Hiểu được sự kỳ diệu của cường điệu. Vẽ đồ thị quan hệ nghịch đảo (hyperbola)

Tôi đề nghị những độc giả còn lại nên mở rộng đáng kể kiến ​​thức học đường của họ về parabol và hyperbol. Hyperbol và parabol - chúng có đơn giản không? ...Không thể đợi được nữa =))

Hyperbola và phương trình chính tắc của nó

Cấu trúc chung của việc trình bày tài liệu sẽ giống với đoạn trước. Hãy bắt đầu với khái niệm chung về hyperbola và nhiệm vụ xây dựng nó.

Phương trình chính tắc của hyperbol có dạng , trong đó là các số thực dương. Xin lưu ý rằng, không giống như hình elip, điều kiện không được áp đặt ở đây, tức là giá trị của “a” có thể nhỏ hơn giá trị của “be”.

Tôi phải nói rằng, khá bất ngờ... phương trình của hyperbol “trường học” thậm chí không gần giống với ký hiệu kinh điển. Nhưng bí ẩn này vẫn sẽ phải chờ đợi chúng ta, nhưng bây giờ chúng ta hãy gãi đầu và nhớ xem đường cong đang được đề cập có những đặc điểm gì? Hãy truyền bá nó trên màn hình trí tưởng tượng của chúng ta đồ thị của hàm số ….

Một hyperbol có hai nhánh đối xứng.

Tiến triển không tồi! Bất kỳ sự cường điệu nào cũng có những đặc tính này, và bây giờ chúng ta sẽ thực sự ngưỡng mộ đường viền cổ áo của đường này:

Ví dụ 4

Xây dựng hyperbol cho bởi phương trình

Giải pháp: trong bước đầu tiên, chúng ta đưa phương trình này về dạng chính tắc. Hãy nhớ quy trình chuẩn. Ở bên phải, bạn cần lấy "một", vì vậy chúng ta chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho 20:

Ở đây bạn có thể giảm cả hai phân số, nhưng sẽ tối ưu hơn khi thực hiện từng phân số ba tầng:

Và chỉ sau đó mới tiến hành giảm:

Chọn các ô vuông ở mẫu số:

Tại sao thực hiện chuyển đổi theo cách này lại tốt hơn? Rốt cuộc, các phân số ở phía bên trái có thể được giảm ngay lập tức và thu được. Thực tế là trong ví dụ đang xem xét, chúng ta đã hơi may mắn: số 20 chia hết cho cả 4 và 5. Trong trường hợp chung, một con số như vậy không hoạt động. Ví dụ, hãy xem xét phương trình . Ở đây có sự chia cắt mọi thứ càng buồn hơn và không có phân số ba tầng không còn có thể:

Vì vậy, hãy sử dụng thành quả lao động của chúng ta - phương trình chính tắc:

Làm thế nào để xây dựng một hyperbol?

Có hai cách tiếp cận để xây dựng một hyperbola - hình học và đại số.
Từ quan điểm thực tế, vẽ bằng la bàn... Tôi thậm chí có thể nói là không tưởng, vì vậy sẽ có lợi hơn nhiều nếu một lần nữa sử dụng các phép tính đơn giản để trợ giúp.

Nên tuân thủ thuật toán sau, đầu tiên là bản vẽ hoàn thiện, sau đó là nhận xét:

Trong thực tế, người ta thường gặp sự kết hợp giữa phép quay một góc tùy ý và phép dịch song song của hyperbol. Tình huống này được thảo luận trong lớp Rút gọn phương trình đường bậc 2 về dạng chính tắc.

Parabol và phương trình chính tắc của nó

Mọi chuyện đã kết thúc rồi! Cô ấy là một trong những. Sẵn sàng tiết lộ nhiều bí mật. Phương trình chính tắc của parabol có dạng , trong đó là số thực. Dễ dàng nhận thấy rằng ở vị trí tiêu chuẩn của nó, parabol “nằm nghiêng” và đỉnh của nó ở gốc tọa độ. Trong trường hợp này, hàm chỉ định nhánh trên của dòng này và hàm – nhánh dưới. Rõ ràng là parabol đối xứng qua trục. Trên thực tế, tại sao phải bận tâm:

Ví dụ 6

Xây dựng một parabol

Giải pháp: đã biết đỉnh, hãy tìm thêm điểm. phương trình xác định cung trên của parabol, phương trình xác định cung dưới.

Để rút ngắn thời gian ghi lại các phép tính, chúng tôi sẽ thực hiện các phép tính “bằng một bút vẽ”:

Để ghi nhỏ gọn, kết quả có thể được tóm tắt trong bảng.

Trước khi thực hiện vẽ từng điểm cơ bản, chúng ta hãy xây dựng một bản vẽ chặt chẽ

định nghĩa parabol:

Parabol là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cho trước và một đường thẳng cho trước không đi qua điểm đó.

Điểm đó được gọi là tập trung parabol, đường thẳng - hiệu trưởng (đánh vần bằng một "es") parabol. Hằng số "pe" của phương trình chính tắc được gọi là tham số tiêu cự, bằng khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn. Trong trường hợp này . Trong trường hợp này, tiêu điểm có tọa độ và đường chuẩn được cho bởi phương trình .
Trong ví dụ của chúng tôi:

Định nghĩa của parabol thậm chí còn dễ hiểu hơn định nghĩa của hình elip và hyperbola. Đối với bất kỳ điểm nào trên parabol, độ dài của đoạn (khoảng cách từ tiêu điểm đến điểm) bằng độ dài đường vuông góc (khoảng cách từ điểm đến đường chuẩn):

Chúc mừng! Nhiều người trong số các bạn đã có một khám phá thực sự ngày hôm nay. Hóa ra, hyperbol và parabol hoàn toàn không phải là đồ thị của các hàm “thông thường”, mà có nguồn gốc hình học rõ rệt.

Rõ ràng, khi tham số tiêu cự tăng lên, các nhánh của đồ thị sẽ “nâng lên” lên xuống, tiến gần đến trục vô cùng. Khi giá trị “pe” giảm, chúng sẽ bắt đầu nén và giãn dọc theo trục

Độ lệch tâm của bất kỳ parabol nào đều bằng đơn vị:

Phép quay và dịch song song của parabol

Parabol là một trong những đường phổ biến nhất trong toán học và bạn sẽ phải vẽ nó rất thường xuyên. Vì vậy, hãy đặc biệt chú ý đến đoạn cuối của bài học, nơi tôi sẽ thảo luận về các lựa chọn điển hình cho vị trí của đường cong này.

! Ghi chú : như trong các trường hợp với các đường cong trước, sẽ đúng hơn khi nói về phép quay và dịch song song của các trục tọa độ, nhưng tác giả sẽ giới hạn ở một phiên bản đơn giản hóa của cách trình bày để người đọc có hiểu biết cơ bản về các phép biến đổi này.

Trình bày và bài học về chủ đề:
"Hyperbol, định nghĩa, tính chất của hàm"

Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn. Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.

Công cụ hỗ trợ giáo dục và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 8
Bàn giáo dục điện tử cho hình học. lớp 7-9
Bảng giáo dục điện tử cho đại số. lớp 7-9"

Cường điệu, định nghĩa

Đồ thị của hàm $y=\frac(1)(x)$.
Đồ thị của hàm số đó được gọi là “Hyperbola”.

Tính chất của hyperbol

Một hyperbol không chỉ có tâm đối xứng mà còn có trục đối xứng. Các bạn ơi, hãy vẽ đường thẳng $y=x$ và xem đồ thị của chúng ta được chia như thế nào. Bạn có thể nhận thấy rằng nếu phần nằm phía trên đường thẳng $y=x$ được đặt chồng lên phần nằm bên dưới, thì chúng sẽ trùng nhau, điều này có nghĩa là sự đối xứng đối với đường thẳng.

Chúng ta đã vẽ đồ thị của hàm $y=\frac(1)(x)$, nhưng điều sẽ xảy ra trong trường hợp tổng quát là $y=\frac(k)(x)$, $k>0$.
Các đồ thị thực tế sẽ không khác nhau. Kết quả sẽ là một hyperbol có cùng các nhánh, chỉ có điều $k$ càng nhiều thì các nhánh sẽ càng bị loại bỏ khỏi gốc và càng ít $k$ thì càng gần gốc.

Ví dụ: đồ thị của hàm $y=\frac(10)(x)$ trông như thế này. Đồ thị trở nên “rộng hơn” và di chuyển ra xa điểm gốc.
Nhưng còn $k$ âm thì sao? Đồ thị của hàm $y=-f(x)$ đối xứng với đồ thị của $y=f(x)$ so với trục x, bạn cần lật ngược nó lại.
Chúng ta hãy tận dụng tính chất này và vẽ đồ thị hàm $y=-\frac(1)(x)$.

Hãy tóm tắt lại những kiến ​​thức đã thu được.
Đồ thị của hàm $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ là một hyperbol nằm ở phần tư tọa độ thứ nhất và thứ ba (thứ hai và thứ tư), cho $k>0$ ($k

Thuộc tính của hàm $y=\frac(k)(x)$, $k>0$

Thuộc tính của hàm $y=\frac(k)(x)$, $k
1. Miền định nghĩa: tất cả các số ngoại trừ $x=0$.
2. $y>0$ cho $x 0$.
3. Hàm tăng theo các khoảng $(-∞;0)$ và $(0;+∞)$.
4. Chức năng không bị giới hạn ở trên hoặc dưới.
5. Không có giá trị tối đa hoặc tối thiểu.
6. Hàm số liên tục trên các khoảng $(-∞;0)U(0;+∞)$ và có giá trị gián đoạn tại điểm $x=0$.
7. Phạm vi giá trị: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Hyperbol là đường cong phẳng bậc hai bao gồm hai đường cong riêng biệt không cắt nhau.
Công thức cường điệu y = k/x, với điều kiện là k không công bằng 0 . Nghĩa là, các đỉnh của hyperbol có xu hướng bằng 0 nhưng không bao giờ cắt nhau.

Hyperbol- đây là tập hợp các điểm trên mặt phẳng, mô đun chênh lệch khoảng cách từ hai điểm, được gọi là tiêu điểm, là một giá trị không đổi.

Của cải:

1. Thuộc tính quang học:ánh sáng từ một nguồn nằm ở một trong các tiêu điểm của hyperbol được phản xạ bởi nhánh thứ hai của hyperbol theo cách mà phần mở rộng của các tia phản xạ giao nhau tại tiêu điểm thứ hai.
Nói cách khác, nếu F1 và F2 là tiêu điểm của hyperbol thì tiếp tuyến tại bất kỳ điểm X nào của hyperbol là phân giác của góc ∠F1XF2.

