Giải ma trận bằng cách giải thích phương pháp Gaussian. Phương pháp Gaussian (loại bỏ tuần tự các ẩn số)

1. Hệ phương trình đại số tuyến tính

1.1 Khái niệm hệ phương trình đại số tuyến tính

Hệ phương trình là một điều kiện bao gồm việc thực hiện đồng thời một số phương trình đối với một số biến. Hệ phương trình đại số tuyến tính (sau đây gọi tắt là SLAE) chứa m phương trình và n ẩn số được gọi là hệ có dạng:

trong đó số a ij được gọi là hệ số hệ thống, số b i được gọi là số hạng tự do, một ij Và tôi(i=1,…, m; b=1,…, n) biểu thị một số số đã biết và x 1,…,xn- không xác định. Trong việc chỉ định các hệ số một ij chỉ số đầu tiên i biểu thị số của phương trình và chỉ số thứ hai j là số chưa biết mà hệ số này đứng ở đó. Các số x n phải được tìm thấy. Thật thuận tiện khi viết một hệ thống như vậy dưới dạng ma trận thu gọn: AX=B.Ở đây A là ma trận hệ số của hệ, gọi là ma trận chính;

Tích của ma trận A*X được xác định, vì có số cột trong ma trận A bằng số hàng trong ma trận X (n phần).

Ma trận mở rộng của một hệ là ma trận A của hệ được bổ sung bởi cột các số hạng tự do

1.2 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Lời giải của hệ phương trình là một tập hợp số có thứ tự (giá trị của các biến), khi thay thế các biến thì mỗi phương trình của hệ trở thành một đẳng thức đúng.

Nghiệm của một hệ là n giá trị của các ẩn số x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, khi thay thế tất cả các phương trình của hệ sẽ trở thành đẳng thức thực. Mọi nghiệm của hệ đều có thể viết dưới dạng ma trận cột

Một hệ phương trình được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một nghiệm và không nhất quán nếu nó không có nghiệm nào.

Một hệ thống nhất quán được gọi là xác định nếu nó có một nghiệm duy nhất và không xác định nếu nó có nhiều hơn một nghiệm. Trong trường hợp sau, mỗi nghiệm của nó được gọi là một nghiệm riêng của hệ. Tập hợp tất cả các nghiệm cụ thể được gọi là nghiệm tổng quát.

Giải một hệ thống có nghĩa là tìm ra xem nó tương thích hay không nhất quán. Nếu hệ thống nhất quán, hãy tìm giải pháp chung của nó.

Hai hệ được gọi là tương đương (tương đương) nếu chúng có nghiệm tổng quát giống nhau. Nói cách khác, các hệ thống là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngược lại.

Một phép biến đổi, ứng dụng biến một hệ thống thành một hệ thống mới tương đương với hệ thống ban đầu, được gọi là một phép biến đổi tương đương hoặc tương đương. Ví dụ về các phép biến đổi tương đương bao gồm các phép biến đổi sau: hoán đổi hai phương trình của một hệ, hoán đổi hai ẩn số cùng với các hệ số của tất cả các phương trình, nhân cả hai vế của bất kỳ phương trình nào của hệ với một số khác 0.

Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là đồng nhất nếu tất cả các số hạng tự do đều bằng 0:

Một hệ thống đồng nhất luôn nhất quán, vì x1=x2=x3=…=xn=0 là một nghiệm của hệ thống. Giải pháp này được gọi là không hoặc tầm thường.

2. Phương pháp loại bỏ Gaussian

2.1 Bản chất của phương pháp khử Gaussian

Phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình đại số tuyến tính là phương pháp loại trừ tuần tự các ẩn số - phương pháp Gaussian(nó còn được gọi là phương pháp loại bỏ Gaussian). Đây là một phương pháp loại bỏ tuần tự các biến, khi sử dụng các phép biến đổi cơ bản, một hệ phương trình được rút gọn thành một hệ tương đương có dạng bước (hoặc tam giác), từ đó tất cả các biến khác được tìm thấy một cách tuần tự, bắt đầu từ biến cuối cùng (bằng số) biến.

Quá trình giải bằng phương pháp Gaussian bao gồm hai giai đoạn: di chuyển tiến và lùi.

1. Đột quỵ trực tiếp.

Ở giai đoạn đầu tiên, cái gọi là di chuyển trực tiếp được thực hiện khi, thông qua các phép biến đổi cơ bản trên các hàng, hệ thống được đưa về dạng bậc thang hoặc hình tam giác hoặc được xác định rằng hệ thống không tương thích. Cụ thể, trong số các phần tử của cột đầu tiên của ma trận, chọn một phần tử khác 0, di chuyển nó lên vị trí trên cùng bằng cách sắp xếp lại các hàng và trừ đi hàng đầu tiên thu được từ các hàng còn lại sau khi sắp xếp lại, nhân nó với một giá trị bằng tỷ lệ giữa phần tử đầu tiên của mỗi hàng này với phần tử đầu tiên của hàng đầu tiên, do đó bằng 0 cho cột bên dưới nó.

Sau khi các phép biến đổi này hoàn thành, hàng đầu tiên và cột đầu tiên sẽ được gạch bỏ và tiếp tục cho đến khi vẫn còn ma trận có kích thước bằng 0. Nếu tại bất kỳ lần lặp nào không có phần tử nào khác 0 trong số các phần tử của cột đầu tiên thì hãy chuyển sang cột tiếp theo và thực hiện thao tác tương tự.

Ở giai đoạn đầu tiên (hành trình trực tiếp), hệ thống được chuyển sang dạng bậc thang (đặc biệt là hình tam giác).

Hệ thống dưới đây có dạng từng bước:

Các hệ số aii được gọi là thành phần chính (dẫn đầu) của hệ thống.

Hãy biến đổi hệ thống bằng cách loại bỏ x1 chưa biết trong tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên (sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hệ thống). Để làm điều này, nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với

Tiếp tục quá trình này ta thu được hệ tương đương:

Như vậy, ở bước đầu tiên, tất cả các hệ số nằm dưới phần tử đầu tiên a 11 đều bị loại bỏ.

Nếu, trong quá trình giảm hệ thống về dạng từng bước, xuất hiện các phương trình bằng 0, tức là. các đẳng thức có dạng 0=0 thì chúng bị loại bỏ. Nếu xuất hiện một phương trình có dạng

Đây là nơi kết thúc quá trình phát triển trực tiếp của phương pháp Gauss.

2. Hành trình ngược.

Ở giai đoạn thứ hai, cái gọi là chuyển động ngược được thực hiện, bản chất của nó là thể hiện tất cả các biến cơ bản thu được dưới dạng các biến không cơ bản và xây dựng một hệ thống giải pháp cơ bản, hoặc, nếu tất cả các biến đều cơ bản , sau đó biểu thị bằng số nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính.

Quy trình này bắt đầu với phương trình cuối cùng, từ đó biểu thị biến cơ bản tương ứng (chỉ có một biến trong đó) và thay thế vào các phương trình trước đó, v.v., đi lên “các bước”.

Mỗi dòng tương ứng với chính xác một biến cơ sở, vì vậy tại mỗi bước ngoại trừ bước cuối cùng (trên cùng), tình huống lặp lại chính xác trường hợp của dòng cuối cùng.

Lưu ý: trong thực tế, sẽ thuận tiện hơn khi làm việc không phải với hệ thống mà với ma trận mở rộng của nó, thực hiện tất cả các phép biến đổi cơ bản trên các hàng của nó. Thuận tiện nhất là hệ số a11 bằng 1 (sắp xếp lại các phương trình, hoặc chia cả hai vế của phương trình cho a11).

2.2 Ví dụ giải SLAE bằng phương pháp Gaussian

Trong phần này, sử dụng ba ví dụ khác nhau, chúng tôi sẽ chỉ ra cách phương pháp Gaussian có thể giải quyết SLAE.

Ví dụ 1. Giải SLAE bậc 3.

Hãy thiết lập lại các hệ số tại

Phương pháp Gauss hoàn hảo để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE). Nó có một số ưu điểm so với các phương pháp khác:

• thứ nhất, không cần phải kiểm tra tính nhất quán của hệ phương trình;
• Thứ hai, phương pháp Gauss không chỉ có thể giải các SLAE trong đó số phương trình trùng với số biến chưa biết và ma trận chính của hệ không số ít mà còn có thể giải các hệ phương trình trong đó số phương trình không trùng với số biến chưa biết hoặc định thức của ma trận chính bằng 0;
• thứ ba, phương pháp Gaussian dẫn đến kết quả với số lượng thao tác tính toán tương đối nhỏ.

Tổng quan ngắn gọn về bài viết.

Đầu tiên, chúng tôi đưa ra các định nghĩa cần thiết và giới thiệu các ký hiệu.

Tiếp theo, chúng tôi sẽ mô tả thuật toán của phương pháp Gauss cho trường hợp đơn giản nhất, tức là đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính, số phương trình trùng với số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ là không bằng không. Khi giải các hệ phương trình như vậy, bản chất của phương pháp Gauss được thấy rõ nhất là loại bỏ tuần tự các biến chưa biết. Vì vậy, phương pháp Gaussian còn được gọi là phương pháp loại trừ tuần tự các ẩn số. Chúng tôi sẽ hiển thị các giải pháp chi tiết của một số ví dụ.

Để kết luận, chúng ta sẽ xem xét giải pháp bằng phương pháp Gauss của các hệ phương trình đại số tuyến tính, ma trận chính của chúng là hình chữ nhật hoặc số ít. Giải pháp cho các hệ thống như vậy có một số tính năng mà chúng tôi sẽ xem xét chi tiết bằng các ví dụ.

Điều hướng trang.

Các định nghĩa và ký hiệu cơ bản.

Xét hệ phương trình tuyến tính p với n ẩn số (p có thể bằng n):

Ở đâu có các biến chưa biết, là số (thực hoặc phức) và là các thuật ngữ tự do.

Nếu như , khi đó hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là đồng nhất, nếu không thì - không đồng nhất.

Tập hợp các giá trị của các biến chưa biết mà tất cả các phương trình của hệ thống trở thành danh tính được gọi là quyết định của SLAU.

Nếu có ít nhất một nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính thì hệ đó gọi là chung, nếu không thì - không khớp.

Nếu SLAE có một giải pháp duy nhất thì nó được gọi là chắc chắn. Nếu có nhiều hơn một giải pháp thì hệ thống được gọi là không chắc chắn.

Họ nói rằng hệ thống được viết bằng hình thức tọa độ, nếu nó có dạng
.

Hệ thống này ở dạng ma trận hồ sơ có dạng , trong đó - ma trận chính của SLAE, - ma trận cột các biến chưa biết, - ma trận các số hạng tự do.

Nếu chúng ta thêm một cột ma trận chứa các số hạng tự do vào ma trận A làm cột thứ (n+1), chúng ta sẽ nhận được cái gọi là ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính. Thông thường, một ma trận mở rộng được ký hiệu bằng chữ T và cột các thuật ngữ tự do được phân tách bằng một đường thẳng đứng với các cột còn lại, nghĩa là

Ma trận vuông A được gọi là thoái hóa, nếu định thức của nó bằng 0. Nếu , thì ma trận A được gọi không thoái hóa.

Cần lưu ý điểm sau đây.

Nếu bạn thực hiện các thao tác sau với hệ phương trình đại số tuyến tính

• Hoán đổi hai phương trình
• nhân cả hai vế của bất kỳ phương trình nào với một số thực (hoặc số phức) k tùy ý và khác 0,
• cả hai vế của phương trình bất kỳ cộng các phần tương ứng của phương trình khác, nhân với một số tùy ý k,

sau đó bạn nhận được một hệ thống tương đương có cùng nghiệm (hoặc, giống như hệ ban đầu, không có nghiệm).

Đối với ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính, những hành động này có nghĩa là thực hiện các phép biến đổi cơ bản với các hàng:

• hoán đổi hai dòng,
• nhân tất cả các phần tử của một hàng bất kỳ của ma trận T với một số k khác 0,
• thêm vào các phần tử của một hàng bất kỳ trong ma trận các phần tử tương ứng của một hàng khác, nhân với một số k tùy ý.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành mô tả phương pháp Gauss.

Giải các hệ phương trình đại số tuyến tính trong đó số phương trình bằng số ẩn và ma trận chính của hệ là không suy biến bằng phương pháp Gauss.

Chúng ta sẽ làm gì ở trường nếu được giao nhiệm vụ tìm nghiệm của hệ phương trình? .

Một số sẽ làm điều đó.

