Populaation normaalijakauman hypoteesin testaaminen Pearson-kriteerillä. Jakelujen sopivuuskriteerit

​Pearson-korrelaatiotesti on parametristen tilastotietojen menetelmä, jonka avulla voit määrittää kahden kvantitatiivisen indikaattorin välisen lineaarisen suhteen olemassaolon tai puuttumisen sekä arvioida sen läheisyyttä ja tilastollista merkitsevyyttä. Toisin sanoen Pearson-korrelaatiotestin avulla voit määrittää, onko kahden muuttujan arvojen muutosten välillä lineaarinen suhde. Tilastollisissa laskelmissa ja päätelmissä korrelaatiokerroin merkitään yleensä nimellä r xy tai Rxy.

1. Korrelaatiokriteerin kehityksen historia

Pearson-korrelaatiotestin on kehittänyt brittiläinen tutkijaryhmä, jota johti Karl Pearson(1857-1936) 1800-luvun 90-luvulla kahden satunnaismuuttujan kovarianssianalyysin yksinkertaistamiseksi. Karl Pearsonin lisäksi ihmiset työskentelivät myös Pearson-korrelaatiokriteerin parissa Francis Edgeworth Ja Raphael Weldon.

2. Mihin Pearson-korrelaatiotestiä käytetään?

Pearson-korrelaatiotestin avulla voit määrittää kahden kvantitatiivisella asteikolla mitatun indikaattorin välisen korrelaation läheisyyden (tai vahvuuden). Lisälaskelmien avulla voit myös määrittää, kuinka tilastollisesti merkittävä tunnistettu suhde on.

Esimerkiksi Pearson-korrelaatiokriteerin avulla voit vastata kysymykseen, onko kehon lämpötilan ja veren leukosyyttipitoisuuden välillä yhteyttä akuuttien hengitystieinfektioiden aikana, potilaan pituuden ja painon välillä, fluoridipitoisuuden välillä. juomaveden ja hammaskarieksen ilmaantuvuus väestössä.

3. Edellytykset ja rajoitukset Pearsonin khin neliötestin soveltamiselle

1. Vertailukelpoiset indikaattorit on mitattava määrällinen mittakaava(esimerkiksi syke, ruumiinlämpö, ​​valkosolujen määrä 1 ml:aa kohti, systolinen verenpaine).
2. Pearsonin korrelaatiotestin avulla voimme vain määrittää lineaarisen suhteen olemassaolo ja vahvuus määrien välillä. Muut suhteen ominaisuudet, mukaan lukien suunta (suora tai käänteinen), muutosten luonne (suoraviivainen tai kaareva) sekä yhden muuttujan riippuvuus toisesta, määritetään regressioanalyysillä.
3. Vertailumäärien lukumäärän on oltava kaksi. Jos analysoit kolmen tai useamman parametrin suhdetta, sinun tulee käyttää menetelmää tekijäanalyysi.
4. Pearsonin korrelaatiotesti on parametrinen, ja siksi sen käytön ehto on normaalijakauma verrattuja muuttujia. Jos on tarpeen suorittaa korrelaatioanalyysi indikaattoreista, joiden jakauma poikkeaa normaalista, mukaan lukien järjestysasteikolla mitatut, tulee käyttää Spearmanin rankkorrelaatiokerrointa.
5. Riippuvuuden ja korrelaation käsitteet tulee erottaa selvästi toisistaan. Suureiden riippuvuus määrää niiden välisen korrelaation olemassaolon, mutta ei päinvastoin.

Esimerkiksi lapsen pituus riippuu iästä, eli mitä vanhempi lapsi, sitä pidempi hän on. Jos otamme kaksi eri-ikäistä lasta, niin suurella todennäköisyydellä vanhemman lapsen kasvu on suurempi kuin nuoremman. Tätä ilmiötä kutsutaan riippuvuus, mikä tarkoittaa syy-seuraussuhdetta indikaattoreiden välillä. Tietenkin niiden välillä on myös korrelaatioyhteys, mikä tarkoittaa, että yhden indikaattorin muutoksiin liittyy muutoksia toisessa indikaattorissa.

Toisessa tilanteessa harkitse lapsen pituuden ja sykkeen (HR) välistä suhdetta. Kuten tiedetään, molemmat arvot riippuvat suoraan iästä, joten useimmissa tapauksissa korkeammilla (ja siten vanhemmilla) lapsilla on alhaisemmat sykearvot. Tuo on, korrelaatioyhteys havaitaan ja siellä voi olla melko paljon tungosta. Kuitenkin, jos otamme lapset mukaan samanikäinen, Mutta eri korkeuksia, niin todennäköisimmin heidän sykensä eroaa merkityksettömästi, ja siksi voimme päätellä, että itsenäisyys Syke korkeudesta.

Yllä oleva esimerkki osoittaa, kuinka tärkeää on erottaa tilaston peruskäsitteet toisistaan. viestintää Ja riippuvuuksia indikaattoreita oikeiden johtopäätösten tekemiseen.

4. Miten Pearsonin korrelaatiokerroin lasketaan?

Pearson-korrelaatiokerroin lasketaan seuraavalla kaavalla:

5. Kuinka tulkita Pearson-korrelaatiokertoimen arvo?

Pearson-korrelaatiokertoimen arvot tulkitaan niiden absoluuttisten arvojen perusteella. Korrelaatiokertoimen mahdolliset arvot vaihtelevat välillä 0 - ±1. Mitä suurempi on r xy:n itseisarvo, sitä läheisempi on näiden kahden suuren välinen suhde. r xy = 0 tarkoittaa täydellistä tiedonsiirron puutetta. r xy = 1 – ilmaisee absoluuttisen (toiminnallisen) yhteyden olemassaolon. Jos Pearson-korrelaatiokriteerin arvo osoittautuu suuremmiksi kuin 1 tai pienemmäksi kuin -1, laskelmissa on tehty virhe.

Korrelaation tiiviyden tai lujuuden arvioimiseen käytetään yleensä yleisesti hyväksyttyjä kriteerejä, joiden mukaan r xy:n absoluuttiset arvot< 0.3 свидетельствуют о heikko yhteys, r xy -arvot 0,3 - 0,7 - noin yhteydestä keskiverto tiiviys, r xy:n arvot > 0,7 - o vahva viestintää.

Tarkempi arvio korrelaation voimakkuudesta voidaan saada, jos käytät Chaddock-pöytä:

Arvosana tilastollinen merkitsevyys Korrelaatiokerroin r xy suoritetaan käyttämällä t-testiä, joka lasketaan seuraavalla kaavalla:

Saatua tr-arvoa verrataan kriittiseen arvoon tietyllä merkitsevyystasolla ja vapausasteiden lukumäärään n-2. Jos t r ylittää t crit:n, tehdään johtopäätös tunnistetun korrelaation tilastollisesta merkitsevyydestä.

6. Esimerkki Pearson-korrelaatiokertoimen laskemisesta

Tutkimuksen tarkoituksena oli tunnistaa, määrittää kahden kvantitatiivisen indikaattorin välisen korrelaation läheisyys ja tilastollinen merkitsevyys: veren testosteronitaso (X) ja kehon lihasmassan prosenttiosuus (Y). Taulukossa on yhteenveto 5 koehenkilön (n = 5) koostuvan otoksen lähtötiedot.

Joissakin tapauksissa tutkija ei tiedä etukäteen tarkalleen, minkä lain mukaan tutkittavan ominaisuuden havaitut arvot jakautuvat. Mutta hänellä voi olla varsin hyvät syyt olettaa, että jakauma on yhden tai toisen lain alainen, esimerkiksi normaali tai yhtenäinen. Tässä tapauksessa esitetään seuraavan tyyppiset tärkeimmät ja vaihtoehtoiset tilastolliset hypoteesit:

H 0: havaitun ominaisuuden jakauma on jakautumislain alainen A,

H 1: havaitun ominaisuuden jakauma eroaa A;

missä kuin A yksi tai toinen jakautumislaki voi esiintyä: normaali, yhtenäinen, eksponentiaalinen jne.

Odotettua jakautumislakia koskevan hypoteesin testaus suoritetaan ns. sopivuuskriteereillä. Sopimuksen kriteerit ovat useita. Yleisin niistä on Pearson-kriteeri, koska se soveltuu kaikentyyppiseen jakeluun.

-Pearson-kriteeri

Tyypillisesti empiiriset ja teoreettiset taajuudet vaihtelevat. Onko taajuusero satunnainen? Pearson-kriteeri tarjoaa vastauksen tähän kysymykseen, mutta kuten mikä tahansa tilastollinen kriteeri, se ei todista hypoteesin paikkansapitävyyttä tiukasti matemaattisessa mielessä, vaan ainoastaan ​​osoittaa sen yhteen- tai erimielisyyden havainnointitiedon kanssa tietyllä merkitystasolla.

Otetaan siis tilavuusnäytteestä tilastollinen attribuuttiarvojakauma, jossa ovat havaitut attribuuttiarvot ja vastaavat taajuudet:

Pearson-kriteerin ydin on kriteerin laskeminen seuraavan kaavan avulla:

missä on havaittujen arvojen numeroiden lukumäärä ja vastaavien arvojen teoreettiset taajuudet.

On selvää, että mitä pienemmät erot ovat, sitä lähempänä empiirinen jakauma on empiiristä, joten mitä pienempi kriteerin arvo on, sitä varmemmin voidaan väittää, että empiirinen ja teoreettinen jakauma ovat saman lain alaisia.

Pearsonin kriteerialgoritmi

Pearson-kriteerialgoritmi on yksinkertainen ja sisältää seuraavat vaiheet:

Joten ainoa ei-triviaali toimenpide tässä algoritmissa on teoreettisten taajuuksien määrittäminen. Ne tietysti riippuvat jakelulaista, ja siksi ne määritellään eri tavoin eri laeille.

Pearsonin testi

Pearsonin testi, tai χ 2 -testi- yleisimmin käytetty kriteeri jakautumislakia koskevan hypoteesin testaamiseen. Monissa käytännön ongelmissa tarkkaa jakautumislakia ei tunneta, eli kyseessä on tilastollista todentamista vaativa hypoteesi.

Merkitään X:llä tutkittava satunnaismuuttuja. Oletetaan, että haluamme testata hypoteesia H 0, että tämä satunnaismuuttuja noudattaa jakautumislakia F(x) . Hypoteesin testaamiseksi teemme otoksen, joka koostuu n riippumattomasta satunnaismuuttujan X havainnosta. Otoksen avulla voimme rakentaa empiirisen jakauman F * (x) tutkittavasta satunnaismuuttujasta. Empiirinen vertailu F * (x) ja teoreettiset jakaumat tehdään käyttämällä erityisesti valittua satunnaismuuttujaa - sopivuuskriteeriä. Yksi näistä kriteereistä on Pearson-kriteeri.

Kriteeritilastot

Kriteerin tarkistamiseksi syötetään tilastot:

Missä - arvioitu osumistodennäköisyys i-väli, - vastaava empiirinen arvo, n i- näyteelementtien lukumäärä i-th intervalli.

Tämä suure puolestaan ​​on satunnainen (johtuen X:n satunnaisuudesta) ja sen on noudatettava jakaumaa χ 2.

Kriteerisääntö

Ennen kuin muotoilet säännön hypoteesin hyväksymiselle tai hylkäämiselle, on se otettava huomioon Pearsonin kriteerissä on oikeanpuoleinen kriittinen alue.

Kirjallisuus

• Kendall M., Stewart A. Tilastolliset päätelmät ja yhteydet. - M.: Nauka, 1973.

Katso myös

• Pearson-kriteeri Novosibirskin valtionyliopiston verkkosivuilla
• Chi-neliötestit Novosibirskin valtion teknillisen yliopiston verkkosivuilla (standardointisuositukset R 50.1.033–2001)
• Intervallien lukumäärän valinnasta Novosibirskin valtion teknisen yliopiston verkkosivustolla
• Tietoja Nikulin-kriteeristä Novosibirskin valtion teknisen yliopiston verkkosivustolla

Wikimedia Foundation. 2010.

Katso, mikä "Pearson-kriteeri" on muissa sanakirjoissa:

Pearson-testi eli χ²-testi (Chi-neliö) on yleisimmin käytetty kriteeri jakautumalakia koskevan hypoteesin testaamiseen. Monissa käytännön ongelmissa tarkkaa jakelulakia ei tunneta, eli on hypoteesi, että ... ... Wikipedia

Tai Kolmogorov Smirnovin sopivuustesti on tilastollinen testi, jolla määritetään, noudattavatko kaksi empiiristä jakaumaa samaa lakia vai noudattaako tuloksena oleva jakauma oletettua mallia.... ... Wikipedia

- (maksimikriteeri) yksi päätöksenteon kriteereistä epävarmuuden olosuhteissa. Äärimmäisen pessimismin kriteeri. Historia Abraham Wald ehdotti Wald-kriteeriä vuonna 1955 samankokoisille näytteille ja laajennettiin sitten ... Wikipedia

Wallis-testi on suunniteltu testaamaan useiden näytteiden mediaanien yhtäläisyyttä. Tämä kriteeri on Wilcoxon-Mann-Whitney-testin moniulotteinen yleistys. Kruskal Wallis -kriteeri on sijoituskriteeri, joten se on muuttumaton minkä tahansa... ... Wikipedian suhteen

- (F-testi, φ*-testi, vähiten merkitsevien erojen testi) posteriori tilastollinen testi, jota käytetään vertaamaan kahden variaatiosarjan varianssia, eli määrittämään merkittäviä eroja ryhmien keskiarvojen välillä ... ... Wikipediassa

Cochran-testiä käytetään verrattaessa kolmea tai useampaa samankokoista näytettä. Varianssien välistä eroa pidetään satunnaisena valitulla merkitsevyystasolla, jos: missä on satunnaismuuttujan kvantiili summattujen... ... Wikipedia

George Washingtonin yliopiston tilastotieteen professorin Hubert Lillieforsin mukaan nimetty tilastotesti, joka on muunnos Kolmogorov–Smirnov-testistä. Käytetään testaamaan nollahypoteesia, että näyte... ... Wikipedia

Tämän artikkelin parantamiseksi on toivottavaa?: Etsi ja järjestä alaviitteiden muodossa linkkejä arvovaltaisiin lähteisiin, jotka vahvistavat kirjoitetun. Lisää kuvia. T Kreeta ... Wikipedia

Tilastoissa Kolmogorov-sovitustestiä (tunnetaan myös nimellä Kolmogorov-Smirnovin sopivuustesti) käytetään määrittämään, noudattavatko kaksi empiiristä jakaumaa samaa lakia, vai onko ... ... Wikipedia

riippumattomuuskriteeri- ehdollisuustaulukoissa testaa hypoteesia, että rivi- ja sarakemuuttujat ovat riippumattomia. Tällaisia ​​kriteerejä ovat riippumattomuuden chi-neliötesti (Pearson) ja Fisherin tarkka testi... Sosiologisen tilastotieteen sanakirja

Kirjat

• Kriteerit jakauman yhtenäisestä laista poikkeaman tarkistamiseksi. Käyttöopas: Monografia, Lemeshko B.Yu.. Kirja on tarkoitettu asiantuntijoille, jotka tavalla tai toisella kohtaavat toiminnassaan tilastollisen tiedon analysoinnin ongelmia koetulosten käsittelyn, sovellusten...

Tilastollinen testi

Sääntöä, jolla hypoteesi I 0 hylätään tai hyväksytään, kutsutaan tilastollinen kriteeri. Kriteerin nimessä on pääsääntöisesti kirjain, joka ilmaisee kriteerissä lasketun tilastollisen hypoteesin testausalgoritmin lausekkeesta 2 (ks. kohta 4.1) erityisesti kootun ominaisuuden. Tämän algoritmin olosuhteissa kriteeriä kutsutaan "V-kriteeri".

Tilastollisia hypoteeseja testattaessa kahden tyyppiset virheet ovat mahdollisia:

• - Tyypin I virhe(voit hylätä hypoteesin I 0, kun se on todella totta);
• - Tyypin II virhe(voit hyväksyä hypoteesin I 0, kun se ei itse asiassa pidä paikkaansa).

Todennäköisyys A ensimmäisen tyyppisen virheen tekemistä kutsutaan kriteerin merkitystaso.

Jos varten R merkitsee todennäköisyyttä tehdä toisen tyyppinen virhe, niin (l - R) - todennäköisyys jättää tekemättä toisen tyyppistä virhettä, jota kutsutaan kriteerin teho.

Pearsonin x 2 sopivuustesti

Tilastollisia hypoteeseja on useita:

• - jakelulakista;
• - näytteiden homogeenisuus;
• - jakeluparametrien numeroarvot jne.

Jakaumalakia koskevaa hypoteesia tarkastellaan Pearsonin x 2 -sovitustestin esimerkin avulla.

Sopimuskriteeri kutsutaan tilastolliseksi kriteeriksi tuntemattoman jakauman oletetun lain nollahypoteesin testaamiseksi.

Pearsonin sopivuustesti perustuu havaintojen empiiristen (havaittujen) ja teoreettisten frekvenssien vertailuun, jotka on laskettu tietyn jakautumislain oletuksen perusteella. Hypoteesi #0 on tässä muotoiltu seuraavasti: tutkittavan ominaisuuden mukaan populaatio on jakautunut normaalisti.

Tilastollisen hypoteesin testausalgoritmi #0 kriteerille x 1 Pearson:

• 1) esitämme hypoteesin I 0 - tutkittavan ominaisuuden mukaan yleinen populaatio jakautuu normaalisti;
• 2) laske näytteen keskiarvo ja näytteen keskihajonta O V;

3) käytettävissä olevan näytekoon mukaan P laskemme erityisesti kootun ominaisuuden,

missä: i, ovat empiirisiä taajuuksia, - teoreettiset taajuudet,

P - otoskoko,

h- intervallin koko (ero kahden vierekkäisen vaihtoehdon välillä),

Havaitun ominaisuuden normalisoidut arvot,

- pöytätoiminto. Myös teoreettiset taajuudet

voidaan laskea MS Excelin standardifunktiolla NORMIDIST kaavan avulla;

4) otosjakauman avulla määritetään erityisesti kootun ominaisuuden kriittinen arvo xl P

5) kun hypoteesi # 0 hylätään, kun hypoteesi # 0 hyväksytään.

Esimerkki. Mietitäänpä merkkiä X- testausindikaattoreiden arvo yhdessä vankeinhoitoyhdyskunnassa olevien vankien joidenkin psykologisten ominaisuuksien osalta, esitetty variaatiosarjan muodossa:

Testaa hypoteesia populaation normaalijakaumasta merkitsevyystasolla 0,05.

1. Empiirisen jakauman perusteella voidaan esittää hypoteesi H 0: tutkitun kriteerin "tietyn psykologisen ominaisuuden testausindikaattorin arvo" mukaan yleinen väestö

odotettu jaetaan normaalisti. Vaihtoehtoinen hypoteesi 1: tutkitun kriteerin ”testin indikaattorin arvo tietylle psykologiselle ominaisuudelle” mukaan vankien yleinen populaatio ei ole normaalisti jakautunut.

2. Lasketaan numeeriset otosominaisuudet:

Intervallit			x g y		X) sch

3. Lasketaan erityisesti käännetty ominaisuus j 2 . Tätä varten edellisen taulukon toiseksi viimeisestä sarakkeesta löydämme teoreettiset taajuudet kaavan avulla ja viimeisestä sarakkeesta

Lasketaan ominaisuudet % 2. Saamme x 2 = 0,185.

Selvyyden vuoksi rakennamme empiirisen jakauman polygonin ja normaalikäyrän teoreettisten taajuuksien perusteella (kuva 6).

Riisi. 6.

4. Määritä vapausasteiden lukumäärä s: k = 5, t = 2, s = 5-2-1 = 2.

Taulukon mukaan tai käyttämällä MS Excelin standardifunktiota “HI20BR” vapausasteiden lukumäärälle 5 = 2 ja merkitsevyystasolle a = 0,05 löydämme kriteerin kriittisen arvon xl P .=5,99. Merkitystasolle A= 0,01 kriittinen kriteeriarvo X %. = 9,2.

5. Havaittu kriteerin arvo X=0,185 vähemmän kuin kaikki löydetyt arvot Hk R.-> siksi hypoteesi I 0 hyväksytään molemmilla merkitsevyystasoilla. Empiiristen ja teoreettisten taajuuksien välinen ero on merkityksetön. Siksi havainnointitiedot ovat yhdenmukaisia ​​normaalin populaatiojakauman hypoteesin kanssa. Siten tutkitun kriteerin "tietyn psykologisen ominaisuuden testausindikaattorin arvo" mukaan vankien yleinen populaatio jakautuu normaalisti.

• 1. Koryachko A.V., Kulichenko A.G. Korkeampi matematiikka ja matemaattiset menetelmät psykologiassa: opas käytännön tunneille psykologian tiedekunnan opiskelijoille. Ryazan, 1994.
• 2. Nasledov A.D. Psykologisen tutkimuksen matemaattiset menetelmät. Aineiston analysointi ja tulkinta: Oppikirja, käsikirja. Pietari, 2008.
• 3. Sidorenko E.V. Matemaattisen käsittelyn menetelmät psykologiassa. Pietari, 2010.
• 4. Soshnikova L.A. Taloustieteen monimuuttujatilastoanalyysi: Oppikirja, käsikirja yliopistoille. M., 1999.
• 5. Sukhodolsky E.V. Matemaattiset menetelmät psykologiassa. Harkova, 2004.
• 6. Shmoilova R.A., Minashkin V.E., Sadovnikova N.A. Tilastoteorian työpaja: Oppikirja, käsikirja. M., 2009.

• Gmurman V.E. Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot. s. 465.

Pearsonin kriteeri satunnaismuuttujan jakautumislain muotoa koskevan hypoteesin testaamiseen. Hypoteesien testaus normaalista, eksponentiaalisesta ja tasaisesta jakaumasta Pearson-kriteerin avulla. Kolmogorov-kriteeri. Likimääräinen menetelmä jakauman normaaliuden tarkistamiseksi, joka liittyy vinous- ja kurtoosikertoimien arvioihin.

Edellisellä luennolla pohdittiin hypoteeseja, joissa populaation jakautumislaki oletettiin tunnetuksi. Nyt aletaan testata hypoteeseja oletetun tuntemattoman jakauman laista, eli testataan nollahypoteesia, että populaatio on jakautunut jonkin tunnetun lain mukaan. Tyypillisesti tilastollisia testejä tällaisten hypoteesien testaamiseksi kutsutaan sopivuustesteiksi.

Pearson-kriteerin etuna on sen universaalisuus: sillä voidaan testata hypoteeseja erilaisista jakautumislaeista.

1. Normaalijakauman hypoteesin testaus.

Saadaan riittävän suuri näyte P jolla on suuri määrä erilaisia ​​merkityksiä. Käsittelyn helpottamiseksi jaamme intervallin vaihtoehdon pienimmästä suurimpaan arvoon s yhtä suuret osat ja oletamme, että arvot vaihtelevat

kuhunkin väliin putoavat muurahaiset ovat suunnilleen yhtä suuria kuin välin keskikohdan määräävä luku. Laskemalla kuhunkin intervalliin osuvien vaihtoehtojen määrä, luomme niin sanotun ryhmitellyn näytteen:

vaihtoehtoja X 1 X 2 x s

taajuuksia P 1 P 2 n s ,

Missä x i- intervallien keskiarvot ja n i- mukana olevien vaihtoehtojen määrä i-intervalli (empiiriset taajuudet).

Saatuista tiedoista voit laskea otoksen keskiarvon ja näytteen keskihajonnan σ B. Tarkistetaan oletus, että populaatio jakautuu normaalin lain mukaan parametrein M(X) = , D(X) = . Sitten voit löytää numeroiden määrän otoskoosta P, jonka pitäisi olla kullakin intervallilla tämän oletuksen mukaan (eli teoreettisilla taajuuksilla). Tätä varten löydämme Laplace-funktion arvotaulukon avulla todennäköisyyden päästä sisään i th intervalli:

,

Missä ja minä Ja b i- rajoja i-th intervalli. Kertomalla saadut todennäköisyydet otoskoolla n saadaan teoreettiset taajuudet: p i = n?p i. Tavoitteenamme on verrata empiirisiä ja teoreettisia taajuuksia, jotka tietysti eroavat toisistaan, ja selvittää, ovatko nämä erot merkityksettömiä, eivätkö kumoa hypoteesia tutkittavan satunnaismuuttujan normaalijakaumasta vai ovatko ne niin suuria, että ne ovat ristiriidassa tämän hypoteesin kanssa. Tätä tarkoitusta varten käytetään satunnaismuuttujan muodossa olevaa kriteeriä

. (20.1)

Sen merkitys on ilmeinen: osat, jotka empiiristen taajuuksien poikkeamien neliöt teoreettisista muodostavat vastaavista teoreettisista taajuuksista, lasketaan yhteen. Voidaan todistaa, että riippumatta yleisen populaation todellisesta jakautumislaista, satunnaismuuttujan (20.1) jakautumislaki pyrkii jakautumalakiin (ks. luento 12) vapausasteiden lukumäärällä. k = s - 1 - r, Missä r- näytetiedoista arvioitu odotetun jakauman parametrien lukumäärä. Normaalijakaumaa luonnehtii siksi kaksi parametria k = s - 3. Valitulle kriteerille muodostetaan oikeanpuoleinen kriittinen alue, joka määräytyy ehdon mukaan

(20.2)

Missä α - merkitsevyystaso. Näin ollen kriittisen alueen antaa epätasa-arvo ja hypoteesin hyväksymisalue on .

Joten testataksesi nollahypoteesia N 0: populaatio on jakautunut normaalisti - sinun on laskettava kriteerin havaittu arvo otoksesta:

, (20.1`)

ja käyttämällä jakauman χ 2 kriittisten pisteiden taulukkoa, etsi kriittinen piste käyttämällä tunnettuja arvoja α ja k = s - 3. Jos - nollahypoteesi hyväksytään, jos se hylätään.

2. Tasaisen jakautumisen hypoteesin testaus.

Pearson-kriteerin avulla testataan hypoteesia populaation tasaisesta jakautumisesta arvioidulla todennäköisyystiheydellä

Laskettuaan arvo käytettävissä olevasta otoksesta on välttämätöntä arvioida parametrit A Ja b kaavojen mukaan:

Missä A* Ja b*- arvioinnit A Ja b. Todellakin tasaisen jakelun vuoksi M(X) = , , josta saat järjestelmän määrittämiseen A* Ja b*: , jonka ratkaisu on lausekkeet (20.3).

Siis olettaen että , voit löytää teoreettiset taajuudet käyttämällä kaavoja

Tässä s- niiden välien lukumäärä, joihin näyte jaetaan.

Pearson-kriteerin havaittu arvo lasketaan kaavalla (20,1`) ja kriittinen arvo lasketaan taulukon avulla ottaen huomioon, että vapausasteiden lukumäärä k = s - 3. Tämän jälkeen määritetään kriittisen alueen rajat samalla tavalla kuin normaalijakauman hypoteesin testaamiseksi.

3. Eksponentiaalista jakaumaa koskevan hypoteesin testaus.

Tässä tapauksessa, kun olemassa oleva otos on jaettu samanpituisiin aikaväleihin, harkitsemme vaihtoehtojen sarjaa tasavälein toisistaan ​​(oletamme, että kaikki vaihtoehdot, jotka kuuluvat i th intervalli, ota arvo, joka vastaa sen keskikohtaa) ja niitä vastaavat taajuudet n i(sisältyy näytevaihtoehtojen määrä i-th intervalli). Lasketaan näistä tiedoista ja otetaan parametrin estimaatiksi λ koko. Sitten teoreettiset taajuudet lasketaan kaavalla

Sitten Pearson-kriteerin havaittua ja kriittistä arvoa verrataan ottaen huomioon, että vapausasteiden lukumäärä k = s - 2.