”. Nếu không, bạn có nguy cơ không hiểu bất cứ điều gì trong tài liệu hôm nay.

Phương trình mặt phẳng sử dụng ba điểm

Tại sao chúng ta lại cần một phương trình phẳng? Thật đơn giản: biết điều đó, chúng ta có thể dễ dàng tính toán góc, khoảng cách và những thứ vớ vẩn khác trong bài toán C2. Nói chung, bạn không thể làm gì nếu không có phương trình này. Vì vậy, ta xây dựng bài toán:

Nhiệm vụ. Ba điểm được cho trong không gian không nằm trên cùng một đường thẳng. Tọa độ của họ:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Bạn cần lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm này. Hơn nữa, phương trình sẽ trông như sau:

Ax + By + Cz + D = 0

trong đó các số A, B, C và D là các hệ số thực tế cần tìm.

Chà, làm thế nào để có được phương trình của mặt phẳng nếu chỉ biết tọa độ của các điểm? Cách dễ nhất là thay tọa độ vào phương trình Ax + By + Cz + D = 0. Bạn sẽ có được hệ ba phương trình có thể giải dễ dàng.

Nhiều sinh viên thấy giải pháp này cực kỳ tẻ nhạt và không đáng tin cậy. Kỳ thi thống nhất môn toán năm ngoái cho thấy khả năng mắc lỗi tính toán là rất cao.

Vì vậy, những giáo viên tiên tiến nhất bắt đầu tìm kiếm những giải pháp đơn giản và thanh lịch hơn. Và họ đã tìm thấy nó! Đúng, kỹ thuật thu được khá liên quan đến toán học cao hơn. Cá nhân tôi đã phải lục lọi toàn bộ Danh sách Sách giáo khoa Liên bang để đảm bảo rằng chúng tôi có quyền sử dụng kỹ thuật này mà không cần bất kỳ lời biện minh hay bằng chứng nào.

Phương trình mặt phẳng đi qua định thức

Lời bài hát đủ rồi, hãy bắt tay vào công việc. Để bắt đầu, một định lý về mối liên hệ giữa định thức của ma trận và phương trình của mặt phẳng.

Định lý. Cho tọa độ ba điểm qua đó vẽ mặt phẳng: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Khi đó phương trình của mặt phẳng này có thể được viết thông qua định thức:

Ví dụ, hãy thử tìm một cặp mặt phẳng thực sự xuất hiện trong bài toán C2. Hãy xem mọi thứ được tính toán nhanh như thế nào:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Chúng ta soạn một định thức và đánh đồng nó bằng 0:

Chúng tôi mở rộng yếu tố quyết định:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Như các bạn thấy, khi tính số d, tôi đã “soạn” phương trình một chút sao cho các biến x, y và z theo đúng thứ tự. Đó là tất cả! Phương trình mặt phẳng đã sẵn sàng!

Nhiệm vụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Ta thay ngay tọa độ các điểm vào định thức:

Chúng tôi mở rộng định thức một lần nữa:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Vì vậy, phương trình của mặt phẳng lại thu được! Một lần nữa, ở bước cuối cùng, chúng ta phải thay đổi các dấu trong đó để có được công thức “đẹp” hơn. Không cần thiết phải làm điều này trong giải pháp này, nhưng nó vẫn được khuyến khích - để đơn giản hóa giải pháp tiếp theo của vấn đề.

Như bạn có thể thấy, việc soạn phương trình mặt phẳng giờ đây đã dễ dàng hơn nhiều. Chúng ta thay các điểm vào ma trận, tính định thức - thế là xong, phương trình đã sẵn sàng.

Điều này có thể kết thúc bài học. Tuy nhiên, nhiều học sinh thường xuyên quên nội dung bên trong định thức. Ví dụ: dòng nào chứa x 2 hoặc x 3 và dòng nào chỉ chứa x. Để thực sự giải quyết được vấn đề này, chúng ta hãy xem mỗi số đến từ đâu.

Công thức với định thức đến từ đâu?

Vì vậy, chúng ta hãy tìm hiểu xem phương trình khắc nghiệt như vậy với định thức đến từ đâu. Điều này sẽ giúp bạn ghi nhớ và áp dụng thành công.

