Логаритам на негативен број. Дефиниција на логаритамот и неговите својства: теорија и решавање проблеми

Инструкции

Напиши го дадениот логаритамски израз. Ако изразот користи логаритам од 10, тогаш неговата нотација е скратена и изгледа вака: lg b е декаден логаритам. Ако логаритамот го има како основа бројот e, тогаш напиши го изразот: ln b – природен логаритам. Разбирливо е дека резултатот од било која е моќноста до која мора да се подигне основниот број за да се добие бројот b.

Кога го наоѓате збирот на две функции, едноставно треба да ги разликувате една по една и да ги додадете резултатите: (u+v)" = u"+v";

При наоѓање на изводот на производот на две функции, потребно е да се помножи изводот на првата функција со втората и да се додаде изводот на втората функција помножен со првата функција: (u*v)" = u"*v +v"*u;

За да се најде изводот на количникот на две функции, потребно е да се одземе од производот на изводот на дивидендата помножен со функцијата на делител, производот од изводот на делителот помножен со функцијата на дивидендата и да се подели сето тоа со функцијата делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ако е дадена сложена функција, тогаш потребно е да се помножи изводот на внатрешната функција и изводот на надворешната. Нека y=u(v(x)), потоа y"(x)=y"(u)*v"(x).

Користејќи ги резултатите добиени погоре, можете да разликувате речиси секоја функција. Значи, да погледнеме неколку примери:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Исто така, има проблеми со пресметување на изводот во одредена точка. Нека е дадена функцијата y=e^(x^2+6x+5), треба да ја пронајдете вредноста на функцијата во точката x=1.
1) Најдете го изводот на функцијата: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Пресметај ја вредноста на функцијата во дадена точка y"(1)=8*e^0=8

Видео на темата

Корисен совет

Научете ја табелата со елементарни деривати. Ова значително ќе заштеди време.

Извори:

• дериват на константа

Значи, која е разликата помеѓу ирационална равенка и рационална? Ако непознатата променлива е под знакот на квадратен корен, тогаш равенката се смета за ирационална.

Инструкции

Главниот метод за решавање на вакви равенки е методот на конструирање на двете страни равенкиво квадрат. Сепак. ова е природно, првото нешто што треба да направите е да се ослободите од знакот. Овој метод не е технички тежок, но понекогаш може да доведе до проблеми. На пример, равенката е v(2x-5)=v(4x-7). Со квадратирање на двете страни се добива 2x-5=4x-7. Решавањето на таква равенка не е тешко; x=1. Но, бројот 1 нема да биде даден равенки. Зошто? Заменете еден во равенката наместо вредноста на x. А десната и левата страна ќе содржат изрази кои немаат смисла, т.е. Оваа вредност не важи за квадратен корен. Според тоа, 1 е надворешен корен и затоа оваа равенка нема корени.

Значи, ирационална равенка се решава со методот на квадратирање на двете негови страни. И откако ќе ја решите равенката, неопходно е да се отсечат надворешни корени. За да го направите ова, заменете ги пронајдените корени во оригиналната равенка.

Размислете за уште еден.
2х+vх-3=0
Се разбира, оваа равенка може да се реши со користење на истата равенка како претходната. Премести соединенија равенки, кои немаат квадратен корен, на десната страна и потоа се користи методот на квадрат. решете ја добиената рационална равенка и корени. Но и уште една, поелегантна. Внесете нова променлива; vх=y. Според тоа, ќе добиете равенка од формата 2y2+y-3=0. Односно, обична квадратна равенка. Најдете ги неговите корени; y1=1 и y2=-3/2. Следно, реши две равенки vх=1; vх=-3/2. Втората равенка нема корени, од првата откриваме дека x=1. Не заборавајте да ги проверите корените.

Решавањето на идентитетите е прилично едноставно. За да го направите ова, неопходно е да се извршат идентични трансформации додека не се постигне поставената цел. Така, со помош на едноставни аритметички операции ќе се реши поставениот проблем.

Ќе ви треба

• - хартија;
• - пенкало.

Инструкции

Наједноставните од таквите трансформации се алгебарските скратени множење (како што е квадратот на збирот (разлика), разликата на квадратите, сумата (разликата), коцката на збирот (разликата)). Покрај тоа, постојат многу тригонометриски формули, кои во суштина се исти идентитети.

Навистина, квадратот на збирот на два члена е еднаков на квадратот на првиот плус двапати од производот на првиот за вториот и плус квадратот на вториот, односно (a+b)^2= (a+ б)(а+б)=а^2+аб +ба+б ^2=а^2+2аб+б^2.

Поедноставете ги и двете

Општи принципи на решението

Метод за замена на променлива

Решавање интеграли од втор вид

Замена на границите за интеграција

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

• Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

• Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
• Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
• Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
• Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

• Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини тела во Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
• Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Како што се развиваше општеството и производството стана покомплексно, се развиваше и математиката. Движење од едноставно до сложено. Од обичното сметководство користејќи го методот на собирање и одземање, со нивно постојано повторување, дојдовме до концептот на множење и делење. Намалувањето на повторената операција на множење стана концепт на степенување. Првите табели за зависноста на броевите од основата и бројот на степенување беа составени уште во 8 век од индискиот математичар Варасена. Од нив може да се брои времето на настанување на логаритми.

Историска скица

Заживувањето на Европа во 16 век го поттикнало и развојот на механиката. Т бараше голема количина на пресметкиповрзани со множење и делење на повеќецифрени броеви. Античките маси беа од голема услуга. Тие овозможија да се заменат сложените операции со поедноставни - собирање и одземање. Голем чекор напред беше работата на математичарот Мајкл Штифел, објавена во 1544 година, во која тој ја реализираше идејата на многу математичари. Ова овозможи да се користат табели не само за моќи во форма на прости броеви, туку и за произволни рационални.

Во 1614 година, Шкотланѓанецот Џон Напиер, развивајќи ги овие идеи, прв го воведе новиот термин „логаритам на број“. Беа составени нови сложени табели за пресметување на логаритмите на синусите и косинусите, како и тангентите. Ова во голема мера ја намали работата на астрономите.

Почнаа да се појавуваат нови табели, кои успешно ги користеа научниците три века. Помина многу време пред новата операција во алгебрата да ја добие својата завршена форма. Беше дадена дефиницијата на логаритамот и беа проучени неговите својства.

Дури во 20 век, со појавата на калкулаторот и компјутерот, човештвото ги напуштило античките маси кои успешно работеле во текот на 13 век.

Денес го нарекуваме логаритам на b за да го засноваме a бројот x кој е моќта на a да направи b. Ова е напишано како формула: x = log a(b).

На пример, log 3(9) би бил еднаков на 2. Ова е очигледно ако ја следите дефиницијата. Ако подигнеме 3 на јачината од 2, добиваме 9.

Така, формулираната дефиниција поставува само едно ограничување: броевите a и b мора да бидат реални.

Видови логаритми

Класичната дефиниција се нарекува реален логаритам и всушност е решение на равенката a x = b. Опцијата a = 1 е гранична и не е од интерес. Внимание: 1 на која било моќност е еднакво на 1.

Реална вредност на логаритамсе дефинира само кога основата и аргументот се поголеми од 0, а основата не смее да биде еднаква на 1.

Посебно место во областа на математикатаиграјте логаритми, кои ќе бидат именувани во зависност од големината на нивната основа:

Правила и ограничувања

Основното својство на логаритмите е правилото: логаритамот на производот е еднаков на логаритамскиот збир. log abp = log a(b) + log a(p).

Како варијанта на оваа изјава ќе има: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), функцијата количник е еднаква на разликата на функциите.

Од претходните две правила лесно се гледа дека: log a(b p) = p * log a(b).

Други својства вклучуваат:

Коментар. Нема потреба да се прави вообичаена грешка - логаритмот на збирот не е еднаков на збирот на логаритми.

За многу векови, операцијата за наоѓање логаритам беше прилично долга задача. Математичарите ја користеле добро познатата формула на логаритамската теорија на полиномско проширување:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), каде што n е природен број поголем од 1, што ја одредува точноста на пресметката.

Логаритмите со други основи беа пресметани со помош на теоремата за преминот од една основа во друга и својството на логаритмот на производот.

Бидејќи овој метод е многу трудоинтензивен и при решавање на практични проблемитешко за спроведување, користевме претходно составени табели на логаритми, што значително ја забрза целата работа.

Во некои случаи, користени се специјално дизајнирани графикони на логаритми, кои даваа помала точност, но значително го забрзаа пребарувањето за саканата вредност. Кривата на функцијата y = log a(x), конструирана преку неколку точки, ви овозможува да користите редовен линијар за да ја пронајдете вредноста на функцијата во која било друга точка. Долго време, инженерите користеа таканаречена графичка хартија за овие цели.

Во 17 век се појавија првите помошни аналогни пресметковни услови, кои до 19 век добија целосна форма. Најуспешниот уред беше наречен слајд правило. И покрај едноставноста на уредот, неговиот изглед значително го забрза процесот на сите инженерски пресметки, а тоа е тешко да се прецени. Во моментов, малку луѓе се запознаени со овој уред.

Појавата на калкулатори и компјутери ја направи бесмислена употребата на кој било друг уред.

Равенки и неравенки

За решавање на различни равенки и неравенки со помош на логаритми, се користат следниве формули:

• Премин од една база во друга: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Како последица на претходната опција: log a(b) = 1 / log b(a).

За да се решат нееднаквостите, корисно е да се знае:

• Вредноста на логаритамот ќе биде позитивна само ако основата и аргументот се и поголеми или помали од еден; ако е повреден барем еден услов, вредноста на логаритамот ќе биде негативна.
• Ако логаритамската функција се примени на десната и левата страна на неравенката, а основата на логаритамот е поголема од една, тогаш знакот за неравенство е зачуван; во спротивно се менува.

Примерок проблеми

Ајде да разгледаме неколку опции за користење на логаритми и нивните својства. Примери со решавање равенки:

Размислете за опцијата за поставување на логаритам во моќност:

• Задача 3. Пресметај 25^log 5(3). Решение: во услови на проблемот, записот е сличен на следниот (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Да го напишеме поинаку: 5^log 5(3*2), или квадратот на број како функциски аргумент може да се напише како квадрат на самата функција (5^log 5(3))^2. Користејќи ги својствата на логаритмите, овој израз е еднаков на 3^2. Одговор: како резултат на пресметката добиваме 9.

Практична употреба

Бидејќи е чисто математичка алатка, се чини далеку од реалниот живот дека логаритамот одеднаш добил големо значење за опишување на предмети во реалниот свет. Тешко е да се најде наука каде што не се користи. Ова целосно се однесува не само на природните, туку и на хуманитарните полиња на знаење.

Логаритамски зависности

Еве неколку примери на нумерички зависности:

Механика и физика

Историски гледано, механиката и физиката отсекогаш се развивале користејќи математички методи на истражување и во исто време служеле како поттик за развој на математиката, вклучувајќи ги и логаритмите. Теоријата на повеќето закони на физиката е напишана на јазикот на математиката. Да дадеме само два примери за опишување физички закони со помош на логаритам.

Проблемот со пресметување на толку сложена количина како брзината на ракетата може да се реши со користење на формулата Циолковски, која ја постави основата за теоријата за истражување на вселената:

V = I * ln (M1/M2), каде

• V е крајната брзина на авионот.
• I – специфичен импулс на моторот.
• М 1 – почетна маса на ракетата.
• М 2 – конечна маса.

Друг важен пример- ова се користи во формулата на друг голем научник Макс Планк, која служи за проценка на рамнотежната состојба во термодинамиката.

S = k * ln (Ω), каде

• S – термодинамичко својство.
• k – Болцманова константа.
• Ω е статистичката тежина на различни состојби.

Хемија

Помалку очигледна е употребата на формули во хемијата кои содржат однос на логаритми. Да дадеме само два примери:

• Нернстовата равенка, состојбата на редокс потенцијалот на медиумот во однос на активноста на супстанциите и константата на рамнотежата.
• Пресметувањето на таквите константи како што се индексот на автолиза и киселоста на растворот, исто така, не може да се направи без нашата функција.

Психологија и биологија

И воопшто не е јасно каква врска има психологијата со тоа. Излегува дека јачината на сензацијата е добро опишана со оваа функција како обратен сооднос на вредноста на интензитетот на дразбата со вредноста на помалиот интензитет.

По горенаведените примери, веќе не е чудно што темата логаритми е широко користена во биологијата. Може да се напишат цели томови за биолошки форми што одговараат на логаритамските спирали.

Други области

Се чини дека постоењето на светот е невозможно без поврзаност со оваа функција и тој владее со сите закони. Особено кога законите на природата се поврзани со геометриска прогресија. Вреди да се свртиме кон веб-страницата MatProfi и има многу такви примери во следните области на активност:

Списокот може да биде бесконечен. Совладувајќи ги основните принципи на оваа функција, можете да се фрлате во светот на бесконечната мудрост.

274. Забелешки.

А)Ако изразот што сакате да го оцените содржи сумаили разликаброеви, тогаш тие мора да се најдат без помош на табели со обично собирање или одземање. На пример:

дневник (35 +7,24) 5 = 5 лог (35 + 7,24) = 5 лог 42,24.

б)Знаејќи како да ги логаритамизираме изразите, можеме, обратно, користејќи даден резултат од логаритам, да го најдеме изразот од кој е добиен овој резултат; па ако

дневник X= дневник а+ дневник б- 3 дневници Со,

тогаш тоа е лесно да се разбере

V)Пред да продолжиме со разгледување на структурата на логаритамските табели, ќе посочиме некои својства на децималните логаритми, т.е. оние кај кои за основа се зема бројот 10 (за пресметките се користат само такви логаритми).

Второ поглавје.

Својства на децимални логаритми.

275 . А) Бидејќи 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 итн., тогаш лог 10 = 1, лог 100 = 2, лог 1000 = 3, лог 10000 = 4 итн.

Средства, Логаритмот на цел број претставен со еден и нули е позитивен цел број кој содржи онолку една колку што има нули во претставувањето на бројот.

Така: дневник 100.000 = 5, дневник 1000 000 = 6 , итн.

б) Затоа што

лог 0,1 = -l; дневник 0,01 = - 2; дневник 0,001 == -3; дневник 0,0001 = - 4,итн.

Средства, Логаритмот на децимална дропка, претставена со единица со претходни нули, е негативен цел број што содржи онолку негативни единици колку што има нули во претставувањето на дропот, вклучувајќи 0 цели броеви.

Така: дневник 0,00001= - 5, дневник 0,000001 = -6,итн.

V)Да земеме цел број што не е претставен со еден и нули, на пример. 35, или цел број со дропка, на пример. 10.7. Логаритмот на таков број не може да биде цел број, бидејќи подигајќи го 10 на моќ со цел број експонент (позитивен или негативен), добиваме 1 со нули (по 1 или пред него). Сега да претпоставиме дека логаритамот на таков број е некоја дропка а / б . Тогаш ќе имавме еднаквост

Но, овие еднаквости се невозможни, како 10А има 1 со нули, додека степени 35б И 10,7б по која било мерка б не може да даде 1 проследено со нули. Тоа значи дека не можеме да дозволиме дневник 35И дневник 10.7беа еднакви на дропки. Но, од својствата на логаритамската функција знаеме () дека секој позитивен број има логаритам; Следствено, секој од броевите 35 и 10,7 има свој логаритам, и бидејќи не може да биде ниту цел број ниту фракционо број, тој е ирационален број и затоа не може точно да се изрази со помош на броеви. Ирационалните логаритми обично се изразуваат приближно како децимална дропка со неколку децимални места. Целиот број на оваа дропка (дури и ако е „0 цели броеви“) се нарекува карактеристика, а фракциониот дел е мантиса на логаритамот. Ако, на пример, постои логаритам 1,5441 , тогаш неговата карактеристика е еднаква 1 , а богомолката е 0,5441 .

G)Да земеме некој цел број или мешан број, на пример. 623 или 623,57 . Логаритмот на таков број се состои од карактеристика и мантиса. Излегува дека децималните логаритми ја имаат таа погодност што секогаш можеме да ги најдеме нивните карактеристики по еден тип на број . За да го направите ова, ајде да броиме колку цифри има даден цел број или во цел број од мешан број.Во нашите примери на овие цифри 3 . Затоа, секој од броевите 623 И 623,57 повеќе од 100, но помалку од 1000; тоа значи дека логаритмот на секој од нив е поголем дневник 100, т.е. повеќе 2 , но помалку дневник 1000, односно помалку 3 (запомнете дека поголем број има и поголем логаритам). Оттука, дневник 623 = 2,..., И дневник 623,57 = 2,... (точките ги заменуваат непознатите богомолки).

Вака наоѓаме:

Нека општо содржи даден цел број или цел број од даден мешан број м броеви Бидејќи најмалиот цел број содржи м бројки, да 1 Со м - 1 нули на крајот, а потоа (означувајќи го овој број Н) можеме да ги напишеме неравенките:

а со тоа и,

м - 1 < log N < м ,

дневник N = ( м- 1) + позитивна дропка.

Значи карактеристиката logN = м - 1 .

На овој начин гледаме дека карактеристиката на логаритамот на цел број или мешан број содржи онолку позитивни единици колку што има цифри во целобројниот дел од бројот минус еден.

Откако го забележавме ова, можеме директно да напишеме:

дневник 7,205 = 0,...; дневник 83 = 1,...; дневник 720,4 = 2,...и така натаму.

г)Да земеме неколку децимални дропки помали 1 (т.е. има 0 целина): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, и така натаму.

Така, секој од овие логаритми е содржан помеѓу два негативни цели броеви кои се разликуваат за една единица; затоа секој од нