Giải phương trình hàm mũ. Ví dụ

Ví dụ:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Cách giải phương trình mũ

Khi giải bất kỳ phương trình hàm mũ nào, chúng tôi cố gắng đưa nó về dạng \(a^(f(x))=a^(g(x))\), sau đó thực hiện chuyển đổi sang đẳng thức số mũ, nghĩa là:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Ví dụ:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Quan trọng! Từ cùng một logic, có hai yêu cầu cho quá trình chuyển đổi như vậy:
- số trong trái và phải phải giống nhau;
- độ bên trái và bên phải phải “thuần khiết”, tức là không được có phép nhân, phép chia, v.v.

Ví dụ:

Để rút gọn phương trình về dạng \(a^(f(x))=a^(g(x))\) và được sử dụng.

Ví dụ . Giải phương trình hàm mũ \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Giải pháp:

Giải quyết hầu hết các vấn đề toán học theo cách này hay cách khác liên quan đến việc chuyển đổi các biểu thức số, đại số hoặc hàm số. Những điều trên áp dụng đặc biệt cho quyết định. Trong các phiên bản của Kỳ thi Thống nhất môn toán, loại bài toán này đặc biệt bao gồm nhiệm vụ C3. Học cách giải các bài tập C3 không chỉ quan trọng vì mục đích vượt qua kỳ thi Thống nhất thành công mà còn vì lý do kỹ năng này sẽ hữu ích khi học một môn toán ở trường trung học.

Khi hoàn thành nhiệm vụ C3, bạn phải giải các loại phương trình và bất phương trình khác nhau. Trong số đó có các mô-đun hợp lý, vô tỷ, hàm mũ, logarit, lượng giác, chứa các mô-đun (giá trị tuyệt đối), cũng như các mô-đun kết hợp. Bài viết này thảo luận về các loại phương trình hàm mũ và bất đẳng thức chính, cũng như các phương pháp khác nhau để giải chúng. Đọc về cách giải các loại phương trình và bất đẳng thức khác trong phần “” trong các bài viết về phương pháp giải các bài toán C3 trong Kỳ thi Thống nhất Toán học cấp Bang.

Trước khi chúng ta bắt đầu phân tích cụ thể phương trình hàm mũ và bất đẳng thức, với tư cách là một gia sư toán, tôi khuyên bạn nên ôn lại một số tài liệu lý thuyết mà chúng ta sẽ cần.

hàm số mũ

Hàm số mũ là gì?

Chức năng của biểu mẫu y = cây rìu, Ở đâu Một> 0 và Một≠ 1 được gọi là hàm số mũ.

Nền tảng tính chất của hàm số mũ y = cây rìu:

Đồ thị của hàm số mũ

Đồ thị của hàm số mũ là số mũ:

Đồ thị hàm số mũ (số mũ)

Giải phương trình mũ

chỉ địnhđược gọi là các phương trình trong đó biến chưa biết chỉ được tìm thấy trong số mũ của một số lũy thừa.

Đối với giải pháp phương trình hàm mũ bạn cần biết và có thể sử dụng định lý đơn giản sau:

Định lý 1. phương trình hàm mũ Một f(x) = Một g(x) (Ở đâu Một > 0, Một≠ 1) tương đương với phương trình f(x) = g(x).

Ngoài ra, sẽ rất hữu ích khi nhớ các công thức và thao tác cơ bản với độ:

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Ví dụ 1. Giải phương trình:

Giải pháp: Chúng tôi sử dụng các công thức trên và thay thế:

Phương trình khi đó trở thành:

Phân biệt của phương trình bậc hai thu được là dương:

Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}

Điều này có nghĩa là phương trình này có hai nghiệm. Chúng tôi tìm thấy chúng:

Chuyển sang thay thế ngược, chúng tôi nhận được:

Phương trình thứ hai không có nghiệm, vì hàm số mũ hoàn toàn dương trong toàn bộ phạm vi định nghĩa. Hãy giải quyết vấn đề thứ hai:

Xem xét những gì đã nói trong Định lý 1, chúng ta chuyển sang phương trình tương đương: x= 3. Đây sẽ là đáp án của bài tập.

Trả lời: x = 3.

Ví dụ 2. Giải phương trình:

Giải pháp: Phương trình không có hạn chế về phạm vi giá trị cho phép, vì biểu thức căn thức có ý nghĩa đối với bất kỳ giá trị nào x(hàm số mũ y = 9 4 -x dương và không bằng 0).

Chúng ta giải phương trình bằng các phép biến đổi tương đương bằng cách sử dụng quy tắc nhân và chia lũy thừa:

Quá trình chuyển đổi cuối cùng được thực hiện theo Định lý 1.

Trả lời:x= 6.

Ví dụ 3. Giải phương trình:

Giải pháp: cả hai vế của phương trình ban đầu có thể chia cho 0,2 x. Quá trình chuyển đổi này sẽ tương đương vì biểu thức này lớn hơn 0 đối với bất kỳ giá trị nào x(hàm số mũ hoàn toàn dương trong miền định nghĩa của nó). Khi đó phương trình có dạng:

Trả lời: x = 0.

Ví dụ 4. Giải phương trình:

Giải pháp: chúng ta đơn giản hóa phương trình thành phương trình cơ bản bằng các phép biến đổi tương đương bằng cách sử dụng các quy tắc chia và nhân lũy thừa được đưa ra ở đầu bài viết:

Chia cả hai vế của phương trình cho 4 x, như trong ví dụ trước, là một phép biến đổi tương đương, vì biểu thức này không bằng 0 đối với bất kỳ giá trị nào x.

Trả lời: x = 0.

Ví dụ 5. Giải phương trình:

Giải pháp: chức năng y = 3x, đứng ở vế trái của phương trình, đang tăng lên. Chức năng y = —x-2/3 ở vế phải của phương trình đang giảm dần. Điều này có nghĩa là nếu đồ thị của các hàm này cắt nhau thì có nhiều nhất một điểm. Trong trường hợp này, dễ dàng đoán được rằng các đồ thị cắt nhau tại điểm x= -1. Sẽ không có rễ nào khác.

Trả lời: x = -1.

Ví dụ 6. Giải phương trình:

Giải pháp: chúng ta đơn giản hóa phương trình bằng các phép biến đổi tương đương, luôn nhớ rằng hàm mũ hoàn toàn lớn hơn 0 đối với bất kỳ giá trị nào x và sử dụng quy tắc tính tích, thương của lũy thừa ở đầu bài:

Trả lời: x = 2.

Giải bất đẳng thức hàm mũ

chỉ địnhđược gọi là các bất đẳng thức trong đó biến chưa biết chỉ chứa trong số mũ của một lũy thừa nào đó.

Đối với giải pháp bất đẳng thức hàm mũ cần phải nắm vững định lý sau:

Định lý 2. Nếu như Một> 1 thì bất đẳng thức Một f(x) > Một g(x) tương đương với bất đẳng thức cùng nghĩa: f(x) > g(x). Nếu 0< Một < 1, то показательное неравенство Một f(x) > Một g(x) tương đương với bất đẳng thức có nghĩa ngược lại: f(x) < g(x).

Ví dụ 7. Giải bất đẳng thức:

Giải pháp: Hãy biểu diễn bất đẳng thức ban đầu dưới dạng:

Hãy chia cả hai vế của bất đẳng thức này cho 3 2 x, trong trường hợp này (do tính dương của hàm y= 3 2x) dấu bất đẳng thức sẽ không thay đổi:

Hãy sử dụng sự thay thế:

Khi đó bất đẳng thức sẽ có dạng:

Vậy nghiệm của bất đẳng thức là khoảng:

chuyển sang sự thay thế ngược lại, chúng tôi nhận được:

Do tính dương của hàm mũ nên bất đẳng thức bên trái được tự động thỏa mãn. Sử dụng tính chất nổi tiếng của logarit, chúng ta chuyển sang bất đẳng thức tương đương:

Vì cơ số của bậc là một số lớn hơn một nên tương đương (theo Định lý 2) là sự chuyển sang bất đẳng thức sau:

Vì vậy, cuối cùng chúng tôi nhận được trả lời:

Ví dụ 8. Giải bất đẳng thức:

Giải pháp: Sử dụng tính chất nhân, chia lũy thừa, ta viết lại bất đẳng thức dưới dạng:

Hãy giới thiệu một biến mới:

Khi tính đến sự thay thế này, bất đẳng thức có dạng:

Nhân tử số và mẫu số của phân số với 7, ta thu được bất đẳng thức tương đương sau:

Vậy các giá trị sau của biến thỏa mãn bất đẳng thức t:

Sau đó, chuyển sang thay thế ngược lại, chúng ta nhận được:

Vì cơ số của bậc ở đây lớn hơn một nên việc chuyển sang bất đẳng thức sẽ tương đương (theo Định lý 2):

Cuối cùng chúng tôi nhận được trả lời:

Ví dụ 9. Giải bất đẳng thức:

Giải pháp:

Ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho biểu thức:

Nó luôn lớn hơn 0 (do hàm số dương dương) nên không cần đổi dấu bất đẳng thức. Chúng tôi nhận được:

t nằm trong khoảng:

Chuyển sang thay thế ngược, chúng ta thấy rằng bất đẳng thức ban đầu chia thành hai trường hợp:

Bất đẳng thức thứ nhất không có nghiệm do hàm mũ dương. Hãy giải quyết vấn đề thứ hai:

Ví dụ 10. Giải bất đẳng thức:

Giải pháp:

Nhánh parabol y = 2x+2-x 2 hướng xuống dưới, do đó nó bị giới hạn từ phía trên bởi giá trị mà nó đạt tới tại đỉnh của nó:

Nhánh parabol y = x 2 -2x+2 trong chỉ báo hướng lên trên, có nghĩa là nó bị giới hạn từ bên dưới bởi giá trị mà nó đạt tới ở đỉnh của nó:

Đồng thời hàm số cũng bị chặn từ dưới lên y = 3 x 2 -2x+2, nằm ở vế phải của phương trình. Nó đạt giá trị nhỏ nhất tại cùng điểm với parabol trong số mũ và giá trị này là 3 1 = 3. Vì vậy, bất đẳng thức ban đầu chỉ có thể đúng nếu hàm bên trái và hàm bên phải nhận giá trị , bằng 3 (giao điểm của các phạm vi giá trị của các hàm này chỉ là số này). Điều kiện này được thỏa mãn tại một điểm duy nhất x = 1.

Trả lời: x= 1.

Để học cách quyết định phương trình hàm mũ và bất đẳng thức, cần phải không ngừng rèn luyện để giải quyết chúng. Các công cụ hỗ trợ giảng dạy khác nhau, sách giải toán tiểu học, bộ sưu tập các bài toán cạnh tranh, các lớp học toán ở trường, cũng như các bài học cá nhân với gia sư chuyên nghiệp có thể giúp bạn trong nhiệm vụ khó khăn này. Tôi chân thành chúc bạn thành công trong quá trình chuẩn bị và đạt kết quả xuất sắc trong kỳ thi.

Serge Valerievich

P.S. Kính thưa quý khách! Vui lòng không viết yêu cầu giải phương trình của bạn trong phần bình luận. Thật không may, tôi hoàn toàn không có thời gian cho việc này. Những thông điệp này sẽ bị xóa. Xin vui lòng đọc bài viết. Có lẽ trong đó bạn sẽ tìm thấy câu trả lời cho những câu hỏi không cho phép bạn tự mình giải quyết nhiệm vụ của mình.

hàm số mũ là dạng tổng quát của tích của n số bằng a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
của tập số thực x:
y (x) = rìu.
Ở đây a là một số thực cố định, được gọi là cơ sở của hàm số mũ.
Hàm số mũ cơ số a còn được gọi là số mũ cơ sở a.

Việc tổng quát hóa được thực hiện như sau.
Đối với x tự nhiên = 1, 2, 3,... , hàm mũ là tích của x thừa số:
.
Hơn nữa, nó có các thuộc tính (1,5-8) (), tuân theo các quy tắc nhân số. Đối với giá trị 0 và âm của số nguyên, hàm số mũ được xác định bằng các công thức (1.9-10). Đối với các giá trị phân số x = m/n số hữu tỉ, , được xác định theo công thức (1.11). Đối với real , hàm số mũ được định nghĩa là giới hạn của chuỗi:
,
đâu là một dãy số hữu tỉ tùy ý hội tụ về x: .
Với định nghĩa này, hàm số mũ được xác định cho tất cả và thỏa mãn các thuộc tính (1,5-8), như đối với x tự nhiên.

Một công thức toán học chặt chẽ về định nghĩa của hàm số mũ và cách chứng minh các tính chất của nó được đưa ra trên trang “Định nghĩa và chứng minh các tính chất của hàm số mũ”.

Tính chất của hàm số mũ

Hàm mũ y = a x có các tính chất sau trên tập số thực ():
(1.1) xác định và liên tục, với , với tất cả ;
(1.2) cho một ≠ 1 có nhiều ý nghĩa;
(1.3) tăng nghiêm ngặt tại , giảm nghiêm ngặt tại ,
không đổi tại ;
(1.4) Tại ;
Tại ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Các công thức hữu ích khác.
.
Công thức chuyển đổi sang hàm số mũ có cơ số mũ khác:

Khi b = e, ta thu được biểu thức của hàm mũ thông qua hàm mũ:

Giá trị riêng tư

, , , , .

Hình vẽ thể hiện đồ thị của hàm số mũ
y (x) = rìu
cho bốn giá trị cơ sở bằng cấp: một = 2 , a = 8 , a = 1/2 và một = 1/8 . Có thể thấy rằng đối với a > 1 hàm số mũ tăng đơn điệu. Cơ sở của độ a càng lớn thì sự tăng trưởng càng mạnh. Tại 0 < a < 1 hàm mũ giảm đơn điệu. Số mũ a càng nhỏ thì mức giảm càng mạnh.

Tăng dần, giảm dần

Hàm mũ của hàm số này có tính đơn điệu nghiêm ngặt và do đó không có cực trị. Các thuộc tính chính của nó được trình bày trong bảng.

Chức năng trái ngược

Nghịch đảo của hàm mũ cơ số a là logarit cơ số a.

Nếu , thì
.
Nếu , thì
.

Đạo hàm của hàm số mũ

Để đạo hàm một hàm số mũ, cơ số của nó phải quy về số e, áp dụng bảng đạo hàm và quy tắc đạo hàm hàm số phức.

Để làm được điều này bạn cần sử dụng tính chất logarit
và công thức từ bảng đạo hàm:
.

Cho hàm số mũ:
.
Chúng tôi mang nó đến cơ sở e:

Hãy áp dụng quy tắc lấy vi phân của hàm số phức. Để làm điều này, hãy giới thiệu biến

Sau đó

Từ bảng đạo hàm ta có (thay biến x bằng z):
.
Vì là một hằng số nên đạo hàm của z theo x bằng
.
Theo quy tắc đạo hàm của hàm phức:
.

Đạo hàm của hàm số mũ

.
Đạo hàm bậc n:
.
Công thức dẫn xuất > > >

Ví dụ về đạo hàm hàm số mũ

Tìm đạo hàm của một hàm số
y = 3 5x

Giải pháp

Hãy biểu diễn cơ số của hàm số mũ thông qua số e.
3 = e ln 3
Sau đó
.
Nhập một biến
.
Sau đó

Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.
Bởi vì 5ln 3 là một hằng số thì đạo hàm của z theo x bằng:
.
Theo quy tắc đạo hàm của hàm phức, ta có:
.

Trả lời

tích phân

Biểu thức sử dụng số phức

Xét hàm số phức z:
f (z) = az
trong đó z = x + iy; Tôi 2 = - 1 .
Chúng ta hãy biểu thị hằng số phức a theo mô đun r và đối số φ:
a = r e i φ
Sau đó


.
Đối số φ không được xác định duy nhất. Nói chung
φ = φ 0 + 2 πn,
trong đó n là một số nguyên. Do đó hàm f (z) cũng không rõ ràng. Ý nghĩa chính của nó thường được xem xét
.

Mở rộng loạt

.

Người giới thiệu:
TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay toán học dành cho kỹ sư và sinh viên đại học, “Lan”, 2009.

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng ta thu thập thông tin cá nhân gì:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Ở giai đoạn chuẩn bị cho kỳ thi cuối kỳ, học sinh THPT cần nâng cao kiến ​​thức về chủ đề “Phương trình hàm mũ”. Kinh nghiệm những năm qua cho thấy những công việc như vậy gây ra những khó khăn nhất định cho học sinh. Vì vậy, học sinh THPT dù ở trình độ chuẩn bị như thế nào cũng cần phải nắm vững lý thuyết, ghi nhớ các công thức và nắm rõ nguyên lý giải các phương trình đó. Sau khi học cách đối phó với loại vấn đề này, sinh viên tốt nghiệp có thể tin tưởng vào điểm cao khi vượt qua Kỳ thi Thống nhất về toán học.

Hãy sẵn sàng cho kỳ thi với Shkolkovo!

Khi xem lại các tài liệu đã học, nhiều học sinh gặp phải vấn đề tìm công thức cần thiết để giải phương trình. Sách giáo khoa ở trường không phải lúc nào cũng có sẵn và việc lựa chọn thông tin cần thiết về một chủ đề trên Internet mất nhiều thời gian.

Cổng giáo dục Shkolkovo mời sinh viên sử dụng nền tảng kiến ​​thức của chúng tôi. Chúng tôi đang thực hiện một phương pháp chuẩn bị hoàn toàn mới cho bài kiểm tra cuối kỳ. Khi nghiên cứu trên trang web của chúng tôi, bạn sẽ có thể xác định được những lỗ hổng kiến ​​thức và chú ý đến những nhiệm vụ gây khó khăn nhất.

Các giáo viên của Shkolkovo đã thu thập, hệ thống hóa và trình bày tất cả tài liệu cần thiết để vượt qua Kỳ thi Thống nhất thành công dưới dạng đơn giản và dễ tiếp cận nhất.

Các định nghĩa và công thức cơ bản được trình bày trong phần “Cơ sở lý thuyết”.

Để hiểu rõ hơn về tài liệu, chúng tôi khuyên bạn nên thực hành hoàn thành các bài tập. Xem xét cẩn thận các ví dụ về phương trình hàm mũ với nghiệm được trình bày trên trang này để hiểu thuật toán tính toán. Sau đó, tiến hành thực hiện các tác vụ trong phần “Thư mục”. Bạn có thể bắt đầu với những nhiệm vụ đơn giản nhất hoặc chuyển thẳng sang giải các phương trình hàm mũ phức tạp có nhiều ẩn số hoặc . Cơ sở dữ liệu các bài tập trên website của chúng tôi liên tục được bổ sung và cập nhật.

Những ví dụ có chỉ báo gây khó khăn cho bạn có thể được thêm vào “Yêu thích”. Bằng cách này, bạn có thể nhanh chóng tìm thấy chúng và thảo luận giải pháp với giáo viên của mình.

Để vượt qua thành công Kỳ thi Thống nhất, hãy học trên cổng Shkolkovo mỗi ngày!