Məntiqi tənliklərin həlli. Məntiqi əməliyyatların prioriteti

n dəyişənin məntiqi funksiyası olsun. Məntiqi tənlik belə görünür:

C sabiti 1 və ya 0 dəyərinə malikdir.

Məntiqi tənliyin 0-dan fərqli həlləri ola bilər. Əgər C 1-ə bərabərdirsə, onda həllər həqiqət cədvəlindən F funksiyasının true (1) qiymətini qəbul etdiyi bütün dəyişənlər toplusudur. Qalan çoxluqlar C sıfıra bərabər olan tənliyin həlləridir. Həmişə yalnız formanın tənliklərini nəzərdən keçirə bilərsiniz:

Həqiqətən, tənlik verilsin:

Bu halda, ekvivalent tənliyə keçə bilərik:

k məntiqi tənliklər sistemini nəzərdən keçirək:

Sistemin həlli sistemin bütün tənliklərinin təmin olunduğu dəyişənlər toplusudur. Məntiqi funksiyalar baxımından məntiqi tənliklər sisteminin həllini əldə etmək üçün ilkin funksiyaların birləşməsini təmsil edən F məntiqi funksiyasının doğru olduğu çoxluğu tapmaq lazımdır:

Əgər dəyişənlərin sayı azdırsa, məsələn, 5-dən azdırsa, o zaman sistemin neçə həlli olduğunu və həlli təmin edən çoxluqların nə olduğunu söyləməyə imkan verən funksiya üçün həqiqət cədvəlini qurmaq çətin deyil.

Məntiqi tənliklər sisteminin həllinin tapılması ilə bağlı bəzi İSTİFADƏ problemlərində dəyişənlərin sayı 10-a çatır. Sonra həqiqət cədvəlinin qurulması demək olar ki, qeyri-mümkün bir işə çevrilir. Problemin həlli fərqli yanaşma tələb edir. İxtiyari tənliklər sistemi üçün bu cür məsələlərin həllinə imkan verən sadalamadan başqa ümumi üsul yoxdur.

İmtahanda təklif olunan məsələlərdə həll adətən tənliklər sisteminin xüsusiyyətlərinin nəzərə alınmasına əsaslanır. Təkrar edirəm, dəyişənlər dəsti üçün bütün variantları sınamaqdan başqa, problemi həll etməyin ümumi yolu yoxdur. Həll sistemin xüsusiyyətlərinə əsaslanaraq qurulmalıdır. Məlum məntiq qanunlarından istifadə edərək tənliklər sisteminin ilkin sadələşdirilməsini həyata keçirmək çox vaxt faydalıdır. Bu problemi həll etmək üçün başqa bir faydalı texnika aşağıdakı kimidir. Bizi bütün çoxluqlar maraqlandırmır, yalnız funksiyanın 1 dəyərinə malik olanlar maraqlandırır. Biz tam həqiqət cədvəli qurmaq əvəzinə onun analoqunu - binar qərar ağacını quracağıq. Bu ağacın hər bir budağı bir həllə uyğun gəlir və funksiyanın 1 qiymətinə malik olduğu çoxluğu müəyyən edir. Qərar ağacındakı budaqların sayı tənliklər sisteminin həllər sayı ilə üst-üstə düşür.

Mən ikili qərar ağacının nə olduğunu və onun necə qurulduğunu bir neçə məsələnin nümunələri ilə izah edəcəyəm.

Problem 18

İki tənlik sistemini təmin edən x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 məntiqi dəyişənlərin neçə müxtəlif dəyər çoxluğu var?

Cavab: Sistemdə 36 müxtəlif həll variantı var.

Həlli: Tənliklər sisteminə iki tənlik daxildir. 5 dəyişəndən asılı olaraq birinci tənlik üçün həllərin sayını tapaq - . Birinci tənliyi öz növbəsində 5 tənlik sistemi kimi qəbul etmək olar. Göstərildiyi kimi, tənliklər sistemi əslində məntiqi funksiyaların birləşməsini təmsil edir. Əks ifadə də doğrudur - şərtlərin birləşməsini tənliklər sistemi kimi qəbul etmək olar.

Gəlin implikasiya üçün qərar ağacı quraq () - birinci tənlik kimi qəbul edilə bilən birləşmənin birinci üzvü. Bu ağacın qrafik təsviri belə görünür

Ağac tənlikdəki dəyişənlərin sayına görə iki səviyyədən ibarətdir. Birinci səviyyə birinci dəyişəni təsvir edir. Bu səviyyənin iki qolu bu dəyişənin mümkün dəyərlərini əks etdirir - 1 və 0. İkinci səviyyədə ağacın budaqları yalnız tənliyin doğru olaraq qiymətləndirdiyi dəyişənin mümkün dəyərlərini əks etdirir. Tənlik bir təsir göstərdiyindən, dəyəri 1 olan budaq bu filialda 1 dəyərinin olmasını tələb edir. 0 dəyəri olan budaq 0 və 1-ə bərabər dəyərlərə malik iki budaq yaradır. ağac üç həlli müəyyən edir, onlardan 1 dəyərini alır. Hər bir budaqda tənliyə həll verən müvafiq dəyişən dəyərlər dəsti yazılır.

Bu çoxluqlar: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

Gəlin aşağıdakı tənliyi əlavə edərək qərar ağacını qurmağa davam edək, aşağıdakı nəticə. Tənliklər sistemimizin spesifikliyi ondan ibarətdir ki, sistemin hər bir yeni tənliyi əvvəlki tənlikdən bir dəyişən istifadə edir və bir yeni dəyişən əlavə edir. Dəyişən ağacda artıq dəyərlərə malik olduğundan, dəyişənin dəyəri 1 olan bütün budaqlarda dəyişənin də 1 dəyəri olacaq. Belə budaqlar üçün ağacın qurulması növbəti səviyyəyə qədər davam edir, lakin yeni filiallar görünmür. Dəyişənin 0 dəyərinə malik olduğu tək budaq dəyişənin 0 və 1 qiymətlərini alacağı iki budağa bölünəcək. Beləliklə, yeni tənliyin hər bir əlavəsi, spesifikliyini nəzərə alaraq, bir həll əlavə edir. Orijinal birinci tənlik:

6 həlli var. Bu tənlik üçün tam qərar ağacı belə görünür:

Sistemimizin ikinci tənliyi birinciyə bənzəyir:

Yeganə fərq ondadır ki, tənlikdə Y dəyişənlərindən istifadə olunur.Bu tənliyin də 6 həlli var. Hər dəyişən həll hər dəyişən həll ilə birləşdirilə bildiyi üçün həllərin ümumi sayı 36-dır.

Nəzərə alın ki, qurulmuş qərar ağacı təkcə həllərin sayını (budaqların sayına görə) deyil, həm də ağacın hər bir budağına yazılmış həllərin özlərini verir.

Problem 19

Aşağıda sadalanan bütün şərtləri ödəyən x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 məntiqi dəyişənlərin neçə müxtəlif dəyər dəsti var?

Bu tapşırıq əvvəlki tapşırığın modifikasiyasıdır. Fərq ondadır ki, X və Y dəyişənləri ilə əlaqəli başqa bir tənlik əlavə olunur.

Tənlikdən belə çıxır ki, dəyəri 1 olduqda (belə bir həll mövcuddur), onda onun dəyəri 1 olur. Beləliklə, 1-ə bərabər olan bir çoxluq var. 0-a bərabər olduqda, o, ola bilər. həm 0, həm də 1 hər hansı qiymətə malikdir. Buna görə də 0-a bərabər olan hər bir çoxluq və 5 belə çoxluq var, Y dəyişənləri olan 6 çoxluğun hamısına uyğun gəlir. Buna görə də, həllərin ümumi sayı 31-dir.

Problem 20

Həlli: Əsas ekvivalentləri xatırlayaraq tənliyimizi belə yazırıq:

Tövsiyələrin siklik zənciri dəyişənlərin eyni olması deməkdir, buna görə də tənliyimiz tənliyə ekvivalentdir:

Hamısı 1 və ya 0 olduqda bu tənliyin iki həlli var.

Problem 21

Tənliyin neçə həlli var:

Həlli: 20-ci məsələdə olduğu kimi, tənliyi aşağıdakı formada yenidən yazaraq, tsiklik təsirlərdən eyniliklərə keçirik:

Bu tənlik üçün qərar ağacı quraq:

Problem 22

Aşağıdakı tənliklər sisteminin neçə həlli var?

İlin sonunda məlum oldu ki, üç fərziyyədən yalnız biri doğrudur. İlin sonunda hansı bölmələr mənfəət əldə edib?

Həll. Problem şərtlərindən gələn fərziyyələri məntiqi mülahizələr şəklində yazaq: “B bölməsi üzrə mənfəət əldə etmək, əldə etmək üçün zəruri şərt deyil.

A bölgüsü üzrə mənfəət ":F 1 (A, B, C) = A → B

“Ən azı bir B və C bölməsindən mənfəət əldə etmək A bölməsinin mənfəət əldə etməsi üçün kifayət deyil”: F 2 (A, B, C) = (B + C) → A

“A və B bölmələri eyni vaxtda qazanc əldə etməyəcək”: F 3 (A, B, C) = A B

Şərtdən məlum olur ki, üç fərziyyədən yalnız biri doğrudur. Bu o deməkdir ki, biz aşağıdakı üç məntiqi ifadədən hansının eyni dərəcədə yanlış olmadığını tapmalıyıq:

1) F 1F 2F 3

2) F 1F 2F 3

3) F 1F 2F 3

1) (A→ B) ((B+ C) → A) (A↔ B) = A B(B C+ A) (A B+ A B) = 0

2) (A→ B) ((B+ C) → A) (A↔ B) = (A+ B) (A B+ A C) (A B+ A B) = A B C

3) (A→ B) ((B+ C) → A) (A B) = (A+ B) (B C+ A) (A B+ A B) = 0

Nəticədə, ilin sonunda ikinci fərziyyə doğru, birinci və üçüncü fərziyyə yalan çıxdı.

Buna görə də, C bölməsi mənfəət əldə edəcək, lakin A və B bölmələri mənfəət əldə etməyəcək.

Məntiqi tənliklərin həlli

Mərkəzləşdirilmiş dövlət testlərinin mətnlərində məntiqi tənliyin kökünü tapmağı tələb edən tapşırıq (A8) var. Bir nümunədən istifadə edərək bu cür vəzifələri həll etmək yollarına baxaq.

Məntiqi tənliyin kökünü tapın: (A + B)(X AB) = B + X → A.

Birinci həll həqiqət cədvəlini qurmaqdır. Gəlin tənliyin sağ və sol tərəfləri üçün həqiqət cədvəlləri quraq və bu cədvəllərin son sütunlarındakı dəyərlərin hansı X-də üst-üstə düşdüyünü görək.

F1 (A, B, X) = (A+ B)(X AB)

F2 (A, B, X) = B+ X→ A

Gəlin ortaya çıxan həqiqət cədvəllərini müqayisə edək və F 1 (A, B, X) və F 2 (A, B, X) dəyərlərinin üst-üstə düşdüyü sətirləri seçək.

Yalnız arqument sütunlarını buraxaraq, yalnız seçilmiş sətirləri yenidən yazaq. X dəyişəninə A və B funksiyası kimi baxaq.

Aydındır ki, X = B → A.

İkinci həll yolu tənlikdəki bərabər işarəsini ekvivalent işarə ilə əvəz etmək və sonra yaranan məntiqi tənliyi sadələşdirməkdir.

Sonrakı işi asanlaşdırmaq üçün əvvəlcə məntiqi tənliyin sağ və sol tərəflərini sadələşdirək və onların inkarlarını tapaq:

F1 = (A+ B)(X AB) = A+ B+ (X↔ AB) = A B+ X A B+ X A+ X B

F1 = (A+ B)(X AB) = (A+ B)(X A+ X B+ X A B) = X A B+ X A B+ X A B

F2 = B+ X→ A= B(X→ A) = B(X+ A) = X B+ A B F2 = B+ X→ A= B+ X+ A= B+ X A

Məntiqi tənliyimizdəki bərabər işarəsini ekvivalentlik işarəsi ilə əvəz edək:

F1 ↔ F2 = F1 F2 + F1 F2 = (A B+ X A B+ X A+ X B) (X B+ A B) +

+ (X A B+ X A B+ X A B) (B+ X A) =

= (X A B+ X B+ X A B) + (X A B+ X A B) =

Mötərizədə X və X faktorlarını çıxararaq bu ifadənin məntiqi şərtlərini yenidən sıralayaq.

X(A B) + X(B+ AB) = X(A B) + X(B+ A) =

T = A B işarə edək, onda

X T+ X T= X↔ T.

Buna görə də məntiqi tənliyin həlli üçün: X = A B = B + A = B → A.

Kompüter məntiqi elementləri. Funksional diaqramların qurulması

Hesablama texnologiyasının inkişafı ilə riyazi məntiq kompüter texnologiyasının layihələndirilməsi və proqramlaşdırılması məsələləri ilə sıx bağlı olduğu ortaya çıxdı. Məntiq cəbri ilkin inkişafda geniş tətbiq tapdı relay əlaqəsi sxemləri Kompüter dizaynı ilə məşğul olan mühəndislərin diqqətini Boole cəbrindən istifadə edərək elektrik dövrələrinin təhlili imkanlarına cəlb edən ilk fundamental tədqiqat 1938-ci ilin dekabrında amerikalı Klod Şennon tərəfindən “Pilləkən sxemlərinin simvolik təhlili” nəşr olundu. Bu məqalədən sonra Boolean cəbrindən istifadə etmədən kompüter dizaynı həyata keçirilə bilməzdi.

Məntiq elementi disjunksiya, konyunksiya və inversiya məntiqi əməliyyatlarını həyata keçirən sxemdir. Məktəb fizikası kursundan sizə tanış olan elektrik rele-kontakt sxemləri vasitəsilə məntiqi elementlərin həyata keçirilməsini nəzərdən keçirək.

Kontaktların ardıcıl qoşulması

Kontaktların paralel qoşulması

Kontakların bütün mümkün vəziyyətlərindən sxemlərin vəziyyətinin asılılıq cədvəlini tərtib edək. Aşağıdakı qeydləri təqdim edək: 1 – kontakt bağlıdır, dövrədə cərəyan var; 0 – kontakt açıqdır, dövrədə cərəyan yoxdur.

Gördüyünüz kimi, serial əlaqəsi olan bir dövrə birləşmənin məntiqi əməliyyatına uyğundur, çünki dövrədəki cərəyan yalnız A və B kontaktları eyni vaxtda bağlandıqda görünür. Paralel əlaqəsi olan bir dövrə disjunksiyanın məntiqi əməliyyatına uyğundur, çünki dövrədə yalnız hər iki kontaktın açıq olduğu anda cərəyan yoxdur.

İnversiyanın məntiqi əməliyyatı, prinsipi məktəb fizikası kursunda öyrənilən elektromaqnit rölin kontakt dövrəsi vasitəsilə həyata keçirilir. X qapalı olduqda x kontaktı açıqdır və əksinə.

Kompüterlərin məntiqi sxemlərinin qurulması üçün rele kontakt elementlərinin istifadəsi aşağı etibarlılığa, böyük ölçülərə, yüksək enerji sərfiyyatına və aşağı məhsuldarlığa görə özünü doğrultmadı. Elektron cihazların (vakuum və yarımkeçirici) meydana gəlməsi saniyədə 1 milyon keçid sürəti və daha yüksək olan məntiq elementlərinin qurulması imkanını yaratdı. Yarımkeçirici məntiq elementləri elektromaqnit relesinə bənzər keçid rejimində işləyir. Kontakt sxemləri üçün təqdim olunan bütün nəzəriyyə yarımkeçirici elementlərə köçürülür. Yarımkeçiricilərdəki məntiq elementləri kontaktların vəziyyəti ilə deyil, giriş və çıxışda siqnalların olması ilə xarakterizə olunur.

Əsas məntiqi əməliyyatları həyata keçirən məntiqi elementləri nəzərdən keçirək:

funksiyaya uyğun diaqram:

&F(X, Y, Z)

Konyunktiv normal istifadə edərək problemlərin həlli

Və disjunktiv-normal formaları

IN Məntiq problemi kitablarında tez-tez həyata keçirən funksiyanı yazmaq lazım olan standart məsələlər var nərdivan diaqramını tərtib edin, onu sadələşdirin və bu funksiya üçün həqiqət cədvəli qurun. Tərs məsələni necə həll etmək olar? İxtiyari bir həqiqət cədvəlini nəzərə alaraq, funksional və ya relay diaqramını qurmalısınız. Bu gün bu məsələ ilə məşğul olacağıq.

İstənilən məntiqi cəbr funksiyası üç əməliyyatın kombinasiyası ilə təmsil oluna bilər: birləşmə, disyunksiya və inversiya. Bunun necə edildiyini anlayaq. Bunun üçün bir neçə tərif yazaq.

Minterm müəyyən sayda dəyişənlərin və ya onların inkarlarının birləşməsindən əmələ gələn funksiyadır. Minterm bütün mümkün dəstlərdən yalnız biri üçün 1 qiymətini alır

arqumentlər və bütün digərləri üçün dəyər 0-dır. Misal: x 1 x 2 x 3 x 4 .

Maksterm müəyyən sayda dəyişənlərin və ya onların inkarlarının disjunksiyasından əmələ gələn funksiyadır. Maxterm mümkün çoxluqların birində 0, digərlərində isə 1 qiymətini alır.

Misal: x 1 + x 2 + x 3.

Funksiya disjunktiv normal forma(DNF) mintermlərin məntiqi cəmidir.

Misal: x 1x 2+ x 1x 2+ x 1x 2x 3.

Konyunktiv normal forma(CNF) elementar disjunksiyaların (makstermlərin) məntiqi məhsuludur.

Misal: (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2) .

Mükəmməl disjunktiv normal forma hər mintermində bütün dəyişənlər və ya onların inkarları mövcud olan DNF adlanır.

Misal: x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3

Mükəmməl konyunktiv normal forma CNF adlanır, hər bir makstermində bütün dəyişənlər və ya onların inkarları mövcuddur.

Misal: (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3)

Cədvəldən məntiqi funksiyanın yazılması

İstənilən məntiqi funksiya SDNF və ya SCNF kimi ifadə edilə bilər. Nümunə olaraq, cədvəldə təqdim olunan f funksiyasını nəzərdən keçirək.

G0, G1, G4, G5, G7 funksiyaları mintermlərdir (tərifə bax). Bu funksiyaların hər biri üç dəyişənin və ya onların tərslərinin məhsuludur və yalnız bir vəziyyətdə 1 qiymətini alır. Görünür ki, f funksiyasının qiymətində 1 almaq üçün bir minterm lazımdır. Deməli, bu funksiyanın SDNF-ni təşkil edən mintermlərin sayı funksiya qiymətindəki vahidlərin sayına bərabərdir: f= G0+G1+G4+G5+G7. Beləliklə, SDNF formaya malikdir:

f (x 1, x 2, x 3) = x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3.

Eynilə, siz SKNF qura bilərsiniz. Faktorların sayı funksiya dəyərlərindəki sıfırların sayına bərabərdir:

f (x 1, x 2, x 3) = (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3) .

Beləliklə, cədvəl şəklində verilmiş istənilən məntiqi funksiya düstur kimi yazıla bilər.

Həqiqət cədvəlindən istifadə edərək SDNF-nin qurulması alqoritmi

Bəzi funksiyaların həqiqət cədvəli verilmişdir. SDNF qurmaq üçün aşağıdakı addımlar ardıcıllığını yerinə yetirməlisiniz:

1. Funksiyanın 1 dəyərini aldığı bütün cədvəl sətirlərini seçin.

2. Hər bir belə sətir üçün bütün arqumentlərin birləşməsini və ya onların inversiyalarını təyin edin (minterm). Bu halda 0 qiymətini alan arqument inkarla mintermə, 1 qiyməti isə inkarsız daxil edilir.

3. Nəhayət, əldə edilən bütün mintermlərin disjunksiyasını təşkil edirik. Mintermlərin sayı məntiqi funksiyanın vahidlərinin sayına uyğun olmalıdır.

Həqiqət cədvəlindən istifadə edərək SCNF-nin qurulması alqoritmi

Bəzi funksiyaların həqiqət cədvəli verilmişdir. SKNF qurmaq üçün aşağıdakı addımlar ardıcıllığını yerinə yetirməlisiniz:

1. Funksiyanın 0 qiymətini aldığı cədvəlin bütün sətirlərini seçin.

2. Hər bir belə sətir üçün bütün arqumentlərin və ya onların inversiyalarının disjunksiyasını təyin edin (maxterm). Bu halda 1 qiymətini alan arqument inkarla makstermə, 1 qiyməti isə inkarsız daxil edilir.

3. Nəhayət, əldə edilən bütün makstermlərin birləşməsini təşkil edirik. Makstermlərin sayı məntiqi funksiyanın sıfırlarının sayına uyğun olmalıdır.

İki formadan (SDNF və ya SKNF) daha az hərf ehtiva edənə üstünlük verməklə razılaşsaq, həqiqət cədvəli funksiyasının dəyərləri arasında daha az olduqda SDNF, sıfırlar daha azdırsa, SKNF üstünlük təşkil edir.

Misal. Üç dəyişənli məntiqi funksiyanın həqiqət cədvəli verilmişdir. Bu funksiyanı həyata keçirən məntiqi düstur qurun.

Bu həqiqət cədvəlində funksiyanın qiymətinin 0 olduğu sətirləri seçək.

F(A, B, C) = (A+ B+ C) (A+ B+ C)

Həqiqət cədvəli yaradaraq törəmə funksiyanı yoxlayaq.

İlkin və son həqiqət cədvəllərini müqayisə edərək məntiqi funksiyanın düzgün qurulduğu qənaətinə gələ bilərik.

Problemin həlli

1. Üç müəllim olimpiada üçün tapşırıqlar seçir. Seçmək üçün bir neçə vəzifə var. Hər bir tapşırıq üçün hər bir müəllim öz fikrini bildirir: asan (0) və ya çətin (1) tapşırıq. Olimpiada tapşırığına ən azı iki müəllim çətin kimi qiymət verdikdə tapşırıq daxil edilir, lakin hər üç müəllim çətin hesab edirsə, belə bir tapşırıq olimpiada tapşırığına çox çətin kimi daxil edilmir. Tapşırığın olimpiada tapşırığına daxil edildiyi halda 1, daxil edilmədiyi təqdirdə isə 0 çıxacaq cihazın məntiqi diaqramını tərtib edin.

İstənilən funksiya üçün həqiqət cədvəli quraq. Üç giriş dəyişənimiz var (üç müəllim). Buna görə də tələb olunan funksiya üç dəyişənin funksiyası olacaqdır.

Problemin vəziyyətini təhlil edərək, aşağıdakı həqiqət cədvəlini əldə edirik:

Biz SDNF qururuq. F(A, B, C) = ABC+ ABC+ ABC

İndi bu funksiyanın məntiqi diaqramını qururuq.

B&1F(A,B,C)

2. İnformatikanın əsas kursu üzrə şəhər olimpiadası, 2007.Üç mərtəbəli evin girişi üçün elektrik dövrə diaqramını qurun ki, istənilən mərtəbədəki açar bütün evdə işıqları yandıra və ya söndürə bilsin.

Beləliklə, işığı yandırmaq və söndürmək üçün istifadə etməli olduğumuz üç açarımız var. Hər bir açarın iki vəziyyəti var: yuxarı (0) və aşağı (1). Fərz edək ki, hər üç açar 0 vəziyyətindədirsə, girişdəki işıqlar sönür. Sonra üç açardan hər hansı birini 1-ci vəziyyətə keçirdiyiniz zaman girişdəki işıq yanmalıdır. Aydındır ki, hər hansı digər açarı 1-ci vəziyyətə keçirdiyiniz zaman girişdəki işıq sönəcək. Üçüncü keçid 1-ci vəziyyətə keçirilərsə, girişdəki işıq yanır. Həqiqət cədvəli qururuq.

Sonra F(A, B, C) = ABC+ ABC+ ABC+ ABC.

Qeyd. Bu problemi uğurla həll etmək üçün aşağıdakı məntiqi düsturları xatırlayın:

x → y= x+ y x y= x y+ x y

x ↔ y= x y+ x y

Bizə üç dəyişənin F 1 (A, B, C) = C → A + B = C + A B məntiqi funksiyası verilir.

B və C dəyişənlərini eyni vaxtda dəyişək: F 2 (A, B, C) = F 1 (A, B, C) = C + A B. Bu iki funksiya üçün həqiqət cədvəlləri quraq:

Nəticə cədvəlini təhlil edək. Cədvəlin səkkiz cərgəsindən yalnız ikisində (2-ci və 3-cü) funksiya öz dəyərini dəyişmir. Diqqət yetirin ki, bu sətirlərdə A dəyişəni öz dəyərini dəyişmir, lakin B və C dəyişənləri dəyişir.

Bu xətlərdən istifadə edərək SKNF funksiyalarını qururuq:

F3 (A, B, C) = (A+ B+ C) (A+ B C) = A+ AB+ AC+ AB+ BC+ AC+ B C= .

A+ (B↔ C) = A+ B C= (B C) → A

Beləliklə, istədiyiniz cavab 4-dür.

4. Məntiqi funksiyanın qiymətinin dəyişdirilməsi şərti F (A, B, C) = C + AB eyni vaxtda A və B arqumentlərini dəyişdirərkən bərabərdir:

Nəticə cədvəlini təhlil edək. Cədvəlin səkkiz cərgəsindən yalnız ikisində (1-ci və 7-ci) funksiya öz dəyərini dəyişir. Nəzərə alın ki, bu sətirlərdə C dəyişəni öz dəyərini dəyişmir, lakin A və B dəyişənləri dəyişir.

Bu xətlərdən istifadə edərək SDNF funksiyalarını qururuq:

F3 (A, B, C) = A B C+ A B C= C(A B+ A B) = C(A↔ B) = C+ (A B)

Buna görə tələb olunan cavab 2-dir.

İstinadlar

1. Şapiro S.I. Məntiqi və oyun problemlərinin həlli(məntiqi və psixoloji tədqiqatlar). – M.: Radio və rabitə, 1984. – 152 s.

2. Şolomov L.A. Diskret məntiqi və hesablama cihazları nəzəriyyəsinin əsasları. – M.: Elm. Ç. red. fiziki - mat. lit., 1980. - 400 s.

3. Pukhalsky G.I., Novoseltseva T.Ya. İnteqral sxemlərdə diskret cihazların dizaynı: Təlimatlar. – M.: Radio və Rabitə, 1990.

Məntiqi tənliklər sistemlərinin həlli üsulları

Kirgizova E.V., Nemkova A.E.

Lesosibirsk Pedaqoji İnstitutu -

Sibir Federal Universitetinin filialı, Rusiya

Ardıcıl düşünmək, inandırıcı əsaslandırmaq, fərziyyələr qurmaq və mənfi nəticələri təkzib etmək bacarığı öz-özünə yaranmır, bu bacarıq məntiq elmi tərəfindən inkişaf etdirilir. Məntiq, digər müddəaların doğru və ya yalan olması əsasında bəzi mülahizələrin doğruluğunu və ya yalanını müəyyən etmək üsullarını öyrənən bir elmdir.

Bu elmin əsaslarına yiyələnmək məntiqi məsələləri həll etmədən mümkün deyil. Biliklərini yeni şəraitdə tətbiq etmək bacarıqlarının inkişafının yoxlanılması keçid yolu ilə həyata keçirilir. Xüsusilə, bu, məntiqi problemləri həll etmək bacarığıdır. Vahid Dövlət İmtahanındakı B15 tapşırıqları məntiqi tənliklər sistemlərini ehtiva etdiyi üçün artan mürəkkəblik tapşırıqlarıdır. Məntiqi tənliklər sistemlərinin həlli üçün müxtəlif üsullar mövcuddur. Bu, bir tənliyə endirmə, həqiqət cədvəlinin qurulması, parçalanma, tənliklərin ardıcıl həlli və s.

Tapşırıq:Məntiqi tənliklər sistemini həll edin:

Gəlin nəzərdən keçirək bir tənliyə endirmə üsulu . Bu üsul məntiqi tənlikləri elə çevirməyi nəzərdə tutur ki, onların sağ tərəfləri həqiqət qiymətinə bərabər olsun (yəni 1). Bunun üçün məntiqi inkar əməliyyatından istifadə edin. Sonra, tənliklər mürəkkəb məntiqi əməliyyatları ehtiva edirsə, biz onları əsaslarla əvəz edirik: "VƏ", "YA YA", "YOX". Növbəti addım “AND” məntiqi əməliyyatından istifadə edərək tənlikləri sistemə ekvivalent olaraq birləşdirməkdir. Bundan sonra, məntiqi cəbr qanunlarına əsaslanaraq yaranan tənliyi çevirməli və sistemin konkret həllini əldə etməlisiniz.

Həll 1:Birinci tənliyin hər iki tərəfinə inversiya tətbiq edin:

Gəlin “OR” və “NOT” əsas əməliyyatları vasitəsilə nəticəni təsəvvür edək:

Tənliklərin sol tərəfləri 1-ə bərabər olduğundan onları “AND” əməliyyatından istifadə edərək orijinal sistemə ekvivalent olan bir tənliyə birləşdirə bilərik:

Birinci mötərizəni De Morqan qanununa uyğun olaraq açırıq və əldə edilən nəticəni çeviririk:

Əldə edilən tənliyin bir həlli var: A= 0, B =0 və C =1.

Növbəti üsuldur həqiqət cədvəllərinin qurulması . Məntiqi kəmiyyətlərin yalnız iki dəyəri olduğundan, sadəcə olaraq bütün variantları nəzərdən keçirə və onların arasında verilmiş tənliklər sisteminin təmin olunduğu variantları tapa bilərsiniz. Yəni, sistemin bütün tənlikləri üçün bir ümumi həqiqət cədvəli qururuq və tələb olunan qiymətlərə malik bir xətt tapırıq.

Həll 2:Sistem üçün həqiqət cədvəli yaradaq:

Tapşırıq şərtlərinin yerinə yetirildiyi sətir qalın şriftlə vurğulanır. Beləliklə, A =0, B =0 və C =1.

yol parçalanma . İdeya dəyişənlərdən birinin dəyərini təyin etməkdir (onu 0 və ya 1-ə bərabərləşdirmək) və bununla da tənlikləri sadələşdirmək. Sonra ikinci dəyişənin dəyərini düzəldə bilərsiniz və s.

Həll 3: Qoy A = 0, onda:

Birinci tənlikdən alırıq B =0, ikincidən isə – C=1. Sistemin həlli: A = 0, B = 0 və C = 1.

Metoddan da istifadə edə bilərsiniz tənliklərin ardıcıl həlli , hər addımda nəzərdən keçirilən çoxluğa bir dəyişən əlavə edin. Bunun üçün tənlikləri elə çevirmək lazımdır ki, dəyişənlər əlifba sırası ilə daxil edilsin. Sonra, ardıcıl olaraq dəyişənləri əlavə edərək qərar ağacı qururuq.

Sistemin birinci tənliyi yalnız A və B-dən, ikinci tənliyi isə A və C-dən asılıdır. Dəyişən A 2 qiymət 0 və 1 ala bilər:

Birinci tənlikdən belə çıxır , nə vaxt A = 0 və biz B = 0 alırıq və A = 1 üçün B = 1 olur. Beləliklə, birinci tənliyin A və B dəyişənlərinə münasibətdə iki həlli var.

Hər bir seçim üçün C dəyərlərini təyin etdiyimiz ikinci tənliyi təsvir edək. A =1 olduqda implikasiya yalan ola bilməz, yəni ağacın ikinci budağının həlli yoxdur. At A= 0 yeganə həll yolu tapırıq C= 1 :

Beləliklə, sistemin həllini əldə etdik: A = 0, B = 0 və C = 1.

İnformatika üzrə Vahid Dövlət İmtahanında çox vaxt məntiqi tənliklər sisteminin həllərini özləri tapmadan, həllərin sayını müəyyən etmək lazımdır, bunun üçün müəyyən üsullar da var. Məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını tapmağın əsas yolu dəyişənləri əvəz edir. Əvvəlcə məntiqi cəbr qanunlarına əsaslanaraq tənliklərin hər birini mümkün qədər sadələşdirməli, sonra isə tənliklərin mürəkkəb hissələrini yeni dəyişənlərlə əvəz etməli və yeni sistemin həll yollarının sayını təyin etməlisiniz. Sonra, dəyişdirməyə qayıdın və bunun üçün həllərin sayını təyin edin.

Tapşırıq:Tənliyin neçə həlli var ( A → B ) + (C → D ) = 1? Burada A, B, C, D məntiqi dəyişənlərdir.

Həll:Yeni dəyişənləri təqdim edək: X = A → B və Y = C → D . Yeni dəyişənləri nəzərə alaraq tənlik aşağıdakı kimi yazılacaq: X + Y = 1.

Dizyunksiya üç halda doğrudur: (0;1), (1;0) və (1;1), while X və Y eyhamdır, yəni üç halda doğru, bir halda yanlışdır. Buna görə də (0;1) halı parametrlərin üç mümkün kombinasiyasına uyğun olacaq. Hal (1;1) – orijinal tənliyin parametrlərinin doqquz mümkün kombinasiyasına uyğun olacaq. Bu o deməkdir ki, bu tənliyin ümumi mümkün həlli 3+9=15-dir.

Məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını təyin etməyin növbəti yolu ikili ağac. Bir nümunədən istifadə edərək bu üsula baxaq.

Tapşırıq:Məntiqi tənliklər sisteminin neçə müxtəlif həlli var:

Verilmiş tənliklər sistemi tənliyə ekvivalentdir:

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x m -1 → x m) = 1.

Belə iddia edəkx 1 – doğrudur, onda birinci tənlikdən bunu alırıqx 2 ikincidən də doğrudur -x 3 =1 və s. qədər x m= 1. Beləliklə (1; 1; …; 1) çoxluğu m vahidlər sistemin həllidir. Qoy indix 1 =0, onda birinci tənlikdən əldə edirikx 2 =0 və ya x 2 =1.

Nə vaxt x 2 doğrudur, biz əldə edirik ki, qalan dəyişənlər də doğrudur, yəni (0; 1; ...; 1) çoxluğu sistemin həllidir. Atx 2 =0 bunu alırıq x 3 =0 və ya x 3 = və s. Son dəyişənə davam edərək, tənliyin həlli yollarının aşağıdakı dəyişənlər dəstləri olduğunu tapırıq ( m +1 məhlul, hər məhlulda m dəyişən dəyərlər):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Bu yanaşma ikili ağacın qurulması ilə yaxşı təsvir edilmişdir. Mümkün həllərin sayı qurulmuş ağacın müxtəlif budaqlarının sayıdır. Onun bərabər olduğunu görmək asandır m +1.

Əsaslandırma və qərar ağacı qurmaqda çətinliklər yaranarsa, istifadə edərək həll yolu axtara bilərsiniz həqiqət cədvəlləri, bir və ya iki tənlik üçün.

Tənliklər sistemini aşağıdakı formada yenidən yazaq:

Və bir tənlik üçün ayrıca həqiqət cədvəli yaradaq:

İki tənlik üçün həqiqət cədvəli yaradaq:

Sonra, bir tənliyin aşağıdakı üç halda doğru olduğunu görə bilərsiniz: (0; 0), (0; 1), (1; 1). İki tənlik sistemi dörd halda (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1) doğrudur. Bu vəziyyətdə dərhal aydın olur ki, yalnız sıfırlardan və daha çoxdan ibarət bir həll var m son mövqedən başlayaraq bütün mümkün yerlər doldurulana qədər bir anda bir vahid əlavə olunduğu həllər. Ümumi həllin eyni formaya malik olacağını güman etmək olar, lakin belə bir yanaşmanın həllə çevrilməsi üçün fərziyyənin doğruluğunu sübut etmək lazımdır.

Yuxarıda göstərilənlərin hamısını ümumiləşdirmək üçün diqqətinizi bir fakta cəlb etmək istərdim ki, müzakirə olunan metodların hamısı universal deyil. Hər bir məntiqi tənlik sistemini həll edərkən onun xüsusiyyətlərini nəzərə almaq lazımdır, bunun əsasında həll üsulu seçilməlidir.

Ədəbiyyat:

1. Məntiqi problemlər / O.B. Boqomolov – 2-ci nəşr. – M.: BINOM. Bilik laboratoriyası, 2006. – 271 s.: ill.

2. Polyakov K.Yu. Məntiqi tənliklər sistemləri / İnformatika müəllimləri üçün tədris-metodiki qəzet: İnformatika No14, 2011.

Dərsin mövzusu: Məntiqi tənliklərin həlli

İnkişaf - tələbələrin idrak marağının inkişafı üçün şərait yaratmaq, yaddaşın, diqqətin və məntiqi təfəkkürün inkişafına kömək etmək;

Təhsil : başqalarının fikirlərini dinləmək bacarığını təşviq etmək, son nəticələrə nail olmaq üçün iradə və əzmkarlığı inkişaf etdirmək.

Dərsin növü: birləşdirilmiş dərs

Avadanlıq: kompüter, multimedia proyektoru, təqdimat 6.

Dərslər zamanı

Əsas biliklərin təkrarlanması və yenilənməsi. Ev tapşırığını yoxlamaq (10 dəqiqə)

Əvvəlki dərslərdə məntiqi cəbrin əsas qanunları ilə tanış olduq və məntiqi ifadələri sadələşdirmək üçün bu qanunlardan istifadə etməyi öyrəndik.

Məntiqi ifadələrin sadələşdirilməsi ilə bağlı ev tapşırığını yoxlayaq:

1. Aşağıdakı sözlərdən hansı məntiqi şərti ödəyir:

(ilk hərf samit → ikinci hərf samit)٨ (son hərf saiti → sondan əvvəlki hərf sait)? Bir neçə belə söz varsa, onlardan ən kiçiyini göstərin.

1) ANNA 2) MARİYA 3) OLƏQ 4) STEPAN

Aşağıdakı qeydi təqdim edək:

A – birinci hərf samit

B – ikinci hərf samit

S - son hərf sait

D – sondan əvvəlki sait hərfi

İfadə edək:

Gəlin bir cədvəl hazırlayaq:

2. İfadəyə hansı məntiqi ifadənin ekvivalent olduğunu göstərin

Orijinal ifadənin və təklif olunan variantların qeydini sadələşdirək:

3. F ifadəsinin həqiqət cədvəlinin bir parçası verilmişdir:

Arqumentlərin müəyyən edilmiş dəyərləri üçün bu ifadələrin dəyərlərini təyin edək:

Dərsin mövzusuna giriş, yeni materialın təqdimatı (30 dəqiqə)

Məntiqin əsaslarını öyrənməyə davam edirik və bugünkü dərsimizin mövzusu “Məntiqi tənliklərin həlli”dir. Bu mövzunu öyrəndikdən sonra siz məntiqi tənliklərin həllinin əsas yollarını öyrənəcək, məntiqi cəbrin dilindən istifadə edərək bu tənlikləri həll etmək və doğruluq cədvəlindən istifadə edərək məntiqi ifadə qurma bacarığı əldə edəcəksiniz.

1. Məntiqi tənliyi həll edin

(¬K M) → (¬L M N) =0

Cavabınızı dörd simvoldan ibarət sətir kimi yazın: K, L, M və N dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla). Beləliklə, məsələn, 1101-ci sətir K=1, L=1, M=0, N=1 faktına uyğun gəlir.

Həll:

İfadəni çevirək(¬K  M) → (¬L  M  N)

Hər iki şərt yalan olduqda ifadə yanlışdır. M =0, N =0, L =1 olduqda ikinci hədd 0-a bərabərdir. Birinci termində K = 0, çünki M = 0 və
.

Cavab: 0100

2. Tənliyin neçə həlli var (cavabınızda yalnız rəqəmi göstərin)?

Həlli: ifadəni çevirin

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 və C +D =1

Metod 2: həqiqət cədvəlinin tərtib edilməsi

Orijinal ifadəni çevirək, bağlayıcıların diszunksiyasını əldə etmək üçün mötərizələri açaq:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Bağlayıcıları tamamlayaq (bütün arqumentlərin məhsulu), mötərizələri açın:

Eyni bağlayıcıları nəzərə alaq:

Nəticədə 9 bağlayıcıdan ibarət SDNF əldə edirik. Buna görə də, bu funksiya üçün həqiqət cədvəli 2 4 =16 dəyişən qiymətlər dəstinin 9 sətirində 1 dəyərinə malikdir.

3. Tənliyin neçə həlli var (cavabınızda yalnız rəqəmi göstərin)?

İfadəsini sadələşdirək:

,

3 yol: SDNF-nin tikintisi

Eyni bağlayıcıları nəzərə alaq:

Nəticədə 5 bağlayıcıdan ibarət SDNF əldə edirik. Buna görə də, bu funksiya üçün həqiqət cədvəli 2 4 =16 dəyişən dəyər dəstinin 5 sətirində 1 dəyərinə malikdir.

Həqiqət cədvəlindən istifadə edərək məntiqi ifadənin qurulması:

1-dən ibarət həqiqət cədvəlinin hər sətri üçün arqumentlər hasilini tərtib edirik və 0-a bərabər dəyişənlər inkarla hasildə, 1-ə bərabər dəyişənlər isə inkarsız daxil edilir. İstənilən F ifadəsi alınan məhsulların cəmindən ibarət olacaqdır. Sonra, mümkünsə, bu ifadə sadələşdirilməlidir.

Misal: ifadənin həqiqət cədvəli verilmişdir. Məntiqi ifadə qurun.

3. Ev tapşırığı (5 dəqiqə)

Tənliyi həll edin:

Tənliyin neçə həlli var (cavabınızda yalnız rəqəmi göstərin)?

Verilmiş həqiqət cədvəlindən istifadə edərək məntiqi ifadə qurun və

sadələşdirin.

İnformatika imtahanının A və B bölmələrindəki bəzi problemləri necə həll etmək olar

3-cü dərs. Məntiqlər. Məntiq funksiyaları. Tənliklərin həlli

Çox sayda Vahid Dövlət İmtahan problemləri təklif məntiqinə həsr edilmişdir. Onların əksəriyyətini həll etmək üçün təklif məntiqinin əsas qanunlarını bilmək, bir və iki dəyişənli məntiqi funksiyaların həqiqət cədvəllərini bilmək kifayətdir. Mən təklif məntiqinin əsas qanunlarını verəcəyəm.

1. Dizyunksiya və birləşmənin kommutativliyi:
   a ˅ b ≡ b ˅ a
   a^b ≡ b^a
2. Diszyunsiya və birləşmə ilə bağlı paylama qanunu:
   a ˅ (b^с) ≡ (a ˅ b) ^(a ˅ с)
   a ^ (b ˅ c) ≡ (a ^ b) ˅ (a ^ c)
3. İnkarın inkarı:
   ¬(¬a) ≡ a
4. Ardıcıllıq:
   a ^ ¬а ≡ yalan
5. Eksklüziv üçüncü:
   a ˅ ¬а ≡ doğrudur
6. De Morqanın qanunları:
   ¬(a ˅ b) ≡ ¬a ˄ ¬b
   ¬(a ˄ b) ≡ ¬a ˅ ¬b
7. Sadələşdirmə:
   a ˄ a ≡ a
   a ˅ a ≡ a
   a ˄ doğru ≡ a
   a ˄ false ≡ false
8. Absorbsiya:
   a ˄ (a ˅ b) ≡ a
   a ˅ (a ˄ b) ≡ a
9. Məntiqin dəyişdirilməsi
   a → b ≡ ¬a ˅ b
10. Şəxsiyyətin dəyişdirilməsi
    a ≡ b ≡(a ˄ b) ˅ (¬a ˄ ¬b)

Məntiqi funksiyaların təmsili

n dəyişənin istənilən məntiqi funksiyası - F(x 1, x 2, ... x n) həqiqət cədvəli ilə təyin oluna bilər. Belə cədvəldə hər biri üçün bu çoxluqdakı funksiyanın qiyməti təyin olunan 2n dəyişən dəsti var. Dəyişənlərin sayı nisbətən az olduqda bu üsul yaxşıdır. Artıq n > 5 üçün təmsil zəif görünür.

Başqa bir yol, məlum olduqca sadə funksiyalardan istifadə edərək funksiyanı hansısa düsturla müəyyən etməkdir. Hər hansı bir məntiqi funksiya yalnız f i funksiyalarını ehtiva edən düsturla ifadə oluna bilərsə, funksiyalar sistemi (f 1, f 2, ... f k) tam adlanır.

Funksiyalar sistemi (¬, ˄, ˅) tamamlandı. 9 və 10-cu qanunlar təsir və eyniliyin inkar, birləşmə və disyunksiya vasitəsilə necə ifadə olunduğunu nümayiş etdirən nümunələrdir.

Əslində, iki funksiyadan ibarət sistem – inkar və birləşmə və ya inkar və disjunksiya – həm də tamdır. De Morqanın qanunlarından inkar və disjunksiya vasitəsilə birləşməni ifadə etməyə və müvafiq olaraq, inkar və birləşmə vasitəsilə ayrılığı ifadə etməyə imkan verən ideyalar gəlir:

(a ˅ b) ≡ ¬(¬a ˄ ¬b)
(a ˄ b) ≡ ¬(¬a ˅ ¬b)

Paradoksal olaraq, yalnız bir funksiyadan ibarət bir sistem tamamlandı. İki binar funksiya var - antikonyunksiya və antidisjunction, Peirce oxu və Schaeffer vuruşu adlanır, içi boş bir sistemi təmsil edir.

Proqramlaşdırma dillərinin əsas funksiyalarına adətən identiklik, inkar, birləşmə və ayırma daxildir. Vahid Dövlət İmtahanında problemlər, bu funksiyalarla yanaşı, tez-tez əks göstərişlərə də rast gəlinir.

Məntiqi funksiyaları əhatə edən bir neçə sadə məsələyə baxaq.

Problem 15:

Həqiqət cədvəlinin bir parçası verilmişdir. Verilmiş üç funksiyadan hansı bu fraqmentə uyğundur?

1. (X 1 → X 2) ˄ ¬ X 3 ˅ X 4
2. (¬ X 1 ˄ X 2) ˅ (¬ X 3 ˄ X 4)
3. ¬ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)

Funksiya nömrəsi 3.

Problemi həll etmək üçün əsas funksiyaların həqiqət cədvəllərini bilmək və əməliyyatların prioritetlərini yadda saxlamaq lazımdır. Nəzərinizə çatdırım ki, birləşmə (məntiqi vurma) daha yüksək prioritetə ​​malikdir və disjunksiyadan (məntiqi toplama) daha tez yerinə yetirilir. Hesablamalar zamanı üçüncü çoxluqda 1 və 2 rəqəmləri olan funksiyaların 1 qiymətinə malik olduğunu və bu səbəbdən fraqmentə uyğun gəlmədiyini görmək asandır.

Problem 16:

Verilmiş ədədlərdən hansı şərti ödəyir:

(ən əhəmiyyətli rəqəmdən başlayaraq rəqəmlər azalan sıradadır) → (ədəd - cüt) ˄ (aşağı rəqəm - cüt) ˄ (yüksək rəqəm - tək)

Bir neçə belə rəqəm varsa, ən böyüyü göstərin.

1. 13579
2. 97531
3. 24678
4. 15386

Şərt 4 rəqəmi ilə təmin edilir.

İlk iki rəqəm ən aşağı rəqəmin tək olması şərtini ödəmir. Bağlamanın şərtlərindən biri yalan olarsa, şərt bağlayıcısı yanlışdır. Üçüncü nömrə üçün ən yüksək rəqəmin şərti yerinə yetirilmir. Dördüncü nömrə üçün rəqəmin aşağı və yüksək rəqəmlərinə qoyulan şərtlər yerinə yetirilir. Bağlamanın birinci həddi də doğrudur, çünki onun müqəddiməsi yalan olarsa, təlqin doğrudur, burada da belədir.

Problem 17: İki şahid aşağıdakı ifadələri verdi:

Birinci şahid: Əgər A günahkardırsa, B daha da günahkardır, C isə günahsızdır.

İkinci şahid: İki nəfər günahkardır. Qalanlardan biri isə mütləq günahkar və günahkardır, amma kimin olduğunu dəqiq deyə bilmərəm.

İfadədən A, B və C-nin təqsiri ilə bağlı hansı nəticələrə gəlmək olar?

Cavab: İfadədən belə çıxır ki, A və B təqsirkar, C isə günahsızdır.

Həll yolu: Əlbəttə, sağlam düşüncə əsasında cavab vermək olar. Ancaq gəlin bunun ciddi və rəsmi şəkildə necə edilə biləcəyinə baxaq.

İlk iş bəyanatları rəsmiləşdirməkdir. Üç məntiqi dəyişəni təqdim edək - A, B və C, uyğun şübhəli şəxs günahkardırsa, hər biri true (1) dəyərinə malikdir. Sonra birinci şahidin ifadəsi düsturla verilir:

A → (B ˄ ¬C)

İkinci şahidin ifadəsi düsturla verilir:

A ˄ ((B ˄ ¬C) ˅ (¬B ˄ C))

Hər iki şahidin ifadəsinin doğru olduğu qəbul edilir və müvafiq düsturların birləşməsini təmsil edir.

Bu oxunuşlar üçün həqiqət cədvəli quraq:

Xülasə dəlilləri yalnız bir halda doğrudur və aydın cavab verir - A və B günahkardır, C isə günahsızdır.

Bu cədvəlin təhlilindən də belə nəticə çıxır ki, ikinci şahidin ifadəsi daha informativdir. Onun ifadəsinin həqiqətindən yalnız iki mümkün variant gəlir - A və B günahkardır və C günahsızdır və ya A və C günahkardır və B günahsızdır. Birinci şahidin ifadəsi daha az məlumatlıdır - onun ifadəsinə uyğun gələn 5 müxtəlif variant var. Birlikdə hər iki şahidin ifadəsi şübhəlilərin günahı ilə bağlı aydın cavab verir.

Məntiqi tənliklər və tənliklər sistemləri

F(x 1, x 2, …x n) n dəyişənin məntiqi funksiyası olsun. Məntiqi tənlik belə görünür:

F(x 1, x 2, …x n) = C,

C sabiti 1 və ya 0 dəyərinə malikdir.

Məntiqi tənliyin 0-dan 2 n-ə qədər müxtəlif həlli ola bilər. Əgər C 1-ə bərabərdirsə, onda həllər həqiqət cədvəlindən F funksiyasının true (1) qiymətini qəbul etdiyi bütün dəyişənlər toplusudur. Qalan çoxluqlar C sıfıra bərabər olan tənliyin həlləridir. Həmişə yalnız formanın tənliklərini nəzərdən keçirə bilərsiniz:

F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

Həqiqətən, tənlik verilsin:

F(x 1, x 2, …x n) = 0

Bu halda, ekvivalent tənliyə keçə bilərik:

¬F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

k məntiqi tənliklər sistemini nəzərdən keçirək:

F 1 (x 1, x 2, …x n) = 1

F 2 (x 1, x 2, …x n) = 1

F k (x 1 , x 2 , …x n) = 1

Sistemin həlli sistemin bütün tənliklərinin təmin olunduğu dəyişənlər toplusudur. Məntiqi funksiyalar baxımından məntiqi tənliklər sisteminin həllini əldə etmək üçün F məntiqi funksiyasının doğru olduğu, ilkin F funksiyalarının birləşməsini təmsil edən çoxluğu tapmaq lazımdır:

Ф = F 1 ˄ F 2 ˄ … F k

Əgər dəyişənlərin sayı azdırsa, məsələn, 5-dən azdırsa, onda sistemin neçə həlli olduğunu və həlləri təmin edən çoxluqların nə olduğunu söyləməyə imkan verən Ф funksiyası üçün həqiqət cədvəlini qurmaq çətin deyil.

Məntiqi tənliklər sisteminin həllinin tapılması ilə bağlı bəzi İSTİFADƏ problemlərində dəyişənlərin sayı 10-a çatır. Sonra həqiqət cədvəlinin qurulması demək olar ki, qeyri-mümkün bir işə çevrilir. Problemin həlli fərqli yanaşma tələb edir. İxtiyari tənliklər sistemi üçün bu cür məsələlərin həllinə imkan verən sadalamadan başqa ümumi üsul yoxdur.

İmtahanda təklif olunan məsələlərdə həll adətən tənliklər sisteminin xüsusiyyətlərinin nəzərə alınmasına əsaslanır. Təkrar edirəm, dəyişənlər dəsti üçün bütün variantları sınamaqdan başqa, problemi həll etməyin ümumi yolu yoxdur. Həll sistemin xüsusiyyətlərinə əsaslanaraq qurulmalıdır. Məlum məntiq qanunlarından istifadə edərək tənliklər sisteminin ilkin sadələşdirilməsini həyata keçirmək çox vaxt faydalıdır. Bu problemi həll etmək üçün başqa bir faydalı texnika aşağıdakı kimidir. Bizi bütün çoxluqlar maraqlandırmır, yalnız F funksiyasının 1 qiyməti olanlar maraqlandırır. Biz tam həqiqət cədvəli qurmaq əvəzinə onun analoqunu - binar qərar ağacını quracağıq. Bu ağacın hər bir budağı bir həllə uyğundur və F funksiyasının 1 qiymətinə malik olduğu çoxluğu müəyyən edir. Qərar ağacındakı budaqların sayı tənliklər sisteminin həllər sayı ilə üst-üstə düşür.

Mən ikili qərar ağacının nə olduğunu və onun necə qurulduğunu bir neçə məsələnin nümunələri ilə izah edəcəyəm.

Problem 18

İki tənlik sistemini təmin edən x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 məntiqi dəyişənlərin neçə müxtəlif dəyər çoxluğu var?

Cavab: Sistemdə 36 müxtəlif həll variantı var.

Həlli: Tənliklər sisteminə iki tənlik daxildir. 5 dəyişəndən - x 1, x 2, ...x 5-dən asılı olaraq birinci tənliyin həllərinin sayını tapaq. Birinci tənliyi öz növbəsində 5 tənlik sistemi kimi qəbul etmək olar. Göstərildiyi kimi, tənliklər sistemi əslində məntiqi funksiyaların birləşməsini təmsil edir. Bunun əksi də doğrudur: şərtlərin birləşməsini tənliklər sistemi kimi qəbul etmək olar.

Gəlin implikasiya (x1→ x2) üçün qərar ağacı quraq - birinci tənlik kimi qəbul edilə bilən birləşmənin birinci üzvü. Bu ağacın qrafik təsviri belə görünür:

Ağac tənlikdəki dəyişənlərin sayına görə iki səviyyədən ibarətdir. Birinci səviyyə birinci dəyişəni X 1-i təsvir edir. Bu səviyyənin iki budağı bu dəyişənin mümkün dəyərlərini əks etdirir - 1 və 0. İkinci səviyyədə ağacın budaqları yalnız tənliyin doğru olduğu X 2 dəyişəninin mümkün dəyərlərini əks etdirir. Tənlik təsir göstərdiyindən, X 1 dəyərinin 1 olduğu budaq, həmin budaqda X 2-nin 1 dəyərinə malik olmasını tələb edir. X 1-in 0 dəyərinə malik olduğu budaq X 2 qiymətləri ilə iki budaq yaradır. 0 və 1-ə bərabər qurulmuş ağac üç həlli müəyyənləşdirir, bunun üzərinə X 1 → X 2 mənası 1 qiymətini alır. Hər bir budaqda tənliyə həll verən müvafiq dəyişən dəyərlər dəsti yazılır.

Bu çoxluqlar: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

Aşağıdakı tənliyi, aşağıdakı X 2 → X 3 mənasını əlavə etməklə qərar ağacının qurulmasına davam edək. Tənliklər sistemimizin spesifikliyi ondan ibarətdir ki, sistemin hər bir yeni tənliyi əvvəlki tənlikdən bir dəyişən istifadə edir və bir yeni dəyişən əlavə edir. X 2 dəyişəni artıq ağacda dəyərlərə malik olduğundan, X 2 dəyişəninin 1 dəyərinə malik olan bütün budaqlarda X 3 dəyişəninin də qiyməti 1 olacaq. Belə budaqlar üçün ağacın qurulması növbəti səviyyəyə davam edir, lakin yeni filiallar görünmür. X 2 dəyişəninin 0 dəyərinə malik olduğu tək budaq, X 3 dəyişəninin 0 və 1 dəyərlərini alacağı iki budaqda budaqlanacaq. Beləliklə, yeni tənliyin hər bir əlavəsi, onun xüsusiyyətlərini nəzərə alaraq, bir həll əlavə edir. Orijinal birinci tənlik:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
6 həlli var. Bu tənlik üçün tam qərar ağacı belə görünür:

Sistemimizin ikinci tənliyi birinciyə bənzəyir:

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

Yeganə fərq ondadır ki, tənlikdə Y dəyişənlərindən istifadə olunur.Bu tənliyin də 6 həlli var. X i dəyişənləri üçün hər bir həll Y j dəyişənləri üçün hər bir həll ilə birləşdirilə bildiyindən, həllərin ümumi sayı 36-dır.

Nəzərə alın ki, qurulmuş qərar ağacı təkcə həllərin sayını (budaqların sayına görə) deyil, həm də ağacın hər bir budağına yazılmış həllərin özlərini verir.

Problem 19

Aşağıda sadalanan bütün şərtləri ödəyən x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 məntiqi dəyişənlərin neçə müxtəlif dəyər dəsti var?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(x1→ y1) = 1

Bu tapşırıq əvvəlki tapşırığın modifikasiyasıdır. Fərq ondadır ki, X və Y dəyişənləri ilə əlaqəli başqa bir tənlik əlavə olunur.

X 1 → Y 1 tənliyindən belə çıxır ki, X 1 dəyəri 1 olduqda (belə bir həll mövcuddur), onda Y 1 də 1 dəyərinə malikdir. Beləliklə, X 1 və Y 1 qiymətlərinə malik olan bir çoxluq var. 1. X 1 0-a bərabər olduqda, Y 1 həm 0, həm də 1 hər hansı qiymətə malik ola bilər. Buna görə də, X 1-i 0-a bərabər olan hər bir çoxluq və 5 belə çoxluq var, Y dəyişənləri olan 6 çoxluğun hamısına uyğun gəlir. Beləliklə, həllərin ümumi sayı 31-dir.

Problem 20

(¬X 1 ˅ X 2) ˄ (¬X 2 ˅ X 3) ˄ (¬X 3 ˅ X 4) ˄ (¬X 4 ˅ X 5) ˄ (¬X 5 ˅ X 1) = 1

Həlli: Əsas ekvivalentləri xatırlayaraq tənliyimizi belə yazırıq:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 5) ˄ (X 5 → X 1) = 1

Tövsiyələrin siklik zənciri dəyişənlərin eyni olması deməkdir, buna görə də tənliyimiz tənliyə ekvivalentdir:

X 1 ≡ X 2 ≡ X 3 ≡ X 4 ≡ X 5 = 1

Bütün X i ya 1, ya da 0 olduqda bu tənliyin iki həlli var.

Problem 21

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 2) ˄ (X 4 → X 5) = 1

Həlli: 20-ci məsələdə olduğu kimi, tənliyi aşağıdakı formada yenidən yazaraq, tsiklik təsirlərdən eyniliklərə keçirik:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 ≡ X 3 ≡ X 4) ˄ (X 4 → X 5) = 1

Bu tənlik üçün qərar ağacı quraq:

Problem 22

Aşağıdakı tənliklər sisteminin neçə həlli var?

((X 1 ≡X 2) ˄ (X 3 ≡X 4)) ˅(¬(X 1 ≡X 2) ˄ ¬(X 3 ≡X 4)) = 0

((X 3 ≡X 4) ˄ (X 5 ≡X 6)) ˅(¬(X 3 ≡X 4) ˄ ¬(X 5 ≡X 6)) = 0

((X 5 ≡X 6) ˄ (X 7 ≡X 8)) ˅(¬(X 5 ≡X 6) ˄ ¬(X 7 ≡X 8)) = 0

((X 7 ≡X 8) ˄ (X 9 ≡X 10)) ˅(¬(X 7 ≡X 8) ˄ ¬(X 9 ≡X 10)) = 0

Cavab: 64

Həlli: Aşağıdakı dəyişən dəyişikliyini tətbiq etməklə 10 dəyişəndən 5 dəyişənə keçək:

Y 1 = (X 1 ≡ X 2); Y 2 = (X 3 ≡ X 4); Y 3 = (X 5 ≡ X 6); Y 4 = (X 7 ≡ X 8); Y 5 = (X 9 ≡ X 10);

Onda birinci tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

(Y 1 ˄ Y 2) ˅ (¬Y 1 ˄ ¬Y 2) = 0

Tənliyi aşağıdakı kimi yazmaqla sadələşdirmək olar:

(Y 1 ≡ Y 2) = 0

Ənənəvi formaya keçərək sistemi sadələşdirmələrdən sonra formada yazırıq:

¬(Y 1 ≡ Y 2) = 1

¬(Y 2 ≡ Y 3) = 1

¬(Y 3 ≡ Y 4) = 1

¬(Y 4 ≡ Y 5) = 1

Bu sistem üçün qərar ağacı sadədir və dəyişən dəyərləri dəyişən iki filialdan ibarətdir:

Orijinal X dəyişənlərinə qayıdaraq, qeyd edin ki, Y dəyişənindəki hər bir dəyər üçün X dəyişənlərində 2 dəyər var, buna görə də Y dəyişənlərindəki hər bir həll X dəyişənlərində 2 5 həll yaradır. İki budaq 2 * 2 yaradır. 5 məhlul olduğu üçün məhlulların ümumi sayı 64-dür.

Göründüyü kimi, tənliklər sisteminin həlli ilə bağlı hər bir məsələ özünəməxsus yanaşma tələb edir. Ümumi bir texnika tənlikləri sadələşdirmək üçün ekvivalent çevrilmələri yerinə yetirməkdir. Ümumi bir texnika qərar ağaclarının qurulmasıdır. İstifadə olunan yanaşma, dəyişənlərin mümkün dəyərlərinin bütün dəstlərinin deyil, yalnız funksiyanın 1 (doğru) dəyərini qəbul etdiyi xüsusiyyətlərin qurulması xüsusiyyəti ilə həqiqət cədvəlinin qurulmasını qismən xatırladır. Tez-tez təklif olunan problemlərdə tam bir qərar ağacı qurmağa ehtiyac yoxdur, çünki ilkin mərhələdə, məsələn, problem 18-də edildiyi kimi, hər bir sonrakı səviyyədə yeni filialların görünüşünün nümunəsini qurmaq mümkündür. .

Ümumiyyətlə, məntiqi tənliklər sisteminin həlli yollarının tapılması ilə bağlı problemlər yaxşı riyazi məşqlərdir.

Əgər məsələni əl ilə həll etmək çətindirsə, o zaman tənliklərin və tənliklər sistemlərinin həlli üçün müvafiq proqram yazaraq həllini kompüterə həvalə edə bilərsiniz.

Belə bir proqramı yazmaq çətin deyil. Belə bir proqram Vahid Dövlət İmtahanında təklif olunan bütün tapşırıqların öhdəsindən asanlıqla gələcəkdir.

Qəribədir ki, məntiqi tənliklər sistemlərinin həlli tapşırığı kompüter üçün çətindir və belə çıxır ki, kompüterin öz sərhədləri var. Kompüter dəyişənlərin sayının 20-30 olduğu problemlərin öhdəsindən asanlıqla gələ bilər, lakin daha böyük ölçülü problemlər üzərində uzun müddət düşünməyə başlayacaq. Fakt budur ki, çoxluqların sayını təyin edən 2 n funksiyası n artdıqca sürətlə artan eksponensialdır. O qədər sürətlidir ki, adi fərdi kompüter gündə 40 dəyişən olan işin öhdəsindən gələ bilmir.

Məntiqi tənliklərin həlli üçün C# dilində proqram

Məntiqi tənlikləri həll etmək üçün bir proqram yazmaq bir çox səbəbə görə faydalıdır, əgər yalnız Vahid Dövlət İmtahanı test problemlərinin öz həllinizin düzgünlüyünü yoxlamaq üçün istifadə edə bildiyiniz üçün. Başqa bir səbəb belə bir proqramın Vahid Dövlət İmtahanında C kateqoriyalı tapşırıqlar üçün tələblərə cavab verən proqramlaşdırma tapşırığının əla nümunəsidir.

Proqramın yaradılması ideyası sadədir - bu, dəyişən dəyərlərin bütün mümkün dəstlərinin tam axtarışına əsaslanır. Verilmiş bir məntiqi tənlik və ya tənliklər sistemi üçün dəyişənlərin sayı n məlum olduğu üçün çoxluqların sayı da məlumdur - sıralanması lazım olan 2 n. C# dilinin əsas funksiyalarından - inkar, disjunksiya, birləşmə və eynilikdən istifadə edərək, verilən dəyişənlər toplusu üçün məntiqi tənliyə və ya tənliklər sisteminə uyğun gələn məntiqi funksiyanın qiymətini hesablayan proqram yazmaq çətin deyil. .

Belə bir proqramda çoxluqların sayına görə dövrə qurmaq lazımdır, dövrənin gövdəsində çoxluğun nömrəsindən istifadə edərək çoxluğun özünü formalaşdırmaq, bu çoxluqdakı funksiyanın qiymətini hesablamaq və əgər bu qiymət 1-dir, onda çoxluq tənliyin həllini verir.

Proqramı həyata keçirərkən ortaya çıxan yeganə çətinlik, müəyyən edilmiş nömrə əsasında dəyişən dəyərlər dəstinin özü yaratmaq vəzifəsi ilə bağlıdır. Bu problemin gözəlliyi ondadır ki, çətin görünən bu iş əslində artıq dəfələrlə yaranmış sadə bir problemə gəlir. Həqiqətən, sıfır və birlərdən ibarət olan i nömrəsinə uyğun gələn dəyişən dəyərlər dəstinin i ədədinin ikili təsvirini təmsil etdiyini başa düşmək kifayətdir. Beləliklə, müəyyən edilmiş nömrə ilə dəyişən dəyərlər toplusunu əldə etmək kimi mürəkkəb vəzifə, bir nömrəni ikiliyə çevirmək üçün tanış vəzifəyə endirilir.

Problemimizi həll edən C#-da funksiya belə görünür:

///

///

/// məntiqi funksiya - metod,

/// imzası DF nümayəndəsi tərəfindən müəyyən edilir

///

/// dəyişənlərin sayı

/// həllərin sayı

statik int Həll Tənlikləri (DF əyləncə, int n)

bool dəsti = yeni bool[n];

int m = (int)Math.Pow(2, n); //dəstlərin sayı

int p = 0, q = 0, k = 0;

//Dəstlərin sayına görə axtarışı tamamlayın

üçün (int i = 0; i< m; i++)

//Növbəti çoxluğun formalaşması - çoxluğun,

//i ədədinin ikili təsviri ilə müəyyən edilir

üçün (int j = 0; j< n; j++)

k = (int)Math.Pow(2, j);

//Topluqda funksiyanın qiymətini hesablayın

Proqramı başa düşmək üçün ümid edirəm ki, verilişin ideyasının izahı və mətnindəki şərhlər kifayətdir. Mən yalnız verilən funksiyanın başlığını izah etməyə diqqət yetirəcəyəm. SolveEquations funksiyası iki giriş parametrinə malikdir. Əyləncəli parametr həll olunan tənliyə və ya tənliklər sisteminə uyğun məntiqi funksiyanı təyin edir. n parametri əyləncəli dəyişənlərin sayını təyin edir. Nəticədə, SolveEquations funksiyası məntiqi funksiyanın həllər sayını, yəni funksiyanın doğru olaraq qiymətləndirdiyi çoxluqların sayını qaytarır.

Bəzi F(x) funksiyasının arifmetik, sətir və ya məntiqi tipli dəyişən olan x giriş parametrinə malik olması məktəblilər üçün adi haldır. Bizim vəziyyətimizdə daha güclü bir dizayn istifadə olunur. SolveEquations funksiyası daha yüksək səviyyəli funksiyalara - F(f) tipli funksiyalara aiddir, onların parametrləri təkcə sadə dəyişənlər deyil, həm də funksiyalar ola bilər.

SolveEquations funksiyasına parametr kimi ötürülə bilən funksiyalar sinfi aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

delegate bool DF(bool vars);

Bu sinif, vars massivi tərəfindən müəyyən edilmiş məntiqi dəyişənlərin qiymətləri dəsti parametr kimi ötürülən bütün funksiyalara malikdir. Nəticə bu çoxluqdakı funksiyanın dəyərini ifadə edən Boolean dəyəridir.

Nəhayət, burada bir neçə məntiqi tənlik sistemini həll etmək üçün SolveEquations funksiyasından istifadə edən proqram təqdim olunur. SolveEquations funksiyası aşağıdakı ProgramCommon sinifinin bir hissəsidir:

sinif proqramı Ümumi

delegate bool DF(bool vars);

statik boşluq Əsas (sətir args)

Console.WriteLine("Və Funksiyalar - " +

SolveEquations(FunAnd, 2));

Console.WriteLine("Funksiyada 51 həll var - " +

Tənlikləri həll edin(Fun51, 5));

Console.WriteLine("Funksiyada 53 həll var - " +

SolveEquations(Fun53, 10));

statik bool FunAnd(bool vars)

qaytarmaq vars && vars;

statik bool Fun51 (bool var)

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

statik bool Fun53 ​​(bool vars)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && (!((vars == var) || (vars == var))));

Bu proqram üçün həll nəticələrinin necə göründüyü budur:

Müstəqil iş üçün 10 tapşırıq

1. Üç funksiyadan hansı ekvivalentdir:
   1. (X → Y) ˅ ¬Y
   2. ¬(X ˅ ¬Y) ˄ (X → ¬Y)
   3. ¬X ˄Y
2. Həqiqət cədvəlinin bir parçası verilmişdir:

Bu fraqment üç funksiyadan hansına uyğundur:

1. (X 1 ˅ ¬X 2) ˄ (X 3 → X 4)
2. (X 1 → X 3) ˄ X 2 ˅ X 4
3. X 1 ˄ X 2 ˅ (X 3 → (X 1 ˅ X 4))
4. Münsiflər heyəti üç nəfərdən ibarətdir. Qərar münsiflər heyətinin sədri münsiflər heyətinin üzvlərindən ən azı biri tərəfindən dəstəklənən onun lehinə səs verdikdə qəbul edilir. Əks halda heç bir qərar verilmir. Qərar vermə prosesini rəsmiləşdirən məntiqi funksiya qurun.
5. Dörd sikkə atılması üç dəfə başlarla nəticələnərsə, X Y üzərində qalib gəlir. X-in qazancını təsvir edən məntiqi funksiyanı təyin edin.
6. Cümlədəki sözlər birdən başlayaraq nömrələnir. Aşağıdakı qaydalara əməl olunarsa, cümlə düzgün qurulmuş hesab olunur:
   1. Əgər cüt nömrəli söz saitlə bitirsə, növbəti söz, əgər varsa, saitlə başlamalıdır.
   2. Tək nömrəli söz samitlə bitirsə, növbəti söz, əgər varsa, samitlə başlamalı və saitlə bitməlidir.
      Aşağıdakı cümlələrdən hansı düzgün qurulub:
   3. Ana Maşanı sabunla yudu.
   4. Lider həmişə bir modeldir.
   5. Həqiqət yaxşıdır, amma xoşbəxtlik daha yaxşıdır.
7. Tənliyin neçə həlli var:
   (a ˄ ¬ b) ˅ (¬a ˄ b) → (c ˄ d) = 1
8. Tənliyin bütün həll yollarını sadalayın:
   (a → b) → c = 0
9. Aşağıdakı tənliklər sisteminin neçə həlli var:
   X 0 → X 1 ˄ X 1 → X 2 = 1
   X 2 → X 3 ˄ X 3 → X 4 = 1
   X 5 → X 6 ˄ X 6 → X 7 = 1
   X 7 → X 8 ˄ X 8 → X 9 = 1
   X 0 → X 5 = 1
10. Tənliyin neçə həlli var:
    ((((X 0 → X 1) → X 2) → X 3) →X 4) →X 5 = 1

Problemlərə cavablar:

1. b və c funksiyaları ekvivalentdir.
2. Fraqment b funksiyasına uyğundur.
3. Münsiflər heyətinin sədri qərara “lehinə” səs verdikdə P məntiqi dəyişəni 1 qiymətini alsın. M 1 və M 2 dəyişənləri jüri üzvlərinin fikirlərini ifadə edir. Müsbət qərar qəbul etməyi təyin edən məntiqi funksiya aşağıdakı kimi yazıla bilər:
   P ˄ (M 1 ˅ M 2)
4. Məntiqi dəyişən P i i-ci sikkə atılan zaman 1 qiymətini alsın. X-nin faydasını təyin edən məntiqi funksiya aşağıdakı kimi yazıla bilər:
   ¬((¬P 1 ˄ (¬P 2 ¬¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
   (¬P 2 ˄ (¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
   (¬P 3 ˄ ¬P 4))
5. Cümlə b.
6. Tənliyin 3 həlli var: (a = 1; b = 1; c = 0); (a = 0; b = 0; c = 0); (a = 0; b = 1; c = 0)