Maatriksi järgu leidmine elementaarteisenduste meetodil. Maatriksi järgu arvutamine elementaarteisenduste abil

Definitsioon. Maatriksi auaste on maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade arv, mida peetakse vektoriteks.

1. teoreem maatriksi astme kohta. Maatriksi auaste on maatriksi nullist erineva minoori maksimaalne järjekord.

Alaealise mõistet oleme determinantide tunnis juba käsitlenud ja nüüd üldistame seda. Võtame maatriksis mõned read ja veerud ning see "miski" peaks olema väiksem kui maatriksi ridade ja veergude arv ning ridade ja veergude puhul peaks see "miski" olema sama number. Siis kui mitu rida ja mitu veergu on ristumiskohas meie algsest maatriksist väiksema järjestusega maatriks. Selle maatriksi determinandiks on k-ndat järku minoor, kui mainitud "midagi" (ridade ja veergude arv) tähistatakse k-ga.

Definitsioon. Alaealine ( r+1) järjekord, mille sees asub valitud alaealine r-ndat järjekorda, nimetatakse antud molli puhul ääristavaks.

Kaks kõige sagedamini kasutatavat meetodit maatriksi auastme leidmine. seda alaealiste fringimise viis ja elementaarteisenduste meetod(Gaussi meetodil).

Alaealiste ääristamise meetod kasutab järgmist teoreemi.

2. teoreem maatriksi astme kohta. Kui maatriksi elementidest on võimalik koostada molli r järku, mis ei ole võrdne nulliga, siis on maatriksi auaste võrdne r.

Elementaarteisenduste meetodil kasutatakse järgmist omadust:

Kui algse maatriksiga ekvivalentne trapetsmaatriks saadakse elementaarteisendustega, siis selle maatriksi auaste on ridade arv selles, välja arvatud read, mis koosnevad täielikult nullidest.

Maatriksi auastme leidmine alaealiste piiritlemise meetodil

Piirnev alaealine on antud alaealise suhtes kõrgema järgu alaealine, kui see kõrgemat järku alaealine sisaldab antud alaealist.

Näiteks maatriksit arvestades

Võtame molli

servad on sellised alaealised:

Algoritm maatriksi astme leidmiseks järgmiseks.

1. Leiame teist järku alaealised, mis ei ole nulliga võrdsed. Kui kõik teist järku alaealised on võrdsed nulliga, võrdub maatriksi auaste ühega ( r =1 ).

2. Kui on olemas vähemalt üks teist järku moll, mis ei võrdu nulliga, siis koostame piirnevad kolmandat järku mollid. Kui kõik kolmandat järku piirnevad alaealised on nullid, on maatriksi auaste kaks ( r =2 ).

3. Kui vähemalt üks kolmandat järku piirnevatest alaealistest ei ole võrdne nulliga, siis moodustame sellega piirnevad alaealised. Kui kõik piirnevad neljandat järku alaealised on nullid, on maatriksi auaste kolm ( r =2 ).

4. Jätkake nii kaua, kuni maatriksi suurus seda võimaldab.

Näide 1 Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Teise järgu alaealine .

Me raamime selle. Seal on neli piirnevat alaealist:

Seega on kõik piirnevad kolmanda järgu alaealised võrdsed nulliga, seetõttu on selle maatriksi auaste kaks ( r =2 ).

Näide 2 Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi auaste on 1, kuna kõik selle maatriksi teist järku alaealised on võrdsed nulliga (selles, nagu ka kahes järgmises näites piirnevate alaealiste puhul, kutsutakse kallid õpilased ise veenduma, võib-olla kasutades determinantide arvutamise reegleid) ja esimest järku alaealiste hulgas, st maatriksi elementide hulgas, ei ole nulliga võrdsed.

Näide 3 Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi teist järku minoorsed on ja kõik selle maatriksi kolmandat järku mollid on nullid. Seetõttu on selle maatriksi auaste kaks.

Näide 4 Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi auaste on 3, kuna selle maatriksi ainus kolmandat järku minoor on 3.

Maatriksi järgu leidmine elementaarteisenduste meetodil (Gaussi meetodil)

Juba näites 1 on näha, et maatriksi auastme määramise probleem alaealiste piiritlemise meetodil nõuab suure hulga determinantide arvutamist. Siiski on võimalus arvutusmahtu miinimumini vähendada. See meetod põhineb elementaarmaatriksteisenduste kasutamisel ja seda nimetatakse ka Gaussi meetodiks.

Maatriksi elementaarsed teisendused tähendavad järgmisi tehteid:

1) maatriksi mis tahes rea või veeru korrutamine nullist erineva arvuga;

2) maatriksi mis tahes rea või veeru elementidele teise rea või veeru vastavate elementide lisamine sama arvuga korrutatuna;

3) maatriksi kahe rea või veeru vahetamine;

4) nullridade, st nende, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, eemaldamine;

5) kõigi proportsionaalsete ridade, välja arvatud ühe, kustutamine.

Teoreem. Elementaarteisendus ei muuda maatriksi auastet. Teisisõnu, kui kasutame maatriksist pärit elementaarteisendusi A mine maatriksisse B, siis.

Olgu antud mõni maatriks:

Valige selles maatriksis suvalised read ja suvalised veerud
. Siis determinant järjekord, mis koosneb maatriksielementidest
mis asub valitud ridade ja veergude ristumiskohas, nimetatakse alaealiseks -nda järgu maatriks
.

Definitsioon 1.13. Maatriksi auaste
on selle maatriksi nullist erineva minoori suurim järjekord.

Maatriksi auastme arvutamiseks tuleks arvesse võtta kõiki selle väikseimat järku alaealisi ja kui vähemalt üks neist on nullist erinev, siis alustada kõrgeima järgu alaealiste arvestamist. Sellist maatriksi auastme määramise meetodit nimetatakse piirdemeetodiks (või piirnevate alaealiste meetodiks).

Ülesanne 1.4. Alaealiste piirnemise meetodil määrake maatriksi auaste
.

Kaaluge näiteks esimest järku ääristamist
. Seejärel käsitleme teist järku piirdeid.

Näiteks,
.

Lõpetuseks analüüsime kolmanda järjekorra piiritust.

Seega on nullist erineva alaea kõrgeim järk 2, seega
.

Ülesande 1.4 lahendamisel võib märgata, et teist järku piirnevate alaealiste jada on nullist erinev. Sellega seoses leiab aset järgmine mõiste.

Definitsioon 1.14. Maatriksi alusmoll on mis tahes nullist erinev moll, mille järjekord on võrdne maatriksi auastmega.

Teoreem 1.2.(Põhiline molli teoreem). Põhiread (põhiveerud) on lineaarselt sõltumatud.

Pange tähele, et maatriksi read (veerud) on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui vähemalt ühte neist saab esitada teiste lineaarse kombinatsioonina.

Teoreem 1.3. Lineaarselt sõltumatute maatriksi ridade arv on võrdne lineaarselt sõltumatute maatriksi veergude arvuga ja võrdub maatriksi auastmega.

Teoreem 1.4.(Vajalik ja piisav tingimus, et determinant oleks võrdne nulliga). Selleks, et määraja - järjekorras on võrdne nulliga, on vajalik ja piisav, et selle read (veerud) oleksid lineaarselt sõltuvad.

Maatriksi auastme arvutamine selle definitsiooni alusel on liiga tülikas. See muutub eriti oluliseks kõrge järgu maatriksite puhul. Sellega seoses arvutatakse praktikas maatriksi auaste teoreemide 10.2–10.4 rakendamise, samuti maatriksi ekvivalentsuse ja elementaarteisenduste mõistete kasutamise põhjal.

Definitsioon 1.15. Kaks maatriksit
ja nimetatakse samaväärseteks, kui nende auastmed on võrdsed, s.t.
.

Kui maatriksid
ja on samaväärsed, siis märgi
 .

Teoreem 1.5. Maatriksi auaste elementaarteisendustest ei muutu.

Nimetame maatriksi elementaarseid teisendusi
mis tahes järgmistest toimingutest maatriksis:

Ridade asendamine veergudega ja veergude asendamine vastavate ridadega;

Maatriksiridade permutatsioon;

Joone, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, läbikriipsutamine;

Mis tahes stringi korrutamine nullist erineva arvuga;

Lisades ühe rea elementidele teise rea vastavad elemendid korrutatuna sama arvuga
.

Teoreemi 1.5 järeldus. Kui maatriks
saadud maatriksist kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi, siis maatrikseid
ja on samaväärsed.

Maatriksi järgu arvutamisel tuleks see taandada trapetsikujuliseks, kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi.

Definitsioon 1.16. Trapetsikujuliseks nimetatakse sellist maatriksi esitusviisi, kui nullist erineva suurima järgu piirdemollis kaovad kõik diagonaalsetest allpool olevad elemendid. Näiteks:

Siin
, maatriksi elemendid
nulli keerata. Siis on sellise maatriksi esitusvorm trapetsikujuline.

