Giải hệ phương trình đại số tuyến tính, phương pháp giải, ví dụ. Tìm giải pháp chung của hệ thống và fsr

Phương pháp Gaussian có một số nhược điểm: không thể biết hệ thống có nhất quán hay không cho đến khi tất cả các phép biến đổi cần thiết trong phương pháp Gaussian được thực hiện; Phương pháp Gauss không phù hợp với các hệ thống có hệ số chữ cái.

Hãy xem xét các phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính. Các phương pháp này sử dụng khái niệm thứ hạng ma trận và quy gọn nghiệm của bất kỳ hệ thống nhất quán nào thành nghiệm của hệ thống áp dụng quy tắc Cramer.

Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính sau bằng cách sử dụng hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất rút gọn và nghiệm cụ thể của hệ không đồng nhất.

1. Lập ma trận MỘT và ma trận hệ thống mở rộng (1)

2. Khám phá hệ thống (1) cho sự đoàn kết. Để làm điều này, chúng ta tìm thứ hạng của ma trận MỘT và https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" Height="26 src=">). Nếu đúng như vậy thì hệ thống (1) không tương thích. Nếu chúng ta hiểu được điều đó , thì hệ này nghiệm và ta sẽ giải được. (Nghiên cứu tính tương thích dựa trên định lý Kronecker-Capelli).

Một. Chúng ta tìm thấy rA.

Để tìm rA, chúng ta sẽ xem xét tuần tự các phần tử thứ nhất khác 0 của bậc thứ nhất, thứ hai, v.v. của ma trận MỘT và những trẻ vị thành niên xung quanh họ.

M1=1≠0 (chúng ta lấy 1 từ góc trên bên trái của ma trận MỘT).

Chúng tôi biên giới M1 hàng thứ hai và cột thứ hai của ma trận này. . Chúng tôi tiếp tục biên giới M1 dòng thứ hai và cột thứ ba..gif" width="37" Height="20 src=">. Bây giờ chúng ta viền số nhỏ khác 0 M2′ lệnh thứ hai.

Chúng ta có: (vì 2 cột đầu giống nhau)

(vì dòng thứ hai và thứ ba tỷ lệ thuận với nhau).

Chúng ta thấy rằng rA=2, a là cơ số thứ của ma trận MỘT.

b. Chúng ta tìm thấy.

Tiểu học khá cơ bản M2′ ma trận MỘT viền bằng một cột các thuật ngữ miễn phí và tất cả các hàng (chúng tôi chỉ có hàng cuối cùng).

. Nó theo sau đó M3′′ vẫn là phần phụ cơ bản của ma trận https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 Height=75" Height="75"> (2)

Bởi vì M2′- cơ sở thứ của ma trận MỘT hệ thống (2) , thì hệ này tương đương với hệ (3) , gồm hai phương trình đầu tiên của hệ (2) (vì M2′ nằm ở hai hàng đầu tiên của ma trận A).

(3)

Vì trẻ vị thành niên cơ bản https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" Height="51"> (4)

Trong hệ thống này có hai ẩn số miễn phí ( x2 Và x4 ). Đó là lý do tại sao FSR hệ thống (4) gồm hai giải pháp. Để tìm thấy chúng, chúng tôi chỉ định những ẩn số miễn phí trong (4) giá trị đầu tiên x2=1 , x4=0 , và sau đó - x2=0 , x4=1 .

Tại x2=1 , x4=0 chúng tôi nhận được:

.

Hệ thống này đã có rồi điều duy nhất giải pháp (có thể tìm thấy nó bằng quy tắc Cramer hoặc bất kỳ phương pháp nào khác). Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai, chúng ta nhận được:

Giải pháp của cô ấy sẽ là x1= -1 , x3=0 . Cho các giá trị x2 Và x4 , mà chúng tôi đã thêm vào, chúng tôi thu được nghiệm cơ bản đầu tiên của hệ thống (2) : .

Bây giờ chúng tôi tin vào (4) x2=0 , x4=1 . Chúng tôi nhận được:

.

Chúng tôi giải hệ thống này bằng định lý Cramer:

.

Ta thu được nghiệm cơ bản thứ hai của hệ (2) : .

Các giải pháp β1 , β2 và trang điểm FSR hệ thống (2) . Khi đó giải pháp chung của nó sẽ là

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Đây C1 , C2 – hằng số tùy ý.

4. Hãy tìm một cái riêng tư giải pháp hệ thống không đồng nhất(1) . Như ở đoạn 3 , thay vì hệ thống (1) Hãy xem xét một hệ thống tương đương (5) , gồm hai phương trình đầu tiên của hệ (1) .

(5)

Chúng ta hãy di chuyển những ẩn số tự do sang phía bên phải x2 Và x4.

(6)

Hãy cho đi những ẩn số miễn phí x2 Và x4 giá trị tùy ý, ví dụ, x2=2 , x4=1 và đặt chúng vào (6) . Hãy lấy hệ thống

Hệ này có nghiệm duy nhất (vì định thức của nó M2′0). Giải nó (dùng định lý Cramer hoặc phương pháp Gauss), ta thu được x1=3 , x3=3 . Cho các giá trị của ẩn số miễn phí x2 Và x4 , chúng tôi nhận được nghiệm cụ thể của hệ không đồng nhất(1)α1=(3,2,3,1).

5. Bây giờ tất cả những gì còn lại là viết nó ra nghiệm tổng quát α của hệ không đồng nhất(1) : nó bằng tổng giải pháp riêng hệ thống này và giải pháp chung của hệ thống đồng nhất rút gọn của nó (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Điều này có nghĩa là: (7)

6. Bài kiểm tra.Để kiểm tra xem bạn đã giải đúng hệ thống chưa (1) , chúng ta cần một giải pháp tổng thể (7) thay thế trong (1) . Nếu mỗi phương trình trở thành đẳng thức ( C1 Và C2 phải bị phá hủy), thì giải pháp được tìm thấy chính xác.

