ما هو التعبير المطابق أ ب. التحولات المتماثلة للتعبيرات وأنواعها

أثناء دراسة الجبر، صادفنا مفاهيم كثيرة الحدود (على سبيل المثال ($y-x$,$\ 2x^2-2x$، وما إلى ذلك) والكسر الجبري (على سبيل المثال $\frac(x+5)(x)$ ، $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$، وما إلى ذلك) تشابه هذه المفاهيم هو أنه في كل من كثيرات الحدود والكسور الجبرية هناك متغيرات و القيم العددية، يتم الوفاء بها عمليات حسابية: الجمع، الطرح، الضرب، الأسي. الفرق بين هذه المفاهيم هو أنه في كثيرات الحدود لا يتم القسمة على متغير، ولكن في الكسور الجبرية يمكن إجراء القسمة على متغير.

تسمى كل من كثيرات الحدود والكسور الجبرية بالتعبيرات الجبرية العقلانية في الرياضيات. لكن كثيرات الحدود هي تعبيرات عقلانية كاملة وكسور جبرية كسور عقلانيالتعبيرات.

من الممكن الحصول على تعبير جبري كامل من تعبير كسري عقلاني باستخدام تحويل الهوية، والذي سيكون في هذه الحالة الخاصية الرئيسية للكسر - اختزال الكسور. دعونا نتحقق من ذلك عمليا:

مثال 1

تحويل:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

حل:تحويل معين معادلة عقلانية كسريةممكن باستخدام الخاصية الأساسية لكسر التخفيض، أي. قسمة البسط والمقام على نفس الرقم أو التعبير بخلاف $0$.

لا يمكن تبسيط هذا الكسر على الفور، بل يجب تحويل البسط.

لنقم بتحويل التعبير إلى بسط الكسر، ولهذا نستخدم صيغة مربع الفرق: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

يبدو الكسر

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

الآن نلاحظ أن البسط والمقام موجودان المضاعف المشترك--هذا هو التعبير $x-2$، والذي من خلاله سنقوم بتبسيط الكسر

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

بعد التخفيض، وجدنا أن التعبير العقلاني الكسري الأصلي $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ أصبح متعدد الحدود $x-2$، أي. عقلانية كاملة.

الآن دعونا ننتبه إلى حقيقة أن التعبيرات $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ و $x-2\ $ يمكن اعتبارها متطابقة ليس لجميع قيم المتغير، لأن من أجل وجود تعبير كسري كسري ويكون قادرًا على التصغير بواسطة متعدد الحدود $x-2$، يجب ألا يكون مقام الكسر مساويًا لـ $0$ (بالإضافة إلى العامل الذي نقوم بالتقليل به. في هذا المثالالمقام والمضاعف متماثلان، لكن هذا ليس هو الحال دائمًا).

تسمى قيم المتغير الذي يوجد عنده الكسر الجبري القيم المسموح بها للمتغير.

لنضع شرطًا على مقام الكسر: $x-2≠0$، ثم $x≠2$.

وهذا يعني أن التعبيرات $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ و$x-2$ متطابقة لجميع قيم المتغير باستثناء $2$.

التعريف 1

متساويين تمامًاالتعبيرات هي تلك التي تكون متساوية لجميع القيم الصالحة للمتغير.

التحويل المطابق هو أي استبدال للتعبير الأصلي بعبارة مساوية له، وتشمل هذه التحويلات القيام بالأفعال: الجمع والطرح والضرب ووضع العامل المشترك بين قوسين والتخفيض الكسور الجبريةإلى قاسم مشترك، تقليل الكسور الجبرية، تقليل المصطلحات المتشابهة، إلخ. ومن الضروري أن نأخذ في الاعتبار أن عددا من التحولات، مثل التخفيض، والحد من المصطلحات المماثلة، يمكن أن تغير القيم المسموح بها للمتغير.

التقنيات المستخدمة لإثبات الهويات

يقود الجهه اليسرىالهويات إلى اليمين أو العكس باستخدام تحويلات الهوية

اختزل كلا الجانبين إلى نفس التعبير باستخدام تحويلات متطابقة

انقل التعبيرات في جزء من التعبير إلى جزء آخر وأثبت أن الفرق الناتج يساوي $0$

أي من الأساليب المذكورة أعلاه التي يجب استخدامها لإثبات هوية معينة تعتمد على الهوية الأصلية.

مثال 2

اثبات الهوية $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

حل:ولإثبات هذه الهوية نستخدم أول الطرق المذكورة أعلاه، وهي تحويل الجانب الأيسر من الهوية حتى يصبح مساوياً لليمين.