Lưu ý rằng bằng cách cộng vế trái của phương trình thứ nhất với vế trái của phương trình thứ hai và vế phải vào vế phải, bạn có thể loại bỏ các biến x 2 và x 3 chưa biết và ngay lập tức tìm được x 1:

Chúng ta thay giá trị tìm được x 1 =1 vào phương trình thứ nhất và thứ ba của hệ:

Nếu nhân cả hai vế của phương trình thứ ba của hệ với -1 và cộng chúng với các phần tương ứng của phương trình thứ nhất, chúng ta loại bỏ biến x 3 chưa biết và có thể tìm được x 2:

Chúng ta thay giá trị thu được x 2 = 2 vào phương trình thứ ba và tìm biến x 3 chưa biết còn lại:

Những người khác sẽ làm khác đi.

Chúng ta hãy giải phương trình đầu tiên của hệ đối với biến x 1 chưa biết và thay biểu thức thu được vào phương trình thứ hai và thứ ba của hệ để loại trừ biến này khỏi chúng:

Bây giờ chúng ta hãy giải phương trình thứ hai của hệ tìm x 2 và thay kết quả thu được vào phương trình thứ ba để loại bỏ biến x 2 chưa biết khỏi nó:

Từ phương trình thứ ba của hệ ta thấy rõ x 3 = 3. Từ phương trình thứ hai chúng ta tìm thấy , và từ phương trình đầu tiên chúng ta nhận được .

Những giải pháp quen thuộc phải không?

Điều thú vị nhất ở đây là phương pháp giải thứ hai thực chất là phương pháp loại trừ tuần tự các ẩn số, đó là phương pháp Gaussian. Khi biểu thị các biến chưa biết (đầu tiên x 1, ở giai đoạn tiếp theo x 2) và thay chúng vào các phương trình còn lại của hệ thống, chúng tôi đã loại trừ chúng. Chúng tôi tiến hành loại bỏ cho đến khi chỉ còn lại một biến chưa biết trong phương trình cuối cùng. Quá trình loại bỏ tuần tự các ẩn số được gọi là phương pháp Gaussian trực tiếp. Sau khi hoàn thành bước tiến, chúng ta có cơ hội tính biến chưa biết tìm thấy trong phương trình cuối cùng. Với sự trợ giúp của nó, chúng ta tìm thấy biến chưa biết tiếp theo từ phương trình áp chót, v.v. Quá trình tìm tuần tự các biến chưa biết trong khi chuyển từ phương trình cuối cùng sang phương trình đầu tiên được gọi là nghịch đảo của phương pháp Gaussian.

Cần lưu ý rằng khi chúng ta biểu thị x 1 theo x 2 và x 3 trong phương trình đầu tiên, sau đó thay biểu thức thu được vào phương trình thứ hai và thứ ba, các hành động sau đây sẽ dẫn đến cùng một kết quả:

Thật vậy, quy trình như vậy cũng giúp loại bỏ biến x 1 chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ:

Các vấn đề với việc loại bỏ các biến chưa biết bằng phương pháp Gaussian phát sinh khi các phương trình của hệ thống không chứa một số biến.

Ví dụ: trong SLAU trong phương trình thứ nhất không có biến x 1 chưa biết (nói cách khác, hệ số đứng trước nó bằng 0). Vì vậy, chúng ta không thể giải phương trình đầu tiên của hệ x 1 để loại bỏ biến chưa biết này khỏi các phương trình còn lại. Cách thoát khỏi tình huống này là hoán đổi các phương trình của hệ thống. Vì chúng ta đang xem xét các hệ phương trình tuyến tính có định thức của ma trận chính khác 0, nên luôn có một phương trình trong đó có biến chúng ta cần và chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình này đến vị trí chúng ta cần. Trong ví dụ của chúng tôi, chỉ cần hoán đổi phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ thống là đủ , thì bạn có thể giải phương trình đầu tiên cho x 1 và loại nó ra khỏi các phương trình còn lại của hệ (mặc dù x 1 không còn xuất hiện trong phương trình thứ hai).

Chúng tôi hy vọng bạn hiểu được ý chính.

Hãy mô tả Thuật toán phương pháp Gaussian.

Giả sử chúng ta cần giải một hệ gồm n phương trình đại số tuyến tính với n biến chưa biết có dạng và đặt định thức của ma trận chính của nó khác 0.

Chúng ta sẽ giả sử rằng , vì chúng ta luôn có thể đạt được điều này bằng cách sắp xếp lại các phương trình của hệ. Hãy loại bỏ biến x 1 chưa biết khỏi tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ biến thứ hai. Để làm điều này, vào phương trình thứ hai của hệ, chúng ta thêm phương trình thứ nhất, nhân với , vào phương trình thứ ba, chúng ta thêm phương trình thứ nhất, nhân với , v.v., vào phương trình thứ n, chúng ta thêm phương trình thứ nhất, nhân với . Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng

ở đâu và .

Chúng ta sẽ đạt được kết quả tương tự nếu chúng ta biểu thị x 1 theo các biến chưa biết khác trong phương trình đầu tiên của hệ và thay biểu thức thu được vào tất cả các phương trình khác. Do đó, biến x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ hai.

Tiếp theo, chúng tôi tiến hành theo cách tương tự, nhưng chỉ với một phần của hệ thống kết quả, được đánh dấu trong hình

Để làm điều này, vào phương trình thứ ba của hệ, chúng ta thêm phương trình thứ hai nhân với , vào phương trình thứ tư, chúng ta thêm phương trình thứ hai, nhân với , v.v., vào phương trình thứ n, chúng ta thêm phương trình thứ hai, nhân với . Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng

ở đâu và . Do đó, biến x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ ba.

Tiếp theo, chúng ta tiến hành loại bỏ x 3 chưa biết, đồng thời thực hiện tương tự với phần hệ thống được đánh dấu trong hình

Vì vậy, chúng tôi tiếp tục phát triển trực tiếp phương pháp Gaussian cho đến khi hệ thống có dạng

Từ thời điểm này, chúng ta bắt đầu đảo ngược phương pháp Gaussian: chúng ta tính x n từ phương trình cuối cùng là , sử dụng giá trị thu được của x n chúng ta tìm x n-1 từ phương trình áp chót, v.v., chúng ta tìm thấy x 1 từ phương trình đầu tiên .

Hãy xem xét thuật toán bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Phương pháp Gauss.

Giải pháp.

Hệ số a 11 khác 0, vì vậy chúng ta hãy tiến hành tiến triển trực tiếp của phương pháp Gaussian, nghĩa là loại trừ biến x 1 chưa biết khỏi tất cả các phương trình của hệ ngoại trừ phương trình đầu tiên. Để làm điều này, với vế trái và vế phải của phương trình thứ hai, thứ ba và thứ tư, hãy cộng vế trái và vế phải của phương trình thứ nhất, nhân tương ứng với . Và :

Biến chưa biết x 1 đã bị loại, chúng ta chuyển sang loại trừ x 2 . Về vế trái và vế phải của phương trình thứ ba và thứ tư của hệ ta cộng vế trái và vế phải của phương trình thứ hai, nhân tương ứng với Và :

Để hoàn thành quá trình tiến triển của phương pháp Gaussian, chúng ta cần loại bỏ biến x 3 chưa biết khỏi phương trình cuối cùng của hệ thống. Ta cộng vế trái và vế phải của phương trình thứ tư lần lượt với vế trái và vế phải của phương trình thứ ba nhân với :

Bạn có thể bắt đầu đảo ngược phương pháp Gaussian.

Từ phương trình cuối cùng ta có ,
từ phương trình thứ ba chúng ta nhận được,
từ thứ hai,
từ cái đầu tiên.

Để kiểm tra, bạn có thể thay thế các giá trị thu được của các biến chưa biết vào hệ phương trình ban đầu. Tất cả các phương trình đều trở thành đồng nhất thức, điều này cho thấy rằng giải pháp sử dụng phương pháp Gauss đã được tìm thấy chính xác.

Trả lời:

Bây giờ hãy đưa ra giải pháp cho cùng một ví dụ bằng phương pháp Gaussian trong ký hiệu ma trận.

Ví dụ.

Tìm nghiệm của hệ phương trình Phương pháp Gauss.

Giải pháp.

Ma trận mở rộng của hệ có dạng . Ở đầu mỗi cột là các biến chưa biết tương ứng với các phần tử của ma trận.

Cách tiếp cận trực tiếp của phương pháp Gaussian ở đây liên quan đến việc giảm ma trận mở rộng của hệ thống thành dạng hình thang bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Quá trình này tương tự như việc loại bỏ các biến chưa biết mà chúng ta đã thực hiện với hệ thống ở dạng tọa độ. Bây giờ bạn sẽ thấy điều này.

Hãy biến đổi ma trận sao cho tất cả các phần tử trong cột đầu tiên, bắt đầu từ cột thứ hai, trở thành số 0. Để làm điều này, với các phần tử của dòng thứ hai, thứ ba và thứ tư, chúng ta cộng các phần tử tương ứng của dòng đầu tiên nhân với , và theo đó:

Tiếp theo, chúng ta biến đổi ma trận kết quả sao cho trong cột thứ hai, tất cả các phần tử, bắt đầu từ cột thứ ba, trở thành 0. Điều này tương ứng với việc loại bỏ biến x 2 chưa biết. Để làm điều này, với các phần tử của hàng thứ ba và thứ tư, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên của ma trận, nhân với tương ứng Và :

Vẫn còn phải loại trừ biến x 3 chưa biết khỏi phương trình cuối cùng của hệ thống. Để làm điều này, với các phần tử của hàng cuối cùng của ma trận kết quả, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của hàng áp chót, nhân với :

Cần lưu ý rằng ma trận này tương ứng với hệ phương trình tuyến tính

đã đạt được trước đó sau một bước tiến về phía trước.

Đã đến lúc quay lại. Trong ký hiệu ma trận, nghịch đảo của phương pháp Gaussian liên quan đến việc biến đổi ma trận kết quả sao cho ma trận được đánh dấu trong hình

trở thành đường chéo, nghĩa là có dạng

một số con số ở đâu

Các phép biến đổi này tương tự như các phép biến đổi thuận của phương pháp Gaussian, nhưng được thực hiện không phải từ dòng đầu tiên đến dòng cuối cùng mà từ dòng cuối cùng đến dòng đầu tiên.

Thêm vào các phần tử của dòng thứ ba, thứ hai và đầu tiên các phần tử tương ứng của dòng cuối cùng, nhân với , tiếp tục tương ứng:

Bây giờ thêm vào các phần tử của dòng thứ hai và dòng đầu tiên các phần tử tương ứng của dòng thứ ba, nhân với và cho tương ứng:

Ở bước cuối cùng của phương pháp Gaussian ngược, với các phần tử của hàng đầu tiên ta cộng các phần tử tương ứng của hàng thứ hai nhân với:

Ma trận kết quả tương ứng với hệ phương trình , từ đó chúng ta tìm thấy các biến chưa biết.

Trả lời:

GHI CHÚ.

Khi sử dụng phương pháp Gauss để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính, nên tránh tính toán gần đúng vì điều này có thể dẫn đến kết quả hoàn toàn sai. Chúng tôi khuyên bạn không nên làm tròn số thập phân. Tốt hơn là chuyển từ phân số thập phân sang phân số thông thường.

Ví dụ.

Giải hệ ba phương trình bằng phương pháp Gauss .

Giải pháp.

Lưu ý rằng trong ví dụ này, các biến chưa biết có ký hiệu khác (không phải x 1, x 2, x 3 mà là x, y, z). Hãy chuyển sang phân số thông thường:

Chúng ta hãy loại trừ x chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ:

Trong hệ thu được, biến y chưa biết không có trong phương trình thứ hai, nhưng y lại có trong phương trình thứ ba, do đó, hãy hoán đổi phương trình thứ hai và thứ ba:

Điều này hoàn thành quá trình tiến triển trực tiếp của phương pháp Gauss (không cần loại trừ y khỏi phương trình thứ ba, vì biến chưa biết này không còn tồn tại).

Hãy bắt đầu di chuyển ngược lại.

Từ phương trình cuối cùng chúng ta tìm thấy ,
từ áp chót


từ phương trình đầu tiên chúng ta có

Trả lời:

X = 10, y = 5, z = -20.

Giải các hệ phương trình đại số tuyến tính trong đó số phương trình không trùng với số ẩn hoặc ma trận chính của hệ là số ít bằng phương pháp Gauss.

Hệ phương trình có ma trận chính là hình chữ nhật hoặc hình vuông số ít, có thể không có nghiệm, có thể có một nghiệm duy nhất hoặc có thể có vô số nghiệm.

Bây giờ chúng ta sẽ hiểu cách phương pháp Gauss cho phép chúng ta thiết lập tính tương thích hoặc tính không nhất quán của một hệ phương trình tuyến tính và trong trường hợp tương thích của nó, hãy xác định tất cả các giải pháp (hoặc một giải pháp duy nhất).

Về nguyên tắc, quá trình loại bỏ các biến chưa biết trong trường hợp SLAE như vậy vẫn được giữ nguyên. Tuy nhiên, cần đi sâu vào chi tiết về một số tình huống có thể phát sinh.

Hãy chuyển sang giai đoạn quan trọng nhất.

Vì vậy, chúng ta hãy giả sử rằng hệ phương trình đại số tuyến tính, sau khi hoàn thành tiến trình tiến triển của phương pháp Gauss, có dạng và không một phương trình nào được rút gọn thành (trong trường hợp này chúng ta sẽ kết luận rằng hệ thống không tương thích). Một câu hỏi hợp lý được đặt ra: “Phải làm gì tiếp theo”?

Chúng ta hãy viết ra các biến chưa biết xuất hiện đầu tiên trong tất cả các phương trình của hệ thu được:

Trong ví dụ của chúng tôi đây là x 1, x 4 và x 5. Ở vế trái của các phương trình của hệ ta chỉ để lại những số hạng chứa các biến chưa biết x 1, x 4 và x 5, các số hạng còn lại chuyển sang vế phải của phương trình có dấu ngược lại:

Hãy cho các biến chưa biết nằm ở vế phải của phương trình các giá trị tùy ý, trong đó - số tùy ý:

Sau đó, vế phải của tất cả các phương trình SLAE của chúng ta đều chứa các số và chúng ta có thể tiến hành đảo ngược phương pháp Gaussian.

Từ phương trình cuối cùng của hệ ta có, từ phương trình áp chót ta tìm được, từ phương trình đầu tiên ta được

Nghiệm của hệ phương trình là tập giá trị của các biến chưa biết

Đưa ra con số các giá trị khác nhau thì ta sẽ thu được nghiệm khác nhau của hệ phương trình. Tức là hệ phương trình của ta có vô số nghiệm.

Trả lời:

Ở đâu - số tùy ý.

Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết cách giải của một số ví dụ khác.

Ví dụ.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất Phương pháp Gauss.

Giải pháp.

Chúng ta hãy loại trừ biến x chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống. Để làm điều này, ở vế trái và vế phải của phương trình thứ hai, chúng ta lần lượt cộng vế trái và vế phải của phương trình thứ nhất, nhân với , và vào vế trái và phải của phương trình thứ ba, chúng ta cộng vế trái và vế phải của phương trình thứ nhất, nhân với:

Bây giờ hãy loại trừ y khỏi phương trình thứ ba của hệ phương trình thu được:

SLAE kết quả tương đương với hệ thống .

Chúng ta để lại ở vế trái của hệ phương trình chỉ các thuật ngữ chứa biến x và y chưa biết, và chuyển các thuật ngữ có biến z chưa biết sang vế phải:

Một trong những phương pháp phổ biến và hiệu quả để giải hệ đại số tuyến tính là phương pháp Gaussian , bao gồm việc loại bỏ tuần tự các ẩn số.

Hãy nhớ lại rằng hai hệ thống được gọi là tương đương (tương đương) nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau. Nói cách khác, các hệ thống là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngược lại. Hệ thống tương đương thu được khi các phép biến đổi cơ bản phương trình của hệ thống:

nhân cả hai vế của phương trình với một số khác 0;

thêm vào một số phương trình các phần tương ứng của một phương trình khác, nhân với một số khác 0;

sắp xếp lại hai phương trình.

Cho hệ phương trình

Quá trình giải hệ này bằng phương pháp Gaussian bao gồm hai giai đoạn. Ở giai đoạn đầu tiên (chuyển động trực tiếp), hệ thống, sử dụng các phép biến đổi cơ bản, được rút gọn thành từng bước , hoặc hình tam giác và ở giai đoạn thứ hai (ngược lại), có một tuần tự, bắt đầu từ số biến cuối cùng, xác định các ẩn số từ hệ thống bước kết quả.

Giả sử hệ số của hệ này
, nếu không thì trong hệ thống, hàng đầu tiên có thể được hoán đổi với bất kỳ hàng nào khác sao cho hệ số tại đã khác với số không.

Hãy biến đổi hệ thống bằng cách loại bỏ những điều chưa biết trong tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên. Để làm điều này, nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với và cộng từng số hạng với phương trình thứ hai của hệ. Sau đó nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với và thêm nó vào phương trình thứ ba của hệ thống. Tiếp tục quá trình này ta thu được hệ tương đương

Đây
– giá trị mới của các hệ số và số hạng tự do thu được sau bước đầu tiên.

Tương tự, xét yếu tố chính
, loại trừ ẩn số từ tất cả các phương trình của hệ thống, ngoại trừ phương trình thứ nhất và thứ hai. Hãy tiếp tục quá trình này càng lâu càng tốt và kết quả là chúng ta sẽ có được một hệ thống từng bước

,

Ở đâu ,
,…,- Các thành phần chính của hệ thống
.

Nếu, trong quá trình chuyển hệ về dạng từng bước, xuất hiện các phương trình, tức là các đẳng thức có dạng
, chúng bị loại bỏ vì chúng được thỏa mãn bởi bất kỳ bộ số nào
. Nếu tại
Nếu một phương trình có dạng xuất hiện mà không có nghiệm, điều này cho thấy sự không tương thích của hệ thống.

Trong hành trình ngược lại, ẩn số đầu tiên được biểu thị từ phương trình cuối cùng của hệ bước biến đổi thông qua tất cả những điều chưa biết khác
được gọi là miễn phí . Khi đó biểu thức biến từ phương trình cuối cùng của hệ được thay thế vào phương trình áp chót và biến được biểu thị từ nó
. Các biến được xác định tuần tự theo cách tương tự
. Biến
, được biểu diễn thông qua các biến tự do, được gọi là nền tảng (sự phụ thuộc). Kết quả là nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính.

Để tìm giải pháp riêng hệ thống, miễn phí chưa biết
trong lời giải tổng quát các giá trị tùy ý được gán và giá trị của các biến được tính toán
.

