Како да го пронајдете растечкиот интервал. Интервали на зголемување и намалување


Многу важна информацијаза однесувањето на функцијата обезбедуваат интервали на зголемување и намалување. Нивното наоѓање е дел од процесот на испитување на функцијата и исцртување на графикот. Дополнително, дадени се екстремните точки во кои има промена од зголемување во намалување или од намалување во зголемување Посебно вниманиепри наоѓање на најголемите и најмалите вредности на функцијата на одреден интервал.

Во оваа статија ќе ги дадеме потребните дефиниции, ќе формулираме доволен критериум за зголемување и намалување на функцијата на интервал и доволни услови за постоење на екстрем и ќе ја примениме целата оваа теорија за решавање на примери и проблеми.

Навигација на страницата.

Функција за зголемување и намалување на интервал.

Дефиниција на растечка функција.

Функцијата y=f(x) се зголемува на интервалот X ако има и нееднаквоста важи. Со други зборови, поголема вредност на аргументот одговара на поголема вредност на функцијата.

Дефиниција на опаѓачка функција.

Функцијата y=f(x) се намалува на интервалот X ако има и нееднаквоста важи . Со други зборови, поголема вредност на аргументот одговара на помала вредност на функцијата.


ЗАБЕЛЕШКА: ако функцијата е дефинирана и континуирана на краевите на растечкиот или опаѓачкиот интервал (a;b), односно на x=a и x=b, тогаш овие точки се вклучени во интервалот за зголемување или намалување. Ова не е во спротивност со дефинициите за растечка и опаѓачка функција на интервалот X.

На пример, од својствата на главната елементарни функциизнаеме дека y=sinx е дефиниран и континуиран за сите реални вредности на аргументот. Затоа, од зголемувањето на синусната функција на интервалот, можеме да тврдиме дека таа се зголемува на интервалот.

Екстремни точки, екстреми на функција.

Точката се нарекува максимална точкафункција y=f(x) ако неравенството е точно за сите x во неговото соседство. Се повикува вредноста на функцијата во максималната точка максимум од функцијатаи означува .

Точката се нарекува минимална точкафункција y=f(x) ако неравенството е точно за сите x во неговото соседство. Се повикува вредноста на функцијата во минималната точка минимална функцијаи означува .

Соседството на точка се подразбира како интервал , каде што е доволно мал позитивен број.

Се нарекуваат минималните и максималните поени екстремни точки, и се повикуваат вредностите на функциите што одговараат на екстремните точки крајност на функцијата.

Не мешајте ги екстремите на функцијата со најголемите и најмалите вредности на функцијата.


На првата слика највисока вредностфункцијата на отсечката се постигнува во максималната точка и е еднаква на максимумот на функцијата, а на втората слика - максималната вредност на функцијата е постигната во точката x=b, што не е максималната точка.

Доволни услови за зголемување и намалување на функциите.

Врз основа на доволни услови (знаци) за зголемување и намалување на функцијата, се наоѓаат интервали на зголемување и намалување на функцијата.

Еве ги формулациите на знаците за зголемување и намалување на функциите во интервал:

  • ако изводот на функцијата y=f(x) е позитивен за кој било x од интервалот X, тогаш функцијата се зголемува за X;
  • ако изводот на функцијата y=f(x) е негативен за кој било x од интервалот X, тогаш функцијата се намалува на X.

Така, за да се одредат интервалите на зголемување и намалување на функцијата, потребно е:

Да разгледаме пример за наоѓање интервали на функции за зголемување и намалување за да го објасниме алгоритмот.

Пример.

Најдете ги интервалите на функцијата за зголемување и намалување.

Решение.

Првиот чекор е да се најде доменот на дефиниција на функцијата. Во нашиот пример, изразот во именителот не треба да оди на нула, затоа, .

Ајде да продолжиме со наоѓање на изводот на функцијата:

За да ги одредиме интервалите на зголемување и намалување на функцијата врз основа на доволен критериум, решаваме неравенки на доменот на дефиниција. Ајде да користиме генерализација на методот на интервал. Единствениот реален корен на броителот е x = 2, а именителот оди на нула при x=0. Овие точки го делат доменот на дефиниција на интервали во кои изводот на функцијата го задржува својот знак. Да ги означиме овие точки на бројната права. Конвенционално ги означуваме со плус и минуси интервалите во кои изводот е позитивен или негативен. Стрелките подолу шематски го прикажуваат зголемувањето или намалувањето на функцијата на соодветниот интервал.

Така, И .

Во точката Функцијата x=2 е дефинирана и континуирана, па затоа треба да се додаде и на интервалот за зголемување и за намалување. Во точката x=0 функцијата не е дефинирана, така што оваа точка не ја вклучуваме во бараните интервали.

Претставуваме график на функцијата за да ги споредиме добиените резултати со неа.

Одговор:

Функцијата се зголемува со , се намалува на интервалот (0;2] .

Доволни услови за екстрем на функција.

За да ги пронајдете максимумите и минимумите на функцијата, можете да користите кој било од трите знаци на екстрем, се разбира, доколку функцијата ги задоволува нивните услови. Најчест и удобен е првиот од нив.

Првиот доволен услов за екстрем.

Нека функцијата y=f(x) е диференцијабилна во -соседството на точката и континуирана во самата точка.

Со други зборови:

Алгоритам за пронаоѓање на екстремни точки врз основа на првиот знак на екстрем на функцијата.

  • Го наоѓаме доменот на дефинирање на функцијата.
  • Изводот на функцијата го наоѓаме на доменот на дефиниција.
  • Ги одредуваме нулите на броителот, нулите на именителот на изводот и точките од доменот на дефиниција во кои изводот не постои (сите наведени точки се нарекуваат точки на можен екстрем, поминувајќи низ овие точки, дериватот може само да го промени својот знак).
  • Овие точки го делат доменот на дефинирање на функцијата во интервали во кои изводот го задржува својот знак. Ги одредуваме знаците на изводот на секој од интервалите (на пример, со пресметување на вредноста на изводот на функцијата во која било точка во одреден интервал).
  • Избираме точки во кои функцијата е континуирана и, минувајќи низ кои, дериватот го менува знакот - тоа се екстремните точки.

Има премногу зборови, ајде подобро да погледнеме неколку примери за наоѓање екстремни точки и екстреми на функција користејќи го првиот доволен услов за екстрем на функција.

Пример.

Најдете ги екстремите на функцијата.

Решение.

Доменот на функцијата е целото множество реални броеви освен x=2.

Наоѓање на дериватот:

Нули на броителот се точките x=-1 и x=5, именителот оди на нула при x=2. Обележете ги овие точки на бројната оска

Ги одредуваме знаците на изводот на секој интервал; за да го направите ова, ја пресметуваме вредноста на изводот во која било од точките на секој интервал, на пример, во точките x=-2, x=0, x=3 и x=6.

Затоа, на интервалот изводот е позитивен (на сликата ставаме знак плус над овој интервал). Исто така

Затоа, ставаме минус над вториот интервал, минус над третиот и плус над четвртиот.

Останува да се изберат точките во кои функцијата е континуирана и нејзиниот дериват го менува знакот. Ова се екстремните точки.

Во точката x=-1 функцијата е континуирана и изводот го менува знакот од плус во минус, затоа, според првиот знак на екстрем, x=-1 е максималната точка, максимумот на функцијата одговара на неа .

Во точката x=5 функцијата е континуирана и изводот го менува знакот од минус во плус, затоа, x=-1 е минималната точка, минимумот на функцијата одговара на неа .

Графичка илустрација.

Одговор:

ВНИМАВАЈТЕ: првиот доволен критериум за екстрем не бара диференцијабилност на функцијата во самата точка.

Пример.

Најдете екстремни точки и екстреми на функцијата .

Решение.

Доменот на функцијата е целото множество од реални броеви. Самата функција може да се напише како:

Да го најдеме изводот на функцијата:

Во точката x=0 дериватот не постои, бидејќи вредностите на едностраните граници не се совпаѓаат кога аргументот се стреми кон нула:

Во исто време, оригиналната функција е континуирана во точката x=0 (видете го делот за проучување на функцијата за континуитет):

Ајде да ја најдеме вредноста на аргументот при кој изводот оди на нула:

Да ги означиме сите добиени точки на бројната права и да го одредиме знакот на изводот на секој од интервалите. За да го направите ова, ги пресметуваме вредностите на дериватот во произволни точки на секој интервал, на пример, на x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Тоа е,

Така, според првиот знак на екстрем, минималните поени се , максималните поени се .

Ги пресметуваме соодветните минимуми на функцијата

Ги пресметуваме соодветните максими на функцијата

Графичка илустрација.

Одговор:

.

Вториот знак на екстрем на функција.

Како што можете да видите, овој знак на екстрем на функција бара постоење на извод барем од втор ред во точката.

Нека е наведен правоаголен координатен систем на одредена рамнина. Графикот на некоја функција , (Х-домен на дефиниција) е множество точки на оваа рамнина со координати, каде што .

За да изградите график, треба да прикажете на рамнина множество точки чии координати (x;y) се поврзани со релацијата.

Најчесто, графикот на функцијата е некаква крива.

Наједноставниот начин за исцртување график е да се нацрта по точки.

Се составува табела во која вредноста на аргументот е во една ќелија, а вредноста на функцијата од овој аргумент е во спротивната ќелија. Потоа добиените точки се означени на рамнината, а низ нив се повлекува крива.

Пример за конструирање функционален график користејќи точки:

Ајде да направиме маса.

Сега ајде да изградиме график.

Но, на овој начин не е секогаш можно да се конструира доволно точен график - за точност треба да земете многу поени. Затоа користат различни методифункционални студии.

Целосната истражувачка шема на функцијата е запознаена во високото образование. образовните институции. Една од точките на проучување на функцијата е да се најдат интервалите на зголемување (намалување) на функцијата.

Функцијата се нарекува зголемување (намалување) на одреден интервал ако, за било кој x 2 и x 1 од овој интервал, така што x 2 >x 1.

На пример, функција чиј график е прикажан на следната слика, во интервали се зголемува, а се намалува во интервалот (-5;3). Односно во интервалите Распоредот оди нагорно. И во интервалот (-5;3) „надолнина“.

Друга точка во проучувањето на функцијата е проучувањето на функцијата за периодичност.

Функцијата се нарекува периодична ако има број T таков што .

Бројот Т се нарекува период на функцијата. На пример, функцијата е периодична, тука периодот е 2P, така

Примери на графикони на периодични функции:

Периодот на првата функција е 3, а втората е 4.

Се повикува функција дури и ако Пример дури и функција y=x2.

Функцијата се нарекува непарна ако Пример за непарна функција y=x 3 .

Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската на оп-засилувач (аксијална симетрија).

Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото (средишна симетрија).

Примери на графикони на парна (лево) и непарна (десна) функција.

Дериват. Ако изводот на функцијата е позитивен за која било точка во интервалот, тогаш функцијата се зголемува, а ако е негативна, се намалува.

За да ги пронајдете интервалите на зголемување и намалување на функцијата, треба да го најдете нејзиниот домен на дефиниција, извод, да решите неравенки од формата F’(x) > 0 и F’(x)

Решение.



3. Решете ги неравенките y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³


Решение.
1. Да го најдеме доменот на дефинирање на функцијата. Очигледно, изразот во именителот секогаш мора да биде различен од нула. Затоа, 0 е исклучено од доменот на дефиниција: функцијата е дефинирана за x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Пресметај го изводот на функцијата:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. Решете ги неравенките y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³

4. Лева странанеравенката има една реална x = 4 и се претвора во x = 0. Затоа, вредноста x = 4 е вклучена и во интервалот и во интервалот што се намалува, а точката 0 не е вклучена.
Значи, потребната функција се зголемува на интервалот x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. Левата страна на неравенката има една реална x = 4 и се врти на x = 0. Затоа, вредноста x = 4 е вклучена и во интервалот и во интервалот што се намалува, а точката 0 не е вклучена.
Значи, потребната функција се зголемува на интервалот x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Извори:

  • како да се најдат смалувачки интервали на функција

Функцијата претставува строга зависност на еден број од друг, или вредноста на функцијата (y) од аргументот (x). Секој процес (не само во математиката) може да се опише со сопствена функција, која ќе ја има карактеристики: интервали на намалување и зголемување, точки на минимум и максимум и така натаму.

Ќе ви треба

  • - хартија;
  • - пенкало.

Инструкции

Пример 2.
Најдете ги интервалите на намалување f(x)=sinx +x.
Изводот на оваа функција ќе биде еднаков на: f’(x)=cosx+1.
Решавање на неравенката cosx+1

Интервал монотонијафункцијата може да се нарече интервал во кој функцијата или само се зголемува или само се намалува. Голем број специфични дејства ќе помогнат да се пронајдат такви опсези за некоја функција, што често се бара во алгебарските проблеми овој вид.

Инструкции

Првиот чекор во решавањето на проблемот за одредување на интервалите во кои функцијата монотоно се зголемува или намалува е да се пресмета оваа функција. За да го направите ова, дознајте ги сите вредности на аргументите (вредности долж оската x) за кои можете да ја најдете вредноста на функцијата. Обележете ги точките каде што се забележани дисконтинуитети. Најдете го изводот на функцијата. Откако ќе го одредите изразот што го претставува изводот, поставете го еднаков на нула. По ова, треба да ги најдете корените на добиениот . Не за областа на дозволената.

Точките во кои функцијата или нејзиниот извод е еднаков на нула ги претставуваат границите на интервалите монотонија. Овие опсези, како и точките што ги одвојуваат, треба последователно да се внесат во табелата. Најдете го знакот на изводот на функцијата во добиените интервали. За да го направите ова, заменете го кој било аргумент од интервалот во изразот што одговара на изводот. Ако резултатот е позитивен, функцијата во овој опсег се зголемува, во спротивно, се намалува. Резултатите се внесуваат во табелата.

Во линијата што го означува изводот на функцијата f'(x), се запишуваат соодветните вредности на аргументите: „+“ - ако изводот е позитивен, „-“ - негативен или „0“ - еднаков на нула. Во следниот ред, забележете ја монотонијата на самиот оригинален израз. Стрелката нагоре одговара на зголемување, а стрелката надолу одговара на намалување. Проверете ги функциите. Тоа се точките во кои изводот е нула. Екстремумот може да биде или максимална точка или минимална точка. Ако претходниот дел од функцијата се зголеми, а сегашниот се намали, ова е максималната точка. Во случај кога функцијата се намалувала пред дадена точка, а сега се зголемува, ова е минималната точка. Внесете ги вредностите на функцијата во екстремните точки во табелата.

Извори:

  • која е дефиницијата за монотонија

Однесувањето на функцијата која има сложена зависност од аргумент се проучува со помош на изводот. Според природата на промената на дериватот, можете да најдете критични точки и области на раст или намалување на функцијата.

Екстреми на функцијата

Дефиниција 2

Точката $x_0$ се нарекува максимална точка на функцијата $f(x)$ ако има соседство на оваа точка така што за сите $x$ во ова соседство неравенката $f(x)\le f(x_0) $ држи.

Дефиниција 3

Точката $x_0$ се нарекува максимална точка на функцијата $f(x)$ ако има соседство на оваа точка така што за сите $x$ во ова соседство неравенката $f(x)\ge f(x_0) $ држи.

Концептот на екстрем на функција е тесно поврзан со концептот на критична точка на функцијата. Да ја претставиме неговата дефиниција.

Дефиниција 4

$x_0$ се нарекува критична точкафункција $f(x)$ ако:

1) $x_0$ - внатрешна точка на доменот на дефиниција;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не постои.

За концептот на екстрем, можеме да формулираме теореми за доволни и неопходни услови за неговото постоење.

Теорема 2

Доволен услов за екстрем

Нека точката $x_0$ е критична за функцијата $y=f(x)$ и лежи во интервалот $(a,b)$. Нека дериватот $f"(x)$ постои на секој интервал $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ и зачувај постојан знак. Потоа:

1) Ако на интервалот $(a,x_0)$ дериватот е $f"\left(x\right)>0$, а на интервалот $(x_0,b)$ дериватот е $f"\left( x\десно)

2) Ако на интервалот $(a,x_0)$ дериватот $f"\left(x\right)0$, тогаш точката $x_0$ е минималната точка за оваа функција.

3) Ако и на интервалот $(a,x_0)$ и на интервалот $(x_0,b)$ дериватот $f"\left(x\right) >0$ или дериватот $f"\left(x \десно)

Оваа теорема е илустрирана на Слика 1.

Слика 1. Доволен услов за постоење на екстреми

Примери на крајности (сл. 2).

Слика 2. Примери на екстремни точки

Правило за проучување на функција за екстрем

2) Најдете го изводот $f"(x)$;

7) Извлечете заклучоци за присуството на максимум и минимум на секој интервал, користејќи теорема 2.

Функција за зголемување и намалување

Прво да ги воведеме дефинициите на функциите за зголемување и намалување.

Дефиниција 5

Функција $y=f(x)$ дефинирана на интервалот $X$ се вели дека се зголемува ако за која било точка $x_1,x_2\во X$ на $x_1

Дефиниција 6

Функцијата $y=f(x)$ дефинирана на интервалот $X$ се вели дека се намалува ако за која било точка $x_1,x_2\во X$ за $x_1f(x_2)$.

Проучување на функција за зголемување и намалување

Можете да ги проучувате функциите за зголемување и намалување користејќи го изводот.

За да ја испитате функцијата за интервали на зголемување и намалување, мора да го направите следново:

1) Најдете го доменот на дефиниција на функцијата $f(x)$;

2) Најдете го изводот $f"(x)$;

3) Најдете ги точките во кои важи еднаквоста $f"\left(x\right)=0$;

4) Најдете ги точките во кои $f"(x)$ не постои;

5) Означете ги на координатната права сите пронајдени точки и доменот на дефинирање на оваа функција;

6) Определи го знакот на изводот $f"(x)$ на секој добиен интервал;

7) Извлечете заклучок: во интервали каде $f"\left(x\right)0$ функцијата се зголемува.

Примери на проблеми за проучување на функции за зголемување, намалување и присуство на екстремни точки

Пример 1

Испитајте ја функцијата за зголемување и намалување и присуството на максимални и минимални точки: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Бидејќи првите 6 точки се исти, ајде прво да ги спроведеме.

1) Домен на дефиниција - сите реални броеви;

2) $f"\лево(x\десно)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\десно)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ постои во сите точки од доменот на дефиниција;

5) Координатна линија:

Слика 3.

6) Одреди го знакот на изводот $f"(x)$ на секој интервал:

\ \ .

- Екстремни точки на функција од една променлива. Доволни услови за екстрем



Нека функцијата f(x), дефинирана и континуирана во интервалот, не е монотона во неа. Постојат делови [ , ] од интервалот во кој најголемите и најмалите вредности се постигнуваат со функцијата во внатрешна точка, т.е. помеѓу и.

За функцијата f(x) се вели дека има максимум (или минимум) во точка ако оваа точка може да биде опкружена со такво соседство (x 0 - ,x 0 +) содржано во интервалот каде што е дадена функцијата дека неравенството важи за сите негови точки.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

Со други зборови, точката x 0 ѝ дава на функцијата f(x) максимум (минимум) ако вредноста f(x 0) се покаже дека е најголемата (најмалата) од вредностите што ги прифаќа функцијата во некои (барем мала) населба на оваа точка. Забележете дека самата дефиниција за максимум (минимум) претпоставува дека функцијата е наведена на двете страни од точката x 0.

Ако постои соседство во кое (на x=x 0) строгата неравенка

f(x) f(x 0)

тогаш велат дека функцијата има свој максимум (минимум) во точката x 0, во спротивно има неправилен.

Ако функцијата има максимум во точките x 0 и x 1, тогаш, применувајќи ја втората теорема на Вајерштрас на интервалот, гледаме дека функцијата ја достигнува својата најмала вредност во овој интервал во одредена точка x 2 помеѓу x 0 и x 1 и има минимум таму. Исто така, меѓу два минимум сигурно ќе има максимум. Во наједноставниот (и во пракса најважниот) случај, кога функцијата генерално има само конечен број на максими и минимуми, тие едноставно се менуваат.

Забележете дека за да се означи максимум или минимум, постои и поим што ги обединува - екстрем.

Концептите максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) се локални својства на функцијата и се одвиваат во одредена точка x 0. Концептите на најголеми (sup f(x)) и најмали (inf f(x)) вредности се однесуваат на конечен сегмент и се глобални својства на функција на сегмент.

Од Слика 1 е јасно дека во точките x 1 и x 3 има локални максимални, а во точките x 2 и x 4 има локални минимуми. Меѓутоа, функцијата ја достигнува својата минимална вредност во точката x=a, а максималната вредност во точката x=b.

Дозволете ни да го поставиме проблемот со наоѓање на сите вредности на аргументот што на функцијата и дава екстрем. При неговото решавање, дериватот ќе ја игра главната улога.

Прво да претпоставиме дека функцијата f(x) има конечен извод во интервалот (a,b). Ако во точката x 0 функцијата има екстрем, тогаш, применувајќи ја теоремата на Ферма на интервалот (x 0 - , x 0 +), кој беше дискутиран погоре, заклучуваме дека f (x) = 0 ова се состои неопходен условекстремни. Екстремумот треба да се бара само во оние точки каде што дериватот е еднаков на нула.

Меѓутоа, не треба да се мисли дека секоја точка во која изводот е еднаков на нула ѝ дава на функцијата екстрем: потребниот услов штотуку е наведен не е доволен.