የ Gaussian ዘዴን እንዴት ማረጋገጥ እንደሚቻል. የ Gaussian ዘዴ ተቃራኒ

የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት በጣም ቀላሉ መንገዶች አንዱ በወሳኞች ስሌት ላይ የተመሠረተ ዘዴ ነው ( የክሬመር አገዛዝ). የእሱ ጥቅም መፍትሔውን ወዲያውኑ እንዲመዘግቡ ይፈቅድልዎታል, በተለይም የስርዓቱ መመዘኛዎች ቁጥሮች ካልሆኑ, ግን አንዳንድ መመዘኛዎች ናቸው. የእሱ ጉዳቱ ብዙ ቁጥር ያላቸው እኩልታዎች በሚኖሩበት ጊዜ የስሌቶች አስቸጋሪነት ነው ፣ በተጨማሪም ፣ የ Cramer ደንብ የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁት ብዛት ጋር የማይጣጣምባቸው ስርዓቶች ላይ በቀጥታ ተፈጻሚነት የለውም። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል Gaussian ዘዴ.

ተመሳሳይ የመፍትሄዎች ስብስብ ያላቸው የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ተጠርተዋል ተመጣጣኝ. ምንም አይነት እኩልታዎች ከተቀያየሩ ወይም ከአንዱ እኩልታዎች ውስጥ አንዱ በሆነ ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ቢባዛ ወይም አንድ እኩልታ ወደሌላው ከተጨመረ የመስመራዊ ስርዓት የመፍትሄዎች ስብስብ አይለወጥም።

Gauss ዘዴ (የማያውቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ) በኤሌሜንታሪ ትራንስፎርሜሽን እገዛ ስርዓቱ ወደ አንድ የእርምጃ አይነት ተመጣጣኝ ስርዓት ይቀንሳል። በመጀመሪያ, 1 ኛ እኩልታን በመጠቀም, እናስወግዳለን xከሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች 1. ከዚያም, 2 ኛውን እኩልታ በመጠቀም, እናስወግዳለን x 2 ከ 3 ኛ እና ሁሉም ተከታይ እኩልታዎች. ይህ ሂደት, ይባላል ቀጥተኛ Gaussian ዘዴበመጨረሻው እኩልታ በግራ በኩል አንድ የማይታወቅ አንድ ብቻ እስኪቀር ድረስ ይቀጥላል x n. ከዚህ በኋላ ይከናወናል የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ- የመጨረሻውን እኩልታ መፍታት, እናገኛለን x n; ከዚያ በኋላ, ይህንን እሴት በመጠቀም, ከምንሰላው የፔንታል እኩልታ x n-1, ወዘተ. የመጨረሻውን እናገኛለን x 1 ከመጀመሪያው እኩልታ.

ከራሳቸው እኩልታዎች ጋር ሳይሆን ከኮፊፋፊናቸው ማትሪክስ ጋር ለውጦችን በማድረግ የጋውሲያን ለውጦችን ለማካሄድ ምቹ ነው። ማትሪክስ አስቡበት፡-

ተብሎ ይጠራል የተራዘመ የስርዓቱ ማትሪክስ ፣ምክንያቱም ከስርአቱ ዋና ማትሪክስ በተጨማሪ የነጻ ቃላትን አምድ ያካትታል። የ Gaussian ዘዴ የስርአቱን የተራዘመ ማትሪክስ (!) የአንደኛ ደረጃ የረድፍ ትራንስፎርሜሽን (!) በመጠቀም የስርዓቱን ዋና ማትሪክስ ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ (ወይም አራት ማዕዘን ያልሆኑ ስርዓቶችን በተመለከተ ትራፔዞይድ ቅርጽ) በመቀነስ ላይ የተመሠረተ ነው።

ምሳሌ 5.1.የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ

መፍትሄ. የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያውን ረድፍ በመጠቀም ፣ ከዚያ በኋላ የተቀሩትን አካላት እንደገና እናስጀምራለን-

በመጀመሪያው አምድ በ 2 ኛ ፣ 3 ኛ እና 4 ኛ ረድፎች ውስጥ ዜሮዎችን እናገኛለን

አሁን ከዜሮ ጋር እኩል ለመሆን ከ 2 ኛ ረድፍ በታች ባለው በሁለተኛው አምድ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ንጥረ ነገሮች እንፈልጋለን። ይህንን ለማድረግ, ሁለተኛውን መስመር በ -4/7 ማባዛት እና ወደ 3 ኛ መስመር መጨመር ይችላሉ. ነገር ግን፣ ክፍልፋዮችን ላለማስተናገድ፣ በሁለተኛው ዓምድ 2 ኛ ረድፍ ላይ አንድ ክፍል እንፍጠር እና ብቻ።

አሁን, የሶስት ማዕዘን ማትሪክስ ለማግኘት, የ 3 ኛ ረድፍ አራተኛውን ክፍል እንደገና ማስጀመር ያስፈልግዎታል, ይህንን ለማድረግ, ሶስተኛውን ረድፍ በ 8/54 ማባዛት እና ወደ አራተኛው መጨመር ይችላሉ. ሆኖም ክፍልፋዮችን ላለማስተናገድ 3 ኛ እና 4 ኛ ረድፎችን እና 3 ኛ እና 4 ኛ አምዶችን እንለዋወጣለን እና ከዚያ በኋላ የተገለጸውን አካል እንደገና እናስጀምራለን ። ዓምዶቹን በሚያስተካክሉበት ጊዜ ተጓዳኝ ተለዋዋጮች ቦታዎችን እንደሚቀይሩ ልብ ይበሉ እና ይህ መታወስ አለበት ። ሌሎች የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ከአምዶች ጋር (በቁጥር መደመር እና ማባዛት) ሊከናወኑ አይችሉም!

የመጨረሻው ቀለል ያለ ማትሪክስ ከመጀመሪያው ጋር እኩል የሆነ የእኩልታዎች ስርዓት ጋር ይዛመዳል፡

ከዚህ በመነሳት የጋውሲያን ዘዴ ተገላቢጦሽ በመጠቀም ከአራተኛው እኩልታ እናገኛለን x 3 = -1; ከሦስተኛው x 4 = -2, ከሁለተኛው x 2 = 2 እና ከመጀመሪያው እኩልታ x 1 = 1. በማትሪክስ ቅጽ, መልሱ እንደ ተጽፏል

ጉዳዩን ተመልክተናል ስርዓቱ የተወሰነ ነው, ማለትም. አንድ መፍትሄ ብቻ ሲኖር. ስርዓቱ ወጥነት የሌለው ወይም እርግጠኛ ካልሆነ ምን እንደሚሆን እንይ።

ምሳሌ 5.2.የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ያስሱ፡-

መፍትሄ. የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንጽፋለን እና እንለውጣለን

ቀለል ያለ የእኩልታዎች ስርዓት እንጽፋለን-

እዚህ ፣ በመጨረሻው እኩልታ ውስጥ 0=4 ፣ ማለትም። ተቃርኖ በውጤቱም, ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ማለትም. እሷ የማይጣጣም. à

ምሳሌ 5.3.የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ያስሱ እና ይፍቱ፡-

መፍትሄ. የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንጽፋለን እና እንለውጣለን-

በለውጦቹ ምክንያት, የመጨረሻው መስመር ዜሮዎችን ብቻ ይይዛል. ይህ ማለት የእኩልታዎች ብዛት በአንድ ቀንሷል፡-

ስለዚህ, ከማቅለል በኋላ, ሁለት እኩልታዎች ይቀራሉ, እና አራት የማይታወቁ, ማለትም. ሁለት የማይታወቁ "ተጨማሪ". “የበለጠ” ይሁን ወይም እነሱ እንደሚሉት፣ ነጻ ተለዋዋጮች፣ ፈቃድ x 3 እና x 4 . ከዚያም