2. Đối với bất kỳ điểm nào nằm trên hyperbola, tỷ lệ khoảng cách từ điểm này đến tiêu điểm và khoảng cách từ cùng một điểm đến đường chuẩn là một giá trị không đổi.

3. Cường điệu có đối xứng gương qua trục thực và trục ảo, Và đối xứng quay khi quay một góc 180° quanh tâm của hyperbol.

4. Mỗi cường điệu có hyperbol liên hợp, trong đó trục thực và trục ảo thay đổi vị trí, nhưng các tiệm cận vẫn giữ nguyên.

Tính chất của hyperbol:

1) Một hyperbol có hai trục đối xứng (các trục chính của hyperbol) và một tâm đối xứng (tâm của hyperbol). Trong trường hợp này, một trong các trục này giao nhau với hyperbol tại hai điểm, gọi là các đỉnh của hyperbol. Nó được gọi là trục thực của hyperbol (trục Ồ cho sự lựa chọn chính tắc của hệ tọa độ). Trục còn lại không có điểm chung với hyperbol và được gọi là trục ảo của nó (trong tọa độ chính tắc - trục OU). Hai bên của nó là nhánh phải và nhánh trái của hyperbol. Các tiêu điểm của hyperbol nằm trên trục thực của nó.

2) Các nhánh của hyperbol có hai đường tiệm cận, xác định theo phương trình

3) Cùng với hyperbol (11.3), chúng ta có thể xét cái gọi là hyperbol liên hợp, được xác định bởi phương trình chính tắc

trong đó trục thực và trục ảo được hoán đổi trong khi vẫn giữ nguyên các tiệm cận.

4) Độ lệch tâm của hyperbol e> 1.

5) Tỷ lệ khoảng cách tôi từ điểm hyperbol đến tiêu điểm tôiđến khoảng cách tôi từ điểm này đến đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm bằng độ lệch tâm của hyperbol.

42. cường điệu là tập hợp các điểm trong mặt phẳng mà mô đun chênh lệch khoảng cách đến hai điểm cố định là F 1 và F 2 của mặt phẳng này, được gọi là thủ thuật, là một giá trị không đổi.

Chúng ta hãy suy ra phương trình chính tắc của một hyperbol bằng cách tương tự với việc suy ra phương trình của một hình elip, sử dụng cùng một ký hiệu.

|r 1 - r 2 | = 2Một, từ đâu Nếu chúng ta biểu thị b² = c² - Một², từ đây bạn có thể nhận được

- phương trình hyperbol chính tắc. (11.3)

Quỹ tích các điểm mà tỷ số giữa khoảng cách đến tiêu điểm và với một đường thẳng cho trước, được gọi là đường chuẩn, không đổi và lớn hơn 1 được gọi là hyperbola. Hằng số đã cho được gọi là độ lệch tâm của hyperbol

Định nghĩa 11.6.Độ lệch tâm hyperbol được gọi là đại lượng e = c/a.

Độ lệch tâm:

Định nghĩa 11.7.Hiệu trưởng tôi hyperbol tương ứng với tiêu điểm tôi, được gọi là đường thẳng nằm trong cùng một nửa mặt phẳng với tôi so với trục OU vuông góc với trục Ồ trên khoảng cách một/e từ nguồn gốc.

43. Trường hợp hyperbol liên hợp, suy biến (KHÔNG HOÀN TOÀN)

Mỗi cường điệu có hyperbol liên hợp, trong đó trục thực và trục ảo thay đổi vị trí, nhưng các tiệm cận vẫn giữ nguyên. Điều này tương ứng với việc thay thế Một Và b chồng lên nhau trong một công thức mô tả một hyperbol. Hyperbol liên hợp không phải là kết quả của việc quay hyperbol ban đầu một góc 90°; cả hai hyperbol đều có hình dạng khác nhau.

Nếu các tiệm cận của một hyperbol vuông góc với nhau thì hyperbol được gọi là đều . Hai hyperbol có các đường tiệm cận chung nhưng có trục ngang và trục liên hợp được sắp xếp lại, được gọi là liên hợp lẫn nhau .

Hyperbol và parabol

Chúng ta hãy chuyển sang phần thứ hai của bài viết về dòng lệnh thứ hai, dành riêng cho hai đường cong phổ biến khác - cường điệu Và parabol. Nếu bạn đến trang này từ một công cụ tìm kiếm hoặc chưa có thời gian tìm hiểu chủ đề, thì tôi khuyên bạn trước tiên nên nghiên cứu phần đầu tiên của bài học, trong đó chúng ta không chỉ xem xét những điểm lý thuyết chính mà còn làm quen với hình elip. Tôi đề nghị những độc giả còn lại nên mở rộng đáng kể kiến ​​thức học đường của họ về parabol và hyperbol. Hyperbol và parabol - chúng có đơn giản không? ...Không thể đợi được nữa =))

Hyperbola và phương trình chính tắc của nó

Cấu trúc chung của việc trình bày tài liệu sẽ giống với đoạn trước. Hãy bắt đầu với khái niệm chung về hyperbola và nhiệm vụ xây dựng nó.