Reeglina taandatakse maatriksid Gaussi algoritmi abil trapetsikujuliseks. Gaussi algoritmi idee seisneb selles, et maatriksi esimese rea elementide korrutamisel vastavate teguritega saavutatakse see, et kõik esimese veeru elemendid asuvad elemendi all.
, muutuks nulliks. Seejärel korrutades teise veeru elemendid vastavate kordajatega, saavutame selle, et kõik teise veeru elemendid asuvad elemendi all.
, muutuks nulliks. Jätkake samamoodi.

Ülesanne 1.5. Määrake maatriksi järk, taandades selle trapetsikujuliseks.

Gaussi algoritmi rakendamise mugavuse huvides saate vahetada esimest ja kolmandat rida.








.

Ilmselgelt siin
. Tulemuse elegantsema vormi viimiseks võib aga jätkata edasisi transformatsioone üle veergude.










.

>>Matrixi auaste

Maatriksi auaste

Maatriksi järgu määramine

Vaatleme ristkülikukujulist maatriksit. Kui selles maatriksis valime meelevaldselt k read ja k veerud, siis valitud ridade ja veergude ristumiskohas olevad elemendid moodustavad k-ndat järku ruutmaatriksi. Selle maatriksi determinanti nimetatakse k-nda järgu alaealine maatriks A. Ilmselgelt on maatriksil A minoorsed astmed 1-st väikseima arvude m ja n vahel. Maatriksi A kõigi nullist erineva mollide hulgas on vähemalt üks moll, mille järjestus on suurim. Nimetatakse antud maatriksi alaealiste nullist erineva järgu suurim koht maatriksid. Kui maatriksi A aste on r, siis see tähendab, et maatriksil A on nullist erinev järjekord r, kuid iga alaealine järjestus on suurem kui r, võrdub nulliga. Maatriksi A astet tähistatakse r(A). On ilmne, et suhe

Maatriksi auastme arvutamine alaealiste abil

Maatriksi auaste leitakse kas alaealiste piiride või elementaarsete teisenduste meetodi abil. Esimesel viisil maatriksi auastme arvutamisel tuleks madalama järgu alaealistelt üle minna kõrgema järgu alaealistele. Kui maatriksi A k-ndat järku nullist erinev minoor D on juba leitud, siis tuleb arvutada vaid (k + 1)-ndat järku mollid, mis piirnevad molli D-ga, s.o. sisaldades seda alaealisena. Kui need kõik on nullid, siis on maatriksi auaste k.

Näide 1Leia maatriksi auaste alaealiste ääristamise meetodil

Lahendus.Alustame 1. järgu alaealistest, st. maatriksi A elementidest. Valime näiteks esimeses reas ja esimeses veerus paikneva minoorse (elemendi) М 1 = 1. Piirides teise rea ja kolmanda veeru abil, saame väiksema M 2 = , mis erineb nullist. Nüüd pöördume 3. järgu alaealiste poole, mis piirnevad M 2 -ga. Neid on ainult kaks (saate lisada teise veeru või neljanda). Arvutame need: = 0. Seega osutusid kõik piirnevad kolmanda järgu alaealised võrdseks nulliga. Maatriksi A aste on kaks.

Maatriksi järgu arvutamine elementaarteisenduste abil

ElementaarneNimetatakse järgmisi maatriksteisendusi:

1) kahe rea (või veeru) permutatsioon,

2) rea (või veeru) korrutamine nullist erineva arvuga,

3) ühele reale (või veerule) teise rea (või veeru) lisamine, mis on korrutatud mingi arvuga.

Neid kahte maatriksit nimetatakse samaväärne, kui üks neist saadakse teisest elementaarteisenduste lõpliku hulga abil.

Ekvivalentmaatriksid ei ole üldiselt võrdsed, kuid nende auastmed on võrdsed. Kui maatriksid A ja B on samaväärsed, kirjutatakse see järgmiselt: A~b.

KanoonilineMaatriks on maatriks, mille põhidiagonaali alguses on järjest mitu 1-d (mille arv võib olla null) ja kõik muud elemendid on võrdsed nulliga, näiteks

Ridade ja veergude elementaarsete teisenduste abil saab mis tahes maatriksi taandada kanooniliseks. Kanoonilise maatriksi aste on võrdne selle põhidiagonaalil olevate maatriksite arvuga.

Näide 2Leidke maatriksi auaste

ja viige see kanoonilisse vormi.

Lahendus. Lahutage esimene rida teisest reast ja korraldage need read ümber:

Nüüd lahutage teisest ja kolmandast reast esimene, korrutatuna vastavalt 2 ja 5-ga:

;

lahutage esimene kolmandast reast; saame maatriksi

B = ,

mis on ekvivalentne maatriksiga A, kuna see saadakse sellest elementaarteisenduste lõpliku hulga abil. Ilmselgelt on maatriksi B aste 2 ja seega r(A)=2. Maatriksi B saab hõlpsasti taandada kanooniliseks. Lahutades kõigist järgnevatest esimese veeru, mis on korrutatud sobivate arvudega, nullisime kõik esimese rea elemendid, välja arvatud esimene, ja ülejäänud ridade elemendid ei muutu. Seejärel, lahutades kõigist järgnevatest teise veeru, mis on korrutatud sobivate arvudega, nullisime kõik teise rea elemendid, välja arvatud teine, ja saame kanoonilise maatriksi:

Elementaarne Nimetatakse järgmisi maatriksteisendusi:

1) kahe rea (või veeru) permutatsioon,

2) rea (või veeru) korrutamine nullist erineva arvuga,

3) ühele reale (või veerule) teise rea (või veeru) lisamine, mis on korrutatud mingi arvuga.

Neid kahte maatriksit nimetatakse samaväärne, kui üks neist saadakse teisest elementaarteisenduste lõpliku hulga abil.

Ekvivalentmaatriksid ei ole üldiselt võrdsed, kuid nende auastmed on võrdsed. Kui maatriksid A ja B on samaväärsed, kirjutatakse see järgmiselt: A ~ B.

Kanooniline Maatriks on maatriks, mille põhidiagonaali alguses on järjest mitu 1-d (mille arv võib olla null) ja kõik muud elemendid on võrdsed nulliga, näiteks

Ridade ja veergude elementaarsete teisenduste abil saab mis tahes maatriksi taandada kanooniliseks. Kanoonilise maatriksi aste on võrdne selle põhidiagonaalil olevate maatriksite arvuga.

Näide 2 Leidke maatriksi auaste

ja viige see kanoonilisse vormi.

Lahendus. Lahutage esimene rida teisest reast ja korraldage need read ümber:

Nüüd lahutage teisest ja kolmandast reast esimene, korrutatuna vastavalt 2 ja 5-ga:

;

lahutage esimene kolmandast reast; saame maatriksi

B = ,

Kronecker – Capelli teoreem- lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi ühilduvuse kriteerium:

Lineaarse süsteemi ühildumiseks on vajalik ja piisav, et selle süsteemi laiendatud maatriksi auaste oleks võrdne selle põhimaatriksi astmega.

Tõend (süsteemi ühilduvustingimused)

Vaja

Lase süsteem liigend. Siis on sellised numbrid, et . Seetõttu on veerg maatriksi veergude lineaarne kombinatsioon. Sellest, et maatriksi järjestus ei muutu, kui selle ridade (veergude) süsteem kustutatakse või määratakse rida (veerg), mis on teiste ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, järeldub, et .

Adekvaatsus

Laske . Võtame maatriksis mõned põhimollid. Alates , siis on see ka maatriksi alusmoll . Siis vastavalt alusteoreemile alaealine, on maatriksi viimane veerg põhiveergude, st maatriksi veergude lineaarne kombinatsioon. Seetõttu on süsteemi vabade liikmete veerg maatriksi veergude lineaarne kombinatsioon.

Tagajärjed

Peamiste muutujate arv süsteemid võrdne süsteemi auastmega.

liigend süsteem defineeritakse (selle lahendus on kordumatu), kui süsteemi auaste on võrdne kõigi selle muutujate arvuga.

Homogeenne võrrandisüsteem

lause15 . 2 Homogeenne võrrandisüsteem

on alati koostööaldis.

Tõestus. Selle süsteemi jaoks on lahenduseks arvude hulk , , .

Selles jaotises kasutame süsteemi maatrikstähistust: .

lause15 . 3 Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendite summa on selle süsteemi lahendus. Lahendus, mis on korrutatud arvuga, on samuti lahendus.

Tõestus. Laske ja toimige süsteemi lahendustena. Siis ja . Laske . Siis

Kuna , siis on lahendus.

Laskma olema suvaline arv, . Siis

Kuna , siis on lahendus.

Tagajärg15 . 1 Kui homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on nullist erinev lahend, siis on sellel lõpmatult palju erinevaid lahendeid.

Tõepoolest, korrutades nullist erineva lahendi erinevate arvudega, saame erinevad lahendid.

Definitsioon15 . 5 Me ütleme, et lahendused süsteemid moodustavad põhimõtteline otsustussüsteem kui veerud moodustavad lineaarselt sõltumatu süsteemi ja süsteemi mis tahes lahendus on nende veergude lineaarne kombinatsioon.