Chúng tôi sẽ thay thế (7) ví dụ, chỉ có phương trình cuối cùng của hệ thống (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Chúng ta nhận được: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Trong đó –1=–1. Chúng tôi đã có danh tính. Chúng tôi làm điều này với tất cả các phương trình khác của hệ thống (1) .

Bình luận. Việc kiểm tra thường khá cồng kềnh. Có thể khuyến nghị “kiểm tra từng phần” sau đây: trong giải pháp chung của hệ thống (1) gán một số giá trị cho các hằng số tùy ý và chỉ thay thế nghiệm từng phần thu được vào các phương trình bị loại bỏ (tức là vào các phương trình đó từ (1) , không được bao gồm trong (5) ). Nếu bạn nhận được danh tính, thì nhiều khả năng hơn, giải pháp hệ thống (1) được tìm thấy chính xác (nhưng việc kiểm tra như vậy không đảm bảo hoàn toàn về tính chính xác!). Ví dụ, nếu ở (7) đặt C2=- 1 , C1=1, thì ta được: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Thay vào phương trình cuối cùng của hệ (1), ta có: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tức là –1=–1. Chúng tôi đã có danh tính.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính (1) , biểu diễn những ẩn số cơ bản dưới dạng những ẩn số tự do.

Giải pháp. Như trong ví dụ 1, soạn ma trận MỘT và https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" Height="50"> của các ma trận này. Bây giờ chúng ta chỉ để lại những phương trình đó của hệ thống (1) , các hệ số của chúng được bao gồm trong phần cơ bản nhỏ này (tức là chúng ta có hai phương trình đầu tiên) và xem xét một hệ bao gồm chúng, tương đương với hệ (1).

Chúng ta hãy chuyển các ẩn số tự do sang vế phải của các phương trình này.

hệ thống (9) Chúng tôi giải quyết bằng phương pháp Gaussian, coi vế phải là các số hạng tự do.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 chiều cao=106" chiều cao="106">

Lựa chọn 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" Height="106 src=">

Tùy chọn 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" Height="80">

Tùy chọn 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 chiều cao=106" chiều cao="106">

Tùy chọn 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" Height="106">

Hệ thuần nhất của phương trình đại số tuyến tính

Là một phần của bài học phương pháp Gaussian Và Hệ thống/hệ thống không tương thích với một giải pháp chung chúng tôi coi hệ phương trình tuyến tính không đồng nhất, Ở đâu thành viên miễn phí(thường ở bên phải) ít nhất một từ các phương trình khác 0.
Và bây giờ, sau khi khởi động tốt với thứ hạng ma trận, chúng tôi sẽ tiếp tục hoàn thiện kỹ thuật các phép biến đổi cơ bản TRÊN hệ phương trình tuyến tính đồng nhất.
Dựa trên những đoạn văn đầu tiên, tài liệu có vẻ nhàm chán và tầm thường, nhưng ấn tượng này là sai lầm. Ngoài việc phát triển hơn nữa về kỹ thuật, sẽ có rất nhiều thông tin mới, vì vậy các bạn hãy cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ trong bài viết này.

Một hệ thống đồng nhất của phương trình tuyến tính là gì?

Câu trả lời tự gợi ý. Một hệ phương trình tuyến tính là đồng nhất nếu số hạng tự do mọi người phương trình của hệ bằng không. Ví dụ:

Điều đó hoàn toàn rõ ràng một hệ thống đồng nhất luôn nhất quán, tức là nó luôn có giải pháp. Và trước hết, điều khiến bạn chú ý là cái gọi là không đáng kể giải pháp . Tầm thường, đối với những người hoàn toàn không hiểu ý nghĩa của tính từ, có nghĩa là không phô trương. Tất nhiên không phải về mặt học thuật mà là dễ hiểu =) ...Tại sao lại vòng vo, hãy cùng tìm hiểu xem hệ thống này có giải pháp nào khác không:

ví dụ 1

Giải pháp: để giải một hệ thuần nhất cần phải viết ma trận hệ thống và với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hãy đưa nó về dạng từng bước. Xin lưu ý rằng ở đây không cần phải viết thanh dọc và cột số 0 của các thuật ngữ tự do - xét cho cùng, dù bạn có làm gì với số 0, chúng vẫn sẽ là số 0:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –3.

(2) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1.

Chia dòng thứ ba cho 3 không có nhiều ý nghĩa.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, thu được một hệ thống đồng nhất tương đương và bằng cách sử dụng nghịch đảo của phương pháp Gaussian, dễ dàng kiểm chứng rằng nghiệm này là duy nhất.

Trả lời:

Chúng ta hãy xây dựng một tiêu chí rõ ràng: một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có chỉ là một giải pháp tầm thường, Nếu như xếp hạng ma trận hệ thống(trong trường hợp này là 3) bằng số lượng biến (trong trường hợp này là 3 phần).

Hãy khởi động và điều chỉnh đài phát thanh của chúng ta theo làn sóng biến đổi cơ bản:

Ví dụ 2

Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Từ bài viết Làm thế nào để tìm thứ hạng của một ma trận? Chúng ta hãy nhớ lại kỹ thuật hợp lý để giảm đồng thời các số ma trận. Nếu không, bạn sẽ phải cắt cá lớn và thường xuyên cắn cá. Một ví dụ gần đúng về một nhiệm vụ ở cuối bài học.

Số 0 là tốt và tiện lợi, nhưng trong thực tế trường hợp này phổ biến hơn nhiều khi các hàng của ma trận hệ thống phụ thuộc tuyến tính. Và khi đó việc xuất hiện một giải pháp chung là tất yếu:

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Giải pháp: hãy viết ma trận của hệ và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước. Hành động đầu tiên không chỉ nhằm mục đích đạt được một giá trị duy nhất mà còn nhằm giảm các số trong cột đầu tiên:

(1) Dòng thứ ba được thêm vào dòng đầu tiên, nhân với –1. Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Ở phía trên bên trái, tôi nhận được một đơn vị có "điểm trừ", thường thuận tiện hơn nhiều cho những lần chuyển đổi tiếp theo.

(2) Hai dòng đầu giống nhau, một dòng đã bị xóa. Thành thật mà nói, tôi đã không đưa ra giải pháp - hóa ra là như vậy. Nếu bạn thực hiện các phép biến đổi theo cách mẫu thì sự phụ thuộc tuyến tính các dòng sẽ được tiết lộ muộn hơn một chút.

(3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 3.

(4) Ký hiệu của dòng đầu tiên đã được thay đổi.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, thu được hệ tương đương:

Thuật toán hoạt động giống hệt như đối với hệ thống không đồng nhất. Biến “ngồi trên bậc thang” là biến chính, biến không có “bậc thang” là biến miễn phí.

Hãy biểu diễn các biến cơ bản thông qua một biến tự do:

Trả lời: quyết định chung:

Lời giải tầm thường đã được đưa vào công thức tổng quát, không cần thiết phải viết riêng ra.

Việc kiểm tra cũng được thực hiện theo sơ đồ thông thường: nghiệm tổng quát thu được phải được thế vào vế trái của mỗi phương trình của hệ và phải có một số 0 hợp pháp cho tất cả các phép thay thế.

Có thể hoàn thành việc này một cách lặng lẽ và hòa bình, nhưng lời giải của một hệ phương trình thuần nhất thường cần phải được biểu diễn ở dạng vectơ bằng cách sử dụng Hệ thống giải pháp cơ bản. Xin hãy tạm thời quên nó đi hình học giải tích, vì bây giờ chúng ta sẽ nói về vectơ theo nghĩa đại số tổng quát mà tôi đã mở ra một chút trong bài viết về thứ hạng ma trận. Không cần phải chú ý đến thuật ngữ, mọi thứ đều khá đơn giản.

Hệ phương trình tuyến tính đồng nhất trên một trường

SỰ ĐỊNH NGHĨA. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình (1) là một hệ khác rỗng độc lập tuyến tính với các nghiệm của nó, khoảng tuyến tính của nó trùng với tập tất cả các nghiệm của hệ (1).

Lưu ý rằng một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có nghiệm bằng 0 thì không có hệ nghiệm cơ bản.

ĐỀ XUẤT 3.11. Bất kỳ hai hệ nghiệm cơ bản nào của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đều có cùng số nghiệm.

Bằng chứng. Trên thực tế, bất kỳ hai hệ nghiệm cơ bản nào của hệ phương trình đồng nhất (1) đều tương đương và độc lập tuyến tính. Do đó, theo Dự luật 1.12, cấp bậc của họ bằng nhau. Do đó, số nghiệm có trong một hệ cơ bản bằng số nghiệm có trong bất kỳ hệ nghiệm cơ bản nào khác.

Nếu ma trận chính A của hệ phương trình thuần nhất (1) bằng 0 thì bất kỳ vectơ nào từ đó đều là nghiệm của hệ (1); trong trường hợp này, bất kỳ tập hợp vectơ độc lập tuyến tính nào cũng là một hệ nghiệm cơ bản. Nếu thứ hạng cột của ma trận A bằng , thì hệ (1) chỉ có một nghiệm - 0; do đó, trong trường hợp này, hệ phương trình (1) không có hệ nghiệm cơ bản.

ĐỊNH NGHĨA 3.12. Nếu hạng của ma trận chính của hệ thuần nhất các phương trình tuyến tính (1) nhỏ hơn số biến thì hệ (1) có hệ nghiệm cơ bản gồm các nghiệm.

Bằng chứng. Nếu hạng của ma trận chính A của hệ thuần nhất (1) bằng 0 hoặc , thì ở trên đã chỉ ra rằng định lý là đúng. Vì vậy, dưới đây giả sử , ta sẽ giả sử các cột đầu tiên của ma trận A độc lập tuyến tính. Trong trường hợp này, ma trận A tương đương theo hàng với ma trận rút gọn từng bước và hệ (1) tương đương với hệ phương trình rút gọn từng bước sau:

Dễ dàng kiểm tra xem bất kỳ hệ giá trị nào của các biến tự do của hệ (2) có tương ứng với một và chỉ một nghiệm của hệ (2) và do đó, tương ứng với hệ (1). Đặc biệt, chỉ có nghiệm 0 của hệ (2) và hệ (1) là tương ứng với hệ có giá trị 0.

Trong hệ thống (2), chúng ta sẽ gán một trong các biến tự do một giá trị bằng 1 và các biến còn lại - giá trị bằng 0. Kết quả là chúng ta thu được nghiệm của hệ phương trình (2) mà chúng ta viết dưới dạng các hàng của ma trận C sau:

Hệ thống hàng của ma trận này độc lập tuyến tính. Thật vậy, với mọi đại lượng vô hướng từ đẳng thức

bình đẳng theo sau

và do đó, sự bình đẳng

Hãy chứng minh rằng khoảng tuyến tính của hệ các hàng ma trận C trùng với tập hợp tất cả các nghiệm của hệ (1).

Giải pháp tùy ý của hệ thống (1). Khi đó vectơ

cũng là nghiệm của hệ (1) và

Giải pháp tìm bằng máy tính. Thuật toán giải tương tự như đối với các hệ phương trình tuyến tính không đồng nhất.
Chỉ thao tác với các hàng, chúng ta tìm được thứ hạng của ma trận, cơ sở thứ; Chúng tôi khai báo các ẩn số phụ thuộc và tự do và tìm ra giải pháp chung.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm tổng quát và hệ cơ bản của nghiệm của hệ
Giải pháp.



,
theo đó hạng của ma trận là 3 và bằng số ẩn số. Điều này có nghĩa là hệ thống không có ẩn số tự do và do đó có một giải pháp duy nhất - một giải pháp tầm thường.

Bài tập . Khám phá và giải hệ phương trình tuyến tính.
Ví dụ 4

Bài tập . Tìm giải pháp tổng quát và giải pháp riêng của từng hệ thống.
Giải pháp. Hãy viết ma trận chính của hệ thống:

Nhiệm vụ . Tìm tập nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE) chắc chắn là chủ đề quan trọng nhất trong khóa học đại số tuyến tính. Một số lượng lớn các bài toán từ tất cả các nhánh của toán học đều có liên quan đến việc giải các hệ phương trình tuyến tính. Những yếu tố này giải thích lý do cho bài viết này. Tài liệu của bài viết được lựa chọn và cấu trúc để với sự trợ giúp của nó, bạn có thể

• chọn phương pháp tối ưu để giải hệ phương trình đại số tuyến tính,
• nghiên cứu lý thuyết về phương pháp đã chọn,
• giải hệ phương trình tuyến tính của bạn bằng cách xem xét lời giải chi tiết cho các ví dụ và bài toán điển hình.

Mô tả ngắn gọn về tài liệu bài viết.

Đầu tiên, chúng tôi đưa ra tất cả các định nghĩa, khái niệm cần thiết và giới thiệu các ký hiệu.

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính trong đó số phương trình bằng số biến chưa biết và có nghiệm duy nhất. Đầu tiên, chúng tôi sẽ tập trung vào phương pháp Cramer, thứ hai, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp ma trận để giải các hệ phương trình như vậy, và thứ ba, chúng tôi sẽ phân tích phương pháp Gauss (phương pháp loại bỏ tuần tự các biến chưa biết). Để củng cố lý thuyết, chúng tôi chắc chắn sẽ giải một số SLAE theo nhiều cách khác nhau.

Sau đó, chúng ta sẽ chuyển sang giải các hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát, trong đó số phương trình không trùng với số biến chưa biết hoặc ma trận chính của hệ là số ít. Chúng ta hãy xây dựng định lý Kronecker-Capelli, định lý này cho phép chúng ta thiết lập tính tương thích của SLAE. Chúng ta hãy phân tích lời giải của các hệ thống (nếu chúng tương thích) bằng cách sử dụng khái niệm cơ sở thứ của ma trận. Chúng ta cũng sẽ xem xét phương pháp Gauss và mô tả chi tiết lời giải cho các ví dụ.

Chúng ta chắc chắn sẽ tập trung vào cấu trúc của nghiệm tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính đồng nhất và không đồng nhất. Chúng ta hãy đưa ra khái niệm về một hệ nghiệm cơ bản và chỉ ra cách viết nghiệm tổng quát của SLAE bằng cách sử dụng các vectơ của hệ nghiệm cơ bản. Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xem một vài ví dụ.

Để kết luận, chúng tôi sẽ xem xét các hệ phương trình có thể được rút gọn thành phương trình tuyến tính, cũng như các vấn đề khác nhau trong cách giải mà SLAE phát sinh.

Điều hướng trang.

Định nghĩa, khái niệm, ký hiệu.

Chúng ta sẽ xét hệ phương trình đại số tuyến tính p với n biến chưa biết (p có thể bằng n) có dạng

Các biến chưa biết, - hệ số (một số số thực hoặc số phức), - số hạng tự do (cũng là số thực hoặc số phức).

Hình thức ghi SLAE này được gọi là điều phối.

TRONG dạng ma trận viết hệ phương trình này có dạng
Ở đâu - ma trận chính của hệ thống, - ma trận cột các biến chưa biết, - ma trận cột các số hạng tự do.

Nếu chúng ta thêm một cột ma trận chứa các số hạng tự do vào ma trận A làm cột thứ (n+1), chúng ta sẽ nhận được cái gọi là ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính. Thông thường, một ma trận mở rộng được ký hiệu bằng chữ T và cột các thuật ngữ tự do được phân tách bằng một đường thẳng đứng với các cột còn lại, nghĩa là

Giải hệ phương trình đại số tuyến tínhđược gọi là tập hợp các giá trị của các biến chưa biết biến tất cả các phương trình của hệ thống thành danh tính. Phương trình ma trận cho các giá trị đã cho của các biến chưa biết cũng trở thành một đẳng thức.

Nếu một hệ phương trình có ít nhất một nghiệm thì hệ phương trình đó gọi là chung.

Nếu hệ phương trình không có nghiệm thì gọi là không khớp.

Nếu SLAE có một giải pháp duy nhất thì nó được gọi là chắc chắn; nếu có nhiều hơn một giải pháp thì – không chắc chắn.

Nếu các số hạng tự do của tất cả các phương trình của hệ đều bằng 0 , thì hệ thống được gọi đồng nhất, nếu không thì - không đồng nhất.

Giải các hệ cơ bản của phương trình đại số tuyến tính.

Nếu số phương trình của một hệ bằng số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của nó không bằng 0 thì các SLAE như vậy sẽ được gọi là tiểu học. Các hệ phương trình như vậy có nghiệm duy nhất và trong trường hợp hệ đồng nhất, tất cả các biến chưa biết đều bằng 0.

Chúng tôi bắt đầu nghiên cứu những SLAE như vậy ở trường trung học. Khi giải chúng, chúng ta lấy một phương trình, biểu thị một biến chưa biết theo các phương trình khác và thay nó vào các phương trình còn lại, sau đó lấy phương trình tiếp theo, biểu thị biến chưa biết tiếp theo và thay nó vào các phương trình khác, v.v. Hoặc họ đã sử dụng phương pháp cộng, nghĩa là họ đã thêm hai hoặc nhiều phương trình để loại bỏ một số biến chưa biết. Chúng ta sẽ không đi sâu vào các phương pháp này một cách chi tiết vì về cơ bản chúng là những sửa đổi của phương pháp Gauss.

Các phương pháp chính để giải các hệ cơ bản của phương trình tuyến tính là phương pháp Cramer, phương pháp ma trận và phương pháp Gauss. Hãy sắp xếp chúng ra.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer.

Giả sử chúng ta cần giải một hệ phương trình đại số tuyến tính

trong đó số phương trình bằng số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ khác 0, tức là .

Gọi là định thức của ma trận chính của hệ, và - định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay thế thứ 1, thứ 2,…, thứ n cột tương ứng với cột thành viên tự do:

Với ký hiệu này, các biến chưa biết được tính bằng công thức của phương pháp Cramer như . Đây là cách tìm ra nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Cramer.

Ví dụ.

Phương pháp Cramer .

Giải pháp.

Ma trận chính của hệ có dạng . Hãy tính định thức của nó (nếu cần, xem bài viết):

Vì định thức của ma trận chính của hệ là khác 0 nên hệ có nghiệm duy nhất có thể tìm được bằng phương pháp Cramer.

Hãy soạn và tính toán các yếu tố quyết định cần thiết (chúng ta thu được định thức bằng cách thay cột đầu tiên trong ma trận A bằng cột chứa các số hạng tự do, định thức bằng cách thay cột thứ hai bằng cột chứa các số hạng tự do và bằng cách thay cột thứ ba của ma trận A bằng cột chứa các số hạng tự do) :

Tìm các biến chưa biết bằng công thức :

Trả lời:

Nhược điểm chính của phương pháp Cramer (nếu có thể gọi là nhược điểm) là độ phức tạp của việc tính các định thức khi số phương trình trong hệ nhiều hơn ba.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận (dùng ma trận nghịch đảo).

Cho một hệ phương trình đại số tuyến tính ở dạng ma trận, trong đó ma trận A có chiều n x n và định thức của nó khác 0.

Vì , ma trận A khả nghịch nên có ma trận nghịch đảo. Nếu nhân cả hai vế của đẳng thức với bên trái, chúng ta sẽ có công thức tìm cột ma trận chứa các biến chưa biết. Đây là cách chúng ta thu được nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận.

Ví dụ.

Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp ma trận.

Giải pháp.

Viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:

Bởi vì

thì SLAE có thể được giải bằng phương pháp ma trận. Sử dụng ma trận nghịch đảo, nghiệm của hệ này có thể tìm được dưới dạng .

Hãy xây dựng một ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng ma trận từ phép cộng đại số các phần tử của ma trận A (nếu cần, xem bài viết):

Vẫn phải tính ma trận các biến chưa biết bằng cách nhân ma trận nghịch đảo vào cột ma trận gồm các thành viên tự do (nếu cần, xem bài viết):

Trả lời:

hoặc theo ký hiệu khác x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Vấn đề chính khi tìm nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận là độ phức tạp của việc tìm ma trận nghịch đảo, đặc biệt đối với các ma trận vuông có bậc cao hơn bậc ba.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss.

Giả sử chúng ta cần tìm nghiệm của hệ gồm n phương trình tuyến tính với n biến chưa biết
định thức của ma trận chính khác 0.

Bản chất của phương pháp Gauss bao gồm việc loại bỏ tuần tự các biến chưa biết: đầu tiên, x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ biến thứ hai, sau đó x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ ba, v.v., cho đến khi chỉ còn lại biến x n chưa biết trong phương trình cuối cùng. Quá trình biến đổi các phương trình của hệ thống để loại bỏ tuần tự các biến chưa biết được gọi là phương pháp Gaussian trực tiếp. Sau khi hoàn thành hành trình xuôi của phương pháp Gaussian, x n được tìm thấy từ phương trình cuối cùng, sử dụng giá trị này từ phương trình áp chót, x n-1 được tính, v.v., x 1 được tìm thấy từ phương trình đầu tiên. Quá trình tính các biến chưa biết khi chuyển từ phương trình cuối cùng của hệ sang phương trình đầu tiên được gọi là nghịch đảo của phương pháp Gaussian.

Chúng ta hãy mô tả ngắn gọn thuật toán loại bỏ các biến chưa biết.

Chúng ta sẽ giả sử rằng , vì chúng ta luôn có thể đạt được điều này bằng cách sắp xếp lại các phương trình của hệ. Hãy loại bỏ biến x 1 chưa biết khỏi tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ biến thứ hai. Để làm điều này, vào phương trình thứ hai của hệ, chúng ta thêm phương trình thứ nhất, nhân với , vào phương trình thứ ba, chúng ta thêm phương trình thứ nhất, nhân với , v.v., vào phương trình thứ n, chúng ta thêm phương trình thứ nhất, nhân với . Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng

ở đâu và .

Chúng ta sẽ đạt được kết quả tương tự nếu chúng ta biểu thị x 1 theo các biến chưa biết khác trong phương trình đầu tiên của hệ và thay biểu thức thu được vào tất cả các phương trình khác. Do đó, biến x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ hai.

Tiếp theo, chúng tôi tiến hành theo cách tương tự, nhưng chỉ với một phần của hệ thống kết quả, được đánh dấu trong hình

Để làm điều này, vào phương trình thứ ba của hệ, chúng ta thêm phương trình thứ hai nhân với , vào phương trình thứ tư, chúng ta thêm phương trình thứ hai, nhân với , v.v., vào phương trình thứ n, chúng ta thêm phương trình thứ hai, nhân với . Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng

ở đâu và . Do đó, biến x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ ba.

Tiếp theo, chúng ta tiến hành loại bỏ x 3 chưa biết, đồng thời thực hiện tương tự với phần hệ thống được đánh dấu trong hình

Vì vậy, chúng tôi tiếp tục phát triển trực tiếp phương pháp Gaussian cho đến khi hệ thống có dạng

Từ thời điểm này, chúng ta bắt đầu đảo ngược phương pháp Gaussian: chúng ta tính x n từ phương trình cuối cùng là , sử dụng giá trị thu được của x n chúng ta tìm x n-1 từ phương trình áp chót, v.v., chúng ta tìm thấy x 1 từ phương trình đầu tiên .

Ví dụ.

Giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss.

Giải pháp.

Chúng ta hãy loại trừ biến x 1 chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống. Để làm điều này, vào cả hai vế của phương trình thứ hai và thứ ba, chúng ta thêm các phần tương ứng của phương trình thứ nhất, nhân với và với tương ứng:

Bây giờ chúng ta loại x 2 khỏi phương trình thứ ba bằng cách cộng vào vế trái và vế phải của vế trái và vế phải của phương trình thứ hai, nhân với:

Điều này hoàn thành hành trình tiến của phương pháp Gauss; chúng ta bắt đầu hành trình ngược lại.

Từ phương trình cuối cùng của hệ phương trình thu được ta tìm được x 3:

Từ phương trình thứ hai chúng ta nhận được .

Từ phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy biến chưa biết còn lại và từ đó hoàn thành việc đảo ngược phương pháp Gauss.

Trả lời:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.

Nói chung, số phương trình của hệ p không trùng với số biến n chưa biết:

Các SLAE như vậy có thể không có nghiệm, có một nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm. Tuyên bố này cũng áp dụng cho các hệ phương trình có ma trận chính là bình phương và số ít.

Định lý Kronecker–Capelli.

Trước khi tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, cần thiết lập tính tương thích của nó. Câu trả lời cho câu hỏi khi nào SLAE tương thích và khi nào nó không nhất quán được đưa ra bởi Định lý Kronecker–Capelli:
Để hệ phương trình p có n ẩn số (p có thể bằng n) là nhất quán thì thứ hạng của ma trận chính của hệ thống đó phải bằng thứ hạng của ma trận mở rộng, nghĩa là , Hạng(A)=Hạng(T).

Chúng ta hãy xem xét, ví dụ, việc áp dụng định lý Kronecker–Capelli để xác định tính tương thích của một hệ phương trình tuyến tính.

Ví dụ.

Tìm hiểu xem hệ phương trình tuyến tính có các giải pháp.

Giải pháp.

. Hãy sử dụng phương pháp giáp trẻ vị thành niên. Thứ tự thứ hai khác với số không. Chúng ta hãy nhìn vào các trẻ vị thành niên bậc ba giáp với nó:

Vì tất cả các phần tử giáp của bậc ba đều bằng 0 nên hạng của ma trận chính bằng hai.

Lần lượt, thứ hạng của ma trận mở rộng bằng ba, vì trẻ vị thành niên thuộc cấp ba

khác với số không.

Như vậy, Do đó, Rang(A), sử dụng định lý Kronecker–Capelli, chúng ta có thể kết luận rằng hệ phương trình tuyến tính ban đầu không nhất quán.

Trả lời:

Hệ thống không có giải pháp.

Vì vậy, chúng ta đã học cách thiết lập tính không nhất quán của một hệ thống bằng định lý Kronecker–Capelli.

Nhưng làm thế nào để tìm ra giải pháp cho SLAE nếu khả năng tương thích của nó được thiết lập?

Để làm được điều này, chúng ta cần khái niệm cơ sở thứ của ma trận và định lý về hạng của ma trận.

Phần cấp cao nhất của ma trận A khác 0 được gọi là nền tảng.

Từ định nghĩa của bậc cơ sở, ta suy ra rằng thứ tự của nó bằng với thứ hạng của ma trận. Đối với ma trận A khác 0, có thể có nhiều ma trận cơ sở phụ; luôn có một ma trận cơ sở thứ.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận .

Tất cả các phần tử bậc ba của ma trận này đều bằng 0, vì các phần tử của hàng thứ ba của ma trận này là tổng của các phần tử tương ứng của hàng thứ nhất và thứ hai.

Các số thứ cấp thứ hai sau đây là cơ bản vì chúng khác 0

trẻ vị thành niên không cơ bản vì chúng bằng 0.

Định lý xếp hạng ma trận.

Nếu hạng của ma trận cấp p theo n bằng r thì tất cả các phần tử hàng (và cột) của ma trận không tạo thành phần tử cơ sở đã chọn sẽ được biểu diễn tuyến tính theo các phần tử hàng (và cột) tương ứng tạo thành cơ sở thứ yếu.

Định lý xếp hạng ma trận cho chúng ta biết điều gì?

Nếu, theo định lý Kronecker–Capelli, chúng ta đã thiết lập được tính tương thích của hệ thống, thì chúng ta chọn bất kỳ cơ sở thứ nào của ma trận chính của hệ thống (cấp của nó bằng r) và loại trừ khỏi hệ thống tất cả các phương trình thỏa mãn không hình thành cơ sở thứ yếu được lựa chọn. SLAE thu được theo cách này sẽ tương đương với SLAE ban đầu, vì các phương trình bị loại bỏ vẫn còn dư thừa (theo định lý xếp hạng ma trận, chúng là tổ hợp tuyến tính của các phương trình còn lại).

Kết quả là, sau khi loại bỏ các phương trình không cần thiết của hệ, có thể xảy ra hai trường hợp.

Nếu số phương trình r trong hệ thu được bằng số biến chưa biết thì nó sẽ xác định và nghiệm duy nhất có thể tìm được bằng phương pháp Cramer, phương pháp ma trận hoặc phương pháp Gauss.

Ví dụ.

.

Giải pháp.

Xếp hạng ma trận chính của hệ thống bằng hai, vì trẻ vị thành niên là bậc hai khác với số không. Xếp hạng ma trận mở rộng cũng bằng hai, vì bậc ba thứ duy nhất bằng 0

và bậc hai được xét ở trên khác 0. Dựa trên định lý Kronecker–Capelli, chúng ta có thể khẳng định tính tương thích của hệ phương trình tuyến tính ban đầu, vì Hạng(A)=Rank(T)=2.

Là một cơ sở nhỏ, chúng tôi lấy . Nó được hình thành bởi các hệ số của phương trình thứ nhất và thứ hai:


Phương trình thứ ba của hệ không tham gia vào việc hình thành ma trận cơ sở nên ta loại nó ra khỏi hệ dựa trên định lý về hạng của ma trận:


Đây là cách chúng ta thu được hệ cơ bản của các phương trình đại số tuyến tính. Hãy giải quyết nó bằng phương pháp Cramer:


Trả lời:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Nếu số phương trình r trong SLAE kết quả nhỏ hơn số biến n chưa biết, thì ở vế trái của phương trình, chúng ta để lại các thuật ngữ tạo thành cơ sở thứ và chúng ta chuyển các thuật ngữ còn lại sang vế phải của phương trình của hệ có dấu ngược lại.

Các biến chưa biết (r trong số chúng) còn lại ở vế trái của phương trình được gọi là chủ yếu.

Các biến không xác định (có n - r phần) nằm ở vế phải được gọi là miễn phí.

Bây giờ chúng tôi tin rằng các biến chưa biết tự do có thể nhận các giá trị tùy ý, trong khi các biến chưa biết chính r sẽ được biểu thị thông qua các biến chưa biết tự do một cách duy nhất. Biểu thức của chúng có thể được tìm thấy bằng cách giải SLAE thu được bằng phương pháp Cramer, phương pháp ma trận hoặc phương pháp Gauss.

Hãy xem xét nó với một ví dụ.

Ví dụ.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính .

Giải pháp.

Hãy tìm hạng của ma trận chính của hệ thống bằng phương pháp giáp trẻ vị thành niên. Chúng ta hãy lấy 1 1 = 1 làm số thứ khác 0 của cấp thứ nhất. Hãy bắt đầu tìm kiếm một thứ khác 0 của bậc hai giáp với thứ này:


Đây là cách chúng tôi tìm thấy một trẻ vị thành niên khác không của cấp độ thứ hai. Hãy bắt đầu tìm kiếm một số nhỏ có viền khác 0 thuộc bậc thứ ba:


Như vậy, hạng của ma trận chính là ba. Thứ hạng của ma trận mở rộng cũng bằng ba, tức là hệ thống nhất quán.

Chúng ta lấy số thứ ba khác 0 tìm được của bậc ba làm cơ sở.

Để rõ ràng, chúng tôi hiển thị các yếu tố tạo thành cơ sở nhỏ:


Chúng ta để các số hạng liên quan đến cơ số phụ ở vế trái của hệ phương trình và chuyển phần còn lại có dấu ngược nhau sang vế phải:


Cho các biến chưa biết tự do x 2 và x 5 giá trị tùy ý, nghĩa là ta chấp nhận , ở đâu là các số tùy ý. Trong trường hợp này, SLAE sẽ có dạng


Chúng ta hãy giải hệ cơ bản của các phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Cramer:


Kể từ đây, .

Trong câu trả lời của bạn, đừng quên chỉ ra các biến chưa biết miễn phí.

Trả lời:

Đâu là những con số tùy ý.

Tóm tắt.

Để giải một hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát, trước tiên chúng ta xác định tính tương thích của nó bằng định lý Kronecker–Capelli. Nếu hạng của ma trận chính không bằng hạng của ma trận mở rộng thì ta kết luận rằng hệ thống không tương thích.

Nếu hạng của ma trận chính bằng hạng của ma trận cơ sở mở rộng thì ta chọn một cơ sở phụ và loại bỏ các phương trình của hệ không tham gia hình thành ma trận cơ sở phụ đã chọn.

Nếu thứ tự của thứ cơ sở bằng số biến chưa biết thì SLAE có một nghiệm duy nhất, có thể tìm được bằng bất kỳ phương pháp nào mà chúng ta đã biết.

Nếu bậc cơ sở nhỏ hơn số biến chưa biết thì ở vế trái của hệ phương trình ta để lại các số hạng có các biến chính chưa biết, chuyển các số hạng còn lại sang vế phải và cho các giá trị tùy ý cho các biến chưa biết miễn phí. Từ hệ phương trình tuyến tính thu được, chúng ta tìm các biến chính chưa biết bằng phương pháp Cramer, phương pháp ma trận hoặc phương pháp Gauss.

Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.

Phương pháp Gauss có thể được sử dụng để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính thuộc bất kỳ loại nào mà không cần kiểm tra tính nhất quán của chúng trước tiên. Quá trình loại bỏ tuần tự các biến chưa biết giúp có thể đưa ra kết luận về cả tính tương thích và không tương thích của SLAE và nếu có giải pháp tồn tại thì có thể tìm ra giải pháp đó.

Từ quan điểm tính toán, phương pháp Gaussian được ưa chuộng hơn.

Xem mô tả chi tiết và các ví dụ phân tích của nó trong bài viết Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát.

Viết lời giải tổng quát cho hệ đại số tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất sử dụng vectơ của hệ nghiệm cơ bản.

Trong phần này chúng ta sẽ nói về các hệ phương trình đại số tuyến tính đồng nhất và không đồng nhất đồng thời có vô số nghiệm.

Đầu tiên chúng ta hãy giải quyết các hệ thống đồng nhất.

Hệ thống giải pháp cơ bản Hệ thuần nhất của phương trình đại số tuyến tính p với n biến chưa biết là tập hợp (n – r) nghiệm độc lập tuyến tính của hệ này, trong đó r là bậc cơ sở thứ của ma trận chính của hệ.

Nếu chúng ta biểu thị nghiệm độc lập tuyến tính của một SLAE đồng nhất là X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) là các ma trận cột có chiều n bởi 1) thì nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất này được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính các vectơ của hệ nghiệm cơ bản với các hệ số hằng số tùy ý C 1, C 2, ..., C (n-r), tức là .

Thuật ngữ nghiệm tổng quát của một hệ phương trình đại số tuyến tính đồng nhất (oroslau) có nghĩa là gì?

Ý nghĩa rất đơn giản: công thức xác định tất cả các nghiệm có thể có của SLAE ban đầu, hay nói cách khác là lấy bất kỳ tập giá trị nào của các hằng số tùy ý C 1, C 2, ..., C (n-r), sử dụng công thức chúng ta sẽ thu được một trong các nghiệm của SLAE đồng nhất ban đầu.

Do đó, nếu chúng ta tìm thấy một hệ nghiệm cơ bản thì chúng ta có thể định nghĩa tất cả các nghiệm của SLAE đồng nhất này là .

Chúng ta hãy trình bày quá trình xây dựng một hệ thống giải pháp cơ bản cho SLAE đồng nhất.

Chúng tôi chọn phần cơ sở của hệ phương trình tuyến tính ban đầu, loại trừ tất cả các phương trình khác khỏi hệ và chuyển tất cả các số hạng chứa các biến chưa biết tự do sang vế phải của hệ phương trình có dấu ngược lại. Chúng ta hãy cung cấp cho các biến chưa biết tự do các giá trị 1,0,0,...,0 và tính toán các ẩn số chính bằng cách giải hệ cơ bản của phương trình tuyến tính theo bất kỳ cách nào, chẳng hạn như sử dụng phương pháp Cramer. Điều này sẽ dẫn đến X (1) - nghiệm đầu tiên của hệ cơ bản. Nếu chúng ta cho các ẩn số miễn phí các giá trị 0,1,0,0,…,0 và tính các ẩn số chính, chúng ta nhận được X (2) . Và như thế. Nếu chúng ta gán các giá trị 0,0,…,0,1 cho các biến chưa biết tự do và tính toán các ẩn số chính, chúng ta thu được X (n-r) . Bằng cách này, một hệ thống nghiệm cơ bản của SLAE đồng nhất sẽ được xây dựng và nghiệm tổng quát của nó có thể được viết dưới dạng .

Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất, nghiệm tổng quát được biểu diễn dưới dạng , trong đó là nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng và là nghiệm riêng của SLAE không thuần nhất ban đầu, mà chúng ta thu được bằng cách cho các ẩn số tự do các giá trị ​​0,0,...,0 và tính giá trị của các ẩn số chính.

Hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ.

Tìm hệ nghiệm cơ bản và nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất của phương trình đại số tuyến tính .

Giải pháp.

Hạng của ma trận chính của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn bằng hạng của ma trận mở rộng. Hãy tìm hạng của ma trận chính bằng phương pháp giáp phụ. Là phần tử thứ khác 0 của bậc một, ta lấy phần tử a 1 1 = 9 của ma trận chính của hệ. Chúng ta hãy tìm số thứ cấp khác 0 giáp của bậc hai:

Một phần nhỏ của trật tự thứ hai, khác với số 0, đã được tìm thấy. Chúng ta hãy điểm qua các số hạng thứ ba giáp với nó để tìm một số khác 0:

Tất cả các phần tử giáp bậc ba đều bằng 0, do đó hạng của ma trận chính và ma trận mở rộng bằng hai. Hãy lấy . Để rõ ràng, chúng ta hãy lưu ý các yếu tố của hệ thống hình thành nên nó:

Phương trình thứ ba của SLAE ban đầu không tham gia vào việc hình thành phương trình cơ sở thứ nên có thể bị loại trừ:

Chúng ta để các thuật ngữ chứa ẩn số chính ở vế phải của phương trình và chuyển các thuật ngữ chứa ẩn số tự do sang vế phải:

Chúng ta hãy xây dựng một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ban đầu. Hệ thống nghiệm cơ bản của SLAE này bao gồm hai nghiệm, vì SLAE ban đầu chứa bốn biến chưa biết và bậc cơ sở nhỏ của nó bằng hai. Để tìm X(1), ta cho các biến chưa biết tự do có giá trị x 2 = 1, x 4 = 0, sau đó ta tìm các ẩn số chính từ hệ phương trình
.