របៀបស្វែងរកឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដោយគ្មាន s ។ សមីការ quadratic - ឧទាហរណ៍ជាមួយដំណោះស្រាយ លក្ខណៈពិសេស និងរូបមន្ត


យើងបន្តសិក្សាលើប្រធានបទ " ការដោះស្រាយសមីការ" យើងបានស្គាល់សមីការលីនេអ៊ែររួចហើយ ហើយកំពុងបន្តទៅស្គាល់ សមីការ​ការ៉េ.

ជាដំបូង យើងនឹងពិនិត្យមើលថាតើសមីការបួនជ្រុងជាអ្វី របៀបដែលវាត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ទូទៅ និងផ្តល់និយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ។ បន្ទាប់ពីនេះ យើងនឹងប្រើឧទាហរណ៍ដើម្បីពិនិត្យមើលលម្អិតអំពីរបៀបដែលសមីការការ៉េមិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ។ បន្ទាប់មក យើងនឹងបន្តទៅការដោះស្រាយសមីការពេញលេញ ទទួលបានរូបមន្តឫសគល់ ស្គាល់អ្នករើសអើងនៃសមីការការ៉េ និងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ធម្មតា។ ជាចុងក្រោយ ចូរយើងតាមដានទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ។

ការរុករកទំព័រ។

តើសមីការការ៉េជាអ្វី? ប្រភេទរបស់ពួកគេ។

ដំបូង​អ្នក​ត្រូវ​យល់​ច្បាស់​ថា​អ្វី​ជា​សមីការ​បួន​ជ្រុង។ ដូច្នេះ វាសមហេតុផលក្នុងការចាប់ផ្តើមការសន្ទនាអំពីសមីការការ៉េជាមួយនឹងនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ ក៏ដូចជានិយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ។ បន្ទាប់ពីនេះ អ្នកអាចពិចារណាអំពីប្រភេទសំខាន់ៗនៃសមីការការ៉េ៖ កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ ក៏ដូចជាសមីការពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ

និយមន័យ។

សមីការ​ការ៉េគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + b x + c = 0ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន ហើយ a គឺមិនមែនសូន្យ។

ចូរនិយាយភ្លាមៗថា សមីការ quadratic ត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាសមីការ quadratic គឺ សមីការពិជគណិតសញ្ញាបត្រទីពីរ។

និយមន័យដែលបានបញ្ជាក់អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ។ ដូច្នេះ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ។ល។ ទាំងនេះគឺជាសមីការការ៉េ។

និយមន័យ។

លេខ a, b និង c ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណនៃសមីការការ៉េ a·x 2 +b·x+c=0 ហើយមេគុណ a ត្រូវបានគេហៅថាទីមួយ ឬខ្ពស់បំផុត ឬមេគុណ x 2 b គឺជាមេគុណទីពីរ ឬមេគុណ x ហើយ c គឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ .

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េនៃទម្រង់ 5 x 2 −2 x −3=0 នៅទីនេះ មេគុណនាំមុខគឺ 5 មេគុណទីពីរគឺស្មើនឹង −2 ហើយពាក្យទំនេរគឺស្មើនឹង −3 ។ សូមចំណាំថានៅពេលដែលមេគុណ b និង/ឬ c គឺអវិជ្ជមាន ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទើបតែបានផ្ដល់ឱ្យ ទម្រង់ខ្លីនៃសមីការការ៉េគឺ 5 x 2 −2 x−3=0 ជាជាង 5 x 2 +(−2) · x+(−3)=0 ។

គួរកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលមេគុណ a និង/ឬ b ស្មើនឹង 1 ឬ −1 ពួកវាជាធម្មតាមិនមានវត្តមានយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងសមីការការ៉េ ដែលបណ្តាលមកពីភាពពិសេសនៃការសរសេរបែបនេះ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសមីការការ៉េ y 2 −y + 3=0 មេគុណនាំមុខគឺមួយ ហើយមេគុណនៃ y គឺស្មើនឹង −1 ។

សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ

អាស្រ័យលើតម្លៃនៃមេគុណនាំមុខ សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយត្រូវបានសម្គាល់។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា។

និយមន័យ។

សមីការ quadratic ដែលមេគុណនាំមុខគឺ 1 ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​. បើមិនដូច្នោះទេសមីការការ៉េគឺ មិនបានប៉ះ.

យោងតាមនិយមន័យនេះ សមីការការ៉េ x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 ។ល។ - បានផ្តល់ឱ្យ ក្នុងពួកវានីមួយៗ មេគុណទីមួយគឺស្មើនឹងមួយ។ A 5 x 2 −x −1 = 0 ។ល។ - សមីការ​ការ៉េ​ដែល​មិន​បាន​កាត់​បន្ថយ មេគុណ​ឈាន​មុខ​គេ​គឺ​ខុស​ពី 1 ។

ពីសមីការ quadratic ដែលមិនកាត់បន្ថយណាមួយ ដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយមេគុណនាំមុខ អ្នកអាចទៅកាត់បន្ថយមួយ។ សកម្មភាពនេះគឺជាការបំប្លែងសមមូល ពោលគឺសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយដែលទទួលបានតាមវិធីនេះមានឫសដូចគ្នាទៅនឹងសមីការការ៉េដែលមិនកាត់បន្ថយដើម ឬដូចជាវាមិនមានឫសគល់។

ចូរយើងក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយអំពីរបៀបដែលការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ quadratic ដែលមិនកាត់បន្ថយទៅជាកាត់បន្ថយត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍។

ពីសមីការ 3 x 2 +12 x−7=0 ទៅកាន់សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយដែលត្រូវគ្នា។

ដំណោះស្រាយ។

យើងគ្រាន់តែត្រូវបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយមេគុណនាំមុខ 3 វាមិនមែនជាសូន្យ ដូច្នេះយើងអាចអនុវត្តសកម្មភាពនេះបាន។ យើងមាន (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ដែលដូចគ្នា (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ហើយបន្ទាប់មក (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 ពីណា។ នេះ​ជា​របៀប​ដែល​យើង​ទទួល​បាន​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ ដែល​ស្មើ​នឹង​លេខ​ដើម។

ចម្លើយ៖

សមីការ​ក្រឡា​ចត្រង្គ​ពេញលេញ និង​មិន​ពេញលេញ

និយមន័យនៃសមីការការ៉េមានលក្ខខណ្ឌ a≠0។ លក្ខខណ្ឌនេះគឺចាំបាច់ដើម្បីឱ្យសមីការ a x 2 + b x + c = 0 គឺ quadratic ចាប់តាំងពីពេលដែល a = 0 វាពិតជាក្លាយជាសមីការលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ b x + c = 0 ។

ចំពោះមេគុណ b និង c ពួកគេអាចស្មើនឹងសូន្យ ទាំងបុគ្គល និងរួមគ្នា។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។

និយមន័យ។

សមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 ត្រូវបានហៅ មិនពេញលេញប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ b, c គឺស្មើនឹងសូន្យ។

នៅក្នុងវេនរបស់វា។

និយមន័យ។

បញ្ចប់សមីការការ៉េគឺជាសមីការដែលមេគុណទាំងអស់ខុសពីសូន្យ។

ឈ្មោះបែបនេះមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយចៃដន្យទេ។ វានឹងក្លាយជាច្បាស់ពីការពិភាក្សាខាងក្រោម។

ប្រសិនបើមេគុណ b ជាសូន្យ នោះសមីការការ៉េយកទម្រង់ ax 2 +0·x+c=0 ហើយវាស្មើនឹងសមីការ a·x 2 +c=0 ។ ប្រសិនបើ c=0 នោះគឺសមីការការ៉េមានទម្រង់ ax 2 +b·x+0=0 នោះវាអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា·x 2 +b·x=0 ។ ហើយជាមួយ b=0 និង c=0 យើងទទួលបានសមីការការ៉េ ax 2 = 0 ។ សមីការលទ្ធផលខុសពីសមីការការ៉េពេញលេញ ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់ពួកគេមិនមានទាំងពាក្យដែលមានអថេរ x ឬពាក្យឥតគិតថ្លៃ ឬទាំងពីរ។ ដូច្នេះឈ្មោះរបស់ពួកគេ - សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ដូច្នេះសមីការ x 2 +x+1=0 និង −2 x 2 −5 x+0.2=0 គឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េពេញលេញ និង x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x = 0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

ពីព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌមុនវាដូចខាងក្រោមថាមាន សមីការការ៉េមិនពេញលេញបីប្រភេទ:

  • a·x 2 = 0, មេគុណ b=0 និង c=0 ត្រូវគ្នានឹងវា;
  • a x 2 +c=0 ពេល b=0 ;
  • និង ax 2 +b·x=0 នៅពេល c=0 ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលតាមលំដាប់លំដោយថាតើសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃប្រភេទនីមួយៗនេះត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងដូចម្តេច។

a x 2 = 0

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ដែលមេគុណ b និង c ស្មើនឹងសូន្យ នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 = 0 ។ សមីការ ax 2 = 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ដែលទទួលបានពីដើមដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយចំនួនមិនសូន្យ a ។ ជាក់ស្តែង ឫសនៃសមីការ x 2 = 0 គឺសូន្យ ចាប់តាំងពី 0 2 = 0 ។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាសម្រាប់លេខដែលមិនសូន្យ p វិសមភាព p 2 > 0 ទទួលបាន ដែលមានន័យថាសម្រាប់ p≠0 សមភាព p 2 = 0 គឺមិនដែលសម្រេចបាន។

ដូច្នេះ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a·x 2 = 0 មានឫសតែមួយ x=0 ។

ជាឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ −4 x 2 = 0 ។ វាស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ឫសតែមួយគត់របស់វាគឺ x = 0 ដូច្នេះសមីការដើមមានឫសតែមួយសូន្យ។

ដំណោះស្រាយខ្លីក្នុងករណីនេះអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0 ។

a x 2 + c = 0

ឥឡូវសូមមើលពីរបៀបដែលសមីការ quadratic មិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ ដែលមេគុណ b គឺសូន្យ និង c≠0 នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + c = 0 ។ យើងដឹងថាការផ្លាស់ទីពាក្យមួយពីផ្នែកម្ខាងនៃសមីការទៅម្ខាងទៀតដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ក៏ដូចជាការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខមិនសូន្យ ផ្តល់សមីការសមមូល។ ដូច្នេះ យើងអាចអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលខាងក្រោមនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 +c=0៖

  • ផ្លាស់ទី c ទៅខាងស្តាំ ដែលផ្តល់សមីការ a x 2 = −c,
  • ហើយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ a យើងទទួលបាន។

សមីការលទ្ធផលអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់របស់វា។ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃ a និង c តម្លៃនៃកន្សោមអាចជាអវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a=1 និង c=2 បន្ទាប់មក) ឬវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a=−2 និង c=6, បន្ទាប់មក ) វាមិនមែនជាសូន្យទេ ព្រោះតាមលក្ខខណ្ឌ c≠0។ សូមក្រឡេកមើលករណីដោយឡែកពីគ្នា។

ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានឫសគល់ទេ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាការេនៃចំនួនណាមួយគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។ វាកើតឡើងពីនេះថានៅពេលណា នោះសម្រាប់លេខណាមួយ p សមភាពមិនអាចក្លាយជាការពិតបានទេ។

ប្រសិនបើ នោះស្ថានភាពដែលមានឫសគល់នៃសមីការគឺខុសគ្នា។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើយើងចងចាំអំពី នោះឫសនៃសមីការនឹងច្បាស់ភ្លាមៗ វាគឺជាលេខចាប់តាំងពី . វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលេខក៏ជាឫសគល់នៃសមីការដែរ ជាការពិត។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលអាចបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ តោះ​ធ្វើ​វា។

ចូរយើងសម្គាល់ឫសនៃសមីការដែលទើបតែប្រកាសថាជា x 1 និង −x 1 ។ ឧបមាថាសមីការមានឫស x 2 មួយទៀត ខុសពីឫសដែលបានចង្អុលបង្ហាញ x 1 និង −x 1 ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាការជំនួសឫសរបស់វាទៅជាសមីការជំនួសឱ្យ x បង្វែរសមីការទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ x 1 និង −x 1 យើងមាន ហើយសម្រាប់ x 2 យើងមាន។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខអនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តការដកតាមកាលកំណត់នៃសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះការដកផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមភាពផ្តល់ឱ្យ x 1 2 −x 2 2 = 0 ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយលេខអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពលទ្ធផលជា (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 ។ យើងដឹងថាផលគុណនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះពីសមភាពលទ្ធផល វាធ្វើតាមថា x 1 −x 2 = 0 និង/ឬ x 1 + x 2 = 0 ដែលដូចគ្នា x 2 = x 1 និង/ឬ x 2 = −x 1 ។ ដូច្នេះ​យើង​បាន​ឈាន​ដល់​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា ចាប់​តាំង​ពី​ដើម​ដំបូង​យើង​បាន​និយាយ​ថា ឫស​នៃ​សមីការ x 2 គឺ​ខុស​ពី x 1 និង −x 1 ។ នេះបង្ហាញថាសមីការមិនមានឫសអ្វីក្រៅពី និង .

ចូរយើងសង្ខេបព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះ។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + c=0 គឺស្មើនឹងសមីការដែល

  • មិនមានឫសប្រសិនបើ
  • មានឫសពីរហើយប្រសិនបើ .

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការការ៉េ 9 x 2 +7 = 0 ។ បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីពាក្យសេរីទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ វានឹងយកទម្រង់ 9 x 2 = −7 ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការលទ្ធផលដោយ 9 យើងមកដល់។ ដោយសារផ្នែកខាងស្តាំមានលេខអវិជ្ជមាន សមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើម 9 x 2 +7 = 0 មិនមានឫសទេ។

ចូរដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញមួយផ្សេងទៀត −x 2 +9=0 ។ យើងផ្លាស់ទីប្រាំបួនទៅខាងស្តាំ៖ −x 2 = −9 ។ ឥឡូវនេះយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ −1 យើងទទួលបាន x 2 = 9 ។ នៅជ្រុងខាងស្តាំមានលេខវិជ្ជមាន ដែលយើងសន្និដ្ឋានថា ឬ . បន្ទាប់មកយើងសរសេរចម្លើយចុងក្រោយ៖ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ −x 2 +9=0 មានឫសពីរ x=3 ឬ x=−3 ។

a x 2 + b x = 0

វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃប្រភេទចុងក្រោយនៃសមីការ quadratic មិនពេញលេញសម្រាប់ c=0។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ a x 2 + b x = 0 អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយ វិធីសាស្រ្តកត្តា. ជាក់ស្តែង យើងអាចស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដែលវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការយកកត្តារួម x ចេញពីតង្កៀប។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ទីពីសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើមទៅសមីការសមមូលនៃទម្រង់ x·(a·x+b)=0 ។ ហើយសមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការពីរ x=0 និង a·x+b=0 ដែលជាសមីការបន្ទាប់គឺលីនេអ៊ែរ និងមានឫស x=−b/a។

ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ax 2 +b·x=0 មានឫសពីរ x=0 និង x=−b/a ។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈយើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយទៅនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ។

ដំណោះស្រាយ។

ការយក x ចេញពីតង្កៀបផ្តល់សមីការ។ វាស្មើនឹងសមីការពីរ x=0 និង . យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល៖ ហើយដោយបែងចែកលេខចម្រុះដោយប្រភាគធម្មតា យើងរកឃើញ . ដូច្នេះឫសនៃសមីការដើមគឺ x=0 និង .

បន្ទាប់ពីទទួលបានការអនុវត្តចាំបាច់ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបែបនេះអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្លី៖

ចម្លើយ៖

x=0 , ។

ការរើសអើង, រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មានរូបមន្តឫស។ ចូរយើងសរសេរវាចុះ រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ: , កន្លែងណា D=b 2 −4 a គ- ហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ. ធាតុសំខាន់មានន័យថា។

វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីរបៀបដែលរូបមន្តឫសគល់ត្រូវបានយកមក និងរបៀបដែលវាត្រូវបានប្រើក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ ចូរយើងដោះស្រាយរឿងនេះ។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ឲ្យ​យើង​ត្រូវ​ដោះស្រាយ​សមីការ​រាង​បួន​ជ្រុង ax 2 +b·x+c=0 ។ ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលមួយចំនួន៖

  • យើងអាចបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះដោយចំនួនមិនមែនសូន្យ a ដែលបណ្តាលឱ្យមានសមីការការ៉េដូចខាងក្រោម។
  • ឥឡូវ​នេះ ជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញនៅផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វា៖ . បន្ទាប់ពីនេះ សមីការនឹងយកទម្រង់។
  • ក្នុង​ដំណាក់​កាល​នេះ គេ​អាច​ផ្ទេរ​ពាក្យ​ពីរ​ចុង​ក្រោយ​ទៅ​ខាង​ស្ដាំ​ដែល​មាន​សញ្ញា​ផ្ទុយ​គ្នា​យើង​មាន។
  • ហើយ​សូម​បំប្លែង​កន្សោម​ខាង​ស្តាំ​ផង៖ .

ជាលទ្ធផល យើងមកដល់សមីការដែលស្មើនឹងសមីការការ៉េដើម ax 2 +b·x+c=0 ។

យើង​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ​ដែល​ស្រដៀង​គ្នា​នៅ​ក្នុង​កថាខណ្ឌ​មុន​រួច​ហើយ នៅ​ពេល​ដែល​យើង​ពិនិត្យ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមទាក់ទងនឹងឫសនៃសមីការ៖

  • ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដ។
  • ប្រសិនបើ នោះសមីការមានទម្រង់ ដូច្នេះហើយ ដែលឫសតែមួយគត់របស់វាអាចមើលឃើញ។
  • ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក ឬ ដែលដូចគ្នានឹង ឬ នោះគឺសមីការមានឫសពីរ។

ដូច្នេះ វត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការ ហើយដូច្នេះសមីការការ៉េដើមគឺអាស្រ័យទៅលើសញ្ញានៃកន្សោមនៅខាងស្តាំ។ នៅក្នុងវេន សញ្ញានៃកន្សោមនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសញ្ញានៃភាគយក ចាប់តាំងពីភាគបែង 4·a 2 តែងតែវិជ្ជមាន នោះគឺដោយសញ្ញានៃកន្សោម b 2 −4·a·c ។ កន្សោមនេះ b 2 −4 a c ត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េនិងកំណត់ដោយលិខិត ឃ. ពីទីនេះខ្លឹមសារនៃការរើសអើងគឺច្បាស់លាស់ - ដោយផ្អែកលើតម្លៃ និងសញ្ញារបស់វា ពួកគេបានសន្និដ្ឋានថាតើសមីការបួនជ្រុងមានឫសគល់ពិតប្រាកដ ហើយប្រសិនបើដូច្នេះ តើលេខរបស់ពួកគេគឺជាអ្វី - មួយ ឬពីរ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ ហើយសរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់៖ . ហើយយើងធ្វើការសន្និដ្ឋាន៖

  • ប្រសិនបើ D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការនេះមានឫសតែមួយ។
  • ចុងក្រោយ ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការមានឫសពីរ ឬ ដែលអាចសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ឬ ហើយបន្ទាប់ពីពង្រីក និងនាំយកប្រភាគទៅជាភាគបែងធម្មតាដែលយើងទទួលបាន។

ដូច្នេះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ពួកវាមើលទៅដូចជា កន្លែងដែលការរើសអើង D ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត D=b 2 −4·a·c ។

ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ ជាមួយនឹងការរើសអើងវិជ្ជមាន អ្នកអាចគណនាឫសពិតទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ។ នៅពេលដែលការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ រូបមន្តទាំងពីរផ្តល់តម្លៃដូចគ្នានៃឫស ដែលត្រូវនឹងដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការការ៉េ។ ហើយជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន នៅពេលព្យាយាមប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ យើងត្រូវប្រឈមមុខនឹងការដកឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលនាំយើងហួសពីវិសាលភាពនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន សមីការបួនជ្រុងមិនមានឫសពិតទេ ប៉ុន្តែមានគូ conjugate ស្មុគស្មាញឫស ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តឫសដូចគ្នាដែលយើងទទួលបាន។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស

នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត root ដើម្បីគណនាតម្លៃរបស់វា។ ប៉ុន្តែនេះទាក់ទងនឹងការស្វែងរកឫសស្មុគ្រស្មាញ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតរបស់សាលា យើងជាធម្មតានិយាយមិនអំពីភាពស្មុគស្មាញនោះទេ ប៉ុន្តែអំពីឫសគល់ពិតប្រាកដនៃសមីការបួនជ្រុង។ ក្នុងករណីនេះ គួរតែមុននឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ ដើម្បីស្វែងរកអ្នករើសអើងជាមុនសិន ត្រូវប្រាកដថាវាមិនអវិជ្ជមាន (បើមិនដូច្នេះទេ យើងអាចសន្និដ្ឋានថាសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ)។ ហើយមានតែបន្ទាប់មកគណនាតម្លៃនៃឫស។

ហេតុផលខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរ ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េ. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 អ្នកត្រូវ៖

  • ដោយប្រើរូបមន្តបែងចែក D=b 2 −4·a·c គណនាតម្លៃរបស់វា;
  • សន្និដ្ឋានថាសមីការការ៉េមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។
  • គណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្តប្រសិនបើ D=0;
  • ស្វែងរកឫសពិតពីរនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស ប្រសិនបើការរើសអើងមានលក្ខណៈវិជ្ជមាន។

នៅទីនេះយើងគ្រាន់តែចំណាំថា ប្រសិនបើការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ អ្នកក៏អាចប្រើរូបមន្តបានដែរ វានឹងផ្តល់តម្លៃដូចគ្នាទៅនឹង .

អ្នកអាចបន្តទៅឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ algorithm សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ចូរយើងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបួនជ្រុងដែលមានការរើសអើងវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន និងសូន្យ។ ដោយបានដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ ដោយភាពស្រដៀងគ្នា វានឹងអាចដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងផ្សេងទៀត។ តោះ​ចាប់ផ្ដើម។

ឧទាហរណ៍។

រកឫសនៃសមីការ x 2 +2·x−6=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

ក្នុងករណីនេះ យើងមានមេគុណនៃសមីការការ៉េដូចខាងក្រោមៈ a=1, b=2 និង c=−6 ។ យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដំបូងអ្នកត្រូវគណនាការរើសអើង ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងជំនួសសញ្ញា a, b និង c ដែលបានបង្ហាញទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើង យើងមាន D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. ចាប់តាំងពី 28>0 នោះគឺ ការបែងចែកគឺធំជាងសូន្យ សមីការការ៉េមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫស យើងទទួលបាន នៅទីនេះអ្នកអាចសម្រួលកន្សោមលទ្ធផលដោយធ្វើ ផ្លាស់ទីមេគុណលើសពីសញ្ញាឫសបន្តដោយការកាត់បន្ថយប្រភាគ៖

ចម្លើយ៖

ចូរបន្តទៅឧទាហរណ៍ធម្មតាបន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ −4 x 2 +28 x −49=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងចាប់ផ្តើមដោយការស្វែងរកអ្នករើសអើង៖ D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ដូច្នេះ សមីការ​ការ៉េ​នេះ​មាន​ឫស​តែមួយ ដែល​យើង​រក​ឃើញ​ថា​ជា

ចម្លើយ៖

x=3.5 ។

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ 5·y 2 +6·y+2=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

នេះគឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ៖ a=5, b=6 និង c=2។ យើងជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើងយើងមាន D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. ការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការបួនជ្រុងនេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការចង្អុលបង្ហាញឫសស្មុគ្រស្មាញ នោះយើងអនុវត្តរូបមន្តល្បីសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ហើយអនុវត្ត ប្រតិបត្តិការជាមួយលេខស្មុគស្មាញ:

ចម្លើយ៖

មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ ឫសស្មុគស្មាញគឺ៖ .

ចូរយើងកត់សម្គាល់ម្តងទៀតថា ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការបួនជ្រុងគឺអវិជ្ជមាន នោះនៅក្នុងសាលារៀនជាធម្មតាពួកគេសរសេរចម្លើយភ្លាមៗដែលពួកគេបង្ហាញថាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ ហើយឫសស្មុគស្មាញមិនត្រូវបានរកឃើញទេ។

រូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ដែល D=b 2 −4·a·c អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានរូបមន្តនៃទម្រង់បង្រួមបន្ថែមទៀត ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការការ៉េជាមួយនឹងមេគុណ x (ឬសាមញ្ញជាមួយ a មេគុណមានទម្រង់ 2·n ជាឧទាហរណ៍ ឬ 14·ln5=2·7·ln5)។ ចូរនាំនាងចេញ។

ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េនៃទម្រង់ a x 2 +2 n x + c = 0 ។ ចូរយើងស្វែងរកឫសរបស់វាដោយប្រើរូបមន្តដែលយើងដឹង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាអ្នករើសអើង ឃ=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)ហើយបន្ទាប់មកយើងប្រើរូបមន្តឫស៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់កន្សោម n 2 −a c ជា D 1 (ជួនកាលវាតំណាងឱ្យ D ") បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលកំពុងពិចារណាជាមួយមេគុណទីពីរ 2 n នឹងយកទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែល D 1 = n 2 −a·c ។

វាងាយស្រួលមើលថា D=4·D 1 ឬ D 1 =D/4។ ម្យ៉ាង​ទៀត ឃ ១ ជា​ចំណែក​ទី ៤ នៃ​អ្នក​រើសអើង។ វាច្បាស់ណាស់ថាសញ្ញា D 1 គឺដូចគ្នានឹងសញ្ញា D ។ នោះគឺសញ្ញា D 1 ក៏ជាសូចនាករនៃវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េដែលមានមេគុណទីពីរ 2·n អ្នកត្រូវការ

  • គណនា D 1 = n 2 −a·c ;
  • ប្រសិនបើ ឃ ១<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • ប្រសិនបើ D 1 = 0 បន្ទាប់មកគណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត;
  • ប្រសិនបើ D 1 > 0 បន្ទាប់មករកឫសពិតពីរដោយប្រើរូបមន្ត។

ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌនេះ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ 5 x 2 −6 x −32=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

មេគុណទីពីរនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា 2·(−3) ។ នោះគឺអ្នកអាចសរសេរសមីការការ៉េដើមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 នៅទីនេះ a=5, n=−3 និង c=−32 ហើយគណនាផ្នែកទីបួននៃ អ្នករើសអើង៖ ឃ 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. ដោយសារតម្លៃរបស់វាគឺវិជ្ជមាន សមីការមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫសត្រឹមត្រូវ៖

ចំណាំថាវាអាចប្រើរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ ការងារគណនាបន្ថែមទៀតនឹងត្រូវអនុវត្ត។

ចម្លើយ៖

ធ្វើឱ្យទម្រង់នៃសមីការការ៉េសាមញ្ញ

ពេលខ្លះ មុននឹងចាប់ផ្តើមគណនាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្ត វាមិនឈឺចាប់ទេក្នុងការសួរសំណួរ៖ "តើវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលទម្រង់សមីការនេះទេ?" យល់ស្របថានៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការគណនា វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 11 x 2 −4 x−6=0 ជាង 1100 x 2 −400 x−600=0 ។

ជាធម្មតា ការធ្វើឱ្យទម្រង់សមីការបួនជ្រុងមានភាពសាមញ្ញត្រូវបានសម្រេចដោយការគុណ ឬបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងកថាខណ្ឌមុន គេអាចសម្រួលសមីការ 1100 x 2 −400 x −600=0 ដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ 100 ។

ការបំប្លែងស្រដៀងគ្នាត្រូវបានអនុវត្តជាមួយសមីការបួនជ្រុង ដែលជាមេគុណដែលមិនមែនជា . ក្នុងករណីនេះភាគីទាំងពីរនៃសមីការជាធម្មតាត្រូវបានបែងចែកដោយតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េ 12 x 2 −42 x+48=0 ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា៖ GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6 ។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការការ៉េដើមដោយ 6 យើងមកដល់សមីការការ៉េសមមូល 2 x 2 −7 x + 8=0 ។

ហើយការគុណទាំងសងខាងនៃសមីការ quadratic ជាធម្មតាត្រូវបានធ្វើដើម្បីកម្ចាត់មេគុណប្រភាគ។ ក្នុងករណីនេះការគុណត្រូវបានអនុវត្តដោយភាគបែងនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការការ៉េត្រូវបានគុណដោយ LCM(6, 3, 1)=6 នោះវានឹងយកទម្រង់សាមញ្ញជាង x 2 +4·x−18=0 ។

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃចំណុចនេះ យើងកត់សម្គាល់ថាពួកគេស្ទើរតែតែងតែកម្ចាត់ដកនៅមេគុណខ្ពស់បំផុតនៃសមីការបួនជ្រុងដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យទាំងអស់ដែលត្រូវនឹងការគុណ (ឬចែក) ភាគីទាំងពីរដោយ −1 ។ ឧទាហរណ៍ ជាធម្មតាមួយផ្លាស់ទីពីសមីការការ៉េ −2 x 2 −3 x + 7=0 ទៅកាន់ដំណោះស្រាយ 2 x 2 +3 x−7=0 ។

ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការ quadratic បង្ហាញពីឫសនៃសមីការតាមរយៈមេគុណរបស់វា។ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តឫស អ្នកអាចទទួលបានទំនាក់ទំនងផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណ។

រូបមន្តដែលគេស្គាល់ និងអាចអនុវត្តបានច្រើនបំផុតពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta មានទម្រង់ និង . ជាពិសេសសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ។ ឧទាហរណ៍ដោយមើលទម្រង់នៃសមីការការ៉េ 3 x 2 −7 x + 22 = 0 យើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថាផលបូកនៃឫសរបស់វាស្មើនឹង 7/3 ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹង 22 ។ /៣.

ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ដែល​បាន​សរសេរ​រួច​ហើយ អ្នក​អាច​ទទួល​បាន​ចំនួន​នៃ​ការ​តភ្ជាប់​ផ្សេង​ទៀត​រវាង​ឫស និង​មេគុណ​នៃ​សមីការ​ការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ អ្នក​អាច​បង្ហាញ​ផលបូក​នៃ​ការេ​នៃ​ឫស​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​តាម​រយៈ​មេគុណ​របស់​វា៖ .

គន្ថនិទ្ទេស។

  • ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី ៨ ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួល​ដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
  • Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង ផ្នែកទី 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។

វាត្រូវបានគេដឹងថាវាជាកំណែជាក់លាក់នៃសមភាពអ័ក្ស 2 + bx + c = o ដែល a, b និង c គឺជាមេគុណពិតប្រាកដសម្រាប់ x ដែលមិនស្គាល់ ហើយកន្លែងដែល a ≠ o និង b និង c នឹងមានសូន្យ - ក្នុងពេលដំណាលគ្នា ឬ ដោយឡែកពីគ្នា។ ឧទាហរណ៍ c = o, b ≠ o ឬច្រាសមកវិញ។ យើងស្ទើរតែចងចាំនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ។

សញ្ញាប័ត្រ trinomial ទីពីរគឺសូន្យ។ មេគុណទីមួយរបស់វា a ≠ o, b និង c អាចយកតម្លៃណាមួយ។ តម្លៃនៃអថេរ x នឹងជាពេលដែលការជំនួសប្រែវាទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ ចូរយើងផ្តោតលើឫសពិត ទោះបីសមីការក៏អាចជាដំណោះស្រាយដែរ។ វាជាទម្លាប់ក្នុងការហៅសមីការពេញលេញ ដែលមិនមានមេគុណស្មើនឹង o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o ។
ចូរយើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយ។ 2x 2 -9x-5 = អូ យើងរកឃើញ
ឃ=81+40=121,
D គឺវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាមានឫស x 1 = (9+√121): 4 = 5 និងទីពីរ x 2 = (9-√121): 4 = -o.5 ។ ការត្រួតពិនិត្យនឹងជួយធ្វើឱ្យប្រាកដថាពួកគេត្រឹមត្រូវ។

នេះគឺជាដំណោះស្រាយជាជំហាន ៗ ចំពោះសមីការការ៉េ

ដោយប្រើការរើសអើង អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការណាមួយនៅផ្នែកខាងឆ្វេង ដែលវាមាន trinomial quadratic ដែលគេស្គាល់សម្រាប់ a ≠ o ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។ 2x 2 -9x-5 = 0 (អ័ក្ស 2 +in+s = o)

ចូរយើងពិចារណាថាតើសមីការមិនពេញលេញនៃសញ្ញាបត្រទីពីរជាអ្វី

  1. ax 2 +in = o ។ ពាក្យទំនេរ មេគុណ c នៅ x 0 គឺស្មើនឹងសូន្យនៅទីនេះ ក្នុង ≠ o ។
    តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មិនពេញលេញនៃប្រភេទនេះ? ចូរយក x ចេញពីតង្កៀប។ ចូរយើងចងចាំនៅពេលដែលផលិតផលនៃកត្តាពីរស្មើនឹងសូន្យ។
    x(ax+b)=o នេះអាចជាពេល x=o ឬនៅពេល ax+b=o ។
    ដោយបានដោះស្រាយលើកទី 2 យើងមាន x = -в/а ។
    ជាលទ្ធផលយើងមានឫស x 1 = 0 យោងតាមការគណនា x 2 = -b/a ។
  2. ឥឡូវនេះមេគុណនៃ x គឺស្មើនឹង o ហើយ c មិនស្មើ (≠) o ។
    x 2 +c = o ។ ចូរផ្លាស់ទី c ទៅខាងស្តាំនៃសមភាពយើងទទួលបាន x 2 = -с ។ សមីការនេះមានឫសពិតនៅពេលដែល -c ជាចំនួនវិជ្ជមាន (c ‹ o),
    x 1 បន្ទាប់មកស្មើនឹង √(-c) រៀងគ្នា x 2 គឺ -√(-c) ។ បើមិនដូច្នោះទេ សមីការមិនមានឫសគល់ទាល់តែសោះ។
  3. ជម្រើសចុងក្រោយ៖ b = c = o នោះគឺ ax 2 = o ។ តាមធម្មជាតិ សមីការសាមញ្ញបែបនេះមានឫសមួយ x = o ។

ករណីពិសេស

យើងបានមើលពីរបៀបដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ហើយឥឡូវនេះសូមយកប្រភេទណាមួយ។

  • នៅក្នុងសមីការ quadratic ពេញលេញ មេគុណទីពីរនៃ x គឺជាចំនួនគូ។
    ចូរ k = o.5b ។ យើងមានរូបមន្តសម្រាប់គណនាការរើសអើង និងឫស។
    D/4 = k 2 - ac, ឫសត្រូវបានគណនាជា x 1,2 = (-k±√(D/4))/a សម្រាប់ D › o ។
    x = -k/a នៅ D = o ។
    មិនមានឫសសម្រាប់ D ‹ o ។
  • មានសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលដែលមេគុណនៃ x ការ៉េស្មើនឹង 1 ពួកវាជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរ x 2 + рх + q = o ។ រូបមន្តខាងលើទាំងអស់អនុវត្តចំពោះពួកវា ប៉ុន្តែការគណនាគឺសាមញ្ញជាងបន្តិច។
    ឧទាហរណ៍ x 2 −4x-9 = 0. គណនា D: 2 2 +9, D = 13 ។
    x 1 = 2+√13, x 2 = 2−√13 ។
  • លើសពីនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តចំពោះអ្នកដែលបានផ្តល់។ វានិយាយថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការគឺស្មើនឹង -p មេគុណទីពីរដែលមានដក (មានន័យថាសញ្ញាផ្ទុយ) ហើយផលគុណនៃឫសដូចគ្នាទាំងនេះនឹង ស្មើនឹង q ដែលជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ សូមមើលថាតើវាងាយស្រួលយ៉ាងណាក្នុងការកំណត់ឫសគល់នៃសមីការនេះដោយពាក្យសំដី។ សម្រាប់មេគុណដែលមិនកាត់បន្ថយ (សម្រាប់មេគុណទាំងអស់មិនស្មើនឹងសូន្យ) ទ្រឹស្តីបទនេះអាចអនុវត្តបានដូចខាងក្រោម៖ ផលបូក x 1 + x 2 ស្មើនឹង -b/a ផលិតផល x 1 · x 2 គឺស្មើនឹង c/a ។

ផលបូកនៃពាក្យសេរី c និងមេគុណទីមួយ a គឺស្មើនឹងមេគុណ b ។ ក្នុងស្ថានភាពនេះ សមីការមានឫសយ៉ាងតិចមួយ (ងាយស្រួលបញ្ជាក់) ទីមួយគឺចាំបាច់ស្មើនឹង -1 និងទីពីរ -c/a ប្រសិនបើវាមាន។ អ្នកអាចពិនិត្យមើលរបៀបដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញដោយខ្លួនឯង។ ងាយស្រួលដូចនំ។ មេគុណអាចស្ថិតនៅក្នុងទំនាក់ទំនងជាក់លាក់ជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក

  • x 2 +x = o, 7x 2 −7 = o ។
  • ផលបូកនៃមេគុណទាំងអស់គឺស្មើនឹង o ។
    ឫសគល់នៃសមីការបែបនេះគឺ 1 និង c/a ។ ឧទាហរណ៍ 2x 2 −15x+13 = o ។
    x 1 = 1, x 2 = 13/2 ។

មានវិធីមួយចំនួនទៀតដើម្បីដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីពីរផ្សេងៗ។ ជាឧទាហរណ៍ នៅទីនេះ គឺជាវិធីសាស្ត្រមួយសម្រាប់ទាញយកការេពេញលេញពីពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ មានវិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកជាច្រើន។ នៅពេលអ្នកជាញឹកញាប់ដោះស្រាយជាមួយឧទាហរណ៍បែបនេះ អ្នកនឹងរៀន "ចុច" ពួកវាដូចជាគ្រាប់ពូជ ពីព្រោះវិធីសាស្រ្តទាំងអស់គិតដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

ជាមួយនឹងកម្មវិធីគណិតវិទ្យានេះ អ្នកអាចធ្វើបាន ដោះស្រាយសមីការការ៉េ.

កម្មវិធីនេះមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញដំណើរការដំណោះស្រាយតាមពីរវិធី៖
- ប្រើអ្នករើសអើង
- ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta (ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន) ។

ជាងនេះទៅទៀត ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញថាពិតប្រាកដ មិនមែនប្រហាក់ប្រហែល
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ \(81x^2-16x-1=0\) ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ហើយមិនដូចនេះទេ៖ \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យនៅក្នុងសាលាអប់រំទូទៅនៅពេលរៀបចំការប្រលង និងការប្រឡងពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រឡង Unified State និងសម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើនក្នុងគណិតវិទ្យា និងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកក្នុងការជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើលំហាត់គណិតវិទ្យា ឬពិជគណិតរបស់អ្នកឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។

តាមរបៀបនេះ អ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាលផ្ទាល់ខ្លួន និង/ឬ ការបណ្តុះបណ្តាលប្អូនប្រុស ឬប្អូនស្រីរបស់អ្នក ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំក្នុងវិស័យដោះស្រាយបញ្ហាកើនឡើង។

ប្រសិនបើអ្នកមិនស៊ាំនឹងច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលពហុនាមរាងចតុកោណទេ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកវា។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលពហុធាចតុកោណ

អក្សរឡាតាំងណាមួយអាចដើរតួជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍៖ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ។ល។

លេខអាចត្រូវបានបញ្ចូលជាលេខទាំងមូល ឬប្រភាគ។
ជាងនេះទៅទៀត លេខប្រភាគអាចត្រូវបានបញ្ចូលមិនត្រឹមតែក្នុងទម្រង់ទសភាគប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទម្រង់ជាប្រភាគធម្មតាផងដែរ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគទសភាគ។
នៅក្នុងប្រភាគទសភាគ ផ្នែកប្រភាគអាចត្រូវបានបំបែកចេញពីផ្នែកទាំងមូលដោយសញ្ញាចុច ឬសញ្ញាក្បៀស។
ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចបញ្ចូលប្រភាគទសភាគដូចនេះ៖ 2.5x - 3.5x^2

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគធម្មតា។
មានតែចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះដែលអាចដើរតួជាភាគបែង ភាគបែង និងចំនួនគត់នៃប្រភាគ។

ភាគបែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

នៅពេលបញ្ចូលប្រភាគលេខ ភាគយកត្រូវបានបំបែកចេញពីភាគបែងដោយសញ្ញាចែក៖ /
ផ្នែកទាំងមូលត្រូវបានបំបែកចេញពីប្រភាគដោយសញ្ញា ampersand៖ &
បញ្ចូល៖ 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
លទ្ធផល៖ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5)z + \frac(1)(7)z^2\)

នៅពេលបញ្ចូលកន្សោម អ្នកអាចប្រើវង់ក្រចក. ក្នុងករណីនេះ នៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង កន្សោមដែលបានណែនាំត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញជាលើកដំបូង។
ឧទាហរណ៍៖ 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)


=0
សម្រេចចិត្ត

វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះមិនត្រូវបានផ្ទុកទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។

JavaScript ត្រូវបានបិទនៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
ដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង អ្នកត្រូវបើក ​​JavaScript ។
នេះជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។

ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនមានឆន្ទៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា សំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
ក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូមរង់ចាំ វិ...


ប្រសិនបើ​អ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីរឿងនេះនៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំ​ភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញពីភារកិច្ចអ្នកសម្រេចចិត្តថាអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.



ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖

ទ្រឹស្តីតិចតួច។

សមីការបួនជ្រុង និងឫសរបស់វា។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ

សមីការនីមួយៗ
\\(-x^2+6x+1.4=0, \\quad 8x^2-7x=0, \\quad x^2-\frac(4)(9)=0 \\)
មើល​ទៅ​ដូច​ជា
\\(ax^2+bx+c=0, \\)
ដែល x ជាអថេរ a, b និង c ជាលេខ។
នៅក្នុងសមីការទីមួយ a = -1, b = 6 និង c = 1.4, នៅក្នុងទីពីរ a = 8, b = −7 និង c = 0, នៅក្នុងទីបី a = 1, b = 0 និង c = 4/9 ។ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ.

និយមន័យ។
សមីការ​ការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន និង \(a \neq 0 \\) ។

លេខ a, b និង c គឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ លេខ b គឺជាមេគុណទីពីរ ហើយលេខ c គឺជាពាក្យសេរី។

នៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ដែល \(a\neq 0\) អំណាចធំបំផុតនៃអថេរ x គឺជាការ៉េ។ ដូច្នេះឈ្មោះ៖ សមីការការ៉េ។

ចំណាំថាសមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាគឺជាពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ។

សមីការការ៉េដែលមេគុណនៃ x 2 ស្មើនឹង 1 ត្រូវបានហៅ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​. ឧទាហរណ៍ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គឺ​ជា​សមីការ
\\(x^2-11x+30=0, \\quad x^2-6x=0, \\quad x^2-8=0 \\)

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 យ៉ាងហោចណាស់មួយនៃមេគុណ b ឬ c គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការការ៉េមិនពេញលេញ. ដូច្នេះសមីការ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ នៅក្នុងទីមួយនៃពួកគេ b = 0 នៅក្នុងទីពីរ c = 0 នៅក្នុងទីបី b = 0 និង c = 0 ។

មានសមីការការ៉េមិនពេញលេញចំនួនបីប្រភេទ៖
1) ax 2 +c=0 ដែល \\(c \neq 0 \\);
2) ax 2 +bx=0 ដែល \(b \neq 0 \);
3) ពូថៅ 2 = 0 ។

ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទនីមួយៗទាំងនេះ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 សម្រាប់ \(c \neq 0 \) ផ្លាស់ទីពាក្យទំនេររបស់វាទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt(-\frac(c)(a)) \)

ចាប់តាំងពី \(c \neq 0 \) បន្ទាប់មក \(-\frac(c)(a) \neq 0 \\)

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a)>0\) នោះសមីការមានឫសពីរ។

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a) ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 ជាមួយ \(b \neq 0 \) កត្តាផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វា និងទទួលបានសមីការ
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \\right។ \Rightarrow \left\(\begin (អារេ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \\right.\)

នេះមានន័យថាសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) តែងតែមានឫសពីរ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 = 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ដូច្នេះហើយមានឫសតែមួយ 0 ។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការបួនជ្រុង

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ដែលទាំងមេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ និងពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺមិនសូន្យ។

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅ ហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ឫស។ បន្ទាប់មករូបមន្តនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0

បែងចែកភាគីទាំងសងខាងដោយ a យើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយស្មើគ្នា
\\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \\)

ចូរបំប្លែងសមីការនេះដោយជ្រើសរើសការេនៃ binomial៖
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2-\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2=\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rrightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow\) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac))(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac))(2a) \)

កន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 ("អ្នករើសអើង" ជាភាសាឡាតាំង - អ្នករើសអើង)។ វាត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរ D, i.e.
\\(D = b^2-4ac\)

ឥឡូវនេះ ដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់រើសអើង យើងសរសេររូបមន្តឡើងវិញសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D))(2a) \), ដែល \(D=b^2-4ac \)

វាច្បាស់ណាស់ថា:
1) ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការ quadratic មានឫសពីរ។
2) ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការការ៉េមានឫសមួយ \(x=-\frac(b)(2a)\) ។
3) ប្រសិនបើ D ដូច្នេះ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអ្នករើសអើង សមីការការ៉េអាចមានឫសពីរ (សម្រាប់ D> 0) ឫសមួយ (សម្រាប់ D = 0) ឬគ្មានឫស (សម្រាប់ D នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើវា រូបមន្ត​គួរ​ធ្វើ​តាម​វិធី​ដូច​ខាង​ក្រោម៖
1) គណនាអ្នករើសអើង ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយសូន្យ។
2) ប្រសិនបើការរើសអើងវិជ្ជមាន ឬស្មើសូន្យ ចូរប្រើរូបមន្តឫស ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ចូរសរសេរចុះថាគ្មានឫស។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

អ័ក្សសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ 2 -7x+10=0 មានឫស 2 និង 5។ ផលបូកនៃឫសគឺ 7 ហើយផលិតផលគឺ 10។ យើងឃើញថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលយកជាមួយផលបូក សញ្ញា ហើយផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​កាត់​បន្ថយ​ណា​មួយ​ដែល​មាន​ឫស​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នេះ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ខាងលើគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី។

ទាំងនោះ។ ទ្រឹស្ដីរបស់ Vieta ចែងថា ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 +px+q=0 មានទ្រព្យសម្បត្តិ៖
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right។\)

ការបន្តប្រធានបទ "សមីការដោះស្រាយ" សម្ភារៈនៅក្នុងអត្ថបទនេះនឹងណែនាំអ្នកអំពីសមីការបួនជ្រុង។

សូមក្រឡេកមើលអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយលម្អិត៖ ខ្លឹមសារ និងសញ្ញាណនៃសមីការបួនជ្រុង កំណត់ពាក្យដែលភ្ជាប់មកជាមួយ វិភាគគ្រោងការណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការមិនពេញលេញ និងពេញលេញ ស្គាល់រូបមន្តនៃឫស និងការរើសអើង បង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ។ ហើយជាការពិតណាស់ យើងនឹងផ្តល់នូវដំណោះស្រាយដែលមើលឃើញដល់ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

Yandex.RTB R-A-339285-1

សមីការបួនជ្រុង, ប្រភេទរបស់វា។

និយមន័យ ១

សមីការ​ការ៉េគឺជាសមីការដែលសរសេរជា a x 2 + b x + c = 0, កន្លែងណា x- អថេរ a, b និង គ- លេខមួយចំនួនខណៈពេលដែល កមិនមែនសូន្យទេ។

ជាញឹកញាប់ សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីនៅក្នុងខ្លឹមសារ សមីការការ៉េគឺជាសមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេទីពីរ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយដើម្បីបង្ហាញពីនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ។ល។ ទាំងនេះគឺជាសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ២

លេខ a, b និង គគឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0ខណៈពេលដែលមេគុណ កត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ ឬជាន់ខ្ពស់ ឬមេគុណនៅ x 2, ខ - មេគុណទីពីរ ឬមេគុណនៅ x, ក គហៅថាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ឧទាហរណ៍នៅក្នុងសមីការ quadratic 6 x 2 − 2 x − 11 = 0មេគុណនាំមុខគឺ 6 មេគុណទីពីរគឺ − 2 ហើយពាក្យសេរីគឺស្មើនឹង − 11 . ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថានៅពេលដែលមេគុណ ខនិង/ឬ c គឺអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកទម្រង់ខ្លីនៃទម្រង់ត្រូវបានប្រើ 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ប៉ុន្តែមិនមែនទេ។ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

ចូរយើងបញ្ជាក់អំពីទិដ្ឋភាពនេះផងដែរ៖ ប្រសិនបើមេគុណ កនិង/ឬ ខស្មើ 1 ឬ − 1 បន្ទាប់មក ពួកគេអាចនឹងមិនចូលរួមយ៉ាងច្បាស់លាស់ក្នុងការសរសេរសមីការការ៉េ ដែលត្រូវបានពន្យល់ដោយលក្ខណៈពិសេសនៃការសរសេរមេគុណលេខដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងសមីការ quadratic y 2 − y + 7 = 0មេគុណនាំមុខគឺ 1 ហើយមេគុណទីពីរគឺ − 1 .

សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ

ដោយផ្អែកលើតម្លៃនៃមេគុណទីមួយ សមីការ quadratic ត្រូវបានបែងចែកទៅជាកាត់បន្ថយ និងមិនកាត់បន្ថយ។

និយមន័យ ៣

កាត់បន្ថយសមីការការ៉េគឺជាសមីការការ៉េដែលមេគុណនាំមុខគឺ 1 ។ សម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀតនៃមេគុណឈានមុខគេ សមីការបួនជ្រុងមិនកាត់បន្ថយទេ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍៖ សមីការការ៉េ x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 ត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដែលក្នុងនោះមេគុណនាំមុខគឺ 1 ។

9 x 2 − x − 2 = 0- សមីការ​ការ៉េ​មិន​បាន​កាត់​បន្ថយ ដែល​មេគុណ​ទីមួយ​ខុស​ពី 1 .

សមីការការ៉េដែលមិនបានកាត់បន្ថយណាមួយអាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការកាត់បន្ថយដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយមេគុណទីមួយ (បំប្លែងសមមូល)។ សមីការដែលបានបំលែងនឹងមានឫសដូចគ្នាទៅនឹងសមីការដែលមិនកាត់បន្ថយដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬក៏នឹងមិនមានឫសគល់អ្វីទាំងអស់។

ការពិចារណាលើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការបួនជ្រុងដែលមិនបានកាត់បន្ថយទៅជាការកាត់បន្ថយមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

ផ្តល់សមីការ 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងសមីការដើមទៅជាទម្រង់កាត់បន្ថយ។

ដំណោះស្រាយ

យោងតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយមេគុណនាំមុខ 6 ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0:3ហើយនេះគឺដូចគ្នាទៅនឹង៖ (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0និងបន្ថែមទៀត៖ (6:6) x 2 + (18:6) x − 7:6 = 0 ។ពី​ទីនេះ: x 2 + 3 x − 1 1 6 = 0 ។ ដូច្នេះ សមីការ​មួយ​ដែល​ស្មើ​នឹង​មួយ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ត្រូវ​បាន​ទទួល។

ចម្លើយ៖ x 2 + 3 x − 1 1 6 = 0 ។

សមីការ​ក្រឡា​ចត្រង្គ​ពេញលេញ និង​មិន​ពេញលេញ

ចូរយើងងាកទៅរកនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ។ នៅក្នុងនោះយើងបានបញ្ជាក់ a ≠ 0. លក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាគឺចាំបាច់សម្រាប់សមីការ a x 2 + b x + c = 0ជាការ៉េយ៉ាងជាក់លាក់ តាំងពី a = 0វាបំប្លែងជាសមីការលីនេអ៊ែរ b x + c = 0.

ក្នុងករណីនៅពេលដែលមេគុណ ខនិង គគឺស្មើនឹងសូន្យ (ដែលអាចធ្វើទៅបានទាំងបុគ្គល និងរួមគ្នា) សមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។

និយមន័យ ៤

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ- សមីការ​ការ៉េ​បែប​នេះ។ a x 2 + b x + c = 0,ដែលយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ។ ខនិង គ(ឬទាំងពីរ) គឺសូន្យ។

បញ្ចប់សមីការការ៉េ- សមីការការ៉េដែលមេគុណលេខទាំងអស់មិនស្មើនឹងសូន្យ។

ចូរពិភាក្សាអំពីមូលហេតុដែលប្រភេទនៃសមីការការ៉េត្រូវបានផ្តល់ឈ្មោះទាំងនេះយ៉ាងពិតប្រាកដ។

នៅពេល b = 0 សមីការការ៉េយកទម្រង់ a x 2 + 0 x + c = 0ដែលដូចគ្នានឹង a x 2 + c = 0. នៅ c = 0សមីការ​ការ៉េ​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា a x 2 + b x + 0 = 0ដែលស្មើនឹង a x 2 + b x = 0. នៅ b = 0និង c = 0សមីការនឹងយកទម្រង់ a x 2 = 0. សមីការ​ដែល​យើង​ទទួល​បាន​ខុស​ពី​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ​ដែល​ផ្នែក​ខាងឆ្វេង​របស់​វា​មិន​មាន​ពាក្យ​ដែល​មាន​អថេរ x ឬ​ពាក្យ​ទំនេរ ឬ​ទាំងពីរ។ តាមពិតការពិតនេះបានផ្តល់ឈ្មោះទៅសមីការប្រភេទនេះ - មិនពេញលេញ។

ឧទាហរណ៍ x 2 + 3 x + 4 = 0 និង − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 គឺជាសមីការការ៉េពេញលេញ។ x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

និយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចបែងចែកប្រភេទនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញដូចខាងក្រោម:

  • a x 2 = 0, សមីការនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងមេគុណ b = 0និង c = 0 ;
  • a · x 2 + c = 0 នៅ b = 0 ;
  • a · x 2 + b · x = 0 នៅ c = 0 ។

ចូរយើងពិចារណាតាមលំដាប់នៃដំណោះស្រាយនៃប្រភេទនីមួយៗនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ a x 2 = 0

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើសមីការនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងមេគុណ ខនិង គស្មើសូន្យ។ សមីការ a x 2 = 0អាចបំប្លែងទៅជាសមីការសមមូល x 2 = 0ដែលយើងទទួលបានដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយចំនួន ក, មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ការពិតជាក់ស្តែងគឺថាឫសគល់នៃសមីការ x 2 = 0នេះគឺសូន្យដោយសារតែ 0 2 = 0 . សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលអាចត្រូវបានពន្យល់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ៖ សម្រាប់លេខណាមួយ។ ទំ,មិនស្មើសូន្យ វិសមភាពគឺពិត ទំ 2 > 0ពីដែលវាធ្វើតាមថានៅពេលណា p ≠ 0សមភាព p 2 = 0នឹងមិនដែលសម្រេចបានឡើយ។

និយមន័យ ៥

ដូច្នេះសម្រាប់សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 = 0 មានឫសតែមួយគត់ x = 0.

ឧទាហរណ៍ ២

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ − 3 x 2 = 0. វាស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0ឫសតែមួយគត់របស់វាគឺ x = 0បន្ទាប់មកសមីការដើមមានឫសតែមួយ - សូន្យ។

ដោយសង្ខេប ដំណោះស្រាយត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0 ។

ការដោះស្រាយសមីការ a x 2 + c = 0

បន្ទាប់នៅក្នុងបន្ទាត់គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ដែល b = 0, c ≠ 0 នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + c = 0. ចូរបំប្លែងសមីការនេះដោយរំកិលពាក្យមួយពីផ្នែកម្ខាងនៃសមីការទៅម្ខាងទៀត ប្តូរសញ្ញាទៅសញ្ញាទល់មុខ ហើយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ៖

  • ផ្ទេរ គទៅខាងស្តាំដៃ ដែលផ្តល់សមីការ a x 2 = − គ;
  • ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ កយើងបញ្ចប់ដោយ x = - c a ។

ការបំប្លែងរបស់យើងគឺសមមូល អាស្រ័យហេតុនេះសមីការលទ្ធផលក៏សមមូលទៅនឹងសមីការដើមដែរ ហើយការពិតនេះធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់នៃសមីការ។ ពីអ្វីដែលមានតម្លៃ កនិង គតម្លៃនៃកន្សោម - c a អាស្រ័យ: វាអាចមានសញ្ញាដក (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a = 1និង គ = ២បន្ទាប់មក - c a = - 2 1 = − 2) ឬសញ្ញាបូក (ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ a = − ២និង គ = ៦, បន្ទាប់មក - c a = - 6 - 2 = 3); វាមិនមែនសូន្យទេពីព្រោះ គ ≠ ០. អនុញ្ញាតឱ្យយើងរស់នៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីស្ថានភាពនៅពេលដែល - គ< 0 и - c a > 0 .

ក្នុងករណីនៅពេលដែល - គ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа ទំសមភាព p 2 = - c a មិនអាចជាការពិតទេ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺខុសគ្នានៅពេលដែល - c a > 0: ចងចាំឫសការ៉េហើយវានឹងច្បាស់ថាឫសនៃសមីការ x 2 = - c a នឹងជាលេខ - c a ចាប់តាំងពី - c a 2 = - c a ។ វាមិនពិបាកយល់ទេថា លេខ − c a ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 = − c a: ពិតហើយ − − c a 2 = − c a ។

សមីការនឹងមិនមានឫសផ្សេងទៀតទេ។ យើង​អាច​ធ្វើ​ការ​បង្ហាញ​នេះ​ដោយ​ប្រើ​វិធី​ផ្ទុយ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ចំណាំសម្រាប់ឫសដែលបានរកឃើញខាងលើ x ១និង − x ១. ចូរយើងសន្មតថាសមីការ x 2 = − c a ក៏មានឫសដែរ។ x ២ដែលខុសពីឫស x ១និង − x ១. យើងដឹងថាដោយការជំនួសសមីការ xឫសរបស់វា យើងបំប្លែងសមីការទៅជាសមភាពលេខដ៏យុត្តិធម៌។

សម្រាប់ x ១និង − x ១យើងសរសេរ៖ x 1 2 = - c a និងសម្រាប់ x ២− x 2 2 = − គ . ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពជាលេខ យើងដកពាក្យសមភាពត្រឹមត្រូវមួយដោយពាក្យមួយទៀត ដែលនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវ៖ x 1 2 − x 2 2 = 0. យើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយលេខដើម្បីសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពចុងក្រោយជា (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. វាត្រូវបានគេដឹងថាផលគុណនៃលេខពីរគឺសូន្យប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយគឺសូន្យ។ ពីខាងលើវាធ្វើតាមនោះ។ x 1 − x 2 = 0និង/ឬ x 1 + x 2 = 0ដែលដូចគ្នា។ x 2 = x 1និង/ឬ x 2 = − x 1. ភាពផ្ទុយគ្នាជាក់ស្តែងមួយបានកើតឡើង ពីព្រោះដំបូងគេបានយល់ស្របថាឫសគល់នៃសមីការ x ២ខុសគ្នាពី x ១និង − x ១. ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ថា​សមីការ​គ្មាន​ឫស​អ្វី​ក្រៅ​ពី x = − c a និង x = − − c a ។

ចូរយើងសង្ខេបអំណះអំណាងទាំងអស់ខាងលើ។

និយមន័យ ៦

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + c = 0គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = − c a ដែល៖

  • នឹងមិនមានឫសនៅ - គ< 0 ;
  • នឹងមានឫសពីរ x = - c a និង x = - - c a សម្រាប់ - c a > 0 ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ a x 2 + c = 0.

ឧទាហរណ៍ ៣

ផ្តល់សមីការការ៉េ 9 x 2 + 7 = 0 ។វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយ

ចូរផ្លាស់ទីពាក្យសេរីទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ នោះសមីការនឹងយកទម្រង់ 9 x 2 = − 7 ។
ចូរយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការលទ្ធផលដោយ 9 យើងមកដល់ x 2 = − 7 9 ។ នៅជ្រុងខាងស្តាំយើងឃើញលេខដែលមានសញ្ញាដក ដែលមានន័យថា៖ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានឫសគល់ទេ។ បន្ទាប់មកសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើម 9 x 2 + 7 = 0នឹងមិនមានឫសទេ។

ចម្លើយ៖សមីការ 9 x 2 + 7 = 0មិនមានឫសទេ។

ឧទាហរណ៍ 4

សមីការត្រូវតែដោះស្រាយ − x 2 + 36 = 0.

ដំណោះស្រាយ

ចូរផ្លាស់ទី 36 ទៅខាងស្តាំ៖ − x 2 = − 36.
ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ − 1 , យើង​ទទួល​បាន x 2 = 36. នៅផ្នែកខាងស្តាំមានលេខវិជ្ជមាន ដែលយើងអាចសន្និដ្ឋានបាន។ x = 36 ឬ x = − ៣៦ .
ចូរស្រង់ឫស ហើយសរសេរលទ្ធផលចុងក្រោយ៖ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ − x 2 + 36 = 0មានឫសពីរ x=6ឬ x = − ៦.

ចម្លើយ៖ x=6ឬ x = − ៦.

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ a x 2 + b x = 0

ចូរយើងវិភាគប្រភេទទីបីនៃសមីការ quadratic មិនពេញលេញ ពេលណា c = 0. ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + b x = 0យើងនឹងប្រើវិធីសាស្ត្រកត្តា។ ចូរធ្វើកត្តាពហុនាមដែលស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដោយយកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប x. ជំហាននេះនឹងធ្វើឱ្យវាអាចបំប្លែងសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើមទៅជាសមមូលរបស់វា x (a x + b) = 0. ហើយសមីការនេះ, នៅក្នុងវេន, គឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការមួយ។ x = 0និង a x + b = 0. សមីការ a x + b = 0លីនេអ៊ែរ និងឫសរបស់វា៖ x = − b ក.

និយមន័យ ៧

ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + b x = 0នឹងមានឫសពីរ x = 0និង x = − b ក.

ចូរយើងពង្រឹងសម្ភារៈជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍ 5

ចាំបាច់ត្រូវរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ 2 3 · x 2 − 2 2 7 · x = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

យើងនឹងយកវាចេញ xនៅខាងក្រៅតង្កៀបយើងទទួលបានសមីការ x · 2 3 · x − 2 2 7 = 0 ។ សមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការ x = 0និង 2 3 x − 2 2 7 = 0 ។ ឥឡូវអ្នកគួរដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល៖ 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3 ។

សូមសរសេរដោយសង្ខេបនូវដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដូចខាងក្រោម៖

2 3 x 2 − 2 2 7 x = 0 x 2 3 x − 2 2 7 = 0

x = 0 ឬ 2 3 x − 2 2 7 = 0

x = 0 ឬ x = 3 3 ៧

ចម្លើយ៖ x = 0, x = 3 3 ៧.

ការរើសអើង, រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ quadratic មានរូបមន្តឫស៖

និយមន័យ ៨

x = - b ± D 2 · a, កន្លែងណា D = b 2 − 4 a គ- អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​រើស​អើង​នៃ​សមីការ​ការ៉េ។

ការសរសេរ x = − b ± D 2 · a សំខាន់មានន័យថា x 1 = − b + D 2 · a, x 2 = - b − D 2 · a ។

វានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្វែងយល់ពីរបៀបដែលរូបមន្តនេះចេញមក និងរបៀបអនុវត្តវា។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0. ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលមួយចំនួន៖

  • ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយចំនួនមួយ។ កខុសពីសូន្យ យើងទទួលបានសមីការការ៉េខាងក្រោម៖ x 2 + b a · x + c a = 0 ;
  • ចូរយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញនៅជ្រុងខាងឆ្វេងនៃសមីការលទ្ធផល៖
    x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 − b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 − b 2 · a 2 + គ
    បន្ទាប់ពីនេះសមីការនឹងយកទម្រង់: x + b 2 · a 2 − b 2 · a 2 + c a = 0;
  • ឥឡូវនេះវាអាចទៅរួចក្នុងការផ្ទេរពាក្យពីរចុងក្រោយទៅផ្នែកខាងស្តាំដោយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយបន្ទាប់ពីនោះយើងទទួលបាន: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • ជាចុងក្រោយ យើងបំប្លែងកន្សោមដែលសរសេរនៅខាងស្តាំនៃសមភាពចុងក្រោយ៖
    b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 − 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 ។

ដូចនេះ យើងមកដល់សមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 , ស្មើនឹងសមីការដើម a x 2 + b x + c = 0.

យើងបានពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន (ដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ)។ បទពិសោធន៍ដែលទទួលបានរួចហើយ ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់នៃសមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2:

  • ជាមួយ b 2 − 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • នៅពេល b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 = 0 សមីការគឺ x + b 2 · a 2 = 0 បន្ទាប់មក x + b 2 · a = 0 ។

ពីទីនេះឫសតែមួយគត់ x = - b 2 · a គឺជាក់ស្តែង;

  • សម្រាប់ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 ខាងក្រោមនេះនឹងជាការពិត៖ x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ឬ x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ដែលដូចគ្នានឹង x + − b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ឬ x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , i.e. សមីការមានឫសពីរ។

គេអាចសន្និដ្ឋានបានថាវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសនៃសមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 (ហើយដូច្នេះសមីការដើម) អាស្រ័យលើសញ្ញានៃកន្សោម b ។ 2 - 4 · a · c 4 · a 2 សរសេរនៅខាងស្តាំ។ ហើយសញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសញ្ញានៃភាគយក, (ភាគបែង ៤ ក ២នឹងតែងតែវិជ្ជមាន) នោះគឺជាសញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិ b 2 − 4 ក. ការបញ្ចេញមតិនេះ។ b 2 − 4 កឈ្មោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ - ការរើសអើងនៃសមីការ quadratic និងអក្សរ D ត្រូវបានកំណត់ថាជាការកំណត់របស់វា។ នៅទីនេះអ្នកអាចសរសេរខ្លឹមសារនៃការរើសអើង - ដោយផ្អែកលើតម្លៃ និងសញ្ញារបស់វា ពួកគេអាចសន្និដ្ឋានបានថាតើសមីការបួនជ្រុងនឹងមានឫសពិតប្រាកដ ហើយប្រសិនបើដូច្នេះ តើចំនួនឫស - មួយឬពីរ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ x + b 2 · a 2 = b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 ។ ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់ៈ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 ។

ចូរយើងបង្កើតការសន្និដ្ឋានរបស់យើងម្តងទៀត៖

និយមន័យ ៩

  • នៅ ឃ< 0 សមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ។
  • នៅ ឃ=0សមីការមានឫសតែមួយ x = - b 2 · a ;
  • នៅ ឃ > 0សមីការមានឫសពីរ៖ x = − b 2 · a + D 4 · a 2 ឬ x = − b 2 · a − D 4 · a 2 ។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃរ៉ាឌីកាល់ឫសទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់: x = - b 2 · a + D 2 · a ឬ - b 2 · a - D 2 · a ។ ហើយនៅពេលដែលយើងបើកម៉ូឌុល ហើយនាំប្រភាគទៅជាភាគបែងធម្មតា យើងទទួលបាន៖ x = − b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a ។

ដូច្នេះ លទ្ធផល​នៃ​ការ​វែកញែក​របស់​យើង​គឺ​ជា​ការ​ចេញ​មក​នៃ​រូបមន្ត​សម្រាប់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ៖

x = − b + D 2 a, x = - b − D 2 a, រើសអើង ឃគណនាដោយរូបមន្ត D = b 2 − 4 a គ.

រូបមន្តទាំងនេះធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់ឫសពិតប្រាកដទាំងពីរនៅពេលដែលការរើសអើងគឺធំជាងសូន្យ។ នៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ ការអនុវត្តរូបមន្តទាំងពីរនឹងផ្តល់ឫសដូចគ្នាជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការការ៉េ។ ក្នុងករណីដែលការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ប្រសិនបើយើងព្យាយាមប្រើរូបមន្តឫសការ៉េ យើងនឹងប្រឈមមុខនឹងតម្រូវការក្នុងការយកឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានដែលនឹងនាំយើងហួសពីវិសាលភាពនៃចំនួនពិត។ ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន សមីការបួនជ្រុងនឹងមិនមានឫសពិតទេ ប៉ុន្តែឫសផ្សំស្មុគស្មាញមួយគូគឺអាចធ្វើទៅបាន ដែលកំណត់ដោយរូបមន្តឫសដូចគ្នាដែលយើងទទួលបាន។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស

វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មួយភ្លាមៗដោយប្រើរូបមន្តឫស ប៉ុន្តែជាទូទៅនេះត្រូវបានធ្វើនៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកឫសស្មុគស្មាញ។

ក្នុង​ករណី​ភាគច្រើន វា​ជា​ធម្មតា​មាន​ន័យ​ថា​ការ​ស្វែងរក​មិន​ស្មុគស្មាញ​ទេ ប៉ុន្តែ​សម្រាប់​ឫសគល់​ពិត​នៃ​សមីការ​ការ៉េ។ បន្ទាប់មក វាល្អប្រសើរបំផុត មុននឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ ដើម្បីកំណត់អ្នករើសអើងជាមុនសិន ហើយត្រូវប្រាកដថាវាមិនអវិជ្ជមាន (បើមិនដូច្នេះទេ យើងនឹងសន្និដ្ឋានថាសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ) ហើយបន្ទាប់មកបន្តគណនា តម្លៃនៃឫស។

ហេតុផលខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ១០

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0ចាំបាច់៖

  • យោងតាមរូបមន្ត D = b 2 − 4 a គស្វែងរកតម្លៃខុសគ្នា;
  • នៅ D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • សម្រាប់ D = 0 រកឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត x = − b 2 · a ;
  • សម្រាប់ D > 0 កំណត់ឫសពិតពីរនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្ត x = - b ± D 2 · a ។

ចំណាំថានៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត x = − b ± D 2 · a វានឹងផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នានឹងរូបមន្ត x = − b 2 · a ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ចូរយើងផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍សម្រាប់តម្លៃផ្សេងគ្នានៃអ្នករើសអើង។

ឧទាហរណ៍ ៦

យើងត្រូវស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ x 2 + 2 x − 6 = 0.

ដំណោះស្រាយ

ចូរសរសេរមេគុណលេខនៃសមីការការ៉េ៖ a = 1, b = 2 និង គ = − ៦. បន្ទាប់យើងបន្តទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ i.e. ចូរចាប់ផ្តើមគណនាការរើសអើង ដែលយើងនឹងជំនួសមេគុណ a, b និង គចូលទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើង៖ D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 ។

ដូច្នេះយើងទទួលបាន D> 0 ដែលមានន័យថាសមីការដើមនឹងមានឫសពិតពីរ។
ដើម្បីស្វែងរកពួកវា យើងប្រើរូបមន្តឫស x = - b ± D 2 · a ហើយជំនួសតម្លៃដែលត្រូវគ្នា យើងទទួលបាន: x = − 2 ± 28 2 · 1 ។ ចូរយើងសម្រួលការបញ្ចេញមតិលទ្ធផលដោយយកកត្តាចេញពីសញ្ញាឫសហើយបន្ទាប់មកកាត់បន្ថយប្រភាគ៖

x = − 2 ± 2 7 ២

x = − 2 + 2 7 2 ឬ x = − 2 − 2 7 2

x = − 1 + 7 ឬ x = − 1 − 7

ចម្លើយ៖ x = − 1 + 7 , x = − 1 − 7 ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ត្រូវការដោះស្រាយសមីការការ៉េ − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

ដំណោះស្រាយ

ចូរកំណត់អ្នករើសអើង៖ ឃ = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. ជាមួយនឹងតម្លៃនៃការរើសអើងនេះ សមីការដើមនឹងមានឫសតែមួយ កំណត់ដោយរូបមន្ត x = − b 2 · a ។

x = − 28 2 (− 4) x = 3.5

ចម្លើយ៖ x = 3.5.

ឧទាហរណ៍ ៨

សមីការត្រូវតែដោះស្រាយ 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

ដំណោះស្រាយ

មេគុណលេខនៃសមីការនេះនឹងមានៈ a = 5, b = 6 និង c = 2 ។ យើងប្រើតម្លៃទាំងនេះដើម្បីស្វែងរកការរើសអើង៖ D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 ។ ការរើសអើងដែលបានគណនាគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការការ៉េដើមមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ក្នុងករណីដែលភារកិច្ចគឺដើម្បីចង្អុលបង្ហាញឫសស្មុគ្រស្មាញ យើងអនុវត្តរូបមន្តឫស ដោយអនុវត្តសកម្មភាពជាមួយចំនួនកុំផ្លិច៖

x = − 6 ± − 4 2 5 ,

x = − 6 + 2 i 10 ឬ x = − 6 − 2 i 10,

x = − 3 5 + 1 5 · i ឬ x = − 3 5 − 1 5 · i.

ចម្លើយ៖មិនមានឫសពិតប្រាកដ; ឫសស្មុគ្រស្មាញមានដូចខាងក្រោម៖ - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i ។

នៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា មិនមានតម្រូវការស្តង់ដារដើម្បីរកមើលឫសស្មុគ្រស្មាញទេ ដូច្នេះប្រសិនបើក្នុងអំឡុងពេលនៃដំណោះស្រាយ អ្នករើសអើងត្រូវបានកំណត់ថាអវិជ្ជមាន ចម្លើយត្រូវបានសរសេរភ្លាមៗថាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដនោះទេ។

រូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ

រូបមន្តឫស x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) ធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានរូបមន្តមួយទៀតបង្រួមជាងមុន ដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េដែលមានមេគុណគូសម្រាប់ x ( ឬជាមួយមេគុណនៃទម្រង់ 2 · n ឧទាហរណ៍ 2 3 ឬ 14 ln 5 = 2 7 ln 5) ។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលរូបមន្តនេះចេញមក។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 ។ យើងបន្តទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ៖ យើងកំណត់ការរើសអើង D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ហើយបន្ទាប់មកប្រើរូបមន្តឫស៖

x = − 2 n ± D 2 a, x = − 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = − 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

អនុញ្ញាតឱ្យកន្សោម n 2 − a · c ត្រូវបានតំណាងថាជា D 1 (ជួនកាលវាតំណាងឱ្យ D ") បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលកំពុងពិចារណាជាមួយមេគុណទីពីរ 2 · n នឹងយកទម្រង់៖

x = − n ± D 1 a, ដែល D 1 = n 2 − a · c ។

វាងាយមើលថា D = 4 · D 1, ឬ D 1 = D 4 ។ និយាយម្យ៉ាងទៀត D 1 គឺមួយភាគបួននៃអ្នករើសអើង។ ជាក់ស្តែង សញ្ញា D 1 គឺដូចគ្នានឹងសញ្ញា D ដែលមានន័យថា សញ្ញា D 1 ក៏អាចដើរតួជាសូចនាករនៃវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ១១

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េដែលមានមេគុណទីពីរនៃ 2 n វាគឺចាំបាច់៖

  • រក D 1 = n 2 − a · c ;
  • នៅ D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • នៅពេល D 1 = 0 កំណត់ឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត x = - n a;
  • សម្រាប់ D 1 > 0 កំណត់ឫសពិតពីរដោយប្រើរូបមន្ត x = - n ± D 1 a ។

ឧទាហរណ៍ ៩

វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

យើងអាចតំណាងឱ្យមេគុណទីពីរនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យជា 2 · (− 3) ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញជា 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 ដែល a = 5, n = − 3 និង c = − 32 ។

ចូរគណនាផ្នែកទីបួននៃអ្នករើសអើង៖ D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169 ។ តម្លៃលទ្ធផលគឺវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសមីការមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងកំណត់ពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលត្រូវគ្នា៖

x = - n ± D 1 a, x = - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ឬ x = 3 − 13 5

x = 3 1 5 ឬ x = − 2

វាអាចអនុវត្តការគណនាដោយប្រើរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយនឹងកាន់តែស្មុគស្មាញ។

ចម្លើយ៖ x = 3 1 5 ឬ x = − 2 ។

ធ្វើឱ្យទម្រង់នៃសមីការការ៉េសាមញ្ញ

ជួនកាលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើនប្រសិទ្ធភាពទម្រង់នៃសមីការដើមដែលនឹងធ្វើឱ្យដំណើរការនៃការគណនាឫសកាន់តែងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍ សមីការការ៉េ 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 ច្បាស់ជាងាយស្រួលដោះស្រាយជាង 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 ។

កាន់តែញឹកញាប់ ភាពសាមញ្ញនៃទម្រង់សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានអនុវត្តដោយការគុណ ឬបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានបង្ហាញពីការតំណាងសាមញ្ញនៃសមីការ 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 ដែលទទួលបានដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ 100 ។

ការបំប្លែងបែបនេះគឺអាចធ្វើទៅបាននៅពេលដែលមេគុណនៃសមីការការ៉េមិនមែនជាលេខ coprime ។ បន្ទាប់មកជាធម្មតាយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា។

ជាឧទាហរណ៍ យើងប្រើសមីការការ៉េ 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ GCD នៃតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6 ។ ចូរយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការការ៉េដើមដោយ 6 ហើយទទួលបានសមីការការ៉េសមមូល 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 ។

ដោយការគុណទាំងសងខាងនៃសមីការការ៉េ ជាធម្មតាអ្នកកម្ចាត់មេគុណប្រភាគ។ ក្នុងករណីនេះ ពួកវាគុណនឹងផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃភាគបែងនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើផ្នែកនីមួយៗនៃសមីការការ៉េ 1 6 x 2 + 2 3 x − 3 = 0 ត្រូវបានគុណនឹង LCM (6, 3, 1) = 6 នោះវានឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់សាមញ្ញជាង x 2 + 4 x ។ − ១៨ = ០ ។

ជាចុងក្រោយ យើងកត់សំគាល់ថាយើងស្ទើរតែតែងតែកម្ចាត់ដកនៅមេគុណទីមួយនៃសមីការការ៉េ ដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យនីមួយៗនៃសមីការ ដែលត្រូវបានសម្រេចដោយគុណ (ឬចែក) ភាគីទាំងពីរដោយ −1 ។ ឧទាហរណ៍ ពីសមីការការ៉េ − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 អ្នកអាចទៅកាន់កំណែសាមញ្ញរបស់វា 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 ។

ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលស្គាល់យើងរួចហើយ x = - b ± D 2 · a បង្ហាញពីឫសនៃសមីការតាមរយៈមេគុណលេខរបស់វា។ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនេះ យើងមានឱកាសដើម្បីបញ្ជាក់ភាពអាស្រ័យផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណ។

រូបមន្តដ៏ល្បីល្បាញ និងអាចអនុវត្តបានគឺទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

x 1 + x 2 = − b a និង x 2 = c a ។

ជាពិសេសសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ផលបូកនៃឫសគឺជាមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី។ ឧទាហរណ៍ ដោយមើលទម្រង់នៃសមីការការ៉េ 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 វាអាចកំណត់ភ្លាមៗថាផលបូកនៃឫសរបស់វាគឺ 7 3 ហើយផលនៃឫសគឺ 22 3 ។

អ្នកក៏អាចរកឃើញទំនាក់ទំនងមួយចំនួនផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ ផលបូកនៃការ៉េនៃឫសនៃសមីការ quadratic អាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណ៖

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 − 2 x 1 x 2 = − b a 2 − 2 c a = b 2 a 2 − 2 c a = b 2 − 2 a c a 2 .

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

គ្រាន់តែ។ យោងតាមរូបមន្តនិងច្បាប់សាមញ្ញច្បាស់លាស់។ នៅដំណាក់កាលដំបូង

វាចាំបាច់ក្នុងការនាំយកសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ i.e. ទៅទម្រង់៖

ប្រសិនបើសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអ្នកក្នុងទម្រង់នេះរួចហើយ អ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើដំណាក់កាលដំបូងឡើយ។ អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺធ្វើវាឱ្យត្រឹមត្រូវ។

កំណត់មេគុណទាំងអស់ ក, ខនិង គ.

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ។

កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាឫសត្រូវបានគេហៅថា រើសអើង . ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដើម្បីស្វែងរក X យើង

យើង​ប្រើ មានតែ a, b និង c. ទាំងនោះ។ មេគុណពី សមីការ​ការ៉េ. គ្រាន់តែដាក់វាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន

តម្លៃ a, b និង cយើងគណនាតាមរូបមន្តនេះ។ យើងជំនួសដោយ របស់ពួកគេ។សញ្ញា!

ឧទាហរណ៍, នៅក្នុងសមីការ៖

ក =1; ខ = 3; គ = -4.

យើងជំនួសតម្លៃហើយសរសេរ៖

ឧទាហរណ៍ស្ទើរតែត្រូវបានដោះស្រាយ៖

នេះគឺជាចម្លើយ។

កំហុសទូទៅបំផុតគឺការភាន់ច្រលំជាមួយនឹងតម្លៃសញ្ញា ក, ខនិង ជាមួយ. ឬជំនួសដោយការជំនួស

តម្លៃអវិជ្ជមានទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់គណនាឫស។ ការកត់ត្រាលម្អិតនៃរូបមន្តមកជួយសង្គ្រោះនៅទីនេះ

ជាមួយនឹងលេខជាក់លាក់។ ប្រសិនបើអ្នកមានបញ្ហាជាមួយការគណនា ធ្វើវា!

ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

នៅទីនេះ ក = -6; ខ = -5; គ = -1

យើងពណ៌នាអំពីអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងយ៉ាងលម្អិត ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ដោយមិនខ្វះអ្វីទាំងអស់ជាមួយនឹងសញ្ញា និងតង្កៀបទាំងអស់៖

សមីការ quadratic ច្រើនតែមើលទៅខុសគ្នាបន្តិច។ ឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖

ឥឡូវនេះសូមកត់សម្គាល់ពីបច្ចេកទេសជាក់ស្តែងដែលកាត់បន្ថយចំនួនកំហុសឆ្គងយ៉ាងខ្លាំង។

ការណាត់ជួបដំបូង. កុំខ្ជិលពីមុន ដោះស្រាយសមីការការ៉េនាំវាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

តើ​នេះ​មានន័យថា​ម៉េច​?

ចូរនិយាយថាបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់អ្នកទទួលបានសមីការដូចខាងក្រោម:

កុំប្រញាប់សរសេររូបមន្តឫស! អ្នកស្ទើរតែប្រាកដជាទទួលបានហាងឆេងលាយឡំ a, b និង c ។

បង្កើតឧទាហរណ៍ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ទីមួយ X ការ៉េ បន្ទាប់មកដោយគ្មានការ៉េ បន្ទាប់មកពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ ដូចនេះ៖

កម្ចាត់ដក។ យ៉ាងម៉េច? យើងត្រូវគុណសមីការទាំងមូលដោយ -1 ។ យើង​ទទួល​បាន:

ប៉ុន្តែឥឡូវនេះអ្នកអាចសរសេររូបមន្តសម្រាប់ឫសដោយសុវត្ថិភាព គណនាការរើសអើង និងបញ្ចប់ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង។ ឥឡូវនេះអ្នកគួរតែមានឫស 2 និង -1 ។

ទទួលភ្ញៀវទីពីរ។ពិនិត្យឫស! ដោយ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា.

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យ i.e. ប្រសិនបើមេគុណ

x 2 +bx+c=0,

បន្ទាប់មកx 1 x 2 = គ

x 1 + x 2 = −ខ

សម្រាប់សមីការ quadratic ពេញលេញដែលក្នុងនោះ a≠1:

x 2 +ខx+គ=0,

ចែកសមីការទាំងមូលដោយ ក៖

→ →

កន្លែងណា x ១និង x 2 - ឫសគល់នៃសមីការ។

ទទួលភ្ញៀវទីបី. ប្រសិនបើសមីការរបស់អ្នកមានមេគុណប្រភាគ ចូរកម្ចាត់ប្រភាគចេញ! គុណ

សមីការជាមួយភាគបែងរួម។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។ គន្លឹះជាក់ស្តែង៖

1. មុនពេលដោះស្រាយ យើងនាំយកសមីការការ៉េទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ ហើយបង្កើតវា។ ត្រូវហើយ។.

2. ប្រសិនបើមានមេគុណអវិជ្ជមាននៅពីមុខ X ការ៉េ យើងលុបបំបាត់វាដោយគុណអ្វីគ្រប់យ៉ាង

សមីការដោយ -1 ។

3. ប្រសិនបើមេគុណជាប្រភាគ យើងលុបបំបាត់ប្រភាគដោយគុណសមីការទាំងមូលដោយប្រភាគដែលត្រូវគ្នា

កត្តា។

4. ប្រសិនបើ x ការ៉េគឺសុទ្ធ មេគុណរបស់វាស្មើនឹងមួយ ដំណោះស្រាយអាចពិនិត្យបានយ៉ាងងាយស្រួល