Elementar funksiyaların Taylor seriyasına genişləndirilməsi. Maklaurin seriyası və bəzi funksiyaların genişləndirilməsi

Dərhal qeyd edim ki, məqalədə bir çox dərsliklərdə Maklaurin genişlənməsi adlanan sıfırda tangensin genişlənməsi müzakirə olunacaq.

Yaxşı, bütün funksiyalar ehtiyac duyduğumuz yerdə sonsuz diferensiallaşacaq.

Digər ən sadə elementar funksiyaların çoxu olduqca asanlıqla Taylor seriyasına genişləndirilə bilsə də və genişlənmə şərtlərinin formalaşdığı qanun çox vaxt mürəkkəb deyil və sadəcə təxmin edilə bilər, lakin bu, tangens üçün belə deyil. Görünsə də, sonuncu yalnız sinusun kosinusa nisbətidir, genişlənmə zamanı heç bir problem yaranmayan funksiyalar. Bu arada, tangens üçün ümumi terminin növünü göstərmək üçün bir qədər uzaqdan başlamalı və süni üsullardan istifadə etməli olacağıq. Lakin praktikada çox vaxt seriyanın bütün əmsallarını bilmək lazım deyil, genişlənmənin yalnız bir neçə şərti kifayətdir. Bu, tələbələrin ən çox qarşılaşdıqları problem bəyanatıdır. Beləliklə, biz başlayacağımız yerdir. Çox narahat olmamaq üçün beşinci gücün əmsalına qədər genişlənmə axtaracağıq.

Burada ilk ağıla gələn birbaşa Taylor düsturundan istifadə etməyə çalışmaqdır. Çox vaxt insanlar bir sıra digər parçalanma üsulları haqqında sadəcə təsəvvürə malik deyillər. Yeri gəlmişkən, riyaziyyat üzrə seminarçımız. təhlil, ikinci kursumda tam olaraq bu şəkildə parçalanma axtardım, onun haqqında pis bir şey deyə bilməsəm də, o, ağıllı oğlandır, bəlkə də, sadəcə törəmələri götürməkdə bacarıqlarını göstərmək istəyirdi. Hər halda, tangensin yüksək dərəcəli törəmələrini götürmək hələ də həzzdir, son dərəcə darıxdırıcı bir işdir, yalnız bir insana deyil, bir maşına həvalə etmək daha asan olanlardan biridir. Amma əsl idmançı olaraq bizi nəticə deyil, proses maraqlandırır və prosesin daha sadə olması arzu edilir. Törəmələr aşağıdakı kimidir (maksima sistemində hesablanır): , , , , . Kim hesab edir ki, törəmələri əl ilə əldə etmək asandır, bunu boş vaxtlarında etsin. Nə olursa olsun, indi genişlənməni yaza bilərik: .

Burada sadələşdirə biləcəyimiz şey budur: qeyd edirik və beləliklə, tangensin birinci törəməsi tangens vasitəsilə ifadə edilir, bundan əlavə, buradan belə çıxır ki, tangensin bütün digər törəmələri tangensin çoxhədliləri olacaqdır ki, bu da bizə sinuslardan hissənin törəmələri ilə əziyyət çəkməməyə imkan verir. və kosinuslar:
,
,
,
.
Parçalanma, əlbəttə ki, eyni olur.

Mən birbaşa riyaziyyat imtahanı zamanı silsilələrin genişləndirilməsinin başqa bir üsulunu öyrəndim. təhlili və bu metodu bilmədiyim üçün sonra bir xor aldım. köhnə əvəzinə.-a. Metodun mənası ondan ibarətdir ki, biz həm sinusun, həm də kosinusun sıra genişlənməsini, həmçinin funksiyasını bilirik, sonuncu genişlənmə bizə ikincinin genişlənməsini tapmağa imkan verir: . Mötərizələri açaraq, sinusun genişlənməsi ilə çarpılması lazım olan bir sıra əldə edirik. İndi yalnız iki cərgəni çoxaltmaq lazımdır. Mürəkkəblikdən danışırıqsa, onun birinci üsuldan daha aşağı olduğuna şübhə edirəm, xüsusən hesablamaların həcmi tapılmalı olan genişləndirmə şərtlərinin artan dərəcəsi ilə sürətlə böyüyür.

Növbəti üsul qeyri-müəyyən əmsallar metodunun bir variantıdır. Əvvəlcə sual verək: apriori desək, genişlənmə qurmağa kömək edə biləcək tangens haqqında ümumiyyətlə nə bilirik? Burada ən vacibi odur ki, tangens funksiyası təkdir və buna görə də cüt güclərdə olan bütün əmsallar sıfıra bərabərdir, başqa sözlə, əmsalların yarısını tapmaq tələb olunmur. Sonra yaza bilərik və ya , sinus və kosinusu sıra ilə genişləndirərək, əldə edirik. Və əmsalları əldə etdiyimiz eyni dərəcədə bərabərləşdirərək, , və ümumiyyətlə . Beləliklə, iterativ bir prosesdən istifadə edərək, istənilən sayda genişləndirmə şərtlərini tapa bilərik.

Dördüncü üsul həm də qeyri-müəyyən əmsallar üsuludur, lakin bunun üçün başqa funksiyaların genişləndirilməsinə ehtiyacımız yoxdur. Tangens üçün diferensial tənliyi nəzərdən keçirəcəyik. Yuxarıda gördük ki, tangensin törəməsi tangensin funksiyası kimi ifadə edilə bilər. Bir sıra qeyri-müəyyən əmsalları bu tənliyə əvəz edərək yaza bilərik: Kvadratlaşdıraraq və buradan yenə təkrarlanan proses vasitəsilə genişlənmə əmsallarını tapmaq mümkün olacaq.

Bu üsullar ilk ikisindən çox sadədir, lakin seriyanın ümumi termini üçün ifadələri bu şəkildə tapmaq işləməyəcək, amma mən istərdim. Əvvəldə dediyim kimi, uzaqdan başlamalı olacaqsınız (Kurantın dərsliyinə əməl edəcəm). Biz funksiyanın seriyalı genişləndirilməsi ilə başlayacağıq. Nəticədə formada yazılacaq bir sıra alırıq , burada nömrələr Bernoulli nömrələridir.
Əvvəlcə bu ədədləri Jacob Bernoulli natural ədədlərin m-lik dərəcələrinin cəmini taparkən tapmışdır. . Belə görünür ki, triqonometriyanın bununla nə əlaqəsi var? Sonralar Eyler bir sıra natural ədədlərin tərs kvadratlarının cəmi məsələsini həll edərək, cavabı sinusun sonsuz hasilə genişlənməsindən aldı. Daha sonra məlum oldu ki, kotangentin genişlənməsi bütün təbii n üçün formanın cəmini ehtiva edir. Və buna əsaslanaraq Eyler Bernulli ədədləri ilə belə məbləğlər üçün ifadələr əldə etmişdir. Beləliklə, burada əlaqələr var və tangens genişlənməsinin bu ardıcıllığı ehtiva etməsi təəccüblü olmamalıdır.
Ancaq fraksiyanın parçalanmasına qayıdaq. Eksponenti genişləndirərək, birini çıxararaq və "x"ə bölmək, nəticədə əldə edirik. Buradan artıq aydın olur ki, Bernoulli ədədlərinin birincisi birə, ikincisi mənfi bir saniyəyə bərabərdir və s. Birlikdən başlayaraq k-ci Bernulli ədədinin ifadəsini yazaq. Bu ifadəni vuraraq ifadəni aşağıdakı formada yenidən yazırıq. Və bu ifadədən növbə ilə Bernoulli ədədlərini əldə edə bilərik, xüsusən: , ,

Funksional sıralar nəzəriyyəsində mərkəzi yeri funksiyanın seriyaya genişləndirilməsinə həsr olunmuş bölmə tutur.

Beləliklə, tapşırıq qoyulur: verilmiş funksiya üçün belə bir güc seriyasını tapmaq lazımdır

müəyyən intervalda toplanan və onun cəmi bərabər idi
, olanlar.

= ..

Bu vəzifə adlanır funksiyanın güc seriyasına genişləndirilməsi problemi.

Qüvvət seriyasında funksiyanın parçalana bilməsi üçün zəruri şərt onun sonsuz sayda diferensiallığıdır - bu, konvergent qüvvə seriyalarının xüsusiyyətlərindən irəli gəlir. Bu şərt, bir qayda olaraq, onların təyini sahəsində elementar funksiyalar üçün təmin edilir.

Beləliklə, tutaq ki, funksiya
istənilən sifarişin törəmələri var. Onu güc seriyasına genişləndirmək mümkündürmü?Elədirsə, bu seriyanı necə tapa bilərik? Problemin ikinci hissəsini həll etmək daha asandır, ona görə də onunla başlayaq.

Fərz edək ki, funksiya
nöqtəni ehtiva edən intervalda yaxınlaşan güc seriyasının cəmi kimi təqdim edilə bilər X 0 :

= .. (*)

Harada A 0 , Ə 1 , Ə 2 ,...,A P ,... – naməlum (hələ) əmsallar.

Gəlin bərabərliyə (*) dəyəri qoyaq x = x 0 , sonra alırıq

Qüdrət silsiləsi (*) müddətini terminə görə fərqləndirək

= ..

və burada inanmaq x = x 0 , alırıq

Növbəti fərqləndirmə ilə seriyanı əldə edirik

= ..

inanan x = x 0 , alırıq
, harada
.

sonra P-çoxlu fərqləndirmə əldə edirik

Son bərabərliyi fərz etsək x = x 0 , alırıq
, harada

Beləliklə, əmsallar tapılır

,
,
, …,
,….,

seriyaya hansını (*) əvəz edərək, alırıq

Nəticə seriyası adlanır Taylorun yanında funksiyası üçün
.

Beləliklə, biz bunu müəyyən etdik funksiya güc seriyasına genişləndirilə bilərsə (x - x 0 ), onda bu genişlənmə unikaldır və nəticədə ortaya çıxan seriya mütləq Taylor seriyasıdır.

Qeyd edək ki, Teylor seriyası nöqtədə istənilən düzülüş törəmələri olan istənilən funksiya üçün alına bilər x = x 0 . Amma bu o demək deyil ki, funksiya ilə nəticələnən sıra arasında bərabərlik işarəsi qoyula bilər, yəni. silsilənin cəminin ilkin funksiyaya bərabər olduğunu. Birincisi, belə bərabərlik yalnız yaxınlaşma bölgəsində məna kəsb edə bilər və funksiya üçün alınan Teylor sıraları bir-birindən ayrıla bilər, ikincisi, əgər Teylor sırası yaxınlaşırsa, onda onun cəmi ilkin funksiya ilə üst-üstə düşməyə bilər.

3.2. Teylor seriyasında funksiyanın parçalana bilməsi üçün kifayət qədər şərtlər

Tapşırığın həll olunacağı bir bəyanat tərtib edək.

Əgər funksiyası
x nöqtəsinin bəzi qonşuluğunda 0 qədər törəmələri var (n+ 1) sırası daxil olmaqla, bu məhəllədə bizdə vardüstur Taylor

HaradaR n (X)-Taylor düsturunun qalan termini – formaya malikdir (Laqranj forması)

Harada nöqtəξ x və x arasında yerləşir 0 .

Qeyd edək ki, Taylor seriyası ilə Taylor düsturu arasında fərq var: Taylor düsturu sonlu cəmidir, yəni. P - sabit nömrə.

Xatırladaq ki, seriyanın cəmi S(x) qismən cəmlərin funksional ardıcıllığının həddi kimi müəyyən edilə bilər S P (x) müəyyən intervalda X:

Buna əsasən, funksiyanı Taylor seriyasına genişləndirmək hər hansı bir seriya tapmaq deməkdir XX

Taylor düsturunu harada şəklində yazaq

qeyd et ki
aldığımız xətanı müəyyən edir, funksiyanı əvəz edir f(x) polinom S n (x).

Əgər
, Bu
,olar. funksiya Taylor seriyasına genişləndirilir. Əksinə, əgər
, Bu
.

Beləliklə sübut etdik Teylor seriyasında funksiyanın parçalanma meyarı.

Funksiya üçünf(x) Taylor seriyasına qədər genişlənir, bu intervalda olması zəruri və kifayətdir
, HaradaR n (x) Teylor seriyasının qalan terminidir.

Müəyyən edilmiş meyardan istifadə edərək əldə edə bilərsiniz kifayətdirTeylor seriyasında funksiyanın parçalanma şərtləri.

Əgər daxilx nöqtəsinin bəzi qonşuluğu 0 funksiyanın bütün törəmələrinin mütləq qiymətləri eyni M sayı ilə məhdudlaşır≥ 0, yəni.

, To bu məhəllədə funksiya Taylor seriyasına qədər genişlənir.

Yuxarıdakılardan belə çıxır alqoritmfunksiyanın genişləndirilməsi f(x) Taylor seriyasında bir nöqtənin yaxınlığında X 0 :

1. Funksiyaların törəmələrinin tapılması f(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Funksiyanın qiymətini və onun törəmələrinin nöqtədəki qiymətlərini hesablayın X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f"(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Formal olaraq Teylor seriyasını yazırıq və nəticədə yaranan qüvvələr sırasının yaxınlaşma bölgəsini tapırıq.

4. Biz kifayət qədər şərtlərin yerinə yetirilməsini yoxlayırıq, yəni. bunun üçün müəyyən edirik X yaxınlaşma bölgəsindən, qalan müddət R n (x) da sıfıra meyl edir
və ya
.

Bu alqoritmdən istifadə edərək funksiyaların Taylor seriyasına genişlənməsi deyilir funksiyanın tərifinə görə Taylor seriyasına genişləndirilməsi və ya birbaşa parçalanma.

Əgər funksiyası f(x) nöqtəni ehtiva edən bəzi intervala malikdir A, bütün sıraların törəmələri, onda Taylor düsturu ona tətbiq edilə bilər:

Harada r n– seriyanın qalıq müddəti və ya qalığı deyilən, Laqranj düsturu ilə təxmin edilə bilər:

, burada x ədədi arasındadır X Və A.

Bəzi dəyər üçün x r n®0 at n®¥, onda limitdə Teylor düsturu bu qiymət üçün konvergent formuluna çevrilir Taylor seriyası:

Beləliklə, funksiya f(x) sözügedən nöqtədə Taylor seriyasına qədər genişləndirilə bilər X, Əgər:

1) bütün sifarişlərin törəmələri var;

2) qurulmuş sıra bu nöqtədə birləşir.

At A=0 adlı bir seriya alırıq Maclaurin yaxınlığında:

Misal 1 f(x)= 2x.

Həll. Funksiyanın və onun törəmələrinin qiymətlərini tapaq X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Törəmələrin alınan dəyərlərini Taylor seriyası düsturuna əvəz edərək, əldə edirik:

Bu seriyanın yaxınlaşma radiusu sonsuza bərabərdir, ona görə də bu genişlənmə -¥ üçün etibarlıdır.<x<+¥.

Misal 2 X+4) funksiya üçün f(x)= e x.

Həll. Funksiyanın törəmələrinin tapılması e x və nöqtədə onların dəyərləri X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Beləliklə, funksiyanın tələb olunan Teylor seriyası aşağıdakı formaya malikdir:

Bu genişlənmə -¥ üçün də etibarlıdır<x<+¥.

Misal 3 . Funksiyanı genişləndirin f(x)=ln x səlahiyyətlər seriyasında ( X- 1),

(yəni, nöqtənin yaxınlığındakı Taylor seriyasında X=1).

Həll. Bu funksiyanın törəmələrini tapın.

Bu dəyərləri düsturla əvəz edərək, istədiyiniz Taylor seriyasını əldə edirik:

D'Alembert testindən istifadə edərək, seriyanın nə vaxt birləşdiyini yoxlaya bilərsiniz

½ X- 1½<1. Действительно,

Sıra ½ olarsa birləşir X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 Leybniz kriteriyasının şərtlərini ödəyən dəyişən sıra alırıq. At X=0 funksiyası müəyyən edilməyib. Beləliklə, Teylor sırasının yaxınlaşma bölgəsi yarımaçıq intervaldır (0;2].

Bu şəkildə əldə edilən genişlənmələri Maklaurin seriyasına (yəni nöqtənin yaxınlığında) təqdim edək. X=0) bəzi elementar funksiyalar üçün:

(2) ,

(3) ,

( sonuncu parçalanma adlanır binom seriyası)

Misal 4 . Funksiyanı güc seriyasına genişləndirin

Həll. Genişlənmədə (1) əvəz edirik X on - X 2, alırıq:

Misal 5 . Maclaurin seriyasında funksiyanı genişləndirin

Həll. bizdə var

Düsturdan (4) istifadə edərək yaza bilərik:

əvəzinə əvəz edir X formuluna daxil edilir -X, alırıq:

Buradan tapırıq:

Mötərizənin açılması, seriyanın şərtlərinin yenidən qurulması və oxşar şərtlərin gətirilməsi, biz əldə edirik

Bu sıra intervalda birləşir

(-1;1), çünki hər biri bu intervalda birləşən iki sıradan alınır.

Şərh .

(1)-(5) düsturları müvafiq funksiyaları Taylor seriyasına genişləndirmək üçün də istifadə edilə bilər, yəni. müsbət tam dərəcələrdə funksiyaları genişləndirmək üçün ( ha). Bunun üçün (1)-(5) funksiyalarından birini əldə etmək üçün verilmiş funksiya üzərində belə eyni çevrilmələri yerinə yetirmək lazımdır ki, onun yerinə X xərclər k( ha) m , burada k sabit ədəddir, m müsbət tam ədəddir. Dəyişən dəyişikliyi etmək çox vaxt rahatdır t=ha və nəticədə yaranan funksiyanı Maklaurin seriyasındakı t-ə münasibətdə genişləndirin.

Bu üsul funksiyanın güc seriyasının genişlənməsinin unikallığı haqqında teoremi təsvir edir. Bu teoremin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, eyni nöqtənin qonşuluğunda genişlənməsi necə yerinə yetirilməsindən asılı olmayaraq, eyni funksiyaya yaxınlaşacaq iki fərqli güc seriyası əldə edilə bilməz.

Misal 6 . Bir nöqtənin qonşuluğunda Taylor seriyasındakı funksiyanı genişləndirin X=3.

Həll. Bu problem, əvvəlki kimi, Taylor seriyasının tərifindən istifadə edərək həll edilə bilər, bunun üçün funksiyanın törəmələrini və onların qiymətlərini tapmalıyıq. X=3. Bununla belə, mövcud genişlənmədən istifadə etmək daha asan olacaq (5):

Nəticədə sıra birləşir və ya –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Misal 7 . Teylor seriyasını güclərdə yazın ( X-1) funksiyalar .

Həll.

Serial birləşir , və ya 2< x£5.

Ali riyaziyyatın tələbələri bilməlidirlər ki, bizə verilən sıraların yaxınlaşma intervalına aid olan müəyyən dərəcə sırasının cəmi davamlı və qeyri-məhdud sayda dəfə diferensiallaşdırılmış funksiyaya çevrilir. Sual yaranır: verilmiş ixtiyari f(x) funksiyasının müəyyən dərəcə sırasının cəmi olduğunu söyləmək mümkündürmü? Yəni f(x) funksiyası hansı şəraitdə dərəcə seriyası ilə təmsil oluna bilər? Bu sualın əhəmiyyəti ondan ibarətdir ki, f(x) funksiyasını güc seriyasının, yəni çoxhədlinin ilk bir neçə üzvünün cəmi ilə təxminən əvəz etmək mümkündür. Funksiyanı kifayət qədər sadə bir ifadə ilə - çoxhədli ilə əvəz etmək müəyyən məsələləri həll edərkən də əlverişlidir, yəni: inteqralları həll edərkən, hesablayarkən və s.

Sübut edilmişdir ki, müəyyən f(x) funksiyası üçün (α - R; x 0 + R) qonşuluğunda sonuncusu da daxil olmaqla (n+1)-ci sıraya qədər törəmələri hesablamaq mümkündür. ) hansısa x = α nöqtəsi, düzgündür ki, düstur:

Bu düstur məşhur alim Bruk Taylorun adını daşıyır. Əvvəlki seriyadan əldə edilən seriya Maclaurin seriyası adlanır:

Maclaurin seriyasında genişlənməni həyata keçirməyə imkan verən qayda:

Birinci, ikinci, üçüncü... sıraların törəmələrini təyin edin.
x=0-da törəmələrin nəyə bərabər olduğunu hesablayın.
Bu funksiya üçün Maklaurin seriyasını yazın və sonra onun yaxınlaşma intervalını təyin edin.
Maklaurin düsturunun qalığının olduğu intervalı (-R;R) təyin edin

R n (x) -> 0 at n -> sonsuzluq. Əgər biri varsa, onda f(x) funksiyası Maklaurin seriyasının cəmi ilə üst-üstə düşməlidir.

İndi ayrı-ayrı funksiyalar üçün Maklaurin seriyasını nəzərdən keçirək.

1. Beləliklə, birinci f(x) = e x olacaq. Təbii ki, öz xüsusiyyətlərinə görə belə funksiyanın çox fərqli düzənli törəmələri var və f (k) (x) = e x , burada k hamıya bərabərdir.X = 0-ı əvəz edin. f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 alırıq... Yuxarıdakılara əsasən, e x seriyası belə görünəcək:

2. f(x) = sin x funksiyası üçün Maklaurin seriyası. Dərhal aydınlaşdıraq ki, bütün naməlumlar üçün funksiyanın törəmələri olacaq, əlavə olaraq, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x +) 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), burada k istənilən natural ədədə bərabərdir.Yəni sadə hesablamalar apardıqdan sonra bura gələ bilərik. f(x) = sin x üçün seriyanın belə olacağı qənaəti:

3. İndi f(x) = cos x funksiyasını nəzərdən keçirməyə çalışaq. Bütün naməlumlar üçün onun ixtiyari sıralı törəmələri var və |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Beləliklə, biz Maclaurin seriyasında genişləndirilə bilən ən vacib funksiyaları sadaladıq, lakin bəzi funksiyalar üçün onlar Taylor seriyası ilə tamamlanır. İndi biz onları sadalayacağıq. Onu da qeyd etmək yerinə düşər ki, Teylor və Maklaurin seriyaları ali riyaziyyatda sıraların həlli üzrə praktik işin mühüm hissəsidir. Beləliklə, Taylor seriyası.

1. Birinci f(x) = ln(1+x) funksiyası üçün sıra olacaq. Əvvəlki nümunələrdə olduğu kimi, verilmiş f(x) = ln(1+x) üçün Maclaurin seriyasının ümumi formasından istifadə edərək silsilələri əlavə edə bilərik. lakin, bu funksiya üçün Maclaurin seriyası daha sadə şəkildə əldə edilə bilər. Müəyyən bir həndəsi silsiləni birləşdirərək, belə bir nümunənin f(x) = ln(1+x) üçün bir sıra əldə edirik:

2. Məqaləmizdə yekun olacaq ikincisi isə f(x) = arctan x üçün sıra olacaq. [-1;1] intervalına aid olan x üçün genişlənmə etibarlıdır:

Hamısı budur. Bu məqalə ali riyaziyyatda, xüsusən də iqtisadiyyat və texniki universitetlərdə ən çox istifadə olunan Taylor və Maclaurin seriyalarını araşdırdı.

16.1. Elementar funksiyaların Taylor seriyasına genişləndirilməsi və

Maklaurin

Göstərək ki, əgər çoxluqda ixtiyari funksiya müəyyən edilirsə
, məntəqənin yaxınlığında
çoxlu törəmələrə malikdir və güc seriyasının cəmidir:

onda bu seriyanın əmsallarını tapa bilərsiniz.

Bir güc seriyasında əvəz edək
. Sonra
.

Funksiyanın birinci törəməsini tapaq
:

At
:
.

İkinci törəmə üçün alırıq:

At
:
.

Bu proseduru davam etdirmək n bir dəfə alırıq:
.

Beləliklə, formanın güc seriyasını əldə etdik:

adlanır Taylorun yanında funksiyası üçün
məntəqənin yaxınlığında
.

Taylor seriyasının xüsusi bir vəziyyətidir Maclaurin seriyası saat
:

Taylor (Maclaurin) seriyasının qalan hissəsi əsas seriyanın atılması ilə əldə edilir n ilk üzvləridir və kimi işarələnir
. Sonra funksiya
cəmi kimi yazıla bilər n seriyanın ilk üzvləri
və qalan
:,

Qalanları adətən olur
müxtəlif düsturlarla ifadə edilir.

Onlardan biri Laqranj formasındadır:

, Harada
.
.

Qeyd edək ki, praktikada Maklaurin seriyasından daha çox istifadə olunur. Beləliklə, funksiyanı yazmaq üçün
güc seriyası cəmi şəklində lazımdır:

1) Maklaurin (Teylor) seriyasının əmsallarını tapın;

2) yaranan dərəcə sırasının yaxınlaşma bölgəsini tapın;

3) bu seriyanın funksiyaya yaxınlaşdığını sübut edin
.

Teorem1 (Maklaurin seriyasının yaxınlaşması üçün zəruri və kafi şərt). Seriyanın yaxınlaşma radiusu olsun
. Bu seriyanın intervalda yaxınlaşması üçün
fəaliyyət göstərmək
, şərtin ödənilməsi üçün zəruri və kifayətdir:
müəyyən edilmiş intervalda.

Teorem 2.Əgər funksiyanın hər hansı bir sırasının törəmələri
müəyyən intervalda
eyni sayda mütləq dəyərlə məhdudlaşır M, yəni
, onda bu intervalda funksiya
Maclaurin seriyasına qədər genişləndirilə bilər.

Misal1 . Nöqtə ətrafında Taylor seriyasında genişləndirin
funksiyası.

Həll.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergensiya bölgəsi
.

Misal2 . Funksiyanı genişləndirin bir nöqtə ətrafında Taylor seriyasında
.

Həll:

Funksiyanın və onun törəmələrinin qiymətini tapın
.

,
;

...........……………………………

,
.

Gəlin bu dəyərləri bir sıra qoyaq. Biz əldə edirik:

və ya
.

Bu silsilənin yaxınlaşma bölgəsini tapaq. D'Alember sınağına görə, bir sıra əgər birləşir

Buna görə də, hər hansı bir üçün bu limit 1-dən azdır və buna görə də seriyanın yaxınlaşma diapazonu belə olacaq:
.

Əsas elementar funksiyaların Maclaurin seriyasının genişləndirilməsinin bir neçə nümunəsini nəzərdən keçirək. Xatırladaq ki, Maclaurin seriyası:

intervalında birləşir
fəaliyyət göstərmək
.

Qeyd edək ki, funksiyanı seriyaya genişləndirmək üçün aşağıdakılar lazımdır:

a) bu funksiya üçün Maklaurin seriyasının əmsallarını tapın;

b) alınan sıra üçün yaxınlaşma radiusunu hesablayın;

c) alınan sıraların funksiyaya yaxınlaşdığını sübut edin
.

Misal 3. Funksiyanı nəzərdən keçirin
.

Həll.

Funksiyanın və onun törəmələrinin dəyərini hesablayaq
.

Sonra seriyanın ədədi əmsalları formaya malikdir:

hər kəs üçün n. Tapılmış əmsalları Maclaurin seriyasına əvəz edək və əldə edək:

Nəticə seriyanın yaxınlaşma radiusunu tapaq, yəni:

Beləliklə, sıra intervalda birləşir
.

Bu sıra funksiyaya yaxınlaşır istənilən dəyərlər üçün , çünki istənilən intervalda
funksiyası və onun mütləq dəyər törəmələri sayca məhduddur .

Misal4 . Funksiyanı nəzərdən keçirin
.

Həll.

Cüt nizamlı törəmələri görmək asandır
, və törəmələr tək sıralıdır. Tapılan əmsalları Maclaurin seriyasına əvəz edək və genişlənməsini əldə edək:

Bu silsilənin yaxınlaşma intervalını tapaq. D'Alember işarəsinə görə:

hər kəs üçün . Beləliklə, sıra intervalda birləşir
.

Bu sıra funksiyaya yaxınlaşır
, çünki onun bütün törəmələri vəhdətlə məhdudlaşır.

Misal5 .
.

Həll.

Funksiyanın və onun törəmələrinin qiymətini tapaq
:

Beləliklə, bu seriyanın əmsalları:
Və
, deməli:

Əvvəlki sıraya bənzər, yaxınlaşma sahəsi
. Seriya funksiyaya yaxınlaşır
, çünki onun bütün törəmələri vəhdətlə məhdudlaşır.

Qeyd edək ki, funksiya
tək güclərdə tək və sıra genişlənməsi, funksiya
– bərabər və bərabər güclərdə seriyaya genişlənmə.

Misal6 . Binom seriyası:
.

Həll.

Funksiyanın və onun törəmələrinin qiymətini tapaq
:

Buradan belə görmək olar:

Bu əmsal dəyərlərini Maclaurin seriyasına əvəz edək və bu funksiyanın güc seriyasına genişlənməsini əldə edək:

Bu silsilənin yaxınlaşma radiusunu tapaq:

Beləliklə, sıra intervalda birləşir
. Məhdud nöqtələrdə
Və
eksponentdən asılı olaraq sıra yaxınlaşa və ya yaxınlaşmaya bilər
.

Tədqiq olunan sıra intervalda birləşir
fəaliyyət göstərmək
, yəni sıraların cəmi
saat
.

Misal7 . Maclaurin seriyasındakı funksiyanı genişləndirək
.

Həll.

Bu funksiyanı seriyaya genişləndirmək üçün at binomial seriyasından istifadə edirik
. Biz əldə edirik:

Qüvvət sıralarının xassəsinə əsaslanaraq (qüdrət seriyası yaxınlaşma bölgəsində birləşdirilə bilər) bu seriyanın sol və sağ tərəflərinin inteqralını tapırıq:

Bu seriyanın yaxınlaşma sahəsini tapaq:
,

yəni bu seriyanın yaxınlaşma sahəsi intervaldır
. İntervalın sonunda sıraların yaxınlaşmasını müəyyən edək. At

. Bu seriya ahəngdar seriyadır, yəni ayrılır. At
ümumi termini olan bir sıra sıra alırıq
.

Seriya Leybniz kriteriyasına uyğun olaraq birləşir. Beləliklə, bu silsilənin yaxınlaşma bölgəsi intervaldır
.

16.2. Güc sıralarının təxmini hesablamalarda tətbiqi

Təxmini hesablamalarda güc seriyaları son dərəcə mühüm rol oynayır. Onların köməyi ilə müxtəlif bilik sahələrində, məsələn, ehtimal nəzəriyyəsində və riyazi statistikada istifadə olunan triqonometrik funksiyaların cədvəlləri, loqarifmlər cədvəlləri, digər funksiyaların qiymət cədvəlləri tərtib edilmişdir. Bundan əlavə, funksiyaların güc seriyasına genişləndirilməsi onların nəzəri öyrənilməsi üçün faydalıdır. Təxmini hesablamalarda güc seriyalarından istifadə edərkən əsas məsələ, seriyanın cəmini birincisinin cəmi ilə əvəz edərkən səhvin qiymətləndirilməsi məsələsidir. nüzvləri.

İki halı nəzərdən keçirək:

funksiya işarəni dəyişən sıraya genişləndirilir;

funksiya bir sıra sabit işarəyə genişləndirilir.

Alternativ sıralardan istifadə edərək hesablama

Qoy funksiya olsun
alternativ güc seriyasına çevrildi. Sonra bu funksiyanı müəyyən bir dəyər üçün hesablayarkən Leybniz kriteriyasını tətbiq edə biləcəyimiz bir sıra sıra alırıq. Bu meyara uyğun olaraq, əgər seriyanın cəmi onun birincisinin cəmi ilə əvəz edilərsə nşərtlər, onda mütləq xəta bu seriyanın qalan hissəsinin birinci həddini keçmir, yəni:
.

Misal8 . Hesablayın
0,0001 dəqiqliklə.

Həll.

üçün Maclaurin seriyasından istifadə edəcəyik
, bucaq dəyərini radyanla əvəz etməklə:

Əgər seriyanın birinci və ikinci hədlərini verilmiş dəqiqliklə müqayisə etsək, onda: .

Üçüncü genişləndirmə müddəti:

müəyyən edilmiş hesablama dəqiqliyindən azdır. Buna görə hesablamaq üçün
seriyanın iki şərtini tərk etmək kifayətdir, yəni

Beləliklə
.

Misal9 . Hesablayın
0,001 dəqiqliklə.

Həll.

Biz binomial sıra düsturundan istifadə edəcəyik. Bunun üçün yazaq
kimi:
.

Bu ifadədə
,

Seriyanın şərtlərinin hər birini göstərilən dəqiqliklə müqayisə edək. Aydındır ki
. Buna görə hesablamaq üçün
seriyanın üç şərtini tərk etmək kifayətdir.

və ya
.

Müsbət seriyalardan istifadə edərək hesablama

Misal10 . Nömrəni hesablayın 0,001 dəqiqliklə.

Həll.

Bir funksiya üçün bir sıra
əvəz edək
. Biz əldə edirik:

Seriyanın cəmini birincinin cəmi ilə əvəz edərkən yaranan xətanı qiymətləndirək üzvləri. Aşkar bərabərsizliyi yazaq:

yəni 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Problemə görə tapmaq lazımdır n belə ki, aşağıdakı bərabərsizlik baş verir:
və ya
.

Bunu nə vaxt yoxlamaq asandır n= 6:
.

Beləliklə,
.

Misal11 . Hesablayın
0,0001 dəqiqliklə.

Həll.

Qeyd edək ki, loqarifmləri hesablamaq üçün funksiya üçün sıradan istifadə etmək olar
, lakin bu sıra çox yavaş birləşir və verilən dəqiqliyə nail olmaq üçün 9999 şərt götürmək lazımdır! Buna görə də, loqarifmləri hesablamaq üçün, bir qayda olaraq, funksiya üçün bir sıra istifadə olunur
intervalında birləşən
.