ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಸೂತ್ರ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

", ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?

ಪ್ರಮುಖ!

ಸಮೀಕರಣದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಜ್ಞಾತವು ನಿಂತಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಜ್ಞಾತವು "2" ಆಗಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• -x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

ಪ್ರಮುಖ! ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ;
• "b" ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ;
• "ಸಿ" ಒಂದು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ.

"a", "b" ಮತ್ತು "c" ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ax 2 + bx + c = 0" ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ "a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣ.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಶೇಷ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸೂತ್ರ.

ನೆನಪಿಡಿ!

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ax 2 + bx + c = 0" ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ. ಅಂದರೆ, "0" ಮಾತ್ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಬೇಕು;
• ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ "ax 2 + bx + c = 0" ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ.

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ "a", "b" ಮತ್ತು "c" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

"x 1;2 =" ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
"D" ಅಕ್ಷರಕ್ಕೆ "b 2 - 4ac" ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ತಾರತಮ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾರತಮ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು "ಏನು ತಾರತಮ್ಯ" ಎಂಬ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

x 2 + 9 + x = 7x

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, "ಎ", "ಬಿ" ಮತ್ತು "ಸಿ" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ "ax 2 + bx + c = 0" ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

ಈಗ ನೀವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಸೂತ್ರವು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ " ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಂತರ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು? ಅವರ ಪ್ರಕಾರಗಳು

ಮೊದಲು ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಇದರ ನಂತರ, ನೀವು ಮುಖ್ಯ ವಿಧದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು: ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ a x 2 +b x+c=0, ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್, a, b ಮತ್ತು c ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು a ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಹೇಳೋಣ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಎರಡನೇ ಪದವಿ.

ಹೇಳಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು a·x 2 +b·x+c=0, ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ a ಅನ್ನು ಮೊದಲ, ಅಥವಾ ಅತ್ಯಧಿಕ ಅಥವಾ x 2 ನ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, b ಎಂಬುದು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ, ಅಥವಾ x ನ ಗುಣಾಂಕ, ಮತ್ತು c ಎಂಬುದು ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 x 2 -2 x -3=0 ರೂಪದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 5 ಆಗಿದೆ, ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವು −2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದವು -3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳು b ಮತ್ತು/ಅಥವಾ c ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ, ಈಗ ನೀಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕಿರು ರೂಪವು 5 x 2 +(-2 ) ಬದಲಿಗೆ 5 x 2 -2 x-3=0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ·x+(-3)=0 .

a ಮತ್ತು/ಅಥವಾ b ಗುಣಾಂಕಗಳು 1 ಅಥವಾ −1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಅಂತಹ ಬರವಣಿಗೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y 2 -y+3=0 ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು y ನ ಗುಣಾಂಕವು −1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 1 ಆಗಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮುಟ್ಟದ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು x 2 -3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, ಇತ್ಯಾದಿ. - ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. A 5 x 2 -x−1=0, ಇತ್ಯಾದಿ. - ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅವುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕಗಳು 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅದರಂತೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಹೇಗೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

3 x 2 +12 x−7=0 ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ಇದು ಒಂದೇ, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, ಮತ್ತು ನಂತರ (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, ಎಲ್ಲಿಂದ . ಈ ರೀತಿ ನಾವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು a≠0 ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ a x 2 + b x + c = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ a = 0 ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ b x + c = 0 ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು a x 2 +b x+c=0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೂರ್ಣ, ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು b, c ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ.

ಅದರ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಹ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮುಂದಿನ ಚರ್ಚೆಗಳಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಂಕ b ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 +0·x+c=0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು a·x 2 +c=0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. c=0, ಅಂದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 +b·x+0=0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು a·x 2 +b·x=0 ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತು b=0 ಮತ್ತು c=0 ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು a·x 2 =0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಎಡ-ಬದಿಗಳು ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅಥವಾ ಉಚಿತ ಪದ ಅಥವಾ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರ ಹೆಸರು - ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ x 2 +x+1=0 ಮತ್ತು -2 x 2 -5 x+0.2=0 ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , -x 2 -5 x=0 ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯಿಂದ ಅದು ಇದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮೂರು ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

• a·x 2 =0, ಗುಣಾಂಕಗಳು b=0 ಮತ್ತು c=0 ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ;
• a x 2 +c=0 ಯಾವಾಗ b=0 ;
• ಮತ್ತು a·x 2 +b·x=0 ಯಾವಾಗ c=0.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

a x 2 =0

ಗುಣಾಂಕಗಳು b ಮತ್ತು c ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ x 2 =0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ. a·x 2 =0 ಸಮೀಕರಣವು x 2 =0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲದಿಂದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, x 2 =0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 0 2 =0. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ p 2 >0 ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ p≠0 ಗಾಗಿ ಸಮಾನತೆ p 2 =0 ಅನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 =0 ಒಂದೇ ಮೂಲ x=0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ -4 x 2 =0. ಇದು x 2 =0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಏಕೈಕ ಮೂಲವು x=0 ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0

a x 2 +c=0

ಗುಣಾಂಕ b ಸೊನ್ನೆ ಮತ್ತು c≠0 ಆಗಿರುವ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೋಡೋಣ, ಅಂದರೆ x 2 +c=0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು x 2 +c=0 ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು:

• c ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x 2 =-c ನೀಡುತ್ತದೆ,
• ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು c ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a=1 ಮತ್ತು c=2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ) ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a=-2 ಮತ್ತು c=6, ನಂತರ ), ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ , ಏಕೆಂದರೆ ಷರತ್ತು c≠0. ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಯಾವಾಗ , ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ p ಗೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ, ರಿಂದ . ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, . ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಎಂದು ಘೋಷಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸಮೀಕರಣವು ಸೂಚಿಸಲಾದ x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲ x 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು x ಬದಲಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು x 2 ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ x 1 2 -x 2 2 =0 ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಇದು x 1 -x 2 =0 ಮತ್ತು/ಅಥವಾ x 1 +x 2 =0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, x 2 =x 1 ಮತ್ತು/ಅಥವಾ x 2 =-x 1. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು x 2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು x 1 ಮತ್ತು −x 1 ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಮತ್ತು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ. ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a x 2 +c=0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

• ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ,
• ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು , ವೇಳೆ .

a·x 2 +c=0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

9 x 2 +7=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಮುಕ್ತ ಪದವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದು 9 x 2 =-7 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 9 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಬಲಭಾಗವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು 9 x 2 +7 = 0 ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತೊಂದು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ -x 2 +9=0. ನಾವು ಒಂಬತ್ತನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ: -x 2 =-9. ಈಗ ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು −1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು x 2 = 9 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ . ನಂತರ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು −x 2 +9=0 ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x=3 ಅಥವಾ x=-3.

a x 2 +b x=0

c=0 ಗಾಗಿ ಕೊನೆಯ ವಿಧದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. x 2 + b x = 0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಮಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶ x ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಕು. ಇದು ನಮಗೆ ಮೂಲ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x·(a·x+b)=0 ರೂಪದ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣವು x=0 ಮತ್ತು a·x+b=0 ಎಂಬ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು x=−b/a ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು a·x 2 +b·x=0 x=0 ಮತ್ತು x=−b/a ಎಂಬ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ x ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು x=0 ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು x=0 ಮತ್ತು .

ಅಗತ್ಯ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉತ್ತರ:

x=0, .

ತಾರತಮ್ಯ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಒಂದು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವಿದೆ. ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ:, ಎಲ್ಲಿ D=b 2 -4 a c- ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ. ಪ್ರವೇಶವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ನಾವು a·x 2 +b·x+c=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

• ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.
• ಈಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ: . ಇದರ ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.
• ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ .
• ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು a·x 2 +b·x+c=0 ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

• ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ;
• ಒಂದು ವೇಳೆ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಏಕೈಕ ಮೂಲವು ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ;
• ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಅಥವಾ , ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ , ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಅಂಶದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಛೇದ 4·a 2 ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ b 2 −4·a·c. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ b 2 -4 a c ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯಮತ್ತು ಪತ್ರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಡಿ. ಇಲ್ಲಿಂದ ತಾರತಮ್ಯದ ಸಾರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - ಅದರ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನು - ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು.

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: . ಮತ್ತು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

• ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
• ಅಂತಿಮವಾಗಿ, D>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಅಥವಾ, ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಂದ ನಂತರ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳು ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ D=b 2 −4·a·c ಸೂತ್ರದಿಂದ ತಾರತಮ್ಯ D ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಧನಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಟ್ನ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದನ್ನು ನಾವು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕಬೇರುಗಳು, ನಾವು ಪಡೆದ ಅದೇ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶಾಲೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು, ಮೊದಲು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು), ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಮೇಲಿನ ತರ್ಕವು ನಮಗೆ ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು a x 2 +b x+c=0, ನಿಮಗೆ ಇವುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು D=b 2 −4·a·c, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ;
• ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ;
• D=0 ವೇಳೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ;
• ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ; ಅದು ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ನೀವು ಹೋಗಬಹುದು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅವರ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

x 2 +2·x−6=0 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a=1, b=2 ಮತ್ತು c=−6. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಮೊದಲು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸೂಚಿಸಿದ a, b ಮತ್ತು c ಅನ್ನು ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 ರಿಂದ, ಅಂದರೆ, ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಗುಣಕವನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತದೆಭಾಗದ ಕಡಿತದ ನಂತರ:

ಉತ್ತರ:

ಮುಂದಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ −4 x 2 +28 x−49=0 .

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ,

ಉತ್ತರ:

x=3.5.

ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

5·y 2 +6·y+2=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: a=5, b=6 ಮತ್ತು c=2. ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ D=b 2 −4·a·c=6 2 -4·5·2=36−40=−4. ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕಾದರೆ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು:

ಉತ್ತರ:

ಯಾವುದೇ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು: .

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಕ್ಷಣವೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗಮನಿಸೋಣ.

ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ರೂಟ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಫಾರ್ಮುಲಾ, ಅಲ್ಲಿ D=b 2 -4·a·c ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೂಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು x ಗಾಗಿ ಸಮ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ a ನೊಂದಿಗೆ 2·n ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಾಂಕ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಥವಾ 14· ln5=2·7·ln5 ). ಅವಳನ್ನು ಹೊರಹಾಕೋಣ.

ನಾವು x 2 +2 n x+c=0 ರೂಪದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ D=(2 n) 2 -4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ n 2 -a c ಅನ್ನು D 1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು D " ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ನಂತರ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ 2 n ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. , ಅಲ್ಲಿ D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1, ಅಥವಾ D 1 =D/4 ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿ 1 ತಾರತಮ್ಯದ ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಡಿ 1 ರ ಚಿಹ್ನೆಯು ಡಿ ಚಿಹ್ನೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಡಿ 1 ಚಿಹ್ನೆಯು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ 2·n ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ

• D 1 =n 2 -a·c ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ;
• ಡಿ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ;
• D 1 >0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

5 x 2 -6 x -32=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು 2·(−3) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ನೀವು ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ಇಲ್ಲಿ a=5, n=-3 ಮತ್ತು c=−32 ನಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ತಾರತಮ್ಯ: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2 −5·(-32)=9+160=169. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲು ಅದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ: "ಈ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?" ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ 1100 x 2 -400 x-600=0 ಗಿಂತ 11 x 2 -4 x−6=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ 1100 x 2 -400 x -600=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 12 x 2 −42 x+48=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ 2 x 2 -7 x+8=0 ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಛೇದದಿಂದ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು LCM(6, 3, 1)=6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸರಳವಾದ ರೂಪ x 2 +4·x−18=0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಹಂತದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಗುಣಾಂಕದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು −1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು (ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಲು) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ -2 x 2 -3 x+7=0 ಪರಿಹಾರ 2 x 2 +3 x−7=0 ಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಇತರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಪ ಮತ್ತು . ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀಡಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 x 2 -7 x + 22 = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು 7/3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 22 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಬಹುದು. /3.

ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಹಲವಾರು ಇತರ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: .

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

• ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 8 ನೇ ತರಗತಿ. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ. ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. - 11 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2009. - 215 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-01155-2.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು a*x^2 + b*x + c = 0, ಅಲ್ಲಿ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತಾರೆ X-ವೇರಿಯಬಲ್, a, b, c - ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು; ಎ<>0 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು (ಬೇರುಗಳು) ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ (x) ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:
1) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಅದು ಮೇಲಿನ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಇದು ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).

2) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಹ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಎರಡು ಒಂದೇ ಬೇರುಗಳು).

3) ಕೊನೆಯ ಪ್ರಕರಣವು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ - ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಛೇದನದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳಿವೆ.

ಅಸ್ಥಿರ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ನಿಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

1) ಗುಣಾಂಕ a ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಗುಣಾಂಕ b ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವು ಎಡ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸೋಣ

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 4a ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ b^2 ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಿ

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ

ತಾರತಮ್ಯವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯ ಬೇರುಗಳು), ಇದನ್ನು D=0 ಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ನಾವು ರೂಪದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಂತರ ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಗುಣಾಂಕ p ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದ q ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಶೂನ್ಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಿ: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅಂಶ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ). ಮುಂದೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಸ್ತರಣೆ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಕಾರ್ಯ 1. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

x^2-26x+120=0 .

ಪರಿಹಾರ: ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತಾರತಮ್ಯ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ

ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಮೂಲವು 14 ಆಗಿದೆ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ, ಅಥವಾ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಲೇಖನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾನು ನಿಮಗೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎದುರಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು.
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ

ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಕಾರ್ಯ 2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

2x 2 +x-3=0.

ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ


ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಕಾರ್ಯ 3. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

9x 2 -12x+4=0.

ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ಬೇರುಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಕಾರ್ಯ 4. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

x^2+x-6=0 .

ಪರಿಹಾರ: x ಗಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಗುಣಾಂಕಗಳಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಎರಡನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು -6 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಜೋಡಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (-3;2), (3;-2) . ಮೊದಲ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಎರಡನೇ ಜೋಡಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ

ಸಮಸ್ಯೆ 5. ಆಯತದ ಪರಿಧಿಯು 18 ಸೆಂ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 77 ಸೆಂ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಆಯತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪರಿಧಿಯು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. x ಅನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಭಾಗವಾಗಿ ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ 18-x ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವು ಈ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
x(18-x)=77;
ಅಥವಾ
x 2 -18x+77=0.
ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಒಂದು ವೇಳೆ x=11,ಅದು 18 = 7,ವಿರುದ್ಧವೂ ಸಹ ನಿಜ (x=7 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 21's=9).

ಸಮಸ್ಯೆ 6. 10x 2 -11x+3=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೇರುಗಳಿಂದ ವಿಭಜಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದರಿಂದ ನಾವು ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಯಾವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎ,ಸಮೀಕರಣವು (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ: a=3 ಮೌಲ್ಯದ ನೇರ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ಶೂನ್ಯ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವು ಗುಣಾಕಾರ 2 ರ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ

ಅದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ a ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು 7 ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 12 ಆಗಿದೆ. ಸರಳ ಹುಡುಕಾಟದ ಮೂಲಕ 3,4 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ a=3 ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದೇ ಸರಿಯಾದದು - a=4.ಹೀಗಾಗಿ, a=4 ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಯಾವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎ,ಸಮೀಕರಣ a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅವುಗಳು a=0 ಮತ್ತು a=-3 ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವಾಗ a=0, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 6x-9=0 ರೂಪಕ್ಕೆ ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; x=3/2 ಮತ್ತು ಒಂದು ರೂಟ್ ಇರುತ್ತದೆ. a= -3 ಗಾಗಿ ನಾವು 0=0 ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸೋಣ

ಮತ್ತು ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಮೊದಲ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಾವು ಒಂದು> 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ


ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ a=0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 3>0 . ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗೆ (-3;1/3) ಕಾರ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಮರೆಯಬೇಡಿ a=0,ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬೇಕು.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ; ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಅವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುವಿರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನೀವು "ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ಎಂಬ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಯಾವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಈ ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿ x + ಸಿ = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಇಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ತಾರತಮ್ಯ D ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

D = b 2 - 4ac.

ತಾರತಮ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ (D< 0),то корней нет.

ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ x = (-b)/2a. ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ (D > 0),

ನಂತರ x 1 = (-b - √D)/2a, ಮತ್ತು x 2 = (-b + √D)/2a.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

ಉತ್ತರ: 2.

ಸಮೀಕರಣ 2 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಸಮೀಕರಣ 2 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

ಉತ್ತರ: - 3.5; 1.

ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ನೀವು ಕೇವಲ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ

ಎ x 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ,ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನೀವು ತಪ್ಪು ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x + 3 + 2x 2 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ನೀವು ಅದನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು

a = 1, b = 3 ಮತ್ತು c = 2. ನಂತರ

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ. (ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆ 2 ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಬರೆಯದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕು (ದೊಡ್ಡ ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕಪದವು ಮೊದಲು ಬರಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಎ x 2 , ನಂತರ ಕಡಿಮೆ ಜೊತೆ – bxತದನಂತರ ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ ಜೊತೆಗೆ.

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಮ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಇತರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಸಮ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (b = 2k), ನಂತರ ನೀವು ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕ ಇದ್ದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x 2 ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ x 2 + px + q = 0. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎ, ನಿಂತಿರುವುದು x 2 .

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರ 3 ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ
ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳ ಅನ್ವಯದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

3x 2 + 6x – 6 = 0.

ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

ಉತ್ತರ: –1 – √3; –1 + √3

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ನ ಗುಣಾಂಕವು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, b = 6 ಅಥವಾ b = 2k, ಎಲ್ಲಿಂದ k = 3. ನಂತರ ಆಕೃತಿ D ಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

ಉತ್ತರ: –1 – √3; –1 + √3. ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x 2 + 2x – 2 = 0 ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
ಸಮೀಕರಣಗಳು ಚಿತ್ರ 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

ಉತ್ತರ: –1 – √3; –1 + √3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಯಾಕುಪೋವಾ M.I. 1

ಸ್ಮಿರ್ನೋವಾ ಯು.ವಿ. 1

1 ಪುರಸಭೆಯ ಬಜೆಟ್ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ ಸಂಖ್ಯೆ 11

ಕೆಲಸದ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
ಕೆಲಸದ ಪೂರ್ಣ ಆವೃತ್ತಿಯು PDF ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ "ವರ್ಕ್ ಫೈಲ್ಸ್" ಟ್ಯಾಬ್ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಇತಿಹಾಸ

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್

ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಭೂ ಪ್ಲಾಟ್‌ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವಿಯಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಉಂಟಾಯಿತು. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸುಮಾರು 2000 BC ಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಇ. ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು. ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಆಧುನಿಕ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಈ ಪಠ್ಯಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪುರಾತನ ಗ್ರೀಸ್

ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಡಯೋಫಾಂಟಸ್, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಹೆರಾನ್‌ನಂತಹ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾಗಿದ್ದು, ಅವರು 3 ನೇ ಶತಮಾನ AD ಯಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ನ ಮುಖ್ಯ ಕೆಲಸವೆಂದರೆ 13 ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ "ಅಂಕಗಣಿತ". ಯೂಕ್ಲಿಡ್. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಒಬ್ಬ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೊದಲ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗ್ರಂಥದ ಲೇಖಕ ಹೆರಾನ್. ಹೆರಾನ್ - ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ಇಂಜಿನಿಯರ್ 1 ನೇ ಶತಮಾನ AD ಯಲ್ಲಿ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲು. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

ಭಾರತ

499 ರಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್ಯಭಟ್ಟರಿಂದ ಸಂಕಲಿಸಲಾದ "ಆರ್ಯಭಟ್ಟಿಯಂ" ಎಂಬ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (VII ಶತಮಾನ), ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು: ax2 + bx = c, a> 0. (1) ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (1) ಗುಣಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಆಳ್ವಿಕೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಮ್ಮಂತೆಯೇ ಇದೆ. ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳು ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದವು. ಅಂತಹ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹಳೆಯ ಭಾರತೀಯ ಪುಸ್ತಕವೊಂದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ: "ಸೂರ್ಯನು ತನ್ನ ತೇಜಸ್ಸಿನಿಂದ ನಕ್ಷತ್ರಗಳನ್ನು ಬೆಳಗಿಸುವಂತೆ, ಒಬ್ಬ ವಿದ್ವಾಂಸನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಭೆಗಳಲ್ಲಿ ತನ್ನ ವೈಭವವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಾನೆ." ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾವ್ಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದು 12 ನೇ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಭಾಸ್ಕರರು.

“ಚುರುಕು ಮಂಗಗಳ ಹಿಂಡು

ಮತ್ತು ಬಳ್ಳಿಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹನ್ನೆರಡು, ನನ್ನ ಹೃದಯದ ತೃಪ್ತಿಗೆ ತಿಂದ ನಂತರ ಮೋಜು ಮಾಡಿದೆ

ಅವರು ನೆಗೆಯುವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ನೇತಾಡುತ್ತಿದ್ದರು

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಟು ಭಾಗವು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ

ಎಷ್ಟು ಮಂಗಗಳು ಇದ್ದವು?

ನಾನು ತೆರವು ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಮೋಜು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೆ

ಹೇಳಿ, ಈ ಪ್ಯಾಕ್‌ನಲ್ಲಿ?

ಭಾಸ್ಕರ ಅವರ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳು ಎರಡು-ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಲೇಖಕರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಭಾಸ್ಕರ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x2 - 64x = - 768 ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, 322 ಅನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆ, ನಂತರ ಪಡೆಯುವುದು: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

17ನೇ ಶತಮಾನದ ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಯೂರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಲ್-ಖೋರೆಜ್ಮಿಯ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಬುಕ್ ಆಫ್ ಅಬಾಕಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು, ಇದನ್ನು 1202 ರಲ್ಲಿ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಇಸ್ಲಾಂ ದೇಶಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಿಂದ ಗಣಿತದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಈ ಬೃಹತ್ ಕೃತಿಯು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಲೇಖಕರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದ ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. ಅವರ ಪುಸ್ತಕವು ಇಟಲಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಜರ್ಮನಿ, ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಯುರೋಪಿಯನ್ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಜ್ಞಾನದ ಹರಡುವಿಕೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿತು. ಬುಕ್ ಆಫ್ ಅಬ್ಯಾಕಸ್‌ನಿಂದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು 16 ನೇ - 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ XVIII. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು Viète ನಿಂದ ಲಭ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ Viète ಧನಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ, ಕಾರ್ಡಾನೊ, ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರು. ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಹ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಗಿರಾರ್ಡ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಆಧುನಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ax 2 + bx + c = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು a, b, c ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಗುಣಾಂಕಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a, b, c ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. a ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕ (x² ಮೊದಲು), a ≠ 0; b ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ (x ಮೊದಲು); c ಎಂಬುದು ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ (x ಇಲ್ಲದೆ).

ಈ ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಲ್ಲ??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಧಗಳು

ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು a:

X 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ (ಎರಡನೆಯ ಗುಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಮುಕ್ತ ಪದ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ವಿಧಾನ I ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿ + ಸಿ = 0ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನೀವು ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: ಇದು ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ D=ಬಿ 2 - 4ac

ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ:

ಸೂಚನೆ:ಗುಣಾಕಾರ 2 ರ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಸಮಾನತೆ D=0 ಅನ್ನು ಅದರೊಳಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು D0 ನಲ್ಲಿ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನ, ಮತ್ತು (ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (sqrt ( -1))=i) = i.

ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ವಿಧಾನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಒಂದೇ ಒಂದು ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು, ಆದ್ಯತೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸೊಗಸಾದ, ಸರಳ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಕಾರ್ಮಿಕ-ತೀವ್ರವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ.

II ವಿಧಾನ. ಸಮ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳುಬಿ III ವಿಧಾನ. ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

IV ವಿಧಾನ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಭಾಗಶಃ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದದ ಮೊತ್ತವು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ = 0ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದದ ಮೊತ್ತವು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: a+b=c, ನಂತರ ಅದರ ಬೇರುಗಳು -1 ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಮುಂಚೂಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ( -ಸಿ/ಎ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು: ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ.

ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು 1 ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದದ ಅನುಪಾತವು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ( ಸಿ/ಎ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು: ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿ ವಿಧಾನ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೆ ಮಾಡುವುದು

ತ್ರಿಪದಿಯಾದರೆ ರೂಪ (ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಕೊಡಲಿ^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0)ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಹೇಗಾದರೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು (ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ = 0- ಅವು -m/k ಮತ್ತು n/l ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ (ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಮೇಲಿನದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಇದು ಸಾಧ್ಯ.

ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ವರ್ಗ ಮೊತ್ತ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

ಮೊತ್ತದ ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು (ವ್ಯತ್ಯಾಸ)

ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ಮೊತ್ತದ ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು (ವ್ಯತ್ಯಾಸ)" ಎಂಬ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹಿಂದೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದರರ್ಥ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು:

ಸೂಚನೆ:ನೀವು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಈ ಸೂತ್ರವು "ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮಾನತೆ a=1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ (1) ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಸತ್ಯವು ಕೇವಲ ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ: ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

VI ವಿಧಾನ. ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ವಿಯೆಟಾದ ನೇರ ಪ್ರಮೇಯ (ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೂತ್ರ (1) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚು ತೊಡಕಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸದೆ ಮೇಲಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂವಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಸಂಖ್ಯೆ) (ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x_(1),x_(2))x 1, x 2, ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪೂರೈಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೇರ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ತಿಳಿಯದೆಯೇ ನೀವು ಬೇರುಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು:

1) ಉಚಿತ ಪದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;

2) ಉಚಿತ ಪದವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದೆ.

VII ವಿಧಾನ. ವರ್ಗಾವಣೆ ವಿಧಾನ

"ವರ್ಗಾವಣೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಧಾನವು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಮುಂದೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅವು ಮೂಲ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತವೆ (ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ y_(1)=ax_(1)) ವೈ 1 = ಕೊಡಲಿ 1 ಮತ್ತು ವೈ 2 = ಕೊಡಲಿ 2 .(ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ y_(2)=ax_(2))

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು (ಬೇರುಗಳು) ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಪರವಲಯವು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ), ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ). ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ.)

ಗುಣಾಂಕ ಇದ್ದರೆ (ಪ್ರದರ್ಶನ ಶೈಲಿ a) ಎಧನಾತ್ಮಕ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಗುಣಾಂಕ ಇದ್ದರೆ (ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ) bpositive (ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ (ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a) ಎ, ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಮದಲ್ಲಿ), ನಂತರ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವು ಎಡ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಅನೇಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು, ರಚನೆಗಳು, ಕ್ರೀಡೆಗಳು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಅನ್ವಯದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀಡೋಣ.

ಕ್ರೀಡೆ. ಎತ್ತರದ ಜಿಗಿತಗಳು: ಜಿಗಿತಗಾರರ ರನ್-ಅಪ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಟೇಕ್-ಆಫ್ ಬಾರ್ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಾರಾಟದ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, ಎಸೆಯುವಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಹಾರಾಟದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಹಗಳ ಪಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ವಿಮಾನ ಹಾರಾಟ. ವಿಮಾನವು ಹಾರಾಟದ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರತಿರೋಧ ಮತ್ತು ಟೇಕ್‌ಆಫ್‌ನ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಆರ್ಥಿಕ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಆಡಿಯೋ, ವಿಡಿಯೋ, ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ರಾಸ್ಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸಿದವು; ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಅವುಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸರಳವಲ್ಲ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ನಾನು ಬಂದಿದ್ದೇನೆ. ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ, ಈ ವಿಧಾನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ. ಜೀವನ ಮತ್ತು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಯಿತು. ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅವುಗಳ ಬಳಕೆ, ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್, ಪ್ರಕಾರಗಳು, ಪರಿಹಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇನೆ. ಮತ್ತು ಅವರ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲು ನಾನು ಸಂತೋಷಪಡುತ್ತೇನೆ. ಇದು ನನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಬಳಸಿದ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪಟ್ಟಿ

ಸೈಟ್ ವಸ್ತುಗಳು:

ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಪಾಠ.ಆರ್ಎಫ್ ತೆರೆಯಿರಿ

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಕೈಪಿಡಿ ವೈಗೋಡ್ಸ್ಕಿ M. ಯಾ.