Lommeregner for mulige kombinationer. Kombinationer uden gentagelse: Kombinatorik i MS EXCEL

I denne artikel vil vi tale om en særlig gren af ​​matematik kaldet kombinatorik. Formler, regler, eksempler på problemløsning – alt dette kan du finde her ved at læse artiklen til allersidst.

Så hvad er dette afsnit? Combinatorics beskæftiger sig med spørgsmålet om at tælle eventuelle objekter. Men i dette tilfælde er genstandene ikke blommer, pærer eller æbler, men noget andet. Combinatorics hjælper os med at finde sandsynligheden for en begivenhed. For eksempel når man spiller kort - hvad er sandsynligheden for, at modstanderen har et trumfkort? Eller dette eksempel: hvad er sandsynligheden for, at du får en hvid fra en pose med tyve kugler? Det er for denne slags problemer, at vi i det mindste skal kende det grundlæggende i denne gren af ​​matematik.

Kombinatoriske konfigurationer

I betragtning af spørgsmålet om grundlæggende begreber og formler for kombinatorik, kan vi ikke undgå at være opmærksomme på kombinatoriske konfigurationer. De bruges ikke kun til at formulere, men også til at løse forskellige eksempler. Eksempler på sådanne modeller er:

• indkvartering;
• omarrangering;
• kombination;
• talsammensætning;
• opdele et tal.

Vi vil tale om de første tre mere detaljeret senere, men vi vil være opmærksomme på sammensætning og opdeling i dette afsnit. Når de taler om sammensætningen af ​​et bestemt tal (for eksempel a), mener de at repræsentere tallet a som en ordnet sum af visse positive tal. Og en skillevæg er en uordnet sum.

Afsnit

Før vi går direkte til formlerne for kombinatorik og overvejelse af problemer, er det værd at være opmærksom på, at kombinatorik, ligesom andre grene af matematikken, har sine egne underafsnit. Disse omfatter:

• enumerativ;
• strukturel;
• ekstrem;
• Ramsey teori;
• probabilistisk;
• topologisk;
• uendelig.

I det første tilfælde taler vi om kalkulativ kombinatorik; problemerne overvejer opregning eller optælling af forskellige konfigurationer, der er dannet af elementer af sæt. Som regel pålægges der nogle begrænsninger for disse sæt (særpræg, ude af skel, mulighed for gentagelse, og så videre). Og antallet af disse konfigurationer beregnes ved hjælp af reglerne for addition eller multiplikation, som vi vil tale om lidt senere. Strukturel kombinatorik omfatter teorierne om grafer og matroider. Et eksempel på et ekstremal kombinatorisk problem er, hvad der er den største dimension af en graf, der opfylder følgende egenskaber... I det fjerde afsnit nævnte vi Ramsey-teorien, som studerer tilstedeværelsen af ​​regulære strukturer i tilfældige konfigurationer. Probabilistisk kombinatorik er i stand til at besvare spørgsmålet - hvad er sandsynligheden for, at et givet sæt har en bestemt egenskab. Som du måske kan gætte, anvender topologisk kombinatorik metoder i topologi. Og endelig, det syvende punkt - infinitær kombinatorik studerer anvendelsen af ​​kombinatoriske metoder til uendelige mængder.

Tilføjelsesregel

Blandt de kombinatoriske formler kan du finde ganske simple formler, som vi har været fortrolige med i ret lang tid. Et eksempel er sumreglen. Antag, at vi får to handlinger (C og E), hvis de udelukker hinanden, kan handling C udføres på flere måder (f.eks. a), og handling E kan udføres på b-veje, så kan enhver af dem ( C eller E) kan udføres på a + b måder.

I teorien er dette ret svært at forstå; vi vil forsøge at formidle hele pointen ved hjælp af et simpelt eksempel. Lad os tage det gennemsnitlige antal elever i en klasse – lad os sige, at det er femogtyve. Blandt dem er femten piger og ti drenge. En vagthavende er tilknyttet hver klasse hver dag. Hvor mange måder er der til at udpege en klassemonitor i dag? Løsningen på problemet er ret enkel; vi vil ty til additionsreglen. Problemteksten siger ikke, at kun drenge eller kun piger kan være på vagt. Derfor kan det være enhver af de femten piger eller en af ​​de ti drenge. Ved at anvende sumreglen får vi et ret simpelt eksempel, som en folkeskoleelev sagtens kan klare: 15 + 10. Efter optælling får vi svaret: femogtyve. Det vil sige, at der kun er femogtyve måder at tildele en klasse på vagt for i dag.

Multiplikationsregel

De grundlæggende formler for kombinatorik inkluderer også multiplikationsreglen. Lad os starte med teorien. Lad os sige, at vi skal udføre flere handlinger (a): den første handling udføres på 1 måder, den anden - på 2 måder, den tredje - på 3 måder, og så videre indtil den sidste a-handling, udføres på 3 måder. Så kan alle disse handlinger (som vi har i alt) udføres på N måder. Hvordan beregner man ukendt N? Formlen vil hjælpe os med dette: N = c1 * c2 * c3 *...* ca.

Igen er intet klart i teorien, så lad os gå videre til at overveje et simpelt eksempel på anvendelse af multiplikationsreglen. Lad os tage den samme klasse på femogtyve personer, hvor der er femten piger og ti drenge. Kun denne gang skal vi vælge to personer på vagt. De kan kun være drenge eller piger, eller en dreng og en pige. Lad os gå videre til den elementære løsning af problemet. Vi vælger den første person på vagt, som vi besluttede i sidste afsnit, får vi femogtyve muligheder. Den anden person på vagt kan være enhver af de resterende personer. Vi havde femogtyve elever, vi valgte én, hvilket betyder, at den anden person på vagt kunne være enhver af de resterende fireogtyve personer. Til sidst anvender vi multiplikationsreglen og finder, at to officerer på vagt kan vælges på seks hundrede måder. Vi opnåede dette tal ved at gange femogtyve og fireogtyve.

Omarrangering

Nu vil vi se på en anden kombinatorisk formel. I dette afsnit af artiklen vil vi tale om permutationer. Vi foreslår straks at overveje problemet ved hjælp af et eksempel. Lad os tage billardkugler, vi har n'te antal af dem. Vi skal tælle, hvor mange muligheder der er for at arrangere dem i en række, det vil sige at oprette et bestilt sæt.

Lad os starte, hvis vi ikke har bolde, så har vi også nul muligheder for placering. Og hvis vi har én kugle, så er arrangementet også det samme (matematisk kan dette skrives som følger: P1 = 1). De to bolde kan placeres på to forskellige måder: 1,2 og 2,1. Derfor er P2 = 2. Tre kugler kan arrangeres på seks måder (P3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. Hvad hvis der ikke er tre sådanne bolde, men ti eller femten? Det ville tage meget lang tid at liste alle de mulige muligheder, så kommer kombinatorik os til hjælp. Permutationsformlen vil hjælpe os med at finde svaret på det spørgsmål, der interesserer os. Pn = n*P (n-1). Hvis vi forsøger at forenkle formlen, får vi: Pn = n* (n - 1) *...* 2 * 1. Og dette er produktet af de første naturlige tal. Dette tal kaldes faktorielt og betegnes som n!

Lad os overveje problemet. Hver morgen stiller rådgiveren op i sit hold (tyve personer). Der er tre bedste venner i truppen - Kostya, Sasha og Lesha. Hvad er sandsynligheden for, at de står ved siden af ​​hinanden? For at finde svaret på spørgsmålet skal du dividere sandsynligheden for et "godt" resultat med det samlede antal udfald. Det samlede antal permutationer er 20! = 2,5 kvintillioner. Hvordan tæller man antallet af "gode" resultater? Lad os antage, at Kostya, Sasha og Lesha er en supermand. Så har vi kun atten fag. Antallet af permutationer i dette tilfælde er 18 = 6,5 kvadrillioner. Med alt dette kan Kostya, Sasha og Lesha vilkårligt bevæge sig indbyrdes i deres udelelige tre, og det er 3 mere! = 6 muligheder. Det betyder, at vi har 18 “gode” arrangementer i alt! * 3! Alt vi skal gøre er at finde den ønskede sandsynlighed: (18! * 3!) / 20! Hvilket svarer til cirka 0,016. Omregnet til procenter viser det sig kun at være 1,6 %.

Indkvartering

Nu vil vi se på en anden meget vigtig og nødvendig kombinatorisk formel. Placering er vores næste nummer, som vi inviterer dig til at overveje i dette afsnit af artiklen. Vi går efter komplikationer. Antag, at vi vil overveje mulige permutationer, ikke fra hele mængden (n), men fra en mindre (m). Det vil sige, vi overvejer permutationer af n elementer med m.

De grundlæggende formler for kombinatorik skal ikke kun huskes, men forstås. Også selvom de bliver mere komplicerede, da vi ikke har én parameter, men to. Antag, at m = 1, så A = 1, m = 2, så A = n * (n - 1). Hvis vi yderligere forenkler formlen og skifter til notation ved hjælp af faktorialer, får vi en helt lakonisk formel: A = n! / (n - m)!

Kombination

Vi gennemgik næsten alle de grundlæggende kombinatoriske formler med eksempler. Lad os nu gå videre til den sidste fase med at overveje det grundlæggende kombinatorikkursus - at lære kombinationer at kende. Nu vil vi vælge m varer fra den n vi har, og vi vil vælge alt på alle mulige måder. Hvordan er dette så forskelligt fra placering? Vi tager ikke hensyn til ordren. Dette uordnede sæt vil være kombinationen.

Lad os straks introducere notationen: C. Vi tager placeringen af ​​m kugler ud af n. Vi holder op med at være opmærksomme på orden og ender med at gentage kombinationer. For at få antallet af kombinationer skal vi dividere antallet af placeringer med m! (m faktoriel). Det vil sige C = A/m! Der er således kun få måder at vælge mellem n kugler på, hvilket er omtrent lig med antallet af måder at vælge næsten alle på. Det er der et logisk udtryk for: At vælge lidt er det samme som at smide næsten alt ud. Det er også vigtigt at nævne på dette tidspunkt, at det maksimale antal kombinationer kan opnås, når man prøver at vælge halvdelen af ​​emnerne.

Hvordan vælger man en formel til at løse et problem?

Vi undersøgte i detaljer de grundlæggende formler for kombinatorik: placering, permutation og kombination. Nu er vores opgave at lette valget af den nødvendige formel til løsning af et kombinatorisk problem. Du kan bruge følgende ret enkle skema:

1. Spørg dig selv: er der taget højde for rækkefølgen, hvori elementerne er placeret i opgaveteksten?
2. Hvis svaret er nej, så brug kombinationsformlen (C = n! / (m! * (n - m)!)).
3. Hvis svaret er nej, så skal et andet spørgsmål besvares: Er alle elementerne inkluderet i kombinationen?
4. Hvis svaret er ja, så brug permutationsformlen (P = n!).
5. Hvis svaret er nej, så brug placeringsformlen (A = n! / (n - m)!).

Eksempel

Vi så på elementer af kombinatorik, formler og nogle andre spørgsmål. Lad os nu gå videre til at overveje det virkelige problem. Forestil dig, at du har en kiwi, en appelsin og en banan foran dig.

Spørgsmål et: På hvor mange måder kan de omarrangeres? For at gøre dette vil vi bruge permutationsformlen: P = 3! = 6 måder.

Spørgsmål to: På hvor mange måder kan du vælge én frugt? Dette er indlysende, vi har kun tre muligheder - vælg kiwi, appelsin eller banan, men lad os anvende kombinationsformlen: C = 3! / (2! * 1!) = 3.

Spørgsmål tre: På hvor mange måder kan du vælge to frugter? Hvilke muligheder har vi overhovedet? Kiwi og appelsin; kiwi og banan; appelsin og banan. Det vil sige, at der er tre muligheder, men det er nemt at kontrollere ved hjælp af kombinationsformlen: C = 3! / (1! * 2!) = 3

Spørgsmål fire: På hvor mange måder kan du vælge tre frugter? Som du kan se, er der kun én måde at vælge tre frugter på: tag kiwi, appelsin og banan. C = 3! / (0! * 3!) = 1.

Spørgsmål fem: På hvor mange måder kan du vælge mindst én frugt? Denne betingelse betyder, at vi kan tage en, to eller alle tre frugter. Derfor tilføjer vi C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7. Det vil sige, vi har syv måder at tage mindst én frugt fra bordet på.

Det skal bemærkes, at kombinatorik er en selvstændig gren af ​​højere matematik (og ikke en del af terver), og der er skrevet vægtige lærebøger om denne disciplin, hvis indhold til tider ikke er lettere end abstrakt algebra. En lille portion teoretisk viden vil dog være nok for os, og i denne artikel vil jeg forsøge at analysere i en tilgængelig form det grundlæggende i emnet med typiske kombinatoriske problemer. Og mange af jer vil hjælpe mig ;-)

Hvad skal vi gøre? I en snæver forstand er kombinatorik beregningen af ​​forskellige kombinationer, der kan laves fra et bestemt sæt diskret genstande. Objekter forstås som alle isolerede objekter eller levende væsener - mennesker, dyr, svampe, planter, insekter osv. Samtidig er kombinatorik slet ikke ligeglad med, at sættet består af en tallerken semuljegrød, en loddekolbe og en sumpfrø. Det er grundlæggende vigtigt, at disse objekter kan opregnes - der er tre af dem (diskrethed) og det vigtige er, at ingen af ​​dem er identiske.

Vi har beskæftiget os med meget, nu om kombinationer. De mest almindelige typer af kombinationer er permutationer af objekter, deres valg fra et sæt (kombination) og distribution (placering). Lad os se, hvordan det sker lige nu:

Permutationer, kombinationer og placeringer uden gentagelser

Vær ikke bange for obskure udtryk, især da nogle af dem virkelig ikke er særlig gode. Lad os starte med titlens hale - hvad betyder " ingen gentagelser"? Det betyder, at vi i dette afsnit vil overveje sæt, der består af forskellige genstande. For eksempel ... nej, jeg byder ikke på grød med loddekolbe og frø, det er bedre at have noget lækrere =) Forestil dig, at et æble, en pære og en banan er blevet til på bordet foran dig ( hvis du har dem, kan situationen simuleres i virkeligheden). Vi lægger frugterne fra venstre mod højre i følgende rækkefølge:

æble / pære / banan

Spørgsmål et: På hvor mange måder kan de omarrangeres?

En kombination er allerede skrevet ovenfor, og der er ingen problemer med resten:

æble / banan / pære
pære / æble / banan
pære / banan / æble
banan / æble / pære
banan / pære / æble

Total: 6 kombinationer eller 6 permutationer.

Okay, det var ikke svært at liste alle mulige tilfælde, men hvad nu hvis der er flere objekter? Med kun fire forskellige frugter vil antallet af kombinationer stige markant!

Åbn venligst referencematerialet (det er praktisk at udskrive manualen) og i punkt nr. 2, find formlen for antallet af permutationer.

Intet besvær - 3 objekter kan omarrangeres på forskellige måder.

Spørgsmål to: På hvor mange måder kan du vælge a) én frugt, b) to frugter, c) tre frugter, d) mindst én frugt?

Hvorfor vælge? Så vi oparbejdede appetit i det foregående punkt - for at spise! =)

a) Én frugt kan naturligvis vælges på tre måder - tag enten et æble, en pære eller en banan. Den formelle beregning udføres iflg formel for antallet af kombinationer:

Indgangen i dette tilfælde skal forstås som følger: "på hvor mange måder kan du vælge 1 frugt ud af tre?"

b) Lad os liste alle mulige kombinationer af to frugter:

æble og pære;
æble og banan;
pære og banan.

Antallet af kombinationer kan nemt kontrolleres ved hjælp af samme formel:

Indlægget forstås på samme måde: "på hvor mange måder kan du vælge 2 frugter ud af tre?"

c) Og endelig er der kun én måde at vælge tre frugter på:

Forresten forbliver formlen for antallet af kombinationer meningsfuld for en tom prøve:
På denne måde kan du ikke vælge en enkelt frugt - faktisk tag ingenting, og det er det.

d) På hvor mange måder kan du tage mindst en frugt? Betingelsen "mindst én" indebærer, at vi er tilfredse med 1 frugt (enhver) eller 2 frugter eller alle 3 frugter:
ved hjælp af disse metoder kan du vælge mindst én frugt.

Læsere, der nøje har studeret den indledende lektion vedr sandsynlighedsteori, vi har allerede gættet noget. Men mere om betydningen af ​​plustegnet senere.

For at besvare det næste spørgsmål har jeg brug for to frivillige... ...Nå, da ingen vil, så ringer jeg dig til bestyrelsen =)

Spørgsmål tre: På hvor mange måder kan du fordele én frugt hver til Dasha og Natasha?

For at fordele to frugter skal du først vælge dem. Ifølge afsnittet "være" i det foregående spørgsmål, kan dette gøres på måder, jeg omskriver dem:

æble og pære;
æble og banan;
pære og banan.

Men nu bliver der dobbelt så mange kombinationer. Overvej for eksempel det første par frugter:
Du kan behandle Dasha med et æble og Natasha med en pære;
eller omvendt - Dasha får pæren, og Natasha får æblet.

Og en sådan permutation er mulig for hvert par frugter.

Overvej den samme elevgruppe, der gik til dans. På hvor mange måder kan en dreng og en pige parres?

På måder kan du vælge 1 ung mand;
måder du kan vælge 1 pige på.

Altså en ung mand Og Du kan vælge én pige: måder.

Når 1 objekt er valgt fra hvert sæt, er følgende princip for at tælle kombinationer gyldigt: " hver en genstand fra et sæt kan danne et par med hver genstand for et andet sæt."

Det vil sige, at Oleg kan invitere enhver af de 13 piger til at danse, Evgeny kan også invitere enhver af de tretten, og resten af ​​de unge har et lignende valg. I alt: mulige par.

Det skal bemærkes, at i dette eksempel er "historien" om dannelsen af ​​parret ligegyldig; Men hvis vi tager initiativet i betragtning, skal antallet af kombinationer fordobles, da hver af de 13 piger også kan invitere enhver dreng til dans. Det hele afhænger af betingelserne for en bestemt opgave!

Et lignende princip gælder for mere komplekse kombinationer, for eksempel: På hvor mange måder kan du vælge to unge mænd? Og to piger til at deltage i en KVN-skit?

Union OG antyder tydeligt, at kombinationerne skal ganges:

Mulige grupper af kunstnere.

Med andre ord, hver et par drenge (45 unikke par) kan optræde med nogen et par piger (78 unikke par). Og hvis vi tænker på rollefordelingen mellem deltagerne, bliver der endnu flere kombinationer. ...Jeg vil rigtig gerne, men jeg vil stadig lade være med at fortsætte for ikke at indgyde dig en modvilje mod studielivet =).

Reglen for multiplikation af kombinationer gælder også for et større antal multiplikatorer:

Opgave 8

Hvor mange trecifrede tal er der, der er delelige med 5?

Løsning: for klarhedens skyld, lad os betegne dette tal med tre stjerner: ***

I hundrede sted Du kan skrive et hvilket som helst af tallene (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eller 9). Nul er ikke egnet, da tallet i dette tilfælde ophører med at være trecifret.

Men i tiere plads("i midten") kan du vælge et hvilket som helst af 10 cifre: .

Ifølge betingelsen skal tallet være deleligt med 5. Et tal er deleligt med 5, hvis det ender på 5 eller 0. Dermed er vi tilfredse med 2 cifre i det mindst betydende ciffer.

I alt er der: trecifrede tal, der er delelige med 5.

I dette tilfælde dechifreres værket som følger: "9 måder, du kan vælge et nummer på hundrede sted Og 10 måder at vælge et nummer på tiere plads Og 2 veje ind enheder ciffer»

Eller endnu enklere: " hver fra 9 cifre til hundrede sted kombinerer med hver på 10 cifre tiere plads og med hver fra to cifre til enheder ciffer».

Svar: 180

Og nu…

Ja, jeg glemte næsten den lovede kommentar til problem nr. 5, hvor Bor, Dima og Volodya kan få et kort hver på forskellige måder. Multiplikation her har samme betydning: måder at fjerne 3 kort fra bunken OG i hver prøve omarrangere dem på måder.

Og nu et problem at løse på egen hånd... nu vil jeg komme med noget mere interessant... lad det handle om den samme russiske version af blackjack:

Opgave 9

Hvor mange vindende kombinationer af 2 kort er der, når man spiller "point"?

For dem, der ikke ved det: Den vindende kombination er 10 + ACE (11 point) = 21 point, og lad os overveje den vindende kombination af to esser.

(rækkefølgen af ​​kortene i ethvert par er ligegyldig)

En kort løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

I øvrigt skal du ikke betragte eksemplet som primitivt. Blackjack er næsten det eneste spil, hvor der er en matematisk baseret algoritme, der giver dig mulighed for at slå kasinoet. Interesserede kan nemt finde et væld af information om optimal strategi og taktik. Sandt nok ender sådanne mestre ret hurtigt på den sorte liste over alle virksomheder =)

Det er tid til at konsolidere materialet dækket med et par solide opgaver:

Opgave 10

Vasya har 4 katte hjemme.

a) hvor mange måder kan katte sidde i hjørnerne af rummet?
b) på hvor mange måder kan du lade katte gå en tur?
c) på hvor mange måder kan Vasya samle to katte op (den ene til venstre og den anden til højre)?

Lad os bestemme: for det første skal du igen være opmærksom på, at problemet handler om forskellige genstande (selvom kattene er enæggede tvillinger). Dette er en meget vigtig betingelse!

a) Tavshed hos katte. Med forbehold for denne udførelse alle kattene på én gang
+ deres placering er vigtig, så der er permutationer her:
ved hjælp af disse metoder kan du placere katte i hjørnerne af rummet.

Jeg gentager, at ved permutering er det kun antallet af forskellige objekter og deres relative positioner, der har betydning. Afhængigt af Vasyas humør kan hun placere dyrene i en halvcirkel på sofaen, i en række i vindueskarmen osv. – i alle tilfælde vil der være 24 permutationer.For nemheds skyld kan interesserede forestille sig, at katte er flerfarvede (for eksempel hvid, sort, rød og tabby) og liste alle mulige kombinationer.

b) På hvor mange måder kan du lade katte gå en tur?

Det antages, at katte kun går ture gennem døren, og spørgsmålet indebærer ligegyldighed med hensyn til antallet af dyr - 1, 2, 3 eller alle 4 katte kan gå en tur.

Vi tæller alle mulige kombinationer:

På måder kan du lade én kat (enhver af de fire) gå en tur;
måder, hvorpå du kan lade to katte gå en tur (liste mulighederne selv);
på måder kan du lade tre katte gå en tur (en af ​​de fire sidder hjemme);
På denne måde kan du slippe alle kattene fri.

Du har sikkert gættet, at de resulterende værdier skulle opsummeres:
måder, hvorpå du kan lade katte gå ture.

Til entusiaster tilbyder jeg en kompliceret version af problemet - når enhver kat i en hvilken som helst prøve tilfældigt kan gå udenfor, både gennem døren og gennem vinduet på 10. sal. Der vil være en mærkbar stigning i kombinationer!

c) På hvor mange måder kan Vasya samle to katte op?

Situationen involverer ikke kun at vælge 2 dyr, men også at placere dem i hver hånd:
På disse måder kan du hente 2 katte.

Anden løsning: du kan vælge to katte ved hjælp af metoder Og måder at plante på hver et par ved hånden:

Svar: a) 24, b) 15, c) 12

Nå, for at rense din samvittighed, noget mere specifikt om at multiplicere kombinationer... Lad Vasya få 5 ekstra katte =) På hvor mange måder kan du lade 2 katte gå en tur? Og 1 kat?

Altså med hver et par katte kan frigives hver kat.

Endnu en knapharmonika til uafhængig løsning:

Opgave 11

Tre passagerer gik ombord i elevatoren i en 12-etagers bygning. Alle, uanset de andre, kan gå ud på enhver (startende fra 2.) etage med lige stor sandsynlighed. På hvor mange måder:

1) passagerer kan stå af på samme etage (udgangsrækkefølgen er ligegyldig);
2) to personer kan stå af på den ene etage, og en tredje på den anden;
3) folk kan gå ud på forskellige etager;
4) kan passagerer forlade elevatoren?

Og her spørger de ofte igen, jeg præciserer: hvis 2 eller 3 personer går ud på samme etage, så er rækkefølgen af ​​udgang ligegyldig. TÆNK, brug formler og regler for at tilføje/multiplicere kombinationer. I tilfælde af vanskeligheder er det nyttigt for passagerer at give navne og spekulere i, hvilke kombinationer de kan forlade elevatoren. Der er ingen grund til at blive ked af det, hvis noget ikke lykkes, for eksempel er punkt nr. 2 ret lumsk.

Fuld løsning med detaljerede kommentarer i slutningen af ​​lektionen.

Det sidste afsnit er viet til kombinationer, der også forekommer ret ofte - ifølge min subjektive vurdering, i cirka 20-30% af kombinatoriske problemer:

Permutationer, kombinationer og placeringer med gentagelser

De anførte typer af kombinationer er beskrevet i afsnit nr. 5 i referencematerialet Grundlæggende formler for kombinatorik nogle af dem er dog muligvis ikke særlig klare ved førstebehandlingen. I dette tilfælde er det tilrådeligt først at gøre dig bekendt med praktiske eksempler og først derefter forstå den generelle formulering. Gå:

Permutationer med gentagelser

I permutationer med gentagelser, som i "almindelige" permutationer, alle de mange genstande på én gang, men der er én ting: i dette sæt gentages et eller flere elementer (objekter). Opfyld den næste standard:

Opgave 12

Hvor mange forskellige bogstavkombinationer kan man få ved at omarrangere kort med følgende bogstaver: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Løsning: i tilfælde af at alle bogstaverne var forskellige, så skulle der anvendes en triviel formel, men det er helt klart, at for det foreslåede sæt kort vil nogle manipulationer fungere "tomt", for eksempel hvis du bytter to kort med bogstaverne "K" " i et hvilket som helst ord, får du det samme ord. Desuden kan kortene fysisk være meget forskellige: det ene kan være rundt med bogstavet "K" trykt på det, det andet kan være firkantet med bogstavet "K" tegnet på det. Men ifølge betydningen af ​​opgaven, selv sådanne kort betragtes som de samme, da betingelsen spørger om bogstavkombinationer.

Alt er ekstremt enkelt - kun 11 kort, inklusive bogstavet:

K - gentaget 3 gange;
O – gentaget 3 gange;
L - gentaget 2 gange;
b – gentages 1 gang;
H – gentaget 1 gang;
Og - gentaget 1 gang.

Tjek: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, hvilket er det, der skulle kontrolleres.

Ifølge formlen antal permutationer med gentagelser:
forskellige bogstavkombinationer kan opnås. Mere end en halv million!

For hurtigt at beregne en stor faktorværdi er det praktisk at bruge standard Excel-funktionen: indtast en hvilken som helst celle =FAKTA(11) og tryk Gå ind.

I praksis er det helt acceptabelt ikke at skrive den generelle formel og desuden at udelade enhedsfaktorerne:

Men foreløbige kommentarer om gentagne breve er påkrævet!

Svar: 554400

Et andet typisk eksempel på permutationer med gentagelse forekommer i skakbriksplaceringsproblemet, som kan findes på lageret færdige løsninger i den tilsvarende pdf. Og for en uafhængig løsning kom jeg med en mindre formel opgave:

Opgave 13

Alexey går ind til sport, og 4 dage om ugen - atletik, 2 dage - styrkeøvelser og 1 dags hvile. På hvor mange måder kan han lave en ugentlig tidsplan for sig selv?

Formlen virker ikke her, fordi den tager højde for tilfældige bytteforhold (for eksempel at bytte onsdagens styrkeøvelser med torsdagens styrkeøvelser). Og igen - faktisk kan de samme 2 styrketræningspas være meget forskellige fra hinanden, men i opgavesammenhæng (set fra tidsplanen) betragtes de som de samme elementer.

To linjers løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Kombinationer med gentagelser

Et karakteristisk træk ved denne type kombination er, at prøven er trukket fra flere grupper, som hver består af identiske objekter.

Alle har arbejdet hårdt i dag, så det er tid til at genopfriske dig selv:

Opgave 14

Elevkantinen sælger pølser i dej, cheesecakes og donuts. På hvor mange måder kan du købe fem tærter?

Løsning: Vær straks opmærksom på det typiske kriterium for kombinationer med gentagelser - ifølge betingelsen er det ikke et sæt objekter som sådan, der tilbydes til valg, men forskellige slags genstande; det antages, at der er mindst fem hotdogs, 5 cheesecakes og 5 donuts til salg. Tærterne i hver gruppe er selvfølgelig forskellige - for helt identiske donuts kan kun simuleres på en computer =) Tærternes fysiske egenskaber er dog ikke væsentlige for problemets formål, og hotdogs / cheesecakes / donuts i deres grupper betragtes som de samme.

Hvad kan der være i prøven? Først og fremmest skal det bemærkes, at der helt sikkert vil være identiske tærter i prøven (da vi vælger 5 stykker, og der er 3 typer at vælge imellem). Her er muligheder for enhver smag: 5 hotdogs, 5 cheesecakes, 5 donuts, 3 hotdogs + 2 cheesecakes, 1 hotdog + 2 cheesecakes + 2 donuts osv.

Som med "almindelige" kombinationer er rækkefølgen af ​​udvælgelse og placering af tærter i udvalget ligegyldig - du har bare valgt 5 stykker, og det er det.

Vi bruger formlen antal kombinationer med gentagelser:
Du kan købe 5 tærter ved hjælp af denne metode.

God appetit!

Svar: 21

Hvilken konklusion kan man drage af mange kombinatoriske problemer?

Nogle gange er det sværeste at forstå tilstanden.

Et lignende eksempel på en uafhængig løsning:

Opgave 15

Pungen indeholder et ret stort antal 1-, 2-, 5- og 10-rubelmønter. På hvor mange måder kan tre mønter fjernes fra en tegnebog?

Af hensyn til selvkontrol skal du besvare et par enkle spørgsmål:

1) Kan alle mønterne i prøven være forskellige?
2) Nævn den "billigste" og den "dyreste" kombination af mønter.

Løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Fra min personlige erfaring kan jeg sige, at kombinationer med gentagelser er den sjældneste gæst i praksis, hvilket ikke kan siges om følgende type kombinationer:

Placeringer med gentagelser

Fra et sæt bestående af elementer udvælges elementer, og rækkefølgen af ​​elementerne i hvert udvalg er vigtig. Og alt ville være fint, men en ret uventet vittighed er, at vi kan vælge et hvilket som helst objekt i det originale sæt så mange gange, vi vil. Billedligt talt: "Mængden vil ikke falde."

Hvornår sker dette? Et typisk eksempel er en kombinationslås med flere diske, men på grund af den teknologiske udvikling er det mere relevant at overveje dens digitale efterkommer:

Opgave 16

Hvor mange firecifrede PIN-koder er der?

Løsning: faktisk, for at løse problemet, er viden om reglerne for kombinatorik nok: på måder kan du vælge det første ciffer i PIN-koden Og måder - det andet ciffer i PIN-koden Og på lige så mange måder - tredje Og det samme nummer - det fjerde. I henhold til reglen om multiplikation af kombinationer kan en firecifret pinkode således sammensættes på: måder.

Og bruger nu formlen. Efter betingelsen tilbydes vi et sæt numre, hvorfra numrene udvælges og arrangeres i en bestemt rækkefølge, mens tallene i prøven kan gentages (dvs. ethvert ciffer i det originale sæt kan bruges et vilkårligt antal gange). Ifølge formlen for antallet af placeringer med gentagelser:

Svar: 10000

Hvad kommer til at tænke på her... ...hvis pengeautomaten "spiser" kortet efter det tredje mislykkede forsøg på at indtaste PIN-koden, så er chancerne for at hente det tilfældigt meget små.

Og hvem sagde, at kombinatorik ikke har nogen praktisk betydning? En kognitiv opgave for alle læsere af siden:

Opgave 17

Ifølge statens standard består en bilnummerplade af 3 tal og 3 bogstaver. I dette tilfælde er et tal med tre nuller uacceptabelt, og bogstaver er valgt fra sættet A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X (kun de kyrilliske bogstaver bruges, hvis stavemåde falder sammen med latinske bogstaver).

Hvor mange forskellige nummerplader kan der oprettes for en region?

Ikke så mange af dem i øvrigt. I store regioner er der ikke nok en sådan mængde, og derfor er der for dem flere koder til inskriptionen RUS.

Løsningen og svaret er i slutningen af ​​lektionen. Glem ikke at bruge kombinatorikkens regler ;-) ...Jeg ville gerne vise hvad der var eksklusivt, men det viste sig ikke at være eksklusivt =) Jeg kiggede på Wikipedia - der er beregninger der, dog uden kommentarer. Selvom det sandsynligvis var til uddannelsesformål, var det få mennesker, der løste det.

Vores spændende lektion er nået til ende, og til sidst vil jeg sige, at du ikke har spildt din tid - af den grund, at kombinatoriske formler finder en anden vital praktisk anvendelse: de findes i forskellige problemer i sandsynlighedsteori,
og i problemer, der involverer den klassiske bestemmelse af sandsynlighed– især ofte =)

Tak til jer alle for jeres aktive deltagelse og på gensyn!

Løsninger og svar:

Opgave 2: Løsning: find antallet af alle mulige permutationer af 4 kort:

Når et kort med et nul placeres på 1. pladsen, bliver tallet trecifret, så disse kombinationer bør udelukkes. Lad nul være på 1. pladsen, så kan de resterende 3 cifre i de nederste cifre omarrangeres på forskellige måder.

Bemærk : fordi Da der kun er få kort, er det nemt at liste alle mulighederne her:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Ud fra det foreslåede sæt kan vi således lave:
24 – 6 = 18 firecifrede tal
Svar : 18

Opgave 4: Løsning: på måder kan du vælge 3 kort ud af 36.
Svar : 7140

Opgave 6: Løsning: måder.
En anden løsning : måder du kan vælge to personer fra gruppen og og
2) Det "billigste" sæt indeholder 3 rubelmønter, og det mest "dyre" - 3 ti rubelmønter.

Opgave 17: Løsning: ved hjælp af disse metoder kan du oprette en digital kombination af et bilnummer, mens en af ​​dem (000) skal udelukkes: .
ved hjælp af disse metoder kan du oprette en bogstavkombination af et nummerpladenummer.
I henhold til reglen om at multiplicere kombinationer kan summen laves:
nummerplader
(hver digital kombination kombineres med hver bogstavkombination).
Svar : 1726272

En kombination er et uordnet udvalg af elementer i en endelig mængde med et fast antal og uden gentagelser af elementer. Forskellige kombinationer skal være forskellige i mindst ét ​​element, og rækkefølgen af ​​elementerne er ligegyldig. For eksempel, fra sættet af alle vokaler af latinske bogstaver (AEIOU), kan du lave 10 forskellige kombinationer af 3 bogstaver, der danner følgende uordnede trillinger:

AEI, AEO, AEU, AIO, AIU, AOU, EIO, EIU, EOU, IOU.

Det er interessant at bemærke, at fra de samme fem bogstaver kan du også få 10 forskellige kombinationer, hvis du kombinerer dem 2 bogstaver ad gangen, hvilket gør følgende uordnede par:

AE, AI, AO, AU, EI, EO, EU, IO, IU, OU.

Men hvis du kombinerer de samme latinske vokalbogstaver med 4, får du kun følgende 5 forskellige kombinationer:

AEIO, AEIU, AIOU, EIOU, AEOU.

Generelt, for at angive antallet af kombinationer af n forskellige elementer af m elementer, bruges følgende funktionelle, indeks eller vektor (Appel) symbolik:

Uanset notationsformen kan antallet af kombinationer af n elementer med m elementer bestemmes ved hjælp af følgende multiplikations- og faktorformler:

Det er let at kontrollere, at resultatet af beregninger ved hjælp af disse formler falder sammen med resultaterne af eksemplet diskuteret ovenfor med kombinationer af vokaler i latinske bogstaver. Især med n=5 og m=3 vil beregninger ved hjælp af disse formler give følgende resultat:

I det generelle tilfælde har formler for antallet af kombinationer en kombinatorisk betydning og er gyldige for alle heltalsværdier af n og m, således at n > m > 0. Hvis m > n og m< 0, то число сочетаний равно 0, так как в этом случае основное множество из n элементов вообще не имеет подмножеств мощности m:

Derudover er det nyttigt at huske følgende begrænsende antal kombinationer, som let kan kontrolleres ved direkte substitution i multiplikations- og faktorformlerne:

Det skal også bemærkes, at multiplikationsformlen forbliver gyldig, selv når n er et reelt tal, så længe m stadig er en heltalsværdi. Men så mister resultatet af beregningen, der bruger det, samtidig med at den formelle gyldighed opretholdes, sin kombinatoriske betydning.

IDENTITETER AF KOMBINATIONER

Den praktiske brug af multiplikative og faktorielle formler til at bestemme antallet af kombinationer for vilkårlige værdier af n og m viser sig at være af ringe produktivitet på grund af den eksponentielle vækst af de faktorielle produkter af deres tæller og nævner. Selv for relativt små værdier af n og m overstiger disse produkter ofte evnerne til at repræsentere heltal i moderne computer- og softwaresystemer. Desuden viser deres værdier sig at være væsentligt større end den resulterende værdi af antallet af kombinationer, som kan være relativt lille. For eksempel er antallet af kombinationer af n=10 med m=8 elementer kun 45. Men for at finde denne værdi ved hjælp af faktorformlen skal du først beregne meget større værdier på 10! i tælleren og 8! i nævneren:

For at eliminere tidskrævende operationer til behandling af store mængder, for at bestemme antallet af kombinationer, kan du bruge forskellige gentagelsesrelationer, som direkte følger af multiplikations- og faktorformlerne. Især følger følgende gentagelsesrelation fra multiplikationsformlen, som giver os mulighed for at tage forholdet mellem dets indeks ud over tegnet på antallet af kombinationer:

Endelig giver det at holde sænket skrift konstant følgende gentagelsesrelation, som let opnås fra faktorformlen for antallet af kombinationer:

Efter elementære transformationer kan de tre resulterende gentagelsesrelationer repræsenteres i følgende former:

Hvis vi nu tilføjer venstre og højre side af de første 2 formler og reducerer resultatet med n, får vi en vigtig gentagelsesrelation, som kaldes identiteten af ​​at tilføje kombinationstal:

Additionsidentiteten giver en grundlæggende gentagelsesregel til effektivt at bestemme antallet af kombinationer for store værdier af n og m, da den tillader multiplikationsoperationerne i faktorprodukter at blive erstattet af de enklere additionsoperationer og for mindre antal kombinationer. Især ved at bruge additionsidentiteten er det nu nemt at bestemme antallet af kombinationer af n=10 med m=8 elementer, som blev diskuteret ovenfor, ved at udføre følgende sekvens af tilbagevendende transformationer:

Derudover kan flere nyttige relationer til beregning af endelige summer udledes af additionsidentiteten, især formlen for summering med sænket skrift, som har følgende form:

Denne relation opnås, hvis vi i tilføjelsesidentiteten udvider gentagelsen langs termen med den største hævet skrift, mens dens sænkede skrift er større end 0. Følgende numeriske eksempel illustrerer denne proces med tilbagevendende transformationer:

Subscript summationsformlen bruges ofte til at beregne summen af ​​potenser af naturlige tal. Især, hvis man antager m=1, ved hjælp af denne formel er det let at finde summen af ​​de første n tal i den naturlige række:

En anden nyttig version af summeringsformlen kan opnås ved at udvide gentagelsen af ​​tilføjelsesidentiteten langs udtrykket med det mindste hævet. Følgende numeriske eksempel illustrerer denne version af tilbagevendende transformationer:

I det generelle tilfælde, som et resultat af sådanne transformationer, opnås summen af ​​antallet af kombinationer, hvis begge indekser adskiller sig med én fra naboleddene, og forskellen i indeksene forbliver konstant (i det betragtede eksempel er det også lig med én). Således får vi følgende summeringsformel for begge indekser af kombinationstal:

Ud over de gentagelsesrelationer og summeringsformler, der er diskuteret ovenfor, er der opnået mange andre nyttige identiteter for kombinationstal i kombinatorisk analyse. Den vigtigste blandt dem er symmetri identitet, som ser sådan ud:

Gyldigheden af ​​symmetriidentiteten kan verificeres i følgende eksempel ved at sammenligne antallet af kombinationer af 5 elementer med 2 og med (5 2) = 3:

Symmetriidentiteten har en indlysende kombinatorisk betydning, da den ved at bestemme antallet af muligheder for at vælge m elementer fra n elementer samtidig etablerer antallet af kombinationer fra de resterende (nm) umarkerede elementer. Den angivne symmetri opnås straks ved at erstatte m med (nm) i faktorformlen for antallet af kombinationer:

Tal og kombinationsidentiteter er meget brugt i forskellige områder af moderne beregningsmatematik. Men deres mest populære applikationer er relateret til Newtons binomiale og Pascals trekant.

BINOMIALTEOREM

For at udføre forskellige matematiske transformationer og beregninger er det vigtigt at kunne repræsentere enhver naturlig potens af et algebraisk binomium (binomial) i form af et polynomium. For små potenser kan det ønskede polynomium let opnås ved direkte at multiplicere binomialer. Især følgende formler for kvadratet og terningen af ​​summen af ​​to led er velkendte fra forløbet af elementær matematik:

I det generelle tilfælde, for en vilkårlig grad n af et binomium, er den nødvendige repræsentation i form af et polynomium leveret af Newtons binomiale sætning, som erklærer følgende lighed for at være sand:

Denne lighed kaldes normalt Newtons binomiale. Polynomiet på dens højre side er dannet af summen af ​​produkterne af n led X og Y af binomiet på venstre side, og koefficienterne foran dem kaldes binomial og er lig med antallet af kombinationer med indekser, som er hentet fra deres magt. I betragtning af den særlige popularitet af Newtons binomiale formel i kombinatorisk analyse, betragtes udtrykkene binomial koefficient og antal kombinationer generelt som synonyme.

Det er klart, at kvadrat- og terningssumformlerne er specialtilfælde af binomialsætningen for henholdsvis n=2 og n=3. For at håndtere højere grader (n>3) skal Newtons binomiale formel bruges. Dens anvendelse for en fjerdegrads binomial (n=4) er demonstreret af følgende eksempel:

Det skal bemærkes, at binomialformlen var kendt allerede før Newton til middelalderlige matematikere i det arabiske Øst- og Vesteuropa. Derfor er dets almindeligt accepterede navn ikke historisk retfærdigt. Newtons fortjeneste er, at han generaliserede denne formel til tilfældet med en vilkårlig reel eksponent r, som kan tage alle positive eller negative rationelle og irrationelle værdier. I det generelle tilfælde har en sådan Newton binomial formel en uendelig sum på højre side og er normalt skrevet som følger:

For eksempel, med en positiv brøkværdi af eksponenten r=1/2, under hensyntagen til værdierne af de binomiale koefficienter, opnås følgende udvidelse:

I det generelle tilfælde er Newtons binomiale formel for enhver eksponent en speciel version af Maclaurins formel, som giver udvidelsen af ​​en vilkårlig funktion til en potensrække. Newton viste det for |z|< 1 этот ряд сходится, и сумма в правой части становится конечной. При любой натуральной степени r = n в правой части также получается конечная сумма из (n+1) первых слагаемых, так как все C(n, k>n) = 0 . Hvis vi nu sætter Z=X/Y og multiplicerer venstre og højre side med Yn, får vi en version af Newton binomialformlen diskuteret ovenfor.

På trods af sin universalitet bevarer binomialsætningen kun sin kombinatoriske betydning for ikke-negative heltalspotenser af binomialet. I dette tilfælde kan det bruges til at bevise flere nyttige identiteter for binomiale koefficienter. Især formler til at summere antallet af kombinationer efter sænket skrift og efter begge indekser blev diskuteret ovenfor. Den manglende superscript summationsidentitet kan let opnås fra Newtons binomiale formel ved at sætte X = Y = 1 eller Z = 1 i den:

En anden nyttig identitet etablerer ligheden mellem summen af ​​binomiale koefficienter med lige og ulige tal. Det fås umiddelbart fra Newtons binomiale formel, hvis X = 1 og Y = 1 eller Z = 1:

Endelig får vi fra begge betragtede identiteter identiteten af ​​summen af ​​binomiale koefficienter med kun lige eller kun ulige tal:

Baseret på de betragtede identiteter og den tilbagevendende regel om at fjerne indeks fra under tegnet af antallet af kombinationer, kan en række interessante sammenhænge opnås. For eksempel, hvis vi i den hævede summeringsformel erstatter n overalt med (n1) og fjerner indeksene i hvert led, får vi følgende relation:

Ved at bruge en lignende teknik i formlen for summen af ​​binomiale koefficienter med lige og ulige tal, er det muligt at bevise gyldigheden af ​​for eksempel følgende relation:

En anden nyttig identitet giver dig mulighed for nemt at beregne summen af ​​produkterne af symmetrisk placerede binomiale koefficienter af to binomialer af vilkårlige grader n og k ved hjælp af følgende Cauchy-formel:

Gyldigheden af ​​denne formel følger af den nødvendige lighed af koefficienter for enhver grad m af variablen Z på venstre og højre side af følgende identiske relation:

I det specielle tilfælde, når n=k=m, under hensyntagen til symmetriidentiteten, opnås en mere populær formel for summen af ​​kvadrater af binomiale koefficienter:

Mange andre nyttige identiteter for binomiale koefficienter kan findes i den omfattende litteratur om kombinatorisk analyse. Men deres mest berømte praktiske anvendelse er relateret til Pascals trekant.

PASCALS TREKANT

Pascals aritmetiske trekant danner en uendelig numerisk tabel, der består af binomiale koefficienter. Dens linjer er ordnet efter potenser af binomialer fra top til bund. I hver linje er de binomiale koefficienter arrangeret i stigende rækkefølge af overskriften af ​​de tilsvarende kombinationstal fra venstre mod højre. Pascals trekant er normalt skrevet enten i ligebenet eller rektangulær form.

Mere visuelt og almindeligt er det ligebenede format, hvor de binomiale koefficienter, forskudt, danner en uendelig ligebenet trekant. Dets indledende fragment for binomialer op til 4. grad (n=4) har følgende form:

Generelt giver Pascals ligebenede trekant en praktisk geometrisk regel til bestemmelse af binomiale koefficienter, som er baseret på identiteten af ​​addition og symmetrien af ​​talkombinationer. Især ifølge additionsidentiteten er enhver binomial koefficient summen af ​​de to koefficienter i den foregående række nærmest den. Ifølge symmetriidentiteten er Pascals ligebenede trekant symmetrisk i forhold til dens halveringslinje. Således er hver af dens linjer et numerisk palindrom af binomiale koefficienter. De angivne algebraiske og geometriske træk gør det muligt nemt at udvide Pascals ligebenede trekant og konsekvent finde værdierne af binomiale koefficienter for vilkårlige potenser.

Men for at studere forskellige egenskaber ved Pascals trekant er det mere bekvemt at bruge det formelt mere strenge rektangulære format. I dette format er det specificeret af en lavere trekantet matrix af binomiale koefficienter, hvor de danner en uendelig retvinklet trekant. Det indledende fragment af Pascals retvinklede trekant for binomialer op til 9. grad (n=9) har følgende form:

Geometrisk opnås en sådan rektangulær tabel ved vandret at deformere Pascals ligebenede trekant. Som et resultat bliver talrækken parallelt med sidesiderne af Pascals ligebenede trekant til vertikaler og diagonaler af Pascals retvinklede trekant, og de vandrette linjer i begge trekanter falder sammen. Samtidig forbliver reglerne for addition og symmetri for binomiale koefficienter gyldige, selvom Pascals retvinklede trekant mister den visuelle symmetri, der er karakteristisk for sin ligebenede modstykke. For at kompensere for dette bliver det mere bekvemt formelt at analysere de forskellige numeriske egenskaber af de binomiale koefficienter for horisontalerne, vertikalerne og diagonalerne i Pascals retvinklede trekant.

Når man starter analysen af ​​horisontalerne i Pascals retvinklede trekant, er det let at bemærke, at summen af ​​elementerne i enhver række med nummer n er lig med 2n i overensstemmelse med formlen for at summere binomialer ved hævet skrift. Det følger af dette, at summen af ​​elementerne over enhver af de vandrette linjer med nummer n er lig med (2 n 1). Dette resultat bliver ret indlysende, hvis værdien af ​​summen af ​​elementerne i hver horisontal er skrevet i det binære talsystem. For eksempel, for n=4 kan denne tilføjelse skrives som følger:

Her er et par mere interessante egenskaber ved horisontaler, der også er relateret til to potenser. Det viser sig, at hvis det vandrette tal er en potens af to (n=2 k), så er alle dets indre elementer (undtagen de ydre) lige tal. Tværtimod vil alle tal på en vandret linje være ulige, hvis dens tal er én mindre end en potens af to (n=2 k 1). Gyldigheden af ​​disse egenskaber kan verificeres ved at kontrollere pariteten af ​​de interne binomiale koefficienter, for eksempel i horisontalerne n=4 og n=3 eller n=8 og n=7.

Lad nu rækkenummeret i Pascals retvinklede trekant være et primtal p. Så er alle dens interne binomiale koefficienter delelige med p. Denne egenskab er let at kontrollere for små værdier af prime konturtal. For eksempel er alle de interne binomiale koefficienter for den femte vandret (5, 10 og 5) åbenlyst delelige med 5. For at bevise dette resultat for et hvilket som helst vandret primtal p, skal du skrive multiplikationsformlen for dens binomiale koefficienter som følger:

Da p er et primtal og derfor ikke er deleligt med m!, skal produktet af de resterende faktorer i tælleren i denne formel være deleligt med m! for at garantere en heltalsværdi af den binomiale koefficient. Det følger heraf, at forholdet i firkantede parenteser er et naturligt tal N, og det ønskede resultat bliver indlysende:

Ved at bruge dette resultat kan vi fastslå, at tallene for alle vandrette linjer i Pascals trekant, hvis indre elementer er delelige med et givet primtal p, er potenser af p, det vil sige, at de har formen n=p k. Især hvis p=3, så deler primtallet p ikke kun alle interne elementer i række 3, som fastsat ovenfor, men for eksempel den 9. vandret (9, 36, 84 og 126). På den anden side er det i Pascals trekant umuligt at finde en vandret linje, hvis indre elementer alle er delelige med et sammensat tal. Ellers skal antallet af en sådan vandret linje samtidig være en potens af primdivisorer af det sammensatte tal, som alle dets interne elementer er divideret med, men dette er umuligt af indlysende årsager.

De overvejede overvejelser giver os mulighed for at formulere følgende generelle kriterium for deleligheden af ​​de horisontale elementer i Pascals trekant. Den største fælles divisor (GCD) af alle indre elementer i enhver vandret linje i Pascals trekant med nummer n er lig med primtallet p, hvis n=pk eller 1 i alle andre tilfælde:

GCD(Cmn) = ( ) for enhver 0< m < n .

Som konklusion af analysen af ​​horisontaler er det værd at overveje en mere interessant egenskab, som rækken af ​​binomiale koefficienter, der danner dem, har. Hvis binomialkoefficienterne for en vandret linje med nummer n multipliceres med på hinanden følgende potenser af tallet 10, og alle disse produkter adderes, er resultatet 11 n. Den formelle begrundelse for dette resultat er substitutionen af ​​værdierne X=10 og Y=1 (eller Z=1) i Newtons binomiale formel. Følgende numeriske eksempel illustrerer opfyldelsen af ​​denne egenskab for n=5:

Analysen af ​​egenskaberne ved lodret i Pascals retvinklede trekant kan begynde med studiet af de individuelle karakteristika for deres bestanddele. Formelt er hver lodret m dannet af følgende uendelige sekvens af binomiale koefficienter med en konstant hævet skrift (m) og en stigning af sænket skrift:

Det er klart, når m=0 opnås en sekvens af ener, og når m=1 dannes en række naturlige tal. Når m=2 er lodret opbygget af trekanttal. Hvert trekantet tal kan afbildes på et plan i form af en ligesidet trekant, som er fyldt med vilkårlige objekter (kerner) arrangeret i et skakternet mønster. I dette tilfælde bestemmer værdien af ​​hvert trekantet tal Tk antallet af repræsenterende kerner, og indekset viser, hvor mange rækker af kerner der er nødvendige for at repræsentere det. For eksempel repræsenterer 4 indledende trekantede tal følgende konfigurationer af det tilsvarende antal nukleare "@"-symboler:

Det skal bemærkes, at man på lignende måde kan tage kvadrattal S k i betragtning, som opnås ved at kvadrere naturlige tal og generelt polygonale tal dannet ved regelmæssigt at udfylde regulære polygoner. Især de 4 indledende kvadrattal kan repræsenteres som følger:

For at vende tilbage til analysen af ​​lodret i Pascals trekant, kan vi bemærke, at den næste lodrette ved m=3 er fyldt med tetraedriske (pyramideformede) tal. Hvert sådant tal Pk angiver antallet af kerner, der kan arrangeres i form af et tetraeder, og indekset bestemmer, hvor mange vandrette trekantede lag af rækker af kerner, der kræves for at afbilde det i tredimensionelt rum. I dette tilfælde skal alle vandrette lag repræsenteres som successive trekanttal. Elementerne i de følgende vertikaler i Pascals trekant for m>3 danner serier af hypertetraedale tal, som ikke har en visuel geometrisk fortolkning på planet eller i tredimensionelt rum, men formelt svarer til multidimensionelle analoger af trekantede og tetraedale tal.

Selvom den lodrette talrække af Pascals trekant har de betragtede individuelle formede træk, er det for dem muligt at beregne delsummerne af værdierne af de indledende elementer på samme måde ved at bruge formlen til at summere antallet af kombinationer med sænket skrift . I Pascals trekant har denne formel følgende geometriske fortolkning. Summen af ​​værdierne af de n øvre binomiale koefficienter for enhver lodret er lig med værdien af ​​elementet i den næste lodrette, som er placeret en linje under. Dette resultat er også i overensstemmelse med den geometriske struktur af trekantede, tetraedriske og hypertetrahedale tal, da repræsentationen af ​​hvert sådant tal består af kernelag, der repræsenterer tal af lavere orden. Især kan det n'te trekanttal Tn opnås ved at summere alle de naturlige tal, der repræsenterer dets lineære lag:

På samme måde er det ikke svært at finde det tetraedriske tal Pn ved at beregne følgende sum af de første n trekantede tal, der udgør dets vandrette kernelag:

Ud over de vandrette og lodrette i Pascals retvinklede trekant kan man spore diagonale rækker af elementer, hvis undersøgelse af egenskaberne også er af en vis interesse. I dette tilfælde skelnes der normalt mellem faldende og stigende diagonaler. De nedadgående diagonaler er parallelle med hypotenusen i Pascals retvinklede trekant. De er dannet af serier af binomiale koefficienter med en stigning af begge indekser. På grund af identiteten af ​​symmetri falder de faldende diagonaler sammen i værdierne af deres elementer med de tilsvarende lodrette rækker i Pascals trekant og gentager derfor alle deres egenskaber diskuteret ovenfor. Den angivne korrespondance kan spores ved sammenfaldet af værdierne af elementerne i den faldende diagonal og den lodrette med et hvilket som helst tal n, hvis lodrette nuller ikke tages i betragtning:

Stigende diagonaler danner talrækker geometrisk vinkelret på hypotenusen i Pascals retvinklede trekant. De er fyldt med binomiale koefficienter med en formindskelse af den nedre og en stigning af den hævede skrift. Især de 7 øverste stigende diagonaler danner følgende numeriske sekvens uden at tage hensyn til de efterfølgende nuller:

Generelt indeholder det stigende diagonale tal n følgende binomiale koefficienter, summen af ​​indeksene for hver af dem er lig med (n1):

I kraft af additionsidentiteten for kombinationstal er hvert diagonalelement lig med summen af ​​to elementer, der svarer i indekser fra de to foregående stigende diagonaler. Dette gør det muligt for hver efterfølgende stigende diagonal at blive konstrueret ved parvis summering af tilstødende vandrette elementer fra de to foregående diagonaler, hvorved Pascals trekant udvides uendeligt langs diagonalen. Følgende fragment af Pascals trekant illustrerer konstruktionen af ​​en stigende diagonal nummer 8 langs diagonaler nummereret 6 og 7:

Med denne konstruktionsmetode vil summen af ​​elementerne i enhver stigende diagonal, startende fra den 3., være lig med summen af ​​elementerne i de to foregående stigende diagonaler, og de første 2 diagonaler består kun af ét element, værdien hvoraf er 1. Resultaterne af de tilsvarende beregninger danner følgende numeriske serier, ifølge hvilke du kan kontrollere gyldigheden af ​​den betragtede egenskab for de stigende diagonaler i Pascals retvinklede trekant:

Ved at analysere disse tal kan du se, at ifølge en lignende lov dannes den velkendte sekvens af Fibonacci-tal, hvor hvert næste tal er lig med summen af ​​de to foregående, og de to første tal er lig med 1:

Således kan vi drage følgende vigtige konklusion: de diagonale summer af elementerne i Pascals trekant udgør Fibonacci-sekvensen. Denne egenskab giver os mulighed for at etablere et andet interessant træk ved Pascals trekant. Udvider man Fibonacci-formlen rekursivt, er det let at bevise, at summen af ​​de første n Fibonacci-tal er lig med (F n+2 1).

Derfor er summen af ​​de binomiale koefficienter, der fylder de øverste n diagonaler, også lig med (F n+2 1). Det følger heraf, at summen af ​​de første n diagonaler i Pascals trekant er 1 mindre end summen af ​​de binomiale koefficienter, der står på dens diagonal med tal (n+2).

Afslutningsvis skal det bemærkes, at de betragtede egenskaber ved de horisontale, vertikale og diagonaler i Pascals trekant ikke udtømmer det enorme udvalg af muligheder, der forbinder forskellige matematiske aspekter, som ved første øjekast intet har til fælles. Sådanne usædvanlige egenskaber giver os mulighed for at betragte Pascals trekant som et af de mest perfekte numeriske systemer, hvis evner ikke kan oplistes og er svære at overvurdere.

Algoritmen til at beregne antallet af kombinationer ved hjælp af Pascals trekant er præsenteret nedenfor:

Privat funktion SochTT (ByVal n Som heltal, ByVal k Som heltal) As Double Dim i As Integer Dim j As Integer Dim TT () As Double ReDim TT (n, k) For i = 0 Til n TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 Næste For i = 2 Til n For j = 1 Til i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) Næste Næste SochTT = TT (n, k) Slutfunktion

Hvis du skal beregne antallet af kombinationer mange gange, så kan det være mere praktisk at konstruere Pascals trekant én gang, og derefter modtage data fra arrayet.

Dim TT () As Double Private Sub CreateTT () ReDim TT (0, 0) BuildTT 0, 0 End Sub Private Function SochTT (ByVal n As Integer, ByVal k As Integer) As Double If n > Ubound (TT) Then BuildTT Ubound (TT) + 1, n SochTT = TT (n, k) Slutfunktion Privat Sub TerminateTT () ReDim TT (0, 0) End Sub Private Sub BuildTT (ByVal start As Integer, ByVal end As Integer) Dim i As Integer Dim j Som heltal ReDim Bevar TT (slut, slut) For i = start Til slut TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 Næste Hvis slut< 2 Then Exit Sub If start < 2 Then start = 2 For i = start To end For j = 1 To i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) Next Next End Sub

Først skal du kalde CreateTT-proceduren. Du kan derefter få antallet af kombinationer ved hjælp af SochTT-funktionen. Når du ikke længere har brug for trekanten, skal du kalde TerminateTT-proceduren. I ovenstående kode, når du kalder SochTT-funktionen, hvis trekanten endnu ikke er fuldført til det krævede niveau, afsluttes den ved hjælp af BuildTT-proceduren. Funktionen henter derefter det ønskede element i TT-arrayet og returnerer det.

Dim X () Som heltal Dim tæller () Som heltal Dim K Som heltal Dim N Som heltal Offentlig Sub Soch() Dim i Som heltal N = CInt(Indtastningsboks("Indtast N")) K = CInt(Indtastningsboks("Enter K ")) K = K + 1 ReDim X(N) For i = 1 Til N X(i) = i Næste txtOut.Text = "" ReDim Counter(K) Counter(0) = 1 SochGenerate 1 End Sub Private Sub SochGenerate( ByVal c Som heltal) Dim i Som heltal Dim j Som heltal Dim n1 Som heltal Dim ud() Som heltal Dim X1() Som heltal Hvis c = K Så ReDim ud(K) X1 = X For i = 1 Til K - 1 n1 = 0 For j = 1 Til N Hvis X1(j)<>0 Så er n1 = n1 + 1 Hvis n1 = Tæller(i) Så Ud(i) = X1(j) X1(j) = 0 Afslut For End If Next txtOut.Text = txtOut.Text & CStr(Out(i)) Næste txtOut.Text = txtOut.Text & vbCrLf Else For Counter(c) = Counter(c - 1) To N - c + 1 SochGenerate c + 1 Next End If End Sub

ANVISNING AF KOMBINATIONER AF NATURLIGE TAL

For at løse mange praktiske problemer er det nødvendigt at liste alle kombinationer af fast kardinalitet, der kan opnås fra elementerne i et givet endeligt sæt, og ikke kun bestemme deres antal. Under hensyntagen til den altid eksisterende mulighed for heltalsnummerering af elementerne i enhver endelig mængde, er det i de fleste tilfælde tilladt at begrænse os til brugen af ​​algoritmer til optælling af kombinationer af naturlige tal. Den mest naturlige og enkle af dem er algoritmen til at angive kombinationer af naturlige tal i leksigrafisk rækkefølge.

For formelt at beskrive denne algoritme, er det praktisk at antage, at hovedsættet, hvoraf alle kombinationer af m elementer skal være opført, danner på hinanden følgende naturlige tal fra 1 til n. Så enhver kombination af m

Som et resultat af bestilling viser værdien i hver position af en sådan vektor af kombinationer sig naturligt at være begrænset i værdi fra oven og neden som følger:

Den leksigrafiske algoritme genererer sekventielt sådanne kombinationsvektorer, begyndende med den leksigrafisk mindste vektor, hvor alle positioner indeholder følgende mindst mulige værdier af elementer svarende til deres indekser:

Hver successiv kombinationsvektor dannes ud fra den aktuelle efter at have scannet dens elementer fra venstre mod højre for at finde det element, der er længst til højre, som endnu ikke har nået sin grænseværdi:

Værdien af ​​et sådant element bør øges med 1. Hvert element til højre for det bør tildeles den mindst mulige værdi, som er 1 større end dets nabo til venstre. Efter disse ændringer vil den næste vektor af kombinationer have følgende grundstofsammensætning:

Således vil den næste kombinationsvektor være leksigrafisk større end den forrige, da værdierne af deres indledende (j1) elementer er lige store, og værdien af ​​elementet i position j er 1 større end værdien af ​​det forrige . Det specificerede forhold mellem stigende leksigrafisk orden er garanteret opfyldt ved alle iterationer af algoritmen. Resultatet er en stigende leksigrafisk sekvens, som fuldendes af den leksigrafisk største kombinationsvektor, hvor elementerne i alle positioner har følgende maksimumværdier:

Den betragtede leksigrafiske algoritme er illustreret ved det følgende eksempel, hvor det er nødvendigt at liste i stigende leksigrafisk rækkefølge alle 15 kombinationer af n=6 første naturlige tal med m=4 tal, det vil sige alle mulige 4-elements delmængder af hovedgenereringen sæt (1, 2, 3, 4, 5, 6) fra 6 elementer. Beregningsresultaterne er vist i følgende tabel:

I dette eksempel er de største tilladte værdier af tal i positionerne af kombinationsvektorerne henholdsvis 3, 4, 5 og 6. For at lette fortolkningen af ​​resultaterne, i hver kombinationsvektor, er elementet længst til højre, som har endnu ikke nået sin maksimale værdi, er understreget. Numeriske indekser for kombinationsvektorer bestemmer deres tal i leksigrafisk rækkefølge. I det generelle tilfælde kan det leksigrafiske tal N for enhver kombination af n elementer med m beregnes ved hjælp af følgende formel, hvor af kosmetiske årsager Appel-symbolik bruges til at angive antallet af kombinationer:

Især vil følgende beregninger ved hjælp af denne formel for kombinationstallet (1, 3, 4, 6) af n=6 elementer af m=4 i leksigrafisk rækkefølge give resultatet N=8, som svarer til eksemplet diskuteret ovenfor:

I det generelle tilfælde, ved at bruge identiteten for summen af ​​antallet af kombinationer for begge indeks, er det muligt at vise, at tallet på den leksigrafisk mindste kombination (1, ... i, ... m), når det beregnes ved hjælp af denne formel vil altid være lig med 1:

Det er også indlysende, at antallet af den leksigrafisk største kombination (m, … nm+i, … n), når det beregnes ved hjælp af denne formel, vil være lig med antallet af kombinationer af n elementer med m:

Formlen til beregning af leksigrafiske kombinationstal kan bruges til at løse det omvendte problem, hvor du skal bestemme kombinationsvektoren ved dens nummer i leksigrafisk rækkefølge. For at løse et sådant omvendt problem skal det skrives i form af en ligning, hvor alle de ukendte værdier af elementerne i vektoren af ​​den ønskede kombination (C 1, ... C i, ... C m ) er koncentreret i antallet af kombinationer af dens højre side, og den kendte forskel L af antallet af kombinationer er skrevet på venstre side af n elementer hver m og antallet af den nødvendige kombination N:

Løsningen til denne ligning er tilvejebragt af følgende "grådige" algoritme, under hvis iterationer værdierne af elementerne i vektoren i den ønskede kombination vælges sekventielt. Ved den indledende iteration vælges den mindst mulige (inden for dens begrænsninger) værdi af C 1, hvor det første led på højre side vil have en maksimal værdi, der ikke overstiger L:

Nu skal venstre side af L reduceres med det første antal kombinationer på højre side med den valgte værdi af C 1, og på samme måde bestemme værdien af ​​C 2 ved den anden iteration:

På samme måde skal alle efterfølgende iterationer udføres for at vælge værdierne af alle andre elementer Ci i den ønskede kombination, op til det sidste element C m:

Af indlysende grunde kan værdien af ​​det sidste element C m bestemmes ud fra ligheden mellem dets antal kombinationer og restværdien af ​​venstre side af L:

Det skal bemærkes, at værdien af ​​det sidste element i kombinationen C m kan findes endnu mere enkelt uden at opregne dets mulige værdier:

Implementeringen af ​​iterationer af den betragtede algoritme er illustreret af følgende eksempel, hvor det er nødvendigt at bestemme kombinationer med tallet N=8 i leksigrafisk rækkefølge, hvis n=6 og m=4:

Den algoritmiske evne til at bestemme en kombination med et givet tal i leksigrafisk rækkefølge kan bruges i forskellige retninger. Især når du opfører kombinationer i leksigrafisk rækkefølge, er det nødvendigt at sikre en tilbagevenden til enhver kombination, der blev opnået tidligere, det er nok kun at kende dens nummer. Derudover bliver det muligt at generere kombinationer i enhver rækkefølge, som er reguleret af en vilkårligt givet rækkefølge af deres leksigrafiske numre.

Nu præsenterer vi en algoritme til at generere kombinationer i leksikografisk rækkefølge:

2 for i:= 1 til k gør A[i] := i;

5 begynde at skrive(A, …, A[k]);

6 hvis A[k] = n så p:= p 1 ellers p:= k;

8 for i:= k ned til p do A[i] := A[p] + i p + 1

KOMBINATIONER MED GENTAGENDE ELEMENTER

I modsætning til en klassisk kombination, hvor alle elementer er forskellige, danner en kombination med gentagelser et uordnet udvalg af elementer i en endelig mængde, hvor ethvert element kan optræde uendeligt ofte og ikke nødvendigvis er til stede i en enkelt kopi. I dette tilfælde er antallet af gentagelser af elementer normalt kun begrænset af længden af ​​kombinationen, og kombinationer, der adskiller sig i mindst ét ​​element, betragtes som forskellige. For eksempel, ved at vælge 4 valgfrit forskellige tal fra sættet 1, 2 og 3, kan du oprette følgende 15 kombinationer med gentagelser:

1111 1112 1113 1122 1123 1133 1222 1223 1233 1333 2222 2223 2233 2333 3333.

Generelt kan kombinationer med gentagelser dannes ved at vælge n elementer af vilkårlige typer. De kan dog altid forbindes med på hinanden følgende naturlige tal fra 1 til n. Så kan enhver kombination af m valgfrit forskellige tal i dette område skrives i vektorform, og arrangere dem i ikke-faldende rækkefølge fra venstre mod højre:

Naturligvis, med denne form for notation, kan alle tilstødende elementer være ens på grund af muligheden for ubegrænsede gentagelser. Hver kombinationsvektor med gentagelser af n elementer med m kan dog associeres med en kombinationsvektor af (n+m−1) elementer med m, som er konstrueret som følger:

Det er klart, at for alle værdier af elementerne i vektoren f, er elementerne i vektoren C garanteret at være forskellige og strengt ordnet i stigende rækkefølge af deres værdier fra området fra 1 til (n+m1) :

Tilstedeværelsen af ​​en en-til-en overensstemmelse mellem elementerne i kombinationsvektorerne f og C giver os mulighed for at foreslå følgende enkle metode til systematisk at opliste kombinationer med gentagelser af n elementer med m. Det er kun nødvendigt at liste, for eksempel i leksigrafisk rækkefølge, alle C-kombinationer af (n+m1) elementer af m, sekventielt transformere elementerne af hver af dem til de tilsvarende elementer af kombinationer med gentagelser f ved hjælp af følgende formel:

Som et resultat dannes der en sekvens af vektorer af kombinationer med gentagelser af elementer, som er arrangeret i den rækkefølge, der genereres ved at liste de tilsvarende kombinationer uden gentagelser af elementer. Især for at opnå ovenstående rækkefølge af kombinationer af 3 cifre 1, 2 og 3 med gentagelser af 4 cifre, er det nødvendigt at liste alle kombinationer i leksigrafisk rækkefølge uden gentagelser af 6 cifre 1,2,3,4, 5 og 6 er hver 4 cifre, der konverterer dem som angivet. Følgende eksempel viser en sådan konvertering af kombinationen (1,3,4,6) med det leksikografiske nummer 8:

Den betragtede en-til-en-korrespondance mellem kombinationer med og uden gentagelser af elementer betyder, at deres sæt er lige kraftfulde. Derfor, i det generelle tilfælde, er antallet af kombinationer med gentagelser af n elementer med m lig med antallet af kombinationer uden gentagelser af (n+m1) elementer med m. Ved at bruge den samme symbolik til at betegne antallet af kombinationer med gentagelser f og uden gentagelser C, kan denne lighed skrives som følger:

Det er let at kontrollere, at for det ovenfor betragtede eksempel, hvor n=3 og m=4, vil antallet af gentagelseskombinationer være lig med 15, hvilket falder sammen med resultatet af deres direkte notering:

Det skal bemærkes, at i modsætning til den klassiske version er værdierne af kombinationsparametrene med gentagelser n og m ikke direkte relateret til hinanden, derfor f(n,m)>0 for enhver kombination af deres positive værdier. De tilsvarende randbetingelser bestemmes ud fra ligheden mellem værdierne af (n+m1) og (n1) eller (n+m1) og m:

Det burde også være ret indlysende, at hvis m er lig med 1, så er ingen gentagelser af elementer mulige, og derfor vil den følgende lighed være sand for enhver positiv værdi af n>0:

For antallet af kombinationer med gentagelser for eventuelle positive værdier af n og m, er følgende gentagelsesrelation gyldig, som svarer til additionsidentiteten for antal kombinationer uden gentagelser af elementer:

Faktisk bliver det til den angivne tilføjelsesidentitet ved formel substitution af de tilsvarende antal kombinationer uden gentagelser til dens venstre og højre side:

Den betragtede gentagelsesrelation kan bruges til effektivt at bestemme antallet af kombinationer med gentagelser, når det er vigtigt at eliminere de arbejdskrævende operationer ved beregning af faktorielle produkter og erstatte dem med enklere additionsoperationer. I dette tilfælde, for at beregne værdien af ​​f(n,m), behøver du kun at anvende denne gentagelsesrelation, indtil du får summen af ​​led på formen f(1,m) og f(i,1), hvor i tager værdier i området fra n til 1. Per definition af mængden er sådanne udtryk lig med henholdsvis 1 og i. Det følgende eksempel illustrerer brugen af ​​denne transformationsteknik i tilfælde af n=3 og m=4:

LISTE BINÆRE KOMBINATIONER

Ved implementering af kombinationer i hardware eller programmering i assemblersprog er det vigtigt at kunne behandle kombinationsposter i binært format. I dette tilfælde skal enhver kombination af n elementer af m angives i form af et n-bit binært tal (B n,...B j,...B 1), hvor m enhedscifre angiver elementerne i kombination, og de resterende (nm) cifre har nul værdier. Det er klart, at med denne form for notation skal forskellige kombinationer være forskellige i arrangementet af 1'erens cifre, og der er kun C(n,m) måder at arrangere m ener eller (nm) nuller i et n-bit binært sæt. For eksempel viser følgende tabel alle 6 sådanne binære kombinationer, som giver 4-bit binære tal for alle kombinationer af 4 elementer i et vilkårligt sæt (E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) med 2:

I det generelle tilfælde kommer opgaven med at opregne sådanne binære kombinationer ned til en systematisk søgning af alle n-bit binære sæt med forskellige arrangementer af m en og (nm) nul bit. I den enkleste form implementeres en sådan søgning ved forskellige metoder til at transponere tilstødende bits med et skift (transpositive-shift-algoritmer). Disse er iterative algoritmer, og deres navne afspejler arten af ​​de operationer, der udføres på hvert trin. Iterative procedurer for transpositive-shift-algoritmer danner sekvenser af binære kombinationer, der begynder med et binært sæt, hvor alle ener er koncentreret i lavordenscifrene (til højre), og slutter, når alle 1'erne er i højordenscifrene ( til venstre):

Mens de matcher i indledende og endelige kombinationer, adskiller disse sekvenser sig i den rækkefølge, som mellemliggende binære sæt er opført. Men i alle tilfælde dannes hver efterfølgende binær kombination fra den foregående som et resultat af udførelse af de tilsvarende transponerings- og forskydningsoperationer. Samtidig adskiller forskellige transpositive-shift-algoritmer sig i den måde, de vælger et par bit til transponering og en gruppe af bit til at skifte. Denne specificitet er diskuteret nedenfor for transponeringsalgoritmer med venstre og højre skift.

I transponeringsalgoritmen med en venstreforskydning opnås ved hvert trin den næste binære kombination fra den nuværende ved at erstatte det længst til venstre cifrepar 01 med 10 (transposition) og flytte gruppen af ​​førende enhedscifre, hvis nogen, tæt på parret 10 opnået efter transponeringen (forskydningen). Hvis der i dette tilfælde ikke er nogen enheder i de førende cifre i den aktuelle binære kombination, udføres skiftet ikke, selv når den førende enhed opnås efter transponering i dette trin. Skiftet udføres heller ikke, når der ikke er nuller i de mest signifikante bits før parret 10 opnået efter transpositionen. De overvejede handlinger er illustreret ved følgende eksempel på udførelse af to successive iterationer af denne algoritme, hvor ved én iteration (15) kun udføres transposition (T"), og ved den anden iteration (16) suppleres transpositionen med et skift ( T"+S"):

I højreskifte-transponeringsalgoritmen udføres konceptuelt lignende trin ved hvert trin. Kun transponering sikrer, at bits længst til højre af 01 erstattes af 10 (i stedet for de længst til venstre), og så flyttes alle dem til højre for den til de mindst signifikante bits. Som tidligere udføres skiftet kun, hvis der er enheder, der kan forskydes til højre. De overvejede handlinger er illustreret ved det følgende eksempel på udførelse af to successive iterationer af denne algoritme, hvor ved én iteration (3) kun udføres transponering (T"), og ved den anden iteration (4) er transpositionen suppleret med et skift ( T"+S"):

Det skal bemærkes, at iterationerne af begge algoritmer kan skrives i additiv form, hvis binære kombinationer fortolkes som heltal i talsystemet med basis 2. Især for transpositionsalgoritmen med et højreskift, hver næste binære kombination (B" n) ,...B" j , ...B" 1), kan altid opnås fra den aktuelle kombination (B n,...B j,...B 1) ved at udføre operationerne med at lægge heltal sammen ved at bruge følgende additiv formel:

I denne additiv formel angiver eksponenterne for potenser af toer f og t henholdsvis antallet af lavordens nulcifre i den aktuelle binære kombination og antallet af enere i rækken til venstre for dem. For eksempel for den 4. binære kombination (001110) af n=6 cifre f =1 og t =3. Derfor vil beregning af den næste binære kombination ved hjælp af additivformlen ved iteration 5 give følgende resultat, svarende til at udføre transponerings- og skiftoperationerne:

For en sammenlignende analyse af de overvejede transpositionsalgoritmer med venstre- og højreforskydninger, er det tilrådeligt at sammenligne sekvenserne af binære kombinationer, som de genererer i deres iterationer. Følgende tabel viser to sådanne sekvenser af binære kombinationer af 4 elementer af 2, som opnås af henholdsvis venstre (TSL) og højre (TSR) skiftalgoritmer:

Ved at sammenligne disse 2 sekvenser kan du se, at de er omvendt spejl. Dette betyder, at alle to binære kombinationer, der er placeret i dem i samme afstand fra de indbyrdes modsatte ender af deres sekvenser, er et spejlbillede af hinanden, det vil sige, at de falder sammen, når indekseringen af ​​bits i nogen af ​​dem er omvendt. For eksempel er det andet binære mønster fra begyndelsen af ​​TSL-sekvensen (0101) et spejlbillede af det binære mønster (1010), der er andet fra slutningen af ​​TSR-sekvensen. Generelt er enhver binær kombination med nummer i i en sekvens et spejlbillede af en binær kombination med nummer (ni+1) i en anden sekvens. Dette forhold mellem disse sekvenser er en konsekvens af den symmetriske karakter af transponerings- og skiftoperationerne i de to betragtede algoritmer til optælling af binære kombinationer.

Det skal bemærkes, at det binære format også kan bruges til at optage kombinationer med gentagelser af elementer. For at gøre dette er det nødvendigt at etablere en en-til-en-korrespondance mellem kombinationer med gentagelser og binære kombinationer, som er konstrueret som følger. Lad der være en vilkårlig kombination med gentagelser, som opnås ved at vælge m valgfrit forskellige elementer fra de n elementer i generatorsættet. For at etablere det ønskede match skal du først tilføje alle elementerne i det dannede sæt (kat) til kombinationen og derefter sortere den resulterende sammenkædning (sortere), så alle identiske elementer er side om side. Resultatet er en sekvens af (n+m) elementer, hvor der er n grupper af identiske elementer. Der vil være i alt (n+m1) mellemrum mellem elementer, blandt hvilke der vil være (n1) mellemrum mellem grupper af identiske elementer og m mellemrum mellem elementer inden for grupper. For klarhedens skyld kan du placere symbolerne "|" i de angivne mellemrum. og tilsvarende. Hvis vi nu matcher 1 til mellemrummene mellem grupperne (|) og 0 til alle andre mellemrum (), får vi en binær kombination. Det er dannet af et binært sæt af (n+m1) bits, hvor (n1) er enere og m nul bits, hvis placering entydigt svarer til den oprindelige kombination med gentagelser af elementer n til m. Den overvejede transformationsteknik er illustreret ved følgende eksempel på at konstruere en binær kombination (1001101) ved hjælp af en kombination med gentagelser (BBD), hvis elementer er valgt fra genereringssættet af de første fem latinske bogstaver:

Generelt bestemmer antallet af sådanne binære sæt antallet af måder at arrangere (n1) enere (eller m nuller) i (n+m1) binære cifre. Denne værdi er åbenbart lig med antallet af kombinationer fra (n+m1) til (n1) eller med m, det vil sige C(n+m1,n1) eller C(n+m1,m), som er lig med antal kombinationer med gentagelser f( n,m) af n elementer, m hver. Med en en-til-en overensstemmelse mellem kombinationer med gentagelser og binære kombinationer er det således legitimt at reducere opregningen af ​​kombinationer med gentagelser til opregning af binære kombinationer, for eksempel ved at bruge transponeringsalgoritmer med venstre- eller højreforskydning. Herefter behøver du kun at gendanne de nødvendige kombinationer med gentagelser ved hjælp af de resulterende binære kombinationer. Dette kan altid gøres ved at bruge følgende gendannelsesteknik.

Lad hovedsættet, ud fra de elementer, hvor kombinationer med gentagelser af m ikke nødvendigvis forskellige elementer dannes, ordnes på en vilkårlig måde, så hvert af dets elementer har et bestemt serienummer fra 1 til n. Lad os også implementere opregningen af ​​binære kombinationer af (n+m1) binære cifre, hvor (n1) enere og m nul cifre. Hver resulterende binær kombination kan suppleres til venstre med et fiktivt enhedsciffer, og alle enhedscifre kan nummereres fra venstre mod højre med heltal fra 1 til n. Så vil antallet af nuller i en række efter hver i-te enhed af den binære kombination være lig med antallet af forekomster af det i-te element i hovedsættet i den tilsvarende kombination med gentagelser. Den overvejede teknik er illustreret af følgende eksempel, hvor der ved hjælp af en binær kombination (1001101) gendannes en kombination med gentagelser af BBD, hvis elementer er valgt fra genereringssættet af de første fem latinske bogstaver, skrevet i alfabetisk rækkefølge , og overlinjen angiver elementer, der er fraværende i denne kombination:

Ved at udføre lignende handlinger under betingelserne i dette eksempel, kan du liste alle 35 binære kombinationer, der danner 7-bit binære sæt, hvor der er 4 enere og 3 nuller, og gendanne de tilsvarende kombinationer med gentagelser af 5 elementer af 3.

Vi træffer nogle gange et valg blandt mange uden hensyn til rækkefølge. Dette valg kaldes kombination . Hvis du for eksempel spiller kort, ved du, at i de fleste situationer er den rækkefølge, du holder kortene i, lige meget.

Eksempel 1 Find alle kombinationer af 3 bogstaver taget fra et sæt af 5 bogstaver (A, B, C, D, E).

Løsning Disse kombinationer er som følger:
(A, B, C), (A, B, D),
(A, B, E), (A, C, D),
(A, C, E), (A, D, E),
(B, C, D), (B, C, E),
(B, D, E), (C, D, E).
Der er 10 kombinationer af tre bogstaver valgt blandt fem bogstaver.

Når vi finder alle kombinationer fra et sæt med 5 objekter, hvis vi tager 3 objekter ad gangen, finder vi alle 3-elements delmængder. I dette tilfælde tages der ikke hensyn til rækkefølgen af ​​objekter. Derefter,
(A, C, B) kaldes det samme sæt som (A, B, C).

Undersæt
Et sæt A er en delmængde af B, hvilket betyder, at A er en delmængde af og/eller det samme som B, hvis hvert element af A er et element af B.

Elementerne i undersættet er ikke ordnet. Når kombinationer overvejes, tages der ikke hensyn til rækkefølge!

Kombination
Kombination, indeholdende k objekter er en delmængde bestående af k objekter.

Vi ønsker at nedskrive en formel til beregning af antallet af kombinationer af n objekter, hvis k objekter tages på samme tid.

Kombinationsbetegnelser
Antallet af kombinationer af n objekter, hvis k objekter tages samtidigt, betegnes n C k .

Vi kalder n C k antal kombinationer . Vi ønsker at nedskrive en generel formel for n C k for enhver k ≤ n. For det første er det rigtigt, at n C n = 1, fordi en mængde med n elementer kun har en delmængde med n elementer, som er selve mængden. For det andet er n C 1 = n, fordi en mængde med n elementer kun har n undermængder med 1 element hver. Endelig er n C 0 = 1, fordi en mængde med n elementer kun har én delmængde med 0 elementer, det vil sige den tomme mængde ∅. For at se på andre kombinationer, lad os gå tilbage til eksempel 1 og sammenligne antallet af kombinationer med antallet af permutationer.

Bemærk venligst, at hver kombination af 3 elementer har 6 eller 3! permutationer.
3! . 5 C 3 = 60 = 5 P 3 = 5. 4 . 3,
så
.
Generelt skal antallet af kombinationer af k elementer valgt blandt n objekter, n C k gange permutationer af disse elementer k!, være lig med antallet af permutationer af n elementer med k elementer:
k!. n C k = n P k
n C k = n P k /k!
nCk = (1/k!). n P k
n C k =

Kombinationer af k objekter fra n objekter
Det samlede antal kombinationer af k elementer fra n objekter er angivet med n C k , bestemt af
(1) n C k = ,
eller
(2) nCk=

En anden type notation for n C k er binomial koefficient . Årsagen til denne terminologi vil være klar nedenfor.

Binominal koefficient

Eksempel 2 Beregn ved hjælp af formlerne (1) og (2).

Løsning
a) Ifølge (1),
.
b) Ifølge stk.

Husk at n/k ikke betyder.

Eksempel 3 Beregn og .

Løsning Vi bruger formel (1) til det første udtryk og formel (2) til det andet. Derefter
,
ved hjælp af (1), og
,
ved hjælp af formel (2).

Noter det
,
og at bruge resultatet af eksempel 2 giver os
.
Det følger heraf, at antallet af en 5-elements delmængde af et sæt af 7 elementer er det samme som antallet af en 2-elements undergruppe af et sæt af 7 elementer. Når 5 elementer er valgt fra et sæt, inkluderer de ikke 2 elementer. For at se dette skal du overveje sættet (A, B, C, D, E, F, G):


Generelt har vi følgende. Dette resultat giver en alternativ måde at beregne kombinationen på.

Delmængder af størrelse k og størrelse
og nCk = nCn-k
Antallet af delmængder af størrelsen k af et sæt med n objekter er det samme som antallet af undersæt af størrelsen n - k. Antallet af kombinationer af k objekter fra et sæt af n objekter er det samme som antallet af kombinationer af n genstande taget på samme tid.

Nu vil vi løse problemer med kombinationer.

Eksempel 4 Michigan lotteri. Michigans to gange ugentlige WINFALL-lotteri har en jackpot, der... i det mindste, svarende til 2 millioner amerikanske dollars. For én dollar kan en spiller krydse alle 6 tal fra 1 til 49 ud. Hvis disse tal matcher dem, der trækkes i lotteriet, vinder spilleren. (

Kombinatorik er en gren af ​​matematikken, der studerer spørgsmål om, hvor mange forskellige kombinationer, der under visse betingelser kan laves af givne objekter. Det grundlæggende i kombinatorik er meget vigtigt for at estimere sandsynligheden for tilfældige hændelser, fordi Det er dem, der giver os mulighed for at beregne det grundlæggende mulige antal forskellige scenarier for udviklingen af ​​begivenheder.

Grundlæggende formel for kombinatorik

Lad der være k grupper af elementer, og den i-te gruppe består af n i elementer. Lad os vælge et element fra hver gruppe. Så er det samlede antal N af måder, hvorpå et sådant valg kan foretages, bestemt af relationen N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Eksempel 1. Lad os forklare denne regel med et simpelt eksempel. Lad der være to grupper af elementer, og den første gruppe består af n 1 elementer, og den anden - af n 2 elementer. Hvor mange forskellige par af elementer kan der laves fra disse to grupper, sådan at parret indeholder et element fra hver gruppe? Lad os sige, at vi tog det første element fra den første gruppe og, uden at ændre det, gik gennem alle mulige par, og ændrede kun elementerne fra den anden gruppe. Der kan være n 2 sådanne par for dette element. Så tager vi det andet element fra den første gruppe og laver også alle mulige par til det. Der vil også være n 2 sådanne par. Da der kun er n 1 elementer i den første gruppe, vil de samlede mulige muligheder være n 1 *n 2.

Eksempel 2. Hvor mange trecifrede lige tal kan der laves ud fra cifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, hvis cifrene kan gentages?
Løsning: n 1 =6 (fordi du kan tage et hvilket som helst tal fra 1, 2, 3, 4, 5, 6 som det første ciffer), n 2 =7 (fordi du kan tage et hvilket som helst tal fra 0 som det andet ciffer , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (da ethvert tal fra 0, 2, 4, 6 kan tages som det tredje ciffer).
Så N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

I det tilfælde, hvor alle grupper består af det samme antal elementer, dvs. n 1 =n 2 =...n k =n vi kan antage, at hver selektion er lavet fra den samme gruppe, og elementet efter selektion returneres til gruppen. Så er antallet af alle udvælgelsesmetoder n k . Denne metode til udvælgelse i kombinatorik kaldes prøver med retur.

Eksempel 3. Hvor mange firecifrede tal kan der laves ud fra cifrene 1, 5, 6, 7, 8?
Løsning. For hvert ciffer i et firecifret tal er der fem muligheder, hvilket betyder N=5*5*5*5=5 4 =625.

Betragt et sæt bestående af n elementer. I kombinatorik kaldes dette sæt almindelig befolkning.

Antal placeringer af n elementer med m

Definition 1. Overnatning fra n elementer af m i kombinatorik evt bestilt sæt fra m forskellige elementer udvalgt fra befolkningen i n elementer.

Eksempel 4. Forskellige arrangementer af tre elementer (1, 2, 3) gange to vil være sættene (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Placeringer kan afvige fra hinanden både i elementer og i deres rækkefølge.

Antallet af placeringer i kombinatorik er angivet med A n m og beregnes med formlen:

Kommentar: n!=1*2*3*...*n (læs: “en factorial”), derudover antages det, at 0!=1.

Eksempel 5. Hvor mange to-cifrede tal er der, hvor ti-cifret og enhedscifferet er forskellige og ulige?
Løsning: fordi Hvis der er fem ulige cifre, nemlig 1, 3, 5, 7, 9, så handler denne opgave om at vælge og placere to af de fem forskellige cifre i to forskellige positioner, dvs. de angivne tal vil være:

Definition 2. Kombination fra n elementer af m i kombinatorik evt uordnet sæt fra m forskellige elementer udvalgt fra befolkningen i n elementer.

Eksempel 6. For sættet (1, 2, 3) er kombinationerne (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Antal kombinationer af n elementer, m hver

Antallet af kombinationer er angivet med C n m og beregnes med formlen:

Eksempel 7. På hvor mange måder kan en læser vælge to bøger ud af seks tilgængelige?

Løsning: Antallet af metoder er lig med antallet af kombinationer af seks bøger af to, dvs. lige med:

Permutationer af n elementer

Definition 3. Permutation fra n elementer kaldes enhver bestilt sæt disse elementer.

Eksempel 7a. Alle mulige permutationer af et sæt bestående af tre elementer (1, 2, 3) er: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Antallet af forskellige permutationer af n elementer er angivet med P n og beregnes med formlen P n =n!.

Eksempel 8. På hvor mange måder kan syv bøger af forskellige forfattere placeres i én række på en hylde?

Løsning: Dette problem handler om antallet af permutationer af syv forskellige bøger. Der er P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 måder at arrangere bøgerne på.

Diskussion. Vi ser, at antallet af mulige kombinationer kan beregnes efter forskellige regler (permutationer, kombinationer, placeringer), og resultatet bliver anderledes, pga. Beregningsprincippet og selve formlerne er forskellige. Ser du nøje på definitionerne, vil du bemærke, at resultatet afhænger af flere faktorer samtidigt.

For det første ud fra hvor mange elementer vi kan kombinere deres sæt (hvor stor er helheden af ​​elementer).

For det andet afhænger resultatet af størrelsen af ​​de sæt af elementer, vi har brug for.

Endelig er det vigtigt at vide, om rækkefølgen af ​​elementerne i sættet har betydning for os. Lad os forklare den sidste faktor ved hjælp af følgende eksempel.

Eksempel 9. Der er 20 personer til stede på forældremødet. Hvor mange forskellige muligheder er der for sammensætningen af ​​forældreudvalget, hvis det skal omfatte 5 personer?
Løsning: I dette eksempel er vi ikke interesserede i rækkefølgen af ​​navne på udvalgslisten. Hvis de samme mennesker som et resultat viser sig at være en del af det, så er dette i betydning for os den samme mulighed. Derfor kan vi bruge formlen til at beregne tallet kombinationer med 20 elementer 5 hver.

Tingene vil være anderledes, hvis hvert udvalgsmedlem i første omgang er ansvarlig for et specifikt arbejdsområde. Så er der med samme listesammensætning af udvalget muligvis 5 i det! muligheder permutationer den sag. Antallet af forskellige (både i sammensætning og ansvarsområde) muligheder bestemmes i dette tilfælde af antallet placeringer med 20 elementer 5 hver.

Selvtest opgaver
1. Hvor mange trecifrede lige tal kan der laves af cifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, hvis cifrene kan gentages?

2. Hvor mange femcifrede tal er der, der læses ens fra venstre mod højre og fra højre mod venstre?

3. Der er ti fag i klassen og fem lektioner om dagen. På hvor mange måder kan du lave en tidsplan for én dag?

4. På hvor mange måder kan 4 delegerede udvælges til en konference, hvis der er 20 personer i gruppen?

5. På hvor mange måder kan otte forskellige breve lægges i otte forskellige konvolutter, hvis der kun er et bogstav i hver konvolut?

6. En kommission bestående af to matematikere og seks økonomer bør bestå af tre matematikere og ti økonomer. På hvor mange måder kan dette gøres?