Taulukko vakiojohdannaisista. Mikä on johdannainen

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, jotka tarvitaan matematiikan yhtenäisen valtionkokeen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki Profile Unified State -kokeen matematiikan tehtävät 1-13. Soveltuu myös matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon suorittamiseen. Jos haluat läpäistä yhtenäisen valtionkokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi yhtenäiseen valtionkokeeseen luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan yhtenäisen valtionkokeen osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä 100 pisteen opiskelija eikä humanistinen opiskelija pärjää ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Unified State Exam -kokeen nopeat ratkaisut, sudenkuopat ja salaisuudet. Kaikki FIPI Task Bankin osan 1 nykyiset tehtävät on analysoitu. Kurssi täyttää täysin Unified State Exam 2018 -vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja yhtenäisiä valtionkoetehtäviä. Sanatehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat algoritmit ongelmien ratkaisemiseen. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten yhtenäisten valtiontutkintotehtävien analyysi. Stereometria. Hankalia ratkaisuja, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilallisen mielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Selkeät selitykset monimutkaisille käsitteille. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Perusta yhtenäisen valtionkokeen osan 2 monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Tällä oppitunnilla opimme soveltamaan kaavoja ja erottelusääntöjä.

Esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatat.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Säännön soveltaminen minä, kaavat 4, 2 ja 1. Saamme:

y’ = 7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y = 3x6 -2x+5. Ratkaisemme samalla tavalla käyttämällä samoja kaavoja ja kaavaa 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

Säännön soveltaminen minä, kaavat 3, 5 Ja 6 Ja 1.

Säännön soveltaminen IV, kaavat 5 Ja 1 .

Viidennessä esimerkissä säännön mukaan minä summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, ja löysimme juuri ensimmäisen termin derivaatan (esimerkki 4 ), siksi löydämme johdannaisia 2 Ja 3 ehdot ja 1:lle summad voimme heti kirjoittaa tuloksen.

Erotetaan 2 Ja 3 termejä kaavan mukaan 4 . Tätä varten muunnamme kolmannen ja neljännen potenssin juuret nimittäjissä negatiivisilla eksponenteilla varustetuiksi potenssiiksi ja sitten 4 kaava, löydämme potenssien johdannaisia.

Katso tämä esimerkki ja tulos. Saitko kuvion kiinni? Hieno. Tämä tarkoittaa, että meillä on uusi kaava ja voimme lisätä sen johdannaistaulukkoomme.

Ratkaistaan ​​kuudes esimerkki ja johdetaan toinen kaava.

Käytetään sääntöä IV ja kaava 4 . Pienennetään saatuja murtolukuja.

Katsotaanpa tätä funktiota ja sen johdannaista. Tietenkin ymmärrät kuvion ja olet valmis nimeämään kaavan:

Opi uusia kaavoja!

Esimerkkejä.

1. Laske argumentin inkrementti ja funktion y= inkrementti x 2, jos argumentin alkuarvo oli yhtä suuri kuin 4 ja uusi - 4,01 .

Ratkaisu.

Uusi argumentin arvo x=x 0 +Δx. Korvataan data: 4.01=4+Δх, joten argumentin lisäys Δх=4,01-4 = 0,01. Funktion inkrementti on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin funktion uusien ja aiempien arvojen erotus, ts. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Koska meillä on toiminto y=x2, Tuo Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastaus: argumentin lisäys Δх=0,01; funktion lisäys Δу=0,0801.

Toiminnon lisäys voidaan löytää eri tavalla: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Etsi funktion kuvaajan tangentin kaltevuuskulma y=f(x) pisteessä x 0, Jos f "(x 0) = 1.

Ratkaisu.

Johdannan arvo tangenttipisteessä x 0 ja on tangenttikulman tangentin arvo (derivaatan geometrinen merkitys). Meillä on: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, koska tg45° = 1.

Vastaus: tämän funktion kaavion tangentti muodostaa kulman Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa 45°.

3. Johda funktion derivaatan kaava y=x n.

Erilaistuminen on funktion derivaatan löytäminen.

Käytä derivaattoja etsiessäsi kaavoja, jotka on johdettu derivaatan määritelmän perusteella, samalla tavalla kuin johdimme derivaatan asteen kaavan: (x n)" = nx n-1.

Nämä ovat kaavat.

Johdannaisten taulukko Se on helpompi muistaa lausumalla sanalliset sanamuodot:

1. Vakiosuureen derivaatta on nolla.

2. X alkuluku on yhtä suuri kuin yksi.

3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä.

4. Asteen derivaatta on yhtä suuri kuin tämän asteen eksponentin tulo asteella, jolla on sama kanta, mutta eksponentti on yksi vähemmän.

5. Juuren derivaatta on yhtä kuin yksi jaettuna kahdella yhtä suurella juurella.

6. Yhden jaettuna x:llä derivaatta on yhtä kuin miinus yksi jaettuna x:llä neliöitynä.

7. Sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini.

8. Kosinin derivaatta on yhtä suuri kuin miinussini.

9. Tangentin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kosinin neliöllä.

10. Kotangentin derivaatta on yhtä kuin miinus yksi jaettuna sinin neliöllä.

Me opetamme eriyttämissäännöt.

1. Algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin termien derivaattojen algebrallinen summa.

2. Tuotteen derivaatta on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän ja toisen derivaatan tulo plus ensimmäisen tekijän ja toisen derivaatan tulo.

3. "Y":n derivaatta jaettuna "ve":llä on yhtä suuri kuin murtoluku, jossa osoittaja on "y alkuluku kerrottuna "ve" miinus "y kerrottuna ve:llä" ja nimittäjä on "ve neliö".

4. Kaavan erikoistapaus 3.

Opitaan yhdessä!

Sivu 1/1 1

Johdannan laskenta löytyy usein Unified State Examination -tehtävistä. Tämä sivu sisältää luettelon kaavoista johdannaisten löytämiseksi.

Erottamisen säännöt

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Monimutkaisen funktion johdannainen. Jos y=F(u) ja u=u(x), niin funktiota y=f(x)=F(u(x)) kutsutaan x:n kompleksifunktioksi. Yhtä kuin y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Implisiittisen funktion johdannainen. Funktiota y=f(x) kutsutaan implisiittiseksi funktioksi, joka määritellään suhteella F(x,y)=0, jos F(x,f(x))≡0.
6. Käänteisfunktion derivaatta. Jos g(f(x))=x, niin funktiota g(x) kutsutaan funktion y=f(x) käänteisfunktioksi.
7. Johdannainen parametrisesti määritellystä funktiosta. Määritellään x ja y muuttujan t funktioina: x=x(t), y=y(t). He sanovat, että y=y(x) on parametrisesti määritelty funktio välillä x∈ (a;b), jos tällä välillä yhtälö x=x(t) voidaan ilmaista muodossa t=t(x) ja funktio y=y(t(x))=y(x).
8. Potenttieksponentiaalifunktion johdannainen. Löytyy ottamalla logaritmit luonnollisen logaritmin kantaan.

Mikä on johdannainen?

Johdannaisten taulukko.

Johdannainen on yksi korkeamman matematiikan pääkäsitteistä. Tällä oppitunnilla esittelemme tämän käsitteen. Tutustutaan toisiimme ilman tiukkoja matemaattisia formulaatioita ja todisteita.

Tämä tuttavuus antaa sinulle mahdollisuuden:

Ymmärtää yksinkertaisten tehtävien olemuksen johdannaisilla;

Ratkaise nämä yksinkertaisimmat tehtävät onnistuneesti;

Valmistaudu vakavampiin oppitunteihin johdannaisista.

Ensinnäkin - miellyttävä yllätys.)

Derivaatan tiukka määritelmä perustuu rajojen teoriaan ja asia on melko monimutkainen. Tämä on järkyttävää. Mutta johdannaisten käytännön soveltaminen ei yleensä vaadi niin laajaa ja syvää tietoa!

Useimpien tehtävien onnistuneeseen suorittamiseen koulussa ja yliopistossa riittää tieto vain muutama termi- ymmärtää tehtävän ja vain muutama sääntö- ratkaista se. Siinä kaikki. Tämä tekee minut onnelliseksi.

Aloitetaanko tutustuminen?)

Termit ja nimitykset.

Alkeismatematiikassa on monia erilaisia ​​matemaattisia operaatioita. Yhteen-, vähennys-, kerto-, eksponentio-, logaritmi- jne. Jos lisäät vielä yhden operaation näihin operaatioihin, alkeismatematiikka tulee korkeammaksi. Tämä uusi operaatio on ns erilaistuminen. Tämän toiminnon määritelmää ja merkitystä käsitellään erillisillä oppitunneilla.

Tässä on tärkeää ymmärtää, että differentiaatio on yksinkertaisesti matemaattinen operaatio toiminto. Otamme minkä tahansa funktion ja muutamme sen tiettyjen sääntöjen mukaan. Tuloksena on uusi toiminto. Tätä uutta toimintoa kutsutaan: johdannainen.

Erilaistuminen- toiminta funktioon.

Johdannainen- tämän toiminnan tulos.

Aivan kuten esim. summa- lisäyksen tulos. Tai yksityinen- jaon tulos.

Kun tiedät termit, voit ainakin ymmärtää tehtävät.) Sanoitukset ovat seuraavat: löytää funktion derivaatta; ota johdannainen; erottaa toiminnon; laske johdannainen ja niin edelleen. Tässä kaikki sama. Tietysti on myös monimutkaisempia tehtäviä, joissa derivaatan löytäminen (differentiointi) on vain yksi vaihe ongelman ratkaisemisessa.

Johdannainen on merkitty viivalla funktion oikeassa yläkulmassa. Kuten tämä: y" tai f"(x) tai S"(t) ja niin edelleen.

Lukeminen igrek aivohalvaus, ef aivohalvaus x:stä, es veto te:stä, no ymmärräthän...)

Alkuluku voi myös osoittaa tietyn funktion derivaatan, esimerkiksi: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" jne. Usein derivaatat merkitään differentiaaleilla, mutta emme käsittele tällaista merkintää tällä oppitunnilla.

Oletetaan, että olemme oppineet ymmärtämään tehtävät. Jäljelle jää vain opetella ratkaisemaan ne.) Muistutan vielä kerran: johdannaisen löytäminen on funktion muunnos tiettyjen sääntöjen mukaan. Yllättäen näitä sääntöjä on hyvin vähän.

Löytääksesi funktion derivaatan, sinun on tiedettävä vain kolme asiaa. Kolme pilaria, joilla kaikki erilaistuminen seisoo. Tässä ne ovat nämä kolme pilaria:

1. Johdannaisten taulukko (differentiointikaavat).

3. Monimutkaisen funktion derivaatta.

Aloitetaan järjestyksessä. Tällä oppitunnilla tarkastellaan johdannaisten taulukkoa.

Johdannaisten taulukko.

Maailmassa on ääretön määrä toimintoja. Tämän sarjan joukossa on toimintoja, jotka ovat tärkeimpiä käytännön käytössä. Nämä toiminnot löytyvät kaikista luonnonlaeista. Näistä funktioista, kuten tiilistä, voit rakentaa kaikki muut. Tätä funktioluokkaa kutsutaan perustoiminnot. Juuri näitä toimintoja tutkitaan koulussa - lineaarinen, neliö, hyperbola jne.

Toimintojen eriyttäminen "tyhjästä", ts. Derivaatan määritelmän ja rajojen teorian perusteella tämä on melko työvoimavaltainen asia. Ja matemaatikotkin ovat ihmisiä, kyllä, kyllä!) Joten he yksinkertaistivat elämäänsä (ja meitä). He laskivat ennen meitä alkeisfunktioiden derivaatat. Tuloksena on johdannaistaulukko, jossa kaikki on valmiina.)

Tässä se on, tämä levy suosituimpiin toimintoihin. Vasemmalla on alkeisfunktio, oikealla sen derivaatta.

	Toiminto y	Toiminnon y johdannainen y"
1	C (vakioarvo)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - mikä tahansa luku)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	synti x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	Hirsi a x
	ln x ( a = e)

Suosittelen kiinnittämään huomiota tämän johdannaistaulukon kolmanteen funktioryhmään. Potenssifunktion derivaatta on yksi yleisimmistä kaavoista, ellei yleisin! Saatko vihjeen?) Kyllä, on suositeltavaa tietää johdannaistaulukko ulkoa. Muuten, tämä ei ole niin vaikeaa kuin miltä se saattaa näyttää. Yritä ratkaista lisää esimerkkejä, itse taulukko muistetaan!)

Kuten ymmärrät, derivaatan taulukon arvon löytäminen ei ole vaikein tehtävä. Siksi tällaisissa tehtävissä on usein lisäsiruja. Joko tehtävän sanamuodossa tai alkuperäisessä funktiossa, jota ei näytä olevan taulukossa...

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä:

1. Etsi funktion y = x derivaatta 3

Taulukossa ei ole tällaista toimintoa. Mutta tehofunktiosta on johdannainen yleisessä muodossa (kolmas ryhmä). Meidän tapauksessamme n=3. Joten korvaamme kolmella n:n sijaan ja kirjoitamme tulos huolellisesti:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Se siitä.

Vastaus: y" = 3x 2

2. Etsi funktion y = sinx derivaatan arvo pisteestä x = 0.

Tämä tehtävä tarkoittaa, että sinun on ensin löydettävä sinin derivaatta ja korvattava sitten arvo x = 0 juuri tähän johdannaiseen. Juuri tuossa järjestyksessä! Muuten tapahtuu niin, että ne korvaavat välittömästi nollan alkuperäiseen funktioon... Meitä pyydetään etsimään ei alkuperäisen funktion arvoa, vaan arvoa sen johdannainen. Muistutan teitä, derivaatta on uusi funktio.

Tablettia käyttämällä löydämme sinin ja sitä vastaavan derivaatan:

y" = (sin x)" = cosx

Korvaamme derivaatan nollan:

y"(0) = cos 0 = 1

Tämä on vastaus.

3. Erottele toiminto:

Mitä, inspiroiko se?) Johdannaisten taulukossa ei ole tällaista funktiota.

Haluan muistuttaa, että funktion erottaminen on yksinkertaisesti tämän funktion derivaatan löytämistä. Jos unohdat alkeellisen trigonometrian, funktiomme derivaatan etsiminen on melko hankalaa. Taulukko ei auta...

Mutta jos näemme, että tehtävämme on kaksinkertainen kulman kosini, sitten kaikki paranee heti!

Kyllä kyllä! Muista, että alkuperäisen funktion muuttaminen ennen eroamista ihan hyväksyttävää! Ja se sattuu helpottamaan elämää paljon. Käyttämällä kaksoiskulmakosinikaavaa:

Nuo. hankala tehtävämme ei ole muuta kuin y = cosx. Ja tämä on taulukkotoiminto. Saamme heti:

Vastaus: y" = - sin x.

Esimerkki edistyneille valmistuneille ja opiskelijoille:

4. Etsi funktion derivaatta:

Johdannaisessa taulukossa ei tietenkään ole tällaista funktiota. Mutta jos muistat alkeismatematiikan, operaatiot potenssien kanssa... Silloin on täysin mahdollista yksinkertaistaa tätä funktiota. Kuten tämä:

Ja x kymmenesosan potenssilla on jo taulukkofunktio! Kolmas ryhmä, n = 1/10. Kirjoitamme suoraan kaavan mukaan:

Siinä kaikki. Tämä on vastaus.

Toivon, että kaikki on selvää ensimmäisen erottamispilarin - johdannaistaulukon - suhteen. Jäljelle jää kahden jäljellä olevan valaan käsittely. SISÄÄN seuraava oppitunti Opitaanpa erottelusäännöt.