Về mặt kỹ thuật, sẽ thuận tiện hơn khi áp dụng các phép biến đổi cơ bản không phải bản thân các phương trình của hệ mà là ma trận mở rộng của hệ.

.

Phương pháp Gauss là một phương pháp phổ quát cho phép bạn giải không chỉ các hệ hình vuông mà còn cả các hệ hình chữ nhật trong đó số lượng ẩn số
không bằng số phương trình
.

Ưu điểm của phương pháp này còn là trong quá trình giải chúng ta đồng thời kiểm tra tính tương thích của hệ thống, vì đã cho ma trận mở rộng
dưới dạng từng bước, dễ dàng xác định được thứ hạng của ma trận và ma trận mở rộng
và áp dụng Định lý Kronecker-Capelli .

Ví dụ 2.1 Giải hệ bằng phương pháp Gauss

Giải pháp. Số phương trình
và số lượng ẩn số
.

Hãy tạo ma trận mở rộng của hệ thống bằng cách gán các hệ số ở bên phải ma trận cột thành viên miễn phí .

Hãy trình bày ma trận sang chế độ xem hình tam giác; Để làm điều này, chúng ta sẽ thu được “0” bên dưới các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Để có số "0" ở vị trí thứ hai của cột đầu tiên, hãy nhân hàng đầu tiên với (-1) rồi cộng nó vào hàng thứ hai.

Chúng ta viết phép biến đổi này dưới dạng số (-1) theo dòng đầu tiên và biểu thị nó bằng một mũi tên đi từ dòng đầu tiên đến dòng thứ hai.

Để có số "0" ở vị trí thứ ba của cột đầu tiên, hãy nhân hàng đầu tiên với (-3) rồi cộng với hàng thứ ba; Hãy thể hiện hành động này bằng cách sử dụng một mũi tên đi từ dòng đầu tiên đến dòng thứ ba.

.

Trong ma trận kết quả, được viết ở vị trí thứ hai trong chuỗi ma trận, chúng ta nhận được “0” ở cột thứ hai ở vị trí thứ ba. Để làm điều này, chúng tôi nhân dòng thứ hai với (-4) và thêm nó vào dòng thứ ba. Trong ma trận kết quả, nhân hàng thứ hai với (-1) và chia hàng thứ ba cho (-8). Tất cả các phần tử của ma trận này nằm bên dưới các phần tử đường chéo đều bằng 0.

Bởi vì , hệ thống được hợp tác và xác định.

Hệ phương trình tương ứng với ma trận cuối có dạng tam giác:

Từ phương trình (thứ ba) cuối cùng
. Thay vào phương trình thứ hai và nhận được
.

Hãy thay thế
Và
vào phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy


.

Định nghĩa và mô tả phương pháp Gaussian

Phương pháp biến đổi Gaussian (còn gọi là phương pháp loại tuần tự các biến chưa biết khỏi phương trình hoặc ma trận) để giải hệ phương trình tuyến tính là một phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình đại số (SLAE). Phương pháp cổ điển này cũng được sử dụng để giải các bài toán như lấy ma trận nghịch đảo và xác định hạng của ma trận.

Phép biến đổi bằng phương pháp Gaussian bao gồm thực hiện các thay đổi tuần tự nhỏ (cơ bản) đối với hệ phương trình đại số tuyến tính, dẫn đến việc loại bỏ các biến từ trên xuống dưới và hình thành một hệ phương trình tam giác mới tương đương với phương trình ban đầu một.

Định nghĩa 1

Phần này của lời giải được gọi là lời giải Gaussian chuyển tiếp, vì toàn bộ quá trình được thực hiện từ trên xuống dưới.

Sau khi rút gọn hệ phương trình ban đầu thành hệ phương trình tam giác, tất cả các biến của hệ được tìm từ dưới lên trên (nghĩa là các biến đầu tiên tìm được nằm chính xác ở dòng cuối cùng của hệ hoặc ma trận). Phần này của nghiệm còn được gọi là nghịch đảo của nghiệm Gaussian. Thuật toán của ông như sau: đầu tiên, các biến gần đáy của hệ phương trình hoặc ma trận được tính toán, sau đó các giá trị kết quả được thay thế cao hơn và do đó một biến khác được tìm thấy, v.v.

Mô tả thuật toán phương pháp Gaussian

Trình tự các hành động để giải tổng quát hệ phương trình sử dụng phương pháp Gaussian bao gồm việc áp dụng luân phiên các nét tiến và nét lùi vào ma trận dựa trên SLAE. Cho hệ phương trình ban đầu có dạng:

$\begin(case) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(case)$

Để giải SLAE bằng phương pháp Gaussian, cần viết hệ phương trình gốc dưới dạng ma trận:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Ma trận $A$ được gọi là ma trận chính và biểu thị các hệ số của các biến được viết theo thứ tự và $b$ được gọi là cột các số hạng tự do của nó. Ma trận $A$, được viết thông qua một thanh có cột các số hạng tự do, được gọi là ma trận mở rộng:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Bây giờ cần phải sử dụng các phép biến đổi cơ bản trên hệ phương trình (hoặc trên ma trận, vì cách này thuận tiện hơn) để đưa nó về dạng sau:

$\begin(case) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(case)$ (1)

Ma trận thu được từ các hệ số của hệ biến đổi của phương trình (1) được gọi là ma trận bước; ma trận bước thường có dạng như sau:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Các ma trận này được đặc trưng bởi tập hợp các thuộc tính sau:

1. Tất cả các dòng 0 của nó đều nằm sau các dòng khác 0
2. Nếu một hàng nào đó của ma trận có số $k$ khác 0 thì hàng trước của cùng ma trận đó có ít số 0 hơn hàng có số $k$ này.

Sau khi thu được ma trận bước, cần thay các biến kết quả vào các phương trình còn lại (bắt đầu từ cuối) và thu được các giá trị còn lại của các biến.