Phương trình chính tắc của hyperbol có dạng , trong đó là các số thực dương. Xin lưu ý rằng, không giống như hình elip, điều kiện không được áp đặt ở đây, tức là giá trị của “a” có thể nhỏ hơn giá trị của “be”.

Tôi phải nói rằng, khá bất ngờ... phương trình của hyperbol “trường học” thậm chí không gần giống với ký hiệu kinh điển. Nhưng bí ẩn này vẫn sẽ phải chờ đợi chúng ta, nhưng bây giờ chúng ta hãy gãi đầu và nhớ xem đường cong đang được đề cập có những đặc điểm gì? Hãy truyền bá nó trên màn hình trí tưởng tượng của chúng ta đồ thị của hàm số ….

Một hyperbol có hai nhánh đối xứng.

Một cường điệu có hai tiệm cận.

Tiến triển không tồi! Bất kỳ sự cường điệu nào cũng có những đặc tính này, và bây giờ chúng ta sẽ thực sự ngưỡng mộ đường viền cổ áo của đường này:

Ví dụ 4

Xây dựng hyperbol cho bởi phương trình

Giải pháp: trong bước đầu tiên, chúng ta đưa phương trình này về dạng chính tắc. Hãy nhớ quy trình chuẩn. Ở bên phải, bạn cần lấy "một", vì vậy chúng ta chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho 20:

Ở đây bạn có thể giảm cả hai phân số, nhưng sẽ tối ưu hơn khi thực hiện từng phân số ba tầng:

Và chỉ sau đó mới tiến hành giảm:

Chọn các ô vuông ở mẫu số:

Tại sao thực hiện chuyển đổi theo cách này lại tốt hơn? Rốt cuộc, các phân số ở phía bên trái có thể được giảm ngay lập tức và thu được. Thực tế là trong ví dụ đang xem xét, chúng ta đã hơi may mắn: số 20 chia hết cho cả 4 và 5. Trong trường hợp chung, một con số như vậy không hoạt động. Ví dụ, hãy xem xét phương trình . Ở đây có sự chia cắt mọi thứ càng buồn hơn và không có phân số ba tầng không còn có thể:

Vì vậy, hãy sử dụng thành quả lao động của chúng ta - phương trình chính tắc:

Làm thế nào để xây dựng một hyperbol?

Có hai cách tiếp cận để xây dựng một hyperbola - hình học và đại số.
Từ quan điểm thực tế, vẽ bằng la bàn... Tôi thậm chí có thể nói là không tưởng, vì vậy sẽ có lợi hơn nhiều nếu một lần nữa sử dụng các phép tính đơn giản để trợ giúp.

Nên tuân thủ thuật toán sau, đầu tiên là bản vẽ hoàn thiện, sau đó là nhận xét:

1) Trước hết, chúng ta tìm thấy tiệm cận. Nếu một hyperbol được cho bởi một phương trình chính tắc thì các tiệm cận của nó là thẳng . Trong trường hợp của chúng ta: . Mục này là bắt buộc!Đây là một đặc điểm cơ bản của hình vẽ, và sẽ là một sai lầm nếu các nhánh của hyperbol “bò ra” ngoài các đường tiệm cận của chúng.

2) Bây giờ chúng tôi tìm thấy hai đỉnh của một hyperbol, nằm trên trục hoành tại các điểm . Đạo hàm là cơ bản: nếu , thì phương trình chính tắc biến thành , từ đó nó tuân theo . Hyperbol đang xét có các đỉnh

3) Chúng tôi đang tìm kiếm điểm bổ sung. Thông thường 2-3 là đủ. Ở vị trí chính tắc, hyperbol đối xứng qua gốc tọa độ và cả hai trục tọa độ, do đó chỉ cần thực hiện các phép tính cho quý tọa độ thứ nhất là đủ. Kỹ thuật này hoàn toàn giống như khi xây dựng hình elip. Từ phương trình chính tắc trong bản dự thảo, chúng tôi biểu thị:

Phương trình được chia thành hai hàm:
– xác định các cung trên của hyperbol (những gì chúng ta cần);
– xác định các cung dưới của một hyperbol.

Điều này gợi ý việc tìm điểm với abscissas:

4) Hãy vẽ các đường tiệm cận trong hình vẽ , đỉnh , các điểm bổ sung và đối xứng với chúng trong các phần tọa độ khác. Cẩn thận kết nối các điểm tương ứng ở mỗi nhánh của hyperbol:

Khó khăn về mặt kỹ thuật có thể phát sinh với những dốc, nhưng đây là một vấn đề hoàn toàn có thể khắc phục được.

Đoạn đường gọi điện trục thực cường điệu,
chiều dài của nó là khoảng cách giữa các đỉnh;
con số gọi điện bán trục thực cường điệu;
con số – nửa trục ảo.

Trong ví dụ của chúng tôi: và rõ ràng là nếu hyperbol này được quay quanh tâm đối xứng và/hoặc di chuyển thì các giá trị này sẽ không thay đổi.

Định nghĩa của cường điệu. Tiêu điểm và độ lệch tâm

Một sự cường điệu, giống như một hình elip, có hai điểm đặc biệt gọi là thủ thuật. Tôi không nói gì, nhưng đề phòng có ai hiểu lầm: tâm đối xứng và tiêu điểm tất nhiên không thuộc đường cong.

