Find ligningen for linjen sol. Generel ligning for en ret linje i et plan

Generel ligning for en ret linje:

Særlige tilfælde af den generelle ligning af en ret linje:

og hvis C= 0, vil ligning (2) have formen

Økse + Ved = 0,

og den rette linje defineret af denne ligning går gennem origo, da koordinaterne for origo x = 0, y= 0 opfylder denne ligning.

b) Hvis i den generelle ligning af den rette linje (2) B= 0, så tager ligningen formen

Økse + Med= 0 eller .

Ligning indeholder ikke en variabel y, og den rette linje defineret af denne ligning er parallel med aksen Åh.

c) Hvis i den generelle ligning af den rette linje (2) EN= 0, så tager denne ligning formen

Ved + Med= 0 eller ;

ligningen indeholder ikke en variabel x, og den rette linje defineret af den er parallel med aksen Okse.

Det skal huskes: Hvis en ret linje er parallel med en hvilken som helst koordinatakse, så indeholder dens ligning ikke et led, der indeholder en koordinat af samme navn med denne akse.

d) Hvornår C= 0 og EN= 0 ligning (2) har formen Ved= 0, eller y = 0.

Dette er akseligningen Okse.

e) Hvornår C= 0 og B= 0 ligning (2) kan skrives i formen Økse= 0 eller x = 0.

Dette er akseligningen Åh.

Indbyrdes arrangement af lige linjer på et plan. Vinkel mellem linjer på et plan. Tilstand af parallelle linjer. Betingelsen for vinkelrette linjer.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektorerne S 1 og S 2 kaldes hjælpelinjer for deres linjer.

Vinklen mellem linjerne l 1 og l 2 bestemmes af vinklen mellem retningsvektorerne.
Sætning 1: cos vinkel mellem l 1 og l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Sætning 2: For at 2 linjer skal være ens, er det nødvendigt og tilstrækkeligt:

Sætning 3: så 2 linjer er vinkelrette er nødvendigt og tilstrækkeligt:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Generel ligning af flyet og dets særlige tilfælde. Ligning af et plan i segmenter.

Generel planligning:

Axe + By + Cz + D = 0

Særlige tilfælde:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - planet passerer gennem origo

2. С=0 Ax+By+D = 0 – plan || oz

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – plan || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plan || OKSE

5. A=0 og D=0 By+Cz = 0 - planet passerer gennem OX

6. B=0 og D=0 Ax+Cz = 0 - flyet passerer gennem OY

7. C=0 og D=0 Ax+By = 0 - flyet passerer gennem OZ

Indbyrdes arrangement af planer og rette linjer i rummet:

1. Vinklen mellem linjer i rummet er vinklen mellem deres retningsvektorer.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Vinklen mellem planerne bestemmes gennem vinklen mellem deres normalvektorer.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Cosinus for vinklen mellem en linje og en plan kan findes gennem sin af vinklen mellem linjens retningsvektor og planens normalvektor.

4. 2 linier || i rummet, når deres || vektor guider

5. 2 fly || når || normale vektorer

6. Begreberne vinkelret på linjer og planer introduceres tilsvarende.

Spørgsmål #14

Forskellige typer af ligningen for en ret linje på et plan (ligningen af ​​en lige linje i segmenter, med en hældning osv.)

Ligning for en ret linje i segmenter:
Antag, at i den generelle ligning af en ret linje:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - den lige linje passerer gennem oprindelsen.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. i \u003d 0 Axe + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Ligningen for en ret linje med en hældning:

Enhver ret linje, der ikke er lig med y-aksen (B ikke = 0), kan skrives i det følgende. form:

k = tgα α er vinklen mellem den rette linje og den positivt rettede linje ОХ

b - skæringspunktet for den rette linje med OS-aksen

Dok-in:

Axe+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Ligning af en ret linje på to punkter:

Spørgsmål #16

Den endelige grænse for en funktion i et punkt og for x→∞

Slutgrænse ved punkt x 0:

Tallet A kaldes grænsen for funktionen y \u003d f (x) for x → x 0, hvis der for nogen E > 0 er b > 0, således at for x ≠ x 0, der opfylder uligheden |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Grænsen er angivet: = A

Slutgrænse ved punkt +∞:

Tallet A kaldes grænsen for funktionen y = f(x) for x → + ∞ , hvis der for nogen E > 0 eksisterer C > 0, således at for x > C er uligheden |f(x) - A|< Е

Grænsen er angivet: = A

Slutgrænse ved punkt -∞:

Tallet A kaldes grænsen for funktionen y = f(x) for x→-∞, hvis for nogen E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

I denne artikel vil vi overveje den generelle ligning for en ret linje i et plan. Lad os give eksempler på at konstruere den generelle ligning for en ret linje, hvis to punkter på denne rette linje er kendt, eller hvis et punkt og normalvektoren for denne rette linje er kendt. Lad os præsentere metoder til at transformere en ligning i generel form til kanoniske og parametriske former.

Lad et vilkårligt kartesisk rektangulært koordinatsystem blive givet Oxy. Overvej en førstegradsligning eller en lineær ligning:

hvor A, B, C er nogle konstanter og mindst et af elementerne EN og B forskellig fra nul.

Vi vil vise, at en lineær ligning i planet definerer en ret linje. Lad os bevise følgende sætning.

Sætning 1. I et vilkårligt kartesisk rektangulært koordinatsystem på en plan kan hver ret linje gives ved en lineær ligning. Omvendt definerer hver lineær ligning (1) i et vilkårligt kartesisk rektangulært koordinatsystem på planet en ret linje.

Bevis. Det er tilstrækkeligt at bevise, at linjen L er bestemt af en lineær ligning for ethvert kartesisk rektangulært koordinatsystem, da det vil blive bestemt af en lineær ligning og for ethvert valg af kartesisk rektangulært koordinatsystem.

Lad en ret linje angives på flyet L. Vi vælger et koordinatsystem, så aksen Okse på linje med linjen L, og aksen Åh var vinkelret på den. Derefter linjens ligning L vil have følgende form:

Alle punkter på en linje L vil opfylde den lineære ligning (2), og alle punkter uden for denne lige linje vil ikke opfylde ligningen (2). Den første del af sætningen er bevist.

Lad et kartesisk rektangulært koordinatsystem være givet og lad lineær ligning (1) være givet, hvor mindst et af elementerne EN og B forskellig fra nul. Find stedet for punkter, hvis koordinater opfylder ligning (1). Da mindst en af ​​koefficienterne EN og B er forskellig fra nul, så har ligning (1) mindst én løsning M(x 0 ,y 0). (For eksempel hvornår EN≠0, prik M 0 (−C/A, 0) hører til det givne punktsted). Ved at erstatte disse koordinater i (1) opnår vi identiteten

Lad os trække identitet (3) fra (1):

Det er klart, at ligning (4) svarer til ligning (1). Derfor er det tilstrækkeligt at bevise, at (4) definerer en linje.

Da vi betragter et kartesisk rektangulært koordinatsystem, følger det af lighed (4), at vektoren med komponenter ( x−x 0 , y−y 0 ) er ortogonal på vektoren n med koordinater ( A,B}.

Overvej en linje L passerer gennem punktet M 0 (x 0 , y 0) og vinkelret på vektoren n(Fig. 1). Lad pointen M(x,y) hører til linjen L. Derefter vektoren med koordinater x−x 0 , y−y 0 vinkelret n og ligning (4) er opfyldt (skalært produkt af vektorer n og er lig med nul). Omvendt, hvis pointen M(x,y) ligger ikke på en linje L, derefter vektoren med koordinater x−x 0 , y−y 0 er ikke ortogonalt i forhold til vektor n og ligning (4) er ikke opfyldt. Sætningen er blevet bevist.

Bevis. Da linjerne (5) og (6) definerer den samme linje, er normalvektorerne n 1 ={EN 1 ,B 1) og n 2 ={EN 2 ,B 2) er kollineære. Siden vektorerne n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, så er der et tal λ , hvad n 2 =n 1 λ . Derfor har vi: EN 2 =EN 1 λ , B 2 =B 1 λ . Lad os bevise det C 2 =C 1 λ . Det er indlysende, at sammenfaldende linjer har et fælles punkt M 0 (x 0 , y 0). Multiplicer ligning (5) med λ og trække ligning (6) fra den får vi:

Da de to første ligheder fra udtryk (7) er opfyldt, så C 1 λ −C 2=0. De der. C 2 =C 1 λ . Bemærkningen er bevist.

Bemærk, at ligning (4) definerer ligningen for en ret linje, der går gennem punktet M 0 (x 0 , y 0) og har en normal vektor n={A,B). Derfor, hvis normalvektoren af ​​linjen og punktet, der hører til denne linje, er kendt, så kan den generelle ligning for linjen konstrueres ved hjælp af ligning (4).

Eksempel 1. En linje går gennem et punkt M=(4,−1) og har en normalvektor n=(3, 5). Konstruer den generelle ligning for en ret linje.

Afgørelse. Vi har: x 0 =4, y 0 =−1, EN=3, B=5. For at konstruere den generelle ligning for en ret linje, erstatter vi disse værdier i ligning (4):

Svar:

Vektor parallel med linje L og er derfor vinkelret på linjens normalvektor L. Lad os konstruere en normal linjevektor L, givet at skalarproduktet af vektorer n og er lig nul. Vi kan skrive f.eks. n={1,−3}.

For at konstruere den generelle ligning for en ret linje bruger vi formel (4). Lad os erstatte punktets koordinater i (4). M 1 (vi kan også tage koordinaterne for punktet M 2) og normalvektoren n:

Erstatning af punktkoordinater M 1 og M 2 i (9) kan vi sikre os, at den rette linje givet ved ligning (9) går gennem disse punkter.

Svar:

Træk (10) fra (1):

Vi har fået den kanoniske ligning for en ret linje. Vektor q={−B, EN) er retningsvektoren for den rette linje (12).

Se omvendt transformation.

Eksempel 3. En ret linje i en plan er repræsenteret ved følgende generelle ligning:

Flyt det andet led til højre og divider begge sider af ligningen med 2 5.

Lektion fra serien "Geometriske algoritmer"

Hej kære læser!

I dag vil vi begynde at lære algoritmer relateret til geometri. Faktum er, at der er en hel del olympiadeproblemer inden for datalogi relateret til beregningsgeometri, og løsningen af ​​sådanne problemer forårsager ofte vanskeligheder.

I et par lektioner vil vi overveje en række elementære delproblemer, som løsningen af ​​de fleste problemer inden for beregningsgeometri er baseret på.

I denne lektion vil vi skrive et program for at finde ligningen for en ret linje passerer gennem det givne to prikker. For at løse geometriske problemer har vi brug for en vis viden om beregningsgeometri. Vi vil bruge en del af lektionen til at lære dem at kende.

Information fra beregningsgeometri

Beregningsgeometri er en gren af ​​datalogi, der studerer algoritmer til løsning af geometriske problemer.

De indledende data for sådanne problemer kan være et sæt punkter på planet, et sæt segmenter, en polygon (givet for eksempel af en liste over dets hjørner i urets rækkefølge) osv.

Resultatet kan enten være et svar på et spørgsmål (såsom hører et punkt til et segment, skærer to segmenter hinanden, ...), eller et eller andet geometrisk objekt (f.eks. den mindste konvekse polygon, der forbinder givne punkter, arealet af en polygon osv.).

Vi vil kun overveje problemer med beregningsgeometri på planet og kun i det kartesiske koordinatsystem.

Vektorer og koordinater

For at anvende metoderne til beregningsgeometri er det nødvendigt at oversætte geometriske billeder til talsproget. Vi antager, at der er givet et kartesisk koordinatsystem på planet, hvori rotationsretningen mod uret kaldes positiv.

Nu får geometriske objekter et analytisk udtryk. Så for at sætte et punkt er det nok at angive dets koordinater: et par tal (x; y). Et segment kan specificeres ved at specificere koordinaterne for dets ender, en ret linje kan specificeres ved at specificere koordinaterne for et par af dets punkter.

Men det vigtigste værktøj til at løse problemer vil være vektorer. Lad mig derfor minde dig om nogle oplysninger om dem.

Linjestykke AB, hvilket har en pointe MEN betragtes som begyndelsen (anvendelsespunktet) og punktet PÅ- enden kaldes en vektor AB og angivet med enten , eller et fed lille bogstav, for eksempel -en .

For at angive længden af ​​en vektor (det vil sige længden af ​​det tilsvarende segment), vil vi bruge modulsymbolet (for eksempel ).

En vilkårlig vektor vil have koordinater svarende til forskellen mellem de tilsvarende koordinater for dens ende og begyndelse:

,

prikker her EN og B har koordinater henholdsvis.

Til beregninger vil vi bruge konceptet orienteret vinkel, altså en vinkel, der tager højde for vektorernes relative position.

Orienteret vinkel mellem vektorer -en og b positiv, hvis rotationen er væk fra vektoren -en til vektoren b sker i positiv retning (mod uret) og negativ i det andet tilfælde. Se fig.1a, fig.1b. Det siges også, at et par vektorer -en og b positivt (negativt) orienteret.

Værdien af ​​den orienterede vinkel afhænger således af rækkefølgen af ​​opregning af vektorerne og kan tage værdier i intervallet.

Mange beregningsgeometriske problemer bruger begrebet vektorprodukter (skævt eller pseudoskalært) af vektorer.

Vektorproduktet af vektorerne a og b er produktet af længderne af disse vektorer og sinus af vinklen mellem dem:

.

Vektorprodukt af vektorer i koordinater:

Udtrykket til højre er en andenordens determinant:

I modsætning til definitionen givet i analytisk geometri, er dette en skalar.

Tegnet for krydsproduktet bestemmer vektorernes position i forhold til hinanden:

-en og b positivt orienteret.

Hvis værdien er , så er parret af vektorer -en og b negativt orienteret.

Krydsproduktet af ikke-nul vektorer er nul, hvis og kun hvis de er collineære ( ). Det betyder, at de ligger på samme linje eller på parallelle linjer.

Lad os overveje nogle simple opgaver, der er nødvendige for at løse mere komplekse.

Lad os definere ligningen for en ret linje ved koordinaterne af to punkter.

Ligningen for en ret linje, der går gennem to forskellige punkter givet ved deres koordinater.

Lad to ikke-sammenfaldende punkter angives på linjen: med koordinater (x1;y1) og med koordinater (x2; y2). Følgelig har vektoren med begyndelsen ved punktet og slutningen ved punktet koordinater (x2-x1, y2-y1). Hvis P(x, y) er et vilkårligt punkt på vores linje, så er vektorens koordinater (x-x1, y - y1).

Ved hjælp af krydsproduktet kan betingelsen for vektorernes kollinearitet og skrives som følger:

De der. (x-x1)(y2-yl)-(y-yl)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Vi omskriver den sidste ligning som følger:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Så den rette linje kan gives ved en ligning på formen (1).

Opgave 1. Koordinaterne for to punkter er angivet. Find dens repræsentation på formen ax + by + c = 0.

I denne lektion stiftede vi bekendtskab med nogle oplysninger fra beregningsgeometri. Vi løste problemet med at finde linjens ligning ved koordinaterne af to punkter.

I den næste lektion vil vi skrive et program til at finde skæringspunktet for to linjer givet af vores ligninger.

Egenskaber for en ret linje i euklidisk geometri.

Der er uendeligt mange linjer, der kan trækkes gennem ethvert punkt.

Gennem to ikke-sammenfaldende punkter er der kun én lige linje.

To ikke-sammenfaldende linjer i planet enten skærer hinanden i et enkelt punkt eller er

parallel (følger af den foregående).

I tredimensionelt rum er der tre muligheder for den relative position af to linjer:

• linjer skærer hinanden;

• lige linjer er parallelle;

• lige linjer skærer hinanden.

Lige linje- algebraisk kurve af første orden: i det kartesiske koordinatsystem, en ret linje

er givet på planen ved en ligning af første grad (lineær ligning).

Generel ligning for en ret linje.

Definition. Enhver linje i planet kan gives ved en førsteordensligning

Ah + Wu + C = 0,

og konstant A, B ikke lig med nul på samme tid. Denne første ordens ligning kaldes generel

lige linje ligning. Afhængig af værdierne af konstanterne A, B og Med Følgende særlige tilfælde er mulige:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linjen går gennem origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- lige linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- lige linje parallelt med aksen OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linjen falder sammen med aksen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linjen falder sammen med aksen Åh

Ligningen for en ret linje kan repræsenteres i forskellige former afhængigt af en given

begyndelsesbetingelser.

Ligning af en ret linje med et punkt og en normalvektor.

Definition. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelret på linjen givet af ligningen

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Find ligningen for en ret linje, der går gennem et punkt A(1, 2) vinkelret på vektoren (3, -1).

Afgørelse. Lad os komponere ved A \u003d 3 og B \u003d -1 ligningen for den rette linje: 3x - y + C \u003d 0. For at finde koefficienten C

vi erstatter koordinaterne for det givne punkt A i det resulterende udtryk Vi får: 3 - 2 + C = 0, derfor

C = -1. I alt: den ønskede ligning: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ligning for en ret linje, der går gennem to punkter.

Lad to point gives i rummet M 1 (x 1, y 1, z 1) og M2 (x 2, y2, z 2), derefter lige linje ligning,

passerer gennem disse punkter:

Hvis nogen af ​​nævnerne er lig nul, skal den tilsvarende tæller sættes lig nul. På den

plan, er ligningen for en lige linje skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2 .

Brøk = k hedder hældningsfaktor lige.

Eksempel. Find ligningen for en ret linje, der går gennem punkterne A(1, 2) og B(3, 4).

Afgørelse. Ved at anvende ovenstående formel får vi:

Ligning af en ret linje med et punkt og en hældning.

Hvis den generelle ligning af en ret linje Ah + Wu + C = 0 bringe til formularen:

og udpege , så kaldes den resulterende ligning

ligning af en ret linje med hældning k.

Ligningen for en ret linje på et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet, der betragter ligningen for en ret linje gennem normalvektoren, kan du indtaste opgaven

en ret linje gennem et punkt og en retningsvektor for en ret linje.

Definition. Hver ikke-nul vektor (α 1 , α 2), hvis komponenter opfylder betingelsen

Aa1 + Ba2 = 0 hedder retningsvektor for den rette linje.

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Find ligningen for en ret linje med retningsvektor (1, -1) og passerer gennem punkt A(1, 2).

Afgørelse. Vi vil lede efter ligningen for den ønskede rette linje i formen: Axe + By + C = 0. Ifølge definitionen,

koefficienter skal opfylde betingelserne:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Så har ligningen for en ret linje formen: Axe + Ay + C = 0, eller x + y + C/A = 0.

på x=1, y=2 vi får C/A = -3, dvs. ønsket ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning af en ret linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligning for den rette linje Ah + Wu + C = 0 C≠0, så får vi, divideret med -C:

eller hvor

Den geometriske betydning af koefficienterne er, at koefficienten a er koordinaten for skæringspunktet

lige med aksel Åh,-en b- koordinaten for skæringspunktet mellem linjen og aksen OU.

Eksempel. Den generelle ligning for en ret linje er givet x - y + 1 = 0. Find ligningen for denne lige linje i segmenter.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal ligning for en ret linje.

Hvis begge sider af ligningen Ah + Wu + C = 0 dividere med tal , som kaldes

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning af en ret linje.

Tegnet ± for den normaliserende faktor skal vælges således μ * C< 0.

R- længden af ​​vinkelret faldet fra origo til linjen,

-en φ - vinklen dannet af denne vinkelrette med aksens positive retning Åh.

Eksempel. Givet den generelle ligning for en ret linje 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for at skrive forskellige typer ligninger

denne lige linje.

Ligningen for denne lige linje i segmenter:

Ligningen af ​​denne linje med hældning: (divider med 5)

Ligning for en ret linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Det skal bemærkes, at ikke alle lige linjer kan repræsenteres af en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,

parallelt med akserne eller passerer gennem origo.

Vinkel mellem linjer på et plan.

Definition. Hvis der er givet to linjer y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, så den spidse vinkel mellem disse linjer

vil blive defineret som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

hvis k 1 \u003d -1 / k 2 .

Sætning.

Direkte Ah + Wu + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 er parallelle, når koefficienterne er proportionale

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Hvis også С 1 \u003d λС, så falder linjerne sammen. Koordinater for skæringspunktet mellem to linjer

findes som en løsning på disse linjers ligningssystem.

Ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt, er vinkelret på en given linje.

Definition. En linje, der går gennem et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelret på linjen y = kx + b

repræsenteret ved ligningen:

Afstanden fra et punkt til en linje.

Sætning. Hvis der gives et point M(x 0, y 0), derefter afstanden til linjen Ah + Wu + C = 0 defineret som:

Bevis. Lad pointen M 1 (x 1, y 1)- bunden af ​​den vinkelrette faldt fra punktet M for en given

direkte. Derefter afstanden mellem punkterne M og M 1:

(1)

Koordinater x 1 og 1 kan findes som en løsning på ligningssystemet:

Systemets anden ligning er ligningen for en ret linje, der går gennem et givet punkt M 0 vinkelret

givet linje. Hvis vi transformerer systemets første ligning til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved at erstatte disse udtryk i ligning (1), finder vi:

Sætningen er blevet bevist.

Lad den rette linje passere gennem punkterne M 1 (x 1; y 1) og M 2 (x 2; y 2). Ligningen for en ret linje, der går gennem punktet M 1 har formen y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

hvor k - stadig ukendt koefficient.

Da den lige linje passerer gennem punktet M 2 (x 2 y 2), skal koordinaterne for dette punkt opfylde ligning (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Herfra finder vi Substituering af den fundne værdi k i ligning (10.6), får vi ligningen for en ret linje, der går gennem punkterne M 1 og M 2:

Det antages, at i denne ligning x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Hvis x 1 \u003d x 2, så er den lige linje, der går gennem punkterne M 1 (x 1, y I) og M 2 (x 2, y 2), parallel med y-aksen. Dens ligning er x = x 1 .

Hvis y 2 \u003d y I, så kan ligningen for den rette linje skrives som y \u003d y 1, den rette linje M 1 M 2 er parallel med x-aksen.

Ligning af en ret linje i segmenter

Lad den rette linje skære Ox-aksen i punktet M 1 (a; 0), og Oy-aksen - i punktet M 2 (0; b). Ligningen vil have formen:
de der.
. Denne ligning kaldes ligningen for en ret linje i segmenter, fordi tallene a og b angiver, hvilke segmenter den rette linje skærer af på koordinatakserne.

Ligning for en ret linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given vektor

Lad os finde ligningen for en ret linje, der går gennem et givet punkt Mo (x O; y o) vinkelret på en given ikke-nul vektor n = (A; B).

Tag et vilkårligt punkt M(x; y) på den rette linje og overvej vektoren M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Da vektorerne n og M o M er vinkelrette, er deres skalarprodukt lig med nul: dvs.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ligning (10.8) kaldes ligning for en ret linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given vektor .

Vektoren n = (A; B) vinkelret på linjen kaldes normal normal vektor af denne linje .

Ligning (10.8) kan omskrives som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

hvor A og B er koordinaterne for den normale vektor, C \u003d -Ax o - Vu o - frit medlem. Ligning (10,9) er den generelle ligning for en ret linje(se fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Kanoniske ligninger for den rette linje

,

Hvor
er koordinaterne for det punkt, som linjen går igennem, og
- retningsvektor.

Kurver af anden ordens cirkel

En cirkel er mængden af ​​alle punkter i et plan, der er lige langt fra et givet punkt, som kaldes centrum.

Kanonisk ligning af en cirkel med radius R centreret om et punkt
:

Især hvis midten af ​​indsatsen falder sammen med oprindelsen, vil ligningen se sådan ud:

Ellipse

En ellipse er et sæt punkter i et plan, summen af ​​afstandene fra hver af dem til to givne punkter og , som kaldes foci, er en konstant værdi
, større end afstanden mellem brændpunkterne
.

Den kanoniske ligning for en ellipse, hvis brændpunkter ligger på okseaksen, og hvis oprindelse er i midten mellem brændpunkterne, har formen
G de-en længden af ​​den store halvakse; b er længden af ​​den lille halvakse (fig. 2).