Kokkuvõte: Ruutvõrrandid ja kõrgema järgu võrrandid. Ruutvõrrandite ja ruutvõrrandite ajaloost muistses Babüloonias

Kopjevskaja maagümnaasium

10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks

Juht: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matemaatika õpetaja

s.Kopyevo, 2007

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas

1.3 Ruutvõrrandid Indias

1.4 Ruutvõrrandid al-Khwarizmis

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajand

1.6 Vieta teoreemi kohta

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Järeldus

Kirjandus

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas.

Diophantuse Aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist kirjeldust, kuid see sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite koostamisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 11."Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Diophantus väidab nii: ülesande tingimusest tuleneb, et soovitud arvud ei ole võrdsed, sest kui need oleksid võrdsed, siis poleks nende korrutis 96, vaid 100. Seega on üks neist rohkem kui pool nende arvust. summa, st. 10+x, teine on väiksem, st. 10-ndad. Erinevus nende vahel 2x .

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks soovitud numbritest on 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe soovitud numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

1.3 Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Võrrandis (1) on koefitsiendid, välja arvatud a, võib olla ka negatiivne. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Vana-Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus öeldakse selliste võistluste kohta järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õppinud inimene avalikel koosolekutel, pakkudes ja lahendades algebralisi ülesandeid." Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Ülesanne 13.

"Kõrk ahvikari ja kaksteist viinapuudes ...

Jõudu söönud, oli lõbus. Nad hakkasid hüppama, rippuma ...

Kaheksas osa neist ruudus Kui palju ahve seal oli,

Heinamaal lõbutsemas. Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest (joonis 3).

Ülesandele 13 vastav võrrand on järgmine:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 - 64x = -768

ja et selle võrrandi vasak pool oleks ruuduks, lisab ta mõlemale poolele 32 2 , saan siis:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ruutvõrrandid al-Khorezmis

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) "Ruut võrdub juurtega", st. ax 2 + c = b X.

2) "Ruudmed on võrdsed arvuga", s.o. kirves 2 = s.

3) "Juured on võrdsed arvuga", s.o. ah = s.

4) "Ruudud ja arvud on võrdsed juurtega", s.o. ax 2 + c = b X.

5) "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", s.o. ah 2+ bx = s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", s.o. bx + c \u003d kirves 2.

al-Khorezmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, ei võta nulllahendust arvesse ilmselt seetõttu, et see ei oma konkreetsete praktiliste ülesannete puhul tähtsust. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel esitab al-Khorezmi konkreetsete numbriliste näidete abil lahendamise reeglid ja seejärel geomeetrilised tõestused.

14. ülesanne.“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur" (oletades, et võrrandi juur on x 2 + 21 = 10x).

Autori lahendus kõlab umbes nii: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, jääb 4. Võta juur 4, saad 2. Lahuta 5-st 2, sa saad saad 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Traktaat al - Khorezmi on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajandite jooksul

Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks al - Khorezmi mudelil Euroopas esitati esmakordselt "Abakuse raamatus", mille kirjutas 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci. See mahukas teos, mis peegeldab matemaatika mõju nii islami kui ka Vana-Kreeka riikides, eristub nii esitusviisi terviklikkuse kui ka selguse poolest. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud "Abakuse raamatu" ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16.-17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII.

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

x 2+ bx = koos,

koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks b , Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Arvestage lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. Tänu Girardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste tööle saab ruutvõrrandite lahendamise viis kaasaegse ilme.

1.6 Vieta teoreemi kohta

Vieta nime kandva ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esimest korda 1591. aastal järgmiselt: „Kui B + D korrutatud A - A 2 , võrdub BD, siis A võrdub AT ja võrdne D ».

Vieta mõistmiseks tuleb seda meeles pidada AGA, nagu iga täishäälik, tähendas tema jaoks tundmatut (meie X), täishäälikud AT, D- tundmatu koefitsiendid. Tänapäeva algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: kui

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 – (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Viet võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Vieta sümboolika on aga tänapäevasest vormist veel kaugel. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu arvestas ta võrrandite lahendamisel ainult juhtumeid, kus kõik juured on positiivsed.

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Me kõik teame, kuidas lahendada ruutvõrrandi koolist (8. klass) kuni kooli lõpetamiseni.

Tatarstani Vabariigi Haridus- ja Teadusministeerium

Valla eelarveline õppeasutus

"Usad keskkool

Tatarstani Vabariigi Vysokogorsky munitsipaalrajoon

Uurimistöö:

"Lugu esinemineruut võrrandid»

Lõpetanud: Andreeva Ekaterina,

8B klassi õpilane

Teadusnõustaja:

Pozharskaja Tatjana Leonidovna,

matemaatika õpetaja

Sissejuhatus

Kes tahab piirduda olevikuga

teadmata minevikku,

ta ei saa kunagi aru.

G.V. Leibniz

Matemaatika koolikursuse võrrandid on juhtival kohal, kuid ükski võrranditüüp pole leidnud nii laialdast rakendust kui ruutvõrrandid.