ማመን x 3 = 2ሀእና x 4 = ለ, እናገኛለን x 2 = 1–ሀእና x 1 = 2ለ–ሀ; ወይም በማትሪክስ መልክ

በዚህ መንገድ የተጻፈ መፍትሔ ይባላል አጠቃላይ, ምክንያቱም, መለኪያዎች መስጠት ሀእና ለየተለያዩ እሴቶች, ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የስርዓቱ መፍትሄዎች ሊገለጹ ይችላሉ. ሀ

ዛሬ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት የጋውስ ዘዴን እየተመለከትን ነው። የ Cramer ዘዴን በመጠቀም ተመሳሳይ SLAEዎችን ለመፍታት በቀደመው መጣጥፍ ውስጥ እነዚህ ስርዓቶች ምን እንደሆኑ ማንበብ ይችላሉ። የ Gauss ዘዴ ምንም የተለየ እውቀት አይፈልግም, ትኩረትን እና ወጥነትን ብቻ ያስፈልግዎታል. ምንም እንኳን ከሂሳብ እይታ አንጻር, የትምህርት ቤት ስልጠናን ለመተግበር በቂ ቢሆንም, ተማሪዎች ብዙውን ጊዜ ይህንን ዘዴ ለመቆጣጠር ይቸገራሉ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እነሱን ወደ ምንም ነገር ለመቀነስ እንሞክራለን!

Gauss ዘዴ

ኤም Gaussian ዘዴ- SLAE ን ለመፍታት በጣም ሁለንተናዊ ዘዴ (ከትላልቅ ስርዓቶች በስተቀር)። ቀደም ሲል ከተጠቀሰው በተለየ, አንድ ነጠላ መፍትሄ ላላቸው ስርዓቶች ብቻ ሳይሆን ወሰን የሌላቸው መፍትሄዎች ላላቸው ስርዓቶችም ተስማሚ ነው. እዚህ ሶስት ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮች አሉ.

1. ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ አለው (የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ የሚወስነው ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም);
2. ስርዓቱ ማለቂያ የሌለው መፍትሄዎች አሉት;
3. ምንም መፍትሄዎች የሉም, ስርዓቱ ተኳሃኝ አይደለም.

ስለዚህ ስርዓት አለን (አንድ መፍትሄ ይሰጠው) እና የጋውስ ዘዴን በመጠቀም ልንፈታው ነው. እንዴት እንደሚሰራ?

የጋውስ ዘዴ ሁለት ደረጃዎችን ያካትታል - ወደ ፊት እና በተቃራኒው.

የ Gaussian ዘዴ ቀጥተኛ ምት

በመጀመሪያ ፣ የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፃፍ። ይህንን ለማድረግ የነጻ አባላትን አምድ ወደ ዋናው ማትሪክስ ያክሉ።

የጋውስ ዘዴ አጠቃላይ ይዘት ይህንን ማትሪክስ ወደ ደረጃው (ወይም እነሱም እንደሚሉት፣ ባለሶስት ማዕዘን) በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ማምጣት ነው። በዚህ ቅጽ፣ በማትሪክስ ዋና ዲያግናል ስር (ወይም ከዚያ በላይ) ዜሮዎች ብቻ መሆን አለባቸው።

ምን ማድረግ ይችላሉ:

1. የማትሪክስ ረድፎችን እንደገና ማስተካከል ይችላሉ;
2. በማትሪክስ ውስጥ እኩል (ወይም ተመጣጣኝ) ረድፎች ካሉ ከአንዱ በስተቀር ሁሉንም ማስወገድ ይችላሉ;
3. ሕብረቁምፊን በማንኛውም ቁጥር ማባዛት ወይም መከፋፈል ይችላሉ (ከዜሮ በስተቀር);
4. ባዶ ረድፎች ይወገዳሉ;
5. ከዜሮ ሌላ በቁጥር የተባዛ ሕብረቁምፊ ወደ ሕብረቁምፊ ማያያዝ ይችላሉ።

የተገላቢጦሽ Gaussian ዘዴ

ስርዓቱን በዚህ መንገድ ከቀየርን በኋላ, አንድ የማይታወቅ Xn የሚታወቅ ይሆናል፣ እና የቀሩትን ያልታወቁትን ሁሉ በተገላቢጦሽ ማግኘት ይችላሉ፣ ቀድሞውንም የታወቁትን x ዎችን በስርዓቱ እኩልታዎች በመተካት እስከ መጀመሪያው ድረስ።

በይነመረቡ ሁል ጊዜ በእጅ ላይ በሚሆንበት ጊዜ የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ይችላሉ። መስመር ላይ.ወደ ኦንላይን ማስያ (calculator) ውስጥ ያሉትን ቅንጅቶች ማስገባት ብቻ ያስፈልግዎታል። ግን መቀበል አለብዎት ፣ ምሳሌው የተፈታው በኮምፒተር ፕሮግራም ሳይሆን በራስዎ አንጎል መሆኑን ማወቁ የበለጠ አስደሳች ነው።

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት የመፍታት ምሳሌ

እና አሁን - ሁሉም ነገር ግልጽ እና ለመረዳት የሚቻል እንዲሆን ምሳሌ. የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ይሰጥ እና የ Gauss ዘዴን በመጠቀም መፍታት ያስፈልግዎታል

በመጀመሪያ የተራዘመውን ማትሪክስ እንጽፋለን-

አሁን ለውጦቹን እናድርግ። የማትሪክስ ሦስት ማዕዘን ቅርፅን ማሳካት እንዳለብን እናስታውሳለን. 1ኛውን መስመር በ(3) እናባዛው ። ሁለተኛውን መስመር በ (-1) ማባዛት። 2ተኛውን መስመር ወደ 1ኛው ጨምሩ እና አግኙ፡-

ከዚያም 3ተኛውን መስመር በ (-1) ማባዛት። 3ተኛውን መስመር ወደ 2ኛው እንጨምር፡-

1ኛውን መስመር በ(6) እናባዛው ። 2ተኛውን መስመር በ(13) እናባዛው ። 2ኛውን መስመር ወደ 1ኛው እንጨምር፡-

ቮይላ - ስርዓቱ ወደ ተገቢው ቅጽ ቀርቧል. የማይታወቁትን ለማግኘት ይቀራል፡-

በዚህ ምሳሌ ውስጥ ያለው ስርዓት ልዩ መፍትሄ አለው. በተለየ መጣጥፍ ውስጥ ማለቂያ በሌለው የመፍትሄዎች ብዛት ስርዓቶችን መፍታትን እንመለከታለን። ምናልባት መጀመሪያ ላይ ማትሪክስ መቀየር የት እንደምትጀምር አታውቅም፣ ነገር ግን ከተገቢው ልምምድ በኋላ ተንጠልጣይ ትሆናለህ እና የጋውስያን ዘዴ እንደ ለውዝ በመጠቀም SLAEዎችን ትሰነጠቃለህ። እና በድንገት አንድ SLA አንድ ስንጥቅ በጣም ከባድ ነት ሆኖ ወደ ውጭ ዘወር ከሆነ, የእኛን ደራሲዎች ያነጋግሩ! በደብዳቤ ቢሮ ውስጥ ጥያቄን በመተው ይችላሉ። ማንኛውንም ችግር በጋራ እንፈታዋለን!

ይህ የመስመር ላይ ካልኩሌተር የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የመስመር እኩልታዎች (SLE) ስርዓት መፍትሄ ያገኛል። ዝርዝር መፍትሄ ተሰጥቷል። ለማስላት, የተለዋዋጮችን ቁጥር እና የእኩልታዎች ብዛት ይምረጡ. ከዚያ ውሂቡን ወደ ሴሎቹ ውስጥ ያስገቡ እና "አስላ" ቁልፍን ጠቅ ያድርጉ።

የቁጥር ውክልና፡

ከአስርዮሽ መለያየት በኋላ የቦታዎች ብዛት

×

ማስጠንቀቂያ

ሁሉንም ሕዋሳት ይጽዱ?

ዝጋ አጽዳ

የውሂብ ማስገቢያ መመሪያዎች.ቁጥሮች እንደ ኢንቲጀር ገብተዋል (ለምሳሌ፡ 487፣ 5፣ -7623፣ ወዘተ)፣ አስርዮሽ (ለምሳሌ 67.፣ 102.54፣ ወዘተ.) ወይም ክፍልፋዮች። ክፍልፋዩ በ a/b መልክ መግባት አለበት፣ ሀ እና b (b>0) ኢንቲጀር ወይም አስርዮሽ በሆነበት። ምሳሌዎች 45/5፣ 6.6/76.4፣ -7/6.7፣ ወዘተ.

Gauss ዘዴ

የጋውስ ዘዴ ከዋናው የመስመር እኩልታዎች ስርዓት (ተመጣጣኝ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም) ከዋናው ስርዓት ይልቅ ለመፍታት ቀላል ወደሆነ ስርዓት የመሸጋገር ዘዴ ነው።

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ተመጣጣኝ ለውጦች፡-

• በስርዓቱ ውስጥ ሁለት እኩልታዎችን መለዋወጥ ፣
• በሲስተሙ ውስጥ ያለውን ማንኛውንም እኩልታ ዜሮ ባልሆነ እውነተኛ ቁጥር ማባዛት ፣
• ወደ አንድ እኩልታ ማከል ሌላ እኩልታ በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቷል።

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን አስቡበት፡-

ስርዓት (1) በማትሪክስ መልክ እንፃፍ፡-

(3)

ሀ- የስርአቱ ቅንጅት ማትሪክስ ይባላል ለ- የእገዳዎች በቀኝ በኩል; x- ሊገኙ የሚችሉ ተለዋዋጮች ቬክተር. ደረጃ ይስጡ ( ሀ)=ገጽ.

ተመጣጣኝ ትራንስፎርሜሽን የስርዓተ-ፆታ ማትሪክስ እና የተራዘመ ማትሪክስ ደረጃን አይለውጥም. የስርዓቱ መፍትሄዎች ስብስብም በተመጣጣኝ ለውጦች አይለወጥም. የ Gauss ዘዴ ዋናው ነገር የቁጥሮች ማትሪክስ መቀነስ ነው ሀወደ ሰያፍ ወይም ደረጃ.

የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንገንባ፡-

በሚቀጥለው ደረጃ ሁሉንም የአምድ 2 ኤለመንቶችን ከኤለመንት በታች እናስጀምራለን. ይህ ኤለመንት ዜሮ ከሆነ፣ ይህ ረድፍ ከረድፉ በታች በተኛበት እና በሁለተኛው አምድ ውስጥ ዜሮ ያልሆነ አካል ካለው ጋር ይለዋወጣል። በመቀጠል ሁሉንም የአምድ 2 ንጥረ ነገሮች ከመሪው አካል በታች ዳግም ያስጀምሩ ሀ 22. ይህንን ለማድረግ, መስመሮችን 3, ... ጨምር. ኤምበሕብረቁምፊ 2 ተባዝቷል - ሀ 32 /ሀ 22 , ..., −ሀሜ 2/ ሀ 22, በቅደም ተከተል. የአሰራር ሂደቱን በመቀጠል, ሰያፍ ወይም ደረጃ ያለው ቅጽ ማትሪክስ እናገኛለን. የተገኘው የተራዘመ ማትሪክስ ቅጹ እንዲኖረው ያድርጉ፡

ምክንያቱም rangA= ደወልኩ።(አ|ለከዚያም የመፍትሄዎቹ ስብስብ (7) ( n-p) - ልዩነት. ስለዚህ n-pየማይታወቁ ነገሮች በዘፈቀደ ሊመረጡ ይችላሉ. ከስርዓት (7) የቀሩት ያልታወቁ ነገሮች እንደሚከተለው ይሰላሉ. ከመጨረሻው እኩልነት እንገልፃለን x p በቀሪዎቹ ተለዋዋጮች እና ወደ ቀደሙት አባባሎች ያስገቡ። በመቀጠል፣ ከምንገልጸው የፔንልቲሜት እኩልታ x p-1 በቀሪዎቹ ተለዋዋጮች እና ወደ ቀዳሚው መግለጫዎች ያስገቡ ፣ ወዘተ. የተወሰኑ ምሳሌዎችን በመጠቀም የ Gauss ዘዴን እንመልከት።

የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት የመፍታት ምሳሌዎች

ምሳሌ 1. የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ ያግኙ፡

በ እንጥቀስ ሀ ij ንጥረ ነገሮች እኔ- ኛ መስመር እና ጄኛ አምድ.

ሀአስራ አንድ . ይህንን ለማድረግ፣ መስመሮችን 2፣3 ከመስመር 1 ጋር፣ በ -2/3፣ -1/2 ተባዝቶ፣ በቅደም ተከተል፡-

የማትሪክስ ቀረጻ አይነት፡- አክስ=ለ፣ የት

በ እንጥቀስ ሀ ij ንጥረ ነገሮች እኔ- ኛ መስመር እና ጄኛ አምድ.

ከኤለመንት በታች ያለውን የማትሪክስ 1 ኛ አምድ ንጥረ ነገሮችን እናስወግድ ሀአስራ አንድ . ይህንን ለማድረግ፣ መስመሮችን 2፣3 ከመስመር 1 ጋር፣ በ -1/5፣-6/5 በማባዛት፣ በቅደም ተከተል፡-

እያንዳንዱን የማትሪክስ ረድፍ በተዛማጅ መሪ አካል እንከፍላለን (መሪ አካል ካለ)

የት x 3 , x

የላይኛውን መግለጫዎች ወደ ታችኛው ክፍል በመተካት መፍትሄውን እናገኛለን.

ከዚያም የቬክተር መፍትሄ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል.

የት x 3 , x 4 የዘፈቀደ እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው።

1. የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት

1.1 የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ጽንሰ-ሀሳብ

የእኩልታዎች ስርዓት ከበርካታ ተለዋዋጮች አንፃር በርካታ እኩልታዎችን በአንድ ጊዜ መፈጸምን ያካተተ ሁኔታ ነው። m እኩልታዎችን እና n ያልታወቁትን የያዘ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች (ከዚህ በኋላ SLAE እየተባለ የሚጠራው) የቅጹ ስርዓት ይባላል፡-

ቁጥሮች a ij ሲስተም ኮፊፊሸንስ በሚባሉበት፣ ቁጥሮች b i ነፃ ቃላት ይባላሉ፣ አ ijእና b i(i=1,…, m; b=1,…, n) አንዳንድ የታወቁ ቁጥሮችን ይወክላሉ እና x 1፣…፣ x n- ያልታወቀ. በ Coefficients ስያሜ ውስጥ አ ijየመጀመሪያው ኢንዴክስ i የእኩልቱን ቁጥር ያመለክታል፣ ሁለተኛው j ደግሞ ይህ ቅንጅት የሚቆምበት ያልታወቀ ቁጥር ነው። ቁጥሮች x n መገኘት አለባቸው. እንዲህ ዓይነቱን ስርዓት በተመጣጣኝ ማትሪክስ መልክ ለመፃፍ ምቹ ነው- AX=B.እዚህ A ዋናው ማትሪክስ ተብሎ የሚጠራው የስርዓት ቅንጅቶች ማትሪክስ ነው;

በማትሪክስ A ውስጥ ብዙ ዓምዶች ስላሉት በማትሪክስ X (n ቁርጥራጮች) ውስጥ ያሉ ረድፎች ስላሉት የማትሪክስ ምርት A*X ይገለጻል።

የስርዓቱ የተራዘመ ማትሪክስ የስርዓቱ ማትሪክስ A ነው፣ በነጻ ቃላት አምድ ተጨምሯል።

1.2 የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት መፍታት

የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄው የታዘዙ የቁጥሮች ስብስብ (የተለዋዋጮች እሴቶች) ነው ፣ በተለዋዋጮች ምትክ ሲተካ ፣ እያንዳንዱ የስርዓቱ እኩልታዎች ወደ እውነተኛ እኩልነት ይቀየራሉ።

የስርአት መፍትሄው ሁሉም የስርአቱ እኩልታዎች እውነተኛ እኩልነት በሚሆኑበት ጊዜ የማያውቁት x1=c1፣ x2=c2፣…፣ xn=cn እሴቶች ናቸው። ለስርዓቱ ማንኛውም መፍትሄ እንደ አምድ ማትሪክስ ሊፃፍ ይችላል

የእኩልታዎች ስርዓት ቢያንስ አንድ መፍትሄ ካለው ወጥነት ያለው እና ምንም መፍትሄ ከሌለው ወጥነት የለውም።

ወጥነት ያለው ሥርዓት አንድ መፍትሔ ካለው፣ ከአንድ በላይ መፍትሔ ካለው ደግሞ ላልተወሰነ ጊዜ እንደሚሰጥ ይነገራል። በኋለኛው ሁኔታ, እያንዳንዱ የራሱ መፍትሄዎች የስርዓቱ ልዩ መፍትሄ ተብሎ ይጠራል. የሁሉም ልዩ መፍትሄዎች ስብስብ አጠቃላይ መፍትሄ ተብሎ ይጠራል.

ስርዓትን መፍታት ማለት ተኳሃኝ ወይም የማይጣጣም መሆኑን ማወቅ ማለት ነው. ስርዓቱ ወጥነት ያለው ከሆነ, አጠቃላይ መፍትሄውን ያግኙ.

ሁለት ስርዓቶች አንድ አይነት አጠቃላይ መፍትሄ ካላቸው እኩል (ተመጣጣኝ) ይባላሉ. በሌላ አገላለጽ ስርዓቶች እያንዳንዳቸው የአንደኛው መፍትሄ የሌላኛው መፍትሄ ከሆነ እና በተቃራኒው እኩል ናቸው.

ትራንስፎርሜሽን፣ አተገባበሩ ስርዓቱን ከዋናው ጋር አቻ ወደሆነ አዲስ ስርዓት የሚቀይር፣ ተመጣጣኝ ወይም ተመጣጣኝ ለውጥ ይባላል። ተመጣጣኝ ትራንስፎርሜሽን ምሳሌዎች የሚከተሉትን ለውጦች ያካትታሉ፡ የአንድ ሥርዓት ሁለት እኩልታዎችን መለዋወጥ፣ ሁለት ያልታወቁትን ከሁሉም እኩልታዎች መጋጠሚያዎች ጋር መለዋወጥ፣ የስርአቱን የየትኛውም እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት።

ሁሉም ነፃ ቃላቶች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ተመሳሳይነት ይባላል።

x1=x2=x3=…=xn=0 የስርአቱ መፍትሄ ስለሆነ አንድ አይነት ስርዓት ሁሌም ወጥነት ያለው ነው። ይህ መፍትሔ ዜሮ ወይም ጥቃቅን ይባላል.

2. Gaussian የማስወገድ ዘዴ

2.1 የ Gaussian ማስወገጃ ዘዴ ምንነት

የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት ክላሲካል ዘዴ የማያውቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ነው - Gaussian ዘዴ(የ Gaussian ማስወገጃ ዘዴ ተብሎም ይጠራል). ይህ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ነው ፣ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ፣ የእኩልታዎች ስርዓት ወደ አንድ ደረጃ (ወይም ባለሶስት ጎን) ቅርፅ ተመጣጣኝ ስርዓት ሲቀንስ ፣ ሁሉም ሌሎች ተለዋዋጮች ከመጨረሻው ጀምሮ በቅደም ተከተል ይገኛሉ (በ ቁጥር) ተለዋዋጮች.

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የመፍትሄው ሂደት ሁለት ደረጃዎችን ያካትታል: ወደ ፊት እና ወደ ኋላ ይንቀሳቀሳሉ.

1. ቀጥተኛ ምት.

በመጀመሪያ ደረጃ, ቀጥተኛ እንቅስቃሴ ተብሎ የሚጠራው ይከናወናል, በአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ረድፎች ላይ, ስርዓቱ ወደ ደረጃ ወይም የሶስት ማዕዘን ቅርጽ ሲሰጥ ወይም ስርዓቱ የማይጣጣም መሆኑን ሲረጋገጥ. ማለትም ከማትሪክስ የመጀመሪያ አምድ ንጥረ ነገሮች መካከል ዜሮ ያልሆነን ይምረጡ ፣ ረድፎቹን በማስተካከል ወደ ላይኛው ቦታ ያንቀሳቅሱት እና ውጤቱን ከቀሪዎቹ ረድፎች እንደገና በማስተካከል በእሴት በማባዛት። የእነዚህ ረድፎች የመጀመሪያ ንጥረ ነገር ከመጀመሪያው ረድፍ የመጀመሪያ ክፍል ጋር እኩል ነው ፣ ስለሆነም ከሱ በታች ያለው አምድ ዜሮ ያደርገዋል።

እነዚህ ለውጦች ከተጠናቀቁ በኋላ የመጀመሪያው ረድፍ እና የመጀመሪያው አምድ በአእምሮ ተሻግረው ዜሮ-መጠን ማትሪክስ እስኪቀር ድረስ ይቀጥላሉ. በማንኛውም ድግግሞሽ ከመጀመሪያው ዓምድ አካላት መካከል ምንም ዜሮ ያልሆነ አካል ከሌለ ወደ ቀጣዩ አምድ ይሂዱ እና ተመሳሳይ ክዋኔን ያድርጉ።

በመጀመሪያው ደረጃ (ቀጥታ ስትሮክ), ስርዓቱ ወደ ደረጃ (በተለይ, ሦስት ማዕዘን) ቅርፅ ይቀንሳል.

ከታች ያለው ስርዓት ደረጃ በደረጃ ቅርጽ አለው.

Coefficients aii የስርዓቱ ዋና (መሪ) አካላት ይባላሉ።

ከመጀመሪያው (የስርዓቱ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም) በሁሉም እኩልታዎች ውስጥ የማይታወቅ x1ን በማስወገድ ስርዓቱን እንለውጠው። ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ

ይህን ሂደት በመቀጠል, ተመጣጣኝ ስርዓት እናገኛለን:

ስለዚህ ፣ በመጀመሪያ ደረጃ ፣ በ 11 የመጀመሪያ መሪ አካል ስር ያሉ ሁሉም ኮፊሸንቶች ይደመሰሳሉ

ስርዓቱን ወደ ደረጃ በደረጃ በመቀነስ ሂደት ውስጥ, ዜሮ እኩልታዎች ብቅ ካሉ, ማለትም. የቅጹ 0=0 እኩልነት፣ ተጥለዋል። የቅጹ እኩልነት ከታየ

ይህ የጋውስ ዘዴ ቀጥተኛ እድገት የሚያበቃበት ነው.

2. የተገላቢጦሽ ምት.

በሁለተኛው እርከን, የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ ተብሎ የሚጠራው ይከናወናል, ዋናው ነገር ሁሉንም የሚመነጩ መሰረታዊ ተለዋዋጮችን ከመሠረታዊ ባልሆኑ አንፃር መግለጽ እና መሠረታዊ የመፍትሄ ስርዓት መገንባት ወይም, ሁሉም ተለዋዋጮች መሠረታዊ ከሆኑ. ከዚያም ለመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ብቸኛው መፍትሄ በቁጥር ይግለጹ።

ይህ አሰራር የሚጀምረው በመጨረሻው እኩልታ ነው, ከእሱ ጋር የሚዛመደው መሰረታዊ ተለዋዋጭ ይገለጻል (በውስጡ አንድ ብቻ ነው) እና ወደ ቀድሞው እኩልታዎች ተተክቷል, እና ወደ "እርምጃዎች" መውጣት.

እያንዳንዱ መስመር በትክክል ከአንድ የመሠረት ተለዋዋጭ ጋር ይዛመዳል, ስለዚህ በእያንዳንዱ ደረጃ ከመጨረሻው (ከላይ) በስተቀር, ሁኔታው ​​የመጨረሻውን መስመር ሁኔታ በትክክል ይደግማል.

ማሳሰቢያ: በተግባር, ከስርአቱ ጋር ለመስራት የበለጠ አመቺ ነው, ነገር ግን በተዘረጋው ማትሪክስ, በመደዳዎቹ ላይ ሁሉንም የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በማከናወን. የቁጥር a11 ከ 1 ጋር እኩል እንዲሆን ምቹ ነው (እኩልታዎችን እንደገና ማስተካከል ወይም ሁለቱንም የእኩልቱን ጎኖች በ a11 መከፋፈል)።

2.2 የጋውሲያን ዘዴን በመጠቀም SLAEዎችን የመፍታት ምሳሌዎች

በዚህ ክፍል, ሶስት የተለያዩ ምሳሌዎችን በመጠቀም, የ Gaussian ዘዴ SLAEs እንዴት እንደሚፈታ እናሳያለን.

ምሳሌ 1. 3 ኛ ትዕዛዝ SLAE ን ይፍቱ።

ውህደቶቹን በ ላይ ዳግም እናስጀምር

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ማጤን እንቀጥላለን። ይህ ትምህርት በርዕሱ ላይ ሦስተኛው ነው. በአጠቃላይ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ምን እንደሆነ ግልጽ ያልሆነ ሀሳብ ካሎት ፣ እንደ ሻይ ከተሰማዎት ፣ በመቀጠል በገጹ ላይ ካሉት መሰረታዊ ነገሮች እንዲጀምሩ እመክራለሁ ፣ ትምህርቱን ማጥናት ጠቃሚ ነው።

የ Gaussian ዘዴ ቀላል ነው!ለምን? ታዋቂው ጀርመናዊ የሒሳብ ሊቅ ዮሃን ካርል ፍሬድሪች ጋውስ በህይወት ዘመናቸው የዘመኑ ታላቅ የሒሳብ ሊቅ፣ ሊቅ እና እንዲያውም “የሒሳብ ንጉሥ” የሚል ቅጽል ስም አግኝተዋል። እና ሁሉም ነገር ብልህ ፣ እንደምናውቀው ፣ ቀላል ነው!በነገራችን ላይ ጠጪዎች ገንዘብ ብቻ ሳይሆን ብልሃተኞችም ጭምር - የጋውስ ምስል በ 10 Deutschmark banknote (ከዩሮ መግቢያ በፊት) ላይ ነበር ፣ እና ጋውስ አሁንም ከተለመዱ የፖስታ ቴምብሮች ለጀርመኖች በሚስጥር ፈገግ ይላል።

የጋውስ ዘዴ ቀላል ነው የአምስተኛ ክፍል ተማሪ እውቀት እሱን ለመቆጣጠር በቂ ነው። እንዴት መደመር እና ማባዛት እንዳለቦት ማወቅ አለቦት!መምህራን ብዙውን ጊዜ በትምህርት ቤት ሒሳብ ምርጫዎች ውስጥ የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማግለል ዘዴን የሚመለከቱት በአጋጣሚ አይደለም። ይህ አያዎ (ፓራዶክስ) ነው, ነገር ግን ተማሪዎች የ Gaussian ዘዴን በጣም አስቸጋሪ አድርገው ያገኙታል. ምንም የሚያስደንቅ ነገር የለም - ሁሉም ስለ ዘዴው ነው, እና ስለ ዘዴው ስልተ ቀመር በተደራሽነት ለመናገር እሞክራለሁ.

በመጀመሪያ፣ ስለ መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ትንሽ እውቀትን እናውጅ። የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የሚከተሉትን ማድረግ ይችላል-

1) ልዩ መፍትሄ ይኑርዎት. 2) ብዙ መፍትሄዎች አሉ ። 3) መፍትሄ የለንም (ይሁን የጋራ ያልሆነ).

የጋውስ ዘዴ መፍትሔ ለማግኘት በጣም ኃይለኛ እና ሁሉን አቀፍ መሳሪያ ነው ማንኛውምየመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች. እንደምናስታውሰው፣ የክሬመር ደንብ እና ማትሪክስ ዘዴስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ሲኖሩት ወይም ወጥነት በሌለው ሁኔታ ውስጥ ተስማሚ አይደሉም። እና የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ለማንኛውምወደ መልሱ ይመራናል! በዚህ ትምህርት, የ Gauss ዘዴን ለጉዳይ ቁጥር 1 (የስርዓቱ ብቸኛው መፍትሄ) እንደገና እንመለከታለን, አንድ ጽሑፍ በነጥቦች ቁጥር 2-3 ላይ ያተኮረ ነው. የስልቱ ስልተ ቀመር በራሱ በሶስቱም ጉዳዮች ላይ ተመሳሳይ እንደሚሰራ አስተውያለሁ።

ከትምህርቱ ወደ ቀላሉ ስርዓት እንመለስ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እንዴት እንደሚፈታ?እና የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም መፍታት.

የመጀመሪያው እርምጃ መጻፍ ነው የተራዘመ የስርዓት ማትሪክስ. እኔ እንደማስበው ፣ ሁሉም ሰው ውህዶች በየትኛው መርህ እንደተፃፉ ማየት ይችላል። በማትሪክስ ውስጥ ያለው ቀጥ ያለ መስመር ምንም ዓይነት የሂሳብ ትርጉም የለውም - በቀላሉ ለንድፍ ቀላልነት ምልክት ነው።

ማጣቀሻ : እንድታስታውስ እመክራለሁ። ውሎች መስመራዊ አልጀብራ. የስርዓት ማትሪክስ ለማይታወቁ ጥምርታዎች ብቻ የተዋቀረ ማትሪክስ ነው፣ በዚህ ምሳሌ የስርዓቱ ማትሪክስ፡- . የተራዘመ የስርዓት ማትሪክስ - ይህ የስርዓቱ ተመሳሳይ ማትሪክስ እና የነፃ ቃላት አምድ ነው ፣ በዚህ ሁኔታ: . በአጭሩ ማንኛውም ማትሪክስ በቀላሉ ማትሪክስ ተብሎ ሊጠራ ይችላል።

የተራዘመው የስርዓት ማትሪክስ ከተፃፈ በኋላ አንዳንድ ድርጊቶችን ከእሱ ጋር ማከናወን አስፈላጊ ነው, እነሱም ይጠራሉ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች.

የሚከተሉት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አሉ:

1) ሕብረቁምፊዎችማትሪክስ ይችላል እንደገና ማስተካከልበአንዳንድ ቦታዎች. ለምሳሌ ፣ ከግምት ውስጥ ባለው ማትሪክስ ውስጥ ፣ የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን ያለምንም ህመም እንደገና ማስተካከል ይችላሉ-

2) በማትሪክስ ውስጥ ተመጣጣኝ (እንደ ልዩ ሁኔታ - ተመሳሳይ) ረድፎች ካሉ (ወይም ከታዩ) ፣ ከዚያ ያስፈልግዎታል ሰርዝእነዚህ ሁሉ ረድፎች ከአንድ በስተቀር ከማትሪክስ ናቸው። ለምሳሌ ማትሪክስን አስቡበት . በዚህ ማትሪክስ ውስጥ የመጨረሻዎቹ ሶስት ረድፎች ተመጣጣኝ ናቸው ፣ ስለሆነም ከመካከላቸው አንዱን ብቻ መተው በቂ ነው- .

3) በትራንስፎርሜሽን ጊዜ ዜሮ ረድፍ በማትሪክስ ውስጥ ከታየ እንዲሁ መሆን አለበት። ሰርዝ. እኔ አልሳልም, በእርግጥ, ዜሮ መስመር በውስጡ መስመር ነው ሁሉም ዜሮዎች.

4) የማትሪክስ ረድፍ ሊሆን ይችላል ማባዛት (መከፋፈል)ለማንኛውም ቁጥር ዜሮ ያልሆነ. ለምሳሌ, ማትሪክስ . እዚህ የመጀመሪያውን መስመር በ -3 መከፋፈል እና ሁለተኛውን መስመር በ 2 ማባዛት ጥሩ ነው. . ይህ እርምጃ የማትሪክስ ተጨማሪ ለውጦችን ስለሚያቃልል በጣም ጠቃሚ ነው.

5) ይህ ለውጥ በጣም ችግሮችን ያስከትላል, ግን በእውነቱ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም. ወደ ማትሪክስ ረድፍ ማድረግ ይችላሉ። በቁጥር ተባዝቶ ሌላ ሕብረቁምፊ ጨምር, ከዜሮ የተለየ. የእኛን ማትሪክስ ከተግባራዊ ምሳሌ እንመልከት፡- . በመጀመሪያ ለውጡን በሰፊው እገልጻለሁ። የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ማባዛት: , እና ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ተባዝተን እንጨምራለን: . አሁን የመጀመሪያው መስመር "ተመለስ" በ -2: ሊከፋፈል ይችላል. እንደሚመለከቱት ፣ የታከለው መስመር ኤል.አይ – አልተለወጠም. ሁሌምየታከለው መስመር ይለወጣል ዩቲ.

በተግባር ፣ በእርግጥ ፣ በእንደዚህ ዓይነት ዝርዝር ውስጥ አይጽፉም ፣ ግን በአጭሩ ይፃፉ- አንዴ እንደገና: ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር ተጨምሯል -2 ተባዝቷል።. አንድ መስመር ብዙውን ጊዜ የሚባዛው በቃል ወይም በረቂቅ ላይ ነው፣ የአዕምሮ ስሌት ሂደት ይህን ይመስላል፡-

"ማትሪክስ እንደገና ጻፍኩ እና የመጀመሪያውን መስመር እንደገና እጽፋለሁ: »

"የመጀመሪያው አምድ። ከታች ዜሮ ማግኘት አለብኝ. ስለዚህ ከላይ ያለውን በ -2: በማባዛት የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: 2 + (-2) = 0. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. »

"አሁን ሁለተኛው ዓምድ። ከላይ, እኔ -1 በ -2 ማባዛት:. የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: 1 + 2 = 3. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. »

"እና ሦስተኛው ዓምድ. ከላይ -5 በ -2 እባዛለሁ: የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: -7 + 10 = 3. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. »

እባክዎን ይህንን ምሳሌ በጥንቃቄ ይረዱ እና ተከታታይ ስሌት ስልተ-ቀመር ይረዱ ፣ ይህንን ከተረዱት የ Gaussian ዘዴ በኪስዎ ውስጥ በትክክል አለ። ግን በእርግጥ በዚህ ለውጥ ላይ አሁንም እንሰራለን።

የአንደኛ ደረጃ ለውጦች የእኩልታዎችን ስርዓት መፍትሄ አይለውጡም።

! ትኩረት: እንደ ማጭበርበር ይቆጠራል መጠቀም አይቻልምማትሪክስ “በራሳቸው” የተሰጡበት ተግባር ከቀረበልዎ። ለምሳሌ፣ ከ “ክላሲካል” ጋር ማትሪክስ ያላቸው ክዋኔዎችበምንም አይነት ሁኔታ በማትሪክስ ውስጥ ማንኛውንም ነገር እንደገና ማስተካከል የለብዎትም! ወደ ስርዓታችን እንመለስ። በተግባር ወደ ቁርጥራጮች ይወሰዳል.

የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ላይ እንቀንስ በደረጃ እይታ:

(1) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. እና በድጋሚ: ለምን የመጀመሪያውን መስመር በ -2 እናባዛለን? ከታች ዜሮ ለማግኘት, ይህም ማለት በሁለተኛው መስመር ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ማስወገድ ማለት ነው.

(2) ሁለተኛውን መስመር በ 3 ይከፋፍሉት.

የአንደኛ ደረጃ ለውጦች ዓላማ – ማትሪክስ ወደ ደረጃ በደረጃ ቅፅ ይቀንሱ . በስራው ንድፍ ውስጥ "ደረጃዎችን" በቀላል እርሳስ ብቻ ምልክት ያደርጉታል, እንዲሁም በ "ደረጃዎች" ላይ የሚገኙትን ቁጥሮች ያከብራሉ. "የእርምጃ እይታ" የሚለው ቃል በራሱ ሙሉ በሙሉ በሳይንሳዊ እና ትምህርታዊ ጽሑፎች ውስጥ ብዙ ጊዜ ይባላል ትራፔዞይድ እይታወይም የሶስት ማዕዘን እይታ.

በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት, አገኘን ተመጣጣኝኦሪጅናል የእኩልታዎች ስርዓት;

አሁን ስርዓቱ በተቃራኒው አቅጣጫ "መቀልበስ" ያስፈልጋል - ከታች ወደ ላይ ይህ ሂደት ይባላል የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ.

በዝቅተኛ ስሌት ውስጥ እኛ ቀድሞውኑ ዝግጁ የሆነ ውጤት አለን:

የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ እናስብ እና ቀደም ሲል የሚታወቀውን “y”ን በእሱ ውስጥ እንተካው።

የ Gaussian ዘዴ የሶስት መስመር እኩልታዎችን ከሶስት የማይታወቁ ጋር መፍታት ሲፈልግ በጣም የተለመደውን ሁኔታ እናስብ።

ምሳሌ 1

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ፡-

የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፃፍ፡-

አሁን በመፍትሔው ጊዜ የምንመጣበትን ውጤት ወዲያውኑ እሳለሁ- እና እደግመዋለሁ ፣ ግባችን የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ደረጃ አቅጣጫ ማምጣት ነው። የት መጀመር?

መጀመሪያ ከላይ በግራ በኩል ያለውን ቁጥር ይመልከቱ፡- ሁልጊዜ ማለት ይቻላል እዚህ መሆን አለበት። ክፍል. በአጠቃላይ፣ -1 (እና አንዳንድ ጊዜ ሌሎች ቁጥሮች) ይሰራሉ፣ ግን በሆነ መንገድ አንድ ሰው ብዙውን ጊዜ እዚያ እንደሚቀመጥ በተለምዶ ተከሰተ። ክፍልን እንዴት ማደራጀት ይቻላል? የመጀመሪያውን አምድ እንመለከታለን - የተጠናቀቀ ክፍል አለን! ትራንስፎርሜሽን አንድ፡ የመጀመሪያውን እና ሶስተኛውን መስመር ይቀያይሩ፡

አሁን የመጀመሪያው መስመር እስከ መፍትሄው መጨረሻ ድረስ ሳይለወጥ ይቆያል. አሁን ደህና።

በላይኛው ግራ ጥግ ላይ ያለው ክፍል ተደራጅቷል. አሁን በነዚህ ቦታዎች ዜሮዎችን ማግኘት አለቦት፡-

"አስቸጋሪ" ለውጥን በመጠቀም ዜሮዎችን እናገኛለን. በመጀመሪያ ከሁለተኛው መስመር (2, -1, 3, 13) ጋር እንገናኛለን. በመጀመሪያ ቦታ ዜሮ ለማግኘት ምን መደረግ አለበት? ያስፈልጋል ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ተባዝቶ ይጨምሩ. በአእምሯዊ ወይም በረቂቅ ላይ የመጀመሪያውን መስመር በ-2: (-2, -4, 2, -18) ማባዛት. እና በተከታታይ (በድጋሚ በአእምሮ ወይም በረቂቅ) መደመርን እናከናውናለን ፣ ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር እንጨምራለን, ቀድሞውኑ በ -2 ተባዝተናል:

ውጤቱን በሁለተኛው መስመር ላይ እንጽፋለን-

ሶስተኛውን መስመር በተመሳሳይ መንገድ እንይዛለን (3, 2, -5, -1). በመጀመሪያው ቦታ ላይ ዜሮ ለማግኘት, ያስፈልግዎታል ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝቶ ይጨምሩ. በአእምሯዊ ወይም በረቂቅ ላይ የመጀመሪያውን መስመር በ-3: (-3, -6, 3, -27) ማባዛት. እና ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝተን እንጨምራለን:

ውጤቱን በሶስተኛው መስመር እንጽፋለን-

በተግባር፣ እነዚህ ድርጊቶች በአብዛኛው የሚከናወኑት በቃል እና በአንድ ደረጃ ነው፡-

ሁሉንም ነገር በአንድ ጊዜ እና በተመሳሳይ ጊዜ መቁጠር አያስፈልግም. የስሌቶች ቅደም ተከተል እና ውጤቱን "በማስገባት". ወጥነት ያለውእና ብዙውን ጊዜ እንደዚህ ነው-መጀመሪያ የመጀመሪያውን መስመር እንደገና እንጽፋለን ፣ እና ቀስ በቀስ እራሳችንን እንመካለን - ያለማቋረጥ እና በትኩረት:
እና ቀደም ሲል ስለ ስሌቶቹ እራሳቸው ስለ አእምሮአዊ ሂደት ተወያይቻለሁ.

በዚህ ምሳሌ, ይህንን ለማድረግ ቀላል ነው, ሁለተኛውን መስመር በ -5 እንከፍላለን (ሁሉም ቁጥሮች ሳይቀሩ በ 5 ሊከፋፈሉ ይችላሉ). በተመሳሳይ ጊዜ, ሶስተኛውን መስመር በ -2 እንከፍላለን, ምክንያቱም ትናንሽ ቁጥሮች, መፍትሄው ቀላል ይሆናል.

በአንደኛ ደረጃ ለውጦች የመጨረሻ ደረጃ ላይ ፣ እዚህ ሌላ ዜሮ ማግኘት ያስፈልግዎታል

ለዚህ ወደ ሦስተኛው መስመር ሁለተኛውን መስመር በ -2 ተባዝተን እንጨምራለን:
ይህንን ተግባር እራስዎ ለማወቅ ይሞክሩ - በአእምሮ ሁለተኛውን መስመር በ -2 በማባዛት እና ተጨማሪውን ያከናውኑ።

የተከናወነው የመጨረሻው ተግባር የውጤቱ የፀጉር አሠራር ነው, ሶስተኛውን መስመር በ 3 ይከፋፍሉት.

በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት ተመጣጣኝ የመስመሮች እኩልታዎች ስርዓት ተገኝቷል- ጥሩ.

አሁን የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ ወደ ጨዋታ ይመጣል። እኩልታዎቹ ከታች ወደ ላይ "ይቀልጣሉ".

በሦስተኛው እኩልታ ውስጥ ቀድሞውኑ ዝግጁ የሆነ ውጤት አለን-

ሁለተኛውን እኩልታ እንመልከት፡- . የ"zet" ትርጉም አስቀድሞ ይታወቃል፣ ስለዚህም፡-

እና በመጨረሻም, የመጀመሪያው እኩልታ:. “ኢግሬክ” እና “ዜት” ይታወቃሉ፣ የትንሽ ነገሮች ጉዳይ ብቻ ነው።

መልስ:

በተደጋጋሚ እንደተገለጸው, ለማንኛውም የእኩልታዎች ስርዓት የተገኘውን መፍትሄ ማረጋገጥ ይቻላል እና አስፈላጊ ነው, እንደ እድል ሆኖ, ይህ ቀላል እና ፈጣን ነው.

ምሳሌ 2

ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ, የመጨረሻው ንድፍ ናሙና እና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልስ ነው.

የእርስዎ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል የውሳኔው ሂደትከውሳኔዬ ጋር ላይስማማ ይችላል ፣ እና ይህ የጋውስ ዘዴ ባህሪ ነው. ግን መልሱ አንድ መሆን አለበት!

ምሳሌ 3

የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ

የላይኛውን ግራ "ደረጃ" እንመለከታለን. እዚያ ሊኖረን ይገባል. ችግሩ በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ምንም ክፍሎች ስለሌሉ ረድፎችን እንደገና ማስተካከል ምንም ነገር አይፈታም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, ክፍሉ በአንደኛ ደረጃ ለውጥን በመጠቀም መደራጀት አለበት. ይህ አብዛኛውን ጊዜ በበርካታ መንገዶች ሊከናወን ይችላል. ይህን አደረግሁ፡ (1) ወደ መጀመሪያው መስመር ሁለተኛውን መስመር እንጨምራለን, በ -1 ተባዝተናል. ማለትም ሁለተኛውን መስመር በአእምሯዊ -1 በማባዛት የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን መስመር ስንጨምር ሁለተኛው መስመር ግን አልተለወጠም።

አሁን ከላይ በግራ በኩል "አንድ ሲቀነስ" አለ, ይህም ለእኛ በጣም ተስማሚ ነው. +1 ማግኘት የሚፈልግ ማንኛውም ሰው ተጨማሪ የእጅ ምልክት ማድረግ ይችላል፡ የመጀመሪያውን መስመር በ-1 ማባዛት (ምልክቱን ይቀይሩ)።

(2) የመጀመሪያው መስመር በ 5 ተባዝቶ በሁለተኛው መስመር ላይ በ 3 ተባዝቷል.

(3) የመጀመሪያው መስመር በ -1 ተባዝቷል, በመርህ ደረጃ, ይህ ለውበት ነው. የሶስተኛው መስመር ምልክትም ተለወጠ እና ወደ ሁለተኛ ቦታ ተወስዷል, ስለዚህም በሁለተኛው "ደረጃ" ላይ አስፈላጊው ክፍል ነበረን.

(4) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 2 ተባዝቷል.

(5) ሦስተኛው መስመር በ 3 ተከፍሏል.

በስሌቶች ውስጥ ስህተትን የሚያመለክት መጥፎ ምልክት (በጣም አልፎ አልፎ, ትየባ) "መጥፎ" የታችኛው መስመር ነው. ማለትም፣ ከታች፣ እና እንደዚያ ያለ ነገር ካገኘን እና፣ በዚህ መሰረት፣ , ከዚያም በከፍተኛ ደረጃ ዕድል በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ወቅት ስህተት ተፈጥሯል ማለት እንችላለን.

ተቃራኒውን እናስከፍላለን ፣ በምሳሌዎች ንድፍ ውስጥ ብዙውን ጊዜ ስርዓቱን እንደገና አይጽፉም ፣ ግን እኩልታዎቹ “ከተሰጠው ማትሪክስ በቀጥታ የተወሰዱ” ናቸው። የተገላቢጦሽ ምት, አስታውሳችኋለሁ, ከታች ወደ ላይ ይሠራል. አዎ ስጦታ ይኸውና፡-

መልስ: .

ምሳሌ 4

የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው, በተወሰነ ደረጃ የተወሳሰበ ነው. አንድ ሰው ግራ ቢገባ ችግር የለውም። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና ናሙና ንድፍ. የእርስዎ መፍትሔ ከእኔ መፍትሔ የተለየ ሊሆን ይችላል.

በመጨረሻው ክፍል የ Gaussian ስልተ ቀመር አንዳንድ ባህሪያትን እንመለከታለን. የመጀመሪያው ባህሪ አንዳንድ ጊዜ አንዳንድ ተለዋዋጮች ከስርዓት እኩልታዎች ይጎድላሉ፣ ለምሳሌ፡- የተራዘመውን የስርዓት ማትሪክስ እንዴት በትክክል መጻፍ እንደሚቻል? በክፍል ውስጥ ስለዚህ ጉዳይ አስቀድሜ ተናግሬያለሁ. የክሬመር አገዛዝ. ማትሪክስ ዘዴ. በተዘረጋው የስርዓቱ ማትሪክስ ውስጥ፣ የጎደሉትን ተለዋዋጮች ምትክ ዜሮዎችን እናስቀምጣለን። በነገራችን ላይ ይህ በጣም ቀላል ምሳሌ ነው ፣ ምክንያቱም የመጀመሪያው አምድ ቀድሞውኑ አንድ ዜሮ ስላለው እና ለማከናወን ጥቂት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አሉ።

ሁለተኛው ባህሪ ይህ ነው. በተጠቀሱት ሁሉም ምሳሌዎች ውስጥ -1 ወይም +1 በ "ደረጃዎች" ላይ አስቀምጠናል. እዚያ ሌሎች ቁጥሮች ሊኖሩ ይችላሉ? በአንዳንድ ሁኔታዎች ይችላሉ. ስርዓቱን አስቡበት፡- .

እዚህ በላይኛው ግራ "እርምጃ" ላይ ሁለት አለን. ነገር ግን በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ያሉት ሁሉም ቁጥሮች ያለቀሪ በ 2 የሚካፈሉ መሆናቸውን እናስተውላለን - ሌላኛው ደግሞ ሁለት እና ስድስት ነው። እና ከላይ በግራ በኩል ያሉት ሁለቱ ተስማሚ ይሆናሉ! በመጀመሪያው ደረጃ, የሚከተሉትን ለውጦች ማከናወን ያስፈልግዎታል: የመጀመሪያውን መስመር በ -1 ተባዝቶ ወደ ሁለተኛው መስመር ይጨምሩ; ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝቶ ይጨምሩ። በዚህ መንገድ በመጀመሪያው አምድ ውስጥ የሚያስፈልጉትን ዜሮዎች እናገኛለን.

ወይም ሌላ የተለመደ ምሳሌ: . እዚህ በሁለተኛው “እርምጃ” ላይ ያሉት ሦስቱ እኛንም ይስማማሉ ምክንያቱም 12 (ዜሮ የምናገኝበት ቦታ) ያለቀሪ በ 3 ይከፈላል ። የሚከተለውን ለውጥ ማካሄድ አስፈላጊ ነው-ሁለተኛውን መስመር ወደ ሶስተኛው መስመር ይጨምሩ, በ -4 ተባዝተዋል, በዚህም ምክንያት የምንፈልገው ዜሮ ይገኛል.

የጋውስ ዘዴ ሁለንተናዊ ነው, ግን አንድ የተለየ ነገር አለ. ሌሎች ዘዴዎችን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት በልበ ሙሉነት መማር ይችላሉ (Cramer's method, matrix method) በጥሬው ለመጀመሪያ ጊዜ - በጣም ጥብቅ ስልተ-ቀመር አላቸው. ነገር ግን በጋውሲያን ዘዴ በራስ የመተማመን ስሜት እንዲሰማዎት "ጥርስዎን ወደ ውስጥ ማስገባት" እና ቢያንስ 5-10 አስር ስርዓቶችን መፍታት አለብዎት. ስለዚህ, መጀመሪያ ላይ በስሌቶች ውስጥ ግራ መጋባት እና ስህተቶች ሊኖሩ ይችላሉ, እና በዚህ ውስጥ ምንም ያልተለመደ ወይም አሳዛኝ ነገር የለም.

ዝናባማ የበልግ የአየር ሁኔታ ከመስኮቱ ውጭ…. ስለዚህ ፣ የበለጠ ውስብስብ ምሳሌ ለሚፈልጉ ሁሉ በራሳቸው ለመፍታት-

ምሳሌ 5

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም ከአራት የማይታወቁ ጋር የ 4 መስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ።

እንዲህ ዓይነቱ ተግባር በተግባር እምብዛም አይደለም. እኔ ይህን ገጽ በደንብ ያጠና የሻይ ማንኪያ እንኳን እንዲህ ዓይነቱን ስርዓት ለመፍታት ስልተ ቀመሩን የሚረዳው ይመስለኛል። በመሠረቱ, ሁሉም ነገር አንድ ነው - ተጨማሪ ድርጊቶች ብቻ አሉ.

ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች ሳይኖረው (ወጥነት የሌለው) ወይም ብዙ መፍትሄዎች ያሉት ጉዳዮች በትምህርቱ ውስጥ ተብራርተዋል ከጋራ መፍትሄ ጋር የማይጣጣሙ ስርዓቶች እና ስርዓቶች. እዚያ የታሰበውን የ Gaussian ዘዴ ስልተ ቀመር ማስተካከል ይችላሉ።

ስኬት እመኛለሁ!

መፍትሄዎች እና መልሶች:

ምሳሌ 2፡ መፍትሄ : የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና, የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም, ወደ ደረጃ መሄጃ ቅፅ እናምጣው.
የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ተከናውነዋል፡- (1) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -1 ተባዝቷል. ትኩረት! እዚህ የመጀመሪያውን ከሶስተኛው መስመር ለመቀነስ ሊፈተኑ ይችላሉ; ብቻ አጣጥፈው! (2) የሁለተኛው መስመር ምልክት ተለወጠ (በ -1 ተባዝቷል)። ሁለተኛውና ሦስተኛው መስመር ተለዋውጧል። ማስታወሻ , በ "እርምጃዎች" ላይ አንድ ብቻ ሳይሆን በ -1 ረክተናል, ይህም የበለጠ ምቹ ነው. (3) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 5 ተባዝቷል. (4) የሁለተኛው መስመር ምልክት ተለወጠ (በ -1 ተባዝቷል)። ሦስተኛው መስመር በ 14 ተከፍሏል.

ተገላቢጦሽ፡

መልስ : .

ምሳሌ 4፡ መፍትሄ : የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።

የተደረጉ ልወጣዎች፡- (1) ሁለተኛው መስመር በመጀመሪያው መስመር ላይ ተጨምሯል. ስለዚህ, የሚፈለገው ክፍል ከላይ በግራ "እርምጃ" ላይ ተደራጅቷል. (2) የመጀመሪያው መስመር በ 7 ተባዝቶ በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል.

በሁለተኛው "እርምጃ" ሁሉም ነገር እየባሰ ይሄዳል , ለእሱ "እጩዎች" ቁጥሮች 17 እና 23 ናቸው, እና አንድ ወይም -1 ያስፈልገናል. ትራንስፎርሜሽን (3) እና (4) የሚፈለገውን ክፍል ለማግኘት ያለመ ይሆናል። (3) ሁለተኛው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል ፣ ተባዝቷል -1። (4) ሦስተኛው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል. በሁለተኛው ደረጃ ላይ አስፈላጊው ነገር ደርሷል. . (5) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 6 ተባዝቷል. (6) ሁለተኛው መስመር በ -1 ተባዝቷል ፣ ሦስተኛው መስመር በ -83 ተከፍሏል።

ተገላቢጦሽ፡

መልስ :

ምሳሌ 5፡ መፍትሄ : የስርአቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ ቅደም ተከተል እናምጣው።

የተደረጉ ልወጣዎች፡- (1) የመጀመሪያው እና ሁለተኛው መስመሮች ተለዋውጠዋል. (2) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ አራተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል. (3) ሁለተኛው መስመር በሦስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 4 ተባዝቷል. (4) የሁለተኛው መስመር ምልክት ተለውጧል. አራተኛው መስመር በ 3 ተከፍሎ በሶስተኛው መስመር ቦታ ላይ ተቀምጧል. (5) ሦስተኛው መስመር ወደ አራተኛው መስመር ተጨምሯል ፣ በ -5 ተባዝቷል።

ተገላቢጦሽ፡

መልስ :