Các quy tắc cơ bản và các phép biến đổi được phép khi sử dụng phương pháp Gauss

Khi đơn giản hóa ma trận hoặc hệ phương trình bằng phương pháp này, bạn chỉ cần sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Các phép biến đổi như vậy được coi là các phép toán có thể áp dụng cho ma trận hoặc hệ phương trình mà không làm thay đổi ý nghĩa của nó:

• sắp xếp lại một số dòng,
• cộng hoặc trừ từ một hàng của ma trận một hàng khác từ nó,
• nhân hoặc chia một chuỗi cho một hằng số khác 0,
• một dòng chỉ gồm các số 0, thu được trong quá trình tính toán và đơn giản hóa hệ thống, phải bị xóa,
• Bạn cũng cần loại bỏ các đường tỷ lệ không cần thiết, chọn cho hệ thống đường duy nhất có hệ số phù hợp và thuận tiện hơn cho các phép tính tiếp theo.

Tất cả các phép biến đổi cơ bản đều có thể đảo ngược.

Phân tích ba trường hợp chính phát sinh khi giải phương trình tuyến tính bằng phương pháp biến đổi Gauss đơn giản

Có ba trường hợp phát sinh khi sử dụng phương pháp Gaussian để giải hệ:

1. Khi một hệ thống không nhất quán, nghĩa là nó không có giải pháp nào
2. Hệ phương trình có nghiệm và duy nhất, số hàng và cột khác 0 trong ma trận bằng nhau.
3. Hệ thống có một số hoặc tập hợp các giải pháp khả thi nhất định và số hàng trong đó ít hơn số cột.

Kết quả của một giải pháp với một hệ thống không nhất quán

Đối với tùy chọn này, khi giải phương trình ma trận bằng phương pháp Gaussian, thông thường sẽ thu được một số dòng không thể thực hiện được đẳng thức. Do đó, nếu xảy ra ít nhất một đẳng thức sai thì hệ kết quả và hệ ban đầu không có nghiệm, bất kể chúng chứa các phương trình khác. Một ví dụ về ma trận không nhất quán:

$\begin(mảng)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Ở dòng cuối cùng, một sự bình đẳng không thể xảy ra đã nảy sinh: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất

Các hệ thống này, sau khi được rút gọn thành ma trận bước và loại bỏ các hàng có số 0, sẽ có cùng số hàng và số cột trong ma trận chính. Đây là ví dụ đơn giản nhất về một hệ thống như vậy:

$\begin(case) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(case)$

Hãy viết nó dưới dạng ma trận:

$\begin(mảng)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(mảng)$

Để đưa ô đầu tiên của hàng thứ hai về 0, chúng ta nhân hàng trên cùng với $-2$ và trừ nó khỏi hàng dưới cùng của ma trận, rồi để hàng trên cùng ở dạng ban đầu, kết quả là chúng ta có kết quả sau :

$\begin(mảng)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(mảng)$

Ví dụ này có thể được viết dưới dạng một hệ thống:

$\begin(case) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(case)$

Phương trình dưới mang lại giá trị sau cho $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Thay giá trị này vào phương trình trên: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, ta được $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Một hệ thống có nhiều giải pháp khả thi

Hệ thống này được đặc trưng bởi số lượng hàng quan trọng nhỏ hơn số lượng cột trong đó (các hàng của ma trận chính được tính đến).

Các biến trong hệ thống như vậy được chia thành hai loại: cơ bản và miễn phí. Khi chuyển đổi một hệ thống như vậy, các biến chính chứa trong nó phải được để ở vùng bên trái cho đến dấu “=”, và các biến còn lại phải được chuyển sang vế phải của đẳng thức.

Một hệ thống như vậy chỉ có một giải pháp chung nhất định.

Hãy phân tích hệ phương trình sau:

$\begin(case) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(case)$

Hãy viết nó dưới dạng ma trận:

$\begin(mảng)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(mảng)$

Nhiệm vụ của chúng ta là tìm ra giải pháp chung cho hệ thống. Đối với ma trận này, các biến cơ sở sẽ là $y_1$ và $y_3$ (đối với $y_1$ - vì nó đứng đầu và trong trường hợp $y_3$ - nó nằm sau các số 0).

Là các biến cơ sở, chúng tôi chọn chính xác những biến đầu tiên trong hàng và không bằng 0.

Các biến còn lại được gọi là tự do, chúng ta cần biểu diễn những biến cơ bản thông qua chúng.

Bằng cách sử dụng cái gọi là hành trình ngược, chúng ta phân tích hệ thống từ dưới lên trên; để làm điều này, trước tiên chúng ta biểu thị $y_3$ từ dòng dưới cùng của hệ thống:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Bây giờ chúng ta thay $y_3$ đã biểu diễn vào phương trình trên của hệ $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Chúng ta biểu diễn $y_1$ dưới dạng các biến tự do $y_2$ và $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Giải pháp đã sẵn sàng.

ví dụ 1

Giải bài toán bằng phương pháp Gaussian. Ví dụ. Ví dụ giải hệ phương trình tuyến tính ma trận 3 nhân 3 bằng phương pháp Gaussian

$\begin(case) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(case)$

Hãy viết hệ thống của chúng tôi dưới dạng ma trận mở rộng:

$\begin(mảng)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Bây giờ, để thuận tiện và thiết thực, bạn cần biến đổi ma trận sao cho $1$ nằm ở góc trên của cột ngoài cùng.

Để làm điều này, ở dòng đầu tiên, bạn cần thêm dòng từ giữa, nhân với $-1$ và viết chính dòng ở giữa, hóa ra:

$\begin(mảng)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(mảng)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(mảng) $

Nhân dòng trên cùng và dòng cuối cùng với $-1$, đồng thời hoán đổi dòng cuối cùng và dòng giữa:

$\begin(mảng)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(mảng)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Và chia dòng cuối cùng cho $3$:

$\begin(mảng)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Ta thu được hệ phương trình sau, tương đương với hệ phương trình ban đầu:

$\begin(case) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(case)$

Từ phương trình trên chúng ta biểu thị $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Ví dụ 2

Một ví dụ về giải hệ thống được xác định bằng ma trận 4 x 4 bằng phương pháp Gaussian

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Lúc đầu, chúng tôi hoán đổi các dòng trên cùng theo sau nó để nhận được $1$ ở góc trên bên trái:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Bây giờ nhân dòng trên cùng với $-2$ và cộng vào dòng thứ 2 và thứ 3. Đến dòng thứ 4, chúng ta thêm dòng đầu tiên, nhân với $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Bây giờ đối với dòng số 3, chúng tôi thêm dòng 2 nhân với $4$ và với dòng 4, chúng tôi thêm dòng 2 nhân với $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Chúng tôi nhân dòng 2 với $-1$ và chia dòng 4 cho $3$ và thay thế dòng 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(mảng)$

Bây giờ chúng ta thêm vào dòng cuối cùng dòng áp chót, nhân với $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(mảng)$

Ta giải hệ phương trình thu được:

$\begin(case) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(case)$

Một trong những cách đơn giản nhất để giải hệ phương trình tuyến tính là kỹ thuật dựa trên việc tính các định thức ( Quy tắc Cramer). Ưu điểm của nó là cho phép bạn ghi lại lời giải ngay lập tức, nó đặc biệt thuận tiện trong trường hợp các hệ số của hệ thống không phải là số mà là một số tham số. Nhược điểm của nó là tính toán phức tạp trong trường hợp có số lượng lớn phương trình; hơn nữa, quy tắc Cramer không thể áp dụng trực tiếp cho các hệ trong đó số phương trình không trùng với số ẩn số. Trong những trường hợp như vậy, nó thường được sử dụng phương pháp Gaussian.

Hệ phương trình tuyến tính có cùng tập nghiệm được gọi là tương đương. Rõ ràng, tập nghiệm của một hệ tuyến tính sẽ không thay đổi nếu bất kỳ phương trình nào bị hoán đổi hoặc nếu một trong các phương trình được nhân với một số khác 0 hoặc nếu một phương trình được thêm vào một phương trình khác.

Phương pháp Gauss (phương pháp loại bỏ tuần tự các ẩn số) là với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ thống được rút gọn thành một hệ thống tương đương thuộc loại bước. Đầu tiên, sử dụng phương trình 1, chúng ta loại bỏ x 1 trong tất cả các phương trình tiếp theo của hệ. Sau đó, sử dụng phương trình thứ 2, chúng ta loại bỏ x 2 từ phương trình thứ 3 và tất cả các phương trình tiếp theo. Quá trình này, được gọi là phương pháp Gaussian trực tiếp, tiếp tục cho đến khi chỉ còn một ẩn số ở vế trái của phương trình cuối cùng x n. Sau đó, nó được thực hiện nghịch đảo của phương pháp Gaussian- giải phương trình cuối cùng ta tìm được x n; sau đó, sử dụng giá trị này, từ phương trình áp chót, chúng ta tính được x n–1, v.v. Chúng tôi tìm thấy cái cuối cùng x 1 từ phương trình đầu tiên.

Thật thuận tiện khi thực hiện các phép biến đổi Gaussian bằng cách thực hiện các phép biến đổi không phải với chính các phương trình mà bằng ma trận các hệ số của chúng. Hãy xem xét ma trận:

gọi điện ma trận mở rộng của hệ thống, bởi vì, ngoài ma trận chính của hệ thống, nó còn có một cột các thuật ngữ tự do. Phương pháp Gaussian dựa trên việc quy đổi ma trận chính của hệ thành dạng tam giác (hoặc dạng hình thang trong trường hợp hệ không vuông) bằng cách sử dụng các phép biến đổi hàng cơ bản (!) của ma trận mở rộng của hệ.

Ví dụ 5.1. Giải hệ phương trình Gaussian:

Giải pháp. Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng hàng đầu tiên, sau đó chúng ta sẽ đặt lại các phần tử còn lại:

chúng ta nhận được số 0 ở hàng thứ 2, thứ 3 và thứ 4 của cột đầu tiên:

Bây giờ chúng ta cần tất cả các phần tử trong cột thứ hai bên dưới hàng thứ 2 bằng 0. Để làm điều này, bạn có thể nhân dòng thứ hai với –4/7 và cộng nó vào dòng thứ 3. Tuy nhiên, để không phải xử lý phân số, chúng ta hãy tạo đơn vị ở hàng thứ 2 của cột thứ hai và chỉ

Bây giờ, để có được ma trận tam giác, bạn cần đặt lại phần tử của hàng thứ tư của cột thứ 3; để làm điều này, bạn có thể nhân hàng thứ ba với 8/54 và cộng nó với hàng thứ tư. Tuy nhiên, để không xử lý phân số, chúng ta sẽ hoán đổi hàng thứ 3 và thứ 4 cũng như cột thứ 3 và thứ 4 và chỉ sau đó chúng ta sẽ đặt lại phần tử đã chỉ định. Lưu ý khi sắp xếp lại các cột các biến tương ứng sẽ thay đổi vị trí và điều này phải được ghi nhớ; không thể thực hiện được các phép biến đổi cơ bản khác có cột (cộng và nhân với một số)!

Ma trận đơn giản hóa cuối cùng tương ứng với hệ phương trình tương đương với ma trận ban đầu:

Từ đây, sử dụng nghịch đảo của phương pháp Gaussian, chúng ta tìm được từ phương trình thứ tư x 3 = –1; từ thứ ba x 4 = –2, tính từ giây x 2 = 2 và từ phương trình đầu tiên x 1 = 1. Ở dạng ma trận, đáp án được viết là

Chúng tôi đã xem xét trường hợp khi hệ thống là xác định, tức là khi chỉ có một giải pháp. Hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu hệ thống không nhất quán hoặc không chắc chắn.

Ví dụ 5.2. Khám phá hệ thống bằng phương pháp Gaussian:

Giải pháp. Chúng tôi viết ra và biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống

Chúng tôi viết một hệ phương trình đơn giản:

Ở đây, trong phương trình cuối cùng, hóa ra 0=4, tức là mâu thuẫn. Do đó, hệ thống không có giải pháp, tức là. cô ấy không tương thích. à

Ví dụ 5.3. Khám phá và giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian:

Giải pháp. Chúng tôi viết và biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống:

Kết quả của các phép biến đổi là dòng cuối cùng chỉ chứa số 0. Điều này có nghĩa là số phương trình đã giảm đi một:

Như vậy, sau khi đơn giản hóa, còn lại hai phương trình và bốn ẩn số, tức là hai "phụ" không xác định. Hãy để chúng trở nên "thừa", hoặc, như người ta nói, biến miễn phí, sẽ x 3 và x 4 . Sau đó

tin tưởng x 3 = 2Một Và x 4 = b, chúng tôi nhận được x 2 = 1–Một Và x 1 = 2b–Một; hoặc ở dạng ma trận

Một giải pháp được viết theo cách này được gọi là tổng quan, bởi vì, đưa ra các tham số Một Và b các giá trị khác nhau thì có thể mô tả được tất cả các nghiệm có thể có của hệ thống. Một