ما هو التعبير المطابق أ ب 2. الهويات والتعريف والتدوين والأمثلة
موضوع "إثباتات الهويات» الصف السابع (KRO)
الكتاب المدرسي Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.
أهداف الدرس
التعليمية:
تقديم وترسيخ مفاهيم "التعبيرات المتساوية المتماثلة" و"الهوية" و"التحولات المتطابقة" وترسيخها بشكل مبدئي؛
النظر في طرق إثبات الهويات، وتعزيز تنمية المهارات اللازمة لإثبات الهويات؛
للتحقق من استيعاب الطلاب للمواد المغطاة، لتطوير القدرة على استخدام ما تعلموه لإدراك أشياء جديدة.
التنموية:
لتطوير الكلام الرياضي المختص للطلاب (لإثراء وتعقيد معجمعند استخدام مصطلحات رياضية خاصة)،
تطوير التفكير،
التعليمية: لتنمية العمل الجاد والدقة والتسجيل الصحيح لحلول التمارين.
نوع الدرس: تعلم مواد جديدة
خلال الفصول الدراسية
1 . تنظيم الوقت.
التحقق من الواجبات المنزلية.
أسئلة الواجبات المنزلية.
تحليل الحل على السبورة.
هناك حاجة إلى الرياضيات
إنه مستحيل بدونها
نحن نعلم ، نعلم ، الأصدقاء ،
ماذا نتذكر في الصباح؟
2 . دعونا نفعل الاحماء.
نتيجة الإضافة. (مجموع)
كم عدد الأرقام التي تعرفها؟ (عشرة)
جزء من مائة من عدد. (نسبه مئويه)
نتيجة القسمة ؟ (خاص)
أصغر عدد طبيعي؟ (1)
هل من الممكن عند التقسيم الأعداد الطبيعيةالحصول على الصفر؟ (لا)
قم بتسمية أكبر عدد صحيح رقم سلبي. (-1)
ما هو الرقم الذي لا يمكن القسمة عليه؟ (0)
نتيجة الضرب؟ (عمل)
نتيجة الطرح. (اختلاف)
خاصية التبديل من إضافة. (المجموع لا يتغير بإعادة ترتيب أماكن المصطلحات)
الخاصية التبادلية للضرب. (لا يتغير المنتج من إعادة ترتيب أماكن العوامل)
دراسة موضوع جديد(التعريف مع إدخال دفتر الملاحظات)
لنجد قيمة تعبيرات x=5 وy=4
3(س+ص)=3(5+4)=3*9=27
3س+3ص=3*5+3*4=27
لقد حصلنا على نفس النتيجة. ويترتب على خاصية التوزيع أنه بشكل عام، بالنسبة لأي قيم للمتغيرات، تكون قيم التعبيرات 3(x+y) و3x+3y متساوية.
دعونا الآن نفكر في التعبيرات 2x+y و2xy. عندما x=1 و y=2 يأخذون قيم متساوية:
ومع ذلك، يمكنك تحديد قيم x وy بحيث لا تكون قيم هذه التعبيرات متساوية. على سبيل المثال، إذا كانت x=3، y=4، إذن
تعريف: التعبيران اللذان تكون قيمهما متساوية لأي قيم للمتغيرات يسمى متساويان بشكل مماثل.
التعبيران 3(x+y) و3x+3y متساويان بشكل متماثل، ولكن التعبيران 2x+y و2xy ليسا متساويين بشكل متماثل.
المساواة 3(x+y) و3x+3y صحيحة لأي قيم x وy. وتسمى هذه المساواة بالهويات.
تعريف:تسمى المساواة الصحيحة لأي قيم للمتغيرات بالهوية.
تعتبر المساواة العددية الحقيقية أيضًا هويات. لقد واجهنا الهويات بالفعل. المتطابقات هي معادلات تعبر عن الخصائص الأساسية للعمليات على الأرقام (يعلق الطلاب على كل خاصية، وينطقونها).
أ + ب = ب + أ
أب = با
(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)
(أ ب) ج = أ (ق)
أ(ب + ج) = أب + أس
أعط أمثلة أخرى للهويات
تعريف: استبدال تعبير بتعبير آخر متساوٍ بشكل مماثل يسمى تحويلًا متطابقًا أو ببساطة تحويل تعبير.
يتم إجراء التحويلات المتطابقة للتعبيرات ذات المتغيرات بناءً على خصائص العمليات على الأرقام.
تستخدم التحويلات المتطابقة للتعبيرات على نطاق واسع في حساب قيم التعبيرات وحل المشكلات الأخرى. كان عليك بالفعل إجراء بعض التحويلات المتطابقة، على سبيل المثال، إدخال مصطلحات متشابهة وفتح الأقواس.
5 . رقم 691، رقم 692 (مع نطق قواعد فتح القوسين وضرب الأعداد السالبة والموجبة)
هويات اختيار الحل العقلاني:(العمل الأمامي)
6 . تلخيص الدرس.
يطرح المعلم أسئلة، ويجيب عليها الطلاب حسب رغبتهم.
أي التعبيرين يقال أنهما متساويان تمامًا؟ أعط أمثلة.
أي نوع من المساواة يسمى الهوية؟ اعط مثالا.
ما هي تحولات الهوية التي تعرفها؟
7. العمل في المنزل. تعلم التعاريف، وإعطاء أمثلة تعبيرات متطابقة(5 على الأقل)، أكتبهم في دفترك
هذه المقالة تعطي نقطة انطلاق فكرة الهويات. هنا سوف نحدد الهوية، ونقدم الترميز المستخدم، وبالطبع، نعطي أمثلة مختلفةالمتطابقات
التنقل في الصفحة.
ما هي الهوية؟
من المنطقي البدء في تقديم المادة تعريفات الهوية. في كتاب Makarychev Yu.N.، الجبر للصف السابع، يتم تقديم تعريف الهوية على النحو التالي:
تعريف.
هوية- هذه مساواة صحيحة لأي قيم للمتغيرات؛ وأي مساواة عددية حقيقية هي أيضًا هوية.
وفي الوقت نفسه، ينص المؤلف على الفور على أنه سيتم توضيح هذا التعريف في المستقبل. يحدث هذا التوضيح في الصف الثامن، بعد التعرف على التعريف القيم المقبولةالمتغيرات وODZ. ويصبح التعريف:
تعريف.
المتطابقات- هذه هي المساواة العددية الحقيقية، وكذلك المساواة الحقيقية لجميع القيم المسموح بها للمتغيرات المضمنة فيها.
فلماذا، عند تحديد الهوية، في الصف السابع نتحدث عن أي قيم للمتغيرات، وفي الصف الثامن نبدأ الحديث عن قيم المتغيرات من ODZ الخاصة بهم؟ حتى الصف الثامن، يتم تنفيذ العمل حصريًا باستخدام التعبيرات الكاملة (على وجه الخصوص، مع أحاديات الحد ومتعددات الحدود)، وتكون منطقية لأي قيم للمتغيرات المضمنة فيها. ولهذا السبب نقول في الصف السابع أن الهوية هي مساواة صحيحة لأي قيم للمتغيرات. وفي الصف الثامن، تظهر التعبيرات التي لم تعد ذات معنى ليس لجميع قيم المتغيرات، ولكن فقط للقيم من ODZ الخاصة بها. لذلك، نبدأ بتسمية المساواة الصحيحة لجميع القيم المقبولة للمتغيرات.
هكذا هي الهوية حالة خاصةالمساواة. أي أن أي هوية هي المساواة. لكن ليست كل مساواة هوية، بل فقط مساواة صحيحة لأي قيم للمتغيرات من نطاق قيمها المسموح بها.
علامة الهوية
ومن المعروف أنه في كتابة المساواة تستخدم إشارة التساوي على الشكل "="، ويوجد عن يسارها ويمينها بعض الأرقام أو التعبيرات. إذا أضفنا خطًا أفقيًا آخر إلى هذه العلامة، فسنحصل على علامة الهوية"≡" أو كما يطلق عليه أيضًا علامة يساوي.
عادة ما يتم استخدام علامة الهوية فقط عندما يكون من الضروري التأكيد بشكل خاص على أننا لا نواجه المساواة فحسب، بل الهوية. وفي حالات أخرى، لا تختلف سجلات الهويات في المظهر عن المتساويات.
أمثلة على الهويات
حان الوقت لجلب أمثلة على الهويات. تعريف الهوية الوارد في الفقرة الأولى سيساعدنا في ذلك.
المساواة العددية 2=2 هي أمثلة على الهويات، حيث أن هذه المساواة صحيحة، وأي مساواة عددية حقيقية هي بحكم تعريفها هوية. يمكن كتابتها كـ 2≡2 و .
المساواة العددية بالشكل 2+3=5 و7−1=2·3 هي أيضًا متطابقات، نظرًا لأن هذه المساواة صحيحة. أي 2+3≡5 و 7−1≡2·3.
دعنا ننتقل إلى أمثلة الهويات التي لا تحتوي على أرقام فحسب، بل تحتوي أيضًا على متغيرات.
خذ بعين الاعتبار المساواة 3·(x+1)=3·x+3. بالنسبة لأي قيمة للمتغير x، تكون المساواة المكتوبة صحيحة بسبب خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع، وبالتالي فإن المساواة الأصلية هي مثال على الهوية. وهنا مثال آخر على الهوية: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y، هنا يتكون نطاق القيم المسموح بها للمتغيرين x و y من جميع الأزواج (x، y)، حيث x و y عبارة عن أي أرقام باستثناء الصفر.
لكن التساويات x+1=x−1 وa+2·b=b+2·a ليست هويات، نظرًا لوجود قيم للمتغيرات التي لن تكون هذه التساويات صحيحة لها. على سبيل المثال، عندما x=2، فإن المساواة x+1=x−1 تتحول إلى مساواة غير صحيحة 2+1=2−1. علاوة على ذلك فإن المساواة x+1=x−1 لا تتحقق إطلاقاً لأي قيم للمتغير x. والمساواة a+2·b=b+2·a ستتحول إلى مساواة غير صحيحة إذا أخذنا أي منها معان مختلفةالمتغيرات أ و ب. على سبيل المثال، مع a=0 وb=1 سنصل إلى المساواة غير الصحيحة 0+2·1=1+2·0. المساواة |x|=x، حيث |x| - المتغير x ليس هوية أيضًا، لأنه غير صحيح بالنسبة لقيم x السالبة.
أمثلة على الهويات الأكثر شهرة هي من الشكل sin 2 α+cos 2 α=1 وlog a b =b.
في ختام هذا المقال، أود أن أشير إلى أنه عند دراسة الرياضيات نواجه هويات باستمرار. سجلات خصائص الإجراءات ذات الأرقام هي هويات، على سبيل المثال، a+b=b+a، 1·a=a، 0·a=0 وa+(−a)=0. كذلك الهويات
يمكن استبدال الأرقام والتعبيرات التي يتكون منها التعبير الأصلي بتعبيرات متساوية مماثلة. مثل هذا التحول في التعبير الأصلي يؤدي إلى تعبير مساوٍ له تمامًا.
على سبيل المثال، في التعبير 3+x، يمكن استبدال الرقم 3 بالمجموع 1+2، مما سيؤدي إلى التعبير (1+2)+x، والذي يساوي تمامًا التعبير الأصلي. مثال آخر: في التعبير 1+a 5، يمكن استبدال القوة a 5 بمنتج متساوٍ تمامًا، على سبيل المثال، بالشكل a·a 4. سيعطينا هذا التعبير 1+a·a 4 .
ولا شك أن هذا التحول مصطنع، وهو في العادة تمهيد لبعض التحولات الأخرى. على سبيل المثال، في المجموع 4 × 3 +2 × 2، مع الأخذ في الاعتبار خصائص الدرجة، يمكن تمثيل المصطلح 4 × 3 كمنتج 2 × 2 2 ×. بعد هذا التحويل، التعبير الأصلي سوف يأخذ الشكل 2 x 2 2 x+2 x 2. من الواضح أن الشروط الموجودة في المبلغ الناتج لها المضاعف المشترك 2 × 2، حتى نتمكن من إجراء التحويل التالي - بين قوسين. بعد ذلك نأتي إلى التعبير: 2 x 2 (2 x+1) .
جمع وطرح نفس العدد
التحويل الاصطناعي الآخر للتعبير هو الجمع والطرح المتزامن لنفس الرقم أو التعبير. هذا التحويل مطابق لأنه يعادل في الأساس إضافة صفر، وإضافة الصفر لا يغير القيمة.
لنلقي نظرة على مثال. لنأخذ التعبير x 2 +2·x. إذا أضفت واحدًا إليها وطرحت واحدًا، فسيسمح لك ذلك بإجراء تحويل مماثل آخر في المستقبل - تربيع ذات الحدين: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
فهرس.
- الجبر:كتاب مدرسي للصف السابع. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة 17. - م: التربية، 2008. - 240 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-019315-3.
- الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
- موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء 1. الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة 17، إضافة. - م: منيموسين، 2013. - 175 ص: مريض. ردمك 978-5-346-02432-3.
الخصائص الأساسية لجمع وضرب الأعداد.
الخاصية التبادلية للجمع: إعادة ترتيب الحدود لا يغير قيمة المجموع. لأي رقمين a وb تكون المساواة صحيحة
الخاصية التجميعية للجمع: من أجل إضافة رقم ثالث إلى مجموع رقمين، يمكنك إضافة مجموع الثاني والثالث إلى الرقم الأول. لأي أعداد a وb وc تكون المساواة صحيحة
خاصية الإبدال في الضرب: إعادة ترتيب العوامل لا يغير قيمة المنتج. لأي أعداد a وb وc تكون المساواة صحيحة
الخاصية التجميعية للضرب: لضرب حاصل ضرب رقمين في رقم ثالث، يمكنك ضرب الرقم الأول في حاصل ضرب الثاني والثالث.
لأي أعداد a وb وc تكون المساواة صحيحة
خاصية التوزيع: لضرب رقم في مجموع، يمكنك ضرب هذا الرقم في كل حد وإضافة النتائج. لأي أعداد a وb وc تكون المساواة صحيحة
من الخصائص التبادلية والدمجية للإضافة، يتبع: في أي مجموع، يمكنك إعادة ترتيب المصطلحات بأي طريقة تريدها ودمجها بشكل تعسفي في مجموعات.
مثال 1 لنحسب المجموع 1.23+13.5+4.27.
للقيام بذلك، من المناسب الجمع بين الفصل الأول مع الفصل الثالث. نحن نحصل:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
يتبع من الخصائص التبادلية والتوليفية للضرب: في أي منتج، يمكنك إعادة ترتيب العوامل بأي شكل من الأشكال ودمجها بشكل تعسفي في مجموعات.
مثال 2 لنجد قيمة المنتج 1.8·0.25·64·0.5.
وبجمع العامل الأول مع الرابع، والثاني مع الثالث، نحصل على:
1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.
تكون خاصية التوزيع صحيحة أيضًا عند ضرب عدد في مجموع ثلاثة حدود أو أكثر.
على سبيل المثال، لأي أرقام أ، ب، ج، د تكون المساواة صحيحة
أ(ب+ج+د)=أب+أ+إعلان.
نحن نعلم أنه يمكن الاستعاضة عن الطرح بالجمع عن طريق إضافة العدد المقابل للمطرح إلى المطروح:
وهذا يسمح بتعبير رقمي اكتب أ-بيمكن اعتباره مجموع الأرقام a و -b، والتعبير العددي بالصيغة a+b-c-d يعتبر مجموع الأرقام a، b، -c، -d، وما إلى ذلك. خصائص الإجراءات المدروسة صالحة أيضًا لمثل هذه المبالغ.
مثال 3 لنجد قيمة التعبير 3.27-6.5-2.5+1.73.
هذا التعبير هو مجموع الأرقام 3.27، -6.5، -2.5، و1.73. وبتطبيق خصائص الجمع نحصل على: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.
مثال 4 لنحسب المنتج 36·().
يمكن اعتبار المضاعف بمثابة مجموع الأرقام و-. وباستخدام خاصية التوزيع للضرب نحصل على:
36()=36·-36·=9-10=-1.
المتطابقات
تعريف. يُطلق على التعبيرين اللذين تكون قيمهما المقابلة متساوية لأي قيم للمتغيرات اسم متساويان.
تعريف. تسمى المساواة الحقيقية لأي قيم للمتغيرات بالهوية.
لنجد قيم التعبيرات 3(x+y) و3x+3y لـ x=5, y=4:
3(س+ص)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
لقد حصلنا على نفس النتيجة. من خاصية التوزيع، يترتب على ذلك، بشكل عام، لأي قيم للمتغيرات، أن القيم المقابلة للتعبيرات 3(x+y) و3x+3y متساوية.
دعونا الآن نفكر في التعبيرات 2x+y و2xy. عندما x=1، y=2 يأخذون قيمًا متساوية:
ومع ذلك، يمكنك تحديد قيم x وy بحيث لا تكون قيم هذه التعبيرات متساوية. على سبيل المثال، إذا كانت x=3، y=4، إذن
التعبيران 3(x+y) و3x+3y متساويان بشكل متطابق، ولكن التعبيران 2x+y و2xy ليسا متساويين بشكل متماثل.
المساواة 3(x+y)=x+3y، صحيحة لأي قيم x وy، هي هوية.
تعتبر المساواة العددية الحقيقية أيضًا هويات.
وبالتالي، فإن المتطابقات هي مساواة تعبر عن الخصائص الأساسية للعمليات على الأعداد:
أ+ب=ب+أ، (أ+ب)+ج=أ+(ب+ج)،
أب=با، (أب)ج=أ(بج)، أ(ب+ج)=أب+أ.
يمكن إعطاء أمثلة أخرى للهويات:
أ+0=أ، أ+(-أ)=0، أ-ب=أ+(-ب)،
أ·1=أ، أ·(-ب)=-أب، (-أ)(-ب)=أب.
التحولات المتطابقة للتعبيرات
يُسمى استبدال تعبير بتعبير آخر متساوٍ بالتحويل المطابق أو ببساطة تحويل التعبير.
يتم إجراء التحويلات المتطابقة للتعبيرات ذات المتغيرات بناءً على خصائص العمليات على الأرقام.
للعثور على قيمة التعبير xy-xz لقيم معينة x، y، z، تحتاج إلى تنفيذ ثلاث خطوات. على سبيل المثال، مع x=2.3، y=0.8، z=0.2 نحصل على:
xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.
يمكن الحصول على هذه النتيجة عن طريق تنفيذ خطوتين فقط، إذا كنت تستخدم التعبير x(y-z)، والذي يساوي تمامًا التعبير xy-xz:
xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.
لقد قمنا بتبسيط الحسابات عن طريق استبدال التعبير xy-xz بالتعبير المتساوي x(y-z).
تستخدم التحويلات المتطابقة للتعبيرات على نطاق واسع في حساب قيم التعبيرات وحل المشكلات الأخرى. لقد كان لا بد من إجراء بعض التحويلات المتطابقة، على سبيل المثال، إدخال مصطلحات مماثلة وفتح الأقواس. دعونا نتذكر قواعد إجراء هذه التحولات:
لإحضار مصطلحات مماثلة، تحتاج إلى إضافة معاملاتها وضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك؛
إذا كانت هناك علامة زائد قبل القوسين، فيمكن حذف القوسين، مع الاحتفاظ بعلامة كل حد بين القوسين؛
إذا كانت هناك إشارة ناقص قبل القوسين، فيمكن حذف القوسين عن طريق تغيير إشارة كل حد داخل القوسين.
مثال 1: دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في المجموع 5x+2x-3x.
دعونا نستخدم القاعدة لتقليل المصطلحات المتشابهة:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
يعتمد هذا التحويل على خاصية التوزيع للضرب.
مثال 2: لنفتح الأقواس في التعبير 2a+(b-3c).
استخدام قاعدة فتح الأقواس مسبوقة بعلامة الجمع:
2أ+(ب-3ج)=2أ+ب-3ج.
يعتمد التحويل الذي تم إجراؤه على الخاصية التوافقية للإضافة.
مثال 3: لنفتح الأقواس الموجودة في التعبير أ-(4ب-ج).
دعونا نستخدم قاعدة فتح الأقواس مسبوقة بعلامة الطرح:
أ-(4ب-ج)=أ-4ب+ج.
يعتمد التحويل الذي يتم إجراؤه على خاصية التوزيع للضرب والخاصية التجميعية للجمع. دعونا نظهر ذلك. دعونا نمثل الحد الثاني -(4b-c) في هذا التعبير كمنتج (-1)(4b-c):
أ-(4ب-ج)=أ+(-1)(4ب-ج).
بتطبيق خصائص الإجراءات المحددة نحصل على:
أ-(4ب-ج)=أ+(-1)(4ب-ج)=أ+(-4ب+ج)=أ-4ب+ج.
تحويلات الهوية هي العمل الذي نقوم به باستخدام التعبيرات الرقمية والحرفية، وكذلك مع التعبيرات التي تحتوي على متغيرات. نقوم بتنفيذ كل هذه التحولات من أجل جلب التعبير الأصلي إلى النموذج المناسب لحل المشكلة. سننظر في الأنواع الرئيسية لتحولات الهوية في هذا الموضوع.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
تحويل متطابق للتعبير. ما هو؟
لقد واجهنا لأول مرة مفهوم المتماثل المتحول في دروس الجبر في الصف السابع. عندها تعرفنا لأول مرة على مفهوم التعبيرات المتساوية المتساوية. دعونا نفهم المفاهيم والتعاريف لجعل الموضوع أسهل للفهم.
التعريف 1
تحويل التعبير متطابقة- هذه هي الإجراءات التي يتم إجراؤها بهدف استبدال التعبير الأصلي بتعبير سيكون مساويًا تمامًا للتعبير الأصلي.
وكثيرا ما يستخدم هذا التعريف في شكل مختصر، حيث يتم حذف كلمة "متطابق". من المفترض أننا في أي حال نقوم بتحويل التعبير بطريقة نحصل على تعبير مطابق للتعبير الأصلي، وهذا لا يحتاج إلى التأكيد بشكل منفصل.
دعونا نوضح هذا التعريفأمثلة.
مثال 1
إذا استبدلنا التعبير س + 3 − 2إلى تعبير متساوٍ تمامًا س+1، ثم سنقوم بإجراء تحويل مماثل للتعبير س + 3 − 2.
مثال 2
استبدال التعبير 2 أ 6 بالعبارة أ 3هو تحويل الهوية، في حين استبدال التعبير سالى التعبير × 2ليس هو التحول في الهوية، منذ التعبيرات سو × 2ليست متساوية متطابقة.
نلفت انتباهكم إلى شكل التعبيرات الكتابية عند إجراء تحويلات متطابقة. عادة نكتب الأصل والتعبير الناتج على قدم المساواة. وبالتالي فإن كتابة x + 1 + 2 = x + 3 تعني أن التعبير x + 1 + 2 قد تم اختزاله إلى الصورة x + 3.
يؤدي التنفيذ المتتالي للإجراءات إلى سلسلة من المساواة، والتي تمثل العديد من التحولات المتطابقة الموجودة على التوالي. وهكذا نفهم أن الإدخال x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x هو التنفيذ المتسلسل لتحويلين: أولاً، تم إحضار التعبير x + 1 + 2 إلى النموذج x + 3، وتم إحضاره إلى النموذج 3 + س.
التحولات متطابقة وODZ
هناك عدد من التعبيرات التي نبدأ بدراستها في الصف الثامن لا معنى لها لجميع قيم المتغيرات. إن إجراء تحويلات متطابقة في هذه الحالات يتطلب منا الانتباه إلى نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات (APV). يمكن أن يؤدي إجراء تحويلات مماثلة إلى ترك ODZ دون تغيير أو تضييقه.
مثال 3
عند إجراء الانتقال من التعبير أ + (- ب)الى التعبير أ - بنطاق القيم المتغيرة المسموح بها أو ببقي على حاله.
مثال 4
الانتقال من التعبير x إلى التعبير × 2 ×يؤدي إلى تضييق نطاق القيم المسموح بها للمتغير x من مجموعة جميع الأعداد الحقيقية إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية التي تم استبعاد الصفر منها.
مثال 5
تحويل التعبير متطابقة × 2 ×يؤدي التعبير x إلى توسيع نطاق القيم المسموح بها للمتغير x من مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء الصفر إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.
يعد تضييق أو توسيع نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات عند إجراء تحويلات الهوية أمرًا مهمًا عند حل المشكلات، لأنه يمكن أن يؤثر على دقة الحسابات ويؤدي إلى حدوث أخطاء.
التحولات الأساسية للهوية
دعونا الآن نرى ما هي تحويلات الهوية وكيف يتم تنفيذها. دعونا نفرد تلك الأنواع من تحولات الهوية التي نتعامل معها غالبًا في مجموعة من التحولات الأساسية.
وبالإضافة إلى تحولات الهوية الرئيسية، هناك عدد من التحولات التي تتعلق بتعابير من نوع معين. بالنسبة للكسور، هذه تقنيات لتقليل المقام وإحضاره إلى مقام جديد. بالنسبة للتعبيرات ذات الجذور والقوى، جميع الإجراءات التي يتم تنفيذها بناءً على خصائص الجذور والقوى. بالنسبة للتعبيرات اللوغاريتمية، هي الإجراءات التي يتم تنفيذها بناءً على خصائص اللوغاريتمات. بالنسبة للتعبيرات المثلثية، جميع العمليات باستخدام الصيغ المثلثية. تتم مناقشة كل هذه التحولات المحددة بالتفصيل في موضوعات منفصلة يمكن العثور عليها على مواردنا. وفي هذا الصدد، لن نتناولها في هذا المقال.
دعنا ننتقل إلى النظر في التحولات الرئيسية للهوية.
إعادة ترتيب المصطلحات والعوامل
لنبدأ بإعادة ترتيب الشروط. نحن نتعامل مع هذا التحول المتطابق في أغلب الأحيان. والقاعدة الرئيسية هنا يمكن اعتبارها العبارة التالية: إعادة ترتيب المصطلحات بأي حال من الأحوال لا يؤثر على النتيجة.
تعتمد هذه القاعدة على الخصائص التبادلية والترابطية للجمع. تسمح لنا هذه الخصائص بإعادة ترتيب المصطلحات والحصول على تعبيرات مساوية تمامًا للتعبيرات الأصلية. ولهذا السبب فإن إعادة ترتيب المصطلحات في المجموع يعد بمثابة تحول في الهوية.
مثال 6
لدينا مجموع ثلاثة حدود 3 + 5 + 7. إذا قمنا بتبديل الحدين 3 و5، فسيأخذ التعبير الصورة 5 + 3 + 7. هناك عدة خيارات لتبادل المصطلحات في هذه الحالة. وكلها تؤدي إلى تعبيرات مساوية تمامًا للتعابير الأصلية.
ليس فقط الأرقام، ولكن التعبيرات أيضًا يمكن أن تكون بمثابة حدود في المجموع. وهي، تمامًا مثل الأرقام، يمكن إعادة ترتيبها دون التأثير على النتيجة النهائية للحسابات.
مثال 7
مجموع الحدود الثلاثة 1 أ + ب، أ 2 + 2 أ + 5 + أ 7 أ 3 و - 12 أ بالشكل 1 أ + ب + أ 2 + 2 أ + 5 + أ 7 أ 3 + ( - 12 ) · يمكن إعادة ترتيب الحدود، على سبيل المثال، هكذا (- 12) · أ + 1 أ + ب + أ 2 + 2 · أ + 5 + أ 7 · أ 3 . في المقابل، يمكنك إعادة ترتيب الحدود في مقام الكسر 1 أ + ب، وسيأخذ الكسر الشكل 1 ب + أ. والتعبير تحت علامة الجذر أ 2 + 2 أ + 5هو أيضًا مبلغ يمكن تبديل الشروط فيه.
تمامًا كما هو الحال مع المصطلحات، يمكنك تبديل العوامل في التعبيرات الأصلية والحصول على معادلات صحيحة تمامًا. ويخضع هذا الإجراء للقاعدة التالية:
التعريف 2
في المنتج، لا تؤثر إعادة ترتيب العوامل على نتيجة الحسابات.
تعتمد هذه القاعدة على الخواص التبادلية والتركيبية للضرب، والتي تؤكد صحة التحويل المتطابق.
مثال 8
عمل 3 5 7عن طريق إعادة ترتيب العوامل يمكن تمثيلها في واحدة من الأنواع التالية: 5 3 7، 5 7 3، 7 3 5، 7 5 3 أو 3 7 5.
مثال 9
إعادة ترتيب العوامل في المنتج x + 1 x 2 - x + 1 x يعطي x 2 - x + 1 x x + 1
توسيع الأقواس
يمكن أن تحتوي الأقواس على تعبيرات رقمية ومتغيرة. يمكن تحويل هذه التعبيرات إلى تعبيرات متساوية تمامًا، حيث لن يكون هناك أقواس على الإطلاق أو عدد أقل منها في التعبيرات الأصلية. تسمى هذه الطريقة لتحويل التعبيرات بتوسيع الأقواس.
مثال 10
لنقم بتنفيذ العمليات باستخدام الأقواس في تعبير النموذج 3 + س − 1 سمن أجل الحصول على التعبير الصحيح تماما 3 + س − 1 س.
يمكن تحويل التعبير 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x إلى تعبير متساوٍ بدون قوسين 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.
لقد ناقشنا بالتفصيل قواعد تحويل التعبيرات ذات الأقواس في موضوع "توسيع الأقواس"، والذي تم نشره على موردنا.
تجميع المصطلحات والعوامل
في الحالات التي نتعامل فيها مع ثلاثة و كمية كبيرةالمصطلحات، يمكننا اللجوء إلى هذا النوع من تحولات الهوية كمجموعة من المصطلحات. تعني طريقة التحويل هذه دمج عدة حدود في مجموعة من خلال إعادة ترتيبها ووضعها بين قوسين.
عند التجميع، يتم تبديل المصطلحات بحيث تكون المصطلحات المجمعة بجوار بعضها البعض في سجل التعبير. ويمكن بعد ذلك وضعها بين قوسين.
مثال 11
لنأخذ التعبير 5 + 7 + 1 . فإذا جمعنا الحد الأول مع الحد الثالث نحصل على (5 + 1) + 7 .
يتم تجميع العوامل بشكل مشابه لتجميع المصطلحات.
مثال 12
في العمل 2 3 4 5يمكننا تجميع العامل الأول مع العامل الثالث، والثاني مع العامل الرابع، ونصل إلى التعبير (2 4) (3 5). وإذا جمعنا العوامل الأول والثاني والرابع، فسنحصل على المقدار (2 3 5) 4.
يمكن تمثيل المصطلحات والعوامل التي تم تجميعها على النحو التالي الأعداد الأولية، والتعبيرات. تمت مناقشة قواعد التجميع بالتفصيل في موضوع "تجميع الإضافات والعوامل".
استبدال الفروق بالمجاميع والحواصل الجزئية والعكس
أصبح استبدال الفروق بالمجاميع ممكنًا بفضل معرفتنا بالأعداد المتضادة. الآن الطرح من رقم أأعداد بيمكن اعتباره إضافة إلى رقم أأعداد - ب. المساواة أ − ب = أ + (− ب)يمكن اعتبارها عادلة، وعلى أساسها استبدال الاختلافات بالمبالغ.
مثال 13
لنأخذ التعبير 4 + 3 − 2 ، وفيه اختلاف الأعداد 3 − 2 يمكننا كتابتها كمجموع 3 + (− 2) . نحن نحصل 4 + 3 + (− 2) .
مثال 14
جميع الاختلافات في التعبير 5 + 2 x − x 2 − 3 x 3 − 0 , 2يمكن استبدالها بمبالغ مثل 5 + 2 س + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).
يمكننا المضي قدما إلى مبالغ من أي اختلافات. يمكننا إجراء الاستبدال العكسي بنفس الطريقة.
أصبح استبدال القسمة بالضرب بمقلوب المقسوم عليه ممكنًا بفضل مفهوم الأعداد المتبادلة. يمكن كتابة هذا التحول كـ أ: ب = أ (ب − 1).
وكانت هذه القاعدة هي الأساس لقاعدة قسمة الكسور العادية.
مثال 15
خاص 1 2: 3 5 يمكن استبداله بمنتج النموذج 1 2 5 3.
وبالمثل، وبالقياس، يمكن استبدال القسمة بالضرب.
مثال 16
في حالة التعبير 1 + 5: س: (س + 3)استبدال القسمة ب سيمكن الضرب بها 1 ×. القسمة على س+3يمكننا استبدالها بالضرب في 1 × + 3. يتيح لنا التحويل الحصول على تعبير مطابق للأصل: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.
يتم استبدال الضرب بالقسمة وفقًا للمخطط أ · ب = أ: (ب − 1).
مثال 17
في التعبير 5 x x 2 + 1 - 3، يمكن استبدال الضرب بالقسمة على النحو 5: x 2 + 1 x - 3.
القيام بالأشياء بالأرقام
يخضع تنفيذ العمليات باستخدام الأرقام لقاعدة الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات. أولاً، يتم تنفيذ العمليات باستخدام قوى الأعداد وجذورها. بعد ذلك، نستبدل اللوغاريتمات والدوال المثلثية وغيرها بقيمها. ثم يتم تنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين. وبعد ذلك يمكنك تنفيذ جميع الإجراءات الأخرى من اليسار إلى اليمين. ومن المهم أن نتذكر أن الضرب والقسمة يأتي قبل الجمع والطرح.
تتيح لك العمليات باستخدام الأرقام تحويل التعبير الأصلي إلى تعبير مطابق له.
مثال 18
دعونا نحول التعبير 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ، وبذلك نكمل الكل الإجراءات الممكنةمع الأرقام.
حل
بادئ ذي بدء، دعونا ننتبه إلى الدرجة 2 3 والجذر 4 وحساب قيمهما: 2 3 = 8 و 4 = 2 2 = 2 .
دعنا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي ونحصل على: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
والآن لنقم بالخطوات التي بين قوسين: 8 − 1 = 7 . ولننتقل إلى التعبير 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
كل ما علينا فعله هو مضاعفة الأرقام 3 و 7 . نحصل على: 21 · أ + 2 · (س 2 + 5 · س) .
إجابة: 3 2 3 - 1 أ + 4 × 2 + 5 × = 21 أ + 2 (س 2 + 5 س)
قد تُسبق العمليات باستخدام الأرقام أنواع أخرى من تحويلات الهوية، مثل تجميع الأرقام أو فتح الأقواس.
مثال 19
لنأخذ التعبير 3 + 2 (6:3) س (ص 3 4) − 2 + 11.
حل
أولًا، سوف نستبدل الحاصل الموجود بين قوسين 6: 3 على معناه 2 . نحصل على: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.
دعونا نوسع الأقواس: 3 + 2 2 س (ص 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 س ص 3 4 − 2 + 11.
دعونا نجمع العوامل العددية في المنتج، بالإضافة إلى المصطلحات التي هي أرقام: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.
لنقم بالخطوات التي بين قوسين: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3
إجابة:3 + 2 (6:3) س (ص 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 س ص 3
إذا تعاملنا مع تعبيرات عددية، فسيكون هدف عملنا هو إيجاد قيمة التعبير. إذا قمنا بتحويل التعبيرات باستخدام المتغيرات، فسيكون هدف أفعالنا هو تبسيط التعبير.
حصر العامل المشترك بين قوسين
في الحالات التي يكون فيها الحدان في المقدار لهما العامل نفسه، يمكننا إخراج هذا العامل المشترك من الأقواس. للقيام بذلك، علينا أولًا تمثيل التعبير الأصلي باعتباره حاصل ضرب عامل مشترك والتعبير بين قوسين، والذي يتكون من الحدود الأصلية بدون عامل مشترك.
مثال 20
عدديا 2 7 + 2 3يمكننا إخراج العامل المشترك 2 خارج الأقواس والحصول على تعبير صحيح مماثل للنموذج 2 (7 + 3).
يمكنك تحديث ذاكرتك بقواعد وضع العامل المشترك بين قوسين في القسم المقابل من موردنا. تناقش المادة بالتفصيل قواعد إخراج العامل المشترك من الأقواس وتقدم العديد من الأمثلة.
تقليل المصطلحات المماثلة
الآن دعنا ننتقل إلى المبالغ التي تحتوي على مصطلحات مماثلة. هناك خياران هنا: المجاميع التي تحتوي على حدود متطابقة، والمجاميع التي تختلف حدودها بمعامل عددي. العمليات التي تحتوي على مبالغ تحتوي على مصطلحات مماثلة تسمى تخفيض المصطلحات المتشابهة. يتم تنفيذه على النحو التالي: نخرج جزء الحرف المشترك من الأقواس ونحسب مجموع المعاملات الرقمية بين قوسين.
مثال 21
النظر في التعبير 1 + 4 س − 2 س. يمكننا إخراج الجزء الحرفي من x من الأقواس والحصول على التعبير 1 + س (4 − 2). دعونا نحسب قيمة التعبير بين قوسين ونحصل على مجموع النموذج 1 + x · 2.
استبدال الأرقام والتعبيرات بتعبيرات متساوية متطابقة
يمكن استبدال الأرقام والتعبيرات التي يتكون منها التعبير الأصلي بتعبيرات متساوية مماثلة. مثل هذا التحول في التعبير الأصلي يؤدي إلى تعبير مساوٍ له تمامًا.
مثال 22 مثال 23
النظر في التعبير 1 + أ 5، حيث يمكننا استبدال الدرجة أ 5 بمنتج مساوٍ لها، على سبيل المثال، من النموذج أ · أ 4. هذا سيعطينا التعبير 1 + أ · أ 4.
التحول الذي تم إجراؤه مصطنع. من المنطقي فقط التحضير للتغييرات الأخرى.
مثال 24
النظر في تحويل المبلغ 4 × 3 + 2 × 2. هنا المصطلح 4 × 3يمكننا أن نتخيل كعمل 2 × 2 2 ×. ونتيجة لذلك، يأخذ التعبير الأصلي النموذج 2 × 2 2 × + 2 × 2. الآن يمكننا عزل العامل المشترك 2 × 2وأخرجه من بين قوسين: 2 × 2 (2 × + 1).
جمع وطرح نفس العدد
تعد إضافة وطرح نفس الرقم أو التعبير في نفس الوقت تقنية مصطنعة لتحويل التعبيرات.
مثال 25
النظر في التعبير × 2 + 2 ×. يمكننا إضافة أو طرح واحد منه، مما سيسمح لنا بإجراء تحويل مماثل آخر لاحقًا - لعزل مربع ذات الحدين: س 2 + 2 س = س 2 + 2 س + 1 − 1 = (س + 1) 2 − 1.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter