Ba tùy chọn để hoàn thành hành trình về phía trước của phương pháp Gaussian. Phương pháp Gaussian trực tuyến

Phương pháp Gaussian rất dễ dàng! Tại sao? Nhà toán học nổi tiếng người Đức Johann Carl Friedrich Gauss khi còn sống đã được công nhận là nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, một thiên tài và thậm chí còn có biệt danh là “Vua toán học”. Và mọi thứ khéo léo, như bạn biết, đều đơn giản! Nhân tiện, không chỉ những kẻ ngu ngốc mới có được tiền, mà cả những thiên tài - chân dung của Gauss có trên tờ tiền 10 Deutschmark (trước khi đồng euro ra đời), và Gauss vẫn mỉm cười một cách bí ẩn với người Đức từ những con tem bưu chính thông thường.

Phương pháp Gauss đơn giản ở chỗ KIẾN THỨC CỦA HỌC SINH LỚP NĂM ĐỦ để nắm vững nó. Bạn phải biết cộng và nhân! Không phải ngẫu nhiên mà giáo viên thường quan tâm đến phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số trong các môn tự chọn toán học phổ thông. Đó là một nghịch lý, nhưng học sinh nhận thấy phương pháp Gaussian là khó nhất. Không có gì đáng ngạc nhiên - tất cả đều là về phương pháp luận và tôi sẽ cố gắng nói về thuật toán của phương pháp đó ở dạng dễ tiếp cận.

Đầu tiên chúng ta hãy hệ thống hóa một chút kiến ​​thức về hệ phương trình tuyến tính. Một hệ phương trình tuyến tính có thể:

1) Có một giải pháp độc đáo.
2) Có vô số nghiệm.
3) Không có giải pháp (được không khớp).

Phương pháp Gauss là công cụ mạnh mẽ và phổ biến nhất để tìm giải pháp bất kì hệ phương trình tuyến tính. Như chúng ta nhớ, Phương pháp ma trận và quy tắc Cramer không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Và phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số Dù sao sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Trong bài này chúng ta sẽ xét lại phương pháp Gauss cho trường hợp số 1 (lời giải duy nhất của hệ thống), bài viết dành cho các tình huống ở điểm số 2-3. Tôi lưu ý rằng thuật toán của phương pháp này hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp.

Hãy quay lại hệ thống đơn giản nhất trong bài học Làm thế nào để giải một hệ phương trình tuyến tính?
và giải nó bằng phương pháp Gaussian.

Bước đầu tiên là viết ra ma trận hệ thống mở rộng:
. Tôi nghĩ mọi người đều có thể thấy các hệ số được viết theo nguyên tắc nào. Đường thẳng đứng bên trong ma trận không có bất kỳ ý nghĩa toán học nào - nó chỉ đơn giản là gạch ngang để dễ thiết kế.

Thẩm quyền giải quyết :Tôi khuyên bạn nên nhớ điều kiệnđại số tuyến tính. Ma trận hệ thống là một ma trận chỉ gồm các hệ số ẩn, trong ví dụ này là ma trận của hệ: . Ma trận hệ thống mở rộng– đây chính là ma trận tương tự của hệ cộng với một cột các số hạng tự do, trong trường hợp này: . Để cho ngắn gọn, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được gọi đơn giản là ma trận.

Sau khi ma trận hệ thống mở rộng được viết, cần thực hiện một số hành động với nó, còn được gọi là các phép biến đổi cơ bản.

Có các phép biến đổi cơ bản sau:

1) Dây ma trận Có thể sắp xếp lạiở một số nơi. Ví dụ: trong ma trận đang được xem xét, bạn có thể sắp xếp lại hàng đầu tiên và hàng thứ hai một cách dễ dàng:

2) Nếu có (hoặc đã xuất hiện) các hàng tỷ lệ (trong trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) trong ma trận, thì bạn nên xóa bỏ Tất cả các hàng này đều từ ma trận ngoại trừ một hàng. Ví dụ, hãy xem xét ma trận . Trong ma trận này, ba hàng cuối cùng tỷ lệ thuận với nhau, vì vậy chỉ cần để lại một trong số chúng là đủ: .

3) Nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ. Tất nhiên là tôi sẽ không vẽ, đường số 0 là đường trong đó tất cả số không.

4) Hàng ma trận có thể là nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác không. Hãy xem xét, ví dụ, ma trận. Ở đây nên chia dòng đầu tiên cho –3 và nhân dòng thứ hai với 2: . Hành động này rất hữu ích vì nó đơn giản hóa các phép biến đổi tiếp theo của ma trận.

5) Sự chuyển đổi này gây ra nhiều khó khăn nhất nhưng thực tế cũng không có gì phức tạp cả. Đối với một hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0. Hãy xem ma trận của chúng ta từ một ví dụ thực tế: . Đầu tiên tôi sẽ mô tả sự chuyển đổi một cách chi tiết. Nhân dòng đầu tiên với –2: , Và ở dòng thứ hai chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –2: . Bây giờ dòng đầu tiên có thể được chia “trở lại” cho –2: . Như bạn có thể thấy, dòng được THÊM LI – vẫn chưa thay đổi. Luôn luôn dòng TO WHICH IS ADDED thay đổi UT.

Tất nhiên, trong thực tế, họ không viết chi tiết như vậy mà viết ngắn gọn:

Một lần nữa: đến dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Một dòng thường được nhân lên bằng miệng hoặc bằng bản nháp, với quá trình tính nhẩm sẽ diễn ra như thế này:

“Tôi viết lại ma trận và viết lại dòng đầu tiên: »

"Cột đầu tiên. Ở phía dưới tôi cần lấy số không. Do đó, tôi nhân số ở trên cùng với –2: , và cộng số đầu tiên vào dòng thứ hai: 2 + (–2) = 0. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Bây giờ là cột thứ hai. Ở trên cùng, tôi nhân -1 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: 1 + 2 = 3. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Và cột thứ ba. Ở trên cùng tôi nhân -5 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: –7 + 10 = 3. Tôi viết kết quả ở dòng thứ hai: »

Hãy hiểu kỹ ví dụ này và hiểu thuật toán tính toán tuần tự, nếu bạn hiểu điều này thì phương pháp Gaussian thực tế nằm trong túi của bạn. Nhưng tất nhiên, chúng tôi vẫn sẽ tiếp tục thực hiện sự chuyển đổi này.

Các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình

! CHÚ Ý: được coi là thao túng không thể sử dụng, nếu bạn được giao một nhiệm vụ trong đó các ma trận được đưa ra “tự chúng”. Ví dụ: với “cổ điển” các phép toán với ma trận Trong mọi trường hợp, bạn không nên sắp xếp lại bất cứ thứ gì bên trong ma trận!

Hãy quay trở lại hệ thống của chúng tôi. Nó gần như bị xé thành từng mảnh.

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để rút gọn nó thành chế độ xem từng bước:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Và một lần nữa: tại sao chúng ta nhân dòng đầu tiên với –2? Để có số 0 ở cuối, có nghĩa là loại bỏ một biến ở dòng thứ hai.

(2) Chia dòng thứ hai cho 3.

Mục đích của các phép biến đổi cơ bản – giảm ma trận về dạng từng bước: . Khi thiết kế nhiệm vụ, các em chỉ cần đánh dấu các “cầu thang” bằng bút chì đơn giản, đồng thời khoanh tròn các số nằm trên “bậc thang”. Bản thân thuật ngữ “quan điểm từng bước” không hoàn toàn mang tính lý thuyết; trong tài liệu khoa học và giáo dục nó thường được gọi là góc nhìn hình thang hoặc chế độ xem hình tam giác.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta thu được tương đương hệ phương trình ban đầu:

Bây giờ hệ thống cần được “tháo cuộn” theo hướng ngược lại - từ dưới lên trên, quá trình này được gọi là nghịch đảo của phương pháp Gaussian.

Trong phương trình dưới, chúng ta đã có sẵn một kết quả: .

Hãy xem xét phương trình đầu tiên của hệ thống và thay thế giá trị đã biết của “y” vào nó:

Hãy xem xét tình huống phổ biến nhất, khi phương pháp Gaussian yêu cầu giải một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số.

ví dụ 1

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống:

Bây giờ tôi sẽ rút ra ngay kết quả mà chúng ta sẽ đạt được trong quá trình giải:

Và tôi nhắc lại, mục tiêu của chúng ta là đưa ma trận về dạng từng bước bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Bắt đầu từ đâu?

Đầu tiên, hãy nhìn vào số trên cùng bên trái:

Đáng lẽ phải luôn ở đây đơn vị. Nói chung, –1 (và đôi khi các số khác) sẽ phù hợp, nhưng bằng cách nào đó, theo truyền thống, số 1 thường được đặt ở đó. Tổ chức đơn vị như thế nào? Chúng tôi nhìn vào cột đầu tiên - chúng tôi có một đơn vị đã hoàn thành! Chuyển đổi thứ nhất: hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba:

Bây giờ dòng đầu tiên sẽ không thay đổi cho đến khi kết thúc giải pháp. Bây giờ tốt.

Đơn vị ở góc trên bên trái được tổ chức. Bây giờ bạn cần lấy số không ở những nơi này:

Chúng ta nhận được số không bằng cách sử dụng một phép biến đổi “khó”. Đầu tiên chúng ta xử lý dòng thứ hai (2, –1, 3, 13). Cần phải làm gì để có được số 0 ở vị trí đầu tiên? Cần phải vào dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –2: (–2, –4, 2, –18). Và chúng tôi liên tục thực hiện phép cộng (trong đầu hoặc trong bản nháp), vào dòng thứ hai, chúng tôi thêm dòng đầu tiên, đã nhân với –2:

Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ hai:

Chúng ta xử lý dòng thứ ba theo cách tương tự (3, 2, –5, –1). Để có được số 0 ở vị trí đầu tiên, bạn cần vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –3: (–3, –6, 3, –27). VÀ đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –3:

Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ ba:

Trong thực tế, những hành động này thường được thực hiện bằng miệng và viết ra trong một bước:

Không cần phải đếm mọi thứ cùng một lúc và cùng một lúc. Thứ tự tính toán và “ghi” kết quả nhất quán và thường thì nó như thế này: đầu tiên chúng ta viết lại dòng đầu tiên và từ từ tự thổi phồng lên - MỘT CÁCH NHẤT ĐỊNH và CHĂM SÓC:


Và tôi đã thảo luận về quá trình tính toán tinh thần ở trên.

Trong ví dụ này, điều này rất dễ thực hiện; chúng ta chia dòng thứ hai cho –5 (vì tất cả các số ở đó đều chia hết cho 5 mà không có phần dư). Đồng thời, chúng ta chia dòng thứ ba cho –2, vì số càng nhỏ thì lời giải càng đơn giản:

Ở giai đoạn cuối cùng của các phép biến đổi cơ bản, bạn cần lấy một số 0 khác ở đây:

Vì điều này đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –2:


Hãy cố gắng tự mình tìm ra hành động này - nhân dòng thứ hai với –2 và thực hiện phép cộng.

Hành động cuối cùng được thực hiện là kiểu tóc của kết quả, chia dòng thứ ba cho 3.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, thu được hệ phương trình tuyến tính tương đương:

Mát mẻ.

Bây giờ mặt trái của phương pháp Gaussian được áp dụng. Các phương trình “thư giãn” từ dưới lên trên.

Trong phương trình thứ ba, chúng ta đã có sẵn kết quả:

Hãy xét phương trình thứ hai: . Ý nghĩa của "zet" đã được biết đến, do đó:

Và cuối cùng, phương trình đầu tiên: . “Igrek” và “zet” đều được biết đến, đó chỉ là vấn đề nhỏ nhặt:

Trả lời:

Như đã được lưu ý nhiều lần, đối với bất kỳ hệ phương trình nào, việc kiểm tra nghiệm tìm được là có thể và cần thiết, may mắn thay, việc này rất dễ dàng và nhanh chóng.

Ví dụ 2

Đây là ví dụ cho một giải pháp độc lập, mẫu của thiết kế cuối cùng và câu trả lời ở cuối bài học.

Cần lưu ý rằng tiến độ của quyết định có thể không trùng với quá trình ra quyết định của tôi, và đây là một đặc điểm của phương pháp Gauss. Nhưng câu trả lời phải giống nhau!

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Tôi đã làm điều này:
(1) Dòng đầu tiên thêm dòng thứ hai nhân với –1. Nghĩa là, chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một động tác bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).

(2) Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ 2. Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ 3.

(3) Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Ký hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, để ở “bước” thứ hai chúng ta có đơn vị cần thiết.

(4) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 2.

(5) Dòng thứ ba chia cho 3.

Một dấu hiệu xấu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó như , bên dưới, và theo đó, , thì với xác suất cao, chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình biến đổi cơ bản.

Chúng tôi tính ngược lại, khi thiết kế các ví dụ, họ thường không viết lại chính hệ thống mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn, nét ngược lại hoạt động từ dưới lên trên. Vâng, đây là một món quà:

Trả lời: .

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, nó có phần phức tạp hơn. Không sao nếu ai đó bối rối. Giải pháp đầy đủ và thiết kế mẫu ở cuối bài học. Giải pháp của bạn có thể khác với giải pháp của tôi.

Trong phần cuối chúng ta sẽ xem xét một số tính năng của thuật toán Gaussian.
Đặc điểm đầu tiên là đôi khi một số biến bị thiếu trong các phương trình của hệ thống, ví dụ:

Làm thế nào để viết chính xác ma trận hệ thống mở rộng? Tôi đã nói về điểm này trong lớp. Quy tắc Cramer. Phương pháp ma trận. Trong ma trận mở rộng của hệ thống, chúng ta đặt các số 0 thay cho các biến bị thiếu:

Nhân tiện, đây là một ví dụ khá dễ dàng, vì cột đầu tiên đã có một số 0 và có ít phép biến đổi cơ bản hơn để thực hiện.

Tính năng thứ hai là thế này. Trong tất cả các ví dụ được xem xét, chúng tôi đặt –1 hoặc +1 cho “bậc thang”. Có thể có những con số khác ở đó? Trong một số trường hợp họ có thể. Hãy xem xét hệ thống: .

Ở đây ở “bậc thang” phía trên bên trái, chúng ta có hai. Nhưng chúng tôi nhận thấy thực tế là tất cả các số trong cột đầu tiên đều chia hết cho 2 mà không có phần dư - và số còn lại là hai và sáu. Và hai cái ở trên cùng bên trái sẽ phù hợp với chúng ta! Ở bước đầu tiên, bạn cần thực hiện các phép biến đổi sau: thêm dòng đầu tiên nhân với –1 vào dòng thứ hai; vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Bằng cách này, chúng ta sẽ nhận được các số 0 cần thiết trong cột đầu tiên.

Hoặc một ví dụ thông thường khác: . Ở đây, ba ở “bước” thứ hai cũng phù hợp với chúng ta, vì 12 (nơi chúng ta cần lấy số 0) chia hết cho 3 mà không có số dư. Cần phải thực hiện phép biến đổi sau: thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với –4, kết quả là chúng ta sẽ thu được số 0 mà chúng ta cần.

Phương pháp của Gauss là phổ quát, nhưng có một điểm đặc biệt. Bạn có thể tự tin học cách giải các hệ thống bằng các phương pháp khác (phương pháp Cramer, phương pháp ma trận) ngay lần đầu tiên - chúng có thuật toán rất nghiêm ngặt. Nhưng để cảm thấy tự tin vào phương pháp Gaussian, bạn cần phải thành thạo nó và giải được ít nhất 5-10 hệ. Vì vậy, lúc đầu có thể có sự nhầm lẫn và sai sót trong tính toán, và điều này không có gì bất thường hay bi thảm.

Ngoài cửa sổ mưa thu mùa thu.... Do đó, dành cho những ai muốn có một ví dụ phức tạp hơn để tự mình giải quyết:

Ví dụ 5

Giải hệ bốn phương trình tuyến tính với bốn ẩn số bằng phương pháp Gauss.

Một nhiệm vụ như vậy không quá hiếm trong thực tế. Tôi nghĩ ngay cả một ấm trà đã nghiên cứu kỹ lưỡng trang này cũng sẽ hiểu được thuật toán giải hệ thống như vậy một cách trực quan. Về cơ bản, mọi thứ đều giống nhau - chỉ có nhiều hành động hơn.

Các trường hợp hệ thống không có giải pháp (không nhất quán) hoặc có vô số giải pháp được thảo luận trong bài Hệ thống không tương thích và hệ thống với một giải pháp chung. Ở đó bạn có thể sửa thuật toán được xem xét của phương pháp Gaussian.

Chúc các bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Giải pháp : Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước.


Các phép biến đổi cơ bản được thực hiện:
(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1. Chú ý!Ở đây bạn có thể muốn trừ dòng đầu tiên khỏi dòng thứ ba; tôi thực sự khuyên bạn không nên trừ nó - nguy cơ sai sót sẽ tăng lên rất nhiều. Chỉ cần gấp nó lại!
(2) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ hai và thứ ba đã được hoán đổi cho nhau. ghi chú, rằng trên các “bước”, chúng tôi hài lòng không chỉ với một mà còn với –1, điều này thậm chí còn thuận tiện hơn.
(3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 5.
(4) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ ba được chia cho 14.

Đảo ngược:

Trả lời: .

Ví dụ 4: Giải pháp : Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chuyển đổi được thực hiện:
(1) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên. Do đó, đơn vị mong muốn được sắp xếp ở “bậc thang” phía trên bên trái.
(2) Dòng đầu tiên nhân với 7 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 6 được thêm vào dòng thứ ba.

Với “bước” thứ hai, mọi thứ trở nên tồi tệ hơn , “ứng cử viên” cho nó là các số 17 và 23, và chúng ta cần một hoặc –1. Các phép biến đổi (3) và (4) sẽ nhằm mục đích đạt được đơn vị mong muốn

(3) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1.
(4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3.
(3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba nhân với 4. Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ tư nhân với –1.
(4) Dấu của dòng thứ hai đã được thay đổi. Dòng thứ tư được chia cho 3 và đặt ở vị trí của dòng thứ ba.
(5) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ tư, nhân với –5.

Đảo ngược:

Trong bài viết này, phương pháp này được coi là phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính (SLAEs). Phương pháp này mang tính phân tích, nghĩa là nó cho phép bạn viết thuật toán giải ở dạng tổng quát, sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những phương trình có vô số nghiệm. Hoặc họ không có nó chút nào.

Việc giải quyết bằng phương pháp Gaussian có ý nghĩa gì?

Đầu tiên, chúng ta cần viết hệ phương trình của mình dưới dạng Nó trông như thế này. Lấy hệ thống:

Các hệ số được viết dưới dạng bảng và các thuật ngữ tự do được viết trong một cột riêng bên phải. Cột có các thuật ngữ tự do được tách ra để thuận tiện, ma trận chứa cột này được gọi là mở rộng.

Tiếp theo, ma trận chính với các hệ số phải được rút gọn về dạng tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông sao cho phần dưới bên trái của nó chỉ chứa các số 0:

Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng hàng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các nghiệm, sau đó được thay thế vào phương trình trên, một nghiệm khác sẽ được tìm thấy, v.v.

Đây là mô tả lời giải bằng phương pháp Gaussian một cách tổng quát nhất. Điều gì xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có lời giải? Hoặc có vô số trong số họ? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng để giải phương pháp Gaussian.

Ma trận, tính chất của chúng

Không có ý nghĩa ẩn trong ma trận. Đây chỉ đơn giản là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động tiếp theo với nó. Ngay cả học sinh cũng không cần phải sợ chúng.

Ma trận luôn có hình chữ nhật, vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mọi thứ đều bắt nguồn từ việc xây dựng một ma trận có dạng tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ có số 0 ở nơi không có số. Số không có thể không được viết ra, nhưng chúng được ngụ ý.

Ma trận có kích thước. “Chiều rộng” của nó là số hàng (m), “chiều dài” là số cột (n). Khi đó kích thước của ma trận A (chữ Latin viết hoa thường được dùng để biểu thị chúng) sẽ được ký hiệu là A m×n. Nếu m=n thì ma trận này là hình vuông và m=n là thứ tự của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A đều có thể được ký hiệu bằng số hàng và số cột: a xy ; x - số hàng, thay đổi, y - số cột, thay đổi.

B không phải là điểm chính của quyết định. Về nguyên tắc, tất cả các thao tác có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, nhưng ký hiệu sẽ cồng kềnh hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều.

Bản ngã

Ma trận cũng có định thức. Đây là một đặc điểm rất quan trọng. Bây giờ không cần phải tìm hiểu ý nghĩa của nó; bạn có thể chỉ cần chỉ ra cách tính nó và sau đó cho biết nó xác định những thuộc tính nào của ma trận. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử được nhân lên và sau đó cộng các sản phẩm thu được: các đường chéo có độ dốc về bên phải - bằng dấu cộng, có độ dốc về bên trái - bằng dấu trừ.

Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho ma trận vuông. Đối với ma trận hình chữ nhật, bạn có thể làm như sau: chọn giá trị nhỏ nhất từ ​​số hàng và số cột (đặt là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử tại giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo thành một ma trận vuông mới. Nếu định thức của ma trận như vậy là số khác 0 thì gọi là ma trận cơ sở nhỏ của ma trận chữ nhật ban đầu.

Trước khi bạn bắt đầu giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaussian, việc tính định thức sẽ không có hại gì. Nếu nó bằng 0 thì chúng ta có thể nói ngay rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.

Phân loại hệ thống

Có một thứ gọi là thứ hạng của một ma trận. Đây là bậc tối đa của định thức khác 0 của nó (nếu nhớ về cơ sở thứ, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là bậc của cơ sở thứ).

Dựa vào tình hình cấp bậc, SLAE có thể được chia thành:

• Chung. bạn Trong các hệ khớp, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (có cột các số hạng tự do). Các hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một giải pháp, do đó, các hệ thống chung được chia thành:
• - chắc chắn- có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, thứ hạng của ma trận và số ẩn số (hoặc số cột giống nhau) bằng nhau;
• - không xác định - với vô số giải pháp. Thứ hạng của ma trận trong các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
• Không tương thích. bạn Trong các hệ thống như vậy, thứ hạng của ma trận chính và ma trận mở rộng không trùng nhau. Hệ thống không tương thích không có giải pháp.

Phương pháp Gauss là tốt vì trong quá trình giải, nó cho phép người ta thu được một bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (không tính định thức của ma trận lớn) hoặc một giải pháp ở dạng tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm.

Các phép biến đổi cơ bản

Trước khi trực tiếp giải hệ, bạn có thể làm cho nó bớt cồng kềnh và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua các phép biến đổi cơ bản - sao cho việc thực hiện chúng không làm thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản đã cho chỉ có giá trị đối với ma trận có nguồn gốc là SLAE. Dưới đây là danh sách các chuyển đổi này:

1. Sắp xếp lại các dòng. Rõ ràng, nếu bạn thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, điều này sẽ không ảnh hưởng gì đến lời giải. Do đó, các hàng trong ma trận của hệ thống này cũng có thể được hoán đổi, tất nhiên không quên cột các số hạng tự do.
2. Nhân tất cả các phần tử của chuỗi với một hệ số nhất định. Rất hữu ích! Nó có thể được sử dụng để giảm số lượng lớn trong ma trận hoặc loại bỏ số không. Nhiều quyết định, như thường lệ, sẽ không thay đổi, nhưng các hoạt động tiếp theo sẽ trở nên thuận tiện hơn. Điều chính là hệ số không bằng 0.
3. Loại bỏ các hàng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong một ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân/chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc, một lần nữa, nhiều hơn) các hàng hoàn toàn giống nhau và các hàng thừa có thể bị loại bỏ, để lại chỉ một.
4. Xóa một dòng null. Nếu trong quá trình chuyển đổi, một hàng thu được ở đâu đó trong đó tất cả các phần tử, bao gồm cả phần tử tự do, đều bằng 0, thì hàng đó có thể được gọi là 0 và bị loại khỏi ma trận.
5. Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (trong các cột tương ứng), nhân với một hệ số nhất định. Sự chuyển đổi không rõ ràng nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó đáng để xem xét nó chi tiết hơn.

Thêm một chuỗi nhân với một hệ số

Để dễ hiểu, cần chia nhỏ quá trình này ra từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Giả sử bạn cần cộng số thứ nhất với số thứ hai, nhân với hệ số "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Sau đó, hàng thứ hai trong ma trận được thay thế bằng hàng mới và hàng đầu tiên không thay đổi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách sao cho khi cộng hai hàng, một trong các phần tử của hàng mới bằng 0. Do đó, có thể thu được một phương trình trong một hệ trong đó sẽ có ít phương trình chưa biết hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì thao tác có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình chứa ít hơn hai ẩn số. Và nếu mỗi lần bạn biến một hệ số của tất cả các hàng nằm dưới hàng ban đầu thành 0, thì bạn có thể, giống như cầu thang, đi xuống cuối ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Điều này được gọi là giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.

Nói chung

Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó như sau:

Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột các thuật ngữ tự do được thêm vào ma trận mở rộng và để thuận tiện, được phân tách bằng một dòng.

• hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k = (-a 21 /a 11);
• hàng sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
• thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
• bây giờ hệ số đầu tiên ở hàng thứ hai mới là a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Bây giờ, một loạt các phép biến đổi tương tự được thực hiện, chỉ liên quan đến hàng thứ nhất và thứ ba. Theo đó, ở mỗi bước của thuật toán, phần tử a 21 được thay thế bằng phần tử 31. Sau đó mọi thứ được lặp lại cho 41, ... a m1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng bằng 0. Bây giờ bạn cần quên dòng số một và thực hiện thuật toán tương tự, bắt đầu từ dòng hai:

• hệ số k = (-a 32 /a 22);
• dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng “hiện tại”;
• kết quả của phép cộng được thay thế vào dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và dòng thứ hai không thay đổi;
• trong các hàng của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng 0.

Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi xuất hiện hệ số k = (-a m,m-1 /a mm). Điều này có nghĩa là lần cuối cùng thuật toán được thực thi chỉ dành cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có dạng bậc thang. Ở dòng dưới cùng có đẳng thức a mn × x n = b m. Hệ số và số hạng tự do đã biết và nghiệm được biểu thị qua chúng: x n = b m /a mn. Căn kết quả được thay thế vào dòng trên cùng để tìm x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))->a m-1,n-1. Và cứ thế tương tự: trong mỗi dòng tiếp theo có một gốc mới, và khi đạt đến “đỉnh” của hệ thống, bạn có thể tìm thấy nhiều giải pháp. Nó sẽ là duy nhất.

Khi không có giải pháp

Nếu ở một trong các hàng của ma trận, tất cả các phần tử ngoại trừ số hạng tự do đều bằng 0 thì phương trình tương ứng với hàng này có dạng 0 = b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ nên tập nghiệm của toàn hệ là rỗng, tức là nó suy biến.

Khi có vô số giải pháp

Có thể xảy ra trường hợp trong ma trận tam giác đã cho không có hàng nào có một phần tử hệ số của phương trình và một số hạng tự do. Chỉ có những dòng mà khi viết lại sẽ giống như một phương trình có hai biến trở lên. Điều này có nghĩa là hệ có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm nó?

Tất cả các biến trong ma trận được chia thành cơ bản và miễn phí. Những cái cơ bản là những cái đứng “trên rìa” của các hàng trong ma trận bước. Phần còn lại là miễn phí. Trong lời giải tổng quát, các biến cơ bản được viết thông qua các biến tự do.

Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành hệ phương trình. Sau đó, ở phần cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mọi phương trình có một biến cơ bản. Sau đó, trong các phương trình còn lại, nếu có thể, biểu thức thu được của nó sẽ được thay thế thay cho biến cơ bản. Nếu kết quả lại là một biểu thức chỉ chứa một biến cơ bản, thì nó lại được biểu thị từ đó, v.v., cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng biểu thức với các biến tự do. Đây là giải pháp chung của SLAE.

Bạn cũng có thể tìm giải pháp cơ bản của hệ thống - cung cấp cho các biến miễn phí bất kỳ giá trị nào, sau đó trong trường hợp cụ thể này, hãy tính giá trị của các biến cơ bản. Có vô số giải pháp cụ thể có thể được đưa ra.

Giải bằng ví dụ cụ thể

Đây là một hệ phương trình.

Để thuận tiện, tốt hơn là tạo ngay ma trận của nó

Được biết, khi giải bằng phương pháp Gaussian, phương trình tương ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận nhỏ nhất - khi đó phần tử đầu tiên của các hàng còn lại sau các phép toán sẽ chuyển về 0. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ thuận lợi hơn nếu đặt hàng thứ hai thay cho hàng đầu tiên.

dòng thứ hai: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

dòng thứ ba: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, bạn cần viết ra một ma trận với các kết quả trung gian của các phép biến đổi.

Rõ ràng, một ma trận như vậy có thể được tạo ra thuận tiện hơn cho việc nhận thức bằng cách sử dụng một số thao tác nhất định. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả “điểm trừ” khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với “-1”.

Điều đáng chú ý là ở dòng thứ ba, tất cả các phần tử đều là bội số của ba. Sau đó, bạn có thể rút ngắn chuỗi theo số này, nhân từng phần tử với "-1/3" (trừ - đồng thời, để loại bỏ các giá trị âm).

Trông đẹp hơn nhiều. Bây giờ chúng ta cần để nguyên dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là cộng dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a 32 bằng 0.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (nếu trong một số phép biến đổi, câu trả lời không phải là số nguyên, thì nên duy trì độ chính xác của các phép tính để lại nó “nguyên trạng”, ở dạng phân số thông thường và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, mới quyết định có làm tròn và chuyển sang dạng ghi khác hay không)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Ma trận được viết lại với các giá trị mới.

Như bạn có thể thấy, ma trận kết quả đã có dạng bậc thang. Do đó, không cần phải chuyển đổi thêm hệ thống bằng phương pháp Gaussian. Những gì bạn có thể làm ở đây là loại bỏ hệ số tổng thể "-1/7" khỏi dòng thứ ba.

Bây giờ mọi thứ đều đẹp. Tất cả những gì còn lại phải làm là viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính nghiệm

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Thuật toán tìm được nghiệm bây giờ được gọi là bước đi ngược lại trong phương pháp Gaussian. Phương trình (3) chứa giá trị z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Và phương trình đầu tiên cho phép chúng ta tìm x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Chúng ta có quyền gọi một hệ thống như vậy là chung, và thậm chí là xác định, tức là có một giải pháp duy nhất. Câu trả lời được viết dưới dạng sau:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Ví dụ về hệ thống không chắc chắn

Phương án giải một hệ nào đó bằng phương pháp Gauss đã được phân tích, bây giờ cần xét trường hợp nếu hệ đó không chắc chắn, tức là có thể tìm được vô số nghiệm cho nó.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sự xuất hiện của hệ thống đã đáng báo động, bởi vì số lượng ẩn số là n = 5 và thứ hạng của ma trận hệ thống chính xác là nhỏ hơn con số này, bởi vì số lượng hàng là m = 4, nghĩa là bậc lớn nhất của bình phương định thức là 4. Điều này có nghĩa là có vô số nghiệm và bạn cần tìm hình thức tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính cho phép bạn thực hiện điều này.

Đầu tiên, như thường lệ, một ma trận mở rộng được biên dịch.

Dòng thứ hai: hệ số k = (-a 21 /a 11) = -3. Ở dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến đổi nên bạn không cần chạm vào bất cứ thứ gì mà chỉ cần để nguyên. Dòng thứ tư: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Bằng cách nhân lần lượt các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng cần tìm, chúng ta thu được ma trận có dạng sau:

Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư nhìn chung giống hệt nhau, vì vậy một trong số chúng có thể bị loại bỏ ngay lập tức và dòng còn lại có thể được nhân với hệ số “-1” và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, trong hai dòng giống hệt nhau, hãy để lại một dòng.

Kết quả là một ma trận như thế này. Mặc dù hệ thống vẫn chưa được viết ra, nhưng cần phải xác định các biến cơ bản ở đây - những biến đứng ở hệ số a 11 = 1 và a 22 = 1, và các biến tự do - tất cả những biến còn lại.

Trong phương trình thứ hai chỉ có một biến cơ bản - x 2. Điều này có nghĩa là nó có thể được biểu diễn từ đó bằng cách viết nó thông qua các biến x 3 , x 4 , x 5 , là các biến tự do.

Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.

Kết quả là một phương trình trong đó biến cơ bản duy nhất là x 1 . Hãy làm tương tự với nó như với x 2.

Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai biến, được biểu diễn dưới dạng ba biến tự do; bây giờ chúng ta có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát.

Bạn cũng có thể chỉ định một trong những giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, số 0 thường được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Khi đó câu trả lời sẽ là:

16, 23, 0, 0, 0.

Ví dụ về hệ thống không hợp tác

Giải các hệ phương trình không tương thích bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay lập tức khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là công đoạn tính toán gốc khá dài và tẻ nhạt đã được loại bỏ. Hệ thống sau đây được xem xét:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Như thường lệ, ma trận được biên dịch:

Và nó được rút gọn thành dạng từng bước:

k 1 = -2k 2 = -4

Sau phép biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa phương trình có dạng

không có giải pháp. Do đó, hệ thống không nhất quán và đáp án sẽ là tập rỗng.

Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp

Nếu bạn chọn phương pháp giải SLAE trên giấy bằng bút thì phương pháp được thảo luận trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Việc nhầm lẫn trong các phép biến đổi cơ bản sẽ khó hơn nhiều so với việc bạn phải tìm kiếm định thức hoặc ma trận nghịch đảo phức tạp nào đó theo cách thủ công. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với loại dữ liệu này, chẳng hạn như bảng tính, thì hóa ra các chương trình đó đã chứa các thuật toán để tính các tham số chính của ma trận - định thức, hàm phụ, nghịch đảo, v.v. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc lỗi, thì nên sử dụng phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, vì ứng dụng của chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính các định thức và ma trận nghịch đảo .

Ứng dụng

Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và ma trận thực chất là một mảng hai chiều nên nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự coi mình là hướng dẫn “dành cho người mới bắt đầu”, nên phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để áp dụng phương pháp này là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và để thực hiện các thao tác với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước!), nhân với một số, nhân ma trận (cũng có một số hạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và ma trận chuyển vị và quan trọng nhất là , tính định thức. Nếu nhiệm vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì có thể xác định thứ hạng của ma trận nhanh hơn nhiều và do đó thiết lập tính tương thích hoặc không tương thích của nó.

Chúng ta tiếp tục xem xét các hệ phương trình tuyến tính. Bài học này là bài học thứ ba về chủ đề này. Nếu bạn chưa hiểu rõ về hệ phương trình tuyến tính nói chung là gì, nếu bạn cảm thấy thích một ấm trà, thì tôi khuyên bạn nên bắt đầu với những điều cơ bản trên trang Tiếp theo, sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu bài học.

Phương pháp Gaussian rất dễ dàng! Tại sao? Nhà toán học nổi tiếng người Đức Johann Carl Friedrich Gauss khi còn sống đã được công nhận là nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, một thiên tài và thậm chí còn có biệt danh là “Vua toán học”. Và mọi thứ khéo léo, như bạn biết, đều đơn giản! Nhân tiện, không chỉ những kẻ ngu ngốc mới có được tiền, mà cả những thiên tài - chân dung của Gauss có trên tờ tiền 10 Deutschmark (trước khi đồng euro ra đời), và Gauss vẫn mỉm cười một cách bí ẩn với người Đức từ những con tem bưu chính thông thường.

Phương pháp Gauss đơn giản ở chỗ KIẾN THỨC CỦA HỌC SINH LỚP NĂM ĐỦ để nắm vững nó. Bạn phải biết cộng và nhân! Không phải ngẫu nhiên mà giáo viên thường quan tâm đến phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số trong các môn tự chọn toán học phổ thông. Đó là một nghịch lý, nhưng học sinh nhận thấy phương pháp Gaussian là khó nhất. Không có gì đáng ngạc nhiên - tất cả đều là về phương pháp luận và tôi sẽ cố gắng nói về thuật toán của phương pháp đó ở dạng dễ tiếp cận.

Đầu tiên chúng ta hãy hệ thống hóa một chút kiến ​​thức về hệ phương trình tuyến tính. Một hệ phương trình tuyến tính có thể:

1) Có một giải pháp độc đáo. 2) Có vô số nghiệm. 3) Không có giải pháp (được không khớp).

Phương pháp Gauss là công cụ mạnh mẽ và phổ biến nhất để tìm giải pháp bất kì hệ phương trình tuyến tính. Như chúng ta nhớ, Phương pháp ma trận và quy tắc Cramer không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Và phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số Dù sao sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét lại phương pháp Gauss cho trường hợp số 1 (lời giải duy nhất của hệ thống), một bài viết dành cho các tình huống ở điểm số 2-3. Tôi lưu ý rằng thuật toán của phương pháp này hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp.

Hãy quay lại hệ thống đơn giản nhất trong bài học Làm thế nào để giải một hệ phương trình tuyến tính? và giải nó bằng phương pháp Gaussian.

Bước đầu tiên là viết ra ma trận hệ thống mở rộng: . Tôi nghĩ mọi người đều có thể thấy các hệ số được viết theo nguyên tắc nào. Đường thẳng đứng bên trong ma trận không có bất kỳ ý nghĩa toán học nào - nó chỉ đơn giản là gạch ngang để dễ thiết kế.

Thẩm quyền giải quyết : Tôi khuyên bạn nên nhớ điều kiện đại số tuyến tính. Ma trận hệ thống là một ma trận chỉ bao gồm các hệ số cho ẩn số, trong ví dụ này là ma trận của hệ thống: . Ma trận hệ thống mở rộng – đây chính là ma trận của hệ cộng với một cột các số hạng tự do, trong trường hợp này: . Để cho ngắn gọn, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được gọi đơn giản là ma trận.

Sau khi ma trận hệ thống mở rộng được viết, cần thực hiện một số hành động với nó, còn được gọi là các phép biến đổi cơ bản.

Có các phép biến đổi cơ bản sau:

1) Dây ma trận Có thể sắp xếp lạiở một số nơi. Ví dụ: trong ma trận đang được xem xét, bạn có thể sắp xếp lại hàng đầu tiên và hàng thứ hai một cách dễ dàng:

2) Nếu có (hoặc đã xuất hiện) các hàng tỷ lệ (trong trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) trong ma trận, thì bạn nên xóa bỏ Tất cả các hàng này đều từ ma trận ngoại trừ một hàng. Ví dụ, hãy xem xét ma trận . Trong ma trận này, ba hàng cuối cùng tỷ lệ thuận với nhau, vì vậy chỉ cần để lại một trong số chúng là đủ: .

3) Nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ. Tất nhiên là tôi sẽ không vẽ, đường số 0 là đường trong đó tất cả số không.

4) Hàng ma trận có thể là nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác không. Hãy xem xét, ví dụ, ma trận. Ở đây nên chia dòng đầu tiên cho –3 và nhân dòng thứ hai với 2: . Hành động này rất hữu ích vì nó đơn giản hóa các phép biến đổi tiếp theo của ma trận.

5) Sự chuyển đổi này gây ra nhiều khó khăn nhất nhưng thực tế cũng không có gì phức tạp cả. Đối với một hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0. Hãy xem ma trận của chúng ta từ một ví dụ thực tế: . Đầu tiên tôi sẽ mô tả sự chuyển đổi một cách chi tiết. Nhân dòng đầu tiên với –2: , Và ở dòng thứ hai chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –2: . Bây giờ dòng đầu tiên có thể được chia “trở lại” cho –2: . Như bạn có thể thấy, dòng được THÊM LI – vẫn chưa thay đổi. Luôn luôn dòng TO WHICH IS ADDED thay đổi UT.

Tất nhiên, trong thực tế, họ không viết chi tiết như vậy mà viết ngắn gọn: Một lần nữa: đến dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Một dòng thường được nhân lên bằng miệng hoặc bằng bản nháp, với quá trình tính nhẩm sẽ diễn ra như thế này:

“Tôi viết lại ma trận và viết lại dòng đầu tiên: »

"Cột đầu tiên. Ở phía dưới tôi cần lấy số không. Do đó, tôi nhân số ở trên cùng với –2: , và cộng số đầu tiên vào dòng thứ hai: 2 + (–2) = 0. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Bây giờ là cột thứ hai. Ở trên cùng, tôi nhân -1 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: 1 + 2 = 3. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Và cột thứ ba. Ở trên cùng tôi nhân -5 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: –7 + 10 = 3. Tôi viết kết quả ở dòng thứ hai: »

Hãy hiểu kỹ ví dụ này và hiểu thuật toán tính toán tuần tự, nếu bạn hiểu điều này thì phương pháp Gaussian thực tế nằm trong túi của bạn. Nhưng tất nhiên, chúng tôi vẫn sẽ tiếp tục thực hiện sự chuyển đổi này.

Các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình

! CHÚ Ý: được coi là thao túng không thể sử dụng, nếu bạn được giao một nhiệm vụ trong đó các ma trận được đưa ra “tự chúng”. Ví dụ: với “cổ điển” các phép toán với ma trận Trong mọi trường hợp, bạn không nên sắp xếp lại bất cứ thứ gì bên trong ma trận! Hãy quay trở lại hệ thống của chúng tôi. Nó gần như bị xé thành từng mảnh.

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để rút gọn nó thành chế độ xem từng bước:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Và một lần nữa: tại sao chúng ta nhân dòng đầu tiên với –2? Để có số 0 ở cuối, có nghĩa là loại bỏ một biến ở dòng thứ hai.

(2) Chia dòng thứ hai cho 3.

Mục đích của các phép biến đổi cơ bản – giảm ma trận về dạng từng bước: . Khi thiết kế nhiệm vụ, các em chỉ cần đánh dấu các “cầu thang” bằng bút chì đơn giản, đồng thời khoanh tròn các số nằm trên “bậc thang”. Bản thân thuật ngữ “quan điểm từng bước” không hoàn toàn mang tính lý thuyết; trong tài liệu khoa học và giáo dục nó thường được gọi là góc nhìn hình thang hoặc chế độ xem hình tam giác.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta thu được tương đương hệ phương trình ban đầu:

Bây giờ hệ thống cần được “tháo cuộn” theo hướng ngược lại - từ dưới lên trên, quá trình này được gọi là nghịch đảo của phương pháp Gaussian.

Trong phương trình dưới, chúng ta đã có sẵn một kết quả: .

Hãy xem xét phương trình đầu tiên của hệ thống và thay thế giá trị đã biết của “y” vào nó:

Hãy xem xét tình huống phổ biến nhất, khi phương pháp Gaussian yêu cầu giải một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số.

ví dụ 1

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống:

Bây giờ tôi sẽ rút ra ngay kết quả mà chúng ta sẽ đạt được trong quá trình giải: Và tôi nhắc lại, mục tiêu của chúng ta là đưa ma trận về dạng từng bước bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Bắt đầu từ đâu?

Đầu tiên, hãy nhìn vào số trên cùng bên trái: Đáng lẽ phải luôn ở đây đơn vị. Nói chung, –1 (và đôi khi các số khác) sẽ phù hợp, nhưng bằng cách nào đó, theo truyền thống, số 1 thường được đặt ở đó. Tổ chức đơn vị như thế nào? Chúng tôi nhìn vào cột đầu tiên - chúng tôi có một đơn vị đã hoàn thành! Chuyển đổi thứ nhất: hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba:

Bây giờ dòng đầu tiên sẽ không thay đổi cho đến khi kết thúc giải pháp. Bây giờ tốt.

Đơn vị ở góc trên bên trái được tổ chức. Bây giờ bạn cần lấy số không ở những nơi này:

Chúng ta nhận được số không bằng cách sử dụng một phép biến đổi “khó”. Đầu tiên chúng ta xử lý dòng thứ hai (2, –1, 3, 13). Cần phải làm gì để có được số 0 ở vị trí đầu tiên? Cần phải vào dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –2: (–2, –4, 2, –18). Và chúng tôi liên tục thực hiện phép cộng (trong đầu hoặc trong bản nháp), vào dòng thứ hai, chúng tôi thêm dòng đầu tiên, đã nhân với –2:

Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ hai:

Chúng ta xử lý dòng thứ ba theo cách tương tự (3, 2, –5, –1). Để có được số 0 ở vị trí đầu tiên, bạn cần vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –3: (–3, –6, 3, –27). VÀ đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –3:

Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ ba:

Trong thực tế, những hành động này thường được thực hiện bằng miệng và viết ra trong một bước:

Không cần phải đếm mọi thứ cùng một lúc và cùng một lúc. Thứ tự tính toán và “ghi” kết quả nhất quán và thường thì nó như thế này: đầu tiên chúng ta viết lại dòng đầu tiên và từ từ tự thổi phồng lên - MỘT CÁCH NHẤT ĐỊNH và CHĂM SÓC:
Và tôi đã thảo luận về quá trình tính toán tinh thần ở trên.

Trong ví dụ này, điều này rất dễ thực hiện; chúng ta chia dòng thứ hai cho –5 (vì tất cả các số ở đó đều chia hết cho 5 mà không có phần dư). Đồng thời, chúng ta chia dòng thứ ba cho –2, vì số càng nhỏ thì lời giải càng đơn giản:

Ở giai đoạn cuối cùng của các phép biến đổi cơ bản, bạn cần lấy một số 0 khác ở đây:

Vì điều này đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –2:
Hãy cố gắng tự mình tìm ra hành động này - nhân dòng thứ hai với –2 và thực hiện phép cộng.

Hành động cuối cùng được thực hiện là kiểu tóc của kết quả, chia dòng thứ ba cho 3.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, thu được hệ phương trình tuyến tính tương đương: Mát mẻ.

Bây giờ mặt trái của phương pháp Gaussian được áp dụng. Các phương trình “thư giãn” từ dưới lên trên.

Trong phương trình thứ ba, chúng ta đã có sẵn kết quả:

Hãy xét phương trình thứ hai: . Ý nghĩa của "zet" đã được biết đến, do đó:

Và cuối cùng, phương trình đầu tiên: . “Igrek” và “zet” đều được biết đến, đó chỉ là vấn đề nhỏ nhặt:

Trả lời:

Như đã được lưu ý nhiều lần, đối với bất kỳ hệ phương trình nào, việc kiểm tra nghiệm tìm được là có thể và cần thiết, may mắn thay, việc này rất dễ dàng và nhanh chóng.

Ví dụ 2

Đây là ví dụ cho một giải pháp độc lập, mẫu của thiết kế cuối cùng và câu trả lời ở cuối bài học.

Cần lưu ý rằng tiến độ của quyết định có thể không trùng với quá trình ra quyết định của tôi, và đây là một đặc điểm của phương pháp Gauss. Nhưng câu trả lời phải giống nhau!

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Tôi đã làm điều này: (1) Dòng đầu tiên thêm dòng thứ hai nhân với –1. Nghĩa là, chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một động tác bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).

(2) Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ 2. Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ 3.

(3) Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Ký hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, để ở “bước” thứ hai chúng ta có đơn vị cần thiết.

(4) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 2.

(5) Dòng thứ ba chia cho 3.

Một dấu hiệu xấu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó như , bên dưới, và theo đó, , thì với xác suất cao, chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình biến đổi cơ bản.

Chúng tôi tính ngược lại, khi thiết kế các ví dụ, họ thường không viết lại chính hệ thống mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn, nét ngược lại hoạt động từ dưới lên trên. Vâng, đây là một món quà:

Trả lời: .

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, nó có phần phức tạp hơn. Không sao nếu ai đó bối rối. Giải pháp đầy đủ và thiết kế mẫu ở cuối bài học. Giải pháp của bạn có thể khác với giải pháp của tôi.

Trong phần cuối chúng ta sẽ xem xét một số tính năng của thuật toán Gaussian. Đặc điểm đầu tiên là đôi khi một số biến bị thiếu trong các phương trình của hệ thống, ví dụ: Làm thế nào để viết chính xác ma trận hệ thống mở rộng? Tôi đã nói về điểm này trong lớp. Quy tắc Cramer. Phương pháp ma trận. Trong ma trận mở rộng của hệ thống, chúng ta đặt các số 0 thay cho các biến bị thiếu: Nhân tiện, đây là một ví dụ khá dễ dàng, vì cột đầu tiên đã có một số 0 và có ít phép biến đổi cơ bản hơn để thực hiện.

Tính năng thứ hai là thế này. Trong tất cả các ví dụ được xem xét, chúng tôi đặt –1 hoặc +1 cho “bậc thang”. Có thể có những con số khác ở đó? Trong một số trường hợp họ có thể. Hãy xem xét hệ thống: .

Ở đây ở “bậc thang” phía trên bên trái, chúng ta có hai. Nhưng chúng tôi nhận thấy thực tế là tất cả các số trong cột đầu tiên đều chia hết cho 2 mà không có phần dư - và số còn lại là hai và sáu. Và hai cái ở trên cùng bên trái sẽ phù hợp với chúng ta! Ở bước đầu tiên, bạn cần thực hiện các phép biến đổi sau: thêm dòng đầu tiên nhân với –1 vào dòng thứ hai; vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Bằng cách này, chúng ta sẽ nhận được các số 0 cần thiết trong cột đầu tiên.

Hoặc một ví dụ thông thường khác: . Ở đây, ba ở “bước” thứ hai cũng phù hợp với chúng ta, vì 12 (nơi chúng ta cần lấy số 0) chia hết cho 3 mà không có số dư. Cần phải thực hiện phép biến đổi sau: thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với –4, kết quả là chúng ta sẽ thu được số 0 mà chúng ta cần.

Phương pháp của Gauss là phổ quát, nhưng có một điểm đặc biệt. Bạn có thể tự tin học cách giải các hệ thống bằng các phương pháp khác (phương pháp Cramer, phương pháp ma trận) ngay lần đầu tiên - chúng có thuật toán rất nghiêm ngặt. Nhưng để cảm thấy tự tin với phương pháp Gaussian, bạn nên “bắt tay vào nghề” và giải ít nhất 5-10 hệ mười. Vì vậy, lúc đầu có thể có sự nhầm lẫn và sai sót trong tính toán, và điều này không có gì bất thường hay bi thảm.

Ngoài cửa sổ mưa thu mùa thu.... Do đó, dành cho những ai muốn có một ví dụ phức tạp hơn để tự mình giải quyết:

Ví dụ 5

Giải hệ 4 phương trình tuyến tính với 4 ẩn bằng phương pháp Gauss.

Một nhiệm vụ như vậy không quá hiếm trong thực tế. Tôi nghĩ ngay cả một ấm trà đã nghiên cứu kỹ lưỡng trang này cũng sẽ hiểu được thuật toán giải hệ thống như vậy một cách trực quan. Về cơ bản, mọi thứ đều giống nhau - chỉ có nhiều hành động hơn.

Các trường hợp hệ không có nghiệm (không nhất quán) hoặc có vô số nghiệm được thảo luận trong bài Hệ thống không tương thích và hệ thống có giải pháp chung. Ở đó bạn có thể sửa thuật toán được xem xét của phương pháp Gaussian.

Chúc các bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Giải pháp : Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước.
Các phép biến đổi cơ bản được thực hiện: (1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1. Chú ý! Ở đây bạn có thể muốn trừ dòng đầu tiên khỏi dòng thứ ba; tôi thực sự khuyên bạn không nên trừ nó - nguy cơ sai sót sẽ tăng lên rất nhiều. Chỉ cần gấp nó lại! (2) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ hai và thứ ba đã được hoán đổi cho nhau. ghi chú , rằng trên các “bước”, chúng tôi hài lòng không chỉ với một mà còn với –1, điều này thậm chí còn thuận tiện hơn. (3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 5. (4) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ ba được chia cho 14.

Đảo ngược:

Trả lời : .

Ví dụ 4: Giải pháp : Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chuyển đổi được thực hiện: (1) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên. Do đó, đơn vị mong muốn được sắp xếp ở “bậc thang” phía trên bên trái. (2) Dòng đầu tiên nhân với 7 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 6 được thêm vào dòng thứ ba.

Với “bước” thứ hai, mọi thứ trở nên tồi tệ hơn , “ứng cử viên” cho nó là các số 17 và 23, và chúng ta cần một hoặc –1. Các phép biến đổi (3) và (4) sẽ nhằm mục đích đạt được đơn vị mong muốn (3) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1. (4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3. Mục yêu cầu ở bước thứ hai đã được nhận. . (5) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 6. (6) Dòng thứ hai nhân với –1, dòng thứ ba chia cho -83.

Đảo ngược:

Trả lời :

Ví dụ 5: Giải pháp : Chúng ta hãy viết ma trận của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chuyển đổi được thực hiện: (1) Dòng đầu tiên và dòng thứ hai đã được hoán đổi cho nhau. (2) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ tư, nhân với –3. (3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba nhân với 4. Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ tư nhân với –1. (4) Dấu của dòng thứ hai đã được thay đổi. Dòng thứ tư được chia cho 3 và đặt ở vị trí của dòng thứ ba. (5) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ tư, nhân với –5.

Đảo ngược:

Trả lời :

Cho hệ phương trình đại số tuyến tính cần giải (tìm các giá trị ẩn số xi để biến mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức).

Chúng ta biết rằng một hệ phương trình đại số tuyến tính có thể:

1) Không có giải pháp (được không khớp).
2) Có vô số nghiệm.
3) Có một giải pháp duy nhất.

Như chúng ta đã nhớ, quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ thống có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm nghiệm cho bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, cái mà trong mọi trường hợp sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Bản thân thuật toán của phương pháp hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến ​​thức về định thức, thì để áp dụng phương pháp Gauss, bạn chỉ cần kiến ​​thức về các phép tính số học, điều này khiến ngay cả học sinh tiểu học cũng có thể tiếp cận được.

Các phép biến đổi ma trận tăng cường ( đây là ma trận của hệ thống - một ma trận chỉ bao gồm các hệ số của ẩn số, cộng với một cột các thuật ngữ tự do) hệ phương trình đại số tuyến tính trong phương pháp Gauss:

1) Với troki ma trận Có thể sắp xếp lạiở một số nơi.

2) nếu các hàng tỷ lệ (trong trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) xuất hiện (hoặc tồn tại) trong ma trận, thì bạn nên xóa bỏ Tất cả các hàng này đều từ ma trận ngoại trừ một hàng.

3) nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ.

4) một hàng của ma trận có thể nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác 0.

5) vào một hàng của ma trận bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0.

Trong phương pháp Gauss, các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình.

Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn:

1. “Di chuyển trực tiếp” - sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính về dạng bước “tam giác”: các phần tử của ma trận mở rộng nằm dưới đường chéo chính bằng 0 (di chuyển từ trên xuống). Ví dụ: với loại này:

Để thực hiện việc này, hãy thực hiện các bước sau:

1) Xét phương trình thứ nhất của hệ phương trình đại số tuyến tính và hệ số của x 1 bằng K. Phương trình thứ hai, thứ ba, v.v. chúng ta biến đổi các phương trình như sau: chúng ta chia mỗi phương trình (các hệ số của ẩn số, bao gồm cả số hạng tự do) cho hệ số của ẩn số x 1 trong mỗi phương trình và nhân với K. Sau đó, chúng ta trừ đi phương trình thứ nhất từ ​​phương trình thứ hai ( hệ số ẩn số và số hạng tự do). Đối với x 1 trong phương trình thứ hai, chúng ta thu được hệ số 0. Từ phương trình biến đổi thứ ba, chúng ta trừ phương trình thứ nhất cho đến khi tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình thứ nhất, đối với x 1 chưa biết, có hệ số 0.

2) Hãy chuyển sang phương trình tiếp theo. Gọi đây là phương trình thứ hai và hệ số của x 2 bằng M. Chúng ta tiến hành với tất cả các phương trình “thấp hơn” như mô tả ở trên. Do đó, “dưới” ẩn số x 2 sẽ có số 0 trong mọi phương trình.

3) Chuyển sang phương trình tiếp theo, v.v. cho đến phương trình cuối cùng chưa biết và số hạng tự do đã biến đổi vẫn còn.

1. “Bước đi ngược lại” của phương pháp Gauss là thu được nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (bước đi “từ dưới lên”). Từ phương trình “thấp hơn” cuối cùng, chúng ta thu được một nghiệm đầu tiên - ẩn số x n. Để làm điều này, chúng ta giải phương trình cơ bản A * x n = B. Trong ví dụ đã cho ở trên, x 3 = 4. Chúng ta thay giá trị tìm được vào phương trình tiếp theo “trên” và giải nó theo ẩn số tiếp theo. Ví dụ: x 2 – 4 = 1, tức là x 2 = 5. Cứ như vậy cho đến khi tìm được tất cả những ẩn số.

Ví dụ.

Hãy giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, như một số tác giả khuyên:

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Làm thôi nào:
1 bước . Dòng đầu tiên chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –1. Nghĩa là, chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một hành động bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).

Bước 2 . Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ ba.

Bước 3 . Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Ký hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, để ở “bước” thứ hai chúng ta có đơn vị cần thiết.

Bước 4 . Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với 2.

Bước 5 . Dòng thứ ba được chia cho 3.

Dấu hiệu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng "xấu". Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó giống như (0 0 11 |23) bên dưới và theo đó, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, thì với khả năng cao là chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình học tiểu học. những biến đổi.

Hãy làm ngược lại, khi thiết kế các ví dụ, bản thân hệ thống thường không được viết lại mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn rằng động thái ngược lại được thực hiện từ dưới lên. Trong ví dụ này, kết quả là một món quà:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, do đó x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Trả lời:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Hãy giải quyết hệ thống tương tự bằng thuật toán được đề xuất. Chúng tôi nhận được

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Chia phương trình thứ hai cho 5 và phương trình thứ ba cho 3. Chúng ta nhận được:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Nhân phương trình thứ hai và thứ ba với 4, ta được:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai và thứ ba, ta có:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Chia phương trình thứ ba cho 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Nhân phương trình thứ ba với 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ ba, chúng ta thu được ma trận mở rộng “bậc thang”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Do đó, do sai số tích lũy trong quá trình tính toán nên chúng ta thu được x 3 = 0,96 hoặc xấp xỉ 1.

x 2 = 3 và x 1 = –1.

Bằng cách giải theo cách này, bạn sẽ không bao giờ bị nhầm lẫn trong các phép tính và dù có sai số tính toán nhưng bạn sẽ nhận được kết quả.

Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính này dễ lập trình và không tính đến đặc điểm cụ thể của các hệ số đối với ẩn số, vì trong thực tế (trong tính toán kinh tế và kỹ thuật) người ta phải xử lý các hệ số không nguyên.

Chúc các bạn thành công! Hẹn gặp bạn ở lớp! Gia sư.

blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.

Trong bài viết này, phương pháp này được coi là phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính (SLAEs). Phương pháp này mang tính phân tích, nghĩa là nó cho phép bạn viết thuật toán giải ở dạng tổng quát, sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những phương trình có vô số nghiệm. Hoặc họ không có nó chút nào.

Việc giải quyết bằng phương pháp Gaussian có ý nghĩa gì?

Đầu tiên, chúng ta cần viết hệ phương trình của mình dưới dạng Nó trông như thế này. Lấy hệ thống:

Các hệ số được viết dưới dạng bảng và các thuật ngữ tự do được viết trong một cột riêng bên phải. Cột có các thuật ngữ tự do được tách ra để thuận tiện, ma trận chứa cột này được gọi là mở rộng.

Tiếp theo, ma trận chính với các hệ số phải được rút gọn về dạng tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông sao cho phần dưới bên trái của nó chỉ chứa các số 0:

Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng hàng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các nghiệm, sau đó được thay thế vào phương trình trên, một nghiệm khác sẽ được tìm thấy, v.v.

Đây là mô tả lời giải bằng phương pháp Gaussian một cách tổng quát nhất. Điều gì xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có lời giải? Hoặc có vô số trong số họ? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng để giải phương pháp Gaussian.

Ma trận, tính chất của chúng

Không có ý nghĩa ẩn trong ma trận. Đây chỉ đơn giản là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động tiếp theo với nó. Ngay cả học sinh cũng không cần phải sợ chúng.

Ma trận luôn có hình chữ nhật, vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mọi thứ đều bắt nguồn từ việc xây dựng một ma trận có dạng tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ có số 0 ở nơi không có số. Số không có thể không được viết ra, nhưng chúng được ngụ ý.

Ma trận có kích thước. “Chiều rộng” của nó là số hàng (m), “chiều dài” là số cột (n). Khi đó kích thước của ma trận A (chữ Latin viết hoa thường được dùng để biểu thị chúng) sẽ được ký hiệu là A m×n. Nếu m=n thì ma trận này là hình vuông và m=n là thứ tự của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A đều có thể được ký hiệu bằng số hàng và số cột: a xy ; x - số hàng, thay đổi, y - số cột, thay đổi.

B không phải là điểm chính của quyết định. Về nguyên tắc, tất cả các thao tác có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, nhưng ký hiệu sẽ cồng kềnh hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều.

Bản ngã

Ma trận cũng có định thức. Đây là một đặc điểm rất quan trọng. Bây giờ không cần phải tìm hiểu ý nghĩa của nó; bạn có thể chỉ cần chỉ ra cách tính nó và sau đó cho biết nó xác định những thuộc tính nào của ma trận. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử được nhân lên và sau đó cộng các sản phẩm thu được: các đường chéo có độ dốc về bên phải - bằng dấu cộng, có độ dốc về bên trái - bằng dấu trừ.

Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho ma trận vuông. Đối với ma trận hình chữ nhật, bạn có thể làm như sau: chọn giá trị nhỏ nhất từ ​​số hàng và số cột (đặt là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử tại giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo thành một ma trận vuông mới. Nếu định thức của ma trận như vậy là số khác 0 thì gọi là ma trận cơ sở nhỏ của ma trận chữ nhật ban đầu.

Trước khi bạn bắt đầu giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaussian, việc tính định thức sẽ không có hại gì. Nếu nó bằng 0 thì chúng ta có thể nói ngay rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.

Phân loại hệ thống

Có một thứ gọi là thứ hạng của một ma trận. Đây là bậc tối đa của định thức khác 0 của nó (nếu nhớ về cơ sở thứ, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là bậc của cơ sở thứ).

Dựa vào tình hình cấp bậc, SLAE có thể được chia thành:

• Chung. bạn Trong các hệ khớp, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (có cột các số hạng tự do). Các hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một giải pháp, do đó, các hệ thống chung được chia thành:
• - chắc chắn- có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, thứ hạng của ma trận và số ẩn số (hoặc số cột giống nhau) bằng nhau;
• - không xác định - với vô số giải pháp. Thứ hạng của ma trận trong các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
• Không tương thích. bạn Trong các hệ thống như vậy, thứ hạng của ma trận chính và ma trận mở rộng không trùng nhau. Hệ thống không tương thích không có giải pháp.

Phương pháp Gauss là tốt vì trong quá trình giải, nó cho phép người ta thu được một bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (không tính định thức của ma trận lớn) hoặc một giải pháp ở dạng tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm.

Các phép biến đổi cơ bản

Trước khi trực tiếp giải hệ, bạn có thể làm cho nó bớt cồng kềnh và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua các phép biến đổi cơ bản - sao cho việc thực hiện chúng không làm thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản đã cho chỉ có giá trị đối với ma trận có nguồn gốc là SLAE. Dưới đây là danh sách các chuyển đổi này:

1. Sắp xếp lại các dòng. Rõ ràng, nếu bạn thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, điều này sẽ không ảnh hưởng gì đến lời giải. Do đó, các hàng trong ma trận của hệ thống này cũng có thể được hoán đổi, tất nhiên không quên cột các số hạng tự do.
2. Nhân tất cả các phần tử của chuỗi với một hệ số nhất định. Rất hữu ích! Nó có thể được sử dụng để giảm số lượng lớn trong ma trận hoặc loại bỏ số không. Nhiều quyết định, như thường lệ, sẽ không thay đổi, nhưng các hoạt động tiếp theo sẽ trở nên thuận tiện hơn. Điều chính là hệ số không bằng 0.
3. Loại bỏ các hàng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong một ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân/chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc, một lần nữa, nhiều hơn) các hàng hoàn toàn giống nhau và các hàng thừa có thể bị loại bỏ, để lại chỉ một.
4. Xóa một dòng null. Nếu trong quá trình chuyển đổi, một hàng thu được ở đâu đó trong đó tất cả các phần tử, bao gồm cả phần tử tự do, đều bằng 0, thì hàng đó có thể được gọi là 0 và bị loại khỏi ma trận.
5. Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (trong các cột tương ứng), nhân với một hệ số nhất định. Sự chuyển đổi không rõ ràng nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó đáng để xem xét nó chi tiết hơn.

Thêm một chuỗi nhân với một hệ số

Để dễ hiểu, cần chia nhỏ quá trình này ra từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Giả sử bạn cần cộng số thứ nhất với số thứ hai, nhân với hệ số "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Sau đó, hàng thứ hai trong ma trận được thay thế bằng hàng mới và hàng đầu tiên không thay đổi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách sao cho khi cộng hai hàng, một trong các phần tử của hàng mới bằng 0. Do đó, có thể thu được một phương trình trong một hệ trong đó sẽ có ít phương trình chưa biết hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì thao tác có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình chứa ít hơn hai ẩn số. Và nếu mỗi lần bạn biến một hệ số của tất cả các hàng nằm dưới hàng ban đầu thành 0, thì bạn có thể, giống như cầu thang, đi xuống cuối ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Điều này được gọi là giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.

Nói chung

Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó như sau:

Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột các thuật ngữ tự do được thêm vào ma trận mở rộng và để thuận tiện, được phân tách bằng một dòng.

• hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k = (-a 21 /a 11);
• hàng sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
• thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
• bây giờ hệ số đầu tiên ở hàng thứ hai mới là a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Bây giờ, một loạt các phép biến đổi tương tự được thực hiện, chỉ liên quan đến hàng thứ nhất và thứ ba. Theo đó, ở mỗi bước của thuật toán, phần tử a 21 được thay thế bằng phần tử 31. Sau đó mọi thứ được lặp lại cho 41, ... a m1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng bằng 0. Bây giờ bạn cần quên dòng số một và thực hiện thuật toán tương tự, bắt đầu từ dòng hai:

• hệ số k = (-a 32 /a 22);
• dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng “hiện tại”;
• kết quả của phép cộng được thay thế vào dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và dòng thứ hai không thay đổi;
• trong các hàng của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng 0.

Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi xuất hiện hệ số k = (-a m,m-1 /a mm). Điều này có nghĩa là lần cuối cùng thuật toán được thực thi chỉ dành cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có dạng bậc thang. Ở dòng dưới cùng có đẳng thức a mn × x n = b m. Hệ số và số hạng tự do đã biết và nghiệm được biểu thị qua chúng: x n = b m /a mn. Căn kết quả được thay thế vào dòng trên cùng để tìm x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))->a m-1,n-1. Và cứ thế tương tự: trong mỗi dòng tiếp theo có một gốc mới, và khi đạt đến “đỉnh” của hệ thống, bạn có thể tìm thấy nhiều giải pháp. Nó sẽ là duy nhất.

Khi không có giải pháp

Nếu ở một trong các hàng của ma trận, tất cả các phần tử ngoại trừ số hạng tự do đều bằng 0 thì phương trình tương ứng với hàng này có dạng 0 = b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ nên tập nghiệm của toàn hệ là rỗng, tức là nó suy biến.

Khi có vô số giải pháp

Có thể xảy ra trường hợp trong ma trận tam giác đã cho không có hàng nào có một phần tử hệ số của phương trình và một số hạng tự do. Chỉ có những dòng mà khi viết lại sẽ giống như một phương trình có hai biến trở lên. Điều này có nghĩa là hệ có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm nó?

Tất cả các biến trong ma trận được chia thành cơ bản và miễn phí. Những cái cơ bản là những cái đứng “trên rìa” của các hàng trong ma trận bước. Phần còn lại là miễn phí. Trong lời giải tổng quát, các biến cơ bản được viết thông qua các biến tự do.

Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành hệ phương trình. Sau đó, ở phần cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mọi phương trình có một biến cơ bản. Sau đó, trong các phương trình còn lại, nếu có thể, biểu thức thu được của nó sẽ được thay thế thay cho biến cơ bản. Nếu kết quả lại là một biểu thức chỉ chứa một biến cơ bản, thì nó lại được biểu thị từ đó, v.v., cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng biểu thức với các biến tự do. Đây là giải pháp chung của SLAE.

Bạn cũng có thể tìm giải pháp cơ bản của hệ thống - cung cấp cho các biến miễn phí bất kỳ giá trị nào, sau đó trong trường hợp cụ thể này, hãy tính giá trị của các biến cơ bản. Có vô số giải pháp cụ thể có thể được đưa ra.

Giải bằng ví dụ cụ thể

Đây là một hệ phương trình.

Để thuận tiện, tốt hơn là tạo ngay ma trận của nó

Được biết, khi giải bằng phương pháp Gaussian, phương trình tương ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận nhỏ nhất - khi đó phần tử đầu tiên của các hàng còn lại sau các phép toán sẽ chuyển về 0. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ thuận lợi hơn nếu đặt hàng thứ hai thay cho hàng đầu tiên.

dòng thứ hai: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

dòng thứ ba: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, bạn cần viết ra một ma trận với các kết quả trung gian của các phép biến đổi.

Rõ ràng, một ma trận như vậy có thể được tạo ra thuận tiện hơn cho việc nhận thức bằng cách sử dụng một số thao tác nhất định. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả “điểm trừ” khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với “-1”.

Điều đáng chú ý là ở dòng thứ ba, tất cả các phần tử đều là bội số của ba. Sau đó, bạn có thể rút ngắn chuỗi theo số này, nhân từng phần tử với "-1/3" (trừ - đồng thời, để loại bỏ các giá trị âm).

Trông đẹp hơn nhiều. Bây giờ chúng ta cần để nguyên dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là cộng dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a 32 bằng 0.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (nếu trong một số phép biến đổi, câu trả lời không phải là số nguyên, thì nên duy trì độ chính xác của các phép tính để lại nó “nguyên trạng”, ở dạng phân số thông thường và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, mới quyết định có làm tròn và chuyển sang dạng ghi khác hay không)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Ma trận được viết lại với các giá trị mới.

Như bạn có thể thấy, ma trận kết quả đã có dạng bậc thang. Do đó, không cần phải chuyển đổi thêm hệ thống bằng phương pháp Gaussian. Những gì bạn có thể làm ở đây là loại bỏ hệ số tổng thể "-1/7" khỏi dòng thứ ba.

Bây giờ mọi thứ đều đẹp. Tất cả những gì còn lại phải làm là viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính nghiệm

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Thuật toán tìm được nghiệm bây giờ được gọi là bước đi ngược lại trong phương pháp Gaussian. Phương trình (3) chứa giá trị z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Và phương trình đầu tiên cho phép chúng ta tìm x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Chúng ta có quyền gọi một hệ thống như vậy là chung, và thậm chí là xác định, tức là có một giải pháp duy nhất. Câu trả lời được viết dưới dạng sau:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Ví dụ về hệ thống không chắc chắn

Phương án giải một hệ nào đó bằng phương pháp Gauss đã được phân tích, bây giờ cần xét trường hợp nếu hệ đó không chắc chắn, tức là có thể tìm được vô số nghiệm cho nó.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sự xuất hiện của hệ thống đã đáng báo động, bởi vì số lượng ẩn số là n = 5 và thứ hạng của ma trận hệ thống chính xác là nhỏ hơn con số này, bởi vì số lượng hàng là m = 4, nghĩa là bậc lớn nhất của bình phương định thức là 4. Điều này có nghĩa là có vô số nghiệm và bạn cần tìm hình thức tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính cho phép bạn thực hiện điều này.

Đầu tiên, như thường lệ, một ma trận mở rộng được biên dịch.

Dòng thứ hai: hệ số k = (-a 21 /a 11) = -3. Ở dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến đổi nên bạn không cần chạm vào bất cứ thứ gì mà chỉ cần để nguyên. Dòng thứ tư: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Bằng cách nhân lần lượt các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng cần tìm, chúng ta thu được ma trận có dạng sau:

Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư nhìn chung giống hệt nhau, vì vậy một trong số chúng có thể bị loại bỏ ngay lập tức và dòng còn lại có thể được nhân với hệ số “-1” và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, trong hai dòng giống hệt nhau, hãy để lại một dòng.

Kết quả là một ma trận như thế này. Mặc dù hệ thống vẫn chưa được viết ra, nhưng cần phải xác định các biến cơ bản ở đây - những biến đứng ở hệ số a 11 = 1 và a 22 = 1, và các biến tự do - tất cả những biến còn lại.

Trong phương trình thứ hai chỉ có một biến cơ bản - x 2. Điều này có nghĩa là nó có thể được biểu diễn từ đó bằng cách viết nó thông qua các biến x 3 , x 4 , x 5 , là các biến tự do.

Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.

Kết quả là một phương trình trong đó biến cơ bản duy nhất là x 1 . Hãy làm tương tự với nó như với x 2.

Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai biến, được biểu diễn dưới dạng ba biến tự do; bây giờ chúng ta có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát.

Bạn cũng có thể chỉ định một trong những giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, số 0 thường được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Khi đó câu trả lời sẽ là:

16, 23, 0, 0, 0.

Ví dụ về hệ thống không hợp tác

Giải các hệ phương trình không tương thích bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay lập tức khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là công đoạn tính toán gốc khá dài và tẻ nhạt đã được loại bỏ. Hệ thống sau đây được xem xét:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Như thường lệ, ma trận được biên dịch:

Và nó được rút gọn thành dạng từng bước:

k 1 = -2k 2 = -4

Sau phép biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa phương trình có dạng

không có giải pháp. Do đó, hệ thống không nhất quán và đáp án sẽ là tập rỗng.

Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp

Nếu bạn chọn phương pháp giải SLAE trên giấy bằng bút thì phương pháp được thảo luận trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Việc nhầm lẫn trong các phép biến đổi cơ bản sẽ khó hơn nhiều so với việc bạn phải tìm kiếm định thức hoặc ma trận nghịch đảo phức tạp nào đó theo cách thủ công. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với loại dữ liệu này, chẳng hạn như bảng tính, thì hóa ra các chương trình đó đã chứa các thuật toán để tính các tham số chính của ma trận - định thức, hàm phụ, nghịch đảo, v.v. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc lỗi, thì nên sử dụng phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, vì ứng dụng của chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính các định thức và ma trận nghịch đảo .

Ứng dụng

Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và ma trận thực chất là một mảng hai chiều nên nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự coi mình là hướng dẫn “dành cho người mới bắt đầu”, nên phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để áp dụng phương pháp này là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và để thực hiện các thao tác với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước!), nhân với một số, nhân ma trận (cũng có một số hạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và ma trận chuyển vị và quan trọng nhất là , tính định thức. Nếu nhiệm vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì có thể xác định thứ hạng của ma trận nhanh hơn nhiều và do đó thiết lập tính tương thích hoặc không tương thích của nó.