Integraali on toiminnassa. Kuinka laskea kierroskappaleen tilavuus käyttämällä määrättyä integraalia

Määritelmä 3. Kierroskappale on kappale, joka saadaan pyörittämällä litteää hahmoa akselin ympäri, joka ei leikkaa kuviota ja on sen kanssa samassa tasossa.

Pyörimisakseli voi leikata kuvion, jos se on kuvion symmetria-akseli.

Lause 2.
, akseli
ja suorat segmentit
Ja

pyörii akselin ympäri
. Sitten tuloksena olevan kiertokappaleen tilavuus voidaan laskea kaavan avulla

(2)

Todiste. Tällaiselle rungolle poikkileikkaus abskissalla on sädeympyrä
, tarkoittaa
ja kaava (1) antaa vaaditun tuloksen.

Jos luku on rajoitettu kahden jatkuvan funktion kuvaajilla
Ja
, ja viivasegmentit
Ja
, ja
Ja
, sitten x-akselin ympäri kiertämällä saadaan kappale, jonka tilavuus

Esimerkki 3. Laske toruksen tilavuus, joka saadaan kiertämällä ympyrän rajaamaa ympyrää

abskissa-akselin ympärillä.

R päätös. Osoitettua ympyrää rajoittaa alla funktion kaavio
ja ylhäältä -
. Näiden funktioiden neliöiden ero:

Vaadittu tilavuus

(integrandin kuvaaja on ylempi puoliympyrä, joten yllä kirjoitettu integraali on puoliympyrän pinta-ala).

Esimerkki 4. Parabolinen segmentti kantalla
, ja korkeus , pyörii alustan ympäri. Laske tuloksena olevan kappaleen tilavuus (Cavalierin "sitruuna").

R päätös. Asetamme paraabelin kuvan osoittamalla tavalla. Sitten sen yhtälö
, ja
. Etsitään parametrin arvo :
. Eli tarvittava tilavuus:

Lause 3. Olkoon jatkuvan ei-negatiivisen funktion kuvaaja rajoittama kaareva puolisuunnikkaan muoto
, akseli
ja suorat segmentit
Ja
, ja
, pyörii akselin ympäri
. Sitten tuloksena olevan kiertokappaleen tilavuus voidaan löytää kaavalla

(3)

Todistuksen idea. Jaamme segmentin
pisteitä

, osiin ja piirrä suoria viivoja
. Koko puolisuunnikas hajoaa nauhoiksi, joita voidaan pitää suunnilleen suorakulmioina, joissa on pohja
ja korkeus
.

Leikkaamme tuloksena olevan sylinterin kiertämällä tällaista suorakulmiota sen generatrixia pitkin ja avaamme sen. Saamme "melkein" suuntaissärmiön, jonka mitat:
,
Ja
. Sen tilavuus
. Joten vallankumouskappaleen tilavuudelle meillä on likimääräinen yhtäläisyys

Täydellisen tasa-arvon saavuttamiseksi on mentävä rajaan klo
. Yllä kirjoitettu summa on funktion kokonaissumma
, siksi rajassa saamme integraalin kaavasta (3). Lause on todistettu.

Huomautus 1. Lauseissa 2 ja 3 ehto
voidaan jättää pois: kaava (2) on yleensä epäherkkä merkille
, ja kaavassa (3) se riittää
korvattu
.

Esimerkki 5. Parabolinen segmentti (kanta
, korkeus ) pyörii korkeuden ympäri. Etsi tuloksena olevan kappaleen tilavuus.

Ratkaisu. Laitetaan paraabeli kuvan osoittamalla tavalla. Ja vaikka pyörimisakseli leikkaa kuvion, se - akseli - on symmetria-akseli. Siksi meidän on otettava huomioon vain segmentin oikea puoli. Paraabeliyhtälö
, ja
, tarkoittaa
. Volyymiksi meillä on:

Muistio 2. Jos kaarevan puolisuunnikkaan kaareva raja on annettu parametriyhtälöillä
,
,
Ja
,
sitten voit käyttää kaavoja (2) ja (3) korvauksen kanssa päällä
Ja
päällä
kun se muuttuu t alkaen
ennen .

Esimerkki 6. Kuvaa rajoittaa sykloidin ensimmäinen kaari
,
,
, ja x-akseli. Etsi kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä tätä kuvaa: 1) akselin ympäri
; 2) akselit
.

Ratkaisu. 1) Yleinen kaava
Meidän tapauksessamme:

2) Yleinen kaava
Figuurillemme:

Pyydämme opiskelijoita tekemään kaikki laskelmat itse.

Huomautus 3. Olkoon kaareva sektori, jota rajoittaa jatkuva viiva
ja säteet
,

, pyörii napa-akselin ympäri. Tuloksena olevan kappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla.

Esimerkki 7. Osa hahmosta, jota rajoittaa kardioidi
, makaa ympyrän ulkopuolella
, pyörii napa-akselin ympäri. Etsi tuloksena olevan kappaleen tilavuus.

Ratkaisu. Molemmat suorat ja siten niiden rajoittama luku ovat symmetrisiä napa-akselin suhteen. Siksi on otettava huomioon vain se osa, jota varten
. Käyrät leikkaavat pisteessä
Ja

klo
. Lisäksi lukua voidaan pitää kahden sektorin erona, ja siksi tilavuus voidaan laskea kahden integraalin erotuksena. Meillä on:

Tehtävät itsenäistä päätöstä varten.

1. Pyöreä segmentti, jonka kanta
, korkeus , pyörii alustan ympäri. Etsi vallankumouskappaleen tilavuus.

2. Etsi sen kierrosparaboloidin tilavuus, jonka kanta on , ja korkeus on .

3. Astroidin rajoittama kuva
,
pyörii abskissa-akselin ympäri. Etsi tuloksena olevan kappaleen tilavuus.

4. Viivoilla rajattu kuva
Ja
pyörii x-akselin ympäri. Etsi vallankumouskappaleen tilavuus.

Aihe: "Kierroskappaleiden tilavuuksien laskeminen määrätyn integraalin avulla"

Oppitunnin tyyppi: yhdistetty.

Oppitunnin tarkoitus: oppia laskemaan kierroskappaleiden tilavuuksia integraaleja käyttäen.

Tehtävät:

vahvistaa kykyä tunnistaa kaarevia puolisuunnikkaita useista geometrisista kuvioista ja kehittää taitoa laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alat;

tutustua kolmiulotteisen hahmon käsitteeseen;

oppia laskemaan pyörimiskappaleiden tilavuuksia;

edistää loogisen ajattelun, pätevän matemaattisen puheen, tarkkuuden kehittymistä piirustusten rakentamisessa;

kasvattaa kiinnostusta aihetta kohtaan, operoida matemaattisten käsitteiden ja kuvien kanssa, kasvattaa tahtoa, itsenäisyyttä ja sinnikkyyttä lopputuloksen saavuttamisessa.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki.

Terveisiä ryhmästä. Kerro oppitunnin tavoitteet opiskelijoille.

Haluaisin aloittaa tämän päivän oppitunnin vertauksella. "Eli kerran viisas mies, joka tiesi kaiken. Yksi mies halusi todistaa, että viisas ei tiedä kaikkea. Hän piti perhosta käsissään ja kysyi: "Sano minulle, salvia, mikä perhonen on käsissäni: kuollut vai elävä?" Ja hän ajattelee: "Jos elävä sanoo, tapan hänet; jos kuollut sanoo, vapautan hänet." Viisas vastasi ajateltuaan: "Kaikki on sinun käsissäsi."

Tehdään siis tänään hedelmällistä työtä, hankitaan uusi tietovarasto ja hyödynnetään hankittuja taitoja ja kykyjä tulevassa elämässä ja käytännön toiminnassa. ”Kaikki on sinun käsissäsi.”

II. Aiemmin opitun materiaalin toisto.

Muistakaamme aiemmin tutkitun materiaalin pääkohdat. Tehdään tämä suorittamalla tehtävä "Poista ylimääräinen sana".

(Oppilaat sanovat ylimääräisen sanan.)

Oikein "Ero". Yritä nimetä loput sanat yhdellä yleisellä sanalla. (Integraalilaskenta.)

Muistetaan integraalilaskennan päävaiheet ja käsitteet.

Harjoittele. Palauta aukot. (Oppilas tulee ulos ja kirjoittaa tarvittavat sanat tussilla.)

Työskentele muistikirjoissa.

Newton-Leibnizin kaavan johtivat englantilainen fyysikko Isaac Newton (1643-1727) ja saksalainen filosofi Gottfried Leibniz (1646-1716). Ja tämä ei ole yllättävää, koska matematiikka on kieli, jota luonto itse puhuu.

Pohditaan, kuinka tätä kaavaa käytetään käytännön ongelmien ratkaisemiseen.

Esimerkki 1: Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Ratkaisu: Rakennetaan funktioiden kuvaajia koordinaattitasolle . Valitaan se kuvion alue, joka pitää löytää.

III. Uuden materiaalin oppiminen.

Kiinnitä huomiota näyttöön. Mitä ensimmäisessä kuvassa näkyy? (Kuvassa on litteä kuva.)

Mitä toisessa kuvassa näkyy? Onko tämä hahmo litteä? (Kuvassa on kolmiulotteinen kuva.)

Avaruudessa, maan päällä ja jokapäiväisessä elämässä kohtaamme paitsi litteitä, myös kolmiulotteisia hahmoja, mutta kuinka voimme laskea tällaisten kappaleiden tilavuuden? Esimerkiksi: planeetan, komeetan, meteoriitin jne. tilavuus.

Ihmiset ajattelevat tilavuutta sekä taloa rakentaessaan että kaataessaan vettä astiasta toiseen. Säännöt ja tekniikat volyymien laskemiseen piti syntyä, eri asia on kuinka tarkkoja ja perusteltuja ne olivat.

Vuosi 1612 oli erittäin hedelmällinen itävaltalaisen Linzin kaupungin asukkaille, jossa kuuluisa tähtitieteilijä Johannes Kepler asui, erityisesti viinirypäleiden osalta. Ihmiset valmistelivat viinitynnyreitä ja halusivat tietää, kuinka niiden tilavuus käytännössä määritetään.

Siten Keplerin harkitut teokset merkitsivät alkua koko tutkimusvirralle, joka huipentui 1600-luvun viimeisellä neljänneksellä. suunnittelu I. Newtonin ja G.V. Leibniz differentiaali- ja integraalilaskennasta. Siitä lähtien muuttujien matematiikka otti johtavan paikan matemaattisen tiedon järjestelmässä.

Tänään sinä ja minä osallistumme sellaisiin käytännön toimiin, joten

Oppitunnin aihe: "Kiertokappaleiden tilavuuksien laskeminen määrätyn integraalin avulla."

Opit kiertokappaleen määritelmän suorittamalla seuraavan tehtävän.

"Labyrintti".

Harjoittele. Etsi tie ulos hämmentävästä tilanteesta ja kirjoita määritelmä ylös.

IVTilavuuksien laskeminen.

Määrätyn integraalin avulla voit laskea tietyn kappaleen, erityisesti kiertokappaleen, tilavuuden.

Pyörimiskappale on kappale, joka saadaan pyörittämällä kaarevaa puolisuunnikasta pohjansa ympäri (kuvat 1, 2).

Kierroskappaleen tilavuus lasketaan jollakin kaavoista:

1. OX-akselin ympäri.

2. , jos kaarevan puolisuunnikkaan kierto op-vahvistimen akselin ympäri.

Oppilaat kirjoittavat peruskaavat muistivihkoon.

Opettaja selittää taululla olevien esimerkkien ratkaisut.

1. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä linjojen rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan ordinaatta-akselin ympäri: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Ratkaisu.

Vastaus: 1163 cm3.

2. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä parabolista puolisuunnikasta x-akselin ympäri y = , x = 4, y = 0.

Ratkaisu.

V. Matemaattinen simulaattori.

2. Tietyn funktion kaikkien antiderivaatojen joukkoa kutsutaan

A) määrittelemätön integraali,

B) toiminto,

B) erottelu.

7. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä linjojen rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan abskissa-akselin ympäri:

D/Z. Uuden materiaalin yhdistäminen

Laske rungon tilavuus, joka muodostuu terälehden pyörimisestä x-akselin ympäri y = x2, y2 = x.

Rakennetaan funktiosta kuvaajia. y = x2, y2 = x. Muunnetaan graafi y2 = x muotoon y = .

Meillä on V = V1 - V2 Lasketaan kunkin funktion tilavuus:

Johtopäätös:

Määrätty integraali on tietty perusta matematiikan opiskelulle, jolla on korvaamaton panos käytännön ongelmien ratkaisemiseen.

Aihe "Integraal" osoittaa selkeästi matematiikan ja fysiikan, biologian, taloustieteen ja tekniikan välisen yhteyden.

Modernin tieteen kehitystä ei voida ajatella ilman integraalin käyttöä. Tältä osin on tarpeen aloittaa sen opiskelu keskiasteen erikoiskoulutuksen puitteissa!

VI. Arvostelu.(Kommenttien kera.)

Suuri Omar Khayyam - matemaatikko, runoilija, filosofi. Hän rohkaisee meitä olemaan oman kohtalomme herrat. Kuunnelkaamme ote hänen työstään:

Sanot, tämä elämä on yksi hetki.
Arvosta sitä, ammenna siitä inspiraatiota.
Mitä kulutat, niin se menee ohi.
Älä unohda: hän on luomuksesi.

Kuten alueen löytämisen ongelmassa, tarvitset varmoja piirustustaitoja - tämä on melkein tärkein asia (koska integraalit ovat usein helppoja). Opetusmateriaalien ja kuvaajien geometristen muunnosten avulla voit hallita osaavia ja nopeita graafisia tekniikoita. Mutta itse asiassa olen puhunut piirustusten tärkeydestä jo useita kertoja luokassa.

Yleensä integraalilaskennassa on paljon mielenkiintoisia sovelluksia; käyttämällä tarkkaa integraalia voit laskea kuvion alueen, kiertokappaleen tilavuuden, kaaren pituuden, kiertopinnan ja paljon muuta. lisää. Joten siitä tulee hauskaa, pysy optimistisena!

Kuvittele jokin tasainen kuvio koordinaattitasolla. Otettu käyttöön? ... Ihmettelen kuka esitti mitä... =))) Olemme jo löytäneet sen alueen. Mutta lisäksi tätä lukua voidaan myös kiertää ja kiertää kahdella tavalla:

– abskissa-akselin ympärillä;
– ordinaatta-akselin ympäri.

Tässä artikkelissa tarkastellaan molempia tapauksia. Toinen kiertotapa on erityisen mielenkiintoinen, se aiheuttaa eniten hankaluuksia, mutta itse asiassa ratkaisu on lähes sama kuin yleisemmässä x-akselin ympäri kiertämässä. Bonuksena palaan ongelma hahmon alueen löytämisessä, ja kerron sinulle kuinka löytää alue toisella tavalla - akselia pitkin. Se ei ole niinkään bonus, vaan materiaali sopii hyvin aiheeseen.

Aloitetaan suosituimmasta kiertotyypistä.

litteä hahmo akselin ympäri

Esimerkki 1

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä viivojen rajaamaa kuvaa akselin ympäri.

Ratkaisu: Kuten alueen löytämisen ongelmassa, ratkaisu alkaa litteän hahmon piirtämisellä. Eli tasolle on tarpeen rakentaa viivojen rajoittama kuvio, äläkä unohda, että yhtälö määrittää akselin. Sivuilta löytyy ohjeet piirustuksen tekemiseen tehokkaammin ja nopeammin Alkeisfunktioiden kaaviot ja ominaisuudet Ja Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala. Tämä on kiinalainen muistutus, enkä tässä vaiheessa viivyttele enempää.

Piirustus tässä on melko yksinkertainen:

Haluttu litteä figuuri on varjostettu sinisellä, se on se, joka pyörii akselin ympäri, jolloin tuloksena on hieman munamainen lentävä lautanen, joka on symmetrinen akselin suhteen. Itse asiassa keholla on matemaattinen nimi, mutta olen liian laiska selventämään mitään hakuteoksesta, joten siirrymme eteenpäin.

Kuinka laskea pyörivän kappaleen tilavuus?

Kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla:

Kaavassa luvun on oltava ennen integraalia. Niin se tapahtui - kaikki, mikä elämässä pyörii, liittyy tähän vakioon.

Minusta on helppo arvata, kuinka integroinnin "a" ja "be" rajat asetetaan valmiista piirroksesta.

Toiminto... mikä tämä toiminto on? Katsotaanpa piirustusta. Tasokuvaa rajoittaa yläreunassa olevan paraabelin kuvaaja. Tämä on funktio, joka sisältyy kaavaan.

Käytännön tehtävissä litteä hahmo voi joskus sijaita akselin alapuolella. Tämä ei muuta mitään - kaavan integrandi on neliö: , siis integraali on aina ei-negatiivinen, mikä on hyvin loogista.

Lasketaan kiertokappaleen tilavuus tällä kaavalla:

Kuten jo totesin, integraali osoittautuu melkein aina yksinkertaiseksi, tärkeintä on olla varovainen.

Vastaus:

Vastauksessasi sinun on ilmoitettava mitat - kuutioyksiköt. Eli pyörimiskappaleessamme on noin 3,35 "kuutiota". Miksi kuutio yksiköitä? Koska yleisin muotoilu. Siellä voi olla kuutiosenttimiä, voi olla kuutiometrejä, voi olla kuutiokilometrejä jne., niin monta vihreää miestä mielikuvituksesi voi laittaa lentävään lautaseen.

Esimerkki 2

Etsi linjojen rajaaman kuvion akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus , ,

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Tarkastellaan kahta monimutkaisempaa ongelmaa, joita myös usein kohdataan käytännössä.

Esimerkki 3

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä kuvion abskissa-akselin ympäri, jota rajoittavat viivat , ja

Ratkaisu: Kuvataan piirustuksessa litteä kuvio, jota rajoittavat viivat , , , , unohtamatta, että yhtälö määrittelee akselin:

Haluttu hahmo on varjostettu sinisellä. Kun se pyörii akselinsa ympäri, se osoittautuu surrealistiseksi donitsiksi, jossa on neljä kulmaa.

Lasketaan kiertokappaleen tilavuus as ero ruumiiden tilavuudessa.

Katsotaanpa ensin punaisella ympyröityä kuvaa. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämän katkaistun kartion tilavuutta .

Harkitse kuviota, joka on ympyröity vihreällä. Jos käännät tätä lukua akselin ympäri, saat myös katkaistun kartion, vain hieman pienemmän. Merkitään sen tilavuus .

Ja ilmeisestikin tilavuusero on täsmälleen "donitsimme" tilavuus.

Käytämme vakiokaavaa kiertokappaleen tilavuuden selvittämiseen:

1) Punaisella ympyröityä lukua rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

2) Vihreällä ympyröityä kuvaa rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

3) Halutun kiertokappaleen tilavuus:

Vastaus:

On uteliasta, että tässä tapauksessa ratkaisu voidaan tarkistaa käyttämällä koulukaavaa katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi.

Päätös itsessään kirjoitetaan usein lyhyemmin, jotenkin näin:

Pidetään nyt vähän lepoa ja kerrotaan geometrisista illuusioista.

Ihmisillä on usein illuusioita, jotka liittyvät volyymiin, jonka Perelman (toinen) huomasi kirjassa Viihdyttävä geometria. Katso litteää kuvaa ratkaistussa ongelmassa - se näyttää olevan pieni pinta-ala ja kierrosluvun tilavuus on hieman yli 50 kuutioyksikköä, mikä näyttää liian suurelta. Muuten, keskivertoihminen juo koko elämänsä aikana huoneen verran 18 neliömetriä nestettä, joka päinvastoin näyttää liian pieneltä.

Yleisesti ottaen koulutusjärjestelmä Neuvostoliitossa oli todella paras. Sama Perelmanin vuonna 1950 julkaistu kirja kehittää erittäin hyvin, kuten humoristi sanoi, ajattelua ja opettaa etsimään alkuperäisiä, epätyypillisiä ratkaisuja ongelmiin. Luin äskettäin uudelleen osan luvuista suurella mielenkiinnolla, suosittelen sitä, se on jopa humanistien saatavilla. Ei, sinun ei tarvitse hymyillä, että tarjosin vapaa-aikaa, eruditio ja laaja näköala kommunikaatiossa on hieno asia.

Lyyrisen poikkeaman jälkeen on vain sopivaa ratkaista luova tehtävä:

Esimerkki 4

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri litteän kuvion rajaaman viivojen , , jossa .

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Huomaa, että kaikki tapaukset esiintyvät kaistalla, toisin sanoen valmiit integraatiorajat on todella annettu. Piirrä trigonometristen funktioiden kaaviot oikein, haluan muistuttaa oppitunnin materiaalista graafien geometriset muunnokset: jos argumentti jaetaan kahdella: , kaavioita venytetään kahdesti akselia pitkin. On suositeltavaa löytää vähintään 3-4 pistettä trigonometristen taulukoiden mukaan täydentääksesi piirustuksen tarkemmin. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Muuten, tehtävä voidaan ratkaista järkevästi eikä kovin järkevästi.

Pyörimällä muodostuvan kappaleen tilavuuden laskeminen
litteä hahmo akselin ympäri

Toinen kappale on vielä mielenkiintoisempi kuin ensimmäinen. Myös ordinaatta-akselin ympäri kiertävän kappaleen tilavuuden laskentatehtävä on melko yleinen vieras koetyössä. Matkan varrella sitä harkitaan ongelma hahmon alueen löytämisessä toinen menetelmä on integrointi akselia pitkin, jonka avulla voit paitsi parantaa taitojasi, myös opettaa sinua löytämään kannattavimman ratkaisupolun. Tässä on myös käytännön elämän tarkoitus! Kuten matematiikan opetusmenetelmien opettajani hymyillen muisteli, monet valmistuneet kiittivät häntä sanoilla: "Aineenne auttoi meitä paljon, nyt olemme tehokkaita johtajia ja johdamme henkilöstöä optimaalisesti." Käytän tätä tilaisuutta hyväkseni, ilmaisen hänelle myös suuren kiitokseni, varsinkin kun käytän hankittua tietoa aiottuun tarkoitukseen =).

Suosittelen sitä kaikille, jopa täydellisille nukkeille. Lisäksi toisessa kappaleessa opittu materiaali tarjoaa arvokasta apua kaksoisintegraalien laskemisessa.

Esimerkki 5

Koska litteä kuvio, jota rajoittavat viivat , , .

1) Etsi näiden viivojen rajaama tasaisen hahmon pinta-ala.
2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää kuviota akselin ympäri.

Huomio! Vaikka haluat lukea vain toisen kohdan, ensin Välttämättä lue ensimmäinen!

Ratkaisu: Tehtävä koostuu kahdesta osasta. Aloitetaan neliöstä.

1) Tehdään piirustus:

On helppo nähdä, että funktio määrittää paraabelin ylähaaran ja funktio määrittää paraabelin alahaaran. Edessämme on triviaali paraabeli, joka "makaa kyljellään".

Haluttu hahmo, jonka alue on löydettävä, on varjostettu sinisellä.

Kuinka löytää hahmon pinta-ala? Se löytyy "tavanomaisella" tavalla, josta keskusteltiin luokassa Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala. Lisäksi kuvion pinta-ala löytyy alueiden summana:
- segmentillä ;
- segmentillä.

Siksi:

Miksi tavallinen ratkaisu on huono tässä tapauksessa? Ensinnäkin meillä on kaksi integraalia. Toiseksi integraalit ovat juuria, ja integraalien juuret eivät ole lahja, ja lisäksi voit hämmentyä integraation rajojen korvaamisessa. Itse asiassa integraalit eivät tietenkään ole tappavia, mutta käytännössä kaikki voi olla paljon surullisempaa, valitsin vain "paremmat" toiminnot ongelmaan.

On olemassa järkevämpi ratkaisu: se koostuu käänteisfunktioiden vaihtamisesta ja akselin suuntaisesta integroinnista.

Kuinka päästä käänteisfunktioihin? Karkeasti sanottuna sinun on ilmaistava "x" - "y". Katsotaanpa ensin paraabelia:

Tämä riittää, mutta varmistetaan, että sama funktio voidaan johtaa alemmasta haarasta:

Se on helpompaa suoralla viivalla:

Katso nyt akselia: kallista päätäsi säännöllisesti 90 astetta oikealle selittäessäsi (tämä ei ole vitsi!). Tarvittava luku sijaitsee segmentillä, joka on merkitty punaisella katkoviivalla. Tässä tapauksessa segmentillä suora sijaitsee paraabelin yläpuolella, mikä tarkoittaa, että kuvan pinta-ala on löydettävä sinulle jo tutulla kaavalla: . Mikä kaavassa on muuttunut? Vain kirje eikä mitään muuta.

! Huomautus: Integroinnin rajat akselia pitkin tulee asettaa tiukasti alhaalta ylös!

Alueen löytäminen:

Segmentillä siis:

Huomaa, kuinka toteutin integroinnin, tämä on järkevin tapa, ja tehtävän seuraavassa kappaleessa selviää miksi.

Lukijoille, jotka epäilevät integroinnin oikeellisuutta, löydän johdannaisia:

Alkuperäinen integrandifunktio saadaan, mikä tarkoittaa, että integrointi suoritettiin oikein.

Vastaus:

2) Lasketaan kappaleen tilavuus, joka muodostuu tämän kuvion pyörimisestä akselin ympäri.

Piirrän piirustuksen uudelleen hieman eri malliin:

Joten sinisellä varjostettu kuva pyörii akselin ympäri. Tuloksena on "leikuva perhonen", joka pyörii akselinsa ympäri.

Pyörimiskappaleen tilavuuden löytämiseksi integroimme akselia pitkin. Ensin meidän on siirryttävä käänteisfunktioihin. Tämä on jo tehty ja kuvattu yksityiskohtaisesti edellisessä kappaleessa.

Nyt kallistamme päämme jälleen oikealle ja tutkimme vartaloamme. Ilmeisesti kiertokappaleen tilavuus tulisi löytää tilavuuksien erona.

Kierrämme punaisella ympyröityä kuvaa akselin ympäri, jolloin saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämä tilavuus .

Pyöritämme vihreällä ympyröityä kuvaa akselin ympäri ja merkitsemme sitä tuloksena olevan kiertokappaleen tilavuudella.

Perhosemme tilavuus on yhtä suuri kuin tilavuusero.

Käytämme kaavaa löytääksemme kierroskappaleen tilavuuden:

Mitä eroa on edellisen kappaleen kaavasta? Vain kirjeessä.

Mutta integraation etu, josta äskettäin puhuin, on paljon helpompi löytää , sen sijaan, että ensin nostettaisiin integrandi 4. potenssiin.

Vastaus:

Ei kuitenkaan sairas perhonen.

Huomaa, että jos samaa litteää hahmoa kierretään akselin ympäri, saat luonnollisesti täysin erilaisen kiertokappaleen eri tilavuudella.

Esimerkki 6

Annettu litteä kuvio, jota rajoittavat viivat ja akseli.

1) Siirry käänteisfunktioihin ja etsi näiden viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala integroimalla muuttujan yli.
2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää hahmoa akselin ympäri.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Kiinnostuneet voivat myös löytää hahmon alueen "tavanomaisella" tavalla ja tarkistaa siten kohdan 1). Mutta jos, toistan, pyörität litteää hahmoa akselin ympäri, saat täysin erilaisen kiertokappaleen, jolla on eri tilavuus, muuten oikean vastauksen (myös niille, jotka haluavat ratkaista ongelmia).

Täydellinen ratkaisu tehtävän kahteen ehdotettuun kohtaan on oppitunnin lopussa.

Kyllä, ja älä unohda kallistaa päätäsi oikealle ymmärtääksesi pyörimisrungot ja integraation rajat!

Kuinka laskea kierroskappaleen tilavuus käyttämällä määrättyä integraalia?

sitä paitsi tasokuvan alueen löytäminen määrättyä integraalia käyttämällä aiheen tärkein sovellus on pyörivän kappaleen tilavuuden laskeminen. Materiaali on yksinkertaista, mutta lukijan on oltava valmis: sinun on kyettävä ratkaisemaan määrittelemättömät integraalit keskikokoinen ja käytä Newton-Leibnizin kaavaa selvä integraali . Kuten alueen löytämisen ongelmassa, tarvitset varmoja piirustustaitoja - tämä on melkein tärkein asia (koska integraalit ovat usein helppoja). Metodologisen materiaalin avulla hallitset osaavia ja nopeita kartoitustekniikoita . Mutta itse asiassa olen puhunut piirustusten tärkeydestä jo useita kertoja luokassa. .

Yleensä integraalilaskennassa on paljon mielenkiintoisia sovelluksia; käyttämällä tarkkaa integraalia voit laskea kuvion alueen, kiertokappaleen tilavuuden, kaaren pituuden, pinta-alan vartalo ja paljon muuta. Joten siitä tulee hauskaa, pysy optimistisena!

– x-akselin ympärillä; – ordinaatta-akselin ympäri.

Tässä artikkelissa tarkastellaan molempia tapauksia. Toinen kiertotapa on erityisen mielenkiintoinen, se aiheuttaa eniten hankaluuksia, mutta itse asiassa ratkaisu on lähes sama kuin yleisemmässä x-akselin ympäri kiertämässä. Bonuksena palaan ongelma hahmon alueen löytämisessä , ja kerron sinulle kuinka löytää alue toisella tavalla - akselia pitkin. Se ei ole niinkään bonus, vaan materiaali sopii hyvin aiheeseen.

Aloitetaan suosituimmasta kiertotyypistä.

Esimerkki 1

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä viivojen rajaamaa kuvaa akselin ympäri.

Ratkaisu: Kuten alueen löytämisen ongelmassa, ratkaisu alkaa litteän hahmon piirtämisellä. Eli tasossa on tarpeen rakentaa viivojen rajoittama kuvio, äläkä unohda, että yhtälö määrittää akselin. Sivuilta löytyy ohjeet piirustuksen tekemiseen tehokkaammin ja nopeammin Alkeisfunktioiden kaaviot ja ominaisuudet Ja Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala . Tämä on kiinalainen muistutus, enkä tässä vaiheessa viivyttele enempää.

Piirustus tässä on melko yksinkertainen:

Haluttu litteä figuuri on varjostettu sinisellä, se on se, joka pyörii akselin ympäri. Pyörimisen seurauksena tuloksena on hieman munamainen lentävä lautanen, joka on symmetrinen akselin suhteen. Itse asiassa keholla on matemaattinen nimi, mutta olen liian laiska katsomaan hakuteosta, joten siirrymme eteenpäin.

Kuinka laskea pyörivän kappaleen tilavuus?

Kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla:

Kaavassa luvun on oltava ennen integraalia. Niin se tapahtui - kaikki, mikä elämässä pyörii, liittyy tähän vakioon.

Minusta on helppo arvata, kuinka integroinnin "a" ja "be" rajat asetetaan valmiista piirroksesta.

Toiminto... mikä tämä toiminto on? Katsotaanpa piirustusta. Tasaista kuvaa rajoittaa yläreunassa oleva paraabelikuvaaja. Tämä on funktio, joka sisältyy kaavaan.

Käytännön tehtävissä litteä hahmo voi joskus sijaita akselin alapuolella. Tämä ei muuta mitään - kaavan funktio on neliö: näin vallankumouskappaleen tilavuus on aina ei-negatiivinen, mikä on hyvin loogista.

Lasketaan kiertokappaleen tilavuus tällä kaavalla:

Kuten jo totesin, integraali osoittautuu melkein aina yksinkertaiseksi, tärkeintä on olla varovainen.

Vastaus:

Esimerkki 2

Etsi linjojen rajoittaman kuvion akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus,

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Tarkastellaan kahta monimutkaisempaa ongelmaa, joita myös usein kohdataan käytännössä.

Esimerkki 3

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä kuvion abskissa-akselin ympäri, jota rajaavat viivat , ja

Ratkaisu: Kuvataan piirustuksessa litteä kuvio, jota rajoittavat viivat ,,,, unohtamatta, että yhtälö määrittelee akselin:

Haluttu hahmo on varjostettu sinisellä. Kun se pyörii akselinsa ympäri, se osoittautuu surrealistiseksi donitsiksi, jossa on neljä kulmaa.

Lasketaan kiertokappaleen tilavuus as ero ruumiiden tilavuudessa.

Katsotaanpa ensin punaisella ympyröityä kuvaa. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämän katkaistun kartion tilavuutta arvolla.

Harkitse kuviota, joka on ympyröity vihreällä. Jos käännät tätä lukua akselin ympäri, saat myös katkaistun kartion, vain hieman pienemmän. Merkitään sen tilavuus arvolla.

Ja ilmeisestikin tilavuusero on täsmälleen "donitsimme" tilavuus.

Käytämme vakiokaavaa kiertokappaleen tilavuuden selvittämiseen:

1) Punaisella ympyröityä lukua rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

2) Vihreällä ympyröityä kuvaa rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

3) Halutun kiertokappaleen tilavuus:

Vastaus:

On uteliasta, että tässä tapauksessa ratkaisu voidaan tarkistaa käyttämällä koulukaavaa katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi.

Päätös itsessään kirjoitetaan usein lyhyemmin, jotenkin näin:

Pidetään nyt vähän lepoa ja kerrotaan geometrisista illuusioista.

Ihmisillä on usein volyymiin liittyviä illuusioita, jotka Perelman (ei se) huomasi kirjassa Viihdyttävä geometria. Katso litteää kuvaa ratkaistussa ongelmassa - se näyttää olevan pieni pinta-ala ja kierrosluvun tilavuus on hieman yli 50 kuutioyksikköä, mikä näyttää liian suurelta. Muuten, keskivertoihminen juo koko elämänsä aikana huoneen verran 18 neliömetriä nestettä, joka päinvastoin näyttää liian pieneltä.

Yleisesti ottaen koulutusjärjestelmä Neuvostoliitossa oli todella paras. Sama Perelmanin vuonna 1950 kirjoittama kirja kehittää erittäin hyvin, kuten humoristi sanoi, ajattelua ja opettaa etsimään omaperäisiä, epätyypillisiä ratkaisuja ongelmiin. Luin äskettäin uudelleen osan luvuista suurella mielenkiinnolla, suosittelen sitä, se on jopa humanistien saatavilla. Ei, sinun ei tarvitse hymyillä, että tarjosin vapaa-aikaa, eruditio ja laaja näköala kommunikaatiossa on hieno asia.

Lyyrisen poikkeaman jälkeen on vain sopivaa ratkaista luova tehtävä:

Esimerkki 4

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri litteän kuvion, jota rajaavat viivat,, missä.

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Huomaa, että bändissä tapahtuu kaikkea, eli integraatiolle annetaan käytännössä valmiit rajat. Yritä myös piirtää oikein trigonometristen funktioiden kaaviot; jos argumentti jaetaan kahdella: kaavioita venytetään akselia pitkin kahdesti. Yritä löytää vähintään 3-4 pistettä trigonometristen taulukoiden mukaan ja viimeistele piirustus tarkemmin. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Muuten, tehtävä voidaan ratkaista järkevästi eikä kovin järkevästi.

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu kiertämällä litteää hahmoa akselin ympäri

Esimerkki 5

Annettu litteä kuvio, jota rajoittavat viivat ,,.

1) Etsi näiden viivojen rajaama tasaisen hahmon pinta-ala. 2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää kuviota akselin ympäri.

Huomio! Vaikka haluat lukea vain toisen kohdan, ensin Välttämättä lue ensimmäinen!

Ratkaisu: Tehtävä koostuu kahdesta osasta. Aloitetaan neliöstä.

1) Tehdään piirustus:

On helppo nähdä, että funktio määrittää paraabelin ylähaaran ja funktio määrittää paraabelin alahaaran. Edessämme on triviaali paraabeli, joka "makaa kyljellään".

Haluttu hahmo, jonka alue on löydettävä, on varjostettu sinisellä.

Kuinka löytää hahmon pinta-ala? Se löytyy "tavanomaisella" tavalla, josta keskusteltiin luokassa Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala . Lisäksi kuvion pinta-ala löytyy pintojen summana: – segmentillä ; - segmentillä.

Siksi:

On olemassa järkevämpi ratkaisu: se koostuu käänteisfunktioiden vaihtamisesta ja akselin suuntaisesta integroinnista.

Kuinka päästä käänteisfunktioihin? Karkeasti sanottuna sinun on ilmaistava "x" - "y". Katsotaanpa ensin paraabelia:

Tämä riittää, mutta varmistetaan, että sama funktio voidaan johtaa alemmasta haarasta:

Se on helpompaa suoralla viivalla:

Katso nyt akselia: kallista päätäsi säännöllisesti 90 astetta oikealle selittäessäsi (tämä ei ole vitsi!). Tarvittava luku sijaitsee segmentillä, joka on merkitty punaisella katkoviivalla. Lisäksi segmentillä suora sijaitsee paraabelin yläpuolella, mikä tarkoittaa, että kuvan pinta-ala on löydettävä sinulle jo tutulla kaavalla: . Mikä kaavassa on muuttunut? Vain kirje eikä mitään muuta.

! Huomautus: Integrointirajat akselia pitkin tulee asettaatiukasti alhaalta ylös !

Alueen löytäminen:

Segmentillä siis:

Huomaa, kuinka toteutin integroinnin, tämä on järkevin tapa, ja tehtävän seuraavassa kappaleessa selviää miksi.

Lukijoille, jotka epäilevät integroinnin oikeellisuutta, löydän johdannaisia:

Alkuperäinen integrandifunktio saadaan, mikä tarkoittaa, että integrointi suoritettiin oikein.

Vastaus:

2) Lasketaan kappaleen tilavuus, joka muodostuu tämän kuvion pyörimisestä akselin ympäri.

Piirrän piirustuksen uudelleen hieman eri malliin:

Joten sinisellä varjostettu kuva pyörii akselin ympäri. Tuloksena on "leikuva perhonen", joka pyörii akselinsa ympäri.

Nyt kallistamme päämme jälleen oikealle ja tutkimme vartaloamme. Ilmeisesti kiertokappaleen tilavuus tulisi löytää tilavuuksien erona.

Kierrämme punaisella ympyröityä kuvaa akselin ympäri, jolloin saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämä tilavuus numerolla.

Kierrämme vihreällä ympyröityä kuvaa akselin ympäri ja merkitsemme tuloksena olevan kiertokappaleen tilavuudella.

Perhosemme tilavuus on yhtä suuri kuin tilavuusero.

Käytämme kaavaa löytääksemme kierroskappaleen tilavuuden:

Mitä eroa on edellisen kappaleen kaavasta? Vain kirjeessä.

Mutta integraation etu, josta äskettäin puhuin, on paljon helpompi löytää , sen sijaan, että ensin nostettaisiin integrandi 4. potenssiin.

Kuinka laskea pyörivän kappaleen tilavuus
käyttämällä tiettyä integraalia?

Yleensä integraalilaskennassa on paljon mielenkiintoisia sovelluksia; käyttämällä tarkkaa integraalia voit laskea kuvion alueen, kiertokappaleen tilavuuden, kaaren pituuden, pinta-alan kierto ja paljon muuta. Joten siitä tulee hauskaa, pysy optimistisena!

- abskissa-akselin ympärillä;
- ordinaatta-akselin ympäri.

Aloitetaan suosituimmasta kiertotyypistä.

litteä hahmo akselin ympäri

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä viivojen rajaamaa kuvaa akselin ympäri.

Ratkaisu: Kuten alueen löytämisen ongelmassa, ratkaisu alkaa litteän hahmon piirtämisellä. Eli tasolle on tarpeen rakentaa viivojen rajoittama kuvio, äläkä unohda, että yhtälö määrittää akselin. Sivuilta löytyy ohjeet piirustuksen tekemiseen tehokkaammin ja nopeammin Alkeisfunktioiden kaaviot ja ominaisuudet Ja . Tämä on kiinalainen muistutus, enkä tässä vaiheessa viivyttele enempää.

Piirustus tässä on melko yksinkertainen:

Kuinka laskea pyörivän kappaleen tilavuus?

Kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla:

Kaavassa luvun on oltava ennen integraalia. Niin se tapahtui - kaikki, mikä elämässä pyörii, liittyy tähän vakioon.

Minusta on helppo arvata, kuinka integroinnin "a" ja "be" rajat asetetaan valmiista piirroksesta.

Toiminto... mikä tämä toiminto on? Katsotaanpa piirustusta. Tasokuvaa rajoittaa yläreunassa olevan paraabelin kuvaaja. Tämä on funktio, joka sisältyy kaavaan.

Lasketaan kiertokappaleen tilavuus tällä kaavalla:

Kuten jo totesin, integraali osoittautuu melkein aina yksinkertaiseksi, tärkeintä on olla varovainen.

Vastaus:

Vastauksessasi on ilmoitettava mitat - kuutioyksiköt. Eli pyörimiskappaleessamme on noin 3,35 "kuutiota". Miksi kuutio yksiköitä? Koska yleisin muotoilu. Siellä voi olla kuutiosenttimiä, voi olla kuutiometrejä, voi olla kuutiokilometrejä jne., niin monta vihreää miestä mielikuvituksesi voi laittaa lentävään lautaseen.

Etsi linjojen rajaaman kuvion akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus , ,

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Tarkastellaan kahta monimutkaisempaa ongelmaa, joita myös usein kohdataan käytännössä.

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä kuvion abskissa-akselin ympäri, jota rajoittavat viivat , ja

Ratkaisu: Kuvataan piirustuksessa litteä kuvio, jota rajoittavat viivat , , , , unohtamatta, että yhtälö määrittelee akselin:

Haluttu hahmo on varjostettu sinisellä. Kun se pyörii akselinsa ympäri, se osoittautuu surrealistiseksi donitsiksi, jossa on neljä kulmaa.

Lasketaan kiertokappaleen tilavuus as ero ruumiiden tilavuudessa.

Katsotaanpa ensin punaisella ympyröityä kuvaa. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämän katkaistun kartion tilavuutta .

Harkitse kuviota, joka on ympyröity vihreällä. Jos käännät tätä lukua akselin ympäri, saat myös katkaistun kartion, vain hieman pienemmän. Merkitään sen tilavuus .

Ja ilmeisestikin tilavuusero on täsmälleen "donitsimme" tilavuus.

Käytämme vakiokaavaa kiertokappaleen tilavuuden selvittämiseen:

1) Punaisella ympyröityä lukua rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

2) Vihreällä ympyröityä kuvaa rajoittaa yläpuolella suora viiva, joten:

3) Halutun kiertokappaleen tilavuus:

Vastaus:

On uteliasta, että tässä tapauksessa ratkaisu voidaan tarkistaa käyttämällä koulukaavaa katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi.

Päätös itsessään kirjoitetaan usein lyhyemmin, jotenkin näin:

Pidetään nyt vähän lepoa ja kerrotaan geometrisista illuusioista.

Lyyrisen poikkeaman jälkeen on vain sopivaa ratkaista luova tehtävä:

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri litteän kuvion rajaaman viivojen , , jossa .

Pyörimällä muodostuvan kappaleen tilavuuden laskeminen
litteä hahmo akselin ympäri

Suosittelen sitä kaikille, jopa täydellisille nukkeille. Lisäksi toisessa kappaleessa opittu materiaali tarjoaa arvokasta apua kaksoisintegraalien laskemisessa.

Koska litteä kuvio, jota rajoittavat viivat , , .

1) Etsi näiden viivojen rajaama tasaisen hahmon pinta-ala.
2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää kuviota akselin ympäri.

Huomio! Vaikka haluat lukea vain toisen kohdan, muista lukea ensimmäinen!

Ratkaisu: Tehtävä koostuu kahdesta osasta. Aloitetaan neliöstä.

1) Tehdään piirustus:

On helppo nähdä, että funktio määrittää paraabelin ylähaaran ja funktio määrittää paraabelin alahaaran. Edessämme on triviaali paraabeli, joka "makaa kyljellään".

Haluttu hahmo, jonka alue on löydettävä, on varjostettu sinisellä.

Siksi:

Miksi tavallinen ratkaisu on huono tässä tapauksessa? Ensinnäkin meillä on kaksi integraalia. Toiseksi integraalien alla on juuret, eivätkä integraalien juuret ole lahja, ja lisäksi integraation rajojen korvaamisessa voi hämmentyä. Itse asiassa integraalit eivät tietenkään ole tappavia, mutta käytännössä kaikki voi olla paljon surullisempaa, valitsin vain "paremmat" toiminnot ongelmaan.

On olemassa järkevämpi ratkaisu: se koostuu käänteisfunktioiden vaihtamisesta ja akselin suuntaisesta integroinnista.

Kuinka päästä käänteisfunktioihin? Karkeasti sanottuna sinun on ilmaistava "x" - "y". Katsotaanpa ensin paraabelia:

Tämä riittää, mutta varmistetaan, että sama funktio voidaan johtaa alemmasta haarasta:

Se on helpompaa suoralla viivalla:

! Huomautus: Integroinnin rajat akselia pitkin tulee asettaa tiukasti alhaalta ylös!

Alueen löytäminen:

Segmentillä siis:

Huomaa, kuinka toteutin integroinnin, tämä on järkevin tapa, ja tehtävän seuraavassa kappaleessa selviää miksi.

Lukijoille, jotka epäilevät integroinnin oikeellisuutta, löydän johdannaisia:

Alkuperäinen integrandifunktio saadaan, mikä tarkoittaa, että integrointi suoritettiin oikein.

Vastaus:

2) Lasketaan kappaleen tilavuus, joka muodostuu tämän kuvion pyörimisestä akselin ympäri.

Piirrän piirustuksen uudelleen hieman eri malliin:

Joten sinisellä varjostettu kuva pyörii akselin ympäri. Tuloksena on "leikuva perhonen", joka pyörii akselinsa ympäri.

Nyt kallistamme päämme jälleen oikealle ja tutkimme vartaloamme. Ilmeisesti kiertokappaleen tilavuus tulisi löytää tilavuuksien erona.

Kierrämme punaisella ympyröityä kuvaa akselin ympäri, jolloin saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämä tilavuus .

Pyöritämme vihreällä ympyröityä kuvaa akselin ympäri ja merkitsemme sitä tuloksena olevan kiertokappaleen tilavuudella.

Perhosemme tilavuus on yhtä suuri kuin tilavuusero.

Käytämme kaavaa löytääksemme kierroskappaleen tilavuuden:

Mitä eroa on edellisen kappaleen kaavasta? Vain kirjeessä.

Mutta integraation etu, josta äskettäin puhuin, on paljon helpompi löytää , sen sijaan, että ensin nostettaisiin integrandi 4. potenssiin.

Vastaus:

Huomaa, että jos samaa litteää hahmoa kierretään akselin ympäri, saat luonnollisesti täysin erilaisen kiertokappaleen eri tilavuudella.

Annettu litteä kuvio, jota rajoittavat viivat ja akseli.

Täydellinen ratkaisu tehtävän kahteen ehdotettuun kohtaan on oppitunnin lopussa.

Kyllä, ja älä unohda kallistaa päätäsi oikealle ymmärtääksesi pyörimisrungot ja integraation rajat!

Olin lopettamassa artikkelin, mutta tänään he toivat mielenkiintoisen esimerkin vain ordinaatta-akselin ympärillä olevan kierroskappaleen tilavuuden löytämiseksi. Tuore:

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri kuvion, jota rajoittavat käyrät ja .

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Matkan varrella tutustumme joidenkin muiden funktioiden kaavioihin. Tässä on mielenkiintoinen kaavio parillisesta funktiosta...

Integraali on toiminnassa. Kuinka laskea kierroskappaleen tilavuus käyttämällä määrättyä integraalia

litteä hahmo akselin ympäri

Kuinka laskea pyörivän kappaleen tilavuus?

Pyörimällä muodostuvan kappaleen tilavuuden laskeminenlitteä hahmo akselin ympäri

Kuinka laskea pyörivän kappaleen tilavuus käyttämällä tiettyä integraalia?

litteä hahmo akselin ympäri

Kuinka laskea pyörivän kappaleen tilavuus?

Pyörimällä muodostuvan kappaleen tilavuuden laskeminenlitteä hahmo akselin ympäri

Pyörimällä muodostuvan kappaleen tilavuuden laskeminen
litteä hahmo akselin ympäri

Kuinka laskea pyörivän kappaleen tilavuus
käyttämällä tiettyä integraalia?

Pyörimällä muodostuvan kappaleen tilavuuden laskeminen
litteä hahmo akselin ympäri