Jonojärjestelmien analyyttiset mallit. Squeak: Modeling Queuing Systems

Kuluneiden vuosikymmenten aikana kansantalouden eri osa-alueilla on noussut tarve ratkaista jonojärjestelmien toimintaan liittyviä todennäköisyysongelmia. Esimerkkejä tällaisista järjestelmistä ovat puhelinkeskukset, korjaamot, vähittäismyyntiliikkeet, lipputoimistot jne. Minkä tahansa jonotusjärjestelmän tehtävänä on palvella siihen tulevia vaatimuksia (tilaajapuhelut, myymälään tulevat asiakkaat, pyynnöt tehdä työpajassa jne.).
Matemaattista tieteenalaa, joka tutkii todellisten jonojärjestelmien malleja, kutsutaan jonoteoriaksi. Jonoteorian tehtävänä on selvittää tuloksena olevien jonojärjestelmän suoritusindikaattoreiden (todennäköisyys, että pyyntö palvellaan; matemaattinen odotus palveltujen pyyntöjen lukumäärästä jne.) riippuvuus syöteindikaattoreista (jonojärjestelmän määrä). järjestelmän laitteet, saapuvan pyyntövirran parametrit jne. .) tällaisia ​​riippuvuuksia on mahdollista määrittää kaavamuodossa vain yksinkertaisille jonojärjestelmille. Todellisten järjestelmien tutkiminen tapahtuu jäljittelemällä tai mallintamalla niiden toimintaa tietokoneella tilastollisen testausmenetelmän avulla.
Jonojärjestelmä katsotaan määritellyksi, jos:
1) sisääntuleva vaatimusvirta eli toisin sanoen jakelulaki, joka luonnehtii niitä hetkiä, jolloin vaatimukset tulevat järjestelmään. Vaatimusten perimmäistä syytä kutsutaan lähteeksi. Seuraavassa suostumme olettamaan, että lähteellä on rajoittamaton määrä vaatimuksia ja että vaatimukset ovat homogeenisia, eli ne eroavat toisistaan ​​vain siinä hetkessä, jolloin ne ilmestyvät järjestelmään;
2) palvelujärjestelmä, joka koostuu tallennuslaitteesta ja palveluyksiköstä. Jälkimmäinen edustaa yhtä tai useampaa huoltolaitetta, joita kutsumme edelleen laitteiksi. Jokaisen pyynnön tulee saapua jollekin laitteista, jotta se voidaan huoltaa. Saattaa olla, että vaatimukset joutuvat odottamaan, kunnes laitteet tulevat saataville. Tässä tapauksessa pyynnöt ovat ruuhkassa muodostaen yhden tai useamman jonon. Oletetaan, että pyynnön siirto tallennusyksiköstä palvelusolmuun tapahtuu välittömästi;
3) kunkin laitteen pyynnön käsittelyaika, joka on satunnaismuuttuja ja jolle on ominaista tietty jakelulaki;
4) odotuskuri eli sääntöjoukko, joka säätelee samaan aikaan järjestelmässä olevien vaatimusten määrää. Järjestelmää, jossa pyyntö hylätään, kun kaikki palvelimet ovat varattu, kutsutaan ei-odotusjärjestelmäksi. Jos pyyntö löytää kaikki laitteet varattuina, se asetetaan jonoon ja odottaa, kunnes
kunnes jokin laitteista tulee saataville, tällaista järjestelmää kutsutaan puhtaaksi odotusjärjestelmäksi. Järjestelmää, jossa pyyntö, joka löytää kaikki laitteet varattuina, asetetaan jonoon vain, jos pyyntöjen määrä järjestelmässä ei ylitä tiettyä tasoa (muuten kysyntä menetetään), kutsutaan sekajonojärjestelmäksi;
5) palvelukuri eli sääntöjoukko, jonka mukaan palvelujonosta valitaan vaatimus. Seuraavia sääntöjä käytetään useimmiten käytännössä:
- Hakemukset hyväksytään tiedoksiannosta saapumisjärjestyksessä;
- hakemukset otetaan tiedoksi hylkäämisen vähimmäisajan mukaisesti;
- hakemukset hyväksytään tiedoksi satunnaisessa järjestyksessä määritettyjen todennäköisyyksien mukaisesti;
6) jonokuri, ts. sääntöjoukko, jonka mukaan pyyntö antaa etusijalle yhden tai toisen jonon (jos niitä on useita) ja sijaitsee valitussa jonossa. Esimerkiksi saapuva pyyntö voi tapahtua lyhimmässä jonossa; tässä jonossa se voi olla viimeinen, joka sijaitsee (tällaista jonoa kutsutaan tilatuksi), tai se voi mennä huoltoon vuorokauden ulkopuolella. Myös muut vaihtoehdot ovat mahdollisia.

Jonojärjestelmien simulointimallinnus

1 Ulkomuotoilu

2 Sisäinen suunnittelu - yksittäisten elementtien suunnittelu
järjestelmät

3 Satunnaisen pyyntövirran toteutusten muodostaminen

5 Esimerkki QS-mallinnuksesta
Harkitse seuraavaa järjestelmää:
1 Vaatimukset saapuvat satunnaisina aikoina
kahden peräkkäisen vaatimuksen välisellä aikavälillä Q on eksponentiaalinen laki parametrin kanssa minä, eli jakelufunktiolla on muoto
>0. (11) Palvelujärjestelmä koostuu s identtisistä, numeroiduista laitteista.
3 Aika T noin bsl - satunnaismuuttuja, jolla on yhtenäinen jakautumislaki segmentillä.
4 Järjestelmä ilman odottamista, ts. pyyntö, jonka mukaan kaikki laitteet ovat varattuina, poistuu järjestelmästä.
5 Palvelukuri on seuraava: jos k:nnen pyynnön saapumishetkellä ensimmäinen palvelin on vapaa, se alkaa palvella pyyntöä; jos tämä laite on varattu ja toinen on vapaa, pyyntöä palvelee toinen laite jne.
On arvioitava matemaattiset odotukset järjestelmän aikana T palvelemien ja hylättyjen pyyntöjen lukumäärästä.
Alkulaskennan hetkeksi valitaan ensimmäisen vaatimuksen saapumishetki T1=0. Otetaan käyttöön seuraava merkintä: Tk on k:nnen pyynnön saapumishetki; ti on i:nnen laitteen pyynnön suorittamisen valmistumishetki, i=1, 2, 3, ...,s.
Oletetaan, että hetkellä T 1 kaikki laitteet ovat vapaita.
Ensimmäinen kysyntä saapuu laitteelle 1. Tämän laitteen palveluaika jakautuu tasaisesti segmentille . Siksi löydämme tobsl:n tietyn arvon tälle ajalle kaavan avulla
(12)
missä r on satunnaismuuttujan R arvo tasaisesti jakautuneena segmentille. Laite 1 on varattu ajan t noin bsl. Siksi laitteen 1 suorittaman pyynnön palvelemisen päättymishetkeä t 1 on pidettävä yhtä suurena kuin: t 1 = T1+ t o bsl.
Sitten sinun tulee lisätä yksi tarjottujen pyyntöjen laskuriin ja jatkaa seuraavan pyynnön käsittelyä.
Oletetaan, että k vaatimusta on jo otettu huomioon. Määritetään (k+1):nnen kysynnän saapumishetki T k+1. Tätä varten löydämme peräkkäisten vaatimusten välisen aikavälin arvon t. Koska tällä välillä on eksponentiaalinen laki, niin
12
x = - R:ssä (13)
| Ll
missä r on satunnaismuuttujan R seuraava arvo. Sitten (k+1):nnen kysynnän saapumishetki: T k +1 = Tk+ T.
Onko ensimmäinen laite vapaa tällä hetkellä? Vastataksesi tähän kysymykseen sinun on tarkistettava ehto ti< Tk + i - Если это условие выполнено, то к моменту Т k +1 первый прибор освободился и может обслуживать требование. В этом случае t 1 заменяем на (Т k +1 + t обсл), добавляем единицу в счетчик об служенных требований и переходим к следующему требованию. Если t 1>T k +1, silloin ensimmäinen laite tällä hetkellä T k +1 on varattu. Tässä tapauksessa tarkistamme, onko toinen laite vapaa. Jos ehto i 2< Tk + i выполнено, заменяем t2 на (Т k +1+ t о бсл), добавляем единицу в счетчик обслуженных требований и переходим к следующему требованию. Если t 2>Т k +1, sitten tarkistamme ehdon 1з<Тк+1 и т. д. Eсли при всех i от 1 до s имеет ti >T k +1, silloin tällä hetkellä T k +1 kaikki laitteet ovat varattuina. Tässä tapauksessa lisäämme yhden vikalaskuriin ja siirrymme seuraavaan vaatimukseen. Joka kerta, kun T k +1 on laskettu, on tarpeen tarkistaa toteutuksen päättymisen ehto: Tk + i< T . Если это условие выполнено, то одна реализация процесса функционирования системы воспроизведена и испыта ние заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа n обсл и n отк.
Toistamalla tällainen testi n kertaa (käyttäen eri r:tä) ja laskemalla kokeellisten tulosten keskiarvot, määritämme arviot matemaattisista odotuksista toimitettujen pyyntöjen määrästä ja hylättyjen pyyntöjen määrästä:
(14)
(Ji
nj = 1
missä (n obsl) j ja (n otk) j ovat n obsl:n ja n otk:n arvot j:nnessä kokeessa.
13

Luettelo käytetyistä lähteistä
1 Emelyanov A.A. Talousprosessien simulaatiomallinnus [Teksti]: Oppikirja. käsikirja yliopistoille / A.A. Emelyanov, E.A. Vlasova, R.V. ajattelin. - M.: Rahoitus ja tilastot, 2002. - 368 s.
2 Buslenko, N.P. Monimutkaisten järjestelmien mallintaminen [Teksti]/ N.P. Buslenko - M.: Nauka, 1978. - 399 s.
3 Neuvostoliiton B.Ya. Järjestelmien mallintaminen [Teksti]: Oppikirja. yliopistoille / B.Ya. Sovetov, S.A. Jakovlev. -M. : Korkeampi koulu, 1985. - 271 s.
4 Neuvostoliiton B.Ya. Järjestelmien mallintaminen [Teksti]: Laboratoriotyöt: Proc. käsikirja erikoisalan yliopistoille: "Automaattinen tietojenkäsittely- ja ohjausjärjestelmä." / B.Ya. Sovetov, S.A. Jakovlev. -M. : Korkeampi koulu, 1989. - 80 s.
5 Maksimey I.V. Simulaatiomallinnus tietokoneella [Teksti]/ Maksimey, I.V. -M: RADIO JA VIESTINTÄ, 1988. - 231 s.
6 Ventzel E.S. Todennäköisyysteoria [Teksti]: oppikirja. yliopistoille / E.S. Tuuletusmaali.- M.: Korkeampi. koulu, 2001. - 575 s.
7 Gmurman, V.E. Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto [Teksti]: oppikirja. lisä / V.E. Gmurman.- M.: Korkeampi. koulu, 2001. - 479 s.
Liite A
(edellytetään)
Laskennan ja graafisen työn summittaiset aiheet
1 Päivystyspoliklinikalla työskentelee vain yksi lääkäri. Potilaan hoidon kesto
ja potilaiden vastaanottojen väliset aikavälit ovat Poissonin lain mukaan jakautuneita satunnaismuuttujia. Vammojen vakavuuden mukaan potilaat jaetaan kolmeen luokkaan, minkä tahansa luokan potilaan vastaanotto on satunnainen tapahtuma, jonka jakautuminen on yhtä todennäköistä. Lääkäri käsittelee ensin vakavimpien vammojen saaneet potilaat (vastaanottojärjestyksessä), sitten, jos niitä ei ole, keskivaikeat potilaat ja vasta sitten lievästi vammautuneita potilaita. Mallinna prosessi ja arvioi kunkin luokan potilaiden keskimääräiset odotusajat jonossa.
2 Kaupungin autokannassa on kaksi korjausvyöhykettä. Ensimmäinen palvelee lyhyt- ja keskipitkät korjaukset, toinen - keskipitkät ja pitkät. Vikojen sattuessa ajoneuvot toimitetaan kalustolle; toimitusten välinen aikaväli on satunnainen Poisson-muuttuja. Korjauskesto on satunnaismuuttuja, jolla on normaalijakauman laki. Mallina kuvattu järjestelmä. Arvioi keskimääräiset odotusajat jonossa lyhytaikaista, keskipitkän ja pitkän aikavälin korjausta vaativille ajoneuvoille.
3 Minimarket, jossa on yksi ohjain-kassa, palvelee asiakkaita, joiden saapuva virta noudattaa Poissonin lakia parametrilla 20 asiakasta/tunti. Suorita kuvatun prosessin simulaatio ja määritä ohjaimen - kassan seisonta-ajan todennäköisyys, jonon pituus, keskimääräinen asiakkaiden määrä minimarketissa, keskimääräinen odotusaika palveluun, asiakkaiden keskimääräinen aika minimarketista ja arvioida sen työtä.
4 ATS vastaanottaa kaukopuhelupyyntöjä. Asiakasvirta on Poisson. Hakemuksia tulee keskimäärin 13 tunnissa. Etsi vastaanotettujen hakemusten keskimääräinen määrä päivässä, keskimääräinen aika hakemusten ilmestymisen välillä. Puhelinkeskus kokee toimintahäiriöitä, jos se saa yli 50 pyyntöä puolen tunnin aikana. Selvitä aseman vian todennäköisyys.
5 Huoltoasema vastaanottaa yksinkertaisimman
ajankohtaiset pyynnöt intensiteetillä 1 auto per 2 tuntia.. Pihalla saa olla jonossa enintään 3 autoa. Keskimääräinen korjausaika on 2 tuntia. Arvioi yhteisen markkinajärjestelyn suorituskykyä ja kehitä suosituksia palvelun parantamiseksi.
6 Yksi kutoja palvelee ryhmää kutomakoneita ja tekee tarvittaessa lyhytaikaisia ​​toimenpiteitä, joiden kesto on satunnaismuuttuja. Simuloi kuvattua tilannetta. Mikä on kahden koneen yhtäaikaisen seisokkiajan todennäköisyys? Kuinka pitkä yhden koneen keskimääräinen seisonta-aika on?
7 Kaukopuhelinkeskuksessa kaksi puhelinoperaattoria palvelee yhteistä tilausjonoa. Seuraavan tilauksen toimittaa puhelinoperaattori, joka tuli ensimmäisenä saataville. Jos molemmat ovat varattuina tilauksen vastaanottohetkellä, puhelu peruuntuu. Mallinna prosessi ottaen huomioon syöttövirrat Poissonin.
8 Päivystyspoliklinikalla työskentelee kaksi lääkäriä. Hoidon kesto on tuskallista
ja potilaiden vastaanottojen väliset aikavälit ovat Poissonin lain mukaan jakautuneita satunnaismuuttujia. Vammojen vakavuuden mukaan potilaat jaetaan kolmeen luokkaan, minkä tahansa luokan potilaan vastaanotto on satunnainen tapahtuma, jonka jakautuminen on yhtä todennäköistä. Lääkäri käsittelee ensin vakavimpien vammojen saaneet potilaat (vastaanottojärjestyksessä), sitten, jos niitä ei ole, keskivaikeat potilaat ja vasta sitten lievästi vammautuneita potilaita. Mallinna prosessi ja arvioi kunkin luokan potilaiden keskimääräiset odotusajat jonossa.
9 Kaukopuhelinkeskuksessa palveli kaksi puhelinoperaattoria
luoda yleinen tilausjono. Seuraavan tilauksen toimittaa kyseinen puhelinoperaattori,
joka vapautui ensimmäisenä. Jos molemmat ovat kiireisiä tilauksen saapuessa, muodostuu jono. Mallinna prosessi ottaen huomioon syöttövirrat Poissonin.
10 Tiedonsiirtojärjestelmässä datapaketteja vaihdetaan solmujen A ja B välillä duplex-viestintäkanavan kautta. Paketit saapuvat tilaajilta järjestelmäpisteisiin 10 ± 3 ms:n välein. Paketin lähetys kestää 10 ms. Pisteillä on puskurirekisterit, joihin voidaan tallentaa kaksi pakettia, mukaan lukien lähetettävä. Jos paketti saapuu rekisterien ollessa varattu, järjestelmäpisteet saavat pääsyn satelliitin half-duplex-tietoliikennelinjaan, joka lähettää datapaketit 10 ± 5 ms:ssa. Kun satelliittilinja on varattu, paketti hylätään. Malli tiedonvaihtoa tiedonsiirtojärjestelmässä 1 minuutin ajan. Määritä puhelujen taajuus satelliittilinjalle ja sen kuormitus. Mahdollisten vikojen sattuessa määritä puskurirekisterien määrä, joka tarvitaan järjestelmän häiriöttömään toimintaan.
11 Käytetään puhelinkeskuksessa tavallista järjestelmää yhdellä tulolla: jos tilaaja on varattu, jonoa ei muodostu ja sinun täytyy soittaa uudelleen. Simuloi tilannetta: kolme tilaajaa yrittää soittaa saman numeron omistajalle ja, jos onnistuu, puhua hänelle jonkin aikaa (satunnaisen keston ajan). Millä todennäköisyydellä joku yrittää soittaa ei pysty tekemään sitä tietyn ajan kuluessa T.
12 Kauppayritys suunnittelee suorittavansa puhelimitse tavaroiden ostotilauksia, joita varten on asennettava asianmukainen mini-PBX useilla puhelimilla. Jos tilaus saapuu, kun kaikki linjat ovat varattu, asiakas hylätään. Jos ilmestymisen vastaanottohetkellä vähintään yksi rivi on vapaa, vaihdetaan tälle riville ja tehdään tilaus. Saapuvan hakemusvirran intensiteetti on 30 tilausta tunnissa. Hakemuksen keskimääräinen käsittelyaika on 5 minuuttia. Määritä optimaalinen palvelukanavien määrä varmistaaksesi QS:n kiinteän toiminnan.
13 Itsepalveluliikkeessä on 6 ohjainta - kassaa. Saapuva asiakasvirta noudattaa Poissonin lakia intensiteetillä 120 henkilöä/tunti. Yksi kassa voi palvella 40 henkilöä tunnissa. Määritä todennäköisyys, että kassa on toimettomana, jonossa olevien asiakkaiden keskimääräinen määrä, keskimääräinen odotusaika, kiireisten kassojen keskimääräinen lukumäärä. Arvioi QS:n työtä.
14 Itsepalvelumyymälä vastaanottaa Poisson-virtauksen, jonka intensiteetti on 200 asiakasta tunnissa. Päivän aikana niitä palvelee 3 kassaohjaajaa 90 asiakasta tunnissa. Saapuvan asiakasvirran intensiteetti ruuhka-aikoina nousee 400 asiakkaaseen tunnissa ja lama-aikoina 100 asiakkaaseen tunnissa. Selvitä myymälässä jonon muodostumisen todennäköisyys ja jonon keskimääräinen pituus vuorokauden aikana sekä tarvittava kassojen määrä ruuhka- ja ruuhka-aikoina, varmistaen samalla jonon pituuden ja sen muodostumisen todennäköisyyden kuten nimellistilassa.
15 Itsepalveluliikkeen maksukeskukseen saapuvia asiakkaita on keskimäärin 100 henkilöä/tunti. Kassa voi palvella 60 henkilöä tunnissa. Mallinna prosessi ja määritä, kuinka monta kassaa tarvitaan varmistaaksesi, että jonon todennäköisyys ei ylitä 0,6.
16 Simuloi jonoa myymälässä yhden myyjän kanssa satunnaismuuttujien tasatodennäköisten jakautumislakien mukaisesti: asiakkaiden saapuminen ja palvelun kesto (joillakin kiinteillä parametreilla). Hanki vakaat ominaisuudet: ostajan jonossa odottamisen keskiarvot ja myyjän joutoaika odottaessaan ostajien saapumista. Arvioi niiden luotettavuus.
17 Simuloi jonoa myymälässä yhden myyjän kanssa satunnaismuuttujien jakautumisen Poisson-lakien mukaisesti: asiakkaiden saapuminen ja palvelun kesto (joillakin kiinteillä parametreilla). Hanki vakaat ominaisuudet: ostajan jonossa odottamisen keskiarvot ja myyjän joutoaika odottaessaan ostajien saapumista. Arvioi niiden luotettavuus.
18 Luo malli huoltoasemasta. Löydä lippupalvelun laatuindikaattorit. Määritä laskurien määrä, jotta jono ei kasva.
19 Itsepalveluliikkeen maksukeskukseen saapuvia asiakkaita on keskimäärin 60 henkilöä tunnissa. Kassa voi palvella 35 henkilöä tunnissa. Mallinna prosessi ja määritä, kuinka monta kassaa tarvitaan varmistaaksesi, että jonon todennäköisyys ei ylitä 0,6.
20 Kehitä malli bussireitistä, jossa on n pysäkkiä. Määritä QS:n käytön suorituskykyindikaattorit.

Moskovan valtion teknillinen yliopisto

nimetty N.E. Bauman (Kalugan haara)

Korkeamman matematiikan laitos

Kurssityöt

kurssilla "Toimintatutkimus"

Jonojärjestelmän simulaatiomallinnus

Työtehtävä: Luo simulaatiomalli ja laske jonojärjestelmän (QS) suorituskykyindikaattorit seuraavilla ominaisuuksilla:

Palvelukanavien lukumäärä n; jonon enimmäispituus t;

Järjestelmään tulevien sovellusten virta on yksinkertaisin keskimääräisellä intensiteetillä λ ja eksponentiaalisella aikajakauman lailla hakemusten vastaanottamisen välillä;

Järjestelmässä palveltujen pyyntöjen virta on yksinkertaisin keskimääräisellä intensiteetillä µ ja palveluajan eksponentiaalisella jakautumissäännöllä.

Vertaa löydettyjä indikaattoriarvoja tuloksiin. saatu ratkaisemalla numeerisesti Kolmogorov-yhtälö järjestelmän tilojen todennäköisyyksille. QS-parametrien arvot on annettu taulukossa.

Johdanto

Luku 1. Yhteisten markkinajärjestelyjen pääpiirteet ja niiden tehokkuuden indikaattorit

1.1 Markovin satunnaisprosessin käsite

1.2 Tapahtumavirrat

1.3 Kolmogorov-yhtälöt

1.4 Lopulliset todennäköisyydet ja QS-tilakaavio

1.5 QS:n suorituskykyindikaattorit

1.6 Simulaatiomallinnuksen peruskäsitteet

1.7 Simulaatiomallien rakentaminen

Luku 2. QS:n analyyttinen mallinnus

2.1 Järjestelmän tilakaavio ja Kolmogorov-yhtälöt

2.2 Järjestelmän tehokkuusindikaattoreiden laskeminen lopullisten todennäköisyyksien perusteella

Luku 3. QS:n simulaatiomallinnus

3.1 QS-simulointimenetelmän algoritmi (askel askeleelta lähestymistapa)

3.2 Ohjelman vuokaavio

3.3 QS-tehokkuusindikaattoreiden laskeminen sen simulaatiomallinnuksen tulosten perusteella

3.4 Tulosten tilastollinen käsittely ja vertailu analyyttisen mallinnuksen tuloksiin

Johtopäätös

Kirjallisuus

Liite 1

Toimintaa tutkiessa törmää usein uudelleenkäytettäviin järjestelmiin vastaavien ongelmien ratkaisussa. Syntyviä prosesseja kutsutaan palveluprosesseiksi ja järjestelmiä kutsutaan jonojärjestelmiksi (QS).

Jokainen QS koostuu tietystä määrästä palveluyksiköitä (instrumentteja, laitteita, pisteitä, asemia), joita kutsutaan palvelukanaviksi. Kanavat voivat olla viestintälinjoja, työpisteitä, tietokoneita, myyjiä jne. Kanavien lukumäärän perusteella QS-järjestelmät jaetaan yksikanavaisiin ja monikanavaisiin.

Hakemukset vastaanotetaan QS:ään yleensä ei säännöllisesti, vaan satunnaisesti muodostaen niin sanotun satunnaisen hakemusvirran (vaatimukset). Myös sovellusten palvelu jatkuu jonkin aikaa satunnaisesti. Sovellusvirran ja palveluajan satunnaisuus johtaa siihen, että QS kuormittuu epätasaisesti: joinakin ajanjaksoina sovelluksia kertyy hyvin suuri määrä (ne joko joutuvat jonoon tai jättävät QS:n käyttämättä), kun taas muina ajanjaksoina QS toimii alikuormituksella tai on tyhjäkäynnillä.

Jonoteorian aiheena on matemaattisten mallien rakentaminen, jotka yhdistävät QS:n annetut toimintaolosuhteet (kanavien lukumäärä, niiden tuottavuus, pyyntövirran luonne jne.) QS:n suorituskykyindikaattoreihin, jotka kuvaavat sen kykyä. selviytymään pyyntöjen virtauksesta.

Seuraavia käytetään QS:n tehokkuuden indikaattoreina:

Järjestelmän absoluuttinen kapasiteetti (A), ts. keskimääräinen toimitettujen hakemusten lukumäärä aikayksikköä kohti;

Suhteellinen kapasiteetti (Q), ts. järjestelmän palvelemien vastaanotettujen sovellusten keskimääräinen osuus;

Pyynnön palveluvirheen todennäköisyys (

Keskimääräinen varattujen kanavien lukumäärä (k);

Keskimääräinen hakemusten määrä yhteiseen markkinajärjestelyyn (

Keskimääräinen aika, jonka sovellus viipyy järjestelmässä (

Jonossa olevien sovellusten keskimääräinen määrä (

Keskimääräinen aika, jonka sovellus viettää jonossa (

Keskimääräinen toimitettujen hakemusten lukumäärä aikayksikköä kohti;

Palvelun keskimääräinen odotusaika;

Todennäköisyys, että jonossa olevien sovellusten määrä ylittää tietyn arvon jne.

QS on jaettu kahteen päätyyppiin: QS, jossa on epäonnistumisia ja QS, joissa on odotus (jono). QS:ssä, jossa on kieltäytyminen, hakemus, joka on vastaanotettu ajankohtana, jolloin kaikki kanavat ovat varattu, saa kieltäytymisen, poistuu QS:stä eikä osallistu jatkopalveluprosessiin (esim. puhelinkeskusteluhakemus ajankohtana, jolloin kaikki kanavat ovat varattu, saa kieltäytymisen ja jättää QS:n toimittamatta). Odottavassa QS:ssä pyyntö, joka saapuu aikana, jolloin kaikki kanavat ovat varattu, ei lähde, vaan joutuu palvelujonoon.

Yksi QS-tehokkuusindikaattoreiden laskentamenetelmistä on simulointimenetelmä. Tietokonesimuloinnin käytännön käyttö edellyttää sopivan matemaattisen mallin rakentamista, joka ottaa huomioon epävarmuustekijät, dynaamiset ominaisuudet ja koko tutkittavan järjestelmän elementtien välisten suhteiden kompleksin. Järjestelmän toiminnan simulaatiomallinnus alkaa tietystä alkutilasta. Erilaisten satunnaisten tapahtumien toteutuksesta johtuen järjestelmämalli siirtyy myöhempinä aikoina muihin mahdollisiin tiloihinsa. Tämä kehitysprosessi jatkuu suunnittelujakson viimeiseen hetkeen, ts. simulaation viimeiseen pisteeseen asti.

Olkoon jokin järjestelmä, joka muuttaa tilaansa satunnaisesti ajan myötä. Tässä tapauksessa he sanovat, että järjestelmässä tapahtuu satunnainen prosessi.

Prosessia kutsutaan diskreettitilaprosessiksi, jos sen tilat

QS-toimintaprosessi on satunnainen prosessi, jossa on diskreetit tilat ja jatkuva aika.

Satunnaista prosessia kutsutaan Markovin tai satunnaiseksi prosessiksi ilman jälkivaikutuksia, jos jonkin aikaa

1.2 Tapahtumavirrat

Tapahtumavirta on homogeenisten tapahtumien sarja, jotka seuraavat peräkkäin satunnaisina aikoina.

Virtalle on tunnusomaista intensiteetti λ - tapahtumien esiintymistiheys tai QS:ään saapuvien tapahtumien keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti.

Tapahtumien kulkua kutsutaan säännölliseksi, jos tapahtumat seuraavat toisiaan tietyin tasaisin aikavälein.

Tapahtumavirtaa kutsutaan paikallaan pysyväksi, jos sen todennäköisyysominaisuudet eivät riipu ajasta. Erityisesti paikallaan olevan virtauksen intensiteetti on vakioarvo:

Tapahtumien kulkua kutsutaan tavalliseksi, jos tapahtuman todennäköisyys on lyhyen ajanjakson sisällä

Tapahtumien kulkua kutsutaan kuluksi ilman jälkivaikutuksia, jos kahdelle ei-päällekkäiselle ajanjaksolle

JOHDANTO

LUKU I. JONOPALVELUONGELMIEN MUOTTAMINEN

1.1 Jonoteorian yleinen käsite

1.2 Jonojärjestelmien mallintaminen

1.3 QS-tilakaaviot

1.4 Satunnaiset prosessit

Luku II. JONOJÄRJESTELMIÄ KUVAAVAT YHTÄLÖT

2.1 Kolmogorov-yhtälöt

2.2 Syntymä-kuolemaprosessit

2.3 Jonotustehtävien taloudellinen ja matemaattinen muotoilu

III luku. JONOJÄRJESTELMIEN MALLIT

3.1 Yksikanavainen QS palveluneston kanssa

3.2 Monikanavainen QS palveluneston kanssa

3.3 Monivaiheisen matkailun palvelujärjestelmän malli

3.4 Yksikanavainen QS rajoitetulla jonon pituudella

3.5 Yksikanavainen QS rajoittamattomalla jonolla

3.6 Monikanavainen QS rajoitetulla jonon pituudella

3.7 Monikanavainen QS rajoittamattomalla jonolla

3.8 Supermarketin jonojärjestelmän analyysi

PÄÄTELMÄ

Johdanto

Tällä hetkellä on ilmestynyt suuri määrä kirjallisuutta, joka on omistettu suoraan jonoteorialle, sen matemaattisten näkökohtien kehittämiseen sekä sen eri sovellusalueille - sotilas, lääketiede, liikenne, kauppa, ilmailu jne.

Jonoteoria perustuu todennäköisyysteoriaan ja matemaattisiin tilastoihin. Jonoteorian alkukehitys liittyy tanskalaisen tiedemiehen A.K. Erlang (1878-1929), töillään puhelinkeskusten suunnittelun ja käytön alalla.

Jonoteoria on soveltavan matematiikan ala, joka käsittelee tuotanto-, palvelu- ja johtamisjärjestelmien prosessien analysointia, jossa homogeeniset tapahtumat toistuvat monta kertaa, esimerkiksi kuluttajapalveluyrityksissä; tietojen vastaanotto-, käsittely- ja siirtojärjestelmissä; automaattiset tuotantolinjat jne. Venäläiset matemaatikot A.Ya antoivat suuren panoksen tämän teorian kehittämiseen. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel et ai.

Jonoteorian aiheena on määrittää riippuvuuksia pyyntövirran luonteen, palvelukanavien lukumäärän, yksittäisen kanavan suorituskyvyn ja tehokkaan palvelun välillä, jotta löydettäisiin parhaat tavat hallita näitä prosesseja. Jonoteorian ongelmat ovat luonteeltaan optimointia ja sisältävät viime kädessä taloudellisen näkökulman sellaisen järjestelmävaihtoehdon määrittämisessä, jolla varmistetaan mahdollisimman pienet kokonaiskustannukset palvelun odottamisesta, palvelun ajan ja resurssien menetyksestä sekä palvelukanavien seisokeista.

Kaupallisessa toiminnassa jonoteorian soveltaminen ei ole vielä löytänyt haluttua jakaumaa.

Tämä johtuu pääasiassa tehtävien asettamisen vaikeudesta, kaupallisen toiminnan sisällön syvällisen ymmärtämisen tarpeesta sekä luotettavista ja tarkoista työkaluista, joiden avulla voidaan laskea erilaisia ​​vaihtoehtoja johdon päätösten seurauksista kaupallisessa toiminnassa.

Luku minä . Jonotustehtävien asettaminen

1.1 Jonoteorian yleinen käsite

Massapalveluiden luonne eri aloilla on hyvin hienovarainen ja monimutkainen. Kaupallinen toiminta liittyy monien toimintojen suorittamiseen liikkeen vaiheissa, esimerkiksi tavaroiden massa tuotantoalueelta kulutusalueelle. Tällaisia ​​toimintoja ovat tavaroiden lastaus, kuljetus, purku, varastointi, käsittely, pakkaaminen ja myynti. Tällaisten perustoimintojen lisäksi tavaroiden siirtoprosessiin liittyy suuri määrä alustavia, valmistelevia, mukana, rinnakkaisia ​​ja myöhempiä operaatioita maksuasiakirjoilla, konteilla, rahalla, autoilla, asiakkailla jne.

Listatuille kaupallisen toiminnan fragmenteille on ominaista tavaroiden, rahan ja vierailijoiden massiivinen saapuminen satunnaisina aikoina, sitten niiden peräkkäinen huolto (vaatimusten, pyyntöjen, sovellusten tyydyttäminen) suorittamalla asianmukaisia ​​operaatioita, joiden suoritusaika on myös satunnainen. Kaikki tämä luo epätasaisuutta työhön, aiheuttaa alikuormituksia, seisokkeja ja ylikuormituksia kaupallisessa toiminnassa. Jonot aiheuttavat paljon vaivaa esimerkiksi kahviloiden, ruokaloiden, ravintoloiden vierailijoille tai tavaravarastojen autonkuljettajille, jotka odottavat purkamista, lastausta tai paperityötä. Tältä osin tehtävänä on analysoida olemassa olevia vaihtoehtoja koko toimintosarjan suorittamiseksi, esimerkiksi supermarketin, ravintolan myyntikerrassa tai omien tuotteiden tuotantopajoissa niiden työn arvioimiseksi, heikkojen lenkkien tunnistamiseksi. ja varauksia kaupallisen toiminnan tehostamiseen tähtäävien suositusten laatimiseen.

Lisäksi syntyy muita tehtäviä, jotka liittyvät uuden taloudellisen, järkevän vaihtoehdon luomiseen, organisointiin ja suunnitteluun useiden toimintojen suorittamiseen kauppahallissa, konditoriamyymälässä, kaikilla palvelutasoilla ravintolassa, kahvilassa, ruokalassa, suunnitteluosastossa, kirjanpidossa, henkilöstöosasto jne.

Joukkopalvelujen järjestämisen tehtäviä syntyy lähes kaikilla ihmisen toiminnan aloilla, esimerkiksi myyjiä palvelevat asiakkaita myymälöissä, palvelevat vieraita julkisissa ravintoloissa, palvelevat asiakkaita kuluttajapalveluyrityksissä, järjestävät puhelinkeskusteluja puhelinkeskuksessa, tarjoavat sairaanhoitoa potilaat klinikalla jne. Kaikissa yllä olevissa esimerkeissä on tarve tyydyttää suuren joukon kuluttajien tarpeita.

Listatut ongelmat voidaan ratkaista onnistuneesti käyttämällä erityisesti tähän tarkoitukseen luotuja queuing theory (QST) -menetelmiä ja -malleja. Tämä teoria selittää, että on välttämätöntä palvella jotakuta tai jotain, mikä määritellään käsitteellä "palvelupyyntö (demand)", ja palvelutoiminnot suorittaa joku tai jokin, jota kutsutaan palvelukanaviksi (solmuiksi). Kaupallisessa toiminnassa pyyntöjen roolia ovat tavarat, vierailijat, rahat, tilintarkastajat, asiakirjat, ja palvelukanavien roolia ovat myyjät, ylläpitäjät, kokit, kondiittorit, tarjoilijat, kassat, kauppatavaraasiantuntijat, kuormaajat, kaupalliset laitteet jne. On tärkeää huomata, että yhdessä suoritusmuodossa esimerkiksi ruoanvalmistusprosessissa oleva kokki on palvelukanava, ja toisessa hän toimii palvelupyynnönä, esimerkiksi tuotantopäällikölle vastaanottamaan tavaroita.

Hakemukset muodostavat huollon kuittien massiivisesta määrästä johtuen saapuviksi kutsuttuja virtoja ennen huoltotoimenpiteiden suorittamista ja mahdollisen huollon alkamisen odotuksen jälkeen, ts. Idle time jonossa muodostavat palveluvirrat kanavilla, ja sitten muodostuu lähtevä pyyntövirta. Yleisesti ottaen saapuvan pyyntövirran, jonon, palvelukanavien ja lähtevän pyyntövirran elementtien yhdistelmä muodostaa yksinkertaisimman yksikanavaisen jonotusjärjestelmän - QS.

Järjestelmä ymmärretään joukkona toisiinsa liittyviä järjestelmiä. tarkoituksellisesti vuorovaikutuksessa olevat osat (elementit). Esimerkkejä tällaisista yksinkertaisista QS:stä kaupallisessa toiminnassa ovat tavaroiden vastaanotto- ja käsittelypaikat, asiakkaiden maksukeskukset kaupoissa, kahvilat, ruokalat, taloustieteilijöiden, kirjanpitäjien, kauppiaiden, kokkien työpaikat jne.

Palveluprosessi katsotaan suoritetuksi, kun palvelupyyntö poistuu järjestelmästä. Palvelumenettelyn toteuttamiseen tarvittavan aikavälin kesto riippuu pääasiassa palvelupyynnön luonteesta, itse palvelujärjestelmän tilasta ja palvelukanavasta.

Itse asiassa ostajan supermarketissa oleskelun pituus riippuu toisaalta ostajan henkilökohtaisista ominaisuuksista, hänen toiveistaan, tavaravalikoimasta, jonka hän aikoo ostaa, ja toisaalta muodosta. palveluorganisaatiosta ja palveluhenkilöstöstä, mikä voi vaikuttaa merkittävästi ostajan oleskeluun supermarketissa ja palvelun intensiteettiin. Esimerkiksi kassa-ohjaajien "sokean" kassatyöskentelytavan hallinta mahdollisti maksusolmujen läpimenonopeuden kasvattamisen 1,3-kertaiseksi ja säästää asiakkaiden kanssa asiointiin kuluvaa aikaa kussakin kassakoneessa yli 1,5 tuntia. päivässä. Yhden maksukeskuksen käyttöönotto supermarketissa tarjoaa konkreettisia etuja ostajalle. Jos siis perinteisellä maksutavalla yhden asiakkaan palvelemiseen kului aikaa keskimäärin 1,5 minuuttia, niin kertamaksuyksikön käyttöönoton yhteydessä se oli 67 sekuntia. Näistä 44 sekuntia kuluu ostosten tekemiseen osiossa ja 23 sekuntia suoraan ostosten maksamiseen. Jos ostaja tekee useita ostoksia eri osissa, kahden oston yhteydessä ajanhukkaa pienenee 1,4-kertaisesti, kolme 1,9-kertaisesti, viisi ostosta 2,9-kertaisesti.

Pyyntöjen palvelulla tarkoitamme tarpeiden tyydyttämistä. Palvelut ovat luonteeltaan monipuolisia. Kaikissa esimerkeissä vastaanotetut pyynnöt vaativat kuitenkin jonkin laitteen huoltoa. Joissakin tapauksissa palvelun suorittaa yksi henkilö (palvelun ostajalle yksi myyjä, joissakin - ryhmä ihmisiä (potilaan palvelu klinikan lääketieteellisen toimikunnan toimesta) ja joissakin tapauksissa - teknisillä laitteilla. (kuohuvesi, voileipien myynti automaateilla.) Joukkoa palvelupyyntöjä kutsutaan palvelukanavaksi.

Jos palvelukanavat pystyvät tyydyttämään identtiset pyynnöt, niin palvelukanavia kutsutaan homogeenisiksi. Homogeenisten palvelukanavien joukkoa kutsutaan palvelujärjestelmäksi.

Jonojärjestelmä vastaanottaa suuren määrän pyyntöjä satunnaisina aikoina, joiden palvelun kesto on myös satunnaismuuttuja. Sovellusten peräkkäistä saapumista palvelujärjestelmään kutsutaan sisääntulevaksi sovellusvirraksi ja palvelujärjestelmästä lähtevien sovellusten sekvenssiä kutsutaan lähteväksi virtaukseksi.

Palvelutoimintojen keston jakautumisen satunnainen luonne sekä palvelupyyntöjen vastaanoton satunnaisuus johtavat siihen, että palvelukanavissa tapahtuu satunnainen prosessi, jota "voidaan kutsua (analogisesti pyyntöjen tulovirta) palvelupyyntöjen virta tai yksinkertaisesti palveluvirta.

Huomaa, että palvelujärjestelmään tulevat sovellukset voivat poistua siitä ilman huoltoa. Esimerkiksi jos asiakas ei löydä haluamaansa tuotetta myymälästä, hän poistuu kaupasta palvelematta häntä. Ostaja voi myös poistua myymälästä, jos haluttua tuotetta on saatavilla, mutta jono on pitkä, eikä ostajalla ole aikaa.

Jonoteoria käsittelee jonotukseen liittyvien prosessien tutkimista ja menetelmien kehittämistä tyypillisten jonoongelmien ratkaisemiseksi.

Palvelujärjestelmän tehokkuutta tutkittaessa eri tavoilla paikantaa palvelukanavia järjestelmässä on tärkeä rooli.

Palvelukanavien rinnakkaisjärjestelyllä pyyntö voidaan palvella millä tahansa ilmaisella kanavalla. Esimerkki tällaisesta palvelujärjestelmästä on itsepalveluliikkeiden maksukeskus, jossa palvelukanavien määrä on sama kuin kassa-ohjaajien lukumäärä.

Käytännössä yhtä pyyntöä palvelevat usein peräkkäin useat palvelukanavat. Tässä tapauksessa seuraava palvelukanava aloittaa pyynnön palvelemisen sen jälkeen, kun edellinen kanava on suorittanut työnsä. Tällaisissa järjestelmissä palveluprosessi on monivaiheinen, pyynnön palvelemista yhden kanavan kautta kutsutaan palveluvaiheeksi. Jos esimerkiksi itsepalveluliikkeessä on osastot myyjien kanssa, asiakkaita palvelevat ensin myyjät ja sitten kassa-ohjaimet.

Palvelujärjestelmän organisaatio riippuu henkilön tahdosta. Jonoteoriassa järjestelmän toiminnan laatua ei ymmärretä sillä, kuinka hyvin palvelu on suoritettu, vaan kuinka täyteen kuormitettu palvelujärjestelmä on, ovatko palvelukanavat lepotilassa vai muodostuuko jono.

Kaupallisessa toiminnassa jonojärjestelmään tulevat sovellukset asettavat korkeat vaatimukset myös palvelun laadulle kokonaisuutena, joka sisältää paitsi listan historiallisesti kehittyneistä ja suoraan jonoteoriassa huomioituista ominaisuuksista, myös muita palveluille ominaisia ​​ominaisuuksia. kaupallisen toiminnan erityispiirteet, mukaan lukien erityisesti yksittäiset kunnossapitotoimenpiteet, joiden tasovaatimukset ovat nyt kohonneet huomattavasti. Tältä osin on myös tarpeen ottaa huomioon kaupallisen toiminnan indikaattorit.

Palvelujärjestelmän suorituskykyä kuvaavat seuraavat tunnusluvut. Kuten odotusaika palvelun alkamiseen, jonon pituus, mahdollisuus saada palvelun epääminen, mahdollisuus palvelukanavien seisokkiin, palvelun hinta ja viime kädessä tyytyväisyys palvelun laatuun, mikä myös sisältää kaupallisen toiminnan indikaattoreita. Palvelujärjestelmän toiminnan laadun parantamiseksi on selvitettävä, miten saapuvat pyynnöt jaetaan palvelukanavien välillä, kuinka monta palvelukanavaa tulisi olla käytettävissä, miten palvelukanavia tai palvelulaitteita järjestetään tai ryhmitellään liiketoiminnan suorituskyvyn parantamiseksi. Näiden ongelmien ratkaisemiseksi on olemassa tehokas mallinnusmenetelmä, joka sisältää ja yhdistää eri tieteiden, mukaan lukien matematiikan, saavutukset.

1.2 Jonojärjestelmien mallintaminen

QS:n siirtyminen tilasta toiseen tapahtuu hyvin spesifisten tapahtumien - hakemusten vastaanoton ja niiden palvelun - vaikutuksesta. Satunnaisina aikoina peräkkäin tapahtuva tapahtumasarja muodostaa niin sanotun tapahtumavirran. Esimerkkejä tällaisista virroista kaupallisessa toiminnassa ovat erilaiset virrat - tavara, raha, asiakirjat, kuljetus, asiakkaat, ostajat, puhelut, neuvottelut. Järjestelmän käyttäytymistä ei yleensä määritä yksi, vaan useat tapahtumavirrat. Esimerkiksi myymälän asiakaspalvelu määräytyy asiakasvirtojen ja palveluvirtojen mukaan; näissä virroissa asiakkaiden ilmestymishetket, jonotusaika ja kunkin asiakkaan palvelemiseen kuluva aika ovat satunnaisia.

Tässä tapauksessa virtojen tärkein ominaisuus on todennäköisyyspohjainen aikajakauma viereisten tapahtumien välillä. On olemassa useita virtoja, jotka eroavat ominaisuuksiltaan.

Tapahtumavirtaa kutsutaan säännölliseksi, jos tapahtumat seuraavat toisiaan ennalta määrätyin ja tarkasti määritellyin aikavälein. Tämä virtaus on ihanteellinen ja sitä tavataan hyvin harvoin käytännössä. Useammin esiintyy epäsäännöllisiä virtauksia, joilla ei ole säännöllisyyden ominaisuutta.

Tapahtumien kulkua kutsutaan paikallaan pysyväksi, jos todennäköisyys, että mikä tahansa määrä tapahtumia putoaa aikaväliin, riippuu vain tämän aikavälin pituudesta, eikä se riipu siitä, kuinka kaukana tämä aikaväli sijaitsee ajan alusta. Virran stationaarisuus tarkoittaa, että sen todennäköisyysominaisuudet ovat ajasta riippumattomia, erityisesti tällaisen virtauksen intensiteetti on tapahtumien keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti ja pysyy vakiona. Käytännössä virtauksia voidaan yleensä pitää paikallaan vain tietyn rajoitetun ajan. Tyypillisesti asiakasvirta esimerkiksi myymälässä muuttuu merkittävästi työpäivän aikana. On kuitenkin mahdollista tunnistaa tietyt aikavälit, joiden sisällä tätä virtausta voidaan pitää paikallaan pysyvänä, jonka intensiteetti on vakio.

Tapahtumien kulkua kutsutaan virtaukseksi ilman seurauksia, jos jollekin mielivaltaisesti valitulle aikavälille osuvien tapahtumien määrä ei riipu toiselle, myös mielivaltaisesti valitulle aikavälille osuvien tapahtumien lukumäärästä, edellyttäen, että nämä välit eivät leikkaa toisiaan . Seurauksettomassa virtauksessa tapahtumat tapahtuvat peräkkäisinä aikoina toisistaan ​​riippumatta. Esimerkiksi myymälään saapuvien asiakkaiden virtaa voidaan pitää seurauksettomana virtana, koska syyt, jotka määrittelivät jokaisen saapumisen, eivät liity samanlaisiin syihin muiden asiakkaiden kohdalla.

Tapahtumien kulkua kutsutaan tavalliseksi, jos todennäköisyys, että kaksi tai useampi tapahtuma tapahtuu kerralla hyvin lyhyessä ajassa, on mitätön verrattuna vain yhden tapahtuman todennäköisyyteen. Tavallisessa virtauksessa tapahtumat tapahtuvat yksi kerrallaan mieluummin kuin kaksi tai useampia kertoja. Jos virralla on samanaikaisesti stationaarisuuden, tavallisuuden ja seurausten puuttumisen ominaisuuksia, niin tällaista virtausta kutsutaan yksinkertaisimmiksi (tai Poisson-) tapahtumien virtaukseksi. Matemaattinen kuvaus tällaisen virtauksen vaikutuksista järjestelmiin osoittautuu yksinkertaisimmaksi. Siksi erityisesti yksinkertaisimmalla virtauksella on erityinen rooli muiden olemassa olevien virtojen joukossa.

Tarkastellaan tiettyä aikaväliä t aika-akselilla. Oletetaan, että satunnaisen tapahtuman todennäköisyys putoaa tähän väliin on p ja mahdollisten tapahtumien kokonaismäärä on n. Tavallisen tapahtumavirran ominaisuuden läsnä ollessa todennäköisyyden p tulee olla riittävän pieni arvo, ja minun pitäisi olla riittävän suuri luku, koska massailmiöitä tarkastellaan. Näissä olosuhteissa voit käyttää Poissonin kaavaa laskeaksesi todennäköisyyden, että tietty määrä tapahtumia m tapahtuu ajanjaksolla t:

P m, n = a m_e -a; (m = 0, n),

jossa arvo a = pr on ajanjaksolle t osuvien tapahtumien keskimääräinen lukumäärä, joka voidaan määrittää tapahtumavirran X intensiteetin avulla seuraavasti: a= λ τ

Virtauksen intensiteetin ulottuvuus X on tapahtumien keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti. n:n ja λ:n, p:n ja τ:n välillä on seuraava suhde:

missä t on koko ajanjakso, jonka aikana tapahtumien kulkua tarkastellaan.

On tarpeen määrittää aikavälin T jakauma tapahtumien välillä tällaisessa virtauksessa. Koska tämä on satunnaismuuttuja, etsitään sen jakaumafunktio. Kuten todennäköisyysteoriasta tiedetään, kumulatiivinen jakaumafunktio F(t) on todennäköisyys sille, että arvo T on pienempi kuin aika t.

Ehdon mukaan tapahtumaa ei saa tapahtua ajan T aikana, ja vähintään yhden tapahtuman tulisi esiintyä aikavälillä t. Tämä todennäköisyys lasketaan käyttämällä päinvastaisen tapahtuman todennäköisyyttä aikavälillä (0; t), jossa tapahtumaa ei ole tapahtunut, ts. m = 0, sitten

F(t)=1-P 0 =1-(a 0*e-a)0!=1-e-Xt,t≥0

Pienelle ∆t:lle on mahdollista saada likimääräinen kaava, joka saadaan korvaamalla funktio e - Xt, vain kahdella ∆t:n potenssien laajenemisen termillä, sitten todennäköisyydellä ainakin yhden tapahtuman toteutumiselle pienen ajanjakson sisällä. ∆t on

P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt

Saamme kahden peräkkäisen tapahtuman välisen ajanjakson jakautumistiheyden erottamalla F(t) ajan suhteen,

f(t) = λe - λ t, t ≥ 0

Saatua jakautumistiheysfunktiota käyttämällä saadaan satunnaismuuttujan T numeeriset ominaisuudet: matemaattinen odotus M (T), varianssi D (T) ja keskihajonta σ (T).

M(T) = λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt = 1/λ; D(T) = 1/λ2; σ(T)=1/λ.

Tästä voimme tehdä seuraavan johtopäätöksen: keskimääräinen aikaväli T minkä tahansa kahden vierekkäisen tapahtuman välillä yksinkertaisimmassa virtauksessa on keskimäärin 1/λ ja sen keskihajonta on myös 1/λ, λ missä on virtaus, ts. tapahtumien keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti. Satunnaismuuttujan, jolla on tällaisia ​​ominaisuuksia M(T) = T, jakautumislakia kutsutaan eksponentiaaliseksi (tai eksponentiaaliksi), ja arvo λ on tämän eksponentiaalisen lain parametri. Siten yksinkertaisimmalle virtaukselle naapuritapahtumien välisen aikavälin matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin sen keskihajonta. Tässä tapauksessa todennäköisyys, että vastaanotettujen palvelupyyntöjen määrä ajanjaksolla t on yhtä suuri kuin k, määräytyy Poissonin lain mukaan:

P k (t) = (λt) k / k! *e -λt,

missä λ on pyyntövirran intensiteetti, tapahtumien keskimääräinen määrä QS:ssä aikayksikköä kohti, esimerkiksi [henkilö/min; hieroa / tunti; shekit/tunti; asiakirja/päivä; kg/tunti; t./vuosi].

Tällaiselle pyyntövirtaukselle kahden viereisen pyynnön T välinen aika jakautuu eksponentiaalisesti todennäköisyystiheydellä:

ƒ(t) = λe - λt.

Satunnaista odotusaikaa palvelun aloitusjonossa t och voidaan myös pitää eksponentiaalisesti jakautuneena:

ƒ (t och) = V*e - v t och,

missä v on jonon kulkuvirran intensiteetti, joka määräytyy palveluun siirtyvien sovellusten keskimääräisen lukumäärän perusteella aikayksikköä kohti:

missä T och on palvelun keskimääräinen odotusaika jonossa.

Pyyntöjen lähtövirta liittyy kanavan palveluvirtaan, jossa palvelun kesto t obs on myös satunnaismuuttuja ja monissa tapauksissa noudattaa eksponentiaalista jakautumislakia todennäköisyystiheydellä:

ƒ(t obs) = µ*e µ t obs,

missä µ on palveluvirran intensiteetti, ts. keskimääräinen palvelupyyntöjen määrä aikayksikköä kohti:

µ = 1/ t obs [henkilö/min; hieroa / tunti; shekit/tunti; asiakirja/päivä; kg/tunti; t./vuosi] ,

missä t obs on huoltopyyntöjen keskimääräinen aika.

Merkit λ ja µ yhdistävän QS:n tärkeä ominaisuus on kuormituksen intensiteetti: ρ= λ/ µ, joka näyttää palvelukanavan pyyntöjen tulo- ja lähtövirtojen koordinaation asteen ja määrittää jonon vakauden. järjestelmä.

Yksinkertaisimman tapahtumavirran käsitteen lisäksi on usein tarpeen käyttää muun tyyppisten virtojen käsitteitä. Tapahtumavirtaa kutsutaan Palm-virraksi, kun tässä virrassa peräkkäisten tapahtumien T 1, T 2, ..., T k ..., T n väliset aikavälit ovat itsenäisiä, identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia, mutta toisin kuin yksinkertaisimmat. stream, niitä ei välttämättä jaeta eksponentiaalisen lain mukaan. Yksinkertaisin virtaus on Palm flown erikoistapaus.

Tärkeä Palm-virtauksen erikoistapaus on ns. Erlang-virtaus.

Tämä virtaus saadaan "ohentamalla" yksinkertaisinta virtausta. Tämä "harvennus" suoritetaan valitsemalla tapahtumat yksinkertaisimmasta virrasta tietyn säännön mukaan.

Esimerkiksi, kun olemme suostuneet ottamaan huomioon vain joka toisen yksinkertaisimman virtauksen muodostavan tapahtuman, saamme toisen kertaluvun Erlang-virtauksen. Jos otamme vain joka kolmannen tapahtuman, muodostuu kolmannen asteen Erlang-virtaus jne.

On mahdollista saada minkä tahansa k:nnen asteen Erlang-virtoja. Ilmeisesti yksinkertaisin virtaus on ensimmäisen asteen Erlang-virtaus.

Jonojärjestelmän tutkiminen alkaa palveltavan palvelun tutkimisesta, joten tutkimalla saapuvaa sovellusvirtaa ja sen ominaisuuksia.

Koska aikahetket t ja pyyntöjen vastaanottoaikavälit τ, palvelutoimintojen kesto t obs ja odotusaika jonossa t och sekä jonon pituus l och ovat satunnaismuuttujia, niin QS:n tilan ominaisuudet ovat luonteeltaan todennäköisyyspohjaisia, ja niiden kuvaamiseen on tarpeen soveltaa jonoteorian menetelmiä ja malleja.

Yllä luetellut ominaisuudet k, τ, λ, L och, T och, v, t obs, µ, p, P k ovat yleisimmät QS:lle, jotka ovat yleensä vain osa tavoitefunktiota, koska se on myös välttämätön. ottaa huomioon kaupallisen toiminnan indikaattorit.

1.3 QS-tilakaaviot

Analysoitaessa satunnaisia ​​prosesseja, joissa on diskreetit tilat ja jatkuva aika, on kätevää käyttää muunnelmaa CMO:n mahdollisten tilojen kaavamaisesta esityksestä (kuva 6.2.1) graafin muodossa, jossa on merkitty sen mahdolliset kiinteät tilat. . QS:n tilat on yleensä kuvattu joko suorakulmioilla tai ympyröillä, ja mahdolliset siirtymäsuunnat tilasta toiseen on suunnattu näitä tiloja yhdistävillä nuolilla. Esimerkiksi lehtikioskissa satunnaisen palveluprosessin yksikanavaisen järjestelmän merkitty tilakaavio on esitetty kuvassa 1. 1.3.

Riisi. 1.3. Merkitty QS-tilakaavio

Järjestelmä voi olla jossakin kolmesta tilasta: S 0 - kanava on vapaa, vapaa, S 1 - kanava on varattu huoltoon, S 2 - kanava on varattu huoltoon ja yksi pyyntö on jonossa. Järjestelmän siirtyminen tilasta S 0 tilaan Sl tapahtuu yksinkertaisen pyyntövirran vaikutuksesta, jonka intensiteetti on λ 01, ja tilasta Sl tilaan S 0 järjestelmän siirretään palveluvuolla, jonka intensiteetti on λ 01. Palvelujärjestelmän tilakaaviota, jonka virtausintensiteetit on merkitty nuolilla, kutsutaan nimitetyksi. Koska järjestelmän läsnäolo yhdessä tai toisessa tilassa on todennäköisyyttä, todennäköisyyttä: p i (t), että järjestelmä on tilassa S i hetkellä t, kutsutaan QS:n i:nnen tilan todennäköisyydeksi ja se määräytyy saapuvien palvelupyyntöjen määrä k.

Järjestelmässä esiintyvä satunnainen prosessi on se, että satunnaisina aikoina t 0, t 1, t 2,..., t k,..., t n järjestelmä löytää itsensä peräkkäin johonkin aiemmin tunnettuun diskreettiin tilaan. Kuten tämä. satunnaista tapahtumasarjaa kutsutaan Markovin ketjuksi, jos jokaisessa vaiheessa todennäköisyys siirtyä tilasta S t johonkin toiseen Sj ei riipu siitä, milloin ja miten järjestelmä siirtyi tilaan S t . Markovin ketju kuvataan tilojen todennäköisyydellä, ja ne muodostavat kokonaisen tapahtumaryhmän, joten niiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Jos siirtymän todennäköisyys ei riipu luvusta k, niin Markovin ketjua kutsutaan homogeeniseksi. Kun palvelujärjestelmän alkutila tiedetään, voidaan löytää tilojen todennäköisyydet mille tahansa palvelulle vastaanotettujen pyyntöjen k-määrän arvolle.

1.4 Satunnaiset prosessit

QS:n siirtyminen tilasta toiseen tapahtuu satunnaisesti ja on satunnainen prosessi. QS:n toiminta on satunnainen prosessi, jossa on diskreetit tilat, koska sen mahdolliset ajalliset tilat voidaan listata etukäteen. Lisäksi siirtyminen tilasta toiseen tapahtuu äkillisesti, satunnaisina aikoina, minkä vuoksi sitä kutsutaan prosessiksi, jossa on jatkuva aika. Siten QS:n toiminta on satunnainen prosessi, jossa on diskreetit tilat ja jatkuva; aika. Esimerkiksi Moskovan Kristall-yrityksen tukkuasiakkaiden palveluprosessissa kaikki mahdolliset alkueläinten tilat voidaan tallentaa etukäteen. CMO, jotka sisältyvät koko kaupallisten palvelujen kiertoon alkoholijuomien toimitussopimuksen tekemisestä, maksusta, paperityöstä, tuotteiden luovutuksesta ja vastaanottamisesta, lisälastaus- ja valmiiden tuotteiden varastosta poistamisesta.

Satunnaisten prosessien monista lajikkeista yleisimpiä kaupallisessa toiminnassa ovat ne prosessit, joiden prosessin ominaisuudet tulevaisuudessa riippuvat milloin tahansa vain sen tilasta nykyhetkellä eivätkä ole riippuvaisia ​​esihistoriasta - menneisyydestä . Esimerkiksi mahdollisuus saada viinatuotteita Kristallin tehtaalta riippuu niiden saatavuudesta valmiissa tuotevarastossa, ts. sen nykyinen kunto, eikä se riipu siitä, milloin ja miten muut ostajat saivat ja veivät nämä tuotteet aiemmin.

Tällaisia ​​satunnaisia ​​prosesseja kutsutaan prosesseiksi ilman seurauksia tai Markov-prosesseiksi, joissa QS:n tuleva tila ei kiinteällä nykyhetkellä riipu menneisyydestä. Järjestelmässä tapahtuvaa satunnaista prosessia kutsutaan Markovin satunnaisprosessiksi tai "prosessiksi ilman seurauksia", jos sillä on seuraava ominaisuus: kullakin ajanhetkellä t 0 minkä tahansa järjestelmän Si tilan t > t 0 todennäköisyys. , - tulevaisuudessa (t>t Q ) riippuu vain tilastaan ​​nykyhetkessä (hetkellä t = t 0) eikä se riipu siitä, milloin ja miten järjestelmä on joutunut tähän tilaan, ts. koska prosessi kehittyi menneisyydessä.

Markovin satunnaisprosessit jaetaan kahteen luokkaan: prosesseihin, joissa on diskreetti ja jatkuva tila. Diskreettitiloinen prosessi tapahtuu järjestelmissä, joissa on vain tietyt kiinteät tilat, joiden välillä hyppymäiset siirtymät ovat mahdollisia tietyillä, aiemmin tuntemattomilla ajanhetkillä. Tarkastellaan esimerkkiä prosessista, jossa on diskreetit tilat. Yrityksen toimistossa on kaksi puhelinta. Tälle palvelujärjestelmälle ovat mahdollisia seuraavat tilat: S o -puhelimet ovat ilmaisia; S l - yksi puhelimista on varattu; S 2 - molemmat puhelimet ovat varattu.

Tässä järjestelmässä tapahtuva prosessi on, että järjestelmä hyppää satunnaisesti yhdestä erillisestä tilasta toiseen.

Prosesseille, joilla on jatkuvat tilat, on ominaista jatkuva tasainen siirtyminen tilasta toiseen. Nämä prosessit ovat tyypillisempiä teknisille laitteille kuin taloudellisille kohteille, joissa yleensä voidaan puhua vain likimääräisesti prosessin jatkuvuudesta (esimerkiksi tavaravaraston jatkuvasta kuluttamisesta), kun taas itse asiassa prosessi on aina diskreetti. . Siksi tarkastelemme edelleen vain prosesseja, joissa on diskreetit tilat.

Markovin satunnaisprosessit, joilla on diskreettitila, jaetaan puolestaan ​​diskreettiaikaisiin ja jatkuva-aikaisiin prosesseihin. Ensimmäisessä tapauksessa siirtymät tilasta toiseen tapahtuvat vain tietyillä, ennalta määrätyillä ajanhetkillä, kun taas näiden hetkien välissä järjestelmä säilyttää tilansa. Toisessa tapauksessa järjestelmän siirtyminen tilasta tilaan voi tapahtua millä tahansa satunnaisella ajanhetkellä.

Käytännössä jatkuvaaikaiset prosessit ovat paljon yleisempiä, koska järjestelmän siirtymät tilasta toiseen eivät yleensä tapahdu millään kiinteällä ajanhetkellä vaan satunnaisina ajanhetkenä.

Jatkuvaaikaisten prosessien kuvaamiseen käytetään mallia, joka on ns. Markov-ketju, jossa on erilliset järjestelmän tilat, tai jatkuva Markov-ketju.

Luku II . Jonojärjestelmiä kuvaavat yhtälöt

2.1 Kolmogorov-yhtälöt

Tarkastellaan matemaattista kuvausta Markovin satunnaisprosessista, jossa on järjestelmän S o , S l , S 2 diskreetit tilat (ks. kuva 6.2.1) ja jatkuva aika. Uskomme, että kaikki jonojärjestelmän siirtymät tilasta S i tilaan Sj tapahtuvat yksinkertaisten tapahtumavirtojen vaikutuksesta, joiden intensiteetti on λ ij , ja käänteinen siirtyminen toisen virtauksen λ ij , vaikutuksesta. Esitetään merkintä pi todennäköisyydeksi, että hetkellä t järjestelmä on tilassa S i . Millä tahansa ajanhetkellä t on reilua kirjoittaa normalisointiehto - kaikkien tilojen todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1:

Σp i (t) = p 0 (t) + p 1 (t) + p 2 (t) = 1

Analysoidaan järjestelmää hetkellä t määrittämällä pieni aikalisäys Δt ja selvitetään todennäköisyys p 1 (t+ Δt), että järjestelmä hetkellä (t+ Δt) on tilassa S 1, mikä voidaan saavuttaa eri tavoin:

a) järjestelmä hetkellä t todennäköisyydellä p 1 (t) oli tilassa S 1 eikä pienen lisäyksen ajan Δt koskaan siirtynyt toiseen naapuritilaan - ei S 0 eikä bS 2 . Järjestelmä voidaan poistaa tilasta S 1 yksinkertaisimmalla kokonaisvirtauksella intensiteetillä (λ 10 + λ 12), koska yksinkertaisimpien virtausten superpositio on myös yksinkertaisin virtaus. Tällä perusteella todennäköisyys poistua tilasta S1 lyhyessä ajassa Δt on suunnilleen yhtä suuri kuin (λ 10 +λ 12)* Δt. Tällöin todennäköisyys, että tästä tilasta ei poistu, on yhtä suuri kuin . Tämän mukaisesti todennäköisyys, että järjestelmä pysyy tilassa Si todennäköisyyskertoilulauseen perusteella, on yhtä suuri:

p 1 (t);

b) järjestelmä oli naapuritilassa S o ja lyhyessä ajassa Δt siirtyi tilaan S o Järjestelmän siirtyminen tapahtuu virtauksen λ 01 vaikutuksesta todennäköisyydellä, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin λ 01 Δt

Todennäköisyys, että järjestelmä on tilassa S 1 tässä versiossa on yhtä suuri kuin p o (t)λ 01 Δt;

c) järjestelmä oli S2-tilassa ja aikana Δt siirtyi S1-tilaan intensiteetin λ 21 virtauksen vaikutuksesta todennäköisyydellä, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin λ 21 Δt. Todennäköisyys, että järjestelmä on tilassa S1, on yhtä suuri kuin p 2 (t) λ 21 Δt.

Soveltamalla todennäköisyyslisäyslausetta näihin vaihtoehtoihin saadaan lauseke:

p 2 (t+Δt)= p 1 (t) + p o (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt,

joka voidaan kirjoittaa eri tavalla:

p2(t+At)-p1(t)/At=po(t)λ01 + p2(t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 + λ 12).

Siirtymällä rajalle Δt-> 0, likimääräiset yhtälöt muuttuvat täsmällisiksi ja sitten saadaan ensimmäisen kertaluvun derivaatta

dp2/dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 + λ 12),

joka on differentiaaliyhtälö.

Suorittamalla päättelyn samalla tavalla kaikille muille järjestelmän tiloille, saadaan differentiaaliyhtälöjärjestelmä, jota kutsutaan A.N:n yhtälöiksi. Kolmogorov:

dp 0 /dt = p 1 λ 10,

dp1/dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 + λ 12),

dp 2/dt = p 1 λ 12 + p 2 λ 21.

Kolmogorov-yhtälöiden muodostamiseen on olemassa yleiset säännöt.

Kolmogorovin yhtälöiden avulla voidaan laskea kaikki QS S i:n tilojen todennäköisyydet ajan p i (t) funktiona. Satunnaisprosessien teoriassa on osoitettu, että jos järjestelmän tilojen lukumäärä on äärellinen ja jokaisesta niistä on mahdollista siirtyä mihin tahansa muuhun tilaan, on olemassa rajoittavia (lopullisia) tilojen todennäköisyyksiä, jotka osoittavat keskimääräinen suhteellinen arvo ajalle, jonka järjestelmä pysyy tässä tilassa. Jos tilan S 0 marginaalitodennäköisyys on p 0 = 0,2, niin keskimäärin 20 % ajasta eli 1/5 työajasta järjestelmä on tilassa S o . Esimerkiksi palvelupyyntöjen puuttuessa k = 0, p 0 = 0,2,; Siksi järjestelmä on keskimäärin 2 tuntia S o -tilassa vuorokaudessa ja on käyttämättömänä, jos työpäivä on 10 tuntia.

Koska järjestelmän rajoittavat todennäköisyydet ovat vakioita, korvaamalla Kolmogorov-yhtälöiden vastaavat derivaatat nolla-arvoilla, saadaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä, joka kuvaa QS:n stationaarista tilaa. Tällainen yhtälöjärjestelmä kootaan QS-tilojen merkityn graafin mukaisesti seuraavien sääntöjen mukaisesti: yhtälön yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella on tarkasteltavan tilan Si suurin todennäköisyys p i kerrottuna kaikkien tulostettavien virtojen kokonaisintensiteetillä. (lähtevät nuolet) annetun tilan Si järjestelmästä ja yhtäläisyysmerkin oikealla puolella - kaikkien järjestelmän tilaan saapuvien (saapuvien nuolien) virtausten intensiteetin tulojen summa näiden tilojen todennäköisyydellä alkaen josta nämä virrat ovat peräisin. Tällaisen järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen lisätä vielä yksi yhtälö, joka määrittää normalisointiehdon, koska QS:n kaikkien tilojen todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1: n

Esimerkiksi QS:lle, jolla on merkitty graafi, jossa on kolme tilaa S o , S 1 , S 2 Kuva. 6.2.1, Kolmogorov-yhtälöjärjestelmä, joka on koottu esitetyn säännön perusteella, on seuraavanlainen:

Tilalle S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10

Tilalle S 1 → p 1 (λ 10 + λ 12) = p 0 λ 01 + p 2 λ 21

Tilalle S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12

p 0 + p 1 + p 2 =1

dp 4 (t)/dt = λ 34 p 3 (t) - λ 43 p 4 (t) ,

p 1 (t) + p 2 (t) + p 3 (t) + p 4 (t) = 1.

Meidän on lisättävä näihin yhtälöihin alkuehdot. Esimerkiksi, jos t = 0 järjestelmä S on tilassa S 1, niin alkuehdot voidaan kirjoittaa seuraavasti:

p 1 (0) = 1, p 2 (0) = p 3 (0) = p 4 (0) = 0.

Siirtymät QS-tilojen välillä tapahtuvat hakemusten vastaanoton ja niiden huollon vaikutuksesta. Siirtymistodennäköisyys, jos tapahtumien kulku on yksinkertaisin, määräytyy tapahtuman todennäköisyyden perusteella ajan Δt aikana, ts. siirtymän todennäköisyyselementin λ ij Δt arvo, jossa λ ij on tapahtumavirran intensiteetti, joka siirtää järjestelmän tilasta i tilaan i (tilakaavion vastaavaa nuolta pitkin).

Jos kaikki tapahtumavirrat, jotka siirtävät järjestelmän tilasta toiseen, ovat yksinkertaisimpia, niin järjestelmässä tapahtuva prosessi on Markovin satunnainen prosessi, ts. prosessi ilman seurauksia. Tässä tapauksessa järjestelmän käyttäytyminen on melko yksinkertaista, jos kaikkien näiden yksinkertaisimpien tapahtumavirtojen intensiteetti tunnetaan. Esimerkiksi, jos järjestelmässä tapahtuu Markovin satunnainen prosessi jatkuvalla ajalla, niin kirjoittamalla Kolmogorov-yhtälöjärjestelmä tilatodennäköisyyksiin ja integroimalla tämä järjestelmä annetuissa alkuehdoissa, saadaan kaikki tilatodennäköisyydet ajan funktiona:

p i (t), p 2 (t),…, p n (t).

Monissa tapauksissa käytännössä käy ilmi, että tilatodennäköisyydet ajan funktiona käyttäytyvät siten, että

lim p i (t) = p i (i = 1,2,…,n); t →∞

alkuolosuhteiden tyypistä riippumatta. Tässä tapauksessa he sanovat, että järjestelmän tiloilla on rajoittavat todennäköisyydet kohdassa t->∞ ja järjestelmään muodostuu tietty rajoittava stationaarinen toiminto. Tässä tapauksessa järjestelmä muuttaa tilojaan satunnaisesti, mutta jokainen näistä tiloista esiintyy tietyllä vakiotodennäköisyydellä, joka määräytyy järjestelmän kussakin tilassa olevan keskimääräisen ajan perusteella.

Tilan p i rajoittavat todennäköisyydet on mahdollista laskea, jos kaikki järjestelmän derivaatat asetetaan 0:ksi, koska Kolmogorov-yhtälöissä kohdassa t-> ∞ aikariippuvuus katoaa. Sitten differentiaaliyhtälöjärjestelmä muuttuu tavallisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmäksi, joka yhdessä normalisointiehdon kanssa antaa mahdollisuuden laskea kaikki tilojen rajoittavat todennäköisyydet.

2.2 "Syntymä - kuolema" prosessit

Homogeenisten Markov-prosessien joukossa on luokka satunnaisia ​​prosesseja, joita käytetään laajalti matemaattisten mallien rakentamisessa demografian, biologian, lääketieteen (epidemiologian), taloustieteen ja kaupallisen toiminnan aloilla. Nämä ovat niin sanottuja "syntymä-kuolema"-prosesseja, Markov-prosesseja seuraavan muodon stokastisilla tilakaavioilla:

μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1

Riisi. 2.1 Merkitty kaavio "syntymä-kuolema" -prosessista

Tämä kaavio toistaa hyvin tunnetun biologisen tulkinnan: arvo λ k heijastaa tietyn populaation uuden edustajan, esimerkiksi kanien, syntymisnopeutta, ja nykyinen populaation tilavuus on k; arvo μ on yhden tämän populaation edustajan kuolleisuus (myynti), jos nykyinen väestömäärä on yhtä suuri kuin k. Erityisesti populaatio voi olla rajoittamaton (Markov-prosessin tilojen lukumäärä n on ääretön, mutta laskettavissa), intensiteetti λ voi olla yhtä suuri kuin nolla (populaatio ilman uudestisyntymisen mahdollisuutta), esimerkiksi kun kanit lopettavat lisääntymisen.

Markovin "syntymä-kuolema" -prosessille, joka on kuvattu kuvassa 2 esitetyllä stokastisella kaaviolla. 2.1, löydämme lopullisen jakauman. Käyttämällä yhtälöiden muodostamissääntöjä järjestelmän tilan S 1, S 2, S 3,… S k,…, S n rajatodennäköisyyksien äärelliselle määrälle n, laadimme vastaavat yhtälöt kullekin tilalle:

tilalle S0-λ0p0 =μ0p1;

tilalle S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2, joka voidaan muuntaa muotoon λ 1 p 1 ottaen huomioon tilan S 0 edellisen yhtälön. = μ 1 p 2.

Vastaavasti voit luoda yhtälöitä järjestelmän S 2, S 3,..., S k,..., S n jäljellä oleville tiloille. Tuloksena saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän:

Ratkaisemalla tämä yhtälöjärjestelmä voidaan saada lausekkeita, jotka määrittävät jonojärjestelmän lopulliset tilat:

On huomattava, että kaavat tilojen p 1, p 2, p 3,..., p n lopullisten todennäköisyyksien määrittämiseksi sisältävät termejä, jotka ovat osa p 0:n määrittävän lausekkeen summaa. Näiden termien osoittajat sisältävät kaikkien intensiteettien tulot tilakaavion nuolien kohdalla, jotka johtavat vasemmalta oikealle tarkasteltuun tilaan S k, ja nimittäjät ovat kaikkien intensiteettien tulot, jotka ovat oikealta vasemmalle johtavien nuolien kohdalla. tarkasteltu tila S k eli . μ 0, μ 1, μ 2, μ 3,… μ k. Tässä suhteessa kirjoitetaan nämä mallit kompaktimpaan muotoon:

k = 1, n

2.3 Jonotustehtävien taloudellinen ja matemaattinen muotoilu

Ongelman oikea tai onnistunein taloudellinen ja matemaattinen muotoilu määrää suurelta osin suositusten hyödyllisyyden jonojärjestelmien parantamiseksi kaupallisessa toiminnassa.

Tältä osin on tarpeen seurata tarkasti prosessia järjestelmässä, etsiä ja tunnistaa merkittäviä yhteyksiä, muotoilla ongelma, korostaa tavoitetta, määrittää indikaattoreita ja korostaa taloudellisia kriteerejä QS:n työn arvioimiseksi. Tässä tapauksessa yleisin, kokonaisvaltaisin indikaattori voi olla toisaalta kaupallisen toiminnan QS:n kustannukset palvelujärjestelmänä ja toisaalta sovellusten kustannukset, jotka voivat olla luonteeltaan erilaisia. fyysistä sisältöä.

K. Marx näki lopulta tehokkuuden lisäämisen millä tahansa toiminnan alalla ajan säästämisenä ja piti tätä yhtenä tärkeimmistä talouden laeista. Hän kirjoitti, että ajan säästäminen sekä suunniteltu työajan jakautuminen tuotannon eri alojen kesken ovat edelleen ensimmäinen kollektiiviseen tuotantoon perustuva talouslaki. Tämä laki ilmenee kaikilla yhteiskunnallisen toiminnan aloilla.

Tavaroille, mukaan lukien kaupalliselle alueelle tulevat varat, tehokkuuskriteeri liittyy tavaroiden kiertoaikaan ja -nopeuteen ja määrittää pankkiin menevien varojen intensiteetin. Aika ja kiertonopeus, jotka ovat kaupallisen toiminnan taloudellisia indikaattoreita, kuvaavat varastoon sijoitettujen varojen käytön tehokkuutta. Varaston kiertokulku heijastaa keskimääräisen varaston keskimääräistä myyntinopeutta. Liikevaihdon ja varastotason indikaattorit liittyvät läheisesti tunnettuihin malleihin. Siten on mahdollista jäljittää ja määrittää näiden ja muiden kaupallisen toiminnan indikaattoreiden välinen suhde aikaominaisuuksien avulla.

Näin ollen kaupallisen yrityksen tai organisaation toiminnan tehokkuus muodostuu yksittäisten palvelutoimintojen suorittamiseen käytetystä kokonaisajasta, kun taas väestölle matkustamiseen, kaupassa, ruokalassa, kahvilassa, ravintolassa käyntiin, palvelun alkamisen odottamiseen, tutustumiseen käytettyyn aikaan. valikosta, tuotteiden valinnasta, laskemisesta jne. Väestön käyttämän ajan rakenteesta tehdyt tutkimukset osoittavat, että merkittävä osa ajasta kuluu irrationaalisesti. Huomaa, että kaupallinen toiminta tähtää viime kädessä ihmisten tarpeiden tyydyttämiseen. Siksi QS-mallinnustoimiin on sisällyttävä aika-analyysi jokaiselle perushuoltotoimenpiteelle. Sopivia menetelmiä käyttäen tulisi luoda malleja QS-indikaattoreiden yhdistämiseksi. Tämä edellyttää, että yleisimmät ja tunnetuimmat taloudelliset indikaattorit, kuten liikevaihto, voitto, jakelukustannukset, kannattavuus ja muut, on yhdistettävä taloudellisissa ja matemaattisissa malleissa palvelujärjestelmien erityispiirteiden mukaan määräytyviin ja käyttöön otettuihin lisäindikaattoreihin. jonoteorian erityispiirteiden mukaan.

Esimerkiksi QS-indikaattoreiden ominaisuuksia, joissa on vikoja, ovat: odotusaika sovelluksille jonossa T och =0, koska luonteensa vuoksi tällaisissa järjestelmissä jonon olemassaolo on mahdotonta, silloin L och =0 ja siten todennäköisyys sen muodostumisesta P och =0. Pyyntöjen lukumäärän k perusteella määritetään järjestelmän toimintatila ja sen tila: k=0 – vapaat kanavat, 1:llä n – huolto ja vika. Tällaisten QS:n indikaattoreita ovat palvelun P kieltäytymisen todennäköisyys, palvelun P obs:n todennäköisyys, kanavan keskimääräinen seisokkiaika t pr, keskimääräinen varattujen n h ja vapaiden kanavien määrä n st, keskimääräinen palvelu t obs, absoluuttinen suorituskyky A.

Rajattoman odotusajan QS:lle on ominaista, että pyynnön palvelemisen todennäköisyys on P obs = 1, koska jonon pituus ja odotusaika palvelun alkamiseen eivät ole rajoitettuja, ts. muodollisesti L och →∞ ja T och →∞. Järjestelmissä ovat mahdollisia seuraavat toimintatilat: k=0:lla havaitaan palvelukanavien seisokkiaika, 1:llä n – palvelu ja jono. Tällaisen QS:n tehokkuuden indikaattoreita ovat hakemusten keskimääräinen lukumäärä jonossa L och, hakemusten keskimääräinen määrä järjestelmässä k, sovelluksen keskimääräinen viipymäaika järjestelmässä T cm, absoluuttinen suoritusteho A.

QS:ssä, jossa on odotus ja jossa on jononpituuden rajoitus, jos sovellusten määrä järjestelmässä on k = 0, on kanavien seisokkiaika, jossa 1 n+m - palvelu, jono ja kieltäytyminen palvelua odotellessa. Tällaisen QS:n tehokkuuden indikaattoreita ovat palvelun epäämisen todennäköisyys P kieltäytyä - palvelun todennäköisyys P obs, hakemusten keskimääräinen määrä jonossa L och, hakemusten keskimääräinen määrä järjestelmässä L cm, keskimääräinen viipymäaika sovellus järjestelmässä T cm, absoluuttinen suorituskyky A.

Siten jonojärjestelmien ominaisuuksien luettelo voidaan esittää seuraavasti: keskimääräinen palveluaika – t obs; keskimääräinen odotusaika jonossa – T och; keskimääräinen oleskelu SMO:ssa – T smo; keskimääräinen jonon pituus - L och; hakemusten keskimääräinen määrä SMO- L smo:ssa; palvelukanavien määrä – n; sovellusten syöttövirran intensiteetti – λ; palveluintensiteetti – μ; kuormituksen intensiteetti – ρ; kuormituskerroin – α; suhteellinen suorituskyky – Q; absoluuttinen suorituskyky – A; osuus seisokeista QS:ssä – P 0 ; osuus toimitetuista sovelluksista – R obs; kadonneiden pyyntöjen osuus – P auki, keskimääräinen varattujen kanavien määrä – n з; keskimääräinen ilmaisten kanavien määrä - n St; kanavan kuormituskerroin – Кз; kanavien keskimääräinen seisokkiaika - t pr.

On huomattava, että joskus riittää jopa kymmenen avainindikaattorin käyttäminen heikkouksien tunnistamiseen ja suositusten laatimiseen laadunvarmistuksen parantamiseksi.

Tämä liittyy usein koordinoituun työketjuun tai QS-sarjoihin liittyvien ongelmien ratkaisemiseen.

Esimerkiksi kaupallisessa toiminnassa on myös tarpeen ottaa huomioon yhteisen markkinajärjestelyn taloudelliset indikaattorit: kokonaiskustannukset - C; kiertokulut - C io, kulutuskustannukset - C ip, yhden sovelluksen huoltokustannukset - C 1, sovelluksen poistumiseen liittyvät häviöt - C y1, kanavan käyttökustannukset - C k, kanavan seisokit - C pr, pääomasijoitukset - C cap, alennetut vuosikustannukset – C pr, juoksevat kustannukset – C tek, yhteisen markkinajärjestelyn tuotto aikayksikköä kohden – D 1

Tehtäviä asetettaessa on tarpeen paljastaa QS-indikaattoreiden keskinäiset suhteet, jotka voidaan jakaa peruskuuluvuuden mukaan kahteen ryhmään: ensimmäinen liittyy IO:n käsittelykustannuksiin, jotka määritetään huollon käyttämien kanavien määrä, QS:n ylläpitokustannukset, palvelun intensiteetti, kanavien kuormitusaste, niiden tehokkuus, QS-kapasiteetti jne.; toisen indikaattoriryhmän määrittävät itse palvelua varten vastaanotettujen SIP-sovellusten kustannukset, jotka muodostavat saapuvan virran, tuntevat palvelun tehokkuuden ja liittyvät sellaisiin indikaattoreihin kuin jonon pituus, palvelun odotusaika, palvelun epäämisen todennäköisyys, hakemuksen jäämisaika palvelujärjestelmässä jne.

Nämä indikaattoriryhmät ovat ristiriitaisia ​​siinä mielessä, että yhden ryhmän tunnuslukujen parantaminen, esimerkiksi jonon pituuden tai jonotusajan lyhentäminen palvelukanavien (tarjoilijat, kokit, portterit, kassat) määrää lisäämällä, liittyy konsernin tunnuslukujen heikkenemisen kanssa, koska tämä voi johtaa palvelukanavien seisokkien lisääntymiseen, niiden ylläpitokustannuksiin jne. Tämän palvelutehtävien virallistamisen yhteydessä on aivan luonnollista pyrkiä rakentamaan QS siten, että saavutetaan kohtuullinen kompromissi itse pyyntöjen suoritusten ja järjestelmän kykyjen täyden käytön välillä. Tätä tarkoitusta varten on tarpeen valita yleinen, integroitu QS:n tehokkuuden indikaattori, joka sisältää samanaikaisesti molempien ryhmien vaatimukset ja kyvyt. Tällaiseksi indikaattoriksi voidaan valita taloudellisen tehokkuuden kriteeri, joka sisältää sekä levikkikustannukset C io että sovellusten kustannukset C ip, joilla on optimaalinen arvo minimaalisilla kokonaiskustannuksilla C. Tämän perusteella tavoitefunktio ongelman voi kirjoittaa seuraavasti:

C= (Cio + Cip) →min

Koska kiertokuluihin sisältyvät QS - C ex:n toimintaan ja palvelukanavien seisokkiin liittyvät kulut - C pr ja sovellusten kustannuksiin kuuluvat kulut, jotka liittyvät hoitamattomien sovellusten poistumiseen - C nz ja jonossa pysymiseen - C och, tavoitefunktio voidaan kirjoittaa uudelleen ottaen huomioon nämä indikaattorit seuraavasti:

C=((C pr n st +C ex n h)+C och R obs λ(T och +t obs)+C alkaen R auki λ) → min.

Tehtävästä riippuen muuttuvia eli ohjattavia indikaattoreita voivat olla: palvelukanavien määrä, palvelukanavien organisaatio (rinnakkainen, peräkkäinen, sekalainen), jonokuri, palvelupyyntöjen prioriteetti, kanavien välinen keskinäinen apu jne. tehtävän indikaattorit näkyvät hallitsemattomina, jotka ovat yleensä lähtötietoja. Tehokkuuskriteerinä tavoitefunktiossa voi olla myös liikevaihto, voitto tai tuotto, esimerkiksi kannattavuus, jolloin QS:n ohjattujen indikaattoreiden optimaaliset arvot löytyvät ilmeisesti jo maksimoinnissa, kuten edellisessä versiossa. .

Joissakin tapauksissa sinun tulee käyttää toista vaihtoehtoa tavoitefunktion kirjoittamiseen:

C=(C ex n z +C pr (n-n z)+C auki *P auki *λ+C järjestelmä * n z )→ min

Esimerkiksi yritysten asiakaspalvelukulttuurin taso voidaan valita yleiseksi kriteeriksi, jolloin kohdefunktio voidaan esittää seuraavalla mallilla:

K ob =[(Z pu *K y)+(Z pv *K v)+(Z pv *K d)+(Z pz *K z)+(Z pitkin *K 0)+(Z kt *K kt )]*K mp,

missä Zpu on tuotevalikoiman kestävyyden indikaattorin merkitys;

K y - tuotevalikoiman vakauskerroin;

Z pv – progressiivisten tavaroiden myyntimenetelmien käyttöönoton indikaattorin merkitys;

K in – progressiivisten tavaroiden myyntimenetelmien käyttöönottokerroin;

Zp – lisäpalveluindikaattorin merkitys;

K d - lisäpalvelukerroin;

Z pz - oston valmistumisindikaattorin merkitys;

Kz - oston valmistumisaste;

3 - palvelun odotukseen käytetyn ajan indikaattorin merkitys;

K about – huoltoa odotellessa käytetty aika;

Z kt – tiimin työn laatua kuvaavan indikaattorin merkitys;

Ккт – joukkueen työn laatukerroin;

KMP on asiakkaiden mielestä palvelukulttuurin indikaattori;

QS:n analysoimiseksi voit valita muita kriteerejä laadunvarmistuksen tehokkuuden arvioimiseksi. Esimerkiksi sellaiseksi kriteeriksi järjestelmille, joissa on vikoja, voidaan valita vika P-vian todennäköisyys, jonka arvo ei ylitä ennalta määrättyä arvoa. Esimerkiksi vaatimus R avoin<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

Tavoitefunktion rakentamisen jälkeen on tarpeen määrittää edellytykset ongelman ratkaisemiseksi, löytää rajoituksia, asettaa indikaattoreiden alkuarvot, tunnistaa hallitsemattomat indikaattorit, rakentaa tai valita mallijoukko analysoitavan tyypin kaikkien indikaattorien suhteelle. QS, jotta lopulta löydettäisiin ohjattujen indikaattoreiden optimaaliset arvot, esimerkiksi kokkien, tarjoilijoiden, kassojen, kuormaajien, varastotilan tilavuudet jne.

Luku III . Jonojärjestelmien mallit

3.1 Yksikanavainen QS palveluneston kanssa

Analysoidaan yksinkertaista yksikanavaista palveluvikoja sisältävää QS:tä, joka vastaanottaa Poissonin pyyntöjen intensiteetin λ ja huolto tapahtuu Poisson-virran vaikutuksesta, jonka intensiteetti on μ.

Yksikanavaisen QS:n n=1 toiminta voidaan esittää leimatun tilagraafin muodossa (3.1).

QS:n siirtymät tilasta S 0 toiseen S1 tapahtuvat intensiteetin λ pyyntöjen sisäänmenovirran vaikutuksesta, ja käänteinen siirtyminen tapahtuu palveluvuon vaikutuksesta, jonka intensiteetti on μ.

S 0 – palvelukanava on vapaa; S 1 – kanava on varattu palvelusta;

Riisi. 3.1 Yksikanavaisen QS:n merkitty tilakaavio

Kirjoitetaan Kolmogorov-differentiaaliyhtälöjärjestelmä tilatodennäköisyyksiä varten yllä olevien sääntöjen mukaisesti:

Mistä saadaan differentiaaliyhtälö tilan S 0 todennäköisyyden p 0 (t) määrittämiseksi:

Tämä yhtälö voidaan ratkaista alkuolosuhteissa olettaen, että systeemi hetkellä t=0 oli tilassa S 0, sitten p 0 (0)=1, p 1 (0)=0.

Tässä tapauksessa differentiaalinen tasoitusratkaisu antaa meille mahdollisuuden määrittää todennäköisyys, että kanava on vapaa eikä palvelun varaama:

Sitten on helppo saada lauseke todennäköisyydelle määrittää kanavan varaustodennäköisyys:

Todennäköisyys p 0 (t) pienenee ajan myötä ja rajassa, kun t→∞ pyrkii arvoon

ja todennäköisyys p 1 (t) kasvaa samalla arvosta 0, suuntautuen rajassa t→∞ arvoon

Nämä todennäköisyysrajat voidaan saada suoraan Kolmogorov-yhtälöistä

Funktiot p 0 (t) ja p 1 (t) määrittävät transienttiprosessin yksikanavaisessa QS:ssä ja kuvaavat QS:n eksponentiaalisen lähestymisen prosessia rajatilaansa tarkasteltavan järjestelmän aikavakion ominaisuudella.

Käytännössä riittävällä tarkkuudella voidaan olettaa, että siirtymäprosessi QS:ssä päättyy ajassa, joka on yhtä suuri kuin 3τ.

Todennäköisyys p 0 (t) määrittää QS:n suhteellisen kapasiteetin, joka määrittää huollettujen sovellusten osuuden suhteessa saapuvien sovellusten kokonaismäärään aikayksikköä kohti.

Itse asiassa p 0 (t) on todennäköisyys, että hetkellä t saapuva pyyntö hyväksytään palveluun. Yhteensä saapuu keskimäärin λ sovelluksia aikayksikköä kohti ja λр 0 sovellusta huolletaan.

Tällöin palveluiden osuuden suhteessa koko sovellusvirtaan määrää arvo

Rajassa kohdassa t→∞, käytännössä jo kohdassa t>3τ suhteellisen suoritustehon arvo on yhtä suuri kuin

Absoluuttinen läpijuoksu, joka määrittää pyyntöjen lukumäärän aikayksikköä kohti rajoituksessa kohdassa t→∞, on yhtä suuri:

Näin ollen hylättyjen hakemusten osuus on samoilla rajoittavilla ehdoilla:

ja toimittamattomien hakemusten kokonaismäärä on yhtä suuri kuin

Esimerkkejä yksikanavaisista palveluevästeistä QS:stä ovat: liikkeen tilauspöytä, moottoriajoneuvon kuljetusliikkeen valvomo, varastotoimisto, kaupallisen yrityksen johtokonttori, johon ollaan yhteydessä puhelimitse.

3.2 Monikanavainen QS palveluneston kanssa

Kaupallisessa toiminnassa esimerkkejä monikanavaisesta QS:stä ovat kaupallisten yritysten toimistot, joissa on useita puhelinkanavia; Moskovan autokauppojen halvimpien autojen saatavuuden ilmaisella tukipalvelulla on 7 puhelinnumeroa, ja kuten tiedetään, se on erittäin vaikea soittaa ja saada apua.

Tämän seurauksena autokaupat menettävät asiakkaita, mahdollisuuden kasvattaa myytyjen autojen määrää ja myyntituloja, liikevaihtoa ja voittoa.

Matkapaketteja myyvillä matkailuyrityksillä on kaksi, kolme, neljä tai useampi kanava, kuten Express-Line.

Tarkastellaan monikanavaista QS:ää, jossa on kuvan 1 palvelunestot. 3.2, jonka syöte on Poisson-pyyntöjen intensiteetti λ.

μ 2μkμ (k+1)μ nμ

Riisi. 3.2. Merkitty tilakaavio monikanavaisesta QS:stä, jossa on vikoja

Jokaisen kanavan palveluvirran intensiteetti on μ. QS-pyyntöjen lukumäärän perusteella määritetään sen tilat S k, joka esitetään merkittynä graafina:

S 0 – kaikki kanavat ovat vapaita k=0,

S 1 – vain yksi kanava on varattu, k=1,

S 2 – vain kaksi kanavaa on varattu, k=2,

S k - k kanavaa varattu,

S n – kaikki n kanavaa on varattu, k= n.

Monikanavaisen QS:n tilat muuttuvat äkillisesti satunnaisina aikoina. Siirtyminen yhdestä tilasta, esimerkiksi S 0:een, tapahtuu intensiteetin λ pyyntöjen sisääntulovirran vaikutuksesta ja päinvastoin - intensiteetin μ palvelupyyntövirran vaikutuksesta. Järjestelmän siirtymiselle tilasta S k tilaan S k -1 ei ole väliä mikä kanava vapautuu, joten QS:n siirtävän tapahtumavirran intensiteetti on kμ, joten tapahtumavirta, joka siirtää järjestelmän S:stä n - S n -1:n intensiteetti on nμ . Näin muotoillaan klassinen Erlang-ongelma, joka on nimetty tanskalaisen insinöörin, matemaatikon ja jonoteorian perustajan mukaan.

QS:ssä esiintyvä satunnainen prosessi on "syntymä-kuolema" -prosessin erikoistapaus ja sitä kuvaa Erlang-differentiaaliyhtälöjärjestelmä, joka mahdollistaa lausekkeiden saamiseksi tarkasteltavana olevan järjestelmän tilan rajoittaville todennäköisyyksille. kutsutaan Erlangin kaavoiksi:

.

Laskemalla kaikki n-kanavaisen QS:n tilojen todennäköisyydet, joissa vika on p 0, p 1, p 2, ..., p k,..., p n, saadaan selville palvelujärjestelmän ominaisuudet.

Palveluneston todennäköisyys määräytyy todennäköisyydellä, että saapuva palvelupyyntö löytää kaikki n kanavaa varattuna, järjestelmä on S n -tilassa:

k = n.

Vioista kärsivissä järjestelmissä vika- ja huoltotapahtumat muodostavat kokonaisen tapahtumaryhmän, joten

P avoin + P obs = 1

Tältä pohjalta suhteellinen suoritusteho määritetään kaavalla

Q = P obs = 1-P avoin = 1-P n

QS:n absoluuttinen kapasiteetti voidaan määrittää kaavalla

Palvelun todennäköisyys eli palveltujen pyyntöjen osuus määrittää QS:n suhteellisen kapasiteetin, joka voidaan määrittää toisella kaavalla:

Tästä lausekkeesta voit määrittää palvelussa olevien pyyntöjen keskimääräisen määrän tai, mikä on sama, palvelun käyttämien kanavien keskimääräisen määrän

Kanavien täyttöaste palveluittain määräytyy varattujen kanavien keskimääräisen määrän suhteesta niiden kokonaismäärään

Todennäköisyys sille, että palvelu varaa kanavat, jossa otetaan huomioon keskimääräinen varattu aika t varattu ja tyhjäkäyntiaika t pr kanavaa, määritetään seuraavasti:

Tästä lausekkeesta voit määrittää kanavien keskimääräisen seisokkiajan

Keskimääräinen aika, jonka pyyntö pysyy järjestelmässä vakaassa tilassa, määräytyy Littlen kaavan mukaan

T smo = n s/λ.

3.3 Monivaiheisen matkailun palvelujärjestelmän malli

Tosielämässä matkailupalvelujärjestelmä näyttää paljon monimutkaisemmalta, joten ongelman muotoilu on tarpeen tarkentaa ottaen huomioon sekä asiakkaiden että matkatoimistojen pyynnöt ja vaatimukset.

Matkatoimiston tehokkuuden lisäämiseksi on tarpeen mallintaa potentiaalisen asiakkaan kokonaiskäyttäytymistä toiminnan alusta sen loppuun asti. Pääjonojärjestelmien välisen suhteen rakenne koostuu itse asiassa erityyppisistä QS:istä (kuva 3.3).

Etsi valinta valintaratkaisu

Maksulento Exodus

Riisi. 3.3 Monivaiheisen matkailun palvelujärjestelmän malli

Ongelmana lomalle lähtevien matkailijoiden joukkohuollon näkökulmasta on määrittää tarkka lomapaikka (kiertue), joka vastaa hakijan vaatimuksia ja vastaa hänen terveydellisiä ja taloudellisia mahdollisuuksiaan ja ajatuksia lomasta yleensä. Tässä häntä voivat auttaa matkatoimistot, joiden haku suoritetaan yleensä SMO r:n mainosviesteistä, sitten yrityksen valinnan jälkeen hän saa neuvoja puhelimitse SMO t, tyydyttävän keskustelun jälkeen hän saapuu matkatoimistoon. ja saa yksityiskohtaisempia konsultaatioita henkilökohtaisesti referentin kanssa, maksaa sitten matkan ja saa palvelun lentoyhtiöltä CMO-lennosta ja lopulta palvelun CMO-hotellissa 0 0 . Yhtiön QS:n työn parantamista koskevien suositusten kehittäminen liittyy asiakkaiden kanssa käytävien puhelinneuvottelujen ammatillisen sisällön muutokseen. Tätä varten on tarpeen syventää assistentin ja asiakkaiden välisen dialogin tarkentamiseen liittyvää analyysiä, sillä joka puhelinkeskustelu ei johda sopimukseen lahjakortin ostosta. Palvelutehtävän virallistaminen osoitti tarpeen muodostaa täydellinen (välttämätön ja riittävä) luettelo kaupan kohteen ominaisuuksista ja niiden tarkoista merkityksistä. Sitten nämä ominaisuudet luokitellaan esimerkiksi parivertailumenetelmällä ja sijoitetaan dialogiin niiden tärkeysasteen mukaan, esimerkiksi: kausi (talvi), kuukausi (tammikuu), ilmasto (kuiva), ilman lämpötila (+ 25 "C), kosteus (40 %), maantieteellinen sijainti (lähempänä päiväntasaajaa), lentoaika (enintään 5 tuntia), siirto, maa (Egypti), kaupunki (Hurghada), meri (punainen), meriveden lämpötila ( +23°C), hotelliluokitus (4 tähteä, toimiva ilmastointi, shampoon takuu huoneessa), etäisyys merestä (jopa 300 m), etäisyys kaupoista (lähellä), etäisyys diskoista ja muista melulähteistä ( kauempana, hiljaisuus hotellissa nukkuessa), ruoka (ruotsalainen pöytä - aamiainen, päivällinen, ruokalistan vaihtotiheys viikossa), hotellit (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), retket (Kairo, Luxor, korallisaaret, laitesukellus), viihdeohjelmat, urheilupelit, matkan hinta, maksutapa , vakuutuksen sisältö, mitä ottaa mukaan, mitä ostaa paikan päältä, takuut, sakot.

Toinen erittäin merkittävä asiakkaalle hyödyllinen indikaattori, joka vaativaa lukijaa pyydetään määrittämään itsenäisesti. Sitten lueteltujen ominaisuuksien x i parivertailumenetelmällä voidaan muodostaa n x n -vertailumatriisi, jonka elementit täytetään peräkkäin rivi riviltä seuraavan säännön mukaisesti:

0, jos ominaisuus on vähemmän merkittävä,

ja ij = 1, jos ominaisuus on ekvivalentti,

2, jos ominaisuus on hallitseva.

Tämän jälkeen määritetään viivan S i =∑a ij kunkin indikaattorin estimaattien summat, kunkin ominaisuuden paino M i = S i /n 2 ja vastaavasti integraalikriteeri. jonka perusteella on mahdollista valita matkatoimisto, matka tai hotelli, kaavan mukaan

F = ∑ M i * x i -» max.

Mahdollisten virheiden eliminoimiseksi tässä menettelyssä otetaan käyttöön esimerkiksi 5-pisteinen luokitusasteikko ominaisuuksien asteikolla B i (x i) periaatteen mukaisesti huonompi (B i = 1 piste) - parempi (B i = 5) pisteet). Esimerkiksi mitä kalliimpi kiertue, sitä huonompi, halvempi se on, sitä parempi. Tämän perusteella tavoitefunktiolla on eri muoto:

F b = ∑ M i * B i * x i -> max.

Näin ollen on mahdollista matemaattisten menetelmien ja mallien käytön perusteella formalisoinnin etuja hyödyntäen muotoilla tehtävälauseke tarkemmin ja objektiivisemmin sekä parantaa merkittävästi QS:n suorituskykyä kaupallisessa toiminnassa tavoitteiden saavuttamiseksi.

3.4 Yksikanavainen QS rajoitetulla jonon pituudella

Kaupallisessa toiminnassa QS, jossa on odotus (jono), on yleisempi.

Tarkastellaan yksinkertaista yksikanavaista rajoitetun jonon QS:ää, jossa jonon paikkojen määrä m on kiinteä arvo. Näin ollen hakemusta, joka vastaanotetaan aikana, jolloin kaikki jonon paikat ovat varattu, ei oteta palvelukseen, se ei liity jonoon ja poistuu järjestelmästä.

Tämän QS:n kaavio on esitetty kuvassa. 3.4 ja osuu yhteen kuvan 3 kaavion kanssa. 2.1 kuvaa "syntymä-kuolema" prosessia sillä erolla, että vain yhden kanavan läsnä ollessa.

μ μμμ... μ

Riisi. 3.4. Palvelun "syntymä-kuolema" -prosessin leimattu kaavio; kaikki palveluvirtojen intensiteetit ovat yhtä suuret

QS:n tilat voidaan esittää seuraavasti:

S 0 - palvelukanava on ilmainen,

S, - palvelukanava on varattu, mutta jonoa ei ole,

S 2 - palvelukanava on varattu, jonossa on yksi pyyntö,

S 3 - palvelukanava on varattu, jonossa on kaksi pyyntöä,

S m +1 - palvelukanava on varattu, kaikki m paikkaa jonossa on varattu, kaikki myöhemmät pyynnöt hylätään.

Satunnaisen QS-prosessin kuvaamiseen voit käyttää aiemmin esitettyjä sääntöjä ja kaavoja. Kirjoitetaan lausekkeita, jotka määrittävät tilojen rajoittavat todennäköisyydet:

p 1 = ρ * ρ o

p 2 =ρ 2 * ρ 0

p k =ρ k * ρ 0

P m+1 = p m = 1 * ρ 0

p 0 = -1

P 0:n lauseke voidaan kirjoittaa tässä tapauksessa yksinkertaisemmin käyttämällä sitä tosiasiaa, että nimittäjä sisältää geometrisen progression p:n suhteen, jolloin sopivien muunnosten jälkeen saadaan:

ρ= (1- ρ )

Tämä kaava pätee kaikille p:lle, paitsi 1, mutta jos p = 1, niin p 0 = 1/(t + 2), ja kaikki muut todennäköisyydet ovat myös yhtä kuin 1/(t + 2). Jos oletetaan, että m = 0, siirrymme yksikanavaisen QS:n ja odottamisen tarkastelusta jo harkittuun yksikanavaiseen QS:ään palvelunestoineen. Todellakin, lauseke marginaalitodennäköisyydelle p 0 tapauksessa m = 0 on muotoa:

p o = μ / (λ+μ)

Ja tapauksessa λ = μ sen arvo on p 0 = 1 / 2.

Määritetään yksikanavaisen QS:n tärkeimmät ominaisuudet, joissa on odotus: suhteellinen ja absoluuttinen suorituskyky, epäonnistumisen todennäköisyys sekä jonon keskimääräinen pituus ja sovelluksen keskimääräinen odotusaika jonossa.

Hakemus hylätään, jos se saapuu ajankohtana, jolloin QS on jo tilassa S m +1 ja siksi kaikki jonon paikat ovat varattuja ja yksi kanava palvelee, joten epäonnistumisen todennäköisyys määräytyy esiintyminen

Osavaltiot S m +1:

P avoin = p m +1 = ρ m +1 * p 0

Suhteellinen läpijuoksu tai aikayksikköä kohti saapuvien palveltavien pyyntöjen osuus määritetään lausekkeella

Q = 1- p avoin = 1- ρ m+1 * p 0

absoluuttinen suorituskyky on:

Palvelujonossa erittäin seisovien sovellusten L keskimääräinen määrä määräytyy satunnaismuuttujan k - jonossa olevien hakemusten lukumäärän - matemaattisen odotuksen perusteella.

Satunnaismuuttuja ottaa vain seuraavat kokonaisluvut:

1 - jonossa on yksi sovellus,

2 - jonossa on kaksi sovellusta,

t-kaikki jonon paikat ovat varattuja

Näiden arvojen todennäköisyydet määräytyvät vastaavien tilojen todennäköisyyksien perusteella tilasta S2 alkaen. Diskreetin satunnaismuuttujan k jakautumislaki on kuvattu seuraavasti:

Tämän satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on:

L och = 1* p 2 +2* p 3 +...+ m* p m +1

Yleisessä tapauksessa p ≠1:lle tämä summa voidaan muuntaa geometristen progressiomallien avulla sopivampaan muotoon:

Lp = p 2 * 1-p m* (m-m*p+1)* p 0

Erikoistapauksessa, kun p = 1, kun kaikki todennäköisyydet p k ovat yhtä suuret, voit käyttää lauseketta lukusarjan termien summalle

1+2+3+ m = m ( m +1)

Sitten saamme kaavan

L'och = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p = 1).

Samanlaisia ​​päättelyjä ja muunnoksia käyttämällä voidaan osoittaa, että pyynnön keskimääräinen odotusaika jonossa määräytyy Littlen kaavoilla

T och = L och /A (jos p ≠ 1) ja T 1 och = L' och /A (jos p = 1).

Tämä tulos, kun käy ilmi, että T och ~ 1/ λ, voi tuntua oudolta: sovellusvirran intensiteetin kasvaessa jonon pituus näyttää kasvavan ja keskimääräinen odotusaika lyhenee. On kuitenkin pidettävä mielessä, että ensinnäkin L och:n arvo on λ:n ja μ:n funktio ja toiseksi tarkasteltavana olevan QS:n jonon pituus on rajoitettu, enintään m sovellusta.

Hakemus, jonka QS vastaanottaa aikana, jolloin kaikki kanavat ovat varattu, hylätään, ja siksi sen "odotusaika" QS:ssä on nolla. Tämä johtaa yleisessä tapauksessa (jos p ≠ 1) T:n laskuun λ:n kasvaessa, koska tällaisten pyyntöjen osuus kasvaa λ:n kasvaessa.

Jos hylätään jononpituuden rajoitus, ts. taipumus m-> →∞, sitten tapaukset p< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

p k =р k *(1 - р)

Riittävän suurelle k:lle todennäköisyys p k pyrkii olemaan nolla. Tästä syystä suhteellinen suoritusteho on Q = 1 ja absoluuttinen suorituskyky on yhtä suuri kuin A -λ Q - λ, joten kaikki saapuvat pyynnöt palvellaan ja jonon keskimääräinen pituus on yhtä suuri:

L och = s 2 1-s

ja keskimääräinen odotusaika Littlen kaavan mukaan

T och = L och /A

Rajassa p<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

Yhtenä QS:n ominaisuutena käytetään pyynnön QS:ssä viipymisen keskimääräistä aikaa T cm, mukaan lukien keskimääräinen jonossaoloaika ja keskimääräinen palveluaika. Tämä arvo lasketaan Littlen kaavoilla: jos jonon pituus on rajoitettu, jonossa olevien sovellusten keskimääräinen määrä on yhtä suuri:

L cm = m +1 ;2

T smo= L smo; kohdassa p ≠1

Tällöin pyynnön keskimääräinen viipymä jonojärjestelmässä (sekä jonossa että palvelussa) on yhtä suuri kuin:

T smo= m +1 at p ≠1 2μ

3.5 Yksikanavainen QS rajoittamattomalla jonolla

Esimerkiksi kaupallisessa toiminnassa kaupallinen johtaja toimii yksikanavaisena CMO:na, jolla on rajoittamaton odotus, koska hän pääsääntöisesti joutuu palvelemaan erilaisia ​​pyyntöjä: asiakirjoja, puhelinkeskusteluja, tapaamisia ja keskusteluja alaistensa, edustajien kanssa. verovirasto, poliisi, hyödykeasiantuntijat, markkinoijat, tuotetoimittajat ja ratkaisevat hyödyke-rahoitusalan ongelmia suurella taloudellisella vastuulla, joka liittyy pyyntöjen pakolliseen täyttämiseen, jotka joskus odottavat kärsimättömästi vaatimustensa täyttämistä, ja virheellisen palvelun virheet ovat pääsääntöisesti taloudellisesti erittäin merkittäviä.

Samaan aikaan myyntiin (palveluun) tuodut tavarat muodostavat varastossa ollessaan palvelujonon (myynti).

Jonon pituus on myyntiin tarkoitettujen tavaroiden lukumäärä. Tässä tilanteessa myyjät toimivat tavaroita huoltavina kanavina. Jos myyntiin tarkoitettujen tavaroiden määrä on suuri, niin tässä tapauksessa kyseessä on tyypillinen QS-tapaus, jossa on odottelua.

Tarkastellaan yksinkertaisinta yksikanavaista palvelua odottavaa QS:tä, joka vastaanottaa Poissonin pyyntöjen intensiteetin λ ja palveluintensiteetin µ.

Lisäksi silloin, kun kanava on varattu huoltoon, vastaanotettu pyyntö asetetaan jonoon ja odottaa palvelua.

Tällaisen järjestelmän merkitty tilakaavio on esitetty kuvassa. 3.5

Mahdollisten tilojen määrä on ääretön:

Kanava on ilmainen, ei ole jonoa, ;

Kanava on varattu palvelusta, ei ole jonoa, ;

Kanava varattu, yksi pyyntö jonossa, ;

Kanava on varattu, sovellus on jonossa.

Mallit rajoittamattoman jonon QS-tilojen todennäköisyyden arvioimiseksi voidaan saada rajattoman jonon QS:lle allokoiduista kaavoista siirtymällä rajaan m→∞:

Riisi. 3.5 Yksikanavaisen QS:n tilakaavio, jossa on rajoittamaton jono.

On huomattava, että QS:lle, jonka jonon pituus on rajoitettu kaavassa

on geometrinen progressio, jonka ensimmäinen termi on 1 ja nimittäjä . Tällainen järjestys on summa äärettömän määrän termejä . Tämä summa konvergoi, jos eteneminen, joka pienenee äärettömästi kohdassa , joka määrittää QS:n vakaan tilan toimintatilan, jonon kanssa klo voi kasvaa äärettömään ajan myötä.

Koska tarkasteltavana olevassa QS:ssä ei ole rajoitusta jonon pituudelle, mikä tahansa pyyntö voidaan palvella, siis suhteellinen ja absoluuttinen suorituskyky.

Todennäköisyys, että k sovellusta on jonossa, on:

;

Jonossa olevien hakemusten keskimääräinen määrä –

Sovellusten keskimääräinen määrä järjestelmässä –

;

Keskimääräinen aika, jonka sovellus viipyy järjestelmässä –

;

Sovelluksen keskimääräinen viipymä järjestelmässä on

.

Jos yksikanavaisessa odottavassa QS:ssä vastaanotettujen pyyntöjen intensiteetti on suurempi kuin palvelun intensiteetti, jono kasvaa jatkuvasti. Tässä suhteessa suurin kiinnostus on stabiilien QS-järjestelmien analysoinnissa, jotka toimivat kiinteässä tilassa klo .

3.6 Monikanavainen QS rajoitetulla jonon pituudella

Tarkastellaan monikanavaista QS:ää, jonka sisäänmenoon saapuu Poisson-pyyntöjen intensiteetti ja kunkin kanavan palveluintensiteetti on , suurin mahdollinen jonon paikkojen lukumäärä on rajoitettu m:llä. QS:n erilliset tilat määräytyvät järjestelmän vastaanottamien tallennettavien sovellusten lukumäärän mukaan.

Kaikki kanavat ovat ilmaisia;

Vain yksi kanava (mikä tahansa) on varattu;

Vain kaksi kanavaa (mikä tahansa) on varattu;

Kaikki kanavat ovat varattuja.

Vaikka QS on missä tahansa näistä tiloista, jonoa ei ole. Kun kaikki palvelukanavat on varattu, seuraavat pyynnöt muodostavat jonon, mikä määrittää järjestelmän lisätilan:

Kaikki kanavat ovat varattuja ja yksi sovellus on jonossa,

Kaikki kanavat ovat varattuja ja kaksi pyyntöä on jonossa,

Kaikki kanavat ja kaikki jonon paikat ovat varattuja,

Tilakaavio n-kanavaisesta QS:stä, jonka jono on rajoitettu m paikalla kuvassa 3.6.

Riisi. 3.6 N-kanavaisen QS:n tilakaavio jonon pituuden m rajoituksella

QS:n siirtymisen tilaan, jossa on suuria määriä, määrää saapuvien pyyntöjen virtaus intensiteetillä , kun taas ehdon mukaan identtiset kanavat, joilla on sama palveluvirran intensiteetti kullekin kanavalle, osallistuvat näiden pyyntöjen palvelemiseen. Tässä tapauksessa palveluvirran kokonaisintensiteetti kasvaa uusien kanavien yhdistämisen myötä tilaan, jossa kaikki n kanavaa ovat varattuja. Jonon ilmaantuessa palveluintensiteetti kasvaa entisestään, koska se on jo saavuttanut maksimiarvon, joka on yhtä suuri kuin .

Kirjoitetaan lausekkeet tilojen rajoittaville todennäköisyyksille:

Lauseke for voidaan muuntaa käyttämällä nimittäjällä olevien termien summan geometrista etenemiskaavaa:

Jonon muodostus on mahdollista, kun äskettäin vastaanotettu sovellus löytää järjestelmästä ainakin vaatimukset, eli. kun järjestelmässä on vaatimuksia. Nämä tapahtumat ovat riippumattomia, joten todennäköisyys, että kaikki kanavat ovat varattu, on yhtä suuri kuin vastaavien todennäköisyyksien summa, joten jonon muodostumisen todennäköisyys on:

Palveluneston todennäköisyys tapahtuu, kun kaikki kanavat ja kaikki jonon paikat ovat varattu:

Suhteellinen suorituskyky on yhtä suuri kuin:

Absoluuttinen kapasiteetti -

Keskimääräinen varattujen kanavien määrä –

Keskimääräinen käyttämättömien kanavien määrä –

Kanavan käyttöaste (käyttö)

Kanavan seisokkisuhde –

Jonossa olevien hakemusten keskimääräinen määrä –

Jos tämä kaava saa eri muodon -

Keskimääräinen odotusaika jonossa määritetään Littlen kaavoilla -

Sovelluksen keskimääräinen viipymä QS:ssä, kuten yksikanavaisessa QS:ssä, on keskimääräisellä palveluajalla suurempi kuin keskimääräinen odotusaika jonossa, mikä on yhtä suuri kuin , koska sovellusta palvelee aina vain yksi kanava:

3.7 Monikanavainen QS rajoittamattomalla jonolla

Tarkastellaan monikanavaista QS:tä, jossa on odotus ja rajoittamaton jonon pituus, joka vastaanottaa pyyntöjen intensiteetin ja jolla on kunkin kanavan palveluintensiteetti. Merkitty tilakaavio on esitetty kuvassa 3.7. Siinä on ääretön määrä tiloja:

S - kaikki kanavat ovat vapaita, k=0;

S - yksi kanava on varattu, loput ovat vapaita, k=1;

S - kaksi kanavaa on varattu, loput ovat vapaita, k=2;

S - kaikki n kanavaa ovat varattuja, k=n, ei jonoa;

S - kaikki n kanavaa on varattu, yksi pyyntö on jonossa, k=n+1,

S - kaikki n kanavaa on varattu, r sovellusta on jonossa, k=n+r,

Saamme tilatodennäköisyydet kaavoista monikanavaiselle QS:lle, jossa on rajoitettu jono, kun siirrytään rajaan kohdassa m. On huomattava, että lausekkeen p geometrisen etenemisen summa poikkeaa kuormitustasolla p/n>1, jono kasvaa loputtomasti ja p/n:llä<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Ei jonoa

Kuva 3.7 Monikanavaisen QS:n nimetty tilakaavio

rajoittamattomalla jonolla

joille määrittelemme lausekkeet tilojen rajoittaville todennäköisyyksille:

Koska tällaisissa järjestelmissä ei voi olla palvelunestoa, suorituskyvyn ominaisuudet ovat samat:

jonossa olevien hakemusten keskimääräinen määrä –

keskimääräinen odotusaika jonossa -

Keskimääräinen yhteiselle markkinajärjestelylle jätettyjen hakemusten määrä –

Todennäköisyys, että QS on tilassa, jossa ei ole pyyntöjä eikä yksikään kanava ole varattu, määrittää lausekkeen

Tämä todennäköisyys määrittää palvelukanavan seisokkien keskimääräisen prosenttiosuuden. Todennäköisyys, että olet kiireinen k pyynnön palvelemiseen –

Tämän perusteella on mahdollista määrittää todennäköisyys tai osuus ajasta, että kaikki kanavat ovat palvelun varaamia

Jos kaikki kanavat ovat jo varattuja huoltoon, niin tilan todennäköisyys määräytyy lausekkeella

Jonossa olemisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin todennäköisyys löytää kaikki palvelulla jo varatut kanavat

Jonossa olevien ja odottavan palvelun hakemusten keskimääräinen määrä on:

Sovelluksen keskimääräinen odotusaika jonossa Littlen kaavan mukaan: ja järjestelmässä

palvelun käyttämien kanavien keskimääräinen määrä:

ilmaisten kanavien keskimääräinen määrä:

palvelukanavan käyttöaste:

On tärkeää huomata, että parametri kuvaa syöttövirran koordinointiastetta, esimerkiksi myymälässä olevia asiakkaita palveluvirran intensiteetin kanssa. Palveluprosessi on vakaa, jos jonon keskimääräinen pituus ja asiakkaiden keskimääräinen odotusaika palvelun aloittamiseen kuitenkin lisääntyvät järjestelmässä ja siten palvelujärjestelmä toimii epävakaasti.

3.8 Supermarketin jonojärjestelmän analyysi

Yksi kaupallisen toiminnan tärkeistä tehtävistä on massapalvelujen kaupan ja teknologisen prosessin järkevä organisointi esimerkiksi supermarketissa. Etenkin myymälän kassakoneen kapasiteetin määrittäminen ei ole helppoa. Sellaiset taloudelliset ja organisatoriset indikaattorit, kuten liikevaihdon kuormitus 1 m 2 kauppatilaa kohden, yrityksen läpijuoksu, asiakkaiden kaupassa viettämä aika sekä kauppatilan teknisen ratkaisun tason indikaattorit: itsepalveluvyöhykkeiden ja maksukeskuksen alueet, asennus- ja näyttelytilojen kertoimet, jotka määräytyvät monella tapaa kassakoneen läpijuoksulla. Tässä tapauksessa kahden palveluvyöhykkeen (vaiheen): itsepalveluvyöhykkeen ja asutussolmuvyöhykkeen kapasiteetti (kuva 4.1).

Saapuvien asiakkaiden virtauksen intensiteetti;

Asiakkaiden saapumisen intensiteetti itsepalvelualueelle;

Maksukeskukseen saapuvien asiakkaiden intensiteetti;

Palveluvirran intensiteetti.

Kuva 4.1. Malli kaksivaiheisesta QS-järjestelmästä supermarketin kauppalattialle

Selvityskeskuksen päätehtävänä on varmistaa myyntialueen asiakkaiden korkea läpikulku ja luoda mukava asiakaspalvelu. Laskennallisen solmun suoritustehoon vaikuttavat tekijät voidaan jakaa kahteen ryhmään:

1) taloudelliset ja organisatoriset tekijät: supermarketin taloudellisen vastuun järjestelmä; yhden oston keskimääräiset kustannukset ja rakenne;

2) kassakoneen organisaatiorakenne;

3) tekniset ja teknologiset tekijät: käytettyjen kassa- ja kassalaitteiden tyypit; kassan käyttämä asiakaspalvelutekniikka; kassakoneen kapasiteetin vastaavuus asiakasvirtojen intensiteetin kanssa.

Listatuista tekijäryhmistä eniten vaikuttaa kassakoneen organisaatiorakenne ja kassakoneen kapasiteetin vastaavuus asiakasvirtojen intensiteettiin.

Tarkastellaanpa palvelujärjestelmän molempia vaiheita:

1) asiakkaiden tavaravalinta itsepalvelualueella;

2) asutusalueen asiakaspalvelu. Saapuva asiakasvirta siirtyy itsepalveluvaiheeseen, ja ostaja valitsee itsenäisesti tarvitsemansa tuoteyksiköt muodostaen ne yhdeksi ostoksi. Lisäksi tämän vaiheen aika riippuu siitä, miten tuotevyöhykkeet sijaitsevat keskenään, mikä etuosa niillä on, kuinka paljon aikaa ostaja käyttää tietyn tuotteen valintaan, mikä on ostorakenne jne.

Itsepalvelualueelta lähtevä asiakasvirta on samalla saapuva virta kassaalueelle, joka sisältää peräkkäin ostajan jonossa odottamisen ja sen jälkeen kassan palvelemisen. Kassakonetta voidaan pitää häviöllisenä palvelujärjestelmänä tai odottavana palvelujärjestelmänä.

Ensimmäisessä tai toisessa tarkastelujärjestelmässä ei kuitenkaan voida todella kuvata palveluprosessia supermarketin kassakoneessa seuraavista syistä:

ensimmäisessä vaihtoehdossa kassayksikkö, jonka teho suunnitellaan häviölliseen järjestelmään, vaatii merkittäviä sekä pääomasijoituksia että juoksevia kustannuksia kassaohjaimien ylläpitoon;

toisessa vaihtoehdossa kassayksikkö, jonka teho suunnitellaan odotukselliselle järjestelmälle, johtaa palvelua odottaville asiakkaille suureen ajanhukkaan. Samaan aikaan ruuhka-aikoina kassaalue "tulvii" ja asiakkaiden jono "virraa" itsepalvelualueelle, mikä rikkoo muiden asiakkaiden tavaroiden valintaehtoja.

Tässä suhteessa on suositeltavaa tarkastella palvelun toista vaihetta rajoitetun jonollisena järjestelmänä, joka on odottavan järjestelmän ja häviöllisen järjestelmän välissä. Oletetaan, että järjestelmässä voi olla samanaikaisesti enintään L ja L=n+m, missä n on kassalla palvelleiden asiakkaiden määrä, m on jonossa olevien asiakkaiden määrä ja mikä tahansa m+1-sovellus jättää järjestelmän käyttämättä.

Tämä ehto mahdollistaa toisaalta kassaalueen pinta-alan rajoittamisen ottaen huomioon suurimman sallitun jononpituuden ja toisaalta rajoituksen aikarajalle, jonka asiakkaat odottavat palvelua kassalla. kassa, ts. ottaa huomioon kuluttajien kulutuskustannukset.

Ongelman asettamisen paikkansapitävyyden tässä muodossa vahvistavat supermarkettien asiakasvirtoja koskevat tutkimukset, joiden tulokset on esitetty taulukossa. 4.1, jonka analyysi paljasti kiinteän yhteyden keskimääräisen pitkän kassajonon ja ostoksia jättäneiden asiakkaiden määrän välillä.

Supermarketin kassan järjestämisessä on vielä yksi tärkeä ominaisuus, joka vaikuttaa merkittävästi sen suorituskykyyn: pikakassojen läsnäolo (yhdelle tai kahdelle ostokselle). Selvitys markettien asiakasvirran rakenteesta kassapalvelutyypeittäin osoittaa, että liikevaihtovirta on 12,9 % (taulukko 4.2).

Palveluprosessin matemaattisen mallin lopullista rakentamista varten edellä luetellut tekijät huomioon ottaen on tarpeen määrittää satunnaismuuttujien jakautumisfunktiot sekä saapuvia ja lähteviä asiakasvirtoja kuvaavat satunnaisprosessit:

1) toiminto jakaa asiakkaiden aikaa tavaroiden valitsemiseen itsepalvelualueella;

2) kassan työajan jakamistoiminto tavallisille kassa- ja pikakassakoneille;

3) satunnainen prosessi, joka kuvaa saapuvaa asiakasvirtaa palvelun ensimmäisessä vaiheessa;

4) satunnainen prosessi, joka kuvaa tavallisten kassojen ja pikakassojen palvelun toiseen vaiheeseen tulevaa virtaa.

Jonojärjestelmän ominaisuuksien laskemiseen on kätevää käyttää malleja, jos jonojärjestelmään tuleva pyyntövirta on yksinkertainen Poisson-virta ja pyyntöjen palveluaika jakautuu eksponentiaalisen lain mukaan.

Kassaalueen asiakasvirtojen tutkimus osoitti, että sille voidaan ottaa käyttöön Poisson-virta.

Kassojen asiakkaiden palvelemisen ajan jakautumisfunktio on eksponentiaalinen, tämä oletus ei johda suuriin virheisiin.

Epäilemättä kiinnostava on analyysi supermarketin kassan asiakasvirtojen palvelemisen ominaisuuksista laskettuna kolmelle järjestelmälle: tappiollinen, odottava ja sekatyyppinen.

Asiakaspalveluprosessin parametrilaskelmat kassakoneessa tehtiin kaupalliselle yritykselle, jonka myyntipinta-ala on S = 650, seuraavien tietojen perusteella.

Tavoitefunktio voidaan kirjoittaa myyntitulon yhteyden (kriteerin) yleiseen muotoon QS:n ominaisuuksista:

jossa - kassakone koostuu =7 tavallisesta kassasta ja =2 pikakassasta,

Asiakaspalvelun intensiteetti tavallisten kassojen alueella on 0,823 henkilöä/min;

Tavallisten kassojen alueella kassakoneiden kuormitusintensiteetti on 6,65,

Pikakassan asiakaspalvelun intensiteetti on 2,18 h/min;

Tavallisten kassojen alueelle tulevan virtauksen intensiteetti on 5,47 henkilöä/min.

Kassojen kuormitusvoimakkuus pikakassaalueella on 1,63,

Pikakassan alueelle tulevan virtauksen intensiteetti on 3,55 henkilöä/min;

QS-mallissa, jossa on jonon pituuden rajoitus kassakoneen suunnitellun alueen mukaisesti, oletetaan, että yhden kassakoneen jonossa seisovien asiakkaiden enimmäismäärä on m = 10 asiakasta.

On huomattava, että saadakseen suhteellisen pienet absoluuttiset arvot hakemusten katoamisen todennäköisyydestä ja asiakkaiden odotusajasta kassalla, seuraavat ehdot on täytettävä:

Taulukossa 6.6.3 on esitetty QS:n toiminnan laatuominaisuuksien tulokset laskentasolmun alueella.

Laskelmat tehtiin työpäivän kiireisimmältä ajalta klo 17-21. Tänä aikana, kuten tutkimustulokset ovat osoittaneet, noin 50 % yhden päivän ostajavirrasta on.

Taulukossa annetuista tiedoista. 4.3 tästä seuraa, että jos laskentaan valitaan seuraavat:

1) malli, jossa on hylkäys, silloin 22,6 % tavallisilla kassakoneilla palvelevista asiakasvirroista ja vastaavasti 33,6 % pikakassalla palvelevista asiakasvirroista joutuisivat poistumaan ilman ostoa;

2) malli, jossa on odotus, niin tilausten ei pitäisi hävitä selvityssolmussa;

Pöytä 4.3 Asiakkaiden jonotusjärjestelmän ominaisuudet kassalla

3) malli, jossa jonon pituus on rajoitettu, silloin vain 0,12 % tavallisilla kassakoneilla palvelevista asiakasvirroista ja 1,8 % pikakassalla palvelevista asiakasvirroista lähtee kauppapaikalta tekemättä ostoksia. Näin ollen malli, jossa jonon pituus on rajoitettu, mahdollistaa tarkemman ja realistisemman kuvauksen asiakkaiden palvelemisesta kassalla.

Mielenkiintoinen on vertaileva laskenta kassayksikön kapasiteetista sekä pikakassalla että ilman. Taulukossa Taulukossa 4.4 on esitetty kassapalvelujärjestelmän ominaisuudet kolmen vakiokoon valintamyymälöille laskettuna itsepalveluliikkeiden malleilla, joissa jonon pituus on rajoitettu työpäivän vilkkaimmalle ajanjaksolle 17-21 tuntia.

Tämän taulukon tietojen analyysi osoittaa, että tekijän ”Asiakasvirran rakenne käteispalvelun tyypin mukaan” huomioimatta jättäminen teknisen suunnittelun vaiheessa voi johtaa maksukeskuksen alueen kasvuun 22-33 %, ja näin ollen vähittäiskaupan ja teknisten laitteiden asennus- ja näyttelytilojen sekä myyntilattialle sijoitettujen hyödykemassan pieneneminen.

Kassakoneen kapasiteetin määrittämisen ongelma on toisiinsa liittyvien ominaisuuksien ketju. Siten sen kapasiteetin lisääminen lyhentää asiakkaiden odotusaikaa, vähentää tarpeiden menettämisen todennäköisyyttä ja sitä kautta liikevaihdon menetystä. Samanaikaisesti on tarpeen vähentää vastaavasti itsepalvelualuetta, kaupan ja teknologian laitteiden etuosaa sekä myyntikerroksen tavaravarastoa. Samalla kassojen palkkakustannukset ja lisätyöpaikkojen varustelu nousevat. Siksi

on tarpeen suorittaa optimointilaskelmia. Tarkastellaan 650 m2:n vähittäismyyntipinta-alalla olevan supermarketin kassan palvelujärjestelmän ominaisuuksia, jotka on laskettu QS-malleilla, joissa on rajoitettu jonopituus kassansa eri kapasiteeteille taulukossa. 4.5.

Perustuu taulukon tietojen analyysiin. 4.5 voimme päätellä, että kassojen määrän kasvaessa asiakkaiden odotusaika jonossa kasvaa, ja sitten tietyn kohdan jälkeen se laskee voimakkaasti. Asiakkaiden odotusaikataulun muutoksen luonne on selvä, jos samanaikaisesti huomioidaan korvauksen menettämisen todennäköisyyden muutos.On aivan ilmeistä, että kun kassakoneen kapasiteetti on liian alhainen, yli 85 % asiakkaista jättää palvelematta, ja loput asiakkaat palvellaan hyvin lyhyessä ajassa. Mitä suurempi kassakoneen kapasiteetti on, sitä todennäköisemmin asiakkaat katoavat palvelua odotellessa, mikä tarkoittaa, että heidän odotusaikansa jonossa kasvaa vastaavasti. Sen jälkeen odotukset ja tappioiden todennäköisyys pienenevät jyrkästi.

Supermarketissa, jonka myyntipinta-ala on 650, tämä normaalin kassaalueen raja on 6-7 kassalla. 7 kassalla keskimääräinen odotusaika on 2,66 minuuttia ja hakemusten häviämisen todennäköisyys on hyvin pieni - 0,1 %. Näin voit saada mahdollisimman pienet kokonaiskustannukset massaasiakaspalvelusta.

Johtopäätös

Perustuu taulukon tietojen analyysiin. 4.5 voimme päätellä, että kassojen määrän kasvaessa asiakkaiden odotusaika jonossa kasvaa. Ja sitten tietyn pisteen jälkeen se laskee jyrkästi. Asiakkaiden odotusaikataulun muutoksen luonne on selvä, jos samanaikaisesti otetaan huomioon vahinkojen menettämisen todennäköisyyden muutos.On aivan selvää, että kun kassan kapasiteetti on liian alhainen, yli 85 % asiakkaista jättää palvelematta, ja loput asiakkaat palvellaan hyvin lyhyessä ajassa. Mitä suurempi kassakoneen teho. Korvausten menettämisen todennäköisyys pienenee ja vastaavasti sitä suurempi määrä asiakkaita odottaa palveluaan, mikä tarkoittaa, että heidän jonotusaikansa kasvaa vastaavasti. Kun laskennallinen solmu ylittää optimaalisen kapasiteettinsa, latenssi ja häviöiden todennäköisyys pienenevät jyrkästi.

Supermarketille, jonka myyntipinta-ala on 650 neliömetriä. metriä, tämä tavallisten kassojen alaraja on 6-8 kassakoneen välillä. 7 kassalla keskimääräinen odotusaika on 2,66 minuuttia ja hakemusten häviämisen todennäköisyys on hyvin pieni - 0,1 %. Tehtävänä on siis valita sellainen kassakoneen kapasiteetti, joka mahdollistaa mahdollisimman pienet massaasiakaspalvelun kokonaiskustannukset.

Tältä osin seuraava ongelman ratkaisuvaihe on kassakoneen kapasiteetin optimointi perustuen erityyppisten QS-mallien käyttöön ottaen huomioon kokonaiskustannukset ja yllä luetellut tekijät.

Ihmisen toiminnan käytännössä suurella paikalla on jonoprosessit, jotka syntyvät uudelleenkäytettäviin järjestelmiin vastaavia ongelmia ratkaistaessa. Tällaisia ​​järjestelmiä kutsutaan jonojärjestelmiksi (QS). Esimerkkejä tällaisista järjestelmistä ovat puhelinjärjestelmät, tietokonejärjestelmät, moottoriliikenne, lentoliikenne, korjauspalvelujärjestelmät, kaupat, lipputoimistot jne.

Kukin järjestelmä koostuu tietystä määrästä palveluyksiköitä (instrumentit, laitteet, laitteet, pisteet, asemat), joita kutsutaan palvelukanaviksi.Kanavien lukumäärän perusteella QS-järjestelmät jaetaan yksikanavaisiin ja monikanavaisiin Kaavio Yksikanavaisen jonotusjärjestelmän toiminta on esitetty kuvassa 6.2.

Sovellukset eivät yleensä tule järjestelmään säännöllisesti, vaan satunnaisesti muodostaen satunnaisen sovellusvirran (vaatimukset). Jokaisen pyynnön käsittely itsessään voi viedä joko tietyn ajan tai useammin määräämättömän ajan. Satunnainen luonne johtaa siihen, että QS on kuormitettu epätasaisesti: joinakin ajanjaksoina kerääntyy erittäin suuri määrä sovelluksia (ne joko joutuvat jonoon tai jättävät QS:n käyttämättä), kun taas toisina jaksoina QS toimii alikuormituksella tai on tyhjäkäynnillä. .

Riisi. 6.2.

Jonojärjestelmien tutkimisen tarkoituksena on analysoida niiden toiminnan laatua ja tunnistaa mahdollisuuksia sen parantamiseksi. Lisäksi "toiminnan laadun" käsitteellä on kussakin yksittäistapauksessa oma erityinen merkitys, ja se ilmaistaan ​​erilaisilla määrällisillä indikaattoreilla. Esimerkiksi sellaiset kvantitatiiviset indikaattorit kuten palvelujonon koko, keskimääräinen palveluaika, palvelun odottaminen tai pyynnön löytäminen palvelujärjestelmästä, palvelulaitteiden seisokkiaika; luottaa siihen, että kaikki järjestelmän vastaanottamat pyynnöt käsitellään.

Jonojärjestelmän toiminnan laatu ei siis ymmärretä tietyn työn todellista suorituksen laatua, jota varten pyyntö on vastaanotettu, vaan palvelun tarpeen tyydyttämisen asteena.

Jonoteorian aiheena on matemaattisten mallien rakentaminen, jotka yhdistävät QS:n annetut toimintaolosuhteet (kanavien lukumäärä, niiden tuottavuus, pyyntövirran luonne jne.) QS:n suorituskykyindikaattoreihin, jotka kuvaavat sen kykyä. selviytymään pyyntöjen virtauksesta.

Jonojärjestelmien luokittelu

Ensimmäinen ominaisuus, jonka avulla voimme luokitella jonotehtäviä, on huoltojärjestelmän vastaanottamien pyyntöjen käyttäytyminen silloin, kun kaikki koneet ovat varattuina.

Joissakin tapauksissa pyyntö, joka tulee järjestelmään aikana, jolloin kaikki laitteet ovat varattuina, ei voi odottaa niiden vapauttamista ja jättää järjestelmän palvelematta, ts. vaatimus menetetään tietylle palvelujärjestelmälle. Tällaisia ​​huoltojärjestelmiä kutsutaan häviöllisiksi järjestelmiksi ja niiden perusteella muotoiltuja ongelmia häviöllisten järjestelmien huoltoongelmiksi.

Jos järjestelmään saapunut pyyntö joutuu jonoon ja odottaa laitteen vapautumista, niin tällaisia ​​järjestelmiä kutsutaan odottavilla järjestelmillä ja vastaavia tehtäviä ylläpitotehtäviksi odottavissa järjestelmissä. Odottava QS on jaettu eri tyyppeihin riippuen siitä, miten jono on järjestetty: rajoitettu tai rajoittamaton jonon pituus, rajoitettu odotusaika jne.

QS:t eroavat myös niiden vaatimusten määrästä, joita huoltojärjestelmässä voi samanaikaisesti olla. Kohokohta:

• 1) järjestelmät, joilla on rajoitettu määrä vaatimuksia;
• 2) järjestelmät, joissa on rajoittamaton vaatimusvirta.

Järjestelmän sisäisen palvelun organisoinnin muodoista riippuen erotetaan seuraavat:

• 1) järjestelmät, joissa on tilattu huolto;
• 2) järjestelmät, joiden palvelu on häiriintynyt.

Tärkeä vaihe QS-tutkimuksessa on tutkittavaa prosessia kuvaavien kriteerien valinta. Valinta riippuu tutkittavien ongelmien tyypistä ja ratkaisun tavoitteesta.

Useimmiten käytännössä on järjestelmiä, joissa vaatimusvirta on lähellä yksinkertaisinta ja palveluaika noudattaa eksponentiaalista jakautumislakia. Nämä järjestelmät ovat kehittyneimmillään jonoteoriassa.

Yritysympäristössä tyypillisiä tehtäviä ovat odottavat, rajallinen määrä palvelimia, rajoitettu määrä pyyntöjä ja tilaamaton palvelu.

Oletukset pyyntövirran Poisson-luonteesta ja palveluajan eksponentiaalisesta jakautumisesta mahdollistavat Markovin laitteiston soveltamisen jonoteoriassa. Fyysisessä järjestelmässä tapahtuvaa prosessia kutsutaan Markovin prosessiksi (tai prosessiksi ilman jälkivaikutusta), jos kullekin ajanhetkelle minkä tahansa järjestelmän tilan todennäköisyys tulevaisuudessa riippuu vain järjestelmän tilasta tällä hetkellä ja ei ei riipu siitä, kuinka järjestelmä tuli tähän tilaan.

Tarkastellaan QS:ää, jossa on äärellinen diskreetti tilajoukko (kuva 2). Määritellään tila QS:n tilaksi, joka vastaa sillä hetkellä varattujen kanavien läsnäoloa. Tässä tapauksessa järjestelmä voi muuttaa tilaansa diskreetti sopivina diskreeteinä ajanhetkenä. Kun yksi pyyntö saapuu QS-tuloon, järjestelmä muuttaa lepotilaansa,

ja kun yksi pyyntö lähtee järjestelmästä ja vastaava yhden kanavan vapautus - alkaen -.

Riisi. 2. Kaavio QS:n tiloista ja siirtymistä

Tyypillinen esimerkki QS:stä on tietoliikennejärjestelmä, jossa on useita palvelimia. Tällaisen QS:n tuloon saapuva sovellus voidaan joko huoltaa, asettaa jonoon tai evätä palvelu. Tässä suhteessa QS jaetaan kahteen päätyyppiin: a) QS, joissa on vikoja; b) SMO odotuksella.

Viallisissa järjestelmissä hakemus, joka vastaanotetaan silloin, kun kaikki palvelukanavat ovat varattu, hylätään välittömästi, poistuu järjestelmästä eikä osallistu jatkopalveluprosessiin.

Odotusjärjestelmissä pyyntö, joka löytää kaikki kanavat varattuina, ei poistu järjestelmästä, vaan joutuu jonoon ja odottaa, kunnes jokin kanava vapautuu.

Jonojärjestelmien luokitteluominaisuudet.

Jonotusjärjestelmissä kukin sovellus käy läpi kolme päävaihetta:

1) sovelluksen ilmestyminen järjestelmän sisäänkäynnille;

2) jonon ohittaminen;

3) palveluprosessi, jonka jälkeen sovellus poistuu järjestelmästä.

Jokainen vaihe sisältää tiettyjä ominaisuuksia, joista tulee keskustella ennen matemaattisten mallien rakentamista.

Syöttöominaisuudet:

1) sisäänkäynnin hakemusten määrä (väestökoko);

2) pyyntöjen vastaanottamistapa palvelujärjestelmään;

3) asiakkaan käyttäytyminen.

Hakemusten määrä sisäänkäynnillä. Mahdollisten sovellusten määrää (populaatiokoko) voidaan pitää joko äärettömänä (rajaton populaatio) tai äärellisenä (rajoitettu populaatio). Jos järjestelmäsisääntuloon vastaanotettujen hakemusten määrä palveluprosessin alkamishetkestä mihin tahansa tiettyyn ajankohtaan on vain pieni osa potentiaalisesta asiakasmäärästä, syöttöpopulaatiota pidetään rajoittamattomana. Esimerkkejä rajattomista populaatioista: autot, jotka kulkevat tarkastuspisteiden läpi moottoriteillä, ostajat supermarketissa jne. Useimmat sisääntulojonomallit huomioivat rajattomia populaatioita.

Jos järjestelmään saapuvien hakemusten määrä on verrattavissa jonotusjärjestelmässä olevien hakemusten määrään, populaatio katsotaan rajoitetuksi. Esimerkki rajoitetusta väestöstä: tietokoneet, jotka kuuluvat tietylle organisaatiolle ja lähetetään korjaamoon huoltoa varten.

Pyyntöjen vastaanottotapa palvelujärjestelmään. Pyynnöt voivat tulla palvelujärjestelmään tietyn aikataulun mukaisesti (esim. yksi potilas hammaslääkärikäynnille 15 minuutin välein, yksi auto liukuhihnalla 20 minuutin välein) tai satunnaisesti. Asiakkaiden esiintymisiä pidetään satunnaisina, jos ne ovat toisistaan ​​riippumattomia ja ovat ehdottomasti arvaamattomia. Usein jonoongelmissa esiintymien lukumäärä aikayksikköä kohti voidaan arvioida käyttämällä Poissonin todennäköisyysjakaumaa. Tietyllä saapumisnopeudella (esimerkiksi kaksi asiakasta tunnissa tai neljä kuorma-autoa minuutissa)

Diskreetti Poisson-jakauma kuvataan seuraavalla kaavalla:

Missä P(x) - pääsyn todennäköisyys X sovellukset aikayksikköä kohti;

X - sovellusten määrä aikayksikköä kohti;

L on hakemusten keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti (hakemusten vastaanottonopeus);

E = 2,7182 - luonnollisen logaritmin kanta.

Vastaavat todennäköisyysarvot P(x) voidaan helposti määrittää Poisson-jakaumataulukon avulla. Jos esimerkiksi hakemusten keskimääräinen vastaanottonopeus on kaksi asiakasta tunnissa, niin todennäköisyys, että järjestelmään ei tule yhtään hakemusta tunnin sisällä, on 0,135, yhden hakemuksen todennäköisyys on noin 0,27 ja todennäköisyys. kahdesta on myös noin 0,27 , kolme sovellusta voi ilmestyä todennäköisyydellä 0,18, neljä - noin 0,09 todennäköisyydellä jne. Todennäköisyys, että järjestelmään saapuu 9 tai enemmän sovelluksia tunnissa, on lähellä nollaa.

Käytännössä sovellusten ilmestymisen todennäköisyydet eivät tietenkään aina noudata Poisson-jakaumaa (heillä voi olla jokin muu jakauma). Siksi tarvitaan alustavaa tutkimusta sen varmistamiseksi, että Poisson-jakauma voi toimia hyvänä approksimaationa.

Asiakkaan käyttäytyminen . Useimmat jonomallit perustuvat olettamukseen, että asiakkaiden käyttäytyminen on normaalia, eli jokainen järjestelmään saapuva asiakas menee jonoon, odottaa palvelua eikä poistu järjestelmästä ennen kuin se on palvellut. Toisin sanoen jonoon liittynyt asiakas (henkilö tai kone) odottaa, kunnes häntä palvellaan, eikä poistu jonosta tai siirry jonosta toiseen.

Elämä on paljon monimutkaisempaa. Käytännössä asiakkaat voivat poistua jonosta

koska se osoittautui liian pitkäksi. Toinen tilanne voi syntyä: asiakkaat odottavat vuoroaan, mutta jättävät jostain syystä palvelematta. Nämä tapaukset ovat myös jonoteorian aiheena.

Jonon ominaisuudet:

2) palvelusääntö.

Jonon pituus . Pituus voi olla rajoitettu tai ei. Jonon (jonon) pituus on rajoitettu, jos se jostain syystä (esimerkiksi fyysisten rajoitusten vuoksi) ei voi kasvaa loputtomiin. Jos jono saavuttaa enimmäiskokonsa, seuraavaa pyyntöä järjestelmään ei sallita ja tapahtuu hylkäys. Jonon pituutta ei ole rajoitettu, Jos jonossa voi olla kuinka monta sovellusta tahansa. Esimerkiksi autojono huoltoasemalla.

Palvelusääntö . Useimmat todelliset järjestelmät käyttävät "ensin sisään, ensimmäinen ulos" -sääntöä. (FIFO - ensimmäinen sisällä ensimmäinen ulkona). Joissakin tapauksissa, kuten sairaalan ensiapupoliklinikalla, tämän säännön lisäksi voidaan asettaa erilaisia ​​prioriteetteja . Kriittisesti sairas sydänkohtauksen saanut potilas saa todennäköisesti ensisijaista hoitoa kuin potilas, jolla on murtunut sormi. Järjestys, jossa tietokoneohjelmat suoritetaan, on toinen esimerkki ylläpidon priorisoinnista.