Mis on mati ootus. Ootuste valem

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse tõenäosusjaotus

Matemaatiline ootus, definitsioon, diskreetsete ja pidevate juhuslike muutujate matemaatiline ootus, valikuline, tingimuslik ootus, arvutus, omadused, ülesanded, ootuse hindamine, dispersioon, jaotusfunktsioon, valemid, arvutusnäited

Laiendage sisu

Ahenda sisu

Matemaatiline ootus on definitsioon

Üks olulisemaid kontseptsioone matemaatilises statistikas ja tõenäosusteoorias, mis iseloomustab juhusliku suuruse väärtuste või tõenäosuste jaotust. Tavaliselt väljendatakse juhusliku suuruse kõigi võimalike parameetrite kaalutud keskmisena. Seda kasutatakse laialdaselt tehnilises analüüsis, numbriridade uurimisel, pidevate ja pikaajaliste protsesside uurimisel. See on oluline riskide hindamisel, hinnanäitajate prognoosimisel finantsturgudel kaubeldes ning seda kasutatakse hasartmängude teoorias mängutaktika strateegiate ja meetodite väljatöötamisel.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskväärtust, tõenäosusteoorias vaadeldakse juhusliku suuruse tõenäosusjaotust.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskmise väärtuse mõõt tõenäosusteoorias. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus x tähistatud M(x).

Matemaatiline ootus on

Matemaatiline ootus on tõenäosusteoorias kõigi võimalike väärtuste kaalutud keskmine, mida see juhuslik suurus võib võtta.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste korrutiste summa nende väärtuste tõenäosuste järgi.

Matemaatiline ootus on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab käsitleda suurte arvude ja pika vahemaa teooria raames.

Matemaatiline ootus on hasartmänguteoorias võitude summa, mille mängija saab iga panuse puhul keskmiselt teenida või kaotada. Mängurite keeles nimetatakse seda mõnikord "mängija eeliseks" (kui see on mängija jaoks positiivne) või "maja eeliseks" (kui see on mängija jaoks negatiivne).

Matemaatiline ootus on Kasumi protsent võidu kohta, mis on korrutatud keskmise kasumiga miinus kaotuse tõenäosus korrutatuna keskmise kahjumiga.

Juhusliku suuruse matemaatiline ootus matemaatilises teoorias

Juhusliku muutuja üheks oluliseks numbriliseks tunnuseks on matemaatiline ootus. Tutvustame juhuslike muutujate süsteemi mõistet. Vaatleme juhuslike muutujate kogumit, mis on sama juhusliku katse tulemused. Kui on üks süsteemi võimalikest väärtustest, siis vastab sündmus teatud tõenäosusele, mis rahuldab Kolmogorovi aksioome. Funktsiooni, mis on määratletud juhuslike muutujate võimalike väärtuste jaoks, nimetatakse ühisjaotuse seaduseks. See funktsioon võimaldab teil arvutada mis tahes sündmuste tõenäosused. Eelkõige antakse tõenäosuste abil juhuslike muutujate jaotuse ühisseadus, mis võtavad väärtused hulgast ja.

Mõiste "ootus" võttis kasutusele Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) ja see pärines mõistest "väljamakse eeldatav väärtus", mis ilmus esmakordselt 17. sajandil hasartmängude teoorias Blaise Pascali ja Christian Huygensi teostes. . Selle kontseptsiooni esimese täieliku teoreetilise arusaama ja hinnangu andis aga Pafnuti Lvovitš Tšebõšev (19. sajandi keskpaik).

Juhuslike arvmuutujate jaotusseadus (jaotusfunktsioon ja jaotusrida ehk tõenäosustihedus) kirjeldab täielikult juhusliku suuruse käitumist. Kuid mitme ülesande puhul piisab, kui on teada uuritava suuruse mõningaid arvulisi omadusi (näiteks selle keskmist väärtust ja võimalikku kõrvalekallet sellest), et vastata püstitatud küsimusele. Juhuslike muutujate peamised numbrilised karakteristikud on matemaatiline ootus, dispersioon, moodus ja mediaan.

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on selle võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutiste summa. Mõnikord nimetatakse matemaatilist ootust kaalutud keskmiseks, kuna see on ligikaudu võrdne suure arvu katsete jooksul juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega. Matemaatilise ootuse definitsioonist järeldub, et selle väärtus ei ole väiksem kui juhusliku suuruse väikseim võimalik väärtus ja mitte suurem kui suurim. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on mittejuhuslik (konstantne) muutuja.

Matemaatilisel ootusel on lihtne füüsikaline tähendus: kui ühikmass asetatakse sirgjoonele, asetatakse teatud punktidesse mingi mass (diskreetse jaotuse jaoks) või “määritakse” see teatud tihedusega (absoluutselt pideva jaotuse jaoks), siis on matemaatilisele ootusele vastav punkt koordinaatide "raskuskese" sirge.

Juhusliku muutuja keskmine väärtus on teatud arv, mis on justkui selle "esindaja" ja asendab selle ligikaudsetes arvutustes. Kui me ütleme: "lambi keskmine tööaeg on 100 tundi" või "keskmine löögipunkt on sihtmärgi suhtes nihutatud 2 m võrra paremale", osutame sellega juhusliku suuruse teatud arvulisele tunnusele, mis kirjeldab selle suurust. asukoht numbriteljel, s.o. positsiooni kirjeldus.

Positsiooni tunnustest tõenäosusteoorias on kõige olulisem roll juhusliku suuruse matemaatilisel ootusel, mida mõnikord nimetatakse lihtsalt juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks.

Vaatleme juhuslikku muutujat X, millel on võimalikud väärtused x1, x2, …, xn tõenäosustega p1, p2, …, pn. Peame iseloomustama mõne numbriga juhusliku suuruse väärtuste asukohta x-teljel, võttes arvesse asjaolu, et nendel väärtustel on erinev tõenäosus. Sel eesmärgil on loomulik kasutada väärtuste nn "kaalutud keskmist". xi, ja iga väärtust xi tuleks keskmistamisel arvesse võtta selle väärtuse tõenäosusega võrdelise "kaaluga". Seega arvutame juhusliku suuruse keskmise X, mida me tähistame M|X|:

Seda kaalutud keskmist nimetatakse juhusliku suuruse matemaatiliseks ootuseks. Seega võtsime vaatluse alla tõenäosusteooria ühe olulisema mõiste – matemaatilise ootuse. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutis.

Las toodetakse N sõltumatud katsed, millest igaühes on väärtus X omandab teatud väärtuse. Oletame, et väärtus x1 ilmunud m1 korda, väärtust x2 ilmunud m2 korda, üldine tähendus xi ilmus mi korda. Arvutame X vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmise, mis erinevalt matemaatilisest ootusest M|X| me tähistame M*|X|:

Eksperimentide arvu suurenemisega N sagedused pi läheneb (tõenäosuses läheneb) vastavatele tõenäosustele. Seetõttu on juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine M|X| katsete arvu suurenemisega läheneb see (tõenäosuses läheneb) oma matemaatilisele ootusele. Eelpool sõnastatud aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vaheline seos moodustab suurte arvude seaduse ühe vormi sisu.

Teame juba, et suurte arvude seaduse kõik vormid kinnitavad tõsiasja, et teatud keskmised on paljude katsete puhul stabiilsed. Siin räägime sama väärtusega vaatluste rea aritmeetilise keskmise stabiilsusest. Väikese arvu katsete korral on nende tulemuste aritmeetiline keskmine juhuslik; katsete arvu piisava suurenemisega muutub see "peaaegu mitte juhuslikuks" ja stabiliseerudes läheneb konstantsele väärtusele - matemaatilisele ootusele.

Paljude katsete keskmiste stabiilsuse omadust on lihtne katseliselt kontrollida. Näiteks laboris täpsetel kaaludel suvalise keha kaalumine, kaalumise tulemusena saame iga kord uue väärtuse; vaatlusvea vähendamiseks kaalume keha mitu korda ja kasutame saadud väärtuste aritmeetilist keskmist. On hästi näha, et katsete (kaalumiste) arvu edasisel suurenemisel reageerib aritmeetiline keskmine sellele tõusule üha vähem ja piisavalt suure katsete arvu korral praktiliselt lakkab muutumast.

Tuleb märkida, et juhusliku suuruse asukoha kõige olulisem tunnus – matemaatiline ootus – ei eksisteeri kõigi juhuslike suuruste puhul. Näiteid on võimalik tuua sellistest juhuslikest suurustest, mille puhul matemaatilist ootust ei eksisteeri, kuna vastav summa või integraal lahkneb. Kuid praktika jaoks ei paku sellised juhtumid märkimisväärset huvi. Tavaliselt on juhuslikel muutujatel, millega me tegeleme, piiratud võimalike väärtuste vahemik ja loomulikult on neil ootused.

Lisaks kõige olulisematele juhusliku suuruse asukoha tunnustele - matemaatilisele ootusele, kasutatakse praktikas mõnikord ka muid positsioonitunnuseid, eelkõige juhusliku suuruse moodust ja mediaani.

Juhusliku muutuja moodus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mõiste "kõige tõenäolisem väärtus" kehtib rangelt võttes ainult katkendlike koguste kohta; pideva suuruse korral on moodus väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne. Joonistel on näidatud vastavalt katkendlike ja pidevate juhuslike muutujate režiim.

Kui jaotuspolügoonil (jaotuskõveral) on rohkem kui üks maksimum, siis öeldakse, et jaotus on polümodaalne.

Mõnikord on distributsioone, mille keskel on mitte maksimum, vaid miinimum. Selliseid jaotusi nimetatakse "antimodaalseteks".

Üldjuhul juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Konkreetsel juhul, kui jaotus on sümmeetriline ja modaalne (st omab moodust) ja on olemas matemaatiline ootus, langeb see kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.

Sageli kasutatakse teist positsiooni tunnust - juhusliku suuruse nn mediaani. Seda tunnust kasutatakse tavaliselt ainult pidevate juhuslike muutujate jaoks, kuigi seda saab formaalselt määratleda ka katkendliku muutuja jaoks. Geomeetriliselt on mediaan selle punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga piiratud ala poolitatakse.

Sümmeetrilise modaaljaotuse korral langeb mediaan kokku keskmise ja moodusega.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskmine väärtus – juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse arvtunnus. Kõige üldisemalt juhusliku suuruse matemaatiline ootus X(w) on defineeritud kui Lebesgue'i integraal tõenäosusmõõdu suhtes R algses tõenäosusruumis:

Matemaatilise ootuse saab arvutada ka Lebesgue'i integraalina X tõenäosusjaotuse järgi px kogused X:

Loomulikul viisil saab defineerida lõpmatu matemaatilise ootusega juhusliku suuruse mõiste. Tüüpiline näide on tagasipöördumisajad mõnel juhuslikul jalutuskäigul.

Matemaatilise ootuse abil määratakse jaotuse paljud numbrilised ja funktsionaalsed karakteristikud (juhusliku suuruse vastavate funktsioonide matemaatilise ootusena), näiteks genereeriv funktsioon, tunnusfunktsioon, mis tahes järjestust momendid, eelkõige dispersioon. , kovariatsioon.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse väärtuste asukoha tunnus (selle jaotuse keskmine väärtus). Selles funktsioonis toimib matemaatiline ootus mõne "tüüpilise" jaotusparameetrina ja selle roll on sarnane staatilise momendi - massijaotuse raskuskeskme koordinaadi - rolliga mehaanikas. Teistest asukohakarakteristikutest, mille abil jaotust kirjeldatakse üldsõnaliselt - mediaanid, moodused, erineb matemaatiline ootus selle suurema väärtuse poolest, mis sellel ja vastaval hajuvuskarakteristikul - dispersioonil - tõenäosusteooria piirteoreemides on. Suurima täielikkusega paljastavad matemaatilise ootuse tähenduse suurte arvude seadus (Tšebõševi ebavõrdsus) ja tugevdatud suurte arvude seadus.

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus

Olgu mõni juhuslik muutuja, mis võib võtta ühe mitmest arvväärtusest (näiteks võib täringuviske punktide arv olla 1, 2, 3, 4, 5 või 6). Sageli tekib praktikas sellise väärtuse puhul küsimus: millist väärtust see suure hulga testide korral "keskmiselt" võtab? Kui suur on meie keskmine tulu (või kahjum) igast riskantsest toimingust?

Oletame, et on mingi loterii. Tahame aru saada, kas selles osalemine (või isegi korduvalt, regulaarselt) on tulus või mitte. Oletame, et iga neljas pilet võidab, auhind on 300 rubla ja iga pileti hind on 100 rubla. Lõpmatu arvu osaluste puhul see juhtubki. Kolmel neljandikul juhtudest me kaotame, iga kolme kaotuse eest tuleb maksta 300 rubla. Igal neljandal juhul võidame 200 rubla. (auhind miinus maksumus), see tähendab, et nelja osalemise korral kaotame keskmiselt 100 rubla, ühe eest - keskmiselt 25 rubla. Kokku saab meie vareme keskmiseks hinnaks 25 rubla pileti kohta.

Viskame täringut. Kui see pole petmine (ilma raskuskeset nihutamata jne), siis mitu punkti meil keskmiselt korraga on? Kuna iga variant on võrdselt tõenäoline, siis võtame lolli aritmeetilise keskmise ja saame 3,5. Kuna see on KESKMINE, siis ei maksa pahandada, et ükski konkreetne vise 3,5 punkti ei anna - no sellel kuubil pole ju sellise numbriga nägu!

Nüüd võtame oma näited kokku:

Vaatame üleval olevat pilti. Vasakul on juhusliku suuruse jaotuse tabel. X väärtus võib võtta ühe n võimalikust väärtusest (antud ülemises reas). Muid väärtusi ei saa olla. Iga võimaliku väärtuse all on allpool märgitud selle tõenäosus. Paremal on valem, kus M(X) nimetatakse matemaatiliseks ootuseks. Selle väärtuse tähendus on see, et suure arvu katsete korral (suure valimiga) kaldub keskmine väärtus sellele väga matemaatilisele ootusele.

Läheme tagasi sama mängukuubi juurde. Matemaatiline ootus viske punktide arvu kohta on 3,5 (kui ei usu, arvuta ise valemiga). Oletame, et viskasid seda paar korda. Välja kukkusid 4 ja 6. Keskmiselt tuli välja 5 ehk kaugeltki 3,5. Viskasid uuesti, 3 kukkus välja, ehk siis keskmiselt (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Kuidagi kaugel matemaatilisest ootusest. Tee nüüd hull katse – veereta kuubikut 1000 korda! Ja kui keskmine ei ole täpselt 3,5, siis see on selle lähedal.

Arvutame ülalkirjeldatud loterii matemaatilise ootuse. Tabel näeb välja selline:

Siis on matemaatiline ootus, nagu me eespool tuvastasime:

Teine asi on see, et see on ka "näppude peal", ilma valemita oleks raske, kui oleks rohkem võimalusi. Noh, oletame, et 75% kaotas pileteid, 20% võitis pileteid ja 5% võitis pileteid.

Nüüd mõned matemaatilise ootuse omadused.

Seda on lihtne tõestada:

Ootusmärgist võib välja võtta konstantse kordaja, see on:

See on matemaatilise ootuse lineaarsusomaduse erijuht.

Teine matemaatilise ootuse lineaarsuse tagajärg:

see tähendab, et juhuslike suuruste summa matemaatiline ootus on võrdne juhuslike suuruste matemaatiliste ootuste summaga.

Olgu X, Y sõltumatud juhuslikud muutujad, siis:

Seda on ka lihtne tõestada) XY ise on juhuslik muutuja, samas kui algväärtused võiksid võtta n ja m väärtused, siis XY võib võtta nm väärtusi. Iga väärtuse tõenäosus arvutatakse selle põhjal, et sõltumatute sündmuste tõenäosused korrutatakse. Selle tulemusena saame selle:

Pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus

Pidevatel juhuslikel suurustel on selline tunnus nagu jaotustihedus (tõenäosustihedus). Tegelikult iseloomustab see olukorda, et juhuslik muutuja võtab reaalarvude hulgast mõned väärtused sagedamini, mõned - harvemini. Näiteks vaadake seda diagrammi:

Siin X- tegelikult juhuslik suurus, f(x)- jaotustihedus. Selle graafiku järgi otsustades katsete ajal väärtus X on sageli nullilähedane arv. võimalusi ületada 3 või olla vähem -3 pigem puhtalt teoreetiline.

Olgu näiteks ühtlane jaotus:

See on üsna kooskõlas intuitiivse arusaamaga. Oletame, et kui saame palju ühtlase jaotusega juhuslikke reaalarve, siis iga segment |0; 1| , siis peaks aritmeetiline keskmine olema umbes 0,5.

Diskreetsete juhuslike suuruste puhul rakendatavad matemaatilise ootuse omadused – lineaarsus jne, on rakendatavad ka siin.

Matemaatilise ootuse seos teiste statistiliste näitajatega

Statistilises analüüsis eksisteerib koos matemaatilise ootusega vastastikku sõltuvate näitajate süsteem, mis peegeldab nähtuste homogeensust ja protsesside stabiilsust. Tihti ei ole variatsiooninäitajatel iseseisvat tähendust ja neid kasutatakse andmete edasiseks analüüsiks. Erandiks on andmete homogeensust iseloomustav variatsioonikordaja, mis on väärtuslik statistiline tunnus.

Protsesside varieeruvuse või stabiilsuse astet statistikateaduses saab mõõta mitme näitaja abil.

Kõige olulisem juhusliku suuruse muutlikkust iseloomustav näitaja on Dispersioon, mis on matemaatilise ootusega kõige tihedamalt ja otsesemalt seotud. Seda parameetrit kasutatakse aktiivselt muud tüüpi statistilises analüüsis (hüpoteeside testimine, põhjus-tagajärg seoste analüüs jne). Nagu keskmine lineaarne hälve, peegeldab dispersioon ka seda, mil määral andmed jaotuvad keskmise ümber.

Kasulik on tõlkida märkide keel sõnade keelde. Selgub, et dispersioon on hälvete keskmine ruut. See tähendab, et kõigepealt arvutatakse keskmine väärtus, seejärel võetakse iga algse ja keskmise väärtuse vahe, ruudustatakse, liidetakse ja jagatakse seejärel selle populatsiooni väärtuste arvuga. Individuaalse väärtuse ja keskmise erinevus peegeldab kõrvalekalde mõõtu. See on ruudus tagamaks, et kõik kõrvalekalded muutuksid eranditult positiivseteks numbriteks ja et vältida positiivsete ja negatiivsete kõrvalekallete vastastikust tühistamist nende summeerimisel. Seejärel arvutame ruudus hälbeid arvestades lihtsalt aritmeetilise keskmise. Keskmine – ruut – kõrvalekalded. Kõrvalekalded ruudustatakse ja võetakse arvesse keskmist. Vastus võlusõnale "dispersioon" on vaid kolm sõna.

Kuid puhtal kujul, nagu näiteks aritmeetiline keskmine või indeks, dispersiooni ei kasutata. See on pigem abi- ja vahenäitaja, mida kasutatakse muud tüüpi statistilise analüüsi jaoks. Tal pole isegi tavalist mõõtühikut. Valemi järgi otsustades on see algse andmeühiku ruut.

Mõõdame juhuslikku suurust N korda, näiteks mõõdame tuule kiirust kümme korda ja tahame leida keskmist väärtust. Kuidas on keskmine väärtus seotud jaotusfunktsiooniga?

Või viskame täringuid palju kordi. Iga viske ajal täringule langevate punktide arv on juhuslik suurus ja võib võtta mis tahes loomulikud väärtused vahemikus 1 kuni 6. N see kaldub väga konkreetsele numbrile – matemaatilisele ootusele Mx. Sel juhul Mx = 3,5.

Kuidas see väärtus tekkis? Laske sisse N katsumused n1 kui 1 punkt langeb, n2 korda - 2 punkti ja nii edasi. Seejärel tulemuste arv, mille puhul üks punkt langes:

Samamoodi ka tulemuste puhul, kui välja langesid 2, 3, 4, 5 ja 6 punkti.

Oletame nüüd, et teame juhusliku suuruse x jaotusseadust, st teame, et juhuslik suurus x võib võtta väärtused x1, x2, ..., xk tõenäosustega p1, p2, ... , pk.

Juhusliku suuruse x matemaatiline ootus Mx on:

Matemaatiline ootus ei ole alati mõne juhusliku muutuja mõistlik hinnang. Seega on keskmise palga hindamiseks mõistlikum kasutada mediaani mõistet ehk sellist väärtust, et mediaanpalgast vähem ja rohkem palka saavate inimeste arv on sama.

Tõenäosus p1, et juhuslik suurus x on väiksem kui x1/2 ja tõenäosus p2, et juhuslik suurus x on suurem kui x1/2, on sama ja võrdne 1/2-ga. Mediaan ei ole kõigi jaotuste jaoks üheselt määratud.

Standard või standardhälve statistikas nimetatakse vaatlusandmete või kogumite kõrvalekalde astet KESKMISEST väärtusest. Tähistatakse tähtedega s või s. Väike standardhälve näitab, et andmed on rühmitatud keskmise ümber, ja suur standardhälve näitab, et algandmed on sellest kaugel. Standardhälve on võrdne suuruse, mida nimetatakse dispersiooniks, ruutjuurega. See on keskmisest kõrvalekalduvate algandmete ruudu erinevuste summa keskmine. Juhusliku muutuja standardhälve on dispersiooni ruutjuur:

Näide. Katsetingimustes sihtmärki tulistades arvutage juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve:

Variatsioon- tunnuse väärtuse kõikumine, varieeruvus üldkogumi ühikutes. Uuritavas populatsioonis esinevaid tunnuse eraldiseisvaid arvväärtusi nimetatakse väärtuste variantideks. Keskmise väärtuse ebapiisavus populatsiooni täielikuks iseloomustamiseks tingib vajaduse täiendada keskmisi väärtusi näitajatega, mis võimaldavad hinnata nende keskmiste tüüpilisust, mõõtes uuritava tunnuse kõikumist (variatsiooni). Variatsioonikoefitsient arvutatakse järgmise valemi abil:

Laiuse variatsioon(R) on erinevuse tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahel uuritud populatsioonis. See indikaator annab kõige üldisema ettekujutuse uuritava tunnuse kõikumisest, kuna see näitab erinevust ainult valikute äärmuslike väärtuste vahel. Sõltuvus atribuudi äärmuslikest väärtustest annab variatsioonivahemikule ebastabiilse juhusliku iseloomu.

Keskmine lineaarne hälve on analüüsitud populatsiooni kõigi väärtuste absoluutsete (moodulite) kõrvalekallete aritmeetiline keskmine nende keskmisest väärtusest:

Matemaatiline ootus hasartmängude teoorias

Matemaatiline ootus on keskmine rahasumma, mille mängur võib antud panusega võita või kaotada. See on mängija jaoks väga oluline kontseptsioon, kuna see on enamiku mänguolukordade hindamisel põhiline. Matemaatiline ootus on ka parim vahend põhiliste kaartide paigutuste ja mänguolukordade analüüsimiseks.

Oletame, et mängite sõbraga münti, tehes iga kord võrdse 1-dollarilise panuse, olenemata sellest, mis juhtub. Sabad – võidad, pead – kaotad. Tõenäosus, et see langeb, on üks ühele ja panustate $1 kuni $1. Seega on teie matemaatiline ootus null, sest matemaatiliselt öeldes ei saa sa teada, kas juhid või kaotad pärast kahte viset või pärast 200.

Teie tunnikasum on null. Tunni väljamakse on rahasumma, mille loodate ühe tunni jooksul võita. Saate ühe tunni jooksul münti visata 500 korda, kuid te ei võida ega kaota sellepärast teie koefitsiendid ei ole positiivsed ega negatiivsed. Kui vaadata, siis tõsise mängija seisukohalt pole selline panustamissüsteem halb. Aga see on lihtsalt aja raiskamine.

Kuid oletame, et keegi soovib samas mängus panustada 2 dollarit teie 1 dollari vastu. Siis on sul kohe positiivne ootus 50 senti igalt panuselt. Miks 50 senti? Keskmiselt võidad ühe panuse ja kaotad teise. Panusta esimesele dollarile ja kaota 1 dollar, panusta teisele ja võida 2 dollarit. Olete panustanud kaks korda 1 dollari ja olete 1 dollariga ees. Nii et iga teie ühe dollari panus andis teile 50 senti.

Kui münt kukub ühe tunni jooksul 500 korda, on teie tunnikasum juba 250 dollarit, sest. keskmiselt kaotasite 1250 dollarit ja võitsite 2250 korda. $500 miinus $250 võrdub $250, mis on koguvõit. Pange tähele, et eeldatav väärtus, mis on summa, mille ühe panusega keskmiselt võidate, on 50 senti. Võitsite 250 dollarit, panustades ühe dollari 500 korda, mis võrdub 50 sendiga teie panusest.

Matemaatilisel ootusel pole lühiajaliste tulemustega mingit pistmist. Teie vastane, kes otsustas teie vastu 2 dollarit panustada, võis teid võita esimesel kümnel viskel järjest, kuid teie 2-1 panustamise eelisega, kui kõik muu on võrdne, teete 50 senti iga 1-dollarise panuse eest mis tahes korral. asjaolud. Pole vahet, kas võidad või kaotad ühe panuse või mitu panust, vaid ainult tingimusel, et sul on piisavalt raha kulude hõlpsaks hüvitamiseks. Kui panustate samamoodi, siis pika aja jooksul ulatuvad teie võidud üksikute visete eeldatavate väärtuste summani.

Iga kord, kui teete parema panuse (panus, mis võib olla pikas perspektiivis kasumlik), kui koefitsiendid on teie kasuks, võidate sellel kindlasti midagi, olenemata sellest, kas kaotate selle antud jaotuses või mitte. Ja vastupidi, kui tegite panuse halvema tulemusega (pikemas perspektiivis kahjumlik panus), kui koefitsiendid pole teie kasuks, kaotate midagi, olenemata sellest, kas selles jaotuses võitsite või kaotasite.

Panustate parima tulemusega, kui teie ootused on positiivsed, ja see on positiivne, kui koefitsiendid on teie kasuks. Kui panustate halvima tulemusega, on teil negatiivne ootus, mis juhtub siis, kui koefitsiendid on teie vastu. Tõsised mängijad panustavad ainult parima tulemusega, halvima tulemusega – nad loobuvad. Mida tähendab koefitsient teie kasuks? Võite lõpuks võita rohkem, kui tegelik koefitsient toob. Tegelik saba tabamise koefitsient on 1:1, kuid panuste suhte tõttu saate 2:1. Sel juhul on tõenäosus teie kasuks. Parima tulemuse saate kindlasti positiivse ootusega 50 senti panuse kohta.

Siin on matemaatilise ootuse keerulisem näide. Sõber kirjutab üles numbrid ühest viieni ja panustab 5 dollarit teie 1 dollari vastu, et te ei vali numbrit. Kas olete sellise kihlveoga nõus? Mis on siin ootus?

Keskmiselt eksite neli korda. Selle põhjal on tõenäosus, et te arvu arvate 4:1. Tõenäosus on, et kaotate ühe dollari ühe katsega. Küll aga võidad 5:1, võimalusega kaotada 4:1. Seetõttu on koefitsiendid sinu kasuks, võid võtta panuse ja loota parimale tulemusele. Kui teete selle panuse viis korda, kaotate keskmiselt neli korda 1 dollari ja võidate üks kord 5 dollarit. Selle põhjal teenite kõigi viie katse eest 1 dollari positiivse matemaatilise ootusega 20 senti panuse kohta.

Mängija, kes kavatseb võita rohkem, kui ta panustab, nagu ülaltoodud näites, püüab koefitsiente. Ja vastupidi, ta rikub võimalusi, kui loodab võita vähem, kui ta panustab. Panustajal võivad olla positiivsed või negatiivsed ootused, olenevalt sellest, kas ta püüab kinni või rikub koefitsiente.

Kui panustate 50 dollariga 10 dollari võitmiseks 4:1 võiduvõimalusega, saate negatiivse ootuse 2 dollarit, sest keskmiselt võidate neli korda 10 dollarit ja kaotate ühe korra 50 dollarit, mis näitab, et kaotus panuse kohta on 10 dollarit. Aga kui panustate 30 dollariga, et võita 10 dollarit sama võidukoefitsiendiga 4:1, siis sel juhul on teil positiivne ootus 2 dollarit, sest võidate jälle neli korda 10 dollarit ja kaotate üks kord 30 dollarit, saades 10 dollari suuruse kasumi. Need näited näitavad, et esimene panus on halb ja teine ​​hea.

Matemaatiline ootus on iga mänguolukorra keskpunkt. Kui kihlvedude vahendaja julgustab jalgpallifänne panustama 11 dollarit, et võita 10 dollarit, on neil positiivne ootus 50 senti iga 10 dollari kohta. Kui kasiino maksab Craps passi realt isegi raha välja, siis on maja positiivne ootus ligikaudu 1,40 dollarit iga 100 dollari kohta; see mäng on üles ehitatud nii, et kõik, kes sellele reale panustavad, kaotavad keskmiselt 50,7% ja võidavad 49,3% ajast. Kahtlemata toob just see pealtnäha minimaalne positiivne ootus tohutut kasumit kasiinoomanikele üle maailma. Vegas Worldi kasiinoomanik Bob Stupak märkis: "Tuhandikprotsendiline negatiivne tõenäosus piisavalt pika vahemaa jooksul viib maailma rikkaima mehe pankrotti."

Matemaatiline ootus pokkerit mängides

Pokkerimäng on kõige illustreerivam ja illustreerivam näide matemaatilise ootuse teooria ja omaduste kasutamisest.

Oodatav väärtus pokkeris on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab kaaluda suurte numbrite ja pika vahemaa teooria raames. Edukas pokker seisneb selles, et võetakse alati positiivse matemaatilise ootusega liigutused vastu.

Matemaatilise ootuse matemaatiline tähendus pokkerit mängides seisneb selles, et otsuse langetamisel puutume sageli kokku juhuslike muutujatega (me ei tea, millised kaardid on vastase käes, millised kaardid tulevad järgmistel panustamisvoorudel). Peame vaatlema iga lahendust suurte arvude teooria seisukohast, mis ütleb, et piisavalt suure valimi korral kaldub juhusliku suuruse keskmine väärtus oma matemaatilisele ootusele.

Matemaatilise ootuse arvutamise valemitest on pokkeris kõige enam kasutatav järgmine:

Pokkerit mängides saab matemaatilist ootust arvutada nii panuste kui ka callide puhul. Esimesel juhul tuleks arvesse võtta fold equity'i, teisel juhul panga enda koefitsiente. Konkreetse käigu matemaatilist ootust hinnates tuleb meeles pidada, et foldi matemaatiline ootus on alati null. Seega on kaartide äraviskamine alati tulusam otsus kui mis tahes negatiivne käik.

Ootus ütleb teile, mida võite oodata (kasum või kahjum) iga riskitava dollari kohta. Kasiinod teenivad raha, sest matemaatiline ootus kõikidele mängudele, mida neis harrastatakse, on kasiino kasuks. Piisavalt pika mänguseeria puhul võib eeldada, et klient jääb oma rahast ilma, kuna “tõenäosus” on kasiino kasuks. Professionaalsed kasiinomängijad aga piiravad oma mänge lühikeste perioodidega, suurendades seeläbi koefitsiente enda kasuks. Sama kehtib ka investeerimise kohta. Kui teie ootused on positiivsed, võite teenida rohkem raha, tehes lühikese aja jooksul palju tehinguid. Ootus on teie protsent võidu kohta korrutatud teie keskmise kasumi miinus teie kaotuse tõenäosus korrutatud teie keskmine kahjum.

Pokkerit võib käsitleda ka matemaatilise ootuse seisukohalt. Võite eeldada, et teatud käik on tulus, kuid mõnel juhul ei pruugi see olla parim, sest mõni teine ​​käik on tulusam. Oletame, et tabasite viie kaardi tõmbepokkeris täismaja. Sinu vastane panustab. Teate, et kui olete valmis, siis ta helistab. Seega tundub tõstmine olevat parim taktika. Kui aga tõstad, loobivad ülejäänud kaks mängijat kindlasti. Aga kui maksate panuse, olete täiesti kindel, et teised kaks mängijat pärast teid teevad sama. Kui tõstad panust, saad ühe ühiku ja lihtsalt helistades saad kaks. Seega annab helistamine teile suurema positiivse eeldatava väärtuse ja on parim taktika.

Matemaatiline ootus võib anda aimu ka sellest, millised pokkeritaktikad on vähem tulusad ja millised tulusamad. Näiteks kui mängite kindlat kätt ja arvate, et teie keskmine kaotus on 75 senti koos antedega, peaksite seda jaotust mängima, sest see on parem kui voltimine, kui ante on $1.

Teine oluline põhjus eeldatava väärtuse mõistmiseks on see, et see annab teile meelerahu, kas võidate panuse või mitte: kui teete hea panuse või annate õigeaegselt edasi, teate, et olete teinud või säästnud teatud summa raha, mida nõrgem mängija ei suutnud säästa. Märksa raskem on loobuda, kui oled pettunud, et vastasel on loosimisel parem käsi. See tähendab, et raha, mille säästate, kui panustate, lisatakse teie üleöö- või kuuvõitule.

Pidage meeles, et kui vahetate kätt, siis vastane helistab teile ja nagu näete pokkeri alusteoreemi artiklist, on see vaid üks teie eelistest. Peaksite rõõmustama, kui see juhtub. Võite isegi õppida nautima käe kaotamist, sest teate, et teised teie kingades olevad mängijad kaotaksid palju rohkem.

Nagu alguses mündimängu näites räägitud, on tunnitasuvus seotud matemaatilise ootusega ning see kontseptsioon on eriti oluline professionaalsete mängijate jaoks. Kui kavatsete pokkerit mängida, peate vaimselt hindama, kui palju võite mängutunni jooksul võita. Enamikul juhtudel peate tuginema oma intuitsioonile ja kogemustele, kuid võite kasutada ka mõningaid matemaatilisi arvutusi. Näiteks kui mängite lowballi loosimist ja näete, et kolm mängijat panustavad 10 dollarit ja tõmbavad seejärel kaks kaarti, mis on väga halb taktika, saate ise arvutada, et iga kord, kui panustavad 10 dollarit, kaotavad nad umbes 2 dollarit. Igaüks neist teeb seda kaheksa korda tunnis, mis tähendab, et kõik kolm kaotavad umbes 48 dollarit tunnis. Olete üks ülejäänud neljast mängijast, kes on ligikaudu võrdsed, seega peavad need neli mängijat (ja teie nende hulgas) jagama 48 dollarit ja igaüks teenib 12 dollarit tunnis. Teie tunnitasu on sel juhul lihtsalt teie osa kolme halva mängija tunnis kaotatud rahasummast.

Pika aja jooksul on mängija koguvõidud tema matemaatiliste ootuste summa eraldi jaotustes. Mida rohkem sa mängid positiivsete ootustega, seda rohkem võidad ja vastupidi, mida rohkem käsi mängid negatiivse ootusega, seda rohkem sa kaotad. Selle tulemusena peaksite eelistama mängu, mis võib teie positiivseid ootusi maksimeerida või negatiivseid ootusi tühistada, et saaksite oma tunnikasumit maksimeerida.

Positiivne matemaatiline ootus mängustrateegias

Kui tead, kuidas kaarte lugeda, võib sul olla kasiino ees eelis, kui nad ei märka ja sind välja ei löö. Kasiinod armastavad purjus mängureid ega kannata kaartide lugemist. Eelis võimaldab teil võita rohkem kordi kui kaotada aja jooksul. Hea rahahaldus ootuste arvutuste abil aitab teil oma eelist ära kasutada ja kahjumit vähendada. Ilma eeliseta on parem raha heategevuseks anda. Mängus börsil annab eelise mängu süsteem, mis loob rohkem kasumit kui kahjumit, hinnavahesid ja komisjonitasusid. Ükski rahahaldus ei päästa halba mängusüsteemi.

Positiivne ootus on defineeritud nullist suurema väärtusega. Mida suurem see arv, seda tugevam on statistiline ootus. Kui väärtus on väiksem kui null, on ka matemaatiline ootus negatiivne. Mida suurem on negatiivse väärtuse moodul, seda halvem on olukord. Kui tulemus on null, siis on ootus kasumlik. Võita saab ainult siis, kui sul on positiivne matemaatiline ootus, mõistlik mängusüsteem. Intuitsioonile mängimine viib katastroofini.

Matemaatiline ootus ja aktsiatega kauplemine

Matemaatiline ootus on finantsturgude börsil kauplemisel üsna laialt nõutud ja populaarne statistiline näitaja. Esiteks kasutatakse seda parameetrit kauplemise edukuse analüüsimiseks. Pole raske arvata, et mida suurem see väärtus, seda rohkem põhjust pidada uuritavat tehingut edukaks. Loomulikult ei saa kaupleja töö analüüsi teha ainult selle parameetri abil. Arvutatud väärtus koos teiste töökvaliteedi hindamismeetoditega võib aga analüüsi täpsust oluliselt tõsta.

Kauplemiskonto jälgimise teenustes arvutatakse sageli matemaatilist ootust, mis võimaldab kiiresti hinnata hoiuse kallal tehtud tööd. Erandina võime nimetada strateegiaid, mis kasutavad kaotavate tehingute "ülejäämist". Kauplejal võib mõnda aega vedada ja seetõttu ei pruugi tema töös üldse kahjusid tekkida. Sel juhul ei saa orienteeruda ainult ootuse järgi, sest töös kasutatavaid riske ei võeta arvesse.

Turul kauplemisel kasutatakse matemaatilist ootust kõige sagedamini kauplemisstrateegia tasuvuse ennustamisel või kaupleja sissetulekute ennustamisel tema varasemate tehingute statistika põhjal.

Rahahalduse osas on väga oluline mõista, et negatiivse ootusega tehingute tegemisel puudub rahahaldusskeem, mis võiks kindlasti tuua suuri kasumeid. Kui jätkate börsi mängimist nendel tingimustel, siis olenemata sellest, kuidas te oma raha haldate, kaotate kogu oma konto, olenemata sellest, kui suur see alguses oli.

See aksioom ei kehti ainult negatiivsete ootustega mängude või tehingute puhul, see kehtib ka paariskoefitsientidega mängude kohta. Seetõttu on ainus juhtum, kus teil on võimalus pikemas perspektiivis kasu saada, kui sõlmite tehinguid positiivse matemaatilise ootusega.

Erinevus negatiivse ootuse ja positiivse ootuse vahel on erinevus elu ja surma vahel. Pole tähtis, kui positiivne või negatiivne ootus on; oluline on see, kas see on positiivne või negatiivne. Seetõttu peate enne rahahalduse kaalumist leidma positiivse ootusega mängu.

Kui teil seda mängu pole, ei päästa teid ükski rahahaldus maailmas. Teisest küljest, kui teil on positiivne ootus, siis on õige rahahalduse abil võimalik muuta see eksponentsiaalseks kasvufunktsiooniks. Pole tähtis, kui väike on positiivne ootus! Ehk siis pole vahet, kui tulus on ühel lepingul põhinev kauplemissüsteem. Kui teil on süsteem, mis võidab ühel tehingul 10 dollarit lepingu kohta (pärast tasusid ja libisemist), saate kasutada rahahaldustehnikaid, et muuta see tulusamaks kui süsteem, mis näitab keskmiselt 1000 dollari suurust kasumit tehingu kohta (pärast komisjonitasude ja kulude mahaarvamist). libisemine).

Tähtis pole see, kui kasumlik süsteem oli, vaid see, kui kindlalt saab väita, et süsteem näitab tulevikus vähemalt minimaalset kasumit. Seetõttu on kõige olulisem ettevalmistus, mida kaupleja teha saab, veenduda, et süsteem näitaks tulevikus positiivset oodatavat väärtust.

Et omada tulevikus positiivset eeldatavat väärtust, on väga oluline mitte piirata oma süsteemi vabadusastmeid. See saavutatakse mitte ainult optimeeritavate parameetrite kõrvaldamise või vähendamisega, vaid ka võimalikult paljude süsteemireeglite vähendamisega. Iga lisatav parameeter, iga tehtud reegel, iga väike muudatus süsteemis vähendab vabadusastmete arvu. Ideaalis soovite ehitada üsna primitiivse ja lihtsa süsteemi, mis tooks pidevalt väikest kasumit peaaegu igal turul. Jällegi on oluline mõista, et süsteemi kasumlikkusel pole vahet, kui see on kasumlik. Kauplemisel teenitud raha teenitakse tõhusa rahahalduse kaudu.

Kauplemissüsteem on lihtsalt tööriist, mis annab teile positiivse matemaatilise ootuse, et rahahaldust saaks kasutada. Süsteemid, mis töötavad (näitavad vähemalt minimaalset kasumit) ainult ühel või mõnel turul või millel on erinevate turgude jaoks erinevad reeglid või parameetrid, ei tööta suure tõenäosusega pikka aega reaalajas. Enamiku tehnilise orientatsiooniga kauplejate probleem seisneb selles, et nad kulutavad liiga palju aega ja jõupingutusi kauplemissüsteemi erinevate reeglite ja parameetrite optimeerimisele. See annab täiesti vastupidised tulemused. Selle asemel, et raisata energiat ja arvutiaega kauplemissüsteemi kasumi suurendamisele, suunake oma energia minimaalse kasumi saamise usaldusväärsuse tõstmisele.

Teades, et rahahaldus on vaid numbrimäng, mis eeldab positiivsete ootuste kasutamist, võib kaupleja lõpetada aktsiakaubanduse "püha graali" otsimise. Selle asemel võib ta hakata oma kauplemismeetodit testima, uurida, kuidas see meetod loogiliselt põhjendatud on, kas see annab positiivseid ootusi. Kõigi, isegi väga keskpäraste kauplemismeetodite puhul rakendatavad õiged rahahaldusmeetodid teevad ülejäänud töö ära.

Iga kaupleja peab oma töös edu saavutamiseks lahendama kolm kõige olulisemat ülesannet: . Tagada, et edukate tehingute arv ületaks vältimatuid vigu ja valearvestusi; Seadistage oma kauplemissüsteem nii, et raha teenimise võimalus oleks võimalikult sageli; Saavutage oma operatsioonide stabiilne positiivne tulemus.

Ja siin võib meile, töötavatele kauplejatele, head abi pakkuda matemaatiline ootus. See termin tõenäosusteoorias on üks võtmetähtsusega. Selle abil saate anda mõne juhusliku väärtuse keskmise hinnangu. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on nagu raskuskese, kui kujutada kõiki võimalikke tõenäosusi erineva massiga punktidena.

Seoses kauplemisstrateegiaga kasutatakse selle tõhususe hindamiseks kõige sagedamini kasumi (või kahjumi) matemaatilist ootust. See parameeter on määratletud kui antud kasumi- ja kahjumitasemete produktide ja nende esinemise tõenäosuse summa. Näiteks eeldatakse väljatöötatud kauplemisstrateegias, et 37% kõigist tehingutest toob kasumit ja ülejäänud osa - 63% - on kahjumlik. Samal ajal on eduka tehingu keskmine tulu 7 dollarit ja keskmine kahjum 1,4 dollarit. Arvutame kauplemise matemaatilise ootuse järgmise süsteemi abil:

Mida see number tähendab? Seal on kirjas, et selle süsteemi reegleid järgides saame igalt suletud tehingult keskmiselt 1,708 dollarit. Kuna saadud efektiivsusskoor on suurem kui null, saab sellist süsteemi kasutada reaalseks tööks. Kui arvutuse tulemusena osutub matemaatiline ootus negatiivseks, siis see viitab juba keskmisele kahjumile ja selline kauplemine toob kaasa hävingu.

Kasumi suurust tehingu kohta saab väljendada ka suhtelise väärtusena kujul%. Näiteks:

– tulu protsent 1 tehingu kohta - 5%;

– edukate kauplemistehingute osakaal - 62%;

– kahjuprotsent 1 tehingu kohta - 3%;

- ebaõnnestunud tehingute osakaal - 38%;

See tähendab, et keskmine tehing toob 1,96%.

Võimalik on välja töötada süsteem, mis hoolimata kaotavate tehingute ülekaalust annab positiivse tulemuse, kuna selle MO>0.

Siiski ei piisa ainult ootamisest. Raske on raha teenida, kui süsteem annab väga vähe kauplemissignaale. Sel juhul on selle kasumlikkus võrreldav pangaintressiga. Las iga toiming toob keskmiselt sisse vaid 0,5 dollarit, aga mis siis, kui süsteem eeldab 1000 tehingut aastas? See on suhteliselt lühikese aja jooksul väga tõsine summa. Sellest järeldub loogiliselt, et hea kauplemissüsteemi teiseks tunnuseks võib pidada lühikest hoidmisperioodi.

Allikad ja lingid

dic.academic.ru - akadeemiline veebisõnastik

mathematics.ru - matemaatikat käsitlev haridussait

nsu.ru – Novosibirski Riikliku Ülikooli haridusveebisait

webmath.ru on haridusportaal üliõpilastele, taotlejatele ja koolilastele.

exponenta.ru hariduslik matemaatiline veebisait

ru.tradimo.com - tasuta veebipõhine kauplemiskool

crypto.hut2.ru - multidistsiplinaarne teabeallikas

poker-wiki.ru - tasuta pokkeri entsüklopeedia

sernam.ru – valitud loodusteaduslike publikatsioonide teaduslik raamatukogu

reshim.su – veebileht SOLVE ülesanded, mis kontrollivad kursuste tööd

unfx.ru – Forex UNFX-is: haridus, kauplemissignaalid, usalduse haldamine

slovopedia.com – suur entsüklopeediline sõnaraamat

pokermansion.3dn.ru – Sinu teejuht pokkerimaailma

statanaliz.info - teabeblogi "Statistiliste andmete analüüs"

forex-trader.rf – portaal Forex-Trader

megafx.ru – ajakohane Forexi analüüs

fx-by.com – kõik kaupleja jaoks

Matemaatilise ootuse kontseptsiooni saab käsitleda täringuheite näitel. Iga viskega registreeritakse langenud punktid. Nende väljendamiseks kasutatakse looduslikke väärtusi vahemikus 1–6.

Pärast teatud arvu viskeid saate lihtsate arvutuste abil leida langenud punktide aritmeetilise keskmise.

Lisaks vahemiku väärtuste tühistamisele on see väärtus juhuslik.

Ja kui tõsta visete arvu mitu korda? Suure visete arvu korral läheneb punktide aritmeetiline keskmine väärtus kindlale arvule, mis tõenäosusteoorias on saanud matemaatilise ootuse nime.

Seega mõistetakse matemaatilist ootust juhusliku suuruse keskmise väärtusena. Seda näitajat saab esitada ka tõenäoliste väärtuste kaalutud summana.

Sellel kontseptsioonil on mitu sünonüümi:

• keskmine;
• keskmine väärtus;
• keskne trendinäitaja;
• esimene hetk.

Teisisõnu, see pole midagi muud kui arv, mille ümber juhusliku suuruse väärtused jaotuvad.

Inimtegevuse erinevates valdkondades on matemaatilise ootuse mõistmise lähenemisviisid mõnevõrra erinevad.

Seda saab vaadata järgmiselt:

• otsuse vastuvõtmisest saadud keskmine kasu juhul, kui sellist otsust vaadeldakse suurte arvude teooria seisukohalt;
• võimalik võidu või kaotuse summa (hasartmänguteooria), mis arvutatakse iga panuse kohta keskmiselt. Slängis kõlavad need nagu "mängija eelis" (mängija jaoks positiivne) või "kasiino eelis" (mängija jaoks negatiivne);
• võitudest saadud kasumi protsent.

Matemaatiline ootus ei ole absoluutselt kõigi juhuslike suuruste puhul kohustuslik. See puudub neil, kellel on lahknevus vastavas summas või integraalis.

Ootuste omadused

Nagu igal statistilisel parameetril, on ka matemaatilisel ootusel järgmised omadused:

Matemaatilise ootuse põhivalemid

Matemaatilise ootuse saab arvutada nii juhuslike suuruste puhul, mida iseloomustab nii pidevus (valem A) kui ka diskreetsus (valem B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, kus xi on juhusliku suuruse väärtused, pi on tõenäosused:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, kus f(x) on etteantud tõenäosustihedus.

Näited matemaatilise ootuse arvutamiseks

Näide A.

Kas Lumivalgekese muinasjutus on võimalik teada saada päkapikkude keskmist kõrgust. On teada, et igal 7-l päkapikul oli teatud kõrgus: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 ja 0,81 m.

Arvutusalgoritm on üsna lihtne:

• leidke kasvuindikaatori (juhusliku muutuja) kõigi väärtuste summa:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Saadud summa jagatakse päkapikkude arvuga:
  6,31:7=0,90.

Seega on päkapikkude keskmine kõrgus muinasjutus 90 cm Teisisõnu, see on päkapikkude kasvu matemaatiline ootus.

Töövalem - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Matemaatilise ootuse praktiline rakendamine

Matemaatilise ootuse statistilise näitaja arvutamist kasutatakse erinevates praktilise tegevuse valdkondades. Esiteks räägime kommertsvaldkonnast. Tõepoolest, selle näitaja kasutuselevõtt Huygensi poolt on seotud võimaluste kindlaksmääramisega, mis võivad mõne sündmuse jaoks olla soodsad või vastupidi, ebasoodsad.

Seda parameetrit kasutatakse laialdaselt riskide hindamiseks, eriti kui tegemist on finantsinvesteeringutega.
Seega toimib äris matemaatilise ootuse arvutamine hindade arvutamisel riski hindamise meetodina.

Seda indikaatorit saab kasutada ka teatud meetmete, näiteks töökaitsemeetmete tõhususe arvutamisel. Tänu sellele saate arvutada sündmuse toimumise tõenäosuse.

Selle parameetri teine ​​rakendusvaldkond on juhtimine. Seda saab arvutada ka toote kvaliteedikontrolli käigus. Näiteks matti kasutades. ootustele, saate arvutada võimaliku defektsete osade arvu.

Matemaatiline ootus on asendamatu ka teadusliku uurimistöö käigus saadud tulemuste statistilisel töötlemisel. Samuti võimaldab see sõltuvalt eesmärgi saavutamise tasemest arvutada katse või uuringu soovitud või soovimatu tulemuse tõenäosust. Lõppude lõpuks võib selle saavutamist seostada kasumi ja kasumiga ning selle mittesaavutamist - kahju või kahjumiga.

Matemaatilise ootuse kasutamine Forexis

Selle statistilise parameetri praktiline rakendamine on võimalik valuutaturul tehingute tegemisel. Seda saab kasutada kaubandustehingute edukuse analüüsimiseks. Veelgi enam, ootuste väärtuse kasv näitab nende edu suurenemist.

Samuti on oluline meeles pidada, et matemaatilist ootust ei tohiks pidada ainsaks statistiliseks parameetriks, mida kasutatakse kaupleja tegevuse analüüsimisel. Mitme statistilise parameetri kasutamine koos keskmise väärtusega suurendab kohati analüüsi täpsust.

See parameeter on end kauplemiskontode jälgimisel hästi tõestanud. Tänu temale toimub deposiitkontol tehtud tööde kiire hindamine. Juhtudel, kui kaupleja tegevus on edukas ja ta väldib kahjumit, ei ole soovitatav kasutada ainult matemaatilise ootuse arvutamist. Nendel juhtudel ei võeta riske arvesse, mis vähendab analüüsi efektiivsust.

Kauplejate taktikate läbiviidud uuringud näitavad, et:

• kõige tõhusamad on juhuslikul sisendil põhinevad taktikad;
• kõige vähem tõhusad on struktureeritud sisenditel põhinevad taktikad.

Positiivsete tulemuste saavutamiseks on sama oluline:

• raha haldamise taktika;
• väljumisstrateegiad.

Kasutades sellist näitajat nagu matemaatilist ootust, saame eeldada, milline on kasum või kahjum 1 dollari investeerimisel. Teatavasti on see näitaja, mis on arvutatud kõigi kasiinos harrastatavate mängude kohta, asutuse kasuks. See võimaldab teil raha teenida. Pika mängude seeria puhul suureneb oluliselt tõenäosus, et klient kaotab raha.

Professionaalsete mängijate mängud on piiratud väikeste ajavahemikega, mis suurendab võiduvõimalust ja vähendab kaotuse ohtu. Sama muster on täheldatav ka investeerimistoimingute tegemisel.

Investor võib lühikese aja jooksul teenida märkimisväärse summa positiivse ootuse ja suure hulga tehingutega.

Ootust võib pidada kasumi protsendi (PW) ja keskmise kasumi (AW) ja kahjumi tõenäosuse (PL) ja keskmise kahjumi (AL) vahe.

Näiteks kaaluge järgmist: positsioon - 12,5 tuhat dollarit, portfell - 100 tuhat dollarit, risk hoiuse kohta - 1%. Tehingute kasumlikkus on 40% juhtudest keskmise kasumiga 20%. Kahju korral on keskmine kahju 5%. Tehingu matemaatilise ootuse arvutamine annab väärtuseks 625 dollarit.

Diskreetsete ja pidevate juhuslike suuruste põhilised numbrilised karakteristikud: matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve. Nende omadused ja näited.

Jaotusseadus (jaotusfunktsioon ja jaotusrida ehk tõenäosustihedus) kirjeldab täielikult juhusliku suuruse käitumist. Kuid mitme ülesande puhul piisab püstitatud küsimusele vastamiseks teadmisest uuritava suuruse mõningaid arvulisi omadusi (näiteks selle keskmist väärtust ja võimalikku kõrvalekallet sellest). Vaatleme diskreetsete juhuslike suuruste peamisi arvulisi omadusi.

Definitsioon 7.1.matemaatiline ootus Diskreetne juhuslik suurus on selle võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutiste summa:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p(7.1)

Kui juhusliku suuruse võimalike väärtuste arv on lõpmatu, siis kui saadud seeria läheneb absoluutselt.

Märkus 1. Mõnikord nimetatakse matemaatilist ootust kaalutud keskmine, kuna see on ligikaudu võrdne suure hulga katsete juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega.

Märkus 2. Matemaatilise ootuse definitsioonist järeldub, et selle väärtus ei ole väiksem kui juhusliku suuruse väikseim võimalik väärtus ja mitte suurem kui suurim.

Märkus 3. Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on mitte-juhuslikud(pidev. Hiljem näeme, et sama kehtib ka pidevate juhuslike muutujate kohta.

Näide 1. Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus X- standardosade arv kolme hulgast, mis on valitud 10 osast koosnevast partiist, sealhulgas 2 defektset. Koostame jaotusseeria jaoks X. Probleemi olukorrast tuleneb, et X võib võtta väärtused 1, 2, 3. Siis

Näide 2. Defineeri juhusliku suuruse matemaatiline ootus X- mündiviskamiste arv kuni vapi esmakordse ilmumiseni. See suurus võib võtta lõpmatu arvu väärtusi (võimalike väärtuste kogum on naturaalarvude kogum). Selle jaotussarja vorm on:

+ (arvutamisel kasutati kahel korral lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa valemit: , kust ).

Matemaatilise ootuse omadused.

1) Konstandi matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga:

M(FROM) = FROM.(7.2)

Tõestus. Kui arvestada FROM diskreetse juhusliku muutujana, mis võtab ainult ühe väärtuse FROM tõenäosusega R= 1, siis M(FROM) = FROM?1 = FROM.

2) Ootusmärgist võib välja võtta konstantse teguri:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Tõestus. Kui juhuslik suurus X jaotussarja poolt antud

Siis M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = FROM(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Definitsioon 7.2. Nimetatakse kahte juhuslikku muutujat sõltumatu, kui ühe neist jaotusseadus ei sõltu sellest, milliseid väärtusi teine ​​on võtnud. Muidu juhuslikud muutujad sõltuv.

Definitsioon 7.3. Helistame sõltumatute juhuslike muutujate korrutis X ja Y juhuslik muutuja XY, mille võimalikud väärtused on võrdsed kõigi võimalike väärtuste korrutistega X kõigi võimalike väärtuste jaoks Y, ja neile vastavad tõenäosused on võrdsed tegurite tõenäosuste korrutistega.

3) Kahe sõltumatu juhusliku muutuja korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Tõestus. Arvutuste lihtsustamiseks piirdume juhtumiga, kui X ja Y võtke ainult kaks võimalikku väärtust:

Järelikult M(XY) = x 1 y 1 ?lk 1 g 1 + x 2 y 1 ?lk 2 g 1 + x 1 y 2 ?lk 1 g 2 + x 2 y 2 ?lk 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 lk 1 + x 2 lk 2) + + y 2 g 2 (x 1 lk 1 + x 2 lk 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 lk 1 + x 2 lk 2) = M(X)?M(Y).

Märkus 1. Samamoodi saab seda omadust tõestada rohkemate tegurite võimalike väärtuste jaoks.

Märkus 2. Omadus 3 kehtib suvalise arvu sõltumatute juhuslike suuruste korrutisele, mida tõestatakse matemaatilise induktsiooni meetodiga.

Definitsioon 7.4. Defineerime juhuslike muutujate summa X ja Y juhusliku muutujana X + Y, mille võimalikud väärtused on võrdsed iga võimaliku väärtuse summadega X iga võimaliku väärtusega Y; selliste summade tõenäosused on võrdsed liikmete tõenäosuste korrutistega (sõltuvate juhuslike muutujate korral - ühe liikme tõenäosuse korrutis teise tingimusliku tõenäosusega).

4) Kahe juhusliku suuruse (sõltuva või sõltumatu) summa matemaatiline ootus on võrdne terminite matemaatiliste ootuste summaga:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Tõestus.

Vaatleme uuesti omaduse 3. tõestuses antud jaotusrea poolt antud juhuslikke muutujaid. Seejärel võimalikud väärtused X+Y on X 1 + juures 1 , X 1 + juures 2 , X 2 + juures 1 , X 2 + juures 2. Tähistage nende tõenäosused vastavalt kui R 11 , R 12 , R 21 ja R 22. Otsime üles M(X+Y) = (x 1 + y 1)lk 11 + (x 1 + y 2)lk 12 + (x 2 + y 1)lk 21 + (x 2 + y 2)lk 22 =

= x 1 (lk 11 + lk 12) + x 2 (lk 21 + lk 22) + y 1 (lk 11 + lk 21) + y 2 (lk 12 + lk 22).

Tõestame seda R 11 + R 22 = Rüks . Tõepoolest, sündmus, mis X+Y omandab väärtused X 1 + juures 1 või X 1 + juures 2 ja mille tõenäosus on R 11 + R 22 langeb kokku sündmusega, mis X = X 1 (selle tõenäosus on Rüks). Samamoodi on tõestatud, et lk 21 + lk 22 = R 2 , lk 11 + lk 21 = g 1 , lk 12 + lk 22 = g 2. Tähendab,

M(X+Y) = x 1 lk 1 + x 2 lk 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Kommenteeri. Omadus 4 tähendab, et mis tahes arvu juhuslike muutujate summa on võrdne terminite eeldatavate väärtuste summaga.

Näide. Leidke viie täringu viskamisel visatud punktide summa matemaatiline ootus.

Leiame ühe täringu viskamisel langenud punktide arvu matemaatilise ootuse:

M(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Sama arv on võrdne mis tahes täringule langenud punktide arvu matemaatilise ootusega. Seega vara 4 järgi M(X)=

Dispersioon.

Juhusliku muutuja käitumisest ettekujutuse saamiseks ei piisa ainult selle matemaatilise ootuse teadmisest. Mõelge kahele juhuslikule muutujale: X ja Y, mis on antud vormi jaotussarjana

Otsime üles M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) \u003d 0? 0,5 ​​+ 100? 0,5 ​​\u003d 50. Nagu näete, on mõlema suuruse matemaatilised ootused võrdsed, kuid kui HM(X) kirjeldab hästi juhusliku suuruse käitumist, olles selle kõige tõenäolisem võimalik väärtus (pealegi erinevad ülejäänud väärtused veidi 50-st), siis väärtused Y oluliselt kõrvale kalduda M(Y). Seetõttu on koos matemaatilise ootusega soovitav teada, kui palju juhusliku suuruse väärtused sellest kõrvale kalduvad. Selle indikaatori iseloomustamiseks kasutatakse dispersiooni.

Definitsioon 7.5.Dispersioon (hajumine) juhuslikku muutujat nimetatakse matemaatiliseks ootuseks selle ruudu kõrvalekaldumisele matemaatilisest ootusest:

D(X) = M (X-M(X))². (7,6)

Leidke juhusliku suuruse dispersioon X(standardosade arv valitud hulgas) käesoleva loengu näites 1. Arvutame iga võimaliku väärtuse ruudus kõrvalekalde väärtused matemaatilisest ootusest:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Järelikult

Märkus 1. Dispersiooni definitsioonis ei hinnata kõrvalekallet keskmisest endast, vaid selle ruutu. Seda tehakse selleks, et erinevate märkide kõrvalekalded ei kompenseeriks üksteist.

Märkus 2. Dispersiooni definitsioonist tuleneb, et see suurus võtab ainult mittenegatiivseid väärtusi.

Märkus 3. Dispersiooni arvutamiseks on mugavam valem, mille kehtivust tõestab järgmine teoreem:

Teoreem 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Tõestus.

Kasutades mida M(X) on konstantne väärtus ja matemaatilise ootuse omadused, teisendame valemi (7.6) kujule:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), mida tuli tõestada.

Näide. Arvutame juhuslike suuruste dispersioonid X ja Y arutatakse selle jaotise alguses. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) \u003d (0 2? 0,5 ​​+ 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Seega on teise juhusliku suuruse dispersioon mitu tuhat korda suurem kui esimese. Seega, isegi teadmata nende suuruste jaotuse seadusi, võime vastavalt dispersiooni teadaolevatele väärtustele väita, et X kaldub oma matemaatilisest ootusest vähe kõrvale, samas kui jaoks Y see kõrvalekalle on väga märkimisväärne.

Dispersiooniomadused.

1) Dispersioonikonstant FROM võrdub nulliga:

D (C) = 0. (7.8)

Tõestus. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Konstantse teguri saab dispersioonimärgist välja võtta selle ruudustamisel:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Tõestus. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Kahe sõltumatu juhusliku suuruse summa dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Tõestus. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Tagajärg 1. Mitme üksteisest sõltumatu juhusliku muutuja summa dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga.

Tagajärg 2. Konstandi ja juhusliku suuruse summa dispersioon on võrdne juhusliku suuruse dispersiooniga.

4) Kahe sõltumatu juhusliku suuruse erinevuse dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Tõestus. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Dispersioon annab juhusliku suuruse ruudus keskmisest hälbe keskmise väärtuse; hälbe hindamiseks on väärtus, mida nimetatakse standardhälbeks.

Definitsioon 7.6.Standardhälveσ juhuslik suurus X nimetatakse dispersiooni ruutjuureks:

Näide. Eelmises näites standardhälbed X ja Y vastavalt võrdsed

Lisaks jaotusseadustele saab kirjeldada ka juhuslikke muutujaid numbrilised omadused .

matemaatiline ootus Juhusliku suuruse M (x) nimetatakse selle keskmiseks väärtuseks.

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus arvutatakse valemiga

kus – juhusliku suuruse väärtused, lk mina- nende tõenäosused.

Mõelge matemaatilise ootuse omadustele:

1. Konstandi matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga

2. Kui juhuslik suurus korrutatakse teatud arvuga k, korrutatakse matemaatiline ootus sama arvuga

M (kx) = kM (x)

3. Juhuslike muutujate summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Sõltumatute juhuslike suuruste x 1 , x 2 , … x n korral on korrutise matemaatiline ootus võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Arvutame näite 11 juhusliku suuruse matemaatilise ootuse.

M(x) == .

Näide 12. Olgu juhuslikud suurused x 1 , x 2 antud vastavalt jaotusseadustega:

x 1 Tabel 2

x 2 Tabel 3

Arvutage M (x 1) ja M (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (-20) 0,3 + (-10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

Mõlema juhusliku suuruse matemaatilised ootused on samad – need on võrdsed nulliga. Nende jaotus on aga erinev. Kui x 1 väärtused erinevad nende matemaatilisest ootusest vähe, siis x 2 väärtused erinevad suurel määral nende matemaatilisest ootusest ja selliste kõrvalekallete tõenäosus ei ole väike. Need näited näitavad, et keskmise väärtuse põhjal on võimatu kindlaks teha, millised kõrvalekalded sellest toimuvad nii üles kui alla. Seega ei saa kahe paikkonna aasta sama keskmise sademete hulga juures väita, et need paigad oleksid põllutöödeks võrdselt soodsad. Samamoodi ei saa keskmise palga näitaja järgi hinnata kõrge ja madalapalgaliste töötajate osakaalu. Seetõttu võetakse kasutusele numbriline karakteristik - dispersioon D(x) , mis iseloomustab juhusliku suuruse kõrvalekaldumise astet selle keskmisest väärtusest:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersioon on juhusliku suuruse ruudus kõrvalekalde matemaatiline ootus matemaatilisest ootusest. Diskreetse juhusliku suuruse korral arvutatakse dispersioon järgmise valemiga:

D(x)= = (3)

Dispersiooni definitsioonist järeldub, et D (x) 0.

Dispersiooni omadused:

1. Konstandi dispersioon on null

2. Kui juhuslik suurus on korrutatud mingi arvuga k, siis dispersioon korrutatakse selle arvu ruuduga

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Paaripõhiselt sõltumatute juhuslike suuruste x 1 , x 2 , … x n korral on summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Arvutame näite 11 juhusliku suuruse dispersiooni.

Matemaatiline ootus M (x) = 1. Seega on meil valemi (3) järgi:

D (x) = (0–1) 2 1/4 + (1–1) 2 1/2 + (2–1) 2 1/4 = 1 1/4 + 1 1/4 = 1/2

Pange tähele, et dispersiooni on lihtsam arvutada, kui kasutame omadust 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Arvutame näite 12 juhuslike suuruste x 1 , x 2 dispersioonid selle valemi abil. Mõlema juhusliku suuruse matemaatilised ootused on võrdsed nulliga.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,003d 0,4 0,003

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Mida lähemal on dispersiooni väärtus nullile, seda väiksem on juhusliku suuruse levik keskmise väärtuse suhtes.

Väärtust nimetatakse standardhälve. Juhuslik mood x diskreetne tüüp Md on juhusliku suuruse väärtus, mis vastab suurimale tõenäosusele.

Juhuslik mood x pidev tüüp Md, on reaalarv, mis on määratletud tõenäosusjaotuse tiheduse f(x) maksimumpunktina.

Juhusliku muutuja mediaan x pidev tüüp Mn on reaalarv, mis rahuldab võrrandit

Iga üksiku väärtuse määrab täielikult selle jaotusfunktsioon. Samuti piisab praktiliste ülesannete lahendamiseks mitmete numbriliste tunnuste tundmisest, tänu millele on võimalik juhusliku suuruse põhitunnuseid lühidalt esitada.

Need kogused on peamiselt oodatud väärtus ja dispersioon .

Oodatud väärtus- juhusliku suuruse keskmine väärtus tõenäosusteoorias. Määratud kui .

Kõige lihtsamal viisil juhusliku suuruse matemaatiline ootus X(w), leitakse kui lahutamatuLebesgue tõenäosuse mõõtmise suhtes R esialgne tõenäosusruum

Samuti võite leida väärtuse as matemaatilise ootuse Lebesgue'i integraal alates X tõenäosusjaotuse järgi R X kogused X:

kus on kõigi võimalike väärtuste hulk X.

Funktsioonide matemaatiline ootus juhuslikust suurusest X toimub levitamise kaudu R X. Näiteks, kui X- juhuslik muutuja väärtustega ja f(x)- üheselt mõistetav Borelfunktsiooni X , siis:

Kui a F(x)- jaotusfunktsioon X, siis on matemaatiline ootus esindatav lahutamatuLebesgue – Stieltjes (või Riemann – Stieltjes):

samas kui integreeritavus X mis mõttes ( * ) vastab integraali lõplikkusele

Erijuhtudel, kui X on tõenäoliste väärtustega diskreetne jaotus x k, k = 1, 2, . , ja tõenäosused , siis

kui X on absoluutselt pideva jaotusega tõenäosustihedusega p(x), siis

sel juhul võrdub matemaatilise ootuse olemasolu vastava rea ​​või integraali absoluutse konvergentsiga.

Juhusliku suuruse matemaatilise ootuse omadused.

• Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne selle väärtusega:

C- konstantne;

• M=C.M[X]

• Juhuslikult võetud väärtuste summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga:

• Sõltumatute juhuslike muutujate korrutise matemaatiline ootus = nende matemaatiliste ootuste korrutis:

M=M[X]+M[Y]

kui X ja Y sõltumatu.

kui seeria läheneb:

Algoritm matemaatilise ootuse arvutamiseks.

Diskreetsete juhuslike muutujate omadused: kõik nende väärtused saab ümber nummerdada naturaalarvudega; võrdsustage iga väärtus nullist erineva tõenäosusega.

1. Korrutage paarid kordamööda: x i peal pi.

2. Lisage iga paari korrutis x i p i.

Näiteks, jaoks n = 4 :

Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon astmeliselt suureneb see järsult nendes punktides, mille tõenäosused on positiivse märgiga.

Näide: Leidke valemi järgi matemaatiline ootus.