Teise astme võrrandi või ruutvõrrandid suutsid inimesed lahendada isegi Vana-Babülonis II aastatuhandel eKr. Ruutvõrrandideni viivaid probleeme käsitletakse paljudes iidsetes matemaatilistes käsikirjades ja traktaatides. Ja praegu lahendatakse ruutvõrrandite abil ka palju algebra, geomeetria, füüsika ülesandeid. Neid lahendades leiavad inimesed vastused erinevatele teaduse ja tehnika küsimustele.

Sihtmärk see uurimus – ruutvõrrandite tekkimise ajaloo uurimiseks.

Selle eesmärgi saavutamiseks on vaja lahendada järgmised ülesanded:

Uurige selleteemalist teaduskirjandust.
Jälgige ruutvõrrandite tekkimise ajalugu.

Õppeobjekt: ruutvõrrandid.

Õppeaine: ruutvõrrandite tekkimise ajalugu.

Teema asjakohasus :

Inimesed on ruutvõrrandeid lahendanud iidsetest aegadest peale. Tahtsin teada ruutvõrrandite tekkelugu.
Kooliõpikutes puudub teave ruutvõrrandite tekkimise ajaloo kohta.

Uurimismeetodid:

Töötage õppe- ja populaarteadusliku kirjandusega.
Vaatlus, võrdlus, analüüs.

Töö teaduslik väärtus seisneb minu arvates selles, et see materjal võib huvi pakkuda matemaatikahuvilistele koolilastele ja valiktundide õpetajatele.

Ruutvõrrandid Vana-Babülonis.

Vana-Babülonis tingis vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid vajadus lahendada probleeme, mis on seotud sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatööde leidmisega, samuti astronoomia arenguga. ja matemaatika ise.

Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

x 2 - x \u003d 14,5

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

Näide võetud ühelt selle perioodi savitahvlilt.

"Kahe ruudu summa pindala on 1000. Ühe ruudu külg on teise ruudu külg miinus 10. Mis on ruutude küljed?"

See viib võrranditeni, mille lahendus taandub positiivse juurega ruutvõrrandi lahendamiseks.

Tegelikult piirdub lahendus kiilkirjas, nagu kõigis idapoolsetes probleemides, ruutvõrrandi lahendamiseks vajalike arvutuse etappide lihtsa loetlemisega:

“Ruut 10; see annab 100; lahutada 1000-st 100; see annab 900" jne

Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas

Diophantus esitab ühe raskeima mõistatuse teaduse ajaloos. Üks originaalsemaid Vana-Kreeka matemaatikuid oli Aleksandria Diophantos, kelle teostel oli algebra ja arvuteooria jaoks suur tähtsus. Seni pole Diophantuse sünniaastat ega surmakuupäeva selgunud. Ajavahemik, mil Diophantus võis elada, on pool aastatuhandet! Arvatakse, et ta elas 3. sajandil pKr. Kuid Diophantuse elukoht on hästi teada - see on kuulus Aleksandria, hellenistliku maailma teadusliku mõtte keskus.

Diophantose teostest on olulisim Aritmeetika, millest 13 raamatut on tänaseni säilinud vaid 6.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne: "Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks soovitud numbritest on 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe soovitud numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

Ruutvõrrandid Diophantuse aritmeetikast:

12x2+x=1
630x2 +73x=6.

Isegi iidsetel aegadel oli India kuulus oma teadmiste poolest astronoomia, grammatika ja muude teaduste vallas.

India teadlased on saavutanud suurimat edu selles valdkonnas matemaatika. Nad olid aritmeetika ja algebra rajajad, mille arendamisel läksid nad kreeklastest kaugemale.

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba 499. aastal koostatud astronoomilises traktaadis "Aryabhattiam". India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) visandas ruutvõrrandite lahendamise üldreegli, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks: ax 2 +bx=c, a>0.

Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.
Vana-Indias olid avalikud võistlused tavalised
keeruliste probleemide lahendamisel. Ühes iidse India raamatus öeldakse selliste võistluste kohta järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õpetatud inimene avalikel koosolekutel, pakkudes välja ja lahendades algebralisi probleeme."

Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.
Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara:

« Tore ahvikari,

Hästi süüa, lõbutseda.

Nende kaheksas osa on ruudus,

Heinamaal lõbutsemas.

Ja kaksteist viinapuudes ...

Nad hakkasid hüppama, rippuma ...

Kui palju ahve oli

Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta oli teadlik ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest.

Ülesandele vastav võrrand

Bhaskara kirjutab x 2 - 64x \u003d -768 ja selle võrrandi vasakpoolse külje ruuduks viimiseks lisage mõlemale osale 32 2, saades siis:

x 2 -64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Ruutvõrrandid Hiinas (1. aastatuhandel eKr).

Esimesed Hiina kirjalikud mälestised, mis meile on jõudnud, pärinevad Shangi ajastust (XVIII-XII sajand eKr). Ja juba XIV sajandi ennustamisluudel. eKr e., leitud Henanist, on numbrite tähistus säilinud. Kuid teaduse tõeline õitseng algas pärast XII sajandit. eKr e. Hiina vallutasid Zhou nomaadid. Nende aastate jooksul tõusid Hiina matemaatika ja astronoomia esile ja saavutasid hämmastavad kõrgused. Ilmusid esimesed täpsed kalendrid ja matemaatikaõpikud. Kahjuks ei võimaldanud keiser Qin Shi Huangi (Shi Huangdi) "raamatute hävitamine" varastel raamatutel meieni jõuda, kuid suure tõenäosusega olid need aluseks järgmistele teostele.

"Matemaatika üheksas raamatus" on esimene matemaatiline teos paljudest Vana-Hiina klassikalistest teostest, Vana-Hiina tähelepanuväärne monument varase Hani dünastia ajal (206 eKr – 7 pKr). See essee sisaldab mitmekesist ja rikkalikku matemaatilist materjali, sealhulgas ruutvõrrandid.

Hiina ülesanne: "Seal on veehoidla, mille külg on 10 chi. Selle keskel kasvab pilliroog, mis ulatub 1 chi võrra veepinnast kõrgemale. Kui pilliroog kaldale tõmmata, siis see lihtsalt puudutab seda. Küsimus on: kui sügav on veekogu ja kui pikk on pilliroog?

(x + 1) 2 \u003d x 2 +5 2,

x 2 + 2x + 1 \u003d x 2 +25,

Vastus: 12chi; 13h.

Al-Khwarizmi ruutvõrrandid

"Olen koostanud lühikese raamatu algebra ja almukabala arvutusest, mis sisaldab lihtsaid ja keerulisi aritmeetikaküsimusi, sest see on inimestele vajalik." Al-Khwarizmi Muhammad bin Musa.

Al-Khwarizmi (Usbekistan) on enim tuntud "Täiendamise ja vastandamise raamatu" ("Al-kitab al mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala") poolest, mille nimest tuleneb sõna "algebra". . See traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

Oma traktaadi teoreetilises osas esitab al-Khwarizmi 1. ja 2. astme võrrandite klassifikatsiooni ning eristab kuus nende tüüpi:

1) “Ruut on võrdne juurtega”, st ax 2 = bx. (näide:)

2) "Ruudmed on võrdsed arvuga", st telg 2 \u003d s. (näide:)

3) "Juured on võrdsed arvuga", st kirves \u003d c. (näide:)

4) “Ruut ja arvud on võrdsed juurtega”, st ax 2 + c = bx. (näide:)

5) "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", st ax 2 + bx \u003d c.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", st bx + c == ax 2. (näide:)

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsus ei lange muidugi meie omaga täielikult kokku. Rääkimata tõsiasjast, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel ei võta al-Khwarizmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, nulli. lahendus, ilmselt seetõttu, et konkreetsete praktiliste ülesannete puhul pole see oluline. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel kehtestab al-Khwarizmi nende lahendamise reeglid, kasutades konkreetseid arvulisi näiteid ja seejärel nende geomeetrilisi tõestusi.

Võtame näite.

“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur"(oletades, et võrrandi juur on x 2 + 21 = 10x).

Autori lahendus kõlab umbes nii: "Jaga juurte arv pooleks, saate 5, korrutage 5 iseendaga, lahutage korrutisest 21, jääb 4. Võtke 4 juur, saate 2. Lahutage 5-st 2, saate 3, see on soovitud juur . Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Al-Khwarizmi kuulus võrrand: "Ruut ja kümme juurt võrdub 39-ga." x 2 + 10x= 39 (IX sajand). Oma traktaadis kirjutab ta: “Reegel on järgmine: kui kahekordistada juurte arvu, saad selles ülesandes viis. Lisage see kolmkümmend üheksa, see on kuuskümmend neli. Võtke sellest juur, siis tuleb kaheksa ja lahutage sellest pool juurte arvu, s.o. viis, tuleb kolm: see on otsitud ruudu juur."

Ruutvõrrandid Euroopas XII-XVII sajand.

Euroopas Al-Khwarizmi mudelil ruutvõrrandite lahendamise vorme kirjeldati esmakordselt 1202. aastal kirjutatud "Abakuse raamatus". Itaalia matemaatik Leonard Fibonacci. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule.

See raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud selle raamatu ülesanded kanti üle peaaegu kõikidesse Euroopa 14.–17. sajandi õpikutesse. Üldreegli vormiks x 2 + bx \u003d c taandatud ruutvõrrandite lahendamiseks kõigi võimalike märkide ja koefitsientide b, c kombinatsioonidega sõnastas Euroopas 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. arvestama lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele saab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase ilme.

Järeldus.

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Erinevaid võrrandeid, nii ruut- kui ka kõrgema astme võrrandeid, lahendasid meie kauged esivanemad. Need võrrandid lahendati kõige erinevamates ja üksteisest kaugemates riikides. Vajadus võrrandite järele oli suur. Võrrandeid kasutati ehituses, sõjanduses ja igapäevastes olukordades.

