So sánh trong toán học - cách xác định số nào lớn hơn hoặc nhỏ hơn. So sánh các số âm: quy tắc, ví dụ

Bài học toán 6 trong lớp học

chủ đề: "So sánh số dương và số âm"

loại bài học: bài đặt vấn đề học tập

các hình thức làm việc: cá nhân, phía trước, phòng xông hơi, nhóm.

Phương pháp giảng dạy: bằng lời nói, trực quan, thực tế, có vấn đề.

Thiết bị, dụng cụ: máy tính, máy chiếu đa phương tiện.

Mục tiêu bài học:

Nhận thức: hình thành quy tắc so sánh các số với các dấu hiệu khác nhau, học cách áp dụng quy tắc đó vào thực tế.

Siêu chủ đề, bao gồm:

Quy định: đặt ra nhiệm vụ học tập dựa trên mối tương quan giữa những gì học sinh đã biết và đã học với những gì chưa biết; xác định trình tự các hành động để giải quyết vấn đề; sửa kết quả có tính đến đánh giá của học sinh, giáo viên, đồng chí; nắm được chất lượng và mức độ đồng hóa của vật chất.

Giao tiếp: học cách hợp tác chủ động trong việc tìm kiếm giải pháp cho vấn đề; học cách bày tỏ suy nghĩ của mình một cách đầy đủ, chính xác phù hợp với nhiệm vụ và điều kiện giao tiếp.

Trong các lớp học

Động lực.

Chúng tôi tiếp tục làm việc với số dương và số âm. Chúng ta đã biết các số dương từ lâu, đầu tiên chúng ta học cách so sánh chúng, sau đó thực hiện các thao tác khác nhau: cộng, trừ, nhân, chia. Bạn có nghĩ rằng có thể thực hiện các phép toán tương tự với số âm cũng như với số dương không? (câu trả lời). Bạn muốn học gì trong lớp hôm nay?

Thiết lập mục tiêu: Rút ra quy tắc so sánh các số có dấu khác nhau và tìm hiểu cách áp dụng quy tắc đó.

Cập nhật kiến ​​thức cơ bản.

Nhiệm vụ cho công việc miệng:

Xác định một mô-đun.

Nêu dấu của các số nằm trên trục tọa độ bên phải số 0? Còn lại số không?

Tìm môđun của các số 6,8; -3,5; 18.11; 0,03; -12.3

Tuyên bố về nhiệm vụ giáo dục.

So sánh các mô-đun số

1. Làm cách nào để so sánh các số bằng một đường tọa độ?

   Điểm A trên trục tọa độ nằm bên trái điểm B. Tọa độ của điểm nào lớn hơn?

   Điểm nào trên trục tọa độ nằm bên trái?

   1. A(0,6) hoặc B(3,11)

Giải pháp.

Để hoàn thành nhiệm vụ tiếp theo, chúng ta sẽ chia thành 5 nhóm 6 người. Mỗi nhóm cần so sánh các con số và trả lời các câu hỏi.

1. 2. 2 và -11

   3. -15 và 16

buộc chính.

Kể tên năm số khác nhau

lớn 0;

nhỏ hơn 0;

nhỏ hơn -5;

lớn -3;

lớn -11, nhưng nhỏ hơn -3

Giữa những số nguyên lân cận là số 3,8; số -8,9

Viết tất cả các số nguyên nằm trên trục tọa độ giữa các số -2,5 và 6; giữa các số -17.3 và -8.1

Viết các số theo thứ tự giảm dần -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

Đặt bài tập về nhà. tiết 29 học quy tắc so sánh các số dương và số âm, hoàn chỉnh số 995, 996, 997, 999, 1000

Phản ánh các hoạt động học tập trong lớp học.

1. Bài học hôm nay chúng ta đã đặt ra những mục tiêu gì, đã trả lời hết các câu hỏi đặt ra chưa?

   Làm thế nào để bạn so sánh số dương và số âm?

   Làm thế nào để so sánh hai số âm?

   Hãy hoàn thành các phiếu đánh giá cho bài học hôm nay.

So sánh các số bằng một đường tọa độ:

2. 2 và -11

3. -15 và 16

Trả lời các câu hỏi sau:

So sánh hai số dương

So sánh số dương với số 0

So sánh số âm với số không

So sánh số dương và số âm

So sánh hai số âm

số âm là các số có dấu trừ (-), ví dụ -1, -2, -3. Đọc như: trừ một, trừ hai, trừ ba.

ví dụ ứng dụng số âm là một nhiệt kế hiển thị nhiệt độ của cơ thể, không khí, đất hoặc nước. Vào mùa đông, khi bên ngoài trời rất lạnh, nhiệt độ là âm (hay như người ta nói là "âm").

Ví dụ lạnh -10 độ:

Các số thông thường mà chúng ta đã xem xét trước đó, chẳng hạn như 1, 2, 3, được gọi là số dương. Số dương là số có dấu cộng (+).

Khi viết các số dương, dấu + không được viết ra, đó là lý do tại sao chúng ta thấy các số 1, 2, 3 quen thuộc với chúng ta, nhưng cần lưu ý rằng các số dương này trông như thế này: +1, + 2, +3.

Đây là một đường thẳng chứa tất cả các số: cả số âm và số dương. Như sau:

Trên đây là các số từ -5 đến 5. Trên thực tế, trục tọa độ là vô hạn. Hình vẽ chỉ cho thấy một phần nhỏ của nó.

Các số trên đường tọa độ được đánh dấu bằng dấu chấm. Trong hình, chấm đen đậm là điểm bắt đầu. Việc đếm ngược bắt đầu từ số không. Ở bên trái của điểm tham chiếu, các số âm được đánh dấu và ở bên phải, các số dương.

Đường tọa độ kéo dài vô tận về cả hai phía. Vô cực trong toán học được biểu thị bằng ký hiệu ∞. Chiều âm sẽ được biểu thị bằng ký hiệu −∞ và chiều dương bằng ký hiệu +∞. Sau đó, chúng ta có thể nói rằng tất cả các số từ âm vô cực đến cộng vô cực đều nằm trên đường tọa độ:

Mỗi điểm trên đường tọa độ có tên và tọa độ riêng. Tên là bất kỳ chữ cái Latinh nào. Điều phối là một số cho biết vị trí của một điểm trên dòng này. Nói một cách đơn giản, tọa độ chính là con số mà chúng ta muốn đánh dấu trên đường tọa độ.

Ví dụ, điểm A(2) đọc là "điểm A có tọa độ 2" và sẽ được ký hiệu trên đường tọa độ như sau:

Nơi đây Một là tên của điểm, 2 là tọa độ của điểm MỘT.

ví dụ 2Điểm B(4) đọc là "điểm B tại tọa độ 4"

Nơi đây b là tên của điểm, 4 là tọa độ của điểm b.

ví dụ 3Điểm M(−3) được đọc là "điểm M có tọa độ trừ ba" và sẽ được ký hiệu trên đường tọa độ như sau:

Nơi đây m là tên của điểm, −3 là tọa độ của điểm M .

Điểm có thể được biểu thị bằng bất kỳ chữ cái nào. Nhưng người ta thường chấp nhận chỉ định chúng bằng các chữ cái Latinh in hoa. Hơn nữa, phần đầu của báo cáo, còn được gọi là gốc thường được ký hiệu bằng chữ in hoa O

Dễ thấy rằng các số âm nằm bên trái gốc tọa độ và các số dương nằm bên phải gốc tọa độ.

Có những cụm từ như "càng sang trái, càng ít" và "càng sang phải, càng nhiều". Bạn có thể đã đoán những gì chúng ta đang nói về. Với mỗi bước sang trái, con số sẽ giảm xuống. Và với mỗi bước sang phải, con số sẽ tăng lên. Mũi tên chỉ sang phải chỉ chiều dương của phép đếm.

So sánh số âm và số dương

Quy tắc 1 Mọi số âm đều nhỏ hơn mọi số dương.

Ví dụ: hãy so sánh hai số: −5 và 3. Trừ năm nhỏ hơn hơn ba, mặc dù thực tế là năm bắt mắt ngay từ đầu, là một số lớn hơn ba.

Điều này là do −5 là âm và 3 là dương. Trên trục tọa độ, bạn có thể thấy vị trí của các số −5 và 3

Có thể thấy rằng −5 nằm bên trái và 3 nằm bên phải. Và chúng tôi đã nói rằng "càng sang trái, càng ít" . Và quy tắc nói rằng bất kỳ số âm nào cũng nhỏ hơn bất kỳ số dương nào. Do đó nó theo sau đó

−5 < 3

"Trừ năm là nhỏ hơn ba"

Quy tắc 2 Trong hai số âm, số bé hơn là số nằm bên trái trục tọa độ.

Ví dụ: hãy so sánh các số -4 và -1. trừ bốn nhỏ hơn hơn trừ một.

Điều này một lần nữa là do trên đường tọa độ −4 nằm ở bên trái nhiều hơn −1

Có thể thấy rằng -4 nằm ở bên trái và -1 ở bên phải. Và chúng tôi đã nói rằng "càng sang trái, càng ít" . Và quy tắc nói rằng trong hai số âm, số nào nằm bên trái trên trục tọa độ thì nhỏ hơn. Do đó nó theo sau đó

Trừ bốn nhỏ hơn trừ một

Quy tắc 3 Số không lớn hơn bất kỳ số âm nào.

Ví dụ: hãy so sánh 0 và −3. Số không hơn hơn trừ ba. Điều này là do trên đường tọa độ 0 nằm ở bên phải hơn −3

Có thể thấy rằng 0 nằm ở bên phải và −3 ở bên trái. Và chúng tôi đã nói rằng "càng sang phải, càng nhiều" . Và quy tắc nói rằng số 0 lớn hơn bất kỳ số âm nào. Do đó nó theo sau đó

Số không lớn hơn âm ba

Quy tắc 4 Số không nhỏ hơn bất kỳ số dương nào.

Ví dụ: so sánh 0 và 4. Số không nhỏ hơn hơn 4. Về nguyên tắc, điều này là rõ ràng và đúng. Nhưng chúng tôi sẽ cố gắng nhìn nó bằng chính đôi mắt của mình, một lần nữa trên đường tọa độ:

Có thể thấy rằng trên đường tọa độ 0 nằm ở bên trái và 4 ở bên phải. Và chúng tôi đã nói rằng "càng sang trái, càng ít" . Và quy tắc nói rằng số 0 nhỏ hơn bất kỳ số dương nào. Do đó nó theo sau đó

Số không nhỏ hơn bốn

Bạn có thích bài học?
Tham gia nhóm Vkontakte mới của chúng tôi và bắt đầu nhận thông báo về các bài học mới

§ 1 So sánh các số dương

Trong bài học này, chúng ta sẽ nhớ cách so sánh các số dương và so sánh các số âm.

Hãy bắt đầu với nhiệm vụ. Ban ngày nhiệt độ không khí là +7 độ, buổi tối giảm xuống +2 độ, ban đêm -2 độ, buổi sáng giảm xuống -7 độ. Nhiệt độ không khí thay đổi như thế nào?

Vấn đề là về hạ thấp, i.e. về sự giảm nhiệt độ. Điều này có nghĩa là trong mỗi trường hợp, giá trị nhiệt độ cuối cùng nhỏ hơn giá trị nhiệt độ ban đầu, do đó 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

Hãy biểu thị các số 7, 2, -2, -7 trên trục tọa độ. Nhớ lại rằng trên đường tọa độ, một số dương lớn hơn nằm ở bên phải.

Hãy xem xét các số âm, số -2 ở bên phải so với -7, tức là đối với các số âm trên trục tọa độ, thứ tự được giữ nguyên: khi điểm di chuyển sang phải thì tọa độ của nó tăng lên và khi điểm di chuyển sang trái thì tọa độ của nó giảm xuống.

Ta có thể kết luận: Mọi số dương đều lớn hơn 0 và lớn hơn mọi số âm. 1 > 0; 12 > -2,5. Mọi số âm đều nhỏ hơn 0 và nhỏ hơn mọi số dương. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Thật thuận tiện khi so sánh các số hữu tỷ (nghĩa là tất cả các số nguyên và số phân số) bằng cách sử dụng mô-đun.

Các số dương nằm trên trục tọa độ theo thứ tự tăng dần tính từ gốc, nghĩa là số đó càng xa gốc tọa độ thì độ dài đoạn từ 0 đến số đó càng lớn, tức là mô-đun của nó. Do đó, trong hai số dương, số nào có mô đun lớn hơn thì lớn hơn.

§ 2 So sánh số âm

Khi so sánh hai số âm, số lớn hơn sẽ nằm ở bên phải, tức là gần gốc hơn. Điều này có nghĩa là mô đun của nó (độ dài của đoạn từ 0 đến một số) sẽ ít hơn. Do đó, trong hai số âm, số nào có mô đun nhỏ hơn thì lớn hơn.

Ví dụ. Hãy so sánh các số -1 và -5. Điểm tương ứng với số -1 nằm gần gốc hơn điểm tương ứng với số -5. Vì vậy, độ dài của đoạn từ 0 đến -1 hoặc mô đun của số -1 nhỏ hơn độ dài của đoạn từ 0 đến -5 hoặc mô đun của số -5, có nghĩa là số -1 lớn hơn hơn số -5.

Chúng tôi rút ra kết luận:

Khi so sánh các số hữu tỉ cần chú ý:

Dấu hiệu: Số âm luôn nhỏ hơn số dương và bằng 0;

Về vị trí trên đường tọa độ: càng về bên phải càng;

Trên các mô-đun: đối với số dương, mô-đun lớn hơn và số đó lớn hơn, đối với số âm, mô-đun lớn hơn và số nhỏ hơn.

Danh sách tài liệu đã sử dụng:

1. Toán lớp 6: giáo án sách giáo khoa của I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // tác giả-nhà biên dịch L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Toán học. Lớp 6: sách giáo khoa dành cho học sinh của các cơ sở giáo dục. Tôi.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
3. Toán học. Lớp 6: sách giáo khoa dành cho học sinh của các cơ sở giáo dục. / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
4. Sổ Tay Toán Học - http://lyudmilanik.com.ua
5. Sổ tay dành cho học sinh cấp hai http://shkolo.ru

cấp độ đầu tiên

So sánh các số. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Khi giải các phương trình và bất phương trình, cũng như các bài toán về mô đun, cần xác định nghiệm tìm được trên đường thẳng thực. Như bạn đã biết, rễ tìm thấy có thể khác nhau. Chúng có thể như thế này:, hoặc chúng có thể như thế này:,.

Theo đó, nếu các số không phải là hữu tỷ mà là vô tỷ (bạn nào quên nó là gì thì xem trong chuyên đề), hoặc là các biểu thức toán học phức tạp thì việc đặt chúng trên trục số là rất nan giải. Ngoài ra, không thể sử dụng máy tính trong kỳ thi và phép tính gần đúng không đảm bảo 100% rằng một số nhỏ hơn số khác (nếu có sự khác biệt giữa các số được so sánh thì sao?).

Tất nhiên, bạn biết rằng số dương luôn lớn hơn số âm và nếu chúng ta biểu diễn một trục số thì khi so sánh, số lớn nhất sẽ nằm bên phải số nhỏ nhất: ; ; vân vân.

Nhưng nó luôn luôn dễ dàng như vậy? Nơi trên dòng số chúng tôi đánh dấu .

Làm thế nào để so sánh chúng, ví dụ, với một số? Đó là nơi chà xát ...)

Để bắt đầu, hãy nói một cách chung chung về cách thức và những gì cần so sánh.

Quan trọng: nên thực hiện các phép biến đổi sao cho dấu bất đẳng thức không thay đổi!Đó là, trong quá trình biến đổi, việc nhân với một số âm là điều không mong muốn và điều đó bị cấm hình vuông nếu một trong các phần là âm.

So sánh phân số

Vì vậy, chúng ta cần so sánh hai phân số: và.

Có một số tùy chọn về cách thực hiện việc này.

Cách 1. Đưa các phân số về mẫu số chung.

Hãy viết nó dưới dạng một phân số thông thường:

- (như bạn thấy, tôi cũng giảm cả tử số và mẫu số).

Bây giờ chúng ta cần so sánh các phân số:

Bây giờ chúng ta có thể tiếp tục so sánh theo hai cách. Chúng ta có thể:

1. chỉ cần giảm mọi thứ thành một mẫu số chung, trình bày cả hai phân số là không chính xác (tử số lớn hơn mẫu số):

   Số nào lớn hơn? Đúng vậy, cái có tử số lớn hơn, tức là cái đầu tiên.

2. "loại bỏ" (giả sử rằng chúng ta đã trừ đi một phân số từ mỗi phân số và tỷ lệ của các phân số với nhau tương ứng không thay đổi) và chúng ta sẽ so sánh các phân số:

   Chúng tôi cũng mang chúng đến một mẫu số chung:

   Chúng tôi nhận được kết quả chính xác giống như trong trường hợp trước - số đầu tiên lớn hơn số thứ hai:

   Hãy cũng kiểm tra xem chúng ta đã trừ đúng một chưa? Hãy tính hiệu của tử số trong phép tính đầu tiên và phép tính thứ hai:
   1)
   2)

Vì vậy, chúng tôi đã xem xét cách so sánh các phân số, đưa chúng về mẫu số chung. Hãy chuyển sang một phương pháp khác - so sánh các phân số bằng cách đưa chúng về một ... tử số chung.

Phương án 2. So sánh các phân số bằng cách quy về tử số chung.

Vâng vâng. Đây không phải là một lỗi đánh máy. Ở trường, phương pháp này hiếm khi được dạy cho bất kỳ ai, nhưng nó thường rất tiện lợi. Để bạn nhanh chóng hiểu được bản chất của nó, tôi chỉ hỏi bạn một câu - "trong trường hợp nào thì giá trị của phân số lớn nhất?" Tất nhiên, bạn sẽ nói "khi tử số càng lớn càng tốt và mẫu số càng nhỏ càng tốt."

Ví dụ, bạn chắc chắn sẽ nói rằng Đúng không? Và nếu chúng ta cần so sánh các phân số như vậy: Tôi nghĩ rằng bạn cũng sẽ ngay lập tức đặt dấu hiệu một cách chính xác, bởi vì trong trường hợp đầu tiên, chúng được chia thành các phần và trong trường hợp thứ hai thành toàn bộ, điều đó có nghĩa là trong trường hợp thứ hai, các mảnh rất nhỏ và theo đó:. Như bạn có thể thấy, mẫu số ở đây khác nhau, nhưng tử số thì giống nhau. Tuy nhiên, để so sánh hai phân số này, bạn không cần tìm mẫu số chung. Mặc dù ... tìm đi tìm lại xem dấu so sánh có còn sai không?

Nhưng dấu hiệu là như nhau.

Hãy quay lại nhiệm vụ ban đầu của chúng ta - so sánh và. Chúng tôi sẽ so sánh và Chúng tôi đưa các phân số này không phải về mẫu số chung mà về tử số chung. Đối với điều này nó đơn giản tử số và mẫu số nhân phân số đầu tiên với Chúng tôi nhận được:

và. Phân số nào lớn hơn? Đúng vậy, cái đầu tiên.

Phương án 3. So sánh các phân số bằng phép trừ.

Làm thế nào để so sánh các phân số bằng cách sử dụng phép trừ? Vâng, rất đơn giản. Chúng tôi trừ một phân số khác từ một phân số. Nếu kết quả là dương, thì phân số đầu tiên (đã giảm) lớn hơn phân số thứ hai (đã trừ) và nếu âm thì ngược lại.

Trong trường hợp của chúng ta, hãy thử trừ phân số đầu tiên từ phân số thứ hai: .

Như bạn đã hiểu, chúng tôi cũng dịch sang phân số thông thường và nhận được kết quả tương tự -. biểu thức của chúng tôi trở thành:

Hơn nữa, chúng ta vẫn phải dùng đến quy giản về mẫu số chung. Câu hỏi đặt ra là làm thế nào: theo cách thứ nhất, chuyển đổi các phân số thành các phân số không chính xác, hay theo cách thứ hai, như thể "loại bỏ" đơn vị? Nhân tiện, hành động này hoàn toàn có cơ sở toán học. Nhìn:

Tôi thích tùy chọn thứ hai hơn, vì việc nhân ở tử số khi rút gọn về mẫu số chung trở nên dễ dàng hơn nhiều lần.

Chúng tôi mang đến một mẫu số chung:

Điều chính ở đây là không nhầm lẫn về số nào và chúng ta đã trừ ở đâu. Xem xét cẩn thận quá trình của giải pháp và không vô tình nhầm lẫn các dấu hiệu. Chúng tôi đã trừ số đầu tiên từ số thứ hai và nhận được một câu trả lời âm, vì vậy? .. Đúng vậy, số thứ nhất lớn hơn số thứ hai.

Hiểu rồi? Hãy thử so sánh các phân số:

Dừng lại, dừng lại. Đừng vội quy về mẫu số chung hay phép trừ. Hãy nhìn xem: nó có thể dễ dàng chuyển đổi thành phân số thập phân. Nó sẽ là bao nhiêu? Chính xác. Điều gì kết thúc là nhiều hơn?

Đây là một tùy chọn khác - so sánh các phân số bằng cách rút gọn thành số thập phân.

Phương án 4. So sánh các phân số bằng phép chia.

Vâng vâng. Và vì vậy nó cũng có thể. Logic rất đơn giản: khi chúng ta chia một số lớn hơn cho một số nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận được một số lớn hơn một trong câu trả lời và nếu chúng ta chia một số nhỏ hơn cho một số lớn hơn, thì câu trả lời sẽ rơi vào khoảng từ đến.

Để ghi nhớ quy tắc này, hãy so sánh hai số nguyên tố bất kỳ, chẳng hạn và. Bạn có biết những gì nhiều hơn nữa? Bây giờ hãy chia cho. Câu trả lời của chúng tôi là. Theo đó, lý thuyết là chính xác. Nếu chúng ta chia cho, những gì chúng ta nhận được ít hơn một, điều này xác nhận những gì thực sự ít hơn.

Hãy thử áp dụng quy tắc này cho các phân số thông thường. Đối chiếu:

Chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai:

Hãy rút ngắn dần dần.

Kết quả nhỏ hơn nên số bị chia nhỏ hơn số chia, tức là:

Chúng tôi đã phân tích tất cả các tùy chọn có thể để so sánh các phân số. Như bạn có thể thấy có 5 trong số đó:

• rút gọn về mẫu số chung;
• rút gọn về một tử số chung;
• rút gọn thành phân số thập phân;
• phép trừ;
• phân công.

Sẵn sàng để tập luyện? So sánh các phân số theo cách tốt nhất:

Hãy so sánh các câu trả lời:

1. (- chuyển đổi sang số thập phân)
2. (chia một phân số cho một phân số khác và giảm bởi tử số và mẫu số)
3. (chọn cả phần và so sánh các phân số theo nguyên tắc cùng mẫu số)
4. (chia một phân số cho một phân số khác và giảm cho tử số và mẫu số).

2. So sánh độ

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần so sánh không chỉ các số mà còn cả các biểu thức có bậc ().

Tất nhiên, bạn có thể dễ dàng đặt một dấu hiệu:

Rốt cuộc, nếu chúng ta thay thế mức độ bằng phép nhân, chúng ta sẽ nhận được:

Từ ví dụ nhỏ và nguyên thủy này, quy tắc như sau:

Bây giờ hãy thử so sánh như sau: . Bạn cũng có thể dễ dàng đặt một dấu hiệu:

Bởi vì nếu chúng ta thay phép lũy thừa bằng phép nhân...

Nói chung, bạn hiểu tất cả mọi thứ, và nó không khó chút nào.

Khó khăn chỉ phát sinh khi, khi so sánh, bằng cấp có các cơ sở và chỉ số khác nhau. Trong trường hợp này, cần phải cố gắng đưa đến một cơ sở chung. Ví dụ:

Tất nhiên, bạn biết rằng điều này, theo đó, biểu thức có dạng:

Hãy mở ngoặc và so sánh những gì xảy ra:

Một trường hợp hơi đặc biệt là khi cơ sở của mức độ () nhỏ hơn một.

Nếu, thì từ hai độ trở lên, cái có chỉ số nhỏ hơn.

Hãy thử chứng minh quy tắc này. Cho phép.

Chúng tôi giới thiệu một số số tự nhiên là sự khác biệt giữa và.

Hợp lý, phải không?

Bây giờ hãy chú ý đến điều kiện - .

Tương ứng: . Do đó, .

Ví dụ:

Như bạn đã hiểu, chúng ta đã xem xét trường hợp khi cơ số của các lũy thừa bằng nhau. Bây giờ hãy xem khi cơ số nằm trong phạm vi từ đến, nhưng các số mũ bằng nhau. Mọi thứ ở đây rất đơn giản.

Hãy nhớ cách so sánh điều này với một ví dụ:

Tất nhiên, bạn đã nhanh chóng tính toán:

Do đó, khi bạn gặp các bài toán tương tự để so sánh, hãy ghi nhớ một số ví dụ tương tự đơn giản mà bạn có thể nhanh chóng tính toán và dựa trên ví dụ này, hãy đặt các dấu hiệu ở dạng phức tạp hơn.

Khi thực hiện các phép biến đổi, hãy nhớ rằng nếu bạn nhân, cộng, trừ hoặc chia thì tất cả các thao tác phải được thực hiện ở cả hai bên trái và phải (nếu bạn nhân thì bạn phải nhân cả hai).

Ngoài ra, có những lúc thực hiện bất kỳ thao tác nào đơn giản là không có lãi. Ví dụ, bạn cần phải so sánh. Trong trường hợp này, không quá khó để nâng cấp thành lũy thừa và sắp xếp dấu hiệu dựa trên điều này:

Hãy cùng luyện tập. So sánh độ:

Sẵn sàng để so sánh câu trả lời? Đó là những gì tôi đã làm:

1. - giống như
2. - giống như
3. - giống như
4. - giống như

3. So sánh các số với một gốc

Hãy bắt đầu với rễ là gì? Bạn có nhớ mục này?

Căn của một số thực là một số có đẳng thức.

Rễ bậc lẻ tồn tại cho số âm và số dương, và rễ đều- Chỉ cho tích cực.

Giá trị của gốc thường là một số thập phân vô hạn, điều này gây khó khăn cho việc tính toán chính xác nó, vì vậy điều quan trọng là có thể so sánh các gốc.

Nếu bạn quên nó là gì và nó được ăn với gì -. Nếu bạn nhớ tất cả mọi thứ, hãy học cách so sánh các gốc từng bước.

Giả sử chúng ta cần so sánh:

Để so sánh hai gốc này, bạn không cần thực hiện bất kỳ phép tính nào, chỉ cần phân tích chính khái niệm "gốc". Hiểu những gì tôi đang nói về? Vâng, về điều này: nếu không thì nó có thể được viết dưới dạng lũy ​​thừa bậc ba của một số nào đó, bằng biểu thức căn.

Nhiều hơn những gì? hoặc là? Điều này, tất nhiên, bạn có thể so sánh mà không gặp bất kỳ khó khăn nào. Con số chúng ta nâng lên lũy thừa càng lớn thì giá trị sẽ càng lớn.

Vì thế. Hãy lấy quy tắc.

Nếu số mũ của các nghiệm giống nhau (trong trường hợp của chúng ta là như vậy), thì cần phải so sánh các biểu thức nghiệm (và) - số nghiệm càng lớn thì giá trị của nghiệm càng lớn với các chỉ số bằng nhau.

Khó nhớ? Sau đó, chỉ cần giữ một ví dụ trong tâm trí và. Cái đó nữa?

Số mũ của các nghiệm bằng nhau, vì nghiệm là hình vuông. Biểu thức căn của một số () lớn hơn một số khác (), có nghĩa là quy tắc thực sự đúng.

Nhưng nếu các biểu thức gốc giống nhau, nhưng mức độ của các gốc khác nhau thì sao? Ví dụ: .

Cũng khá rõ ràng là khi rút gốc có bậc lớn hơn sẽ thu được số nhỏ hơn. Hãy lấy ví dụ:

Biểu thị giá trị của gốc thứ nhất dưới dạng và gốc thứ hai - dưới dạng, sau đó:

Bạn có thể dễ dàng thấy rằng sẽ có nhiều hơn trong các phương trình này, do đó:

Nếu các biểu thức gốc giống nhau(trong trường hợp của chúng ta), và số mũ của căn là khác nhau(trong trường hợp của chúng tôi, đây là và), thì cần phải so sánh các số mũ(và) - số mũ càng lớn thì biểu thức đã cho càng nhỏ.

Hãy thử so sánh các gốc sau:

Hãy so sánh kết quả?

Chúng tôi đã xử lý thành công việc này :). Một câu hỏi khác được đặt ra: nếu tất cả chúng ta đều khác nhau thì sao? Và mức độ, và biểu thức triệt để? Không phải cái gì cũng khó như vậy, chúng ta chỉ cần... "tống khứ" tận gốc. Vâng vâng. Gạt nó ra.)

Nếu chúng ta có các bậc và biểu thức căn khác nhau, thì cần tìm bội chung nhỏ nhất (đọc phần nói về) cho các số mũ căn và nâng cả hai biểu thức lên lũy thừa bằng bội chung nhỏ nhất.

Đó là tất cả chúng ta trong lời nói và trong lời nói. Đây là một ví dụ:

1. Chúng tôi xem xét các chỉ số của rễ - và. bội chung nhỏ nhất của chúng là .
2. Hãy nâng cả hai biểu thức lên một sức mạnh:
3. Hãy chuyển đổi biểu thức và mở rộng dấu ngoặc (chi tiết hơn trong chương):
4. Hãy xem xét những gì chúng tôi đã làm và đặt một dấu hiệu:

4. So sánh logarit

Vì vậy, từ từ nhưng chắc chắn, chúng tôi đã tiếp cận câu hỏi làm thế nào để so sánh logarit. Nếu bạn không nhớ đây là loại động vật gì, tôi khuyên bạn nên đọc lý thuyết từ phần này trước. Đọc? Sau đó trả lời một số câu hỏi quan trọng:

1. Đối số của logarit là gì và cơ sở của nó là gì?
2. Điều gì xác định xem một chức năng đang tăng hay giảm?

Nếu bạn nhớ mọi thứ và học tốt nó - hãy bắt đầu!

Để so sánh các logarit với nhau, bạn chỉ cần biết 3 thủ thuật:

• giảm xuống cùng một cơ sở;
• chuyển sang cùng một lập luận;
• so sánh với số thứ ba.

Đầu tiên, hãy chú ý đến cơ số của logarit. Bạn nhớ rằng nếu nó nhỏ hơn thì chức năng giảm và nếu nó lớn hơn thì nó tăng lên. Đây là những gì phán đoán của chúng tôi sẽ được dựa trên.

Cân nhắc việc so sánh các logarit đã được rút gọn về cùng một cơ số hoặc đối số.

Để bắt đầu, hãy đơn giản hóa vấn đề: hãy so logarit căn cứ bình đẳng. Sau đó:

1. Hàm, khi tăng trên khoảng từ, có nghĩa là, theo định nghĩa, sau đó (“so sánh trực tiếp”).
2. Thí dụ:- các căn giống nhau, tương ứng, ta so sánh các đối số: , do đó:
3. Hàm at, giảm trên khoảng từ, có nghĩa là, theo định nghĩa, sau đó (“so sánh ngược”). - các cơ số giống nhau, tương ứng, chúng ta so sánh các đối số: , tuy nhiên, dấu của logarit sẽ là “ngược lại”, do hàm giảm: .

Bây giờ hãy xem xét các trường hợp trong đó các căn cứ khác nhau, nhưng các lập luận giống nhau.

1. Cơ sở là lớn hơn.
   • . Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng "so sánh ngược". Ví dụ: - các đối số giống nhau, và. Chúng tôi so sánh các cơ sở: tuy nhiên, dấu hiệu của logarit sẽ là "đảo ngược":
2. Cơ sở a nằm ở giữa.
   • . Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng "so sánh trực tiếp". Ví dụ:
   • . Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng "so sánh ngược". Ví dụ:

Hãy viết mọi thứ ở dạng bảng tổng quát:

Theo đó, như bạn đã hiểu, khi so sánh logarit, chúng ta cần đưa về cùng một cơ số, hay đối số, Chúng ta về cùng một cơ số bằng công thức chuyển từ cơ số này sang cơ số khác.

Bạn cũng có thể so sánh logarit với số thứ ba và dựa vào đó suy ra số nào ít hơn và số nào nhiều hơn. Ví dụ, suy nghĩ về cách so sánh hai logarit này?

Một gợi ý nhỏ - để so sánh, logarit sẽ giúp ích rất nhiều cho bạn, đối số của nó sẽ bằng nhau.

Tư tưởng? Hãy cùng nhau quyết định.

Chúng tôi có thể dễ dàng so sánh hai logarit này với bạn:

Không biết làm thế nào? Xem ở trên. Chúng tôi chỉ cần tách nó ra. Dấu hiệu nào sẽ ở đó? chính xác:

Đồng ý không?

Hãy so sánh với nhau:

Bạn sẽ nhận được những điều sau đây:

Bây giờ kết hợp tất cả các kết luận của chúng tôi thành một. Đã xảy ra?

5. So sánh các biểu thức lượng giác.

sin, cosin, tiếp tuyến, cotang là gì? Vòng tròn đơn vị để làm gì và làm thế nào để tìm giá trị của các hàm lượng giác trên nó? Nếu bạn không biết câu trả lời cho những câu hỏi này, tôi thực sự khuyên bạn nên đọc lý thuyết về chủ đề này. Và nếu bạn đã biết thì việc so sánh các biểu thức lượng giác với nhau không hề khó với bạn!

Hãy làm mới bộ nhớ của chúng tôi một chút. Hãy vẽ một đường tròn lượng giác đơn vị và một tam giác nội tiếp trong đó. Bạn đã quản lý? Bây giờ đánh dấu chúng ta có cosin ở cạnh nào và sin ở cạnh nào, sử dụng các cạnh của tam giác. (Tất nhiên, bạn có nhớ rằng sin là tỷ số của cạnh đối diện với cạnh huyền và cosin của cạnh kề không?). Bạn đã vẽ? Xuất sắc! Lần chạm cuối cùng - đặt xuống nơi chúng ta sẽ có nó, ở đâu, v.v. Đặt xuống? Phew) So sánh những gì đã xảy ra với tôi và bạn.

Phù! Bây giờ hãy bắt đầu so sánh!

Giả sử chúng ta cần so sánh và . Vẽ các góc này bằng cách sử dụng các gợi ý trong hộp (nơi chúng tôi đã đánh dấu ở đâu), đặt các điểm trên đường tròn đơn vị. Bạn đã quản lý? Đó là những gì tôi đã làm.

Bây giờ chúng ta hãy hạ thấp đường vuông góc từ các điểm chúng ta đã đánh dấu trên đường tròn xuống trục ... Cái nào? Trục nào cho thấy giá trị của sin? Chính xác, . Đây là những gì bạn sẽ nhận được:

Nhìn vào con số này, cái nào lớn hơn: hay? Tất nhiên, bởi vì điểm là trên điểm.

Tương tự, chúng tôi so sánh giá trị của cosin. Chúng tôi chỉ hạ thấp đường vuông góc lên trục ... Đúng, . Theo đó, chúng tôi xem xét điểm nào ở bên phải (tốt, hoặc cao hơn, như trong trường hợp hình sin), thì giá trị đó sẽ lớn hơn.

Chắc các bạn cũng đã biết so sánh tiếp tuyến rồi phải không? Tất cả những gì bạn cần biết là tiếp tuyến là gì. Vậy tiếp tuyến là gì?) Đúng rồi, tỷ số của sin trên cosin.

Để so sánh các tiếp tuyến, chúng ta cũng vẽ một góc, như trong trường hợp trước. Giả sử chúng ta cần so sánh:

Bạn đã vẽ? Bây giờ chúng ta cũng đánh dấu các giá trị của sin trên trục tọa độ. Lưu ý? Và bây giờ chỉ ra các giá trị của cosin trên đường tọa độ. Đã xảy ra? Hãy so sánh:

Bây giờ hãy phân tích những gì bạn đã viết. - chúng tôi chia một phân khúc lớn thành một phân khúc nhỏ. Câu trả lời sẽ là một giá trị chính xác lớn hơn một. Đúng?

Và khi chúng ta chia cái nhỏ cho cái lớn. Câu trả lời sẽ là một số chính xác nhỏ hơn một.

Vậy giá trị của biểu thức lượng giác nào lớn hơn?

chính xác:

Như bạn đã hiểu, việc so sánh các cotang là giống nhau, chỉ có điều ngược lại: chúng ta xem xét các phân đoạn xác định cosin và sin liên quan với nhau như thế nào.

Hãy thử tự mình so sánh các biểu thức lượng giác sau:

Ví dụ.

câu trả lời.

SO SÁNH CÁC SỐ. TRÌNH ĐỘ TRUNG CẤP.

Số nào lớn hơn: hoặc? Câu trả lời là hiển nhiên. Và bây giờ: hay? Không còn quá rõ ràng nữa, phải không? Và như vậy: hoặc?

Thường thì bạn cần biết biểu thức số nào lớn hơn. Ví dụ, khi giải một bất phương trình, hãy đặt các điểm trên trục theo đúng thứ tự.

Bây giờ tôi sẽ dạy bạn so sánh các số như vậy.

Nếu bạn cần so sánh các số và, hãy đặt một dấu hiệu giữa chúng (bắt nguồn từ chữ Latinh Versus hoặc viết tắt so với - chống lại):. Dấu này thay dấu bất đẳng thức ( ) chưa biết. Hơn nữa, chúng tôi sẽ thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau cho đến khi rõ ràng nên đặt dấu nào giữa các số.

Bản chất của việc so sánh các số như sau: chúng ta coi dấu như thể nó là một loại dấu bất đẳng thức. Và với biểu thức, chúng ta có thể làm mọi thứ chúng ta thường làm với bất đẳng thức:

• thêm bất kỳ số nào vào cả hai phần (và trừ, tất nhiên, chúng ta cũng có thể)
• "di chuyển mọi thứ theo một hướng", tức là trừ một trong các biểu thức được so sánh khỏi cả hai phần. Ở vị trí của biểu thức bị trừ sẽ vẫn là: .
• nhân hoặc chia cho cùng một số. Nếu số này âm thì dấu bất đẳng thức đổi chiều: .
• Nâng cả hai bên lên cùng một sức mạnh. Nếu công suất này là chẵn, bạn phải đảm bảo rằng cả hai phần có cùng dấu; nếu cả hai phần đều dương thì dấu không thay đổi khi nâng lên lũy thừa, còn nếu chúng âm thì dấu sẽ đổi thành ngược lại.
• lấy gốc của cùng một mức độ từ cả hai phần. Nếu chúng ta trích xuất căn bậc chẵn, trước tiên bạn phải đảm bảo rằng cả hai biểu thức đều không âm.
• các phép biến đổi tương đương khác.

Quan trọng: nên thực hiện các phép biến đổi sao cho dấu bất đẳng thức không thay đổi! Đó là, trong quá trình biến đổi, việc nhân với một số âm là điều không mong muốn và không thể bình phương nếu một trong các phần là âm.

Hãy xem xét một vài tình huống điển hình.

1. Luỹ thừa.

Thí dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Phán quyết.

Vì cả hai vế của bất đẳng thức đều dương nên ta có thể bình phương để loại bỏ nghiệm:

Thí dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Phán quyết.

Ở đây, chúng ta cũng có thể bình phương, nhưng điều này sẽ chỉ giúp chúng ta loại bỏ căn bậc hai. Ở đây cần phải nâng cao đến mức cả hai gốc đều biến mất. Điều này có nghĩa là số mũ của bậc này phải chia hết cho cả (bậc của căn thứ nhất) và cho. Con số này là, vì vậy chúng tôi nâng nó lên lũy thừa thứ:

2. Nhân với liên hợp.

Thí dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Phán quyết.

Nhân và chia mỗi hiệu cho tổng liên hợp:

Rõ ràng mẫu số bên phải lớn hơn mẫu số bên trái. Do đó, phân số bên phải nhỏ hơn bên trái:

3. Phép trừ

Hãy ghi nhớ điều đó.

Thí dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Phán quyết.

Tất nhiên, chúng ta có thể bình phương mọi thứ, tập hợp lại và bình phương lại. Nhưng bạn có thể làm điều gì đó thông minh hơn:

Có thể thấy rằng mỗi số hạng ở vế trái nhỏ hơn mỗi số hạng ở vế phải.

Theo đó, tổng các số hạng ở vế trái nhỏ hơn tổng các số hạng ở vế phải.

Nhưng hãy cẩn thận! Chúng tôi được hỏi thêm...

Bên phải lớn hơn.

Thí dụ.

So sánh số và .

Phán quyết.

Ghi nhớ các công thức lượng giác:

Hãy kiểm tra xem các điểm đó nằm ở phần tư nào và nằm trên đường tròn lượng giác.

4. Bộ phận.

Ở đây chúng tôi cũng sử dụng một quy tắc đơn giản: .

Với hoặc, đó là.

Khi biển báo thay đổi: .

Thí dụ.

So sánh: .

Phán quyết.

5. So sánh các số với số thứ ba

Nếu và thì (luật bắc cầu).

Thí dụ.

Đối chiếu.

Phán quyết.

Hãy so sánh các con số không phải với nhau mà với một con số.

Hiển nhiên là.

Mặt khác, .

Thí dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Phán quyết.

Cả hai số đều lớn hơn nhưng nhỏ hơn. Chọn một số sao cho nó lớn hơn một nhưng nhỏ hơn số kia. Ví dụ, . Hãy kiểm tra:

6. Làm gì với logarit?

Không có gì đặc biệt. Làm thế nào để thoát khỏi logarit được mô tả chi tiết trong chủ đề. Các quy tắc cơ bản là:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Chúng ta cũng có thể thêm một quy tắc về logarit với các cơ số khác nhau và cùng một đối số:

Nó có thể được giải thích như sau: cơ sở càng lớn thì càng ít phải nâng lên để có được cùng một cơ sở. Nếu cơ sở nhỏ hơn thì điều ngược lại là đúng, vì hàm tương ứng giảm đơn điệu.

Thí dụ.

So sánh các số: i.

Phán quyết.

Theo các quy tắc trên:

Và bây giờ là công thức nâng cao.

Quy tắc so sánh logarit cũng có thể được viết ngắn hơn:

Thí dụ.

Cái nào nhiều hơn: hoặc?

Phán quyết.

Thí dụ.

So sánh xem số nào lớn hơn: .

Phán quyết.

SO SÁNH CÁC SỐ. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

1. Luỹ thừa

Nếu cả hai vế của bất đẳng thức đều dương, chúng có thể được bình phương để loại bỏ gốc

2. Nhân với liên hợp

Liên hợp là một số nhân bổ sung cho biểu thức cho công thức tính hiệu bình phương: - liên hợp cho và ngược lại, bởi vì .

3. Phép trừ

4. Bộ phận

Tại hoặc đó là

Khi biển báo thay đổi:

5. So sánh với số thứ ba

nếu và sau đó

6. So sánh logarit

Quy tắc cơ bản.

Sự định nghĩa 1. Nếu hai số 1) một và b khi chia cho P cung cấp cùng một phần còn lại r, thì các số như vậy được gọi là cách đều hoặc so sánh theo modulo P.

Tuyên bố 1. Cho phép P số dương nào đó. Khi đó bất kỳ số nào một luôn luôn và hơn nữa, theo một cách duy nhất có thể được biểu diễn dưới dạng

Nhưng những con số này có thể thu được bằng cách hỏi r bằng 0, 1, 2,..., P-1. Do đó sp+r=a nhận tất cả các giá trị nguyên có thể.

Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng đại diện này là duy nhất. Hãy giả vờ rằng P có thể được biểu diễn theo hai cách a=sp+r và a=s 1 P+r 1 . sau đó

(2)

Như r 1 lấy một trong các số 0,1, ..., P−1 thì giá trị tuyệt đối r 1 −r nhỏ hơn P. Nhưng từ (2) suy ra r 1 −r nhiều P. Do đó r 1 =r và S 1 =S.

Số r gọi điện dấu trừ con số một modulo P(nói cách khác, số r gọi là phần dư của phép chia một số một trên P).

Tuyên bố 2. Nếu hai số một và b modulo so sánh được P, sau đó a−b chia P.

Có thật không. Nếu hai số một và b modulo so sánh được P, thì khi chia cho P có cùng số dư P. sau đó

chia P, tại vì vế phải của phương trình (3) được chia cho P.

Tuyên bố 3. Nếu hiệu của hai số chia hết cho P, thì những số này có thể so sánh được theo modulo P.

Bằng chứng. Biểu thị bởi r và r 1 phần còn lại từ phép chia một và b trên P. sau đó

Ví dụ 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Từ ví dụ đầu tiên, 25 khi chia cho 7 sẽ có cùng số dư là 39. Thật vậy, 25=3 7+4 (dư 4). 39=3 7+4 (dư 4). Khi xem xét ví dụ thứ hai, hãy nhớ rằng phần còn lại phải là một số không âm nhỏ hơn mô đun (tức là 4). Khi đó chúng ta có thể viết: −18=−5 4+2 (dư 2), 14=3 4+2 (dư 2). Do đó, −18 khi chia cho 4 dư 2 và 14 khi chia cho 4 dư 2.

Thuộc tính của phép so sánh Modulo

Tài sản 1. Cho bât ki ai một và P luôn

so sánh không phải lúc nào cũng cần thiết

ở đâu λ là ước chung lớn nhất của các số tôi và P.

Bằng chứng. Cho phép λ ước chung lớn nhất của các số tôi và P. sau đó

Như m(a−b) chia k, sau đó

Do đó

và tôi là một trong các ước của số P, sau đó

ở đâu h=pqs.

Lưu ý rằng chúng tôi có thể cho phép so sánh trong các mô-đun phủ định, tức là so sánh a≡b chế độ ( P) có nghĩa là trong trường hợp này là sự khác biệt a−b chia P. Tất cả các thuộc tính so sánh vẫn hợp lệ cho các mô-đun phủ định.