Tất cả các mặt phẳng xuất hiện trong Bài toán C2 đều được xác định bởi ba điểm. Những điểm này luôn được đánh dấu trên hình vẽ, thậm chí được chỉ ra trực tiếp trong nội dung bài toán. Trong mọi trường hợp, để tạo một phương trình, chúng ta cần viết tọa độ của chúng:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Hãy xem xét một điểm khác trên mặt phẳng của chúng ta với tọa độ tùy ý:

T = (x, y, z)

Lấy bất kỳ điểm nào từ ba điểm đầu tiên (ví dụ: điểm M) và vẽ vectơ từ điểm đó đến từng điểm trong số ba điểm còn lại. Chúng tôi nhận được ba vectơ:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Bây giờ chúng ta hãy soạn một ma trận vuông từ các vectơ này và đánh đồng định thức của nó bằng 0. Tọa độ của các vectơ sẽ trở thành các hàng của ma trận - và chúng ta sẽ nhận được định thức chính xác được chỉ ra trong định lý:

Công thức này có nghĩa là thể tích của hình bình hành dựng trên các vectơ MN, MK và MT bằng 0. Do đó, cả ba vectơ đều nằm trong cùng một mặt phẳng. Cụ thể, một điểm tùy ý T = (x, y, z) chính xác là điểm mà chúng ta đang tìm kiếm.

Thay thế điểm và đường thẳng của định thức

Các yếu tố quyết định có một số tính chất tuyệt vời giúp việc này trở nên dễ dàng hơn giải quyết vấn đề C2. Ví dụ, việc chúng ta vẽ vectơ từ điểm nào không quan trọng đối với chúng ta. Do đó, các định thức sau đây cho cùng một phương trình mặt phẳng như phương trình trên:

Bạn cũng có thể hoán đổi các dòng của định thức. Phương trình sẽ không thay đổi. Ví dụ, nhiều người thích viết một dòng có tọa độ của điểm T = (x; y; z) ở trên cùng. Xin vui lòng, nếu nó thuận tiện cho bạn:

Một số người bối rối vì một trong các dòng chứa các biến x, y và z không biến mất khi thay thế điểm. Nhưng họ không nên biến mất! Thay các số vào định thức, bạn sẽ có được công thức sau:

Sau đó khai triển định thức theo sơ đồ ở đầu bài và thu được phương trình chuẩn của mặt phẳng:

Ax + By + Cz + D = 0

Hãy xem một ví dụ. Đây là bài cuối cùng trong bài học hôm nay. Tôi sẽ cố tình hoán đổi các đường thẳng để đảm bảo rằng câu trả lời sẽ cho cùng một phương trình của mặt phẳng.

Nhiệm vụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Vì vậy, chúng tôi xem xét 4 điểm:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Đầu tiên, hãy tạo một định thức chuẩn và cho nó bằng 0:

Chúng tôi mở rộng yếu tố quyết định:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Vậy là ta đã có đáp án: x + y + z − 2 = 0.

Bây giờ hãy sắp xếp lại một vài dòng trong định thức và xem điều gì sẽ xảy ra. Ví dụ: hãy viết một dòng với các biến x, y, z không phải ở dưới cùng mà ở trên cùng:

Chúng tôi một lần nữa mở rộng định thức kết quả:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Chúng ta có cùng một phương trình mặt phẳng: x + y + z − 2 = 0. Điều này có nghĩa là nó thực sự không phụ thuộc vào thứ tự của các hàng. Tất cả những gì còn lại là viết ra câu trả lời.

Vì vậy, chúng ta tin chắc rằng phương trình của mặt phẳng không phụ thuộc vào dãy đường thẳng. Chúng ta có thể thực hiện các phép tính tương tự và chứng minh rằng phương trình của mặt phẳng không phụ thuộc vào điểm có tọa độ mà chúng ta trừ đi các điểm khác.

Trong bài toán đã xét ở trên, chúng ta đã sử dụng điểm B 1 = (1, 0, 1), nhưng hoàn toàn có thể lấy C = (1, 1, 0) hoặc D 1 = (0, 1, 1). Nói chung, bất kỳ điểm nào có tọa độ đã biết đều nằm trên mặt phẳng mong muốn.