Tänapäeval on ruutvõrrandite lahendamise oskus hädavajalik kõigile. Ruutvõrrandi kiire, ratsionaalse ja korrektse lahendamise oskus hõlbustab paljude matemaatikakursuse teemade läbimist. Ruutvõrrandeid ei lahendata mitte ainult matemaatika tundides, vaid ka füüsika, keemia, informaatika tundides. Enamik praktilisi probleeme reaalses maailmas taandub ka ruutvõrrandite lahendamisele.

Kirjandus

Bashmakova I. G. Diofantiini ja diofantiini võrrandid. Moskva: Nauka, 1972.
Berezkina E.I. Vana-Hiina matemaatika - M.: Nauka, 1980
Picchurin L.F. Algebra õpiku lehekülgede taga: Raamat. õpilastele

7-9 rakku. Põhikool - M.: Valgustus, 1990

Glazer G. I. Matemaatika ajalugu koolis VII - VIII klass. Juhend õpetajatele. - M.: Valgustus, 1982.

Ruutvõrrandid Vana-Babülonis Vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis juba antiikajal vajadus lahendada ülesandeid, mis on seotud sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatööde leidmisega, samuti astronoomia ja matemaatika enda arenguga. Babüloonlased teadsid ruutvõrrandi lahendada umbes 2000 aastat enne meie usku. Kasutades tänapäevast algebralist tähistust, võime öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täielikud ruutvõrrandid: määrused. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele. Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babüloonias, puuduvad kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

Kuidas Diophantos koostas ja lahendas ruutvõrrandid “Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja korrutis on 96” Diophantus arutleb järgmiselt: ülesande tingimusest järeldub, et soovitud arvud ei ole võrdsed, sest kui need oleksid võrdsed, siis oleks nende korrutis mitte 96, vaid 100. Seega on üks neist rohkem kui pool nende summast, s.o. 10+X, teine on väiksem, st. 10-X. Nende erinevus on 2X, seega X=2. Üks soovitud arvudest on 12, teine on 8. Lahendust X = -2 Diophantuse jaoks ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve. VÕRRAND: või muidu:

Ruutvõrrandid Indias Ruutvõrrandi ülesandeid leidub ka astronoomilises traktaadis "Aryabhattam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks: ax ² +bx=c, a>0 Kaheksas osa neist väljakul, kus mul oli lagendikul lõbus. Ja kaksteist mööda liaane ... Nad hakkasid hüppama rippudes ... Mitu ahvi oli Sa ütle mulle, selles karjas ?. Ülesandele vastav võrrand: Baskara kirjutab varjus: Täiendas vasaku külje ruuduks, 0 12. sajandi kuulsa India matemaatiku Bhaskara üks probleeme. Kari särtsakasid ahve Pärast isu täis söömist oli neil lõbus. Kaheksas osa neist väljakul, kus mul oli lagendikul lõbus. Ja kaksteist mööda liaane ... Nad hakkasid hüppama rippudes ... Mitu ahvi oli Sa ütle mulle, selles karjas ?. Ülesandele vastav võrrand: Baskara kirjutab varjus: Täiendas vasaku külje ruuduks, ">

Ruutvõrrandid Vana-Aasias Kesk-Aasia teadlane al-Khwarizmi lahendas selle võrrandi järgmiselt: Ta kirjutas: "Reegel on järgmine: kahekordistage juurte arv x = 2x 5, saate selles ülesandes viis, korrutage 5 selle võrrandiga. sellele on see kakskümmend viis, 5 5=25 lisage see kolmekümne üheksale, see on kuuskümmend neli, 64 võtke selle juur, see on kaheksa, 8 ja lahutage sellest poolest juurte arv, s.o. viis, 8-5 jääb 3 see on ruudu juur, mida otsisite." Aga teine juur? Teist juurt ei leitud, kuna negatiivseid numbreid polnud teada. x x = 39

Ruutvõrrandid Euroopas XIII-XVII sajandil. Üldise reegli ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud ühele kanoonilisele kujule x2 + in + c = 0, sõnastas Euroopas Stiefel alles aastal 1544. Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks Euroopas sõnastas esmakordselt 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonard Fibonacci. Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Alles 17. sajandil tänu Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele võtab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase kuju

Vieta teoreemi kohta võrdub D. Vieta mõistmiseks tuleks meeles pidada, et A, nagu iga täishäälik, tähendas tundmatut (meie x), samas kui vokaalid B, D on tundmatu koefitsiendid. Kaasaegse algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: Kui antud ruutvõrrandil x 2 +px + q \u003d 0 on reaaljuured, siis on nende summa võrdne -p ja korrutis q-ga, on x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 = q (antud ruutvõrrandi juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga ja juurte korrutis on võrdne vaba tähtajani).