لنفكر في الجانب الأيسر من الهوية: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - يمثل الفرق بين كثيرتي الحدود. في هذه الحالة، كثيرة الحدود الأولى هي مربع مجموع ثلاثة حدود، لتربيع مجموع عدة حدود نستخدم الصيغة:

\[((أ+ب+ج))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى ضرب عدد في كثيرة الحدود. تذكر أننا لهذا نحتاج إلى ضرب العامل المشترك خلف الأقواس في كل حد من كثيرة الحدود الموجودة بين القوسين. ثم نحصل على:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

لنعد الآن إلى كثيرة الحدود الأصلية، وستكون على الشكل التالي:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

مع العلم أنه قبل القوس هناك إشارة "-" مما يعني أنه عند فتح القوسين تتغير كل الإشارات التي كانت بين القوسين إلى العكس.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= أ ^2+ب^2+ج^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة، ثم نحصل على أن وحيدات الحد $2ab$، $2ac$،$\ 2bc$ و $-2ab$،$-2ac$، $-2bc$ تلغي بعضها البعض، أي. مجموعهم هو $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= أ ^2+ب^2+ج^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

وهذا يعني أنه من خلال التحولات متطابقة حصلنا عليها تعبير متطابقعلى الجانب الأيسر من الهوية الأصلية

$((أ+ب+ج))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

لاحظ أن التعبير الناتج يوضح أن الهوية الأصلية صحيحة.

يرجى ملاحظة أنه في الهوية الأصلية جميع قيم المتغير مسموح بها، مما يعني أننا أثبتنا الهوية باستخدام تحويلات الهوية، وهذا صحيح لجميع القيم الممكنة للمتغير.

هذه المقالة تعطي نقطة انطلاق فكرة الهويات. هنا سوف نحدد الهوية، ونقدم الترميز المستخدم، وبالطبع، نعطي أمثلة مختلفةالمتطابقات

التنقل في الصفحة.

ما هي الهوية؟

من المنطقي البدء في تقديم المادة تعريفات الهوية. في كتاب ماكاريشيف يو ن، الجبر للصف السابع، تم تقديم تعريف الهوية على النحو التالي:

تعريف.

هوية- هذه مساواة صحيحة لأي قيم للمتغيرات؛ وأي مساواة عددية حقيقية هي أيضًا هوية.

وفي الوقت نفسه، ينص المؤلف على الفور على أنه سيتم توضيح هذا التعريف في المستقبل. يحدث هذا التوضيح في الصف الثامن، بعد التعرف على التعريف القيم المقبولةالمتغيرات وODZ. ويصبح التعريف:

تعريف.

المتطابقات- هذه هي المساواة العددية الحقيقية، وكذلك المساواة الحقيقية لجميع القيم المسموح بها للمتغيرات المضمنة فيها.

فلماذا، عند تعريف الهوية، في الصف السابع نتحدث عن أي قيم للمتغيرات، وفي الصف الثامن نبدأ الحديث عن قيم المتغيرات من DL الخاصة بهم؟ حتى الصف الثامن، يتم تنفيذ العمل حصريًا باستخدام التعبيرات الكاملة (على وجه الخصوص، مع أحاديات الحد ومتعددات الحدود)، وتكون منطقية لأي قيم للمتغيرات المضمنة فيها. ولهذا السبب قلنا في الصف السابع أن الهوية هي مساواة صحيحة لأي قيم للمتغيرات. وفي الصف الثامن، تظهر التعبيرات التي لم تعد ذات معنى ليس لجميع قيم المتغيرات، ولكن فقط للقيم من ODZ الخاصة بها. لذلك، نبدأ بتسمية المساواة الصحيحة لجميع القيم المقبولة للمتغيرات.

هكذا هي الهوية حالة خاصةالمساواة. أي أن أي هوية هي المساواة. لكن ليست كل مساواة هوية، بل فقط مساواة صحيحة لأي قيم للمتغيرات من نطاق قيمها المسموح بها.

علامة الهوية

ومن المعروف أنه في كتابة المساواة تستخدم إشارة التساوي على الشكل "="، ويوجد عن يسارها ويمينها بعض الأرقام أو التعبيرات. إذا أضفنا خطًا أفقيًا آخر إلى هذه العلامة، فسنحصل على علامة الهوية"≡" أو كما يطلق عليه أيضًا علامة يساوي.

عادة ما يتم استخدام علامة الهوية فقط عندما يكون من الضروري التأكيد بشكل خاص على أننا لا نواجه المساواة فحسب، بل الهوية. وفي حالات أخرى، لا تختلف سجلات الهويات في المظهر عن المتساويات.

أمثلة على الهويات

حان الوقت لجلب أمثلة على الهويات. تعريف الهوية الوارد في الفقرة الأولى سيساعدنا في ذلك.

المساواة العددية 2=2 هي أمثلة على الهويات، حيث أن هذه المساواة صحيحة، وأي مساواة عددية حقيقية هي بحكم تعريفها هوية. يمكن كتابتها كـ 2≡2 و .