Khái niệm chung của định nghĩa cũng tương tự:

cường điệu gọi là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng, giá trị tuyệt đối sự khác biệt về khoảng cách đến mỗi điểm từ hai điểm đã cho là một giá trị không đổi, bằng khoảng cách giữa các đỉnh của hyperbol này: . Trong trường hợp này, khoảng cách giữa các tiêu điểm vượt quá độ dài của trục thực: .

Nếu một hyperbol được cho bởi một phương trình chính tắc thì khoảng cách từ tâm đối xứng đến mỗi tiêu điểmđược tính theo công thức: .
Và theo đó, tiêu điểm có tọa độ .

Đối với hyperbola đang nghiên cứu:

Hãy hiểu định nghĩa. Chúng ta hãy biểu thị bằng khoảng cách từ tiêu điểm đến một điểm tùy ý của hyperbol:

Đầu tiên, hãy di chuyển dấu chấm màu xanh lam dọc theo nhánh bên phải của hyperbol - dù chúng ta đang ở đâu, mô-đun(giá trị tuyệt đối) của chênh lệch độ dài của các đoạn sẽ giống nhau:

Nếu bạn “ném” điểm vào nhánh bên trái và di chuyển nó đến đó thì giá trị này sẽ không thay đổi.

Dấu hiệu mô đun là cần thiết vì sự khác biệt về độ dài có thể là dương hoặc âm. Nhân tiện, với bất kỳ điểm nào trên nhánh bên phải (vì đoạn này ngắn hơn đoạn ). Đối với bất kỳ điểm nào trên nhánh trái, tình huống hoàn toàn ngược lại và .

Hơn nữa, xét về tính chất hiển nhiên của mô-đun, việc trừ cái gì khỏi cái gì không quan trọng.

Hãy đảm bảo rằng trong ví dụ của chúng ta, mô-đun của sự khác biệt này thực sự bằng khoảng cách giữa các đỉnh. Trong đầu hãy đặt điểm vào đỉnh bên phải của hyperbol. Sau đó: , đó là những gì cần được kiểm tra.

Hyperbol là quỹ tích các điểm mà hiệu khoảng cách đến hai điểm cố định trên mặt phẳng, gọi là tiêu điểm, là một giá trị không đổi; sự khác biệt được chỉ ra được lấy bằng giá trị tuyệt đối và thường được ký hiệu là 2a. Các tiêu điểm của hyperbol được ký hiệu bằng các chữ cái F 1 và F 2, khoảng cách giữa chúng là 2c. Theo định nghĩa hyperbol 2a

Hãy để một cường điệu được đưa ra. Nếu các trục của hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes được chọn sao cho các tiêu điểm của một hyperbol cho trước nằm trên trục hoành đối xứng với gốc tọa độ, thì trong hệ tọa độ này phương trình của hyperbol có dạng

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, (1)

trong đó b = √(c 2 - a 2). Phương trình loại (I) được gọi là phương trình chính tắc của hyperbol. Với sự lựa chọn hệ tọa độ đã chỉ định, trục tọa độ là trục đối xứng của hyperbol và gốc là tâm đối xứng của nó (Hình 18). Các trục đối xứng của hyperbol được gọi đơn giản là các trục của nó, tâm đối xứng là tâm của hyperbol. Hyperbol cắt một trong các trục của nó; các điểm giao nhau được gọi là các đỉnh của hyperbol. Trong bộ lễ phục. 18 đỉnh của hyperbol là các điểm A" và A.

Một hình chữ nhật có các cạnh 2a và 2b, nằm đối xứng với các trục của hyperbol và tiếp xúc với các đỉnh của nó, được gọi là hình chữ nhật chính của hyperbol.

Các đoạn có độ dài 2a và 2b nối trung điểm các cạnh của hình chữ nhật chính của hyperbol còn được gọi là trục của nó. Các đường chéo của hình chữ nhật chính (kéo dài vô tận) là các đường tiệm cận của hyperbol; phương trình của chúng là:

y = b/a x, y = - b/a x

phương trình

X 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (2)

định nghĩa một hyperbol đối xứng qua các trục tọa độ với tiêu điểm trên trục tọa độ; phương trình (2), giống như phương trình (1), được gọi là phương trình hyperbol chính tắc; trong trường hợp này, chênh lệch không đổi về khoảng cách từ một điểm tùy ý của hyperbol đến tiêu điểm là bằng 2b.

Hai hyperbol, được xác định bởi các phương trình

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1, - x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1

trong cùng một hệ tọa độ được gọi là liên hợp.

Một hyperbol có nửa trục bằng nhau (a = b) được gọi là đều; phương trình chính tắc của nó có dạng

x 2 - y 2 = a 2 hoặc - x 2 + y 2 = a 2.

trong đó a là khoảng cách từ tâm hyperbol đến đỉnh của nó, gọi là độ lệch tâm của hyperbol. Rõ ràng, với mọi hyperbol ε > 1. Nếu M(x; y) là một điểm tùy ý của hyperbol thì các đoạn F 1 M và F 2 M (xem Hình 18) được gọi là tiêu cự của điểm M. Bán kính tiêu điểm của các điểm thuộc nhánh phải của hyperbol được tính theo công thức

r 1 = εx + a, r 2 = εx - a,

Bán kính tiêu điểm của các điểm nhánh trái - theo công thức

r 1 = -εх - a, r 2 = -εх + a

Nếu hyperbol được cho bởi phương trình (1), thì các đường thẳng được xác định bởi phương trình

x = -a/ε, x = a/ε

được gọi là các đường dẫn của nó (xem Hình 18). Nếu hyperbol được cho theo phương trình (2), thì các đường chuẩn được xác định bởi các phương trình

x = -b/ε, x = b/ε

Mỗi đường chuẩn có đặc tính sau: nếu r là khoảng cách từ một điểm tùy ý của hyperbol đến một tiêu điểm nhất định, d là khoảng cách từ cùng một điểm đến đường chuẩn một phía có tiêu điểm này, thì tỷ số r/d là a giá trị không đổi bằng độ lệch tâm của hyperbol:

515. Viết phương trình của một hyperbol có tiêu điểm nằm trên trục hoành đối xứng với gốc tọa độ, biết thêm rằng:

1) các trục 2a = 10 và 2b = 8;

2) khoảng cách giữa tiêu điểm 2c = 10 và trục 2b = 8;

3) khoảng cách giữa tiêu điểm 2с = 6 và độ lệch tâm ε = 3/2;

4) trục 2a = 16 và độ lệch tâm ε = 5/4;

5) phương trình tiệm cận y = ±4/3x và khoảng cách giữa tiêu điểm 2c = 20;

6) khoảng cách giữa các đường chuẩn là 22 2/13 và khoảng cách giữa các tiêu điểm là 2c = 26; 39

7) khoảng cách giữa các đường chuẩn là 32/5 và trục 2b = 6;

8) khoảng cách giữa các đường chuẩn là 8/3 và độ lệch tâm ε = 3/2;

9) phương trình tiệm cận y = ± 3/4 x và khoảng cách giữa các đường chuẩn là 12 4/5.

516. Viết phương trình của một hyperbol có tiêu điểm nằm trên trục hoành đối xứng với gốc tọa độ, biết thêm rằng:

1) các bán trục của nó a = 6, b = 18 (bằng chữ a chúng ta biểu thị bán trục của hyperbol nằm trên trục x);

2) khoảng cách giữa các tiêu điểm là 2c = 10 và độ lệch tâm là ε = 5/3; rất tốt 12

3) phương trình tiệm cận y = ±12/5x và khoảng cách giữa các đỉnh là 48;

4) khoảng cách giữa các đường chuẩn là 7 1/7 và độ lệch tâm ε = 7/5;

5) phương trình tiệm cận y = ± 4/3x và khoảng cách giữa các đường chuẩn là 6 2/5.

517. Xác định bán trục a và b cho mỗi hyperbol sau:

1) x 2 /9 - y 2 /4 = 1; 2) x 2/16 - y 2 = 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;

4) x 2 - y 2 = 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 = 1;

7) 9x 2 - 64y 2 = 1.

518. Cho hyperbola 16x 2 - 9y 2 = 144. Tìm: 1) bán trục a và b; 2) thủ thuật; 3) độ lệch tâm; 4) phương trình tiệm cận; 5) phương trình đường chuẩn.

519. Cho một hyperbol 16x 2 - 9y 2 = -144. Tìm: 1) bán trục a và b; 2) thủ đoạn; 3) độ lệch tâm; 4) phương trình tiệm cận; 5) phương trình đường chuẩn.

520. Tính diện tích tam giác tạo thành bởi các tiệm cận của hyperbol x 2 /4 - y 2 /9 = 1 và đường thẳng 9x + 2y - 24 = 0.

521. Xác định những đường thẳng nào được xác định theo các phương trình sau:

1) y = +2/3√(x 2 - 9); 2) y = -3√(x 2 + 1)

3) x = -4/3√(y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. Cho điểm M 1 (l0; - √5) trên hyperbol - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Lập phương trình đường thẳng chứa tiêu điểm của điểm M 1.

523. Sau khi đã chắc chắn rằng điểm M 1 (-5; 9/4) nằm trên quả cầu x 2 /16 - y 2 /9 = 1, hãy xác định tiêu cự của điểm M 1.

524. Độ lệch tâm của hyperbol là ε = 2, tiêu cự của điểm M vẽ từ một tiêu điểm nhất định bằng 16. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn một phía với tiêu điểm này.

525. Độ lệch tâm của hyperbol là ε = 3, khoảng cách từ điểm M của hyperbol đến đường chuẩn là 4. Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm, một phía với đường chuẩn này.

526. Độ lệch tâm của hyperbol là ε = 2, tâm của nó nằm tại gốc tọa độ, một trong các tiêu điểm F(12; 0). Tính khoảng cách từ điểm M 1 của hyperbol có hoành độ bằng 13 đến đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đã cho.

527. Độ lệch tâm của hyperbol là ε = 3/2, tâm của nó nằm ở gốc tọa độ, một trong các đường chuẩn được cho bởi phương trình x = -8. Tính khoảng cách từ điểm M 1 của hyperbol có hoành độ bằng 10 đến tiêu điểm tương ứng với đường chuẩn đã cho.

528. Xác định các điểm của hyperbol - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, khoảng cách đến tiêu điểm bên phải là 4,5.

529. Xác định các điểm của hyperbol x 2 /9 - y 2 /16 = 1, khoảng cách từ tiêu điểm bên trái là 7.

530. Qua tiêu điểm bên trái của hyperbol x 2 /144 - y 2 /25 = 1 kẻ đường vuông góc với trục chứa các đỉnh của nó. Xác định khoảng cách từ tiêu điểm đến các giao điểm của đường vuông góc này với hyperbol.

531. Sử dụng một la bàn, dựng tiêu điểm của hyperbol x 2/16 - y 2/25 = 1 (giả sử rằng các trục tọa độ được mô tả và đơn vị tỷ lệ đã cho).

532. Tạo phương trình của một hyperbol có tiêu điểm nằm trên trục hoành đối xứng với gốc tọa độ, nếu cho:

1) các hyperbol M 1 (6; -1) và M 2 (-8; 2√2);

2) điểm M 1 (-5; 3) hyperbol và độ lệch tâm ε = √2;

3) điểm M 1 (9/2;-l) hyperbol và phương trình tiệm cận y = ± 2,3x;

4) điểm M 1 (-3; 5.2) hyperbol và phương trình đường chuẩn x = ± 4/3;

5) phương trình tiệm cận y = ±-3/4x và phương trình đường chuẩn x = ± 16/5

533. Xác định độ lệch tâm của một hyperbol đều.

534. Xác định độ lệch tâm của một hyperbol nếu đoạn giữa các đỉnh của nó nhìn thấy được từ tiêu điểm của hyperbol liên hợp ở góc 60°.

535. Tiêu điểm của hyperbol trùng với tiêu điểm của hình elip x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Viết phương trình cho hyperbol nếu độ lệch tâm của nó ε = 2.

536. Viết phương trình cho một hyperbol có tiêu điểm nằm ở các đỉnh của hình elip x 2/100 + y 2/64 = 1, và các đường chuẩn đi qua tiêu điểm của hình elip này.

537. Chứng minh rằng khoảng cách từ tiêu điểm của hyperbol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 đến tiệm cận của nó bằng b.

538. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của hyperbolax x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 đến hai tiệm cận của nó là một giá trị không đổi bằng a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành giới hạn bởi các tiệm cận của hyperbol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 và các đường thẳng vẽ qua bất kỳ điểm nào của nó song song với các tiệm cận là một giá trị không đổi bằng ab/2.

540. Viết phương trình hyperbol nếu biết hai trục a và b của nó, tâm C(x 0;y 0) và các tiêu điểm nằm trên một đường thẳng: 1) song song với trục Ox; 2) song song với trục Oy.

541. Chứng minh rằng mỗi phương trình sau xác định một hyperbol và tìm tọa độ tâm C, bán trục, độ lệch tâm, phương trình tiệm cận và phương trình đường chuẩn của nó:

1) 16x 2 - 9у 2 - 64x - 54у - 161 =0;

2) 9x 2 - 16y 2 + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 18y + 199 = 0.

542. Thiết lập các đường thẳng được xác định theo các phương trình sau:

1) y = - 1 + 2/3√(x 2 - 4x - 5);

2) y = 7 - 3/2√(x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X = 5 + 3/4√(y 2 + 4y - 12).

Vẽ những đường này trên bản vẽ.

543. Viết phương trình hyperbol khi biết rằng:

1) khoảng cách giữa các đỉnh của nó là 24 và các tiêu điểm là F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) các tiêu điểm là F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) và khoảng cách giữa các đường chuẩn là 3,6;

3) góc giữa các tiệm cận là 90° và các tiêu điểm là F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Viết phương trình hyperbol nếu biết độ lệch tâm ε = 5/4, tiêu điểm F(5; 0) và phương trình đường chuẩn tương ứng 5x - 16 = 0.

545. Viết phương trình hyperbol nếu biết độ lệch tâm e - tiêu điểm F(0; 13) và phương trình đường chuẩn tương ứng 13y - 144 = 0.

546. Điểm A (-3; - 5) nằm trên một hyperbol có tiêu điểm là F (-2;-3) và đường chuẩn tương ứng được cho bởi phương trình x + 1 = 0. Viết phương trình cho hyperbol này .

547. Viết phương trình hyperbol nếu biết độ lệch tâm ε = √5, tiêu điểm F(2;-3) và phương trình đường chuẩn tương ứng Zx - y + 3 = 0.

548. Điểm M 1 (1; 2) nằm trên một hyperbol có tiêu điểm là F(-2; 2) và đường chuẩn tương ứng cho bởi phương trình 2x - y - 1 = 0. Viết phương trình cho hyperbol này .

549. Đã cho phương trình hyperbol đều x 2 - y 2 = a 2. Tìm phương trình của nó trong hệ mới, lấy các đường tiệm cận của nó làm trục tọa độ.

550. Sau khi chứng minh rằng mỗi phương trình sau xác định một hyperbol, hãy tìm tâm, bán trục, phương trình tiệm cận cho mỗi phương trình đó và vẽ chúng trên hình vẽ: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Tìm giao điểm của đường thẳng 2x - y - 10 = 0 và hyperbol x 2 /20 - y 2 /5 = 1.

552. Tìm giao điểm của đường thẳng 4x - 3y - 16 = 0 và hyperbol x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

553. Tìm giao điểm của đường thẳng 2x - y + 1 = 0 và hyperbol x 2 /9 - y 2 /4 = 1.

554. Trong các trường hợp sau, hãy xác định vị trí của đường thẳng so với hyperbol: nó có giao nhau, chạm hay đi ra ngoài nó hay không:

1) x - y - 3 = 0, x 2 /12 - y 2 /3 = l;

2) x - 2y + 1 = 0, x 2 /16 - y 2 /9 = l;

555. Xác định tại giá trị nào của m đường thẳng y = 5/2x + m

1) cắt hyperbol x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) chạm vào cô ấy;

3) vượt ra ngoài cường điệu này.

556. Suy ra điều kiện để đường thẳng y = kx + m tiếp xúc với hyperbol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1.

557. Viết phương trình tiếp tuyến của hyperbol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 tại điểm Af, (*,; #i).

558. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của một hyperbol vẽ ở hai đầu có cùng đường kính thì song song.

559. Viết phương trình tiếp tuyến của hyperbol x 2 /20 - y 2 /5 = 1, vuông góc với đường thẳng 4x + 3y - 7 = 0.

560. Viết phương trình tiếp tuyến của hyperbol x 2 /16 - y 2 /64 = 1, song song với đường thẳng 10x - 3y + 9 = 0.

561. Vẽ các tiếp tuyến của hyperbol x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 song song với đường thẳng 2x + 4y - 5 = 0 và tính khoảng cách d giữa chúng.

562. Trên hyperbol x 2 /24 - y 2 /18 = 1, tìm điểm M 1 gần đường thẳng 3x + 2y + 1 = O nhất và tính khoảng cách d từ điểm M x đến đường thẳng này.

563. Lập phương trình tiếp tuyến của hyperbol x 2 - y 2 = 16 vẽ từ điểm A(- 1; -7).

564. Từ điểm C(1;-10) vẽ các tiếp tuyến của hyperbol x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Lập phương trình dây nối các điểm tiếp tuyến.

565. Từ điểm P(1; -5) vẽ các tiếp tuyến của hyperbol x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Tính khoảng cách d từ điểm P đến dây cung của hyperbol nối các điểm tiếp tuyến.

566. Một hyperbol đi qua điểm A(√6; 3) và tiếp xúc với đường thẳng 9x + 2y - 15 == 0. Viết phương trình cho hyperbol này với điều kiện là trục của nó trùng với trục tọa độ.

567. Viết phương trình đường hyperbol tiếp xúc với hai đường thẳng: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0 với điều kiện là trục của nó trùng với trục tọa độ.

568. Sau khi đã chắc chắn rằng giao điểm của hình elip x 2 /3 - y 2 /5 = 1 và hyperbola x 2 /12 - y 2 /3 = 1 là các đỉnh của hình chữ nhật, hãy viết phương trình các cạnh của nó .

569. Cho các hyperbol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 và một số tiếp tuyến của nó: P là giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox, Q là hình chiếu của điểm tiếp tuyến lên cùng một trục . Chứng minh rằng OP OQ = a 2 .

570. Chứng minh rằng các tiêu điểm của một hyperbol nằm ở các cạnh đối diện của các tiếp tuyến bất kỳ của nó.

571. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ tiêu điểm đến các tiếp tuyến bất kỳ của hyperbol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 là một giá trị không đổi bằng b 2.

572. Đường thẳng 2x - y - 4 == 0 tiếp xúc với hyperbol có tiêu điểm tại các điểm F 1 (-3; 0) và F 2 (3; 0). Viết phương trình cho hyperbol này.

573. Viết phương trình của một hyperbol, các tiêu điểm của nó nằm trên trục x đối xứng với gốc tọa độ, nếu biết phương trình tiếp tuyến của hyperbol là 15x + 16y - 36 = 0 và khoảng cách giữa nó đỉnh là 2a = 8.

574. Chứng minh rằng đường thẳng tiếp xúc với hyperbol tại một điểm M tạo các góc bằng tiêu cự F 1 M, F 2 M và đi vào trong góc F 1 MF 2. X^

575. Từ tiêu điểm bên phải của hyperbol x 2 /5 - y 2 /4 = 1 tại góc α(π

576. Chứng minh rằng một hình elip và một hyperbol có tiêu điểm chung, cắt nhau vuông góc.

577. Hệ số nén đều của mặt phẳng đối với trục Ox bằng 4/3. Xác định phương trình của đường thẳng mà hyperbol x 2 /16 - y 2 /9 = 1 được biến đổi trong quá trình nén này. Xem vấn đề 509.

578. Hệ số nén đều của mặt phẳng lên trục Oy bằng 4/5. Xác định phương trình của đường thẳng mà hyperbol x 2/25 - y 2/9 = 1 được biến đổi trong quá trình nén này.

579. Tìm phương trình đường thẳng biến đổi hyperbol x 2 - y 2 = 9 dưới hai lực nén đều liên tiếp của mặt phẳng lên các trục tọa độ, nếu hệ số nén đều của mặt phẳng lên các trục Ox và Oy là tương ứng bằng 2/3 và 5/3.

580. Xác định hệ số q nén đều của mặt phẳng lên trục Ox, tại đó hyperbol - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 chuyển thành hyperbol x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Xác định hệ số q nén đều của mặt phẳng lên trục Oy, tại đó hyperbol x 2 /4 - y 2 /9 = 1 chuyển thành hyperbol x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Xác định các hệ số q 1 và q 2 của hai lần nén đồng đều liên tiếp của mặt phẳng lên trục Ox và Oy, tại đó hyperbol x 2 /49 - y 2 /16 = 1 chuyển thành hyperbol x 2 /25 - y 2/64 = 1.