جمع وطرح الكسور الجبرية: القواعد والأمثلة. إضافة الكسور الجبرية

الكسور العادية.

إضافة الكسور الجبرية

يتذكر!

يمكنك فقط إضافة الكسور التي لها نفس المقامات!

لا يمكنك إضافة كسور بدون تحويلات

يمكنك إضافة الكسور

عند جمع كسور جبرية ذات مقامات متشابهة:

1. يضاف بسط الكسر الأول إلى بسط الكسر الثاني؛
2. يبقى القاسم كما هو.

دعونا نلقي نظرة على مثال لإضافة الكسور الجبرية.

بما أن مقام الكسرين هو "2a"، فهذا يعني أنه يمكن جمع الكسرين.

لنجمع بسط الكسر الأول مع بسط الكسر الثاني، ونترك المقام كما هو. عند إضافة الكسور في البسط الناتج، فإننا نقدم كسورًا مماثلة.

طرح الكسور الجبرية

عند طرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة:

1. يتم طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول.
2. يبقى القاسم كما هو.

مهم!

تأكد من تضمين بسط الكسر الذي تطرحه بالكامل بين قوسين.

وإلا فسوف ترتكب خطأً في العلامات عند فتح قوسي الكسر الذي تطرحه.

دعونا نلقي نظرة على مثال لطرح الكسور الجبرية.

بما أن كلا الكسرين الجبرين لهما مقام "2c"، فهذا يعني أنه يمكن طرح هذين الكسرين.

اطرح بسط الكسر الثاني "(a - b)" من بسط الكسر الأول "(a + d)". لا تنس أن تضع بسط الكسر الذي تطرحه بين قوسين. عند فتح القوسين، نستخدم قاعدة فتح القوسين.

اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك

دعونا ننظر إلى مثال آخر. تحتاج إلى إضافة كسور جبرية.

لا يمكن جمع الكسور بهذه الصورة لأن مقاماتها مختلفة.

قبل إضافة الكسور الجبرية، يجب أن تكون كذلك جلب إلى قاسم مشترك.

قواعد اختزال الكسور الجبرية إلى مقام مشترك تشبه إلى حد كبير قواعد اختزال الكسور العادية إلى مقام مشترك. .

ونتيجة لذلك، يجب أن نحصل على كثيرة الحدود التي سيتم تقسيمها دون باقي على كل من المقامات السابقة للكسور.

ل اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشتركعليك القيام بما يلي.

1. نحن نعمل مع المعاملات العددية. نحدد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لجميع المعاملات العددية.
2. نحن نعمل مع كثيرات الحدود. نحن نحدد جميع كثيرات الحدود المختلفة في القوى العظمى.
3. سيكون ناتج المعامل العددي وجميع كثيرات الحدود المختلفة في القوى الكبرى هو القاسم المشترك.
4. حدد ما تحتاجه لضرب كل كسر جبري للحصول على مقام مشترك.

دعنا نعود إلى مثالنا.

خذ المقامين "15أ" و"3" لكلا الكسرين وابحث عن قاسم مشترك لهما.

1. نحن نعمل مع المعاملات العددية. أوجد المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم الذي يقبل القسمة على كل معامل عددي بدون باقي). بالنسبة لـ "15" و"3" يكون "15".
2. نحن نعمل مع كثيرات الحدود. من الضروري سرد ​​جميع كثيرات الحدود في القوى العظمى. في القواسم "15a" و "5" هناك فقط
   أحادي الحد - "أ".
3. دعونا نضرب المضاعف المشترك الأصغر من الخطوة 1 "15" وأحادية الحد "أ" من الخطوة 2. نحصل على "15 أ". وسيكون هذا هو القاسم المشترك.
4. لكل كسر، نسأل أنفسنا السؤال: "ما الذي يجب أن نضرب فيه مقام هذا الكسر للحصول على "15a"؟"

دعونا ننظر إلى الكسر الأول. يحتوي هذا الكسر بالفعل على مقام "15a"، مما يعني أنه لا يحتاج إلى ضربه بأي شيء.

دعونا ننظر إلى الكسر الثاني. دعونا نطرح السؤال: "ما الذي تحتاجه لضرب "3" للحصول على "15a"؟" الجواب هو "5أ".

عند اختزال كسر إلى مقام مشترك، اضرب بـ "5a" كل من البسط والمقام.

يمكن كتابة تدوين مختصر لتقليل الكسر الجبري إلى قاسم مشترك باستخدام "المنازل".

للقيام بذلك، ضع القاسم المشترك في الاعتبار. فوق كل كسر في الأعلى "في المنزل" نكتب ما نضرب به كل كسر.

الآن بعد أن أصبح للكسور نفس المقامات، يمكن جمع الكسور.

دعونا نلقي نظرة على مثال لطرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

خذ في الاعتبار المقامين "(x − y)" و"(x + y)" لكلا الكسرين وأوجد القاسم المشترك لهما.

لدينا كثيرتا حدود مختلفتان في المقامات "(x − y)" و"(x + y)". سيكون منتجهم هو القاسم المشترك، أي. "(x - y)(x + y)" هو القاسم المشترك.

جمع وطرح الكسور الجبرية باستخدام صيغ الضرب المختصرة

في بعض الأمثلة، يجب استخدام صيغ الضرب المختصرة لتقليل الكسور الجبرية إلى مقام مشترك.

دعونا نلقي نظرة على مثال لإضافة كسور جبرية، حيث سنحتاج إلى استخدام صيغة فرق المربعات.

في الكسر الجبري الأول المقام هو "(ع ٢ − ٣٦)". من الواضح أنه يمكن تطبيق صيغة الفرق بين المربعات عليها.

بعد تحلل كثير الحدود "(ص 2 - 36)" إلى حاصل ضرب كثيرات الحدود
"(p + 6)(p − 6)" من الواضح أن كثيرة الحدود "(p + 6)" تتكرر في الكسور. وهذا يعني أن القاسم المشترك للكسور سيكون حاصل ضرب كثيرات الحدود "(p + 6)(p − 6)".

تنمية القدرة على إجراء العمليات (الجمع والطرح) على الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة، استناداً إلى قاعدة الجمع والطرح للكسور العادية ذات المقامات المختلفة؛

المعدات: مواد توضيحية.

مهام تحديث المعرفة:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) خوارزمية جمع وطرح الكسور العادية ذات المقامات المختلفة.

لجمع أو طرح كسور عادية ذات مقامات مختلفة، عليك القيام بما يلي:

1. اختصر هذه الكسور إلى أدنى مقام مشترك لها.
2. إضافة أو طرح الكسور الناتجة.

2) خوارزمية اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك.

1. دعونا نجد عوامل إضافية لكل من الكسور: ستكون هذه هي منتجات تلك العوامل الموجودة في المقام المشترك (الجديد)، ولكنها ليست في المقام القديم.

3) معايير العمل المستقل مع الاختبار الذاتي:

3) بطاقة لمرحلة التأمل.

1. هذا الموضوع واضح بالنسبة لي.
2. أعرف كيفية إيجاد عوامل إضافية لكل كسر.
3. يمكنني العثور على بسط جديدة لكل كسر.
4. لقد نجح كل شيء بالنسبة لي عندما كنت أعمل بشكل مستقل.
5. لقد تمكنت من فهم سبب الخطأ الذي ارتكبته في العمل المستقل.
6. أنا راضٍ عن عملي في الفصل.

خلال الفصول الدراسية

1. تقرير المصير للنشاط.

أهداف المرحلة:

1. دمج الطلاب في الأنشطة التعليمية: استمرار الرحلة حول البلاد "التعبيرات الجبرية".
2. تحديد محتوى الدرس: مواصلة العمل مع الكسور الجبرية.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الأولى:

صباح الخير شباب! نواصل رحلتنا المثيرة عبر بلد "التعابير الجبرية".

ما "سكان" البلاد الذين التقينا بهم في الدروس السابقة؟ (مع التعبيرات الجبرية.)

ماذا يمكننا أن نفعل بالتعبيرات الجبرية المألوفة؟ (جمع وطرح.)

أيّ ميزة مميزةالكسور الجبرية التي نعرف بالفعل كيفية جمعها وطرحها؟ (نجمع ونطرح الكسور التي لها نفس المقام).

يمين. لكننا جميعًا ندرك جيدًا أن المهارات اللازمة لإجراء العمليات على الكسور الجبرية التي لها نفس المقامات ليست كافية. ما الذي تعتقد أننا بحاجة إلى تعلم القيام به؟ (قم بإجراء العمليات على الكسور التي لها مقامات مختلفة.)

أحسنت! فهل نكمل رحلتنا إذن؟ (نعم!)

2. تحديث المعرفة وتسجيل الصعوبات في الأنشطة.

أهداف المرحلة:

1. لتحديث المعرفة حول إجراء العمليات على الكسور التي لها نفس المقامات وطرق الحسابات الذهنية.
2. سجل الصعوبة.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثانية:

هناك عدة أمثلة على اللوحة لإجراء العمليات مع الكسور:

5) -=-==.

ويطلب من الطلاب التعبير عن حلولهم بصوت عال.

في المثال الأول، يقدم الرجال بسهولة الإجابة الصحيحة، وتذكر الخوارزمية لتنفيذ الإجراءات مع الكسور الجبرية التي لها نفس المقامات.

عندما يتم التعليق بالفعل على المثال رقم 2، يركز المعلم على المثال رقم 2:

يا رفاق، انظروا إلى ما هو المثير للاهتمام في المثال رقم 2؟ (لم نقم بإجراء العمليات على الكسور الجبرية التي لها نفس المقامات فحسب، بل قمنا أيضًا بتقليل الكسر الجبري الناتج: لقد أخرجنا علامة الطرح من الأقواس، وحصلنا في البسط والمقام على عوامل متطابقة، والتي قمنا من خلالها بتخفيض النتيجة لاحقًا .)

من الجيد أنك لم تنس أن الخاصية الأساسية للكسر لا تنطبق فقط على الكسور العادية، بل أيضًا على الكسور الجبرية!

من سيعلق على حل الأمثلة الثلاثة التالية للجميع؟

على الأرجح، سيكون هناك طالب يمكنه حل المثال رقم 3 بسهولة.

ماذا استخدمت لحل المثال رقم 3؟ (لقد ساعدتني خوارزمية جمع وطرح الكسور العادية ذات المقامات المختلفة).

كيف بالضبط تصرفت؟ (لقد قمت باختزال الكسور الجبرية إلى أصغر مقام مشترك وهو 15 ثم أضفتها.)

مدهش! كيف حالنا مع المثالين الأخيرين؟

عندما يتعلق الأمر بالمثالين التاليين، يقوم الرجال (كل واحد لنفسه) بإصلاح الصعوبة التي نشأت.

كلمات الطلاب هي مثل هذا:

أجد صعوبة في إكمال الأمثلة 4-5، حيث أن أمامي كسور جبرية، وليست ذات مقامات "متماثلة"، وهذه المقامات المختلفة تتضمن متغيرات (رقم 4)، وفي رقم 5 توجد تعبيرات حرفية في القواسم!.."

لم يتم تلقي إجابة المهام 4-5.

3. تحديد مكان الصعوبات وأسبابها وتحديد أهداف النشاط.

أهداف المرحلة:

1. سجل المميز خاصية الوظيفةمما تسبب في صعوبات في الأنشطة التعليمية.
2. صياغة الغرض وموضوع الدرس.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثالثة:

شباب؟ أين نشأت الصعوبة؟ (في الأمثلة 4-5.)

لماذا عند حلها لست مستعدًا لمناقشة القرار وإعطاء الإجابة؟ (لأن الكسور الجبرية المقترحة في هذه المهام لها مقامات مختلفة، ونحن على دراية بخوارزمية إجراء العمليات على الكسور الجبرية التي لها نفس المقامات.

ماذا نحتاج أيضًا لنكون قادرين على القيام به؟ (تحتاج إلى تعلم كيفية جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة.)

أنا أتفق معك. كيف يمكننا صياغة موضوع درسنا اليوم؟ (جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة.)

يتم كتابة موضوع الدرس في دفاتر الملاحظات.

4. بناء مشروع للخروج من الصعوبة.

الغرض من المرحلة:

1. بناء الأطفال لطريقة جديدة في التمثيل.
2. تثبيت خوارزمية اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الرابعة:

ما الهدف الذي سنضعه لأنفسنا في الصف اليوم؟ (تعلم كيفية جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة.)

كيف تكون؟ (للقيام بذلك، يجب علينا بناء خوارزمية لمزيد من العمل مع الكسور الجبرية.)

ما الذي يجب أن نتوصل إليه لتحقيق هدف الدرس؟ (خوارزمية لتقليل الكسور الجبرية إلى مقام مشترك، حتى نتمكن بعد ذلك من العمل وفقًا للقاعدة المعتادة لجمع وطرح الكسور ذات المقامات نفسها.)

يمكن تنظيم العمل في مجموعات، حيث يتم إعطاء كل مجموعة ورقة وقلم تحديد. يمكن للطلاب اقتراح إصداراتهم الخاصة من الخوارزمية في شكل قائمة من الخطوات. يتم تخصيص 5 دقائق للعمل. تنشر المجموعات خياراتها الخاصة بخوارزمية أو قاعدة، ثم يتم تحليل كل خيار.

على الأرجح، سيرسم أحد الطلاب بالتأكيد تشبيهًا للخوارزمية الخاصة به مع خوارزمية جمع وطرح الكسور العادية ذات المقامات المختلفة: أولاً، يقومون بإحضار الكسور إلى مقام مشترك باستخدام العوامل الإضافية المقابلة، ثم يجمعون ويطرحون الكسور الناتجة مع نفس القواسم.