المساواة العددية بالشكل 2+3=5 و7−1=2·3 هي أيضًا متطابقات، نظرًا لأن هذه المساواة صحيحة. أي 2+3≡5 و 7−1≡2·3.

دعنا ننتقل إلى أمثلة الهويات التي لا تحتوي على أرقام فحسب، بل تحتوي أيضًا على متغيرات.

خذ بعين الاعتبار المساواة 3·(x+1)=3·x+3. لأي قيمة للمتغير x، تكون المساواة المكتوبة صحيحة بسبب خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع، وبالتالي فإن المساواة الأصلية هي مثال على الهوية. فيما يلي مثال آخر للهوية: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y، هنا يتكون نطاق القيم المسموح بها للمتغيرين x و y من جميع الأزواج (x، y)، حيث x و y عبارة عن أي أرقام باستثناء الصفر.

لكن التساويات x+1=x−1 وa+2·b=b+2·a ليست هويات، نظرًا لوجود قيم للمتغيرات التي لن تكون هذه التساويات صحيحة لها. على سبيل المثال، عندما x=2، فإن المساواة x+1=x−1 تتحول إلى مساواة غير صحيحة 2+1=2−1. علاوة على ذلك فإن المساواة x+1=x−1 لا تتحقق إطلاقاً لأي قيم للمتغير x. والمساواة a+2·b=b+2·a ستتحول إلى مساواة غير صحيحة إذا أخذنا أي منها معان مختلفةالمتغيرات أ و ب. على سبيل المثال، مع a=0 وb=1 سنصل إلى المساواة غير الصحيحة 0+2·1=1+2·0. المساواة |x|=x، حيث |x| - المتغير x ليس هوية أيضًا، لأنه غير صحيح بالنسبة لقيم x السالبة.

أمثلة على الهويات الأكثر شهرة هي من الشكل sin 2 α+cos 2 α=1 وlog a b =b.

في ختام هذا المقال، أود أن أشير إلى أنه عند دراسة الرياضيات فإننا نواجه الهويات باستمرار. سجلات خصائص الإجراءات ذات الأرقام هي هويات، على سبيل المثال، a+b=b+a، 1·a=a، 0·a=0 وa+(−a)=0. كذلك الهويات

يمكن استبدال الأرقام والتعبيرات التي يتكون منها التعبير الأصلي بتعبيرات متساوية مماثلة. مثل هذا التحول في التعبير الأصلي يؤدي إلى تعبير مساوٍ له تمامًا.

على سبيل المثال، في التعبير 3+x، يمكن استبدال الرقم 3 بالمجموع 1+2، مما سيؤدي إلى التعبير (1+2)+x، والذي يساوي تمامًا التعبير الأصلي. مثال آخر: في التعبير 1+a 5، يمكن استبدال القوة a 5 بمنتج متساوٍ تمامًا، على سبيل المثال، بالشكل a·a 4. سيعطينا هذا التعبير 1+a·a 4 .

ولا شك أن هذا التحول مصطنع، وعادة ما يكون تمهيداً لبعض التحولات الأخرى. على سبيل المثال، في المجموع 4 × 3 +2 × 2، مع الأخذ في الاعتبار خصائص الدرجة، يمكن تمثيل المصطلح 4 × 3 كمنتج 2 × 2 2 ×. بعد هذا التحويل، التعبير الأصلي سوف يأخذ الشكل 2 x 2 2 x+2 x 2. من الواضح أن الحدود في المجموع الناتج لها عامل مشترك هو 2 × 2، حتى نتمكن من إجراء التحويل التالي - الأقواس. بعد ذلك نأتي إلى التعبير: 2 x 2 (2 x+1) .

جمع وطرح نفس العدد

التحويل الاصطناعي الآخر للتعبير هو الجمع والطرح المتزامن لنفس الرقم أو التعبير. هذا التحويل مطابق لأنه يعادل في الأساس إضافة صفر، وإضافة الصفر لا يغير القيمة.

لنلقي نظرة على مثال. لنأخذ التعبير x 2 +2·x. إذا أضفت واحدًا إليه وطرحت واحدًا، فسيسمح لك ذلك بإجراء تحويل مماثل آخر في المستقبل - تربيع ذات الحدين: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

فهرس.

الجبر:كتاب مدرسي للصف السابع تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة 17. - م: التربية، 2008. - 240 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-019315-3.
الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة 17، إضافة. - م: منيموسين، 2013. - 175 ص: مريض. ردمك 978-5-346-02432-3.