Faktoriseerimise meetod seisneb üldise ruutvõrrandi viimises kujule: A(x)·B(x)=0, kus A(x) ja B(x) on polünoomid x suhtes. Eesmärk: Ühise teguri eemaldamine sulgudest; Kasutades lühendatud korrutusvalemeid; rühmitamise meetod. Teed: Näide:

Ruutvõrrandi juured: Kui D>0, Kui D 0, kui D> 0, kui D> 0, kui D" title="(!LANG: ruutjuured: kui D>0, kui D"> title="Ruutvõrrandi juured: Kui D>0, Kui D"> !}

X 1 ja x 2 on võrrandi juured. Võrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil X 2 + 3X - 10 \u003d 0 X 1 X 2 \u003d - 10, mis tähendab, et juurtel on erinevad märgid X 1 + X 2 \u003d - 3, mis tähendab, et juur on absoluutväärtuses suurem - negatiivne Valimisega leiame juured: X 1 \u003d - 5, X 2 \u003d 2 Näiteks:

0, vastavalt Vieta teoreemile vastupidisele teoreemile saame juured: 5; 6, siis pöördume tagasi algvõrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi "title="(!LANG: Lahendage võrrand: 2x 2 - 11x +15 = 0) lahend. Kanna koefitsient 2 vabaliikmele y 2 - 11y +30 = 0. D>0, vastavalt teoreem, Vieta teoreemi pöörd, saame juured: 5;6, siis pöördume tagasi algvõrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi lahendus" class="link_thumb"> 14 !} Lahendage võrrand: 2x x +15 \u003d 0. Viige koefitsient 2 vabale liikmele y y +30 \u003d 0. D\u003e 0, vastavalt teoreemile Vieta teoreemi pöördväärtus, saame juured: 5 6, siis pöördume tagasi algse võrrandi juurte juurde: 2, 5; 3. Vastus: 2,5; 3. võrrandite lahendamine "ülekande" meetodil 0, vastavalt Vieta teoreemile vastupidisele teoreemile saame juured: 5; 6, siis pöördume tagasi algvõrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi "\u003e 0" lahendus, vastavalt teoreemile, Vieta teoreemi pöördväärtus, saame juured: 5; 6, siis pöördume tagasi algse võrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5 3. Lahendades võrrandeid "ülekande" meetodil" > 0, vastavalt Vieta teoreemile vastupidisele teoreemile, saame juured: 5;6, seejärel pöördume tagasi algse võrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi "title="(!LANG: Lahendage võrrand: 2x 2 - 11x +15 = 0) lahend. Kanna koefitsient 2 vabaliikmele y 2 - 11y +30 = 0. D>0, vastavalt teoreem, Vieta teoreemi pöörd, saame juured: 5;6, siis pöördume tagasi algvõrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi lahendus"> title="Lahendage võrrand: 2x 2 - 11x +15 \u003d 0. Viime koefitsiendi 2 vabaliikmesse y 2 - 11y +30 \u003d 0. D> 0, vastavalt teoreemile Vieta teoreemi pöördväärtus, me saame juured: 5; 6, siis pöördume tagasi algsete võrrandite juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi lahend"> !}

Kui ruutvõrrandis a + b + c \u003d 0, siis on üks juurtest 1 ja teine vastavalt Vieta teoreemile on võrdne teisega, kui ruutvõrrandis a + c \u003d b, siis on üks juurtest võrdne (-1) ja teine vastavalt Vieta teoreemile on võrdne Näide: Ruutvõrrandi kordajate omadused 137x x - 157 = 0. a = 137 , b = 20, c = a + b + c = -157 = 0. x 1 = 1, vastus: 1; 137x x - 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, vastus: 1;

Graafiline viis ruutvõrrandi lahendamiseks Ilma valemeid kasutamata saab ruutvõrrandi graafiliselt lahendada. Lahendame võrrandi Selleks koostame kaks graafikut: X Y X 01 Y012 Vastus: Graafikute ja lõikepunktide abstsissid on võrrandi juured. Kui graafikud ristuvad kahes punktis, on võrrandil kaks juurt. Kui graafikud lõikuvad ühes punktis, on võrrandil üks juur. Kui graafikud ei ristu, pole võrrandil juuri. 1)y=x2 2)y=x+1

Ruutvõrrandite lahendamine nomogrammi abil See on vana ja teenimatult unustatud viis ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on paigutatud lk 83 "Neljaväärtuslikud matemaatilised tabelid" Bradis V.M. Tabel XXII. Nomogramm võrrandi lahendamiseks See nomogramm võimaldab ilma ruutvõrrandit lahendamata määrata võrrandi juured koefitsientide järgi. Võrrandi jaoks annab nomogramm juured

Ruutvõrrandite lahendamise geomeetriline viis Vanasti, kui geomeetria oli algebrast rohkem arenenud, ei lahendatud ruutvõrrandeid mitte algebraliselt, vaid geomeetriliselt. Ja siin näiteks, kuidas vanad kreeklased lahendasid võrrandi: või Avaldised ja geomeetriliselt annavad sama ruudu ja algne võrrand on sama võrrand. Kust me mida saame või

