ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ
, ಇಲ್ಲಿ f ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಸ್ಥಿರವಾದ t ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ty ಯಿಂದ ಮತ್ತು x ಅನ್ನು tx ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು: y → ty, x → tx. ಟಿ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಇದು ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ. ಈ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ y′ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
.

ಉದಾಹರಣೆ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು y → ty, x → tx ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.


ಟಿ ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ 2 .

.
ಸಮೀಕರಣವು ಟಿ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನ

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ y = ux ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
(i)
ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
y = ux,
ಅಲ್ಲಿ ನೀವು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ:
y′ =
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ (i).
,
,
(ii) .
ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ. dx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ( f(u) - u ).

ಎಫ್ ನಲ್ಲಿ (ಯು) - ಯು ≠ 0ಮತ್ತು x ≠ 0 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (i)ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ:

ಇಂಟಿಗ್ರೇಷನ್ C ಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ ಎಲ್ಎನ್ ಸಿ, ನಂತರ

ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಮುಂದೆ ನಾವು ಎಫ್ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು (ಯು) - ಯು = 0.
ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (ii). Eq ರಿಂದ. (ii)ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು (i).

ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ನಾವು g ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ (x, y), ನಂತರ ಮತ್ತಷ್ಟು ರೂಪಾಂತರಗಳು g ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ (x, y) ≠ 0. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು (x, y) = 0.

ಏಕರೂಪದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ನಾವು y → ty, x → tx ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, y′ → y′.
,
,
.
ನಾವು ಅದನ್ನು ಟಿ ಯಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಸ್ಥಿರ ಟಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು y = ux ಅನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ u ಎಂಬುದು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ.
,
,
,
.
ಯಾವಾಗ x ≥ 0 , |x| = x. ಯಾವಾಗ x ≤ 0 , |x| = - x . ನಾವು |x| = x ಮೇಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯು x ≥ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ 0 , ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ - ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ x ≤ 0 .
,
dx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ.

ಯಾವಾಗ ಯು 2 - 1 ≠ 0 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಕೋಷ್ಟಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು,
.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
a = u, ಎಂದು ಹಾಕೋಣ.
.
ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮೈಸ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ,
.
ಇಲ್ಲಿಂದ
.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
,
.
ನಾವು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಆರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಯಸಿದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

x ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ux = y.
,
.
ಅದನ್ನು ಚೌಕ ಮಾಡಿ.
,
,
.

ಈಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಯು 2 - 1 = 0 .
ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು
.
y = x ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

ಉತ್ತರ

,
,
.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಎನ್.ಎಂ. ಗುಂಥರ್, ಆರ್.ಓ. ಕುಜ್ಮಿನ್, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ, "ಲ್ಯಾನ್", 2003.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತಹ ಅದ್ಭುತವಾದ ಗಣಿತದ ಸಾಧನದ ಇತಿಹಾಸದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಎಲ್ಲಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಂತೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಅವರ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಅವರು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು, ಅವರು ಸಂದೇಶವನ್ನು ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಿದರು, ಇದನ್ನು ಇಂದು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು: "ಪ್ರಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ." ಇದು ಉತ್ಪ್ರೇಕ್ಷೆಯಂತೆ ತೋರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ನಿಜ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದ ಯಾವುದೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಅವರು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ರಚನೆಗೆ ಭಾರಿ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಈಗಾಗಲೇ 18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಅವರು ಈಗ ಹಿರಿಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮೈಲಿಗಲ್ಲು ಹೆನ್ರಿ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅವರಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಅವರು "ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಮಹತ್ವದ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ - ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು?

ಅನೇಕ ಜನರು ಒಂದು ನುಡಿಗಟ್ಟುಗೆ ಹೆದರುತ್ತಾರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾರವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೆಸರಿನಿಂದ ತೋರುವಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಮೊದಲು ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಬೇಕು. ಮತ್ತು ನಾವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ

ಶಾಲೆಯಿಂದಲೂ ಅನೇಕ ಜನರು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಷ್ಟು ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. ಪರಸ್ಪರ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ (x ಅಥವಾ y) ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು dy (y ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಮತ್ತು dx (x ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಮಾಣವಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಮತ್ತು ಇದು ಅದರ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಮುಂದಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಾವೆಲ್ಲರೂ ಬಹುಶಃ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ದರ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಪರಸ್ಪರ ಕನಿಷ್ಠ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯದ ಅನಂತವಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಆದರೆ ಈ ದೂರದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅವರು ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು, ಅದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು: f(x)"=df/dx.

ಈಗ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಮೂರು ಇವೆ:

1. ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: (a+b)"=a"+b" ಮತ್ತು (a-b)"=a"-b".
2. ಎರಡನೆಯ ಆಸ್ತಿ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ.

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೂ ಇವೆ. ನಾವು x ಮತ್ತು y ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ z ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು y ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಬೇಕು.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಖರವಾದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ವಿಧದ ಸಮಗ್ರತೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಸರಳವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾದವುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು x ಮೇಲೆ ಎಫ್ ಕೆಲವು ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಅದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ F(x)"=f(x) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಹ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅವುಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗಗಳು

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ "ಡಿಫರ್ಸ್" ಅನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮವಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ODE ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಉಪಜಾತಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ, ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ. ಮುಂದೆ, ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುವಿರಿ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಇದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಮೊದಲ ಆದೇಶವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಏಕೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ? ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಸರಳವಾದ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಇವುಗಳು ಬಹುಶಃ ಸರಳವಾದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಇವುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ: y"=f(x)*f(y). ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಮಗೆ ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ: y"=dy/dx. ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: dy/dx=f(x)*f(y). ಈಗ ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗಬಹುದು: ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ dy ಇರುವ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ x ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: dy/f(y)=f(x)dx, ಇದನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ ಹೊಂದಿಸಬೇಕಾದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಯಾವುದೇ "ಡಿಫ್ಯೂರ್" ಗೆ ಪರಿಹಾರವು y ಮೇಲೆ x ಅವಲಂಬನೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಅಥವಾ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಸೋಣ:

ಈಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ವಿಶೇಷ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ln(y) = -2*cos(x) + C

ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಾವು "y" ಅನ್ನು "x" ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ನಮ್ಮ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y(n/2)=e. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು 1.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: y"=z(x,y) ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಬಲಗೈ ಕಾರ್ಯವು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಅವಲಂಬನೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. : x ನಲ್ಲಿ z ಮತ್ತು y ನಲ್ಲಿ z. ಪರಿಶೀಲಿಸಿ , ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಾವು x=k*x ಮತ್ತು y=k*y ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ k ಅನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಿದರೆ , ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಅದನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು ಮುಂದೆ ನೋಡುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಾವು ಹೇಳೋಣ: ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತತ್ವವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ: y=t(x)*x, ಇಲ್ಲಿ t ಎಂಬುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದು x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: y"=t"(x)*x+t. ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವೇರಿಯಬಲ್ t ಮತ್ತು x ನೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ t (x). ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಬದಲಿಯಾಗಿ y=t(x)*x ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು x ಮೇಲೆ y ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: x*y"=y-x*e y/x .

ಬದಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ಎಲ್ಲವೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಮಾತನಾಡಿದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: y=t(x)*x ಮತ್ತು y"=t"(x)*x+t(x). ಸರಳೀಕರಣದ ನಂತರ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: t"(x)*x=-e t. ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: e -t =ln(C*x). ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಬದಲಿಸುವುದು t y/x ನೊಂದಿಗೆ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, y =t*x, ನಂತರ t=y/x), ಮತ್ತು ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: e -y/x =ln(x*C).

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಇನ್ನೊಂದು ವಿಶಾಲವಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡುವ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ. ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಿಂದಿನ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಅವು ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: y" + g(x)*y=z(x) z(x) ಮತ್ತು g(x) ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಈಗ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ: y" - y*x=x 2 .

ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಎರಡನ್ನೂ ಕ್ರಮವಾಗಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು, ಅದು ಭಾಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಿದ ನಂತರ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2.

ಈಗ ನಾವು ಸ್ಥಿರವಾದ C 1 ಅನ್ನು v(x) ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಏನಾದರೂ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಮುಂದುವರೆಸೋಣ:

v"*e x2/2 = x 2 .

ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ನಮ್ಮ ಲೇಖನದ ವಿಷಯವಲ್ಲ. ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಲಿಯಬಹುದು. ಇದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಕಾಳಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಎರಡನೇ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ: ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನ. ಯಾವ ವಿಧಾನವು ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಬಿಟ್ಟದ್ದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ: y=k*n. ಇಲ್ಲಿ k ಮತ್ತು n ಕೆಲವು x-ಅವಲಂಬಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: y"=k"*n+k*n". ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಲಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

ಗುಂಪುಗಾರಿಕೆ:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

ಈಗ ನಾವು ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವುದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈಗ, ನಾವು ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ln(n)=x 2/2. ನಂತರ, ನಾವು n ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ:

ಈಗ ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

k"*e x2/2 =x 2 .

ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲ ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

dk=x 2 /e x2/2.

ನಾವು ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ವಿಷಯವನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ನೋಡುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮೂಲಭೂತ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರಭಕ್ಷಕ ಮತ್ತು ಬೇಟೆಯಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳ ವಸಾಹತುಗಳ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಹ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಇಲ್ಲವೇ ಇಲ್ಲ. ನೀವು ವಿಜ್ಞಾನಿ ಅಥವಾ ಇಂಜಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಏನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ತದನಂತರ ಮಗ ಅಥವಾ ಮಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ "ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?" ನಿಮ್ಮನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ನೀವು ವಿಜ್ಞಾನಿ ಅಥವಾ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಈಗ "ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?" ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ, ಜನರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹ ಭಯಪಡುವ ವಿಷಯವನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಾಗ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂತೋಷವಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಳಪೆ ಕೌಶಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬಹುಶಃ ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ.

dx ಅನ್ನು ಸಾಗಿಸಬಹುದೆಂದು ತಿಳಿದಾಗ ಕೆಲವರು ಆಶ್ಚರ್ಯ ಪಡುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹಿಂದೆ (ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ) dy/dx ಭಾಗವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಓದಬೇಕು ಮತ್ತು ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನೇಕ ಜನರು ತಕ್ಷಣವೇ ತಿಳಿದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಯು ಅವರಿಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ ನೀವು ಇನ್ನೇನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು?

ವಿಶೇಷ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಮುಳುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವಲ್ಲದ ವಿಶೇಷತೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ. ನಂತರ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶೇಷ ಸಾಹಿತ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೂ ಇವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶ್ರಮಿಸಲು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಏನನ್ನಾದರೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತವು ನಮಗೆ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಗಮನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕೈಗಳಿಲ್ಲದೆಯೇ ಇರುತ್ತಾನೆ.

1 ನೇ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ u=y/x ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅಂದರೆ, u ಎಂಬುದು x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ y=ux. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು y' ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (x'=1 ರಿಂದ). ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪದ ಸಂಕೇತಕ್ಕಾಗಿ: dy = udx + xdu. ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

1 ನೇ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ (ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ). ಒಮ್ಮೆ ಮನವರಿಕೆಯಾದ ನಂತರ, ನಾವು u=y/x ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. ಬದಲಿ: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ln(ux)=lnu+lnx. ಇಲ್ಲಿಂದ

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತಂದ ನಂತರ: u'x+u=u(1+lnu). ಈಗ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ

u'x+u=u+u·lnu. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು u ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ u'x=u·lnu. ಯು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, u'=du/dx. ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ

ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು dx ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು x·u·lnu ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು x·u·lnu≠0

ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಟೇಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ - ನಾವು t=lnu ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿಂದ dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ C ಬದಲಿಗೆ ln│C│ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಂತರ

ln│t│=ln│x│+ln│C│. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಕಾರ: ln│t│=ln│Сx│. ಆದ್ದರಿಂದ t=Cx. (ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, x>0). ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಲು ಇದು ಸಮಯ: lnu=Cx. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿ:

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ:

ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ x·u·lnu≠0 (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ x≠0,u≠0, lnu≠0, ಎಲ್ಲಿಂದ u≠1). ಆದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ x≠0, u≠1 ಉಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x≠y. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, y=x (x>0) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

2) y'=x/y+y/x ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು y(1)=2 ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ (ಆದರೂ y/x ಮತ್ತು x/y ಪದಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಈಗಾಗಲೇ ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ನಂತರ ನಾವು u=y/x ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

u'x+u=1/u+u. ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:

u'x=1/u. ಯು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, u'=du/dx:

ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು dx ಮತ್ತು u ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ (ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ x≠0, ಆದ್ದರಿಂದ u≠0 ಕೂಡ, ಅಂದರೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲ).

ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಕೋಷ್ಟಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ y(1)=2, ಅಂದರೆ, ನಾವು y=2, x=1 ಅನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

3) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

ಬದಲಿ u=y/x, ಎಲ್ಲಿಂದ y=ux, dy=xdu+udx. ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ x² ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ (ಒದಗಿಸಿದ x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. ನಾವು du ಮತ್ತು dx ನೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು xu(u²+1)≠0 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಾವು ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು x≠0 (ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ), u≠0) ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಸರಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ:

(ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಬದಲು, ಬದಲಿ t=1+u², dt=2udu - ಯಾರು ಯಾವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೋ ಅವರು ಉತ್ತಮವೆಂದು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು). ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ:

ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿ

ನಾವು u≠0 ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ y≠0. ಯಾವಾಗ C=0 y=0, ಇದರರ್ಥ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು y=0 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ

ನೀವು ಪದವನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಟ್ಟರೆ ಬೇರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವು ಓಯ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಲಯಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ.

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು u=y/x ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಎಲ್ಲಿಂದ y=ux, dy=xdu+udx. ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು x²≠0 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. ಆದ್ದರಿಂದ dx+u²dx-xudu-u²dx=0. ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: dx-xudu=0. ಆದ್ದರಿಂದ xudu=dx, udu=dx/x. ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

ನಿಲ್ಲಿಸು! ಈ ತೊಡಕಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಕೆಲವು ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮೊದಲು ಬರಬೇಕು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ, ಇದರರ್ಥ ಮೊದಲ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪದವಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಪದವಿಗೆ ಎರಡನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿದೆ. ಗುಣಾಂಕ.

ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಇದೆ.

ಮೊದಲ ವೇರಿಯಬಲ್ ಒಂದು ಶಕ್ತಿ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಕೊನೆಯ ಪದವಾಗಿದೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಎರಡನೇ (ಮೌಖಿಕ) ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ನಮಗೆ ಇಬ್ಬರು ಅಪರಿಚಿತರು ಮತ್ತು. ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ, ಅಪರಿಚಿತರ ಪದವಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು.

ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಧಿಕಾರಗಳ ಮೊತ್ತವು (ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ !!!

ಈಗ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣ.

ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು - ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ.

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಉದಾಹರಣೆ 2.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸೋಣ.

ನಮ್ಮ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, y ಸಮಾನವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸರಳ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 3.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ) ಭಾಗಿಸೋಣ.

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 4.

ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ.

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ವಿಭಜಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗುಣಿಸಿ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ:

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ:

ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ, ಇತರ ವಿಷಯಗಳ ನಡುವೆ, ನೀವು ಸ್ವಲ್ಪ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಓದಬಹುದು).

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದದಲ್ಲಿ ಅವರ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಮೊದಲು, ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: , ಆದ್ದರಿಂದ. ಆದರೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ:

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 6.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ನೀವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಆದರೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ. ಅದಕ್ಕೇ.

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು:

ಉತ್ತರ:

ಏಕರೂಪದ ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಮರೆತಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ ()!

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 7.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ನಾವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿಂಗಡಿಸೋಣ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಭಯಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ - ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ):

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ:

ಉತ್ತರ: .

ಉದಾಹರಣೆ 8.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿಂಗಡಿಸೋಣ:

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಮೂಲವು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ. ರಿವರ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಉತ್ತರ:

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ ಯಾವುದು.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ.

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಒಂದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ವಿಷಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು: ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂದರೆ, ಈಗ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಇಲ್ಲ ಮತ್ತು, - ಈಗ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ: ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು.

ಉತ್ತರ:

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಏಕರೂಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಪದವು ಈ ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಒಂದೇ ಮೊತ್ತದ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅಜ್ಞಾತ ಒಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಂತರದ ಬದಲಿ: . ಹೀಗೆ ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಾವು ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅಂದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜ), ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:

ಈ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಭಾಗಿಸಬಹುದು (ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಬಹುದು) ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ! ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಹುಡುಕಲು ಕೇಳಿದರೆ, ಅದನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಕಾರಣ ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಅಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದದಲ್ಲಿನ ಅವರ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ, ಭಾಗಿಸುವ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: , ಅಂದರೆ . ಆದರೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ: . ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು:

ಈ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಿಭಾಗವನ್ನು ಓದಿ. ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಮೊದಲೇ ಹಿಂತಿರುಗಬೇಕಾಗಿದೆ - ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ.

ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

1. ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ.
2. ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ.
3. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ಪರಿಹಾರಗಳು:

ಉತ್ತರ:.

ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಭಜಿಸುವ ಬದಲು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಉತ್ತರ:

ನೀವು ಇನ್ನೂ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನೂರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಮತ್ತು ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ಉತ್ತರ:.

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಎಲ್ಲಾ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮತ್ತಷ್ಟು ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಅಜ್ಞಾತ ಒಂದರಿಂದ ವಿಭಜನೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ಸರಿ, ವಿಷಯ ಮುಗಿದಿದೆ. ನೀವು ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಓದುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನೀವು ತುಂಬಾ ಕೂಲ್ ಆಗಿದ್ದೀರಿ ಎಂದರ್ಥ.

ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ 5% ಜನರು ಮಾತ್ರ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೇಲೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಮರ್ಥರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಕೊನೆಯವರೆಗೂ ಓದಿದರೆ, ನೀವು ಈ 5% ನಲ್ಲಿರುತ್ತೀರಿ!

ಈಗ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯ.

ಈ ವಿಷಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ. ಮತ್ತು, ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ... ಇದು ಕೇವಲ ಸೂಪರ್ ಆಗಿದೆ! ನಿಮ್ಮ ಬಹುಪಾಲು ಗೆಳೆಯರಿಗಿಂತ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಉತ್ತಮವಾಗಿದ್ದೀರಿ.

ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ...

ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ?

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು, ಬಜೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾಲೇಜಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಜೀವನಕ್ಕಾಗಿ.

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಏನನ್ನೂ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ನಾನು ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ ...

ಉತ್ತಮ ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಪಡೆದ ಜನರು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯದವರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು.

ಆದರೆ ಇದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವಲ್ಲ.

ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವರು ಹೆಚ್ಚು ಸಂತೋಷವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ (ಅಂತಹ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಇವೆ). ಬಹುಶಃ ಅವರ ಮುಂದೆ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಅವಕಾಶಗಳು ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಜೀವನವು ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾಗುತ್ತದೆಯೇ? ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ...

ಆದರೆ ನೀವೇ ಯೋಚಿಸಿ...

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇತರರಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿರಲು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ... ಸಂತೋಷವಾಗಿರಲು ಏನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ಕೈಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಕೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಸಮಯದ ವಿರುದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಮತ್ತು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸದಿದ್ದರೆ (ಬಹಳಷ್ಟು!), ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಎಲ್ಲೋ ಒಂದು ಅವಿವೇಕಿ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೀರಿ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಸಮಯ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಇದು ಕ್ರೀಡೆಯಂತೆಯೇ - ಖಚಿತವಾಗಿ ಗೆಲ್ಲಲು ನೀವು ಅದನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಎಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ ಸಂಗ್ರಹಣೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿವರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ನಿರ್ಧರಿಸಿ!

ನೀವು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಐಚ್ಛಿಕ) ಮತ್ತು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಲು, ನೀವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಓದುತ್ತಿರುವ YouClever ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಜೀವನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನೀವು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೇಗೆ? ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:

1. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನ್ಲಾಕ್ ಮಾಡಿ - 299 ರಬ್.
2. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಎಲ್ಲಾ 99 ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಅನ್ಲಾಕ್ ಮಾಡಿ - 499 ರಬ್.

ಹೌದು, ನಮ್ಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ 99 ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಪಠ್ಯಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತೆರೆಯಬಹುದು.

ಸೈಟ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜೀವನಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ...

ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಮಗೆ ಇಷ್ಟವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಇತರರನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಕೇವಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಬೇಡಿ.

"ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದೆ" ಮತ್ತು "ನಾನು ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲೆ" ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು. ನಿಮಗೆ ಎರಡೂ ಬೇಕು.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ!

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ
ಮೊದಲ ಆಯಾಮದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಇದು ಮೂರನೇ ಆಯಾಮದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಶೂನ್ಯ ಆಯಾಮದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ರಿಂದ

, ಅಂದರೆ
.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ವೈ" = f(X, ವೈ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(X, ವೈ) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಶೂನ್ಯ ಆಯಾಮದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ X ಮತ್ತು ವೈ, ಅಥವಾ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, f(X, ವೈ) ಪದವಿ ಶೂನ್ಯದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಇದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

ಇದು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ (3.3) ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಬದಲಿ
ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ y =xzನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
,
ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

,

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

Δ ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ y =zx,
ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ವೈ ಮತ್ತು dyಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ:
ಅಥವಾ
ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸಿ:
,

ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ zಮೇಲೆ , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Δ ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ (X,ವೈ) =X 2 -2ವೈ 2 ,ಪ್ರ(X,ವೈ) =2xyಎರಡನೆಯ ಆಯಾಮದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು
ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ ಪರಿಹರಿಸಿ. ಆದರೆ ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಹಾಕೋಣ ವೈ = zx, ಎಲ್ಲಿ dy = zdx + xdz. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

dx+2 zxdz = 0 .

ನಾವು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ

.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ

, ಎಲ್ಲಿ

ಅದು
. ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುವುದು
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ


ಉದಾಹರಣೆ 3 . ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

Δ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಣಿ: ,ವೈ = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

ಉಪನ್ಯಾಸ 8.

4. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಉಚಿತ ಪದ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ
0, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4.1a) ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
0, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಹೆಸರನ್ನು (4.1a) ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ವೈ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ನಮೂದಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಮೊದಲ ಪದವಿಯಲ್ಲಿ.

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದು
ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
,ಅವು.

ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ನಾವು ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳ (4.3) ಕಂಡುಬರುವ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಇದರೊಂದಿಗೆಮೌಲ್ಯ 0 ಅನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ (4.1a). ಈ ಪ್ರಕಾರ ಬರ್ನೌಲಿಯ ವಿಧಾನ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ X:

ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಮಾತ್ರ uv ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು, ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (4.1a).

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ (4.4), ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು , ಹಾಗೆಯೇ ಮೌಲ್ಯ ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4.1a), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
, ಅಥವಾ

ಆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ vನಾವು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ (4.6):

(ಇಲ್ಲಿ ಸಿಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ).

ಹೀಗಾಗಿ, ಬಳಸಿದ ಪರ್ಯಾಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ (4.4), ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4.1a) ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರ (4.6) ಮತ್ತು (4.7) ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ
ಮತ್ತು v(x) ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (4.4), ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

 ಹಾಕೋಣ
, ನಂತರ
. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಥವಾ
(*)

ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸೋಣ :

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ


(ನಿರಂಕುಶ ಸ್ಥಿರ ಸಿ ನಾವು ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ), ಇಲ್ಲಿಂದ v= X. ಮೌಲ್ಯ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ vಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿ (*):

,
,
.

ಆದ್ದರಿಂದ,
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (*) ಸಮಾನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು ಯು, ಆದರೆ ಅಲ್ಲ v, ನಾವು ನಂಬಬಹುದು
. ಈ ಪರಿಹಾರವು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ vಮೇಲೆ ಯು(ಆದ್ದರಿಂದ ಯುಮೇಲೆ v), ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ನಲ್ಲಿಅದೇ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ ನಲ್ಲಿಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು X- ಅವಲಂಬಿತ, ಅಂದರೆ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ X ಮತ್ತು ವೈ. ಅದನ್ನು ಒದಗಿಸಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು Xಮತ್ತು dxಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ನಮೂದಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
.

ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ ನಲ್ಲಿ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ Xಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ನಲ್ಲಿ, ನಂತರ, ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
, ಅದನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು

ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಮೇಲೆ , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಥವಾ
. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ydy, ಅದನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ

, ಅಥವಾ
. (**)

ಇಲ್ಲಿ P(y)=,
. ಇದು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ X. ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ
,
. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು (**) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಥವಾ
.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು v ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ
,
, ಎಲ್ಲಿ
;
. ಮುಂದೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
,
,
.

ಏಕೆಂದರೆ
, ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ

.

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿ (4.1a) ಪ(X) ಮತ್ತು ಪ್ರ (X) ನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು X, ಆದರೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು: ಪ= ಎ,ಪ್ರ= ಬಿ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ

ಪರ್ಯಾಯ y= ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು uv ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ:

;
.

ಇಲ್ಲಿಂದ
;
;
; ಎಲ್ಲಿ
. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ನಮ್ಮನ್ನು ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(ಇಲ್ಲಿ
).

ನಲ್ಲಿ ಬಿ= 0 ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ

(ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (2.4) ನೋಡಿ
).

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4.2) ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (4.3). ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಇದರೊಂದಿಗೆರಲ್ಲಿ (4.3) ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ X, ಅಂದರೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವುದು

ಎಲ್ಲಿಂದ, ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

(4.14) ಪ್ರಕಾರ ((4.9) ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ), ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ (4.3) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು (4.14) (ಮತ್ತು (4.9)) ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ತೊಡಕಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು (4.14) ಬಳಸುವ ಬದಲು ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ ಉದಾಹರಣೆ 1 :

.

ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ
.

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು ಮುಂದೆ
. ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ವೈ = Cx. ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ ವೈ = ಸಿ(X)X. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
;
;
,
. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಬದಲಿ
ಇದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ:

,
,
.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 3 . ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

 ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸರಣಿ:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