وبعد ذلك، يتم عرض خيار واحد. يمكن أن يكون مثل هذا:

1. نحن نعامل جميع المقامات.
2. من المقام الأول نكتب حاصل ضرب جميع عوامله، ومن المقامات المتبقية نخصص العوامل المفقودة لهذا المنتج. سيكون المنتج الناتج هو القاسم المشترك (الجديد).
3. دعونا نجد عوامل إضافية لكل من الكسور: ستكون هذه هي منتجات تلك العوامل الموجودة في المقام الجديد، ولكنها ليست في المقام القديم.
4. لنجد بسطًا جديدًا لكل كسر: سيكون هذا حاصل ضرب البسط القديم وعاملًا إضافيًا.
5. لنكتب كل كسر ببسط جديد ومقام مشترك (جديد).

حسنًا، دعونا نطبق القاعدة لإكمال المهام المقترحة التي لم يتم حلها. يتم نطق كل مهمة (4، 5) واحدة تلو الأخرى من قبل بعض الطلاب في الفصل، ويقوم المعلم بتسجيل الحل على السبورة.

أنت وأنا ببساطة عباقرة! لقد قمنا ببناء خوارزمية لجمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة. ومن خلال الجهود المشتركة، تغلبنا على الصعوبة، حيث أصبح أمامنا الآن "دليل" (خوارزمية) حقيقي إلى بلد "الكسور الجبرية" المجهول!

5. التوحيد الأساسي في الكلام الخارجي.

الغرض من المرحلة:

1. تدريب القدرة على اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك.
2. تنظيم نطق المحتوى المدروس لخوارزمية القاعدة في الكلام الخارجي.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الخامسة:

يا شباب، كلنا نعلم جيدًا أن مجرد البحث ومعرفة "خريطة المنطقة" ليس رحلة. ماذا علينا أن نفعل للتعمق أكثر في عالم الكسور الجبرية؟ (يجب علينا حل الأمثلة، والتدرب بشكل عام على حل الأمثلة، من أجل تعزيز خوارزميتنا الجديدة).

صح تماما. ولذلك أقترح أن نبدأ بحثنا.

يذكر الطالب شفهيًا خطة الحل، ويقوم المعلم بتصحيحه في حالة وجود بعض الأخطاء.

يبدو تقريبًا مثل هذا:

يجب أن نختار رقمًا يقبل القسمة على 2 و5. هذا هو الرقم 10. ثم نختار المتغيرات بالدرجة التي نحتاجها. إذن المقام الجديد سيكون 10xy. نختار مضاعفات إضافية. إلى الكسر الأول: 5y، إلى الثاني: 2x. نقوم بضرب العوامل الإضافية المحددة في كل بسط قديم. نحصل على كسور جبرية ذات مقامات متطابقة ونجري عملية الطرح وفقًا للقاعدة المألوفة لنا بالفعل.

أنا مسرور. والآن سوف ينقسم فريقنا الكبير إلى أزواج، وسنواصل طريقنا المثير للاهتمام.

رقم 133 (أ، د). يعمل الطلاب في أزواج، ويتحدثون من خلال الحل مع بعضهم البعض:

أ) +=+= =;

د) +=+= =.

6. عمل مستقلمع الاختبار الذاتي.

أهداف المرحلة:

1. القيام بعمل مستقل.
2. قم بإجراء اختبار ذاتي باستخدام معيار اختبار ذاتي جاهز.
3. سيقوم الطلاب بتسجيل الصعوبات وتحديد أسباب الأخطاء وتصحيح الأخطاء.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة السادسة:

لقد شاهدت عملك بعناية وتوصلت إلى استنتاج مفاده أن كل واحد منكم مستعد للتفكير بشكل مستقل في الطرق وإيجاد حلول للأمثلة المتعلقة بموضوعنا اليوم. لذلك، أقدم لك عملاً مستقلاً صغيرًا، وبعد الانتهاء منه سيتم عرض عليك معيارًا يحتوي على الحل والإجابة الصحيحة.

رقم 134 (أ، ب): أداء العمل حسب الخيارات.

بعد الانتهاء من العمل، يتم إجراء فحص قياسي. عند التحقق من الحلول، يضع الطلاب علامة "+" للحل الصحيح، "؟" ليس القرار الصحيح. يُنصح الطلاب الذين ارتكبوا أخطاء بشرح سبب إكمالهم للمهمة بشكل غير صحيح.

ويتم تحليل الأخطاء وتصحيحها.

إذًا، ما هي الصعوبات التي واجهتها على طول الطريق؟ (لقد ارتكبت خطأً عند فك الأقواس، التي تسبقها علامة الطرح.)

ما هو سبب هذا؟ (فقط بسبب الإهمال، ولكنني سأكون أكثر حذراً في المستقبل!)

ما الذي بدا صعبًا أيضًا؟ (هل كان من الصعب علي إيجاد عوامل إضافية للكسور؟)

أنت بالتأكيد بحاجة إلى دراسة النقطة 3 من الخوارزمية بمزيد من التفصيل حتى لا تنشأ مثل هذه المشكلة في المستقبل!

هل كانت هناك أي صعوبات أخرى؟ (وأنا ببساطة لم أحضر مثل هذه الشروط).

ويمكن إصلاح هذا. عندما تفعل كل ما هو ممكن باستخدام الخوارزمية الجديدة، عليك أن تتذكر المادة التي درستها منذ وقت طويل. على وجه الخصوص، جلب مصطلحات مماثلة، أو تقليل الكسور، وما إلى ذلك.

7. دمج المعرفة الجديدة في نظام المعرفة.

الغرض من المرحلة: تكرار وتوحيد خوارزمية جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة التي تم تعلمها في الدرس.

8. انعكاس الدرس.

الغرض من المرحلة: تسجيل محتوى جديد وتقييم الأنشطة الخاصة بالفرد.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثامنة:

ما الهدف الذي حددناه في بداية الدرس؟ (تعلم كيفية جمع وطرح الكسور ذات القواسم المختلفة.)

ماذا توصلنا لتحقيق الهدف؟ (خوارزمية جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة.)

ماذا استخدمنا لهذا؟ (لقد قمنا بتحليل المقامات، واخترنا المضاعف المشترك الأصغر للمعاملات، وعوامل إضافية للبسط.)

الآن خذ قلمًا ملونًا أو قلم فلوماستر وقم بوضع علامة "+" على العبارات التي تتفق مع حقيقتها:

كل طالب لديه بطاقة مع العبارات. يقوم الأطفال بتمييز وعرضها على المعلم.

أحسنت!

الواجب المنزلي: الفقرة 4 (الكتاب المدرسي)؛ رقم 126، 127 (كتاب المسائل).

في هذه المقالة سوف نحلل بالتفصيل جمع وطرح الكسور الجبرية. لنبدأ بجمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة. بعد ذلك، نكتب القاعدة المقابلة للكسور ذات المقامات المختلفة. وفي الختام، سنوضح كيفية جمع كسر جبري متعدد الحدود وكيفية طرحهما. وفقًا للتقاليد، سنقدم جميع المعلومات مع أمثلة نموذجية تشرح كل خطوة من خطوات عملية الحل.

التنقل في الصفحة.

عندما تكون القواسم هي نفسها

تنطبق المبادئ على الكسور الجبرية. نحن نعلم أنه عند جمع وطرح الكسور العادية ذات المقامات المتشابهة، يتم جمع بسطيها أو طرحها، لكن المقام يظل كما هو. على سبيل المثال، و .

صياغة بالمثل قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة: لجمع أو طرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة، عليك إضافة أو طرح بسط الكسور وفقًا لذلك، مع ترك المقام دون تغيير.

ويترتب على هذه القاعدة أنه نتيجة لإضافة أو طرح الكسور الجبرية، يتم الحصول على كسر جبري جديد (في حالة معينة، متعدد الحدود، أحادي الحد أو رقم).

دعونا نعطي مثالا على تطبيق القاعدة المذكورة.

مثال.

أوجد مجموع الكسور الجبرية و .

حل.

علينا جمع كسور جبرية ذات مقامات متشابهة. تنص القاعدة على أننا بحاجة إلى جمع بسط هذه الكسور، مع ترك المقام كما هو. لذا، نجمع كثيرات الحدود الموجودة في البسط: x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2 x y−x y)−5+3=x 2 +x y−2. وبالتالي فإن مجموع الكسور الأصلية يساوي .

في الممارسة العملية، عادة ما يتم كتابة الحل لفترة وجيزة في شكل سلسلة من المساواة تعكس جميع الإجراءات المنجزة. في حالتنا، النسخة القصيرة من الحل هي:

إجابة:

.

لاحظ أنه إذا تم الحصول على جزء قابل للاختزال نتيجة لإضافة أو طرح الكسور الجبرية، فمن المستحسن تقليله.

مثال.

اطرح الكسور من الكسور الجبرية.

حل.

بما أن مقامات الكسور الجبرية متساوية، فأنت بحاجة إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام كما هو: .

من السهل أن نرى أنه من الممكن تبسيط الكسر الجبري. للقيام بذلك، نحول مقامه عن طريق التطبيق صيغة الفرق المربع. لدينا.

إجابة:

.

تتم إضافة أو طرح ثلاثة وثلاثة بنفس الطريقة تمامًا. كمية كبيرةالكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة. على سبيل المثال، .

جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة

دعونا نتذكر كيف نجمع ونطرح الكسور العادية ذات المقامات المختلفة: أولاً نحضرها إلى مقام مشترك، ثم نضيف هذه الكسور ذات المقامات نفسها. على سبيل المثال، أو .

هناك شيء مماثل قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة:

• أولاً، يتم اختزال جميع الكسور إلى قاسم مشترك؛
• وبعد ذلك يتم إضافة وطرح الكسور الناتجة التي لها نفس القواسم.

ل تطبيق ناجحوفقًا للقاعدة المذكورة، يجب أن يكون لديك فهم جيد لاختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك. هذا ما سنفعله

اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك.

إن اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك هو تحويل مماثل للكسور الأصلية، وبعد ذلك تصبح مقامات جميع الكسور هي نفسها. أنها مريحة لاستخدام ما يلي خوارزمية لتقليل الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك:

• أولاً، تم إيجاد القاسم المشترك للكسور الجبرية؛
• بعد ذلك، يتم تحديد عوامل إضافية لكل كسر، حيث يتم تقسيم المقام المشترك على مقامات الكسور الأصلية؛
• وأخيرًا، يتم ضرب بسط ومقامات الكسور الجبرية الأصلية في العوامل الإضافية المقابلة.

مثال.

إعطاء الكسور الجبرية و إلى قاسم مشترك.

حل.

أولاً، دعونا نحدد القاسم المشترك للكسور الجبرية. للقيام بذلك، قم بتحليل مقامات جميع الكسور: 2 أ 3 −4 أ 2 =2 أ 2 (أ−2), 3 أ 2 −6 أ=3 أ (أ−2) و 4 أ 5 −16 أ 3 =4 أ 3 (أ−2) (أ+2). من هنا نجد القاسم المشترك 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

الآن لنبدأ في إيجاد عوامل إضافية. للقيام بذلك، نقسم المقام المشترك على مقام الكسر الأول (من الملائم أن نأخذ توسعته)، لدينا 12 أ 3 (أ−2) (أ+2):(2 أ 2 (أ−2))=6 أ (أ+2). وبالتالي، فإن العامل الإضافي للكسر الأول هو 6·a·(a+2) . وبالمثل، نجد عوامل إضافية للكسرين الثاني والثالث: 12 أ 3 (أ−2) (أ+2):(3 أ (أ−2))=4 أ 2 (أ+2)و 12 أ 3 (أ−2) (أ+2):(4 أ 3 (أ−2) (أ+2))=3.

يبقى ضرب بسط ومقامات الكسور الأصلية بالعوامل الإضافية المقابلة:

وبذلك يكتمل اختزال الكسور الجبرية الأصلية إلى قاسم مشترك. إذا لزم الأمر، يمكن تحويل الكسور الناتجة إلى شكل كسور جبرية عن طريق ضرب كثيرات الحدود ووحيدات الحد في البسط والمقامات.

إذن، نكون قد قمنا باختزال الكسور الجبرية إلى مقام مشترك. نحن الآن جاهزون لإجراء جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتباينة. نعم، لقد نسينا أن نحذرك تقريبًا: من الملائم ترك القاسم المشترك المقدم على شكل منتج حتى اللحظة الأخيرة - قد تضطر إلى تقليل الكسر الناتج بعد الجمع أو الطرح.

مثال.

إجراء إضافة الكسور الجبرية و .

حل.

من الواضح أن الكسور الأصلية لها مقامات مختلفة، لذا لتتمكن من جمعها، عليك أولًا اختزالها إلى مقام مشترك. للقيام بذلك، قم بتحليل المقامات: x 2 +x=x·(x+1) و x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) ، لأن جذور ثلاثية الحدود المربعة x 2 + 3 x+2 هما الرقمان −1 و −2. من هنا نجد القاسم المشترك وهو على الصورة x·(x+1)·(x+2) . إذن العامل الإضافي للكسر الأول سيكون x+2، والكسر الثاني سيكون x.

لذلك، و.

كل ما تبقى هو إضافة الكسور المختزلة إلى قاسم مشترك:

يمكن تقليل الكسر الناتج. وبالفعل، إذا أخرجت الاثنين من بين قوسين في البسط، فسوف ترى المضاعف المشترك x+1، والذي يتم من خلاله تقليل الكسر: .

أخيرًا، نمثل الكسر الناتج ككسر جبري، حيث نستبدل حاصل الضرب في المقام بكثير حدود: .

دعونا نصوغ حلاً قصيرًا يأخذ في الاعتبار جميع أسبابنا:

إجابة:

.

ونقطة أخرى: قبل إضافة أو طرح الكسور الجبرية، يُنصح بتحويلها أولاً من أجل التبسيط (إذا كان هناك مثل هذا الاحتمال بالطبع).

مثال.

إجراء الطرح من الكسور الجبرية و .

حل.

لنجري بعض تحويلات الكسور الجبرية، ربما تؤدي إلى تبسيط عملية الحل. في البداية، دعونا نخرج المعاملات العددية للمتغيرات الموجودة في المقام من الأقواس: و . إنه أمر مثير للاهتمام بالفعل - لقد أصبح العامل المشترك لمقامات الكسور مرئيًا.

سيتناول هذا الدرس جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة. نحن نعرف بالفعل كيفية جمع وطرح الكسور المشتركة ذات المقامات المتشابهة. اتضح أن الكسور الجبرية تتبع نفس القواعد. تعد القدرة على التعامل مع الكسور ذات القواسم المتشابهة واحدة من حجر الزاويةفي تعلم قواعد العمل مع الكسور الجبرية. على وجه الخصوص، فإن فهم هذا الموضوع سيجعل من السهل إتقانه أكثر موضوع صعب- جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة. كجزء من الدرس، سوف ندرس قواعد جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة، وكذلك تحليل عدد من الأمثلة النموذجية

قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) الكسور al-geb-ra-i-che-skih من واحد إلى أنت -mi اعرفني-نا-تي-لا-مي (تتوافق مع القاعدة المشابهة لإيقاعات الطلقات العادية): وذلك لجمع أو حساب كسور الجيب-را-آي-تشي-سكيه بواحد لك. تعرفني على-لا-مي من الضروري -ho-di-mo-تجميع مجموع al-geb-ra-i-che-sum المقابل للأرقام، وإجازة Sign-me-na-tel دون أي شيء.

نحن نفهم هذه القاعدة سواء بالنسبة لمثال ven-draws العادي أو لمثال al-geb-ra-i-che-draws.

أمثلة على تطبيق القاعدة على الكسور العادية

مثال 1. إضافة الكسور: .

حل

فلنجمع عدد الكسور، ونترك الإشارة كما هي. بعد ذلك نقوم بتحليل العدد وتسجيله في مضاعفات وتركيبات بسيطة. لنحصل عليه: .

ملاحظة: خطأ قياسي مسموح به عند حل أنواع مماثلة من الأمثلة، لـ -klu-cha-et-sya في الحل المحتمل التالي: . وهذا خطأ فادح، لأن العلامة تبقى كما كانت في الكسور الأصلية.

مثال 2. إضافة الكسور: .

حل

وهذا لا يختلف بأي حال من الأحوال عن السابق: .

أمثلة على تطبيق قاعدة الكسور الجبرية

من الإيقاعات العادية، ننتقل إلى الجيب-را-آي-تشي-سكيم.

مثال 3. إضافة الكسور: .

الحل: كما ذكرنا أعلاه، فإن تكوين كسور الجيب-را-آي-تشي لا يختلف بأي حال من الأحوال عن الكلمة نفسها مثل معارك إطلاق النار المعتادة. وبالتالي فإن طريقة الحل هي نفسها: .

مثال 4. أنت الكسر: .

حل

You-chi-ta-nie من كسور الجيب-ra-i-che-skih من الإضافة فقط من خلال حقيقة أنه في عدد pi-sy-va-et-sya الفرق في عدد الكسور المستخدمة. لهذا .

مثال 5. أنت الكسر: .

حل: .

مثال 6. تبسيط: .

حل: .

أمثلة على تطبيق القاعدة تليها التخفيض

في الكسر الذي له نفس المعنى في نتيجة التركيب أو الحساب، تكون التركيبات ممكنة نيا. بالإضافة إلى ذلك، يجب ألا تنسى كسور ODZ Al-geb-ra-i-che-skih.

مثال 7. تبسيط: .

حل: .

حيث . بشكل عام، إذا تزامن ODZ للكسور الأولية مع ODZ للمجموع، فيمكن حذفه (بعد كل شيء، الكسر الموجود في الإجابة، لن يكون موجودًا أيضًا مع التغييرات المهمة المقابلة). ولكن إذا كانت ODZ للكسور المستخدمة والإجابة غير متطابقة، فيجب الإشارة إلى ODZ.

مثال 8. تبسيط: .

حل: . في الوقت نفسه، y (لا يتطابق ODZ للكسور الأولية مع ODZ للنتيجة).

جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة

لإضافة وقراءة كسور الجيب-را-آي-تشي مع طرق مختلفة لتعرفني على-لا-مي، نقوم بعمل ana-lo -giyu مع كسور فين-ني العادية ونقلها إلى الجيب -ra-i-che-الكسور.

دعونا نلقي نظرة على أبسط مثال للكسور العادية.

مثال 1.إضافة الكسور: .

حل:

دعونا نتذكر قواعد إضافة الكسور. لتبدأ بكسر، من الضروري إحضاره إلى علامة مشتركة. أنت تتصرف كعلامة عامة للكسور العادية أقل مضاعف مشترك(NOK) العلامات الأولية.

تعريف

أصغر رقم مقسم في نفس الوقت إلى أرقام و.

للعثور على شهادة عدم الممانعة (NOC)، تحتاج إلى تقسيم المعرفة إلى مجموعات بسيطة، ثم تحديد كل شيء هناك الكثير، والذي تم تضمينه في قسم كلتا العلامتين.

; . ثم يجب أن يتضمن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام رقمين اثنين وثلاثتين: .

بعد العثور على المعرفة العامة، من الضروري أن يجد كل كسر مقيم التعدد الكامل (في الواقع، صب العلامة المشتركة على علامة الكسر المقابل).

ثم يتم ضرب كل كسر بعامل النصف الكامل. لنأخذ بعض الكسور من نفس الكسور التي تعرفها ونجمعها ونقرأها - درستها في الدروس السابقة.

دعونا نأكل: .

إجابة:.

دعونا الآن نلقي نظرة على تكوين كسور الجيب رع بعلامات مختلفة. والآن لنلق نظرة على الكسور ونرى ما إذا كانت هناك أي أرقام.

جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة

مثال 2.إضافة الكسور: .

حل:

Al-go-إيقاع القرار ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen للمثال السابق. من السهل أخذ الإشارة المشتركة للكسور المعطاة: ومضاعفات إضافية لكل منها.

.

إجابة:.

لذلك، دعونا نشكل إيقاع الجمع وحساب كسور الجيب-را-تشي-سكيه بعلامات مختلفة:

1. أوجد أصغر علامة مشتركة للكسر.

2. ابحث عن مضاعفات إضافية لكل كسر (في الواقع، يتم إعطاء العلامة المشتركة للعلامة -الكسر).

3. ما يصل إلى أرقام متعددة على التعددية المقابلة حتى الكاملة.

4. إضافة أو حساب الكسور باستخدام الإضافات يمين الصغرى وحساب الكسور بنفس المعرفة -me-na-te-la-mi.

الآن دعونا نلقي نظرة على مثال للكسور التي توجد في علامتها الحروف -nia.

الوسائل التنموية والتعليمية في المتجر الإلكتروني "إنتجرال"
دليل الكتاب المدرسي Muravin G.K. دليل للكتاب المدرسي من تأليف Makarychev Yu.N.

ما هو الكسر الجبري؟

الكسر الجبري هو تعبير بالصيغة: $\frac(P)(Q)$.

أين:
P هو بسط الكسر الجبري.
Q هو مقام الكسر الجبري.

فيما يلي أمثلة على الكسور الجبرية:

$\frac(a)(b)$، $\frac(12)(q-p)$، $\frac(7y-4)(y)$.

الخصائص الأساسية للكسور الجبرية

ويسمى هذا التحول خلاف ذلك تطابق. يتم استخدامه لتقليل التعبير الجبري (وليس فقط) إلى شكل أبسط، وسيكون العمل مع هذا التعبير أكثر ملاءمة.

$\frac(a)(4b^2)=\frac(a*3b)(4b^2*3b)=\frac(3ab)(12b^3)$.

$\frac(a^2)(6b^3)=\frac(a^2*2)(6b^3*2)=\frac(2a^2)(12b^3)$.

الملكية 2.
يمكن تقسيم كل من البسط والمقام للكسر على نفس الرقم (إما أحادي الحد أو متعدد الحدود). ونتيجة لذلك، سوف نحصل على نفس الكسر، ولكن في شكل مختلف.

كما في حالة الضرب فهذا تحول متطابقاللجوء إلى تمثيل الكسر في المزيد في شكل بسيطوتسهيل العمل معها.

جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة

قاعدة عامة:

$\frac(a)(d)+\frac(b)(d)-\frac(c)(d)=\frac(a+b-c)(d)$.

تبسيط التعبير:

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)$.

نستخدم قاعدة جمع الكسور الموضحة أعلاه، أي أننا نجمع البسط ونكتب القاسم المشترك.

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)=\frac ((2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5))(a^2-ab)$.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)$.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)=\frac(2a(a+b))(a(a-b))=\frac(2(a+b))(a-b)=\ فارك (2أ+2ب)(أ-ب)$.

جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة

مثال.
احسب:

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)$.

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)=\frac(3ab)(12b^3)+\frac(2a^2)(12b^3)=
\frac(3ab+2a^2)(12b^3)$.

يتذكر!
بالنسبة إلى كسرين جبريين، يمكنك اختيار أي عدد تريده من القواسم المشتركة. ولكن لتبسيط الحسابات، عليك أن تختار أبسط حساب ممكن.