Kokkuvõte Need otsustusmeetodid väärivad tähelepanu, kuna need kõik ei kajastu koolimatemaatika õpikutes; nende tehnikate valdamine aitab õpilastel aega kokku hoida ja võrrandeid tõhusalt lahendada; kiire lahenduse vajadus tuleneb sisseastumiseksamite testsüsteemi kasutamisest;

SISSEJUHATUS

Võrrandid algebra koolikursusel on juhtival kohal. Nende õppimisele pühendatakse rohkem aega kui ühelegi teisele koolimatemaatika kursuse teemale. Võrranditeooria tugevus seisneb selles, et sellel ei ole mitte ainult teoreetiline tähendus loodusseaduste tundmisel, vaid see teenib ka konkreetseid praktilisi eesmärke. Enamik probleeme reaalse maailma ruumivormide ja kvantitatiivsete suhetega taandub erinevat tüüpi võrrandite lahendamisele. Nende lahendamise viise valdades leiavad inimesed vastused erinevatele teaduse ja tehnika (transport, põllumajandus, tööstus, side jne) küsimustele. Samuti on võrrandite lahendamise oskuse kujunemisel suur tähtsus õpilase iseseisval tööl võrrandite lahendamise õppimisel. Mis tahes teema uurimisel saab võrrandeid kasutada tõhusa vahendina teoreetiliste teadmiste kinnistamiseks, süvendamiseks, kordamiseks ja laiendamiseks õpilaste loomingulise matemaatilise tegevuse arendamiseks.

Kaasaegses maailmas kasutatakse võrrandeid laialdaselt erinevates matemaatikaharudes, oluliste rakendusülesannete lahendamisel. Seda teemat iseloomustab esituse suur sügavus ja selle abil loodud seoste rikkus õppimisel, ettekande loogiline paikapidavus. Seetõttu on sellel võrrandireas erandlik positsioon. Õpilased alustavad teema „Ruudsete trinoomide“ õppimist, olles juba kogunud kogemusi, omades üsna suurt hulka algebralisi ja üldmatemaatilisi mõisteid, mõisteid ja oskusi. Suures osas on just selle teema materjalil vaja sünteesida võrranditega seotud materjali, rakendada historitsismi ja ligipääsetavuse põhimõtteid.

Asjakohasus Teemaks on historitsismi põhimõtete rakendamise vajadus ja materjali puudumine selle rakendamiseks teemal "Ruutvõrrandite lahendamine".

Uurimisprobleem: ajaloolise materjali väljaselgitamine ruutvõrrandite lahendamise õppimiseks.

Eesmärk: ideede kujundamine ruutvõrranditega töötamise kohta matemaatikatundides, historitsismi elementidega tundide komplekti valimine teemal "Ruudvõrrandid".

Õppeobjekt: ruutvõrrandite lahendamine 8. klassis historitsismi elemente kasutades.

Õppeaine: ruutvõrrandid ja õppetundide arendamine ruutvõrrandi lahendamise õppimiseks ajalooliste materjalide abil.

Ülesanded:

teostab uurimisprobleemi käsitleva teadusliku ja metoodilise kirjanduse analüüsi;

analüüsida kooliõpikuid ja tuua neis esile ruutvõrrandite lahendamise õppimise koht;

hankige õppetükid ruutvõrrandite lahendamiseks ajalooliste materjalide abil.

Uurimismeetodid:

kirjanduse analüüs teemal "Ruutvõrrandite lahendamine";

õpilaste vaatlemine tunni ajal teemal "Rutvõrrandite lahendamine";

materjali valik: tunnid teemal "Ruutvõrrandite lahendamine" ajaloolise viite abil.

§ 1. Ruutvõrrandite tekkimise ajaloost

Algebra tekkis seoses erinevate ülesannete lahendamisega võrrandite abil. Tavaliselt on probleemide korral vaja leida üks või mitu tundmatut, teades samal ajal teatud soovitud ja etteantud kogustega tehtud toimingute tulemusi. Sellised ülesanded taandatakse ühe või mitme võrrandisüsteemi lahendamiseks, soovitud suuruste leidmiseks algebraliste operatsioonide abil antud suurustega. Algebra uurib suurustega seotud toimingute üldisi omadusi.

Mõned algebralised meetodid lineaar- ja ruutvõrrandite lahendamiseks olid tuntud juba 4000 aastat tagasi Vana-Babülonis.

Ruutvõrrandid Vana-Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatöödega seotud ülesandeid, samuti astronoomia ja astronoomia arengut. matemaatika ise. Babüloonlased oskasid ruutvõrrandi lahendada umbes 2000 eKr. Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

Babüloonia tekstides toodud nende võrrandite lahendamise reegel langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele. Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 2. "Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96."

Diophantus väidab järgmiselt: ülesande tingimusest järeldub, et soovitud arvud ei ole võrdsed, kuna kui need oleksid võrdsed, siis oleks nende korrutis võrdne mitte 96, vaid 100-ga. Seega on üks neist suurem kui pool nende summast, s.o.
. Teine on väiksem, st.
. Erinevus nende vahel
. Siit ka võrrand:

Siit
. Üks soovitud arvudest on 12, teine on 8. Lahendus
Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande, valides ühe tundmatutest numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni:

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamiseks.

Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis Aryabhattam, mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

(1)

Võrrandis (1) võivad koefitsiendid olla negatiivsed. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus öeldakse selliste võistluste kohta järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õppinud inimene avalike koosolekute au, pakkudes välja ja lahendades algebralisi ülesandeid." Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Bhaskara lahendus näitab, et autor oli teadlik ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest.

Ülesandele 3 vastav võrrand on järgmine:

Bhaskara kirjutab varjus:

ja selle võrrandi vasaku poole ruudu täiendamiseks lisab ta mõlemale poolele 322, saades siis:

Al-Khwarizmi ruutvõrrandid

Al-Khwarizmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsus ei lange muidugi meie omaga täielikult kokku. Rääkimata tõsiasjast, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel ei võta Al-Khwarizmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, nulli. lahendus, ilmselt seetõttu, et konkreetsete praktiliste ülesannete puhul pole see oluline. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel kehtestab Al-Khwarizmi nende lahendamise reeglid, kasutades konkreetseid arvulisi näiteid ja seejärel nende geomeetrilisi tõestusi.

Võtame näite.

Ülesanne 4. “Ruut ja arv 21 on võrdsed 10 juurega. Leidke juur "(mis tähendab võrrandi juurt
).

Lahendus: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, jääb 4. Võta 4 juur, saad 2. Lahuta 5-st 2, saad 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Al-Khwarizmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

Ruutvõrrandid EuroopasXII- XVIIsisse.

See raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud selle raamatu ülesanded kanti üle peaaegu kõikidesse Euroopa 14.–17. sajandi õpikutesse. Üldreegel ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks
kõigi võimalike märkide ja koefitsientide kombinatsioonidega b, c, sõnastas Euroopas 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. arvestama lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele võtab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase kuju.

Praktiliste probleemide lahendamise algebraliste meetodite päritolu on seotud antiikmaailma teadusega. Nagu matemaatika ajaloost teada, oli märkimisväärne osa Egiptuse, Sumeri, Babüloonia kirjatundjate-arvutite (XX-VI sajand eKr) lahendatud matemaatilise iseloomuga probleemidest arvutatud. Ent ka siis tekkis aeg-ajalt probleeme, kus mingi suuruse soovitud väärtust täpsustasid mingid kaudsed tingimused, mis nõudsid meie kaasaegsest vaatepunktist võrrandi või võrrandisüsteemi sõnastamist. Esialgu kasutati selliste ülesannete lahendamiseks aritmeetilisi meetodeid. Hiljem hakkasid kujunema algebraliste esituste alged. Näiteks Babüloonia kalkulaatorid suutsid lahendada ülesandeid, mis tänapäevase klassifikatsiooni seisukohalt on taandatud teise astme võrranditeks. Loodi tekstülesannete lahendamise meetod, mis hiljem oli aluseks algebralise komponendi esiletõstmisel ja selle iseseisval uurimisel.

See uuring viidi läbi juba teisel ajastul, esmalt araabia matemaatikute poolt (VI-X sajand pKr), kes tõid välja iseloomulikud toimingud, mille abil võrrandid taandati standardvormiks, sarnaste mõistete redutseerimine, terminite ülekandmine ühest osast. võrrand teisega märgimuutusega. Ja siis lõid renessansiajastu Euroopa matemaatikud pika otsimise tulemusel tänapäevase algebra keele, tähtede kasutamise, aritmeetiliste tehte sümbolite, sulgude jms kasutuselevõtu. 16. 17. sajandil. Algebra kui matemaatika spetsiifiline osa, millel on oma õppeaine, meetod, rakendusvaldkonnad, on juba välja kujunenud. Selle edasiarendus kuni meie ajani seisnes meetodite täiustamises, rakendusala laiendamises, mõistete ja nende seoste selgitamises teiste matemaatikaharude mõistetega.

Seega, pidades silmas võrrandi mõistega seotud materjali tähtsust ja ulatust, seostatakse selle uurimist tänapäevases matemaatika metoodikas selle esinemise ja toimimise kolme peamise valdkonnaga.

Ruutvõrrandite ajaloost.

a) Ruutvõrrandid Vana-Babülonis

Vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid juba antiikajal tingis vajadus lahendada probleeme, mis on seotud sõjalise iseloomuga maa-alade ja maa-alade leidmise ning arendamisega. astronoomiast ja matemaatikast endast. Ruutvõrrandid suutsid lahendada umbes 2000 eKr. babüloonlased. Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

Nende võrrandite lahendamise reegel, mis on sätestatud Babüloonia tekstides, langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

Diophantose aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist esitust, kuid sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mida lahendatakse erineva astme võrrandite koostamisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 2. "Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja korrutis 96."

Diophantus väidab nii: ülesande tingimusest tuleneb, et soovitud arvud ei ole võrdsed, sest kui need oleksid võrdsed, siis poleks nende korrutis 96, vaid 100. Seega on üks neist rohkem kui pool nende arvust. summa, st 0,10 + x. Teine on väiksem, st 10 - x. Nende vahe on 2x. Siit ka võrrand:

(10+x)(10-x)=96,

või

100 -x 2 = 96.

Seega x = 2. Üks soovitud arvudest on 12, teine on 8. Lahendust x = - 2 Diophantuse jaoks ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande, valides ühe tundmatutest numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni:

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamiseks.
b) Ruutvõrrandid Indias.

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattayam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabahatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks.

Oh 2 + bx = c, a > 0

Võrrandis on koefitsiendid , välja arvatud a, võib olla negatiivne. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

3. ülesanne.

Bhaskara lahendus näitab, et autor oli teadlik ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest.

Ülesandele 3 vastav võrrand on järgmine:

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 – 64 x = – 768

ja selle võrrandi vasaku külje lõpetamiseks ruudule lisab mõlemale poolele 32 2, saades:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Al-Khwarizmi ruutvõrrandid

Al-Khwarizmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

"Ruudud on võrdsed juurtega", st ax 2 = bx.
"Ruudmed on võrdsed arvuga", st ax 2 = c.
"Juured on võrdsed arvuga", st ax = c.
"Ruudud ja arvud on võrdsed juurtega", st ax 2 + c \u003d bx.
"Ruut ja juured on võrdsed arvuga", st ax 2 + bx \u003d c.
"Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", st bx + c == ax 2.

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor esitab meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsus ei lange muidugi meie omaga täielikult kokku. Rääkimata tõsiasjast, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel ei võta Al-Khwarizmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, nulli. lahendus, ilmselt seetõttu, et konkreetsete praktiliste ülesannete puhul pole see oluline. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel kehtestab Al-Khwarizmi nende lahendamise reeglid, kasutades konkreetseid arvulisi näiteid ja seejärel nende geomeetrilisi tõestusi.

Võtame näite.

Ülesanne 4. “Ruut ja arv 21 on võrdsed 10 juurega. Leidke juur "(mis tähendab võrrandi juurt x 2 + 21 \u003d 10x).

Al-Khwarizmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

d) Ruutvõrrandid Euroopas XIII-XVII sajandil.

Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks al-Khwarizmi mudelil Euroopas esitati esmakordselt "Abakuse raamatus", mille kirjutas 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci. Seda mahukat teost, mis peegeldab matemaatika mõju nii islamimaadest kui ka Vana-Kreekast, eristab nii esitusviis kui ka selgus. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud Abakuse raamatu ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16.–17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII.

Üldreegel ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks

x 2 + bx \u003d c,

koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks b, Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tuvastas ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Arvestage lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele saab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase ilme.

Praktiliste probleemide lahendamise algebraliste meetodite päritolu on seotud antiikmaailma teadusega. Nagu matemaatika ajaloost teada, oli märkimisväärne osa Egiptuse, Sumeri, Babüloonia kirjatundjate-arvutite (XX-VI sajand eKr) lahendatud matemaatilise iseloomuga probleemidest arvutatud. Kuid ka siis tekkis aeg-ajalt probleeme, kus mingi suuruse soovitud väärtuse määrasid mingid kaudsed tingimused, mis nõuavad meie kaasaegsest vaatepunktist võrrandi või võrrandisüsteemi sõnastamist. Esialgu kasutati selliste ülesannete lahendamiseks aritmeetilisi meetodeid. Hiljem hakkasid kujunema algebraliste esituste alged. Näiteks Babüloonia kalkulaatorid suutsid lahendada ülesandeid, mis tänapäevase klassifikatsiooni seisukohalt on taandatud teise astme võrranditeks. Loodi tekstülesannete lahendamise meetod, mis hiljem oli aluseks algebralise komponendi esiletõstmisel ja selle iseseisval uurimisel.

See uuring viidi läbi juba teisel ajastul, esmalt araabia matemaatikute poolt (VI-X sajand pKr), kes tõid välja iseloomulikud toimingud, mille abil võrrandid taandati standardvormiks, sarnaste mõistete redutseerimine, terminite ülekandmine ühest osast. võrrand teisega märgimuutusega. Ja siis lõid renessansiajastu Euroopa matemaatikud pika otsimise tulemusel tänapäevase algebra keele, tähtede kasutamise, aritmeetiliste tehte sümbolite, sulgude jms kasutuselevõtu. 16. 17. sajandil. algebra kui matemaatika spetsiifiline osa, millel on oma õppeaine, meetod, rakendusvaldkonnad, on juba moodustatud. Selle edasiarendus kuni meie ajani seisnes meetodite täiustamises, rakendusala laiendamises, mõistete ja nende seoste selgitamises teiste matemaatikaharude mõistetega.

Seega, pidades silmas võrrandi mõistega seotud materjali tähtsust ja ulatust, on selle uurimine kaasaegses matemaatikametoodikas seotud selle esinemise ja toimimise kolme peamise valdkonnaga.