بعد أن تناولنا مفهوم المتطابقات، يمكننا أن ننتقل إلى دراسة التعبيرات المتساوية المتطابقة. الغرض من هذه المقالة هو شرح ماهيتها وإظهار الأمثلة التي ستكون مساوية تمامًا للتعبيرات الأخرى.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

تعبيرات متساوية متطابقة: التعريف

عادة ما تتم دراسة مفهوم التعبيرات المتساوية المتماثلة مع مفهوم الهوية نفسها ضمن هذا الإطار دورة المدرسةالجبر. فيما يلي التعريف الأساسي المأخوذ من كتاب مدرسي واحد:

التعريف 1

متساويين تمامًاسيكون هناك مثل هذه التعبيرات لبعضها البعض، والتي ستكون قيمها هي نفسها بالنسبة لأي قيم محتملة للمتغيرات المدرجة في تكوينها.

كما أن تلك التعبيرات الرقمية التي تتوافق معها نفس القيم تعتبر متساوية بشكل مماثل.

هذا تعريف واسع إلى حد ما والذي ينطبق على جميع التعبيرات الصحيحة التي لا يتغير معناها عندما تتغير قيم المتغيرات. ومع ذلك، يصبح من الضروري لاحقًا توضيح هذا التعريف، لأنه بالإضافة إلى الأعداد الصحيحة، هناك أنواع أخرى من التعبيرات التي لن يكون لها معنى مع متغيرات معينة. وهذا يؤدي إلى ظهور مفهوم مقبولية وعدم قبول بعض القيم المتغيرة، فضلا عن الحاجة إلى تحديد نطاق القيم المسموح بها. دعونا صياغة تعريف دقيق.

التعريف 2

تعبيرات متساوية متطابقة- هذه هي تلك التعبيرات التي تتساوى قيمها مع بعضها البعض لأي قيم مسموح بها للمتغيرات المضمنة في تركيبها. ستكون التعبيرات الرقمية متساوية مع بعضها البعض بشرط أن تكون القيم هي نفسها.

تشير عبارة "لأي قيم صالحة للمتغيرات" إلى كل قيم المتغيرات التي سيكون لها كلا التعبيرين معنى. وسنشرح هذه النقطة لاحقًا عندما نعطي أمثلة على التعبيرات المتساوية المتماثلة.

يمكنك أيضًا تقديم التعريف التالي:

التعريف 3

التعبيرات المتساوية بشكل متماثل هي تعبيرات تقع في نفس الهوية على الجانبين الأيسر والأيمن.

أمثلة على التعبيرات المتساوية مع بعضها البعض

باستخدام التعريفات الواردة أعلاه، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على هذه التعبيرات.

لنبدأ بالتعبيرات الرقمية.

مثال 1

وبالتالي فإن 2 + 4 و 4 + 2 سيكونان متساويين تمامًا، لأن نتائجهما ستكون متساوية (6 و 6).

مثال 2

بنفس الطريقة، التعبيران 3 و30 متساويان تمامًا: 10، (2 2) 3 و2 6 (لحساب قيمة التعبير الأخير، عليك معرفة خصائص الدرجة).

مثال 3

لكن التعبيرات 4 - 2 و9 - 1 لن تكون متساوية، لأن قيمها مختلفة.

دعنا ننتقل إلى أمثلة التعبيرات الحرفية. سيكون a + b و b + a متساويين تمامًا، وهذا لا يعتمد على قيم المتغيرات (يتم تحديد مساواة التعبيرات في هذه الحالة من خلال الخاصية التبادلية للجمع).

مثال 4

على سبيل المثال، إذا كانت a تساوي 4 وb تساوي 5، فستظل النتائج كما هي.

مثال آخر للتعبيرات المتساوية المتساوية بالأحرف هو 0 · x · y · z و 0 . ومهما كانت قيم المتغيرات في هذه الحالة، فعند ضربها في 0 فإنها تعطي 0. التعبيرات غير المتساوية هي 6 · x و 8 · x، لأنها لن تكون متساوية لأي x.

في حالة تطابق مساحات القيم المسموح بها للمتغيرات، على سبيل المثال، في التعبيرات a + 6 و 6 + a أو a · b · 0 و 0، أو x 4 و x، وقيم التعبيرات نفسها متساوية لأي متغيرات، فإن هذه التعبيرات تعتبر متساوية بشكل مماثل. لذلك، a + 8 = 8 + a لأي قيمة لـ a، وa · b · 0 = 0 أيضًا، نظرًا لأن ضرب أي رقم في 0 يؤدي إلى 0. التعبيران x 4 و x سيكونان متساويين لأي x من الفترة [ 0 , + ∞) .

لكن نطاق القيم الصالحة في تعبير واحد قد يختلف عن نطاق آخر.

مثال 5

على سبيل المثال، لنأخذ تعبيرين: x − 1 و x - 1 · x x. بالنسبة للأول منهم، فإن نطاق القيم المسموح بها لـ x سيكون المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية، وللثانية - مجموعة جميع الأعداد الحقيقية، باستثناء الصفر، لأننا بعد ذلك سنحصل على 0 في القاسم، ولم يتم تعريف مثل هذا التقسيم. يحتوي هذان التعبيران على نطاق مشترك من القيم يتكون من تقاطع نطاقين منفصلين. يمكننا أن نستنتج أن كلا التعبيرين x - 1 · x x و x - 1 سيكونان منطقيين لأي قيم حقيقية للمتغيرات، باستثناء 0.

الخاصية الأساسية للكسر تسمح لنا أيضًا باستنتاج أن x - 1 · x x و x − 1 سيكونان متساويين لأي x لا يساوي 0. قريباً المجال العامالقيم المسموح بها، ستكون هذه التعبيرات متساوية مع بعضها البعض، وبالنسبة لأي X حقيقي، من المستحيل التحدث عن المساواة المتطابقة.

إذا استبدلنا تعبيرًا بآخر يساويه تمامًا، فإن هذه العملية تسمى تحويل الهوية. وهذا المفهوم مهم جدًا، وسنتحدث عنه بالتفصيل في مادة منفصلة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تحولات الهويةتمثل العمل الذي نقوم به باستخدام التعبيرات الرقمية والحرفية، بالإضافة إلى التعبيرات التي تحتوي على متغيرات. نقوم بتنفيذ كل هذه التحولات من أجل جلب التعبير الأصلي إلى النموذج المناسب لحل المشكلة. سننظر في الأنواع الرئيسية لتحولات الهوية في هذا الموضوع.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

تحويل متطابق للتعبير. ما هو؟

لقد واجهنا لأول مرة مفهوم المتماثل المتحول في دروس الجبر في الصف السابع. عندها تعرفنا لأول مرة على مفهوم التعبيرات المتساوية المتساوية. دعونا نفهم المفاهيم والتعاريف لجعل الموضوع أسهل للفهم.

التعريف 1

تحويل التعبير متطابقة- هذه هي الإجراءات التي يتم إجراؤها بهدف استبدال التعبير الأصلي بتعبير سيكون مساويًا تمامًا للتعبير الأصلي.

وكثيرا ما يستخدم هذا التعريف في شكل مختصر، حيث يتم حذف كلمة "متطابق". من المفترض أننا في أي حال نقوم بتحويل التعبير بطريقة نحصل على تعبير مطابق للتعبير الأصلي، وهذا لا يحتاج إلى التأكيد بشكل منفصل.

دعونا نوضح هذا التعريفأمثلة.

مثال 1

إذا استبدلنا التعبير س + 3 − 2إلى تعبير متساوٍ تمامًا س+1، ثم سنقوم بإجراء تحويل مماثل للتعبير س + 3 − 2.

مثال 2

استبدال التعبير 2 أ 6 بالعبارة أ 3هو تحويل الهوية، في حين استبدال التعبير سالى التعبير × 2ليس هو التحول في الهوية، منذ التعبيرات سو × 2ليست متساوية متطابقة.

نلفت انتباهكم إلى شكل التعبيرات الكتابية عند إجراء تحويلات متطابقة. عادة نكتب الأصل والتعبير الناتج على قدم المساواة. وبالتالي فإن كتابة x + 1 + 2 = x + 3 تعني أن التعبير x + 1 + 2 قد تم اختزاله إلى الصورة x + 3.

يؤدي التنفيذ المتتالي للإجراءات إلى سلسلة من المساواة، والتي تمثل العديد من التحولات المتطابقة الموجودة على التوالي. وهكذا نفهم أن الإدخال x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x هو التنفيذ المتسلسل لتحويلين: أولاً، تم إحضار التعبير x + 1 + 2 إلى النموذج x + 3، وتم إحضاره إلى النموذج 3 + س.

التحولات متطابقة وODZ

هناك عدد من التعبيرات التي نبدأ بدراستها في الصف الثامن لا معنى لها لجميع قيم المتغيرات. إن إجراء تحويلات متطابقة في هذه الحالات يتطلب منا الانتباه إلى نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات (APV). يمكن أن يؤدي إجراء تحويلات مماثلة إلى ترك ODZ دون تغيير أو تضييقه.

مثال 3

عند إجراء الانتقال من التعبير أ + (- ب)الى التعبير أ - بنطاق القيم المتغيرة المسموح بها أو ببقي على حاله.

مثال 4

الانتقال من التعبير x إلى التعبير × 2 ×يؤدي إلى تضييق نطاق القيم المسموح بها للمتغير x من مجموعة جميع الأعداد الحقيقية إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية التي تم استبعاد الصفر منها.

مثال 5

تحويل التعبير متطابقة × 2 ×يؤدي التعبير x إلى توسيع نطاق القيم المسموح بها للمتغير x من مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء الصفر إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

يعد تضييق أو توسيع نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات عند إجراء تحويلات الهوية أمرًا مهمًا عند حل المشكلات، لأنه يمكن أن يؤثر على دقة الحسابات ويؤدي إلى حدوث أخطاء.

التحولات الأساسية للهوية

دعونا الآن نرى ما هي تحويلات الهوية وكيف يتم تنفيذها. دعونا نفرد تلك الأنواع من تحولات الهوية التي نتعامل معها غالبًا في مجموعة من التحولات الأساسية.

وبالإضافة إلى تحولات الهوية الرئيسية، هناك عدد من التحولات التي تتعلق بتعابير من نوع معين. بالنسبة للكسور، هذه تقنيات لتقليل المقام وإحضاره إلى مقام جديد. بالنسبة للتعبيرات ذات الجذور والقوى، جميع الإجراءات التي يتم تنفيذها بناءً على خصائص الجذور والقوى. بالنسبة للتعبيرات اللوغاريتمية، هي الإجراءات التي يتم تنفيذها بناءً على خصائص اللوغاريتمات. بالنسبة للتعبيرات المثلثية، جميع العمليات باستخدام الصيغ المثلثية. تتم مناقشة كل هذه التحولات المحددة بالتفصيل في موضوعات منفصلة يمكن العثور عليها على مواردنا. وفي هذا الصدد، لن نتناولها في هذا المقال.

دعنا ننتقل إلى النظر في التحولات الرئيسية للهوية.

إعادة ترتيب المصطلحات والعوامل

لنبدأ بإعادة ترتيب الشروط. نحن نتعامل مع هذا التحول المتطابق في أغلب الأحيان. والقاعدة الرئيسية هنا يمكن اعتبارها العبارة التالية: إعادة ترتيب المصطلحات بأي حال من الأحوال لا يؤثر على النتيجة.

تعتمد هذه القاعدة على الخصائص التبادلية والترابطية للإضافة. تسمح لنا هذه الخصائص بإعادة ترتيب المصطلحات والحصول على تعبيرات مساوية تمامًا للتعبيرات الأصلية. ولهذا السبب فإن إعادة ترتيب المصطلحات في المجموع يعد بمثابة تحول في الهوية.

مثال 6

لدينا مجموع ثلاثة حدود 3 + 5 + 7. إذا قمنا بتبديل الحدين 3 و5، فسيأخذ التعبير الصورة 5 + 3 + 7. هناك عدة خيارات لتبادل المصطلحات في هذه الحالة. وكلها تؤدي إلى تعبيرات مساوية تمامًا للتعابير الأصلية.

ليس فقط الأرقام، ولكن التعبيرات أيضًا يمكن أن تكون بمثابة حدود في المجموع. وهي، تمامًا مثل الأرقام، يمكن إعادة ترتيبها دون التأثير على النتيجة النهائية للحسابات.

مثال 7

مجموع الحدود الثلاثة 1 أ + ب، أ 2 + 2 أ + 5 + أ 7 أ 3 و - 12 أ بالشكل 1 أ + ب + أ 2 + 2 أ + 5 + أ 7 أ 3 + ( - 12 ) · يمكن إعادة ترتيب الحدود، على سبيل المثال، هكذا (- 12) · أ + 1 أ + ب + أ 2 + 2 · أ + 5 + أ 7 · أ 3 . في المقابل، يمكنك إعادة ترتيب الحدود في مقام الكسر 1 أ + ب، وسيأخذ الكسر الشكل 1 ب + أ. والتعبير تحت علامة الجذر أ 2 + 2 أ + 5هو أيضًا مبلغ يمكن تبديل الشروط فيه.

تمامًا كما هو الحال مع المصطلحات، يمكنك تبديل العوامل في التعبيرات الأصلية والحصول على معادلات صحيحة تمامًا. ويخضع هذا الإجراء للقاعدة التالية:

التعريف 2

في المنتج، لا تؤثر إعادة ترتيب العوامل على نتيجة الحسابات.

تعتمد هذه القاعدة على الخواص التبادلية والتركيبية للضرب، والتي تؤكد صحة التحويل المتطابق.

مثال 8

عمل 3 5 7عن طريق إعادة ترتيب العوامل يمكن تمثيلها في واحدة من الأنواع التالية: 5 3 7، 5 7 3، 7 3 5، 7 5 3 أو 3 7 5.

مثال 9

إعادة ترتيب العوامل في المنتج x + 1 x 2 - x + 1 x يعطي x 2 - x + 1 x x + 1

توسيع الأقواس

يمكن أن تحتوي الأقواس على تعبيرات رقمية ومتغيرة. يمكن تحويل هذه التعبيرات إلى تعبيرات متساوية تمامًا، حيث لن يكون هناك أقواس على الإطلاق أو عدد أقل منها في التعبيرات الأصلية. تسمى هذه الطريقة لتحويل التعبيرات بتوسيع الأقواس.

مثال 10

لننفذ العمليات باستخدام الأقواس في تعبير النموذج 3 + س − 1 سمن أجل الحصول على التعبير الصحيح تماما 3 + س − 1 س.

يمكن تحويل التعبير 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x إلى تعبير متساوٍ بدون قوسين 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

لقد ناقشنا بالتفصيل قواعد تحويل التعبيرات ذات الأقواس في موضوع "توسيع الأقواس"، والذي تم نشره على موردنا.

تجميع المصطلحات والعوامل

في الحالات التي نتعامل فيها مع ثلاثة و كمية كبيرةالمصطلحات، يمكننا اللجوء إلى هذا النوع من تحولات الهوية كمجموعة من المصطلحات. تعني طريقة التحويل هذه دمج عدة حدود في مجموعة من خلال إعادة ترتيبها ووضعها بين قوسين.

عند التجميع، يتم تبديل المصطلحات بحيث تكون المصطلحات المجمعة بجوار بعضها البعض في سجل التعبير. ويمكن بعد ذلك وضعها بين قوسين.

مثال 11

لنأخذ التعبير 5 + 7 + 1 . فإذا جمعنا الحد الأول مع الحد الثالث نحصل على (5 + 1) + 7 .

يتم تجميع العوامل بشكل مشابه لتجميع المصطلحات.

مثال 12

في العمل 2 3 4 5يمكننا تجميع العامل الأول مع العامل الثالث، والثاني مع العامل الرابع، ونصل إلى التعبير (2 4) (3 5). وإذا جمعنا العوامل الأول والثاني والرابع، فسنحصل على المقدار (2 3 5) 4.

يمكن تمثيل المصطلحات والعوامل التي تم تجميعها على النحو التالي الأعداد الأولية، والتعبيرات. تمت مناقشة قواعد التجميع بالتفصيل في موضوع "تجميع الإضافات والعوامل".

استبدال الفروق بالمجاميع والحواصل الجزئية والعكس

أصبح استبدال الفروق بالمجاميع ممكنًا بفضل معرفتنا بالأعداد المتضادة. الآن الطرح من رقم أأعداد بيمكن اعتباره إضافة إلى رقم أأعداد - ب. المساواة أ − ب = أ + (− ب)يمكن اعتبارها عادلة، وعلى أساسها يتم استبدال الاختلافات بالمبالغ.

مثال 13

لنأخذ التعبير 4 + 3 − 2 ، فيه اختلاف الأعداد 3 − 2 يمكننا كتابتها كمجموع 3 + (− 2) . نحن نحصل 4 + 3 + (− 2) .

مثال 14

جميع الاختلافات في التعبير 5 + 2 x − x 2 − 3 x 3 − 0 , 2يمكن استبدالها بمبالغ مثل 5 + 2 س + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

يمكننا المضي قدما إلى مبالغ من أي اختلافات. يمكننا إجراء الاستبدال العكسي بنفس الطريقة.

أصبح استبدال القسمة بالضرب بمقلوب المقسوم عليه ممكنًا بفضل مفهوم الأعداد المتبادلة. يمكن كتابة هذا التحول كـ أ: ب = أ (ب − 1).

وكانت هذه القاعدة هي الأساس لقاعدة قسمة الكسور العادية.

مثال 15

خاص 1 2: 3 5 يمكن استبداله بمنتج النموذج 1 2 5 3.

وبالمثل، وبالقياس، يمكن استبدال القسمة بالضرب.

مثال 16

في حالة التعبير 1 + 5: س: (س + 3)استبدال القسمة ب سيمكن الضرب بها 1 ×. القسمة على س+3يمكننا استبدالها بالضرب في 1 × + 3. يتيح لنا التحويل الحصول على تعبير مطابق للأصل: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

يتم استبدال الضرب بالقسمة وفقًا للمخطط أ · ب = أ: (ب − 1).

مثال 17

في التعبير 5 x x 2 + 1 - 3، يمكن استبدال الضرب بالقسمة على النحو 5: x 2 + 1 x - 3.

القيام بالأشياء بالأرقام

يخضع تنفيذ العمليات باستخدام الأرقام لقاعدة الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات. أولاً، يتم تنفيذ العمليات باستخدام قوى الأعداد وجذورها. بعد ذلك، نستبدل اللوغاريتمات والدوال المثلثية وغيرها بقيمها. ثم يتم تنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين. وبعد ذلك يمكنك تنفيذ جميع الإجراءات الأخرى من اليسار إلى اليمين. ومن المهم أن نتذكر أن الضرب والقسمة يأتي قبل الجمع والطرح.

تتيح لك العمليات باستخدام الأرقام تحويل التعبير الأصلي إلى تعبير مطابق له.

مثال 18

دعونا نحول التعبير 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ، وبذلك نكمل الكل الإجراءات الممكنةمع الأرقام.

حل

بادئ ذي بدء، دعونا ننتبه إلى الدرجة 2 3 والجذر 4 وحساب قيمهما: 2 3 = 8 و 4 = 2 2 = 2 .

دعنا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي ونحصل على: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

والآن لنقم بالخطوات التي بين قوسين: 8 − 1 = 7 . ولننتقل إلى التعبير 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

كل ما علينا فعله هو مضاعفة الأرقام 3 و 7 . نحصل على: 21 · أ + 2 · (س 2 + 5 · س) .

إجابة: 3 2 3 - 1 أ + 4 × 2 + 5 × = 21 أ + 2 (س 2 + 5 س)

قد تُسبق العمليات باستخدام الأرقام أنواع أخرى من تحويلات الهوية، مثل تجميع الأرقام أو فتح الأقواس.

مثال 19

لنأخذ التعبير 3 + 2 (6:3) س (ص 3 4) − 2 + 11.

حل

أولًا، سوف نستبدل الحاصل الموجود بين قوسين 6: 3 على معناه 2 . نحصل على: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.

دعونا نوسع الأقواس: 3 + 2 2 س (ص 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 س ص 3 4 − 2 + 11.

دعونا نجمع العوامل العددية في المنتج، بالإضافة إلى المصطلحات التي هي أرقام: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

لنقم بالخطوات التي بين قوسين: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

إجابة:3 + 2 (6:3) س (ص 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 س ص 3

إذا تعاملنا مع تعبيرات عددية، فسيكون هدف عملنا هو إيجاد قيمة التعبير. إذا قمنا بتحويل التعبيرات باستخدام المتغيرات، فسيكون هدف أفعالنا هو تبسيط التعبير.

حصر العامل المشترك بين قوسين

في الحالات التي يكون فيها الحدان في المقدار لهما العامل نفسه، يمكننا إخراج هذا العامل المشترك من الأقواس. للقيام بذلك، علينا أولًا تمثيل التعبير الأصلي باعتباره حاصل ضرب عامل مشترك والتعبير بين قوسين، والذي يتكون من الحدود الأصلية بدون عامل مشترك.

مثال 20

عدديا 2 7 + 2 3يمكننا إخراج العامل المشترك 2 خارج الأقواس والحصول على تعبير صحيح مماثل للنموذج 2 (7 + 3).

يمكنك تحديث ذاكرتك بقواعد وضع العامل المشترك بين قوسين في القسم المقابل من موردنا. تناقش المادة بالتفصيل قواعد إخراج العامل المشترك من الأقواس وتقدم العديد من الأمثلة.

تقليل المصطلحات المماثلة

الآن دعنا ننتقل إلى المبالغ التي تحتوي على مصطلحات مماثلة. هناك خياران هنا: المجاميع التي تحتوي على حدود متطابقة، والمجاميع التي تختلف حدودها بمعامل عددي. العمليات التي تحتوي على مبالغ تحتوي على مصطلحات مماثلة تسمى تخفيض المصطلحات المتشابهة. يتم تنفيذه على النحو التالي: نخرج جزء الحرف المشترك من الأقواس ونحسب مجموع المعاملات الرقمية بين قوسين.

مثال 21

النظر في التعبير 1 + 4 س − 2 س. يمكننا إخراج الجزء الحرفي x من الأقواس والحصول على التعبير 1 + س (4 − 2). دعونا نحسب قيمة التعبير بين قوسين ونحصل على مجموع النموذج 1 + x · 2.

استبدال الأرقام والتعبيرات بتعبيرات متساوية متطابقة

مثال 22 مثال 23

النظر في التعبير 1+5، حيث يمكننا استبدال الدرجة أ 5 بمنتج مساوٍ لها، على سبيل المثال، من النموذج أ · أ 4. هذا سيعطينا التعبير 1 + أ · أ 4.

التحول الذي تم إجراؤه مصطنع. من المنطقي فقط التحضير للتغييرات الأخرى.

مثال 24

النظر في تحويل المبلغ 4 × 3 + 2 × 2. هنا المصطلح 4 × 3يمكننا أن نتخيل كعمل 2 × 2 2 ×. ونتيجة لذلك، يأخذ التعبير الأصلي النموذج 2 × 2 2 × + 2 × 2. الآن يمكننا عزل العامل المشترك 2 × 2وأخرجه من بين قوسين: 2 × 2 (2 × + 1).

جمع وطرح نفس العدد

تعد إضافة وطرح نفس الرقم أو التعبير في نفس الوقت تقنية مصطنعة لتحويل التعبيرات.

مثال 25

النظر في التعبير × 2 + 2 ×. يمكننا إضافة أو طرح واحد منه، مما سيسمح لنا بإجراء تحويل مماثل آخر لاحقًا - لعزل مربع ذات الحدين: س 2 + 2 س = س 2 + 2 س + 1 − 1 = (س + 1) 2 − 1.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter