Viivojen rajoittaman kuvion tilavuus. Kierroskappaleiden tilavuuksien laskenta käyttäen määrättyä integraalia

Oppitunnin tyyppi: yhdistetty.

Oppitunnin tarkoitus: oppia laskemaan kierroskappaleiden tilavuuksia integraaleilla.

Tehtävät:

vahvistaa kykyä valita kaarevia puolisuunnikkaita useista geometrisista muodoista ja kehittää taitoa laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alat;
tutustu kolmiulotteisen hahmon käsitteeseen;
oppia laskemaan pyörimiskappaleiden tilavuuksia;
edistää loogisen ajattelun kehittymistä, pätevää matemaattista puhetta, tarkkuutta piirustusten rakentamisessa;
kasvattaa kiinnostusta aihetta kohtaan, operoida matemaattisten käsitteiden ja kuvien kanssa, kasvattaa tahtoa, itsenäisyyttä, sinnikkyyttä lopputuloksen saavuttamisessa.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki.

Ryhmätervehdys. Viestintä oppilaille oppitunnin tavoitteista.

Heijastus. Rauhallinen melodia.

Haluaisin aloittaa tämän päivän oppitunnin vertauksella. "Oli viisas mies, joka tiesi kaiken. Yksi henkilö halusi todistaa, että viisas ei tiedä kaikkea. Puristi perhosta käsissään ja kysyi: "Sano minulle, salvia, mikä perhonen on käsissäni: kuollut vai elossa?" Ja hän itse ajattelee: "Jos elävä sanoo, tapan hänet, jos kuollut sanoo, päästän hänet ulos." Viisas ajatteli, vastasi: "Kaikki sinun käsissäsi". (Esitys.Liuku)

- Tehdään siis tänään hedelmällistä työtä, hankitaan uusi tietovarasto ja hyödynnetään hankittuja taitoja ja kykyjä myöhemmässä elämässä ja käytännön toiminnassa. "Kaikki sinun käsissäsi".

II. Aiemmin opitun materiaalin toisto.

Käydään läpi aiemmin tutkitun materiaalin pääkohdat. Tehdään tämä tekemällä tehtävä "Poista tarpeeton sana."(Liuku.)

(Oppilas menee henkilöllisyystodistukseen pyyhekumin avulla ja poistaa ylimääräisen sanan.)

- Aivan "Ero". Yritä nimetä loput sanat yhdellä yleisellä sanalla. (Integraalilaskenta.)

- Muistetaan integraalilaskennan päävaiheet ja käsitteet..

"Matemaattinen joukko".

Harjoittele. Palauta passit. (Oppilas tulee ulos ja kirjoittaa tarvittavat sanat kynällä.)

- Kuulemme raportin integraalien soveltamisesta myöhemmin.

Työskentele muistikirjoissa.

– Newton-Leibnizin kaavan kehittivät englantilainen fyysikko Isaac Newton (1643–1727) ja saksalainen filosofi Gottfried Leibniz (1646–1716). Ja tämä ei ole yllättävää, koska matematiikka on kieli, jota luonto itse puhuu.

– Mieti, miten tätä kaavaa käytetään käytännön tehtävien ratkaisemisessa.

Esimerkki 1: Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Ratkaisu: Rakennetaan funktioiden kuvaajia koordinaattitasolle . Valitse etsittävän kuvan alue.

III. Uuden materiaalin oppiminen.

- Kiinnitä huomiota näyttöön. Mitä ensimmäisessä kuvassa näkyy? (Dia) (Kuvassa on litteä kuva.)

Mitä toisessa kuvassa näkyy? Onko tämä hahmo litteä? (Dia) (Kuva esittää kolmiulotteisen kuvan.)

- Avaruudessa, maan päällä ja jokapäiväisessä elämässä tapaamme paitsi litteitä, myös kolmiulotteisia hahmoja, mutta kuinka voimme laskea tällaisten kappaleiden tilavuuden? Esimerkiksi planeetan, komeetan, meteoriitin jne.

– Ajattele tilavuutta ja talojen rakentamista sekä veden kaatamista astiasta toiseen. Volyymien laskentasäännöt ja menetelmät olisi pitänyt syntyä, toinen asia on, kuinka tarkkoja ja perusteltuja ne olivat.

Opiskelijaviesti. (Tyurina Vera.)

Vuosi 1612 oli erittäin hedelmällinen itävaltalaisen Linzin kaupungin asukkaille, jossa silloin kuuluisa tähtitieteilijä Johannes Kepler asui, erityisesti viinirypäleiden osalta. Ihmiset valmistelivat viinitynnyreitä ja halusivat tietää, kuinka niiden tilavuus käytännössä määritetään. (Dia 2)

- Siten Keplerin harkitut teokset merkitsivät alkua koko tutkimusvirralle, joka huipentui 1600-luvun viimeisellä neljänneksellä. suunnittelu I. Newtonin ja G.V. Leibnizin differentiaali- ja integraalilaskenta. Siitä lähtien suuruusmuuttujien matematiikka on ottanut johtavan paikan matemaattisen tiedon järjestelmässä.

- Joten tänään olemme mukana sellaisissa käytännön toimissa, joten

Oppituntimme aihe: "Käännöskappaleiden tilavuuksien laskenta käyttämällä määrättyä integraalia." (Dia)

- Opit vallankumouskappaleen määritelmän suorittamalla seuraavan tehtävän.

"Labyrintti".

Labyrintti (kreikan sana) tarkoittaa kulkua vankityrmään. Labyrintti on monimutkainen verkosto polkuja, käytäviä, huoneita, jotka kommunikoivat keskenään.

Mutta määritelmä "törmäsi", siinä oli vihjeitä nuolien muodossa.

Harjoittele. Etsi tie ulos hämmentävästä tilanteesta ja kirjoita määritelmä ylös.

Liuku. "Ohjekortti" Tilavuuksien laskenta.

Tarkalla integraalilla voit laskea kappaleen tilavuuden, erityisesti kierroskappaleen.

Kierroskappale on kappale, joka saadaan kiertämällä kaarevaa puolisuunnikasta kantansa ympäri (kuvat 1, 2).

Kierroskappaleen tilavuus lasketaan jollakin seuraavista kaavoista:

1. x-akselin ympärillä.

2. , jos kaarevan puolisuunnikkaan kierto y-akselin ympärillä.

Jokainen opiskelija saa opetuskortin. Opettaja korostaa pääkohdat.

Opettaja selittää esimerkkien ratkaisun taululle.

Ajatellaanpa ote A. S. Pushkinin kuuluisasta sadusta "Tarina tsaari Saltanista, hänen loistavasta ja mahtavasta pojasta prinssi Gvidon Saltanovichista ja kauniista prinsessa Lebedistä". (Dia 4):

…..
Ja toi humalaisen sanansaattajan
Samana päivänä tilaus on:
"Tsaari käskee bojaareitaan,
Aikaa hukkaamatta,
Ja kuningatar ja jälkeläiset
Salaa heitettynä vesien kuiluun."
Ei ole mitään tekemistä: bojarit,
Surettuaan suvereenia
Ja nuori kuningatar
Väkijoukko saapui hänen makuuhuoneeseensa.
julisti kuninkaallisen testamentin -
Hänellä ja hänen pojallaan on paha kohtalo,
Lue asetus ääneen
Ja kuningatar samaan aikaan
He panivat minut tynnyriin poikani kanssa,
Rukoili, rukoili
Ja he päästivät minut okianiin -
Niin määräsi tsaari Saltan.

Mikä pitäisi olla tynnyrin tilavuus, jotta kuningatar ja hänen poikansa mahtuvat siihen?

– Harkitse seuraavia tehtäviä

1. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä y-akselin ympäri kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajaavat viivat: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Vastaus: 1163 cm 3 .

Etsi kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä parabolista puolisuunnikasta abskissan ympäri y = , x = 4, y = 0.

IV. Uuden materiaalin korjaaminen

Esimerkki 2. Laske rungon tilavuus, joka muodostuu terälehden pyörimisestä x-akselin ympäri y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Piirretään funktion kuvaajat. y=x2, y2=x. Ajoittaa y 2 = x muuntaa muotoon y= .

Meillä on V \u003d V 1 - V 2 Lasketaan kunkin funktion tilavuus

- Katsotaanpa nyt Moskovan radioaseman tornia Shabolovkassa, joka on rakennettu upean venäläisen insinöörin, kunnia-akateemikon V. G. Shukhovin projektin mukaan. Se koostuu osista - vallankumouksen hyperboloideista. Lisäksi jokainen niistä on valmistettu suoraviivaisista metallitangoista, jotka yhdistävät vierekkäisiä ympyröitä (kuvat 8, 9).

- Mieti ongelmaa.

Etsi kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä hyperbolan kaaria kuvitteellisen akselinsa ympäri, kuten kuvasta näkyy. 8, missä

kuutio yksiköitä

Ryhmätehtävät. Opiskelijat arvostavat tehtäviä, piirustukset tehdään whatman-paperille, yksi ryhmän edustajista puolustaa työtä.

1. ryhmä.

Osuma! Osuma! Toinen hitti!
Pallo lentää porttiin - PALLO!
Ja tämä on vesimelonipallo
Vihreä, pyöreä, herkullinen.
Näytä paremmin - mikä pallo!
Se koostuu ympyröistä.
Leikkaa vesimeloni ympyröiksi
Ja maistaa niitä.

Selvitä kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä funktion OX-akselin ympäri, jota rajoittaa

Virhe! Kirjanmerkkiä ei ole määritetty.

- Kerro minulle, missä me tapaamme tämän hahmon kanssa?

Talo. tehtävä ryhmälle 1. SYLINTERI (dia) .

"Sylinteri - mikä se on?" kysyin isältäni.
Isä nauroi: silinteri on hattu.
Saadaksesi oikean käsityksen,
Oletetaan, että sylinteri on peltipurkki.
Höyrystimen putki on sylinteri,
Putki myös katollamme,

Kaikki putket ovat samanlaisia kuin sylinteri.
Ja annoin tällaisen esimerkin -
Rakas kaleidoskooppini
Et voi irrottaa silmiäsi hänestä.
Se näyttää myös sylinteriltä.

- Harjoittele. Kotitehtävä piirtää funktio ja laskea tilavuus.

2. ryhmä. KARTIO (dia).

Äiti sanoi: Ja nyt
Tieto kartiosta on minun tarinani.
Stargazer korkeassa lippiksessä
Laskee tähdet ympäri vuoden.
CONE - Stargazerin hattu.
Sitä hän on. Ymmärsi? Se siitä.
Äiti oli pöydässä
Hän kaatoi öljyä pulloihin.
- Missä suppilo on? Ei suppiloa.
Katso. Älä seiso sivussa.
- Äiti, en lähde paikalta,
Kerro lisää kartiosta.
- Suppilo on kastelukannun kartiomainen.
Tule, löydä minut nopeasti.
En löytänyt suppiloa
Mutta äiti teki laukun,
Kääri pahvi sormesi ympärille
Ja kiinnitetty näppärästi paperiliittimellä.
Öljyä valuu, äiti on iloinen
Kartio tuli ulos juuri sopivasti.

Harjoittele. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä x-akselin ympäri

Talo. tehtävä 2. ryhmälle. PYRAMIDI(dia).

Näin kuvan. Tässä kuvassa
Hiekkaisessa autiomaassa on PYRAMIDI.
Kaikki pyramidissa on poikkeuksellista,
Siinä on mysteeriä ja mysteeriä.
Spasskaja-torni Punaisella torilla
Sekä lapset että aikuiset tunnetaan hyvin.
Katso tornia - tavallisen näköinen,
Mikä hänen päällä on? Pyramidi!

Harjoittele. Kotitehtävä piirrä funktio ja laske pyramidin tilavuus

- Laskimme eri kappaleiden tilavuudet integraalia käyttämällä kappaleiden tilavuuksien peruskaavan perusteella.

Tämä on toinen vahvistus sille, että määrätty integraali on jonkinlainen perusta matematiikan opiskelulle.

"Nyt levätään vähän."

Etsi pari.

Matemaattinen domino-melodia soi.

"Tietä, jota hän itse etsi, ei koskaan unohdeta ..."

Tutkimus. Integraalin soveltaminen taloustieteessä ja tekniikassa.

Testit vahvoille oppijoille ja matemaattinen jalkapallo.

Matematiikan simulaattori.

2. Tietyn funktion kaikkien antiderivaatojen joukkoa kutsutaan

A) määrittelemätön integraali

B) toiminto,

B) erottelu.

7. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä linjojen rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan abskissa-akselin ympäri:

D/Z. Laske pyörimiskappaleiden tilavuudet.

Heijastus.

Heijastuksen hyväksyminen muodossa cinquain(viisi riviä).

1. rivi - aiheen nimi (yksi substantiivi).

2. rivi - kuvaus aiheesta pähkinänkuoressa, kaksi adjektiivia.

3. rivi - kuvaus tämän aiheen toiminnasta kolmella sanalla.

4. rivi - neljän sanan lause, osoittaa suhtautumisen aiheeseen (koko lause).

Viides rivi on synonyymi, joka toistaa aiheen olemuksen.

Äänenvoimakkuus.
Selkeä kiinteä, integroitava toiminto.
Rakennamme, pyöritämme, laskemme.
Kappale, joka saadaan pyörittämällä kaarevaa puolisuunnikasta (sen pohjan ympäri).
Body of vallankumous (3D geometrinen runko).

Johtopäätös (dia).

Määrätty integraali on eräänlainen perusta matematiikan opiskelulle, joka on välttämätön panos käytännön sisällöllisten ongelmien ratkaisemiseen.
Aihe "Integral" osoittaa selkeästi matematiikan ja fysiikan, biologian, taloustieteen ja tekniikan välisen yhteyden.
Modernin tieteen kehitystä ei voida ajatella ilman integraalin käyttöä. Tältä osin on tarpeen aloittaa sen opiskelu toisen asteen erikoiskoulutuksen puitteissa!

Arvostelu. (Kommenttien kera.)

Suuri Omar Khayyam on matemaatikko, runoilija ja filosofi. Hän kutsuu olemaan kohtalonsa herra. Kuuntele ote hänen teoksestaan:

Sanot, että tämä elämä on vain hetki.
Arvosta sitä, ammenna siitä inspiraatiota.
Mitä kulutat, niin se menee ohi.
Älä unohda: hän on luomuksesi.

Aihe: "Käännöskappaleiden tilavuuksien laskenta käyttäen määrättyä integraalia"

Oppitunnin tyyppi: yhdistetty.

Oppitunnin tarkoitus: oppia laskemaan kierroskappaleiden tilavuuksia integraaleilla.

Tehtävät:

vahvistaa kykyä valita kaarevia puolisuunnikkaita useista geometrisista muodoista ja kehittää taitoa laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alat;

tutustu kolmiulotteisen hahmon käsitteeseen;

oppia laskemaan pyörimiskappaleiden tilavuuksia;

edistää loogisen ajattelun kehittymistä, pätevää matemaattista puhetta, tarkkuutta piirustusten rakentamisessa;

kasvattaa kiinnostusta aihetta kohtaan, operoida matemaattisten käsitteiden ja kuvien kanssa, kasvattaa tahtoa, itsenäisyyttä, sinnikkyyttä lopputuloksen saavuttamisessa.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki.

Ryhmätervehdys. Viestintä oppilaille oppitunnin tavoitteista.

Haluaisin aloittaa tämän päivän oppitunnin vertauksella. "Oli viisas mies, joka tiesi kaiken. Yksi henkilö halusi todistaa, että viisas ei tiedä kaikkea. Puristi perhosta käsissään ja kysyi: "Sano minulle, salvia, mikä perhonen on käsissäni: kuollut vai elossa?" Ja hän itse ajattelee: "Jos elävä sanoo, tapan hänet, jos kuollut sanoo, päästän hänet ulos." Viisas vastasi ajateltuaan: "Kaikki on sinun käsissäsi."

Tehdään siis tänään hedelmällistä työtä, hankitaan uusi tietovarasto ja hyödynnetään hankittuja taitoja ja kykyjä myöhemmässä elämässä ja käytännön toiminnassa. ”Kaikki on sinun käsissäsi.”

II. Aiemmin opitun materiaalin toisto.

Muistetaanpa aiemmin tutkitun materiaalin pääkohdat. Tätä varten suoritamme tehtävän "Poista ylimääräinen sana".

(Oppilaat sanovat ylimääräisen sanan.)

Oikein "Ero". Yritä nimetä loput sanat yhdellä yleisellä sanalla. (Integraalilaskenta.)

Muistetaan integraalilaskennan päävaiheet ja käsitteet.

Harjoittele. Palauta passit. (Oppilas tulee ulos ja kirjoittaa tarvittavat sanat tussilla.)

Työskentele muistikirjoissa.

Newton-Leibnizin kaavan kehittivät englantilainen fyysikko Isaac Newton (1643-1727) ja saksalainen filosofi Gottfried Leibniz (1646-1716). Ja tämä ei ole yllättävää, koska matematiikka on kieli, jota luonto itse puhuu.

Mieti, kuinka tätä kaavaa käytetään käytännön tehtävien ratkaisemisessa.

Esimerkki 1: Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Ratkaisu: Muodostetaan koordinaattitasolle funktioiden kuvaajat . Valitse etsittävän kuvan alue.

III. Uuden materiaalin oppiminen.

Kiinnitä huomiota näyttöön. Mitä ensimmäisessä kuvassa näkyy? (Kuvassa on litteä kuva.)

Mitä toisessa kuvassa näkyy? Onko tämä hahmo litteä? (Kuva esittää kolmiulotteisen kuvan.)

Avaruudessa, maan päällä ja jokapäiväisessä elämässä tapaamme paitsi litteiden, myös kolmiulotteisten hahmojen kanssa, mutta kuinka laskea tällaisten kappaleiden tilavuus? Esimerkiksi: planeetan, komeetan, meteoriitin jne. tilavuus.

He ajattelevat tilavuutta rakentaessaan taloja ja kaataessaan vettä astiasta toiseen. Volyymien laskentasäännöt ja menetelmät olisi pitänyt syntyä, toinen asia on, kuinka tarkkoja ja perusteltuja ne olivat.

Siten Keplerin harkitut teokset merkitsivät alkua koko tutkimusvirralle, joka huipentui 1600-luvun viimeisellä neljänneksellä. suunnittelu I. Newtonin ja G.V. Leibnizin differentiaali- ja integraalilaskenta. Siitä lähtien suuruusmuuttujien matematiikka on ottanut johtavan paikan matemaattisen tiedon järjestelmässä.

Joten tänään olemme mukana sellaisissa käytännön toimissa, joten

Oppituntimme aihe: "Käännöskappaleiden tilavuuksien laskenta käyttämällä määrättyä integraalia."

Opit vallankumouskappaleen määritelmän suorittamalla seuraavan tehtävän.

"Labyrintti".

Harjoittele. Etsi tie ulos hämmentävästä tilanteesta ja kirjoita määritelmä ylös.

IVTilavuuksien laskeminen.

Tarkalla integraalilla voit laskea kappaleen tilavuuden, erityisesti kierroskappaleen.

Kierroskappale on kappale, joka saadaan kiertämällä kaarevaa puolisuunnikasta kantansa ympäri (kuvat 1, 2).

Kierroskappaleen tilavuus lasketaan jollakin kaavoista:

1. x-akselin ympärillä.

2. , jos kaarevan puolisuunnikkaan kierto y-akselin ympärillä.

Oppilaat kirjoittavat peruskaavat muistivihkoon.

Opettaja selittää taululla olevien esimerkkien ratkaisun.

1. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä y-akselin ympäri kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajaavat viivat: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Ratkaisu.

Vastaus: 1163 cm3.

2. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä parabolista puolisuunnikasta abskissa-akselin ympäri y = , x = 4, y = 0.

Ratkaisu.

V. Matematiikan simulaattori.

2. Tietyn funktion kaikkien antiderivaatojen joukkoa kutsutaan

A) määrittelemätön integraali

B) toiminto,

B) erottelu.

7. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä linjojen rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan abskissa-akselin ympäri:

D/Z. Uuden materiaalin korjaaminen

Laske rungon tilavuus, joka muodostuu terälehden pyörimisestä x-akselin ympäri y=x2, y2=x.

Piirretään funktion kuvaajat. y=x2, y2=x. Graafi y2 = x muunnetaan muotoon y = .

Meillä on V = V1 - V2 Lasketaan kunkin funktion tilavuus:

Johtopäätös:

Määrätty integraali on eräänlainen perusta matematiikan opiskelulle, joka on välttämätön panos käytännön sisällöllisten ongelmien ratkaisemiseen.

Aihe "Integral" osoittaa selkeästi matematiikan ja fysiikan, biologian, taloustieteen ja tekniikan välisen yhteyden.

Modernin tieteen kehitystä ei voida ajatella ilman integraalin käyttöä. Tältä osin on tarpeen aloittaa sen opiskelu keskiasteen erikoiskoulutuksen puitteissa!

VI. Arvostelu.(Kommenttien kera.)

Suuri Omar Khayyam - matemaatikko, runoilija, filosofi. Hän kutsuu olemaan kohtalonsa herra. Kuuntele ote hänen teoksestaan:

Sanot, että tämä elämä on vain hetki.
Arvosta sitä, ammenna siitä inspiraatiota.
Mitä kulutat, niin se menee ohi.
Älä unohda: hän on luomuksesi.

Kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla:

Kaavassa tulee olla luku ennen integraalia. Se vain tapahtui - kaikki mikä elämässä pyörii, liittyy tähän vakioon.

Miten integroinnin "a" ja "be" rajat asetetaan, on mielestäni helppo arvata valmiista piirroksesta.

Toiminto... mikä tämä toiminto on? Katsotaanpa piirustusta. Tasaista kuvaa rajoittaa paraabelikuvaaja ylhäältä. Tämä on funktio, joka sisältyy kaavaan.

Käytännön tehtävissä litteä hahmo voi joskus sijaita akselin alapuolella. Tämä ei muuta mitään - kaavan funktio on neliö: , siis vallankumouskappaleen tilavuus on aina ei-negatiivinen, mikä on varsin loogista.

Laske pyörimiskappaleen tilavuus käyttämällä tätä kaavaa:

Kuten jo totesin, integraali osoittautuu melkein aina yksinkertaiseksi, tärkeintä on olla varovainen.

Vastaus:

Vastauksessa on ilmoitettava mitat - kuutioyksiköt. Eli pyörimisrungossamme on noin 3,35 "kuutiota". Miksi juuri kuutio yksiköitä? Koska yleisin muotoilu. Saattaa olla kuutiosenttiä, voi olla kuutiometriä, voi olla kuutiokilometriä jne., niin monta pientä vihreää miehiä mielikuvituksesi mahtuu lentävään lautaseen.

Esimerkki 2

Selvitä kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympärillä, jota rajoittavat viivat , ,

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Tarkastellaan kahta monimutkaisempaa ongelmaa, joita myös usein kohdataan käytännössä.

Esimerkki 3

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä kuvion abskissa-akselin ympäri, jota rajoittavat viivat , ja

Ratkaisu: Kuvataan piirustuksessa litteä kuvio, jota rajoittavat viivat , , , , unohtamatta, että yhtälö määrittelee akselin:

Haluttu hahmo on varjostettu sinisellä. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan sellainen surrealistinen donitsi, jossa on neljä kulmaa.

Kierroskappaleen tilavuus lasketaan kaavalla kehon tilavuuden ero.

Katsotaanpa ensin punaisella ympyröityä kuvaa. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämän katkaistun kartion tilavuus muodossa .

Harkitse kuviota, joka on ympyröity vihreällä. Jos käännät tätä lukua akselin ympäri, saat myös katkaistun kartion, vain hieman pienemmän. Merkitään sen tilavuus .

Ja ilmeisestikin tilavuusero on täsmälleen "donitsimme" tilavuus.

Käytämme vakiokaavaa kierroskappaleen tilavuuden selvittämiseen:

1) Punaisella ympyröityä kuvaa ylhäältä rajoittaa suora viiva, joten:

2) Vihreällä ympyröityä kuvaa ylhäältä rajoittaa suora viiva, joten:

3) Halutun kierrosluvun tilavuus:

Vastaus:

On uteliasta, että tässä tapauksessa ratkaisu voidaan tarkistaa käyttämällä koulukaavaa katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi.

Itse päätös tehdään usein lyhyemmäksi, vaikkapa näin:

Otetaan nyt tauko ja puhutaan geometrisista illuusioista.

Ihmisillä on usein volyymiin liittyviä illuusioita, jotka Perelman (ei sama) huomasi kirjassa Mielenkiintoinen geometria. Katso ratkaistun ongelman litteää kuvaa - sen pinta-ala näyttää olevan pieni ja kierrosluvun tilavuus on hieman yli 50 kuutioyksikköä, mikä näyttää liian suurelta. Muuten, keskivertoihminen juo koko elämänsä aikana nestettä, jonka tilavuus on 18 neliömetriä, mikä päinvastoin näyttää olevan liian pieni tilavuus.

Yleisesti ottaen koulutusjärjestelmä Neuvostoliitossa oli todella paras. Sama Perelmanin vuonna 1950 kirjoittama kirja kehittää erittäin hyvin, kuten humoristi sanoi, päättelyä ja opettaa etsimään alkuperäisiä epätyypillisiä ratkaisuja ongelmiin. Äskettäin luin uudelleen joitain lukuja suurella mielenkiinnolla, suosittelen sitä, se on myös humanitaaristen saatavilla. Ei, sinun ei tarvitse hymyillä, että ehdotin bespontovia ajanvietettä, eruditio ja laaja näkemys kommunikaatiosta on hieno asia.

Lyyrisen poikkeaman jälkeen on vain sopivaa ratkaista luova tehtävä:

Esimerkki 4

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri litteän kuvion rajaaman viivojen , , jossa .

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Huomaa, että bändissä tapahtuu kaikkea, toisin sanoen annetaan melkein valmiit integraatiorajat. Yritä myös piirtää oikein trigonometristen funktioiden kuvaajat, jos argumentti jaetaan kahdella: , niin kaavioita venytetään akselia pitkin kahdesti. Yritä löytää vähintään 3-4 pistettä trigonometristen taulukoiden mukaan ja tarkentaa piirustusta. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Muuten, tehtävä voidaan ratkaista järkevästi eikä kovin järkevästi.

Pyörimällä muodostuvan kappaleen tilavuuden laskeminen
litteä hahmo akselin ympäri

Toinen kappale on vielä mielenkiintoisempi kuin ensimmäinen. Myös y-akselin ympäri kiertävän kappaleen tilavuuden laskentatehtävä on testeissä melko yleinen vierailija. Ohessa huomioidaan ongelma hahmon alueen löytämisessä toinen tapa - integrointi akselia pitkin, tämän avulla voit paitsi parantaa taitojasi, myös opettaa sinua löytämään kannattavin ratkaisu. Sillä on myös käytännöllinen merkitys! Kuten matematiikan opetusmenetelmien opettajani hymyillen muisteli, monet valmistuneet kiittivät häntä sanoilla: "Aineenne auttoi meitä paljon, nyt olemme tehokkaita johtajia ja ohjaamme henkilökuntaamme optimaalisesti." Käytän tätä tilaisuutta hyväkseni, ilmaisen hänelle myös suuren kiitokseni, varsinkin kun käytän hankittua tietoa aiottuun tarkoitukseen =).

Esimerkki 5

Koska litteä kuvio, jota rajoittavat viivat , , .

1) Etsi näiden viivojen rajaama tasaisen hahmon pinta-ala.
2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää kuvaa akselin ympäri.

Huomio! Vaikka haluat lukea vain toisen kappaleen, ensin välttämättä lue ensimmäinen!

Ratkaisu: Tehtävä koostuu kahdesta osasta. Aloitetaan neliöstä.

1) Suoritetaan piirustus:

On helppo nähdä, että funktio määrittelee paraabelin ylemmän haaran ja funktio määrittelee paraabelin alahaaran. Edessämme on triviaali paraabeli, joka "makaa kyljellään".

Haluttu hahmo, jonka alue on löydettävä, on varjostettu sinisellä.

Kuinka löytää hahmon pinta-ala? Se löytyy "tavanomaisella" tavalla, jota käsiteltiin oppitunnilla. Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala. Lisäksi luvun pinta-ala löytyy alueiden summana:
- segmentillä ;
- segmentillä.

Niin:

Mitä vikaa tavallisessa ratkaisussa on tässä tapauksessa? Ensinnäkin on kaksi integraalia. Toiseksi juuret integraalien alla ja juuret integraaleissa eivät ole lahja, ja lisäksi voi hämmentyä integraation rajojen korvaamisessa. Itse asiassa integraalit eivät tietenkään ole tappavia, mutta käytännössä kaikki on paljon surullisempaa, otin vain "parempia" toimintoja tehtävään.

On olemassa järkevämpi ratkaisu: se koostuu siirtymisestä käänteisfunktioihin ja integroinnista akselin suuntaisesti.

Kuinka siirtyä käänteisfunktioihin? Karkeasti sanottuna sinun on ilmaistava "x" - "y". Ensin käsitellään paraabelia:

Tämä riittää, mutta varmistetaan, että sama funktio voidaan johtaa alahaaraan:

Suoralla viivalla kaikki on helpompaa:

Katso nyt akselia: kallista päätäsi ajoittain oikealle 90 astetta selittäessäsi (tämä ei ole vitsi!). Tarvittava luku sijaitsee segmentillä, joka on merkitty punaisella katkoviivalla. Lisäksi segmentillä suora sijaitsee paraabelin yläpuolella, mikä tarkoittaa, että hahmon pinta-ala tulisi löytää sinulle jo tutulla kaavalla: . Mikä kaavassa on muuttunut? Vain kirje, ei mitään muuta.

! Huomautus: Integroinnin rajat akselia pitkin tulee asettaa tiukasti alhaalta ylöspäin!

Alueen löytäminen:

Siksi segmentillä:

Kiinnitä huomiota siihen, kuinka tein integroinnin, tämä on järkevin tapa, ja tehtävän seuraavassa kappaleessa selviää miksi.

Lukijoille, jotka epäilevät integroinnin oikeellisuutta, löydän johdannaisia:

Alkuperäinen integrandi saadaan, mikä tarkoittaa, että integrointi suoritetaan oikein.

Vastaus:

2) Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu tämän kuvion pyörimisestä akselin ympäri.

Piirrän piirustuksen uudelleen hieman eri malliin:

Joten sinisellä varjostettu kuva pyörii akselin ympäri. Tuloksena on "leikuva perhonen", joka pyörii akselinsa ympäri.

Kierroskappaleen tilavuuden löytämiseksi integroimme akselia pitkin. Ensin meidän on siirryttävä käänteisfunktioihin. Tämä on jo tehty ja kuvattu yksityiskohtaisesti edellisessä kappaleessa.

Nyt kallistamme päämme jälleen oikealle ja tutkimme vartaloamme. Ilmeisesti kierroskappaleen tilavuus pitäisi löytää tilavuuksien erona.

Pyöritämme punaisella ympyröityä kuvaa akselin ympäri, jolloin saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämä tilavuus .

Pyöritämme vihreällä ympyröityä kuvaa akselin ympäri ja merkitsemme sitä tuloksena olevan kierroskappaleen tilavuuden läpi.

Perhosemme tilavuus on yhtä suuri kuin tilavuusero.

Käytämme kaavaa löytääksemme kierroskappaleen tilavuuden:

Miten se eroaa edellisen kappaleen kaavasta? Vain kirjaimin.

Ja tässä on integraation etu, josta puhuin jokin aika sitten, se on paljon helpompi löytää kuin nostaa integrandin alustavasti 4. potenssiin.

Vastaus:

Kuitenkin sairas perhonen.

Huomaa, että jos samaa litteää hahmoa kierretään akselin ympäri, syntyy täysin erilainen kierrosluku, jonka tilavuus on luonnollisesti erilainen.

Esimerkki 6

Annettu tasainen kuvio, jota rajoittavat viivat ja akseli.

1) Siirry käänteisfunktioihin ja etsi näiden viivojen rajaama litteän kuvion alue integroimalla muuttujan yli.
2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää hahmoa akselin ympäri.

Kuinka laskea kierroskappaleen tilavuus käyttämällä määrättyä integraalia?

Paitsi litteän hahmon alueen löytäminen määrätyn integraalin avulla teeman tärkein sovellus on kierroskappaleen tilavuuden laskeminen. Materiaali on yksinkertaista, mutta lukijan on oltava valmis: se on osattava ratkaista määrittelemättömät integraalit keskikokoinen ja käytä Newton-Leibnizin kaavaa selvä integraali . Kuten alueen löytämisen ongelmassa, tarvitset varmoja piirustustaitoja - tämä on melkein tärkein asia (koska integraalit ovat usein helppoja). Voit hallita osaavan ja nopean graafisen piirtämistekniikan metodologisen materiaalin avulla . Mutta itse asiassa olen toistuvasti puhunut piirustusten tärkeydestä oppitunnilla. .

Yleensä integraalilaskennassa on paljon mielenkiintoisia sovelluksia; käyttämällä tarkkaa integraalia voit laskea kuvion alueen, kierroskappaleen tilavuuden, kaaren pituuden, pinta-alan kehosta ja paljon muuta. Joten siitä tulee hauskaa, ole hyvä ja optimistinen!

Kuvittele jokin tasainen kuvio koordinaattitasolla. Edustettu? ... Ihmettelen kuka esitti mitä ... =))) Olemme jo löytäneet sen alueen. Mutta lisäksi tätä lukua voidaan myös kiertää ja kiertää kahdella tavalla:

– x-akselin ympärillä; - y-akselin ympäri.

Tässä artikkelissa käsitellään molempia tapauksia. Toinen kiertotapa on erityisen mielenkiintoinen, se aiheuttaa eniten hankaluuksia, mutta itse asiassa ratkaisu on lähes sama kuin yleisemmässä x-akselin ympäri kiertämässä. Bonuksena palaan asiaan hahmon alueen löytämisen ongelma , ja kertoa kuinka löytää alue toisella tavalla - akselia pitkin. Ei edes niinkään bonus, vaan materiaali sopii hyvin teemaan.

Aloitetaan suosituimmasta kiertotyypistä.

Esimerkki 1

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörittämällä viivoilla rajattua kuvaa akselin ympäri.

Ratkaisu: Kuten alueen löytämisen ongelmassa, ratkaisu alkaa litteän hahmon piirtämisestä. Eli tasolle on tarpeen rakentaa viivojen rajoittama kuva unohtamatta, että yhtälö asettaa akselin. Sivuilta löytyy kuinka tehdä piirustus järkevämmin ja nopeammin Perusfunktioiden kaaviot ja ominaisuudet ja Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala . Tämä on kiinalainen muistutus, enkä lopeta tähän kohtaan.

Piirustus tässä on melko yksinkertainen:

Haluttu litteä hahmo on varjostettu sinisellä, hän pyörii akselin ympäri. Pyörityksen tuloksena saadaan tämä hieman munamainen lentävä lautanen, joka on symmetrinen akselin suhteen. Itse asiassa keholla on matemaattinen nimi, mutta se on liian laiska katsomaan jotain viitekirjasta, joten siirrymme eteenpäin.

Kuinka laskea pyörimiskappaleen tilavuus?

Kierroskappaleen tilavuus voidaan laskea kaavalla:

Kaavassa tulee olla luku ennen integraalia. Se vain tapahtui - kaikki mikä elämässä pyörii, liittyy tähän vakioon.

Miten integroinnin "a" ja "be" rajat asetetaan, on mielestäni helppo arvata valmiista piirroksesta.

Toiminto... mikä tämä toiminto on? Katsotaanpa piirustusta. Litteä kuva on rajattu yläreunassa olevaan paraboliseen kuvaajaan. Tämä on funktio, joka sisältyy kaavaan.

Käytännön tehtävissä litteä hahmo voi joskus sijaita akselin alapuolella. Tämä ei muuta mitään - kaavan funktio on neliö:, eli vallankumouskappaleen tilavuus on aina ei-negatiivinen, mikä on varsin loogista.

Laske pyörimiskappaleen tilavuus käyttämällä tätä kaavaa:

Kuten jo totesin, integraali osoittautuu melkein aina yksinkertaiseksi, tärkeintä on olla varovainen.

Vastaus:

Esimerkki 2

Etsi linjojen rajaaman kuvion akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus,,

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Tarkastellaan kahta monimutkaisempaa ongelmaa, joita myös usein kohdataan käytännössä.

Esimerkki 3

Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä kuvion abskissa-akselin ympäri, jota rajoittavat viivat , ja

Ratkaisu: Kuvataan piirustuksessa litteä kuvio, jota rajoittavat viivat ,,,, unohtamatta, että yhtälö asettaa akselin:

Haluttu hahmo on varjostettu sinisellä. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan sellainen surrealistinen donitsi, jossa on neljä kulmaa.

Kierroskappaleen tilavuus lasketaan kaavalla kehon tilavuuden ero.

Katsotaanpa ensin punaisella ympyröityä kuvaa. Kun se pyörii akselin ympäri, saadaan katkaistu kartio. Merkitse tämän katkaistun kartion tilavuutta merkillä.

Harkitse kuviota, joka on ympyröity vihreällä. Jos käännät tätä lukua akselin ympäri, saat myös katkaistun kartion, vain hieman pienemmän. Merkitään sen tilavuus .

Ja ilmeisestikin tilavuusero on täsmälleen "donitsimme" tilavuus.

Käytämme vakiokaavaa kierroskappaleen tilavuuden selvittämiseen:

1) Punaisella ympyröityä kuvaa ylhäältä rajoittaa suora viiva, joten:

2) Vihreällä ympyröityä kuvaa ylhäältä rajoittaa suora viiva, joten:

3) Halutun kierrosluvun tilavuus:

Vastaus:

On uteliasta, että tässä tapauksessa ratkaisu voidaan tarkistaa käyttämällä koulukaavaa katkaistun kartion tilavuuden laskemiseksi.

Itse päätös tehdään usein lyhyemmäksi, vaikkapa näin:

Otetaan nyt tauko ja puhutaan geometrisista illuusioista.

Lyyrisen poikkeaman jälkeen on vain sopivaa ratkaista luova tehtävä:

Esimerkki 4

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu pyörimisestä akselin ympäri litteän kuvion rajaaman viivojen,, missä.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Huomaa, että bändissä tapahtuu kaikkea, toisin sanoen annetaan melkein valmiit integraatiorajat. Yritä myös piirtää oikein trigonometristen funktioiden kaaviot, jos argumentti jaetaan kahdella:, kaavioita venytetään akselia pitkin kahdesti. Yritä löytää vähintään 3-4 pistettä trigonometristen taulukoiden mukaan ja tarkentaa piirustusta. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Muuten, tehtävä voidaan ratkaista järkevästi eikä kovin järkevästi.

Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu litteän hahmon kiertymisestä akselin ympäri

Esimerkki 5

Annettu litteä kuvio, jota rajoittavat viivat ,,.

1) Etsi näiden viivojen rajaama tasaisen hahmon pinta-ala. 2) Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä näiden viivojen rajoittamaa litteää kuvaa akselin ympäri.

Huomio! Vaikka haluat lukea vain toisen kappaleen, ensin välttämättä lue ensimmäinen!

Ratkaisu: Tehtävä koostuu kahdesta osasta. Aloitetaan neliöstä.

1) Suoritetaan piirustus:

On helppo nähdä, että funktio määrittelee paraabelin ylemmän haaran ja funktio määrittelee paraabelin alahaaran. Edessämme on triviaali paraabeli, joka "makaa kyljellään".

Haluttu hahmo, jonka alue on löydettävä, on varjostettu sinisellä.

Kuinka löytää hahmon pinta-ala? Se löytyy "tavanomaisella" tavalla, jota käsiteltiin oppitunnilla. Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala . Lisäksi kuvion pinta-ala löytyy alueiden summana: - segmentillä ; - segmentillä.

Niin:

On olemassa järkevämpi ratkaisu: se koostuu siirtymisestä käänteisfunktioihin ja integroinnista akselin suuntaisesti.

Kuinka siirtyä käänteisfunktioihin? Karkeasti sanottuna sinun on ilmaistava "x" - "y". Ensin käsitellään paraabelia:

Tämä riittää, mutta varmistetaan, että sama funktio voidaan johtaa alahaaraan:

Suoralla viivalla kaikki on helpompaa:

Katso nyt akselia: kallista päätäsi ajoittain oikealle 90 astetta selittäessäsi (tämä ei ole vitsi!). Tarvittava luku sijaitsee segmentillä, joka on merkitty punaisella katkoviivalla. Samanaikaisesti segmentillä suora sijaitsee paraabelin yläpuolella, mikä tarkoittaa, että kuvan pinta-ala on löydettävä sinulle jo tutulla kaavalla: . Mikä kaavassa on muuttunut? Vain kirje, ei mitään muuta.

! Huomautus: Integroinnin rajat akselia pitkin tulee asettaatiukasti alhaalta ylöspäin !

Alueen löytäminen:

Siksi segmentillä:

Kiinnitä huomiota siihen, kuinka tein integroinnin, tämä on järkevin tapa, ja tehtävän seuraavassa kappaleessa selviää miksi.

Lukijoille, jotka epäilevät integroinnin oikeellisuutta, löydän johdannaisia:

Alkuperäinen integrandi saadaan, mikä tarkoittaa, että integrointi suoritetaan oikein.

Vastaus:

2) Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu tämän kuvion pyörimisestä akselin ympäri.

Piirrän piirustuksen uudelleen hieman eri malliin:

Joten sinisellä varjostettu kuva pyörii akselin ympäri. Tuloksena on "leikuva perhonen", joka pyörii akselinsa ympäri.

Nyt kallistamme päämme jälleen oikealle ja tutkimme vartaloamme. Ilmeisesti kierroskappaleen tilavuus pitäisi löytää tilavuuksien erona.

Pyöritämme punaisella ympyröityä kuvaa akselin ympäri, jolloin saadaan katkaistu kartio. Merkitään tämä tilavuus .

Pyöritämme vihreällä ympyröityä kuvaa akselin ympäri ja määritämme tuloksena olevan kiertokappaleen tilavuuden.

Perhosemme tilavuus on yhtä suuri kuin tilavuusero.

Käytämme kaavaa löytääksemme kierroskappaleen tilavuuden:

Miten se eroaa edellisen kappaleen kaavasta? Vain kirjaimin.

Ja tässä on integraation etu, josta puhuin jokin aika sitten, se on paljon helpompi löytää kuin nostaa integrandin alustavasti 4. potenssiin.

I. Vallankumouskappaleiden tilavuudet. Tutki alustavasti lukua XII, s. 197, 198, G. M. Fikhtengol'tsin oppikirjan mukaan* Analysoi yksityiskohtaisesti kohdassa 198 annettuja esimerkkejä.

508. Laske kappaleen tilavuus, joka muodostuu ellipsin kiertymisestä x-akselin ympäri.

Tällä tavalla,

530. Etsi pinta-ala, joka muodostuu sinimuodon y \u003d sin x kaaren akselin Ox ympäri kiertämisestä pisteestä X \u003d 0 pisteeseen X \u003d It.

531. Laske kartion pinta-ala korkeudella h ja säteellä r.

532. Laske pinta-ala, jonka muodostaa

astroidin kierto x3 -) - y* - a3 x-akselin ympäri.

533. Laske pinta-ala, joka muodostuu käyrän 18 y-x(6-x)r silmukan inversiosta x-akselin ympäri.

534. Etsi ympyrän X2 - j - (y-3)2 = 4 pyörimisestä x-akselin ympäri muodostuvan toruksen pinta.

535. Laske ympyrän pyörimisen muodostaman pinnan pinta-ala X = kustannus, y = asint Ox-akselin ympäri.

536. Laske pinta-ala, joka muodostuu käyrän x = 9t2, y = St - 9t3 silmukan kiertymisestä Ox-akselin ympäri.

537. Laske pinta-ala, joka muodostuu käyrän kaaren kiertymisestä x = e * sint, y = elkustannus Ox-akselin ympäri

t = 0 arvoon t = -.

538. Osoita, että sykloidin x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) kaaren pyörimisestä Oy akselin ympäri muodostuva pinta on yhtä suuri kuin 16 u2 o2.

539. Etsi pinta, joka saadaan kiertämällä kardioidia napa-akselin ympäri.

540. Etsi lemniskaatin pyörimisen muodostaman pinnan pinta-ala napa-akselin ympärillä.

Lisätehtävät luvulle IV

Tasohahmojen alueet

541. Etsi käyrän rajoittaman alueen koko alue Ja akseli Oh.

542. Etsi käyrän rajoittaman alueen pinta-ala

Ja akseli Oh.

543. Etsi se osa alueen pinta-alasta, joka sijaitsee ensimmäisessä kvadrantissa ja jota rajaa käyrä

l koordinaattiakselit.

544. Etsi sisällä olevan alueen pinta-ala

silmukat:

545. Etsi käyrän yhden silmukan rajoittaman alueen alue:

546. Etsi silmukan sisällä olevan alueen pinta-ala:

547. Etsi käyrän rajoittaman alueen pinta-ala

Ja akseli Oh.

548. Etsi käyrän rajoittaman alueen pinta-ala

Ja akseli Oh.

549. Etsi Oxr-akselin rajoittaman alueen alue

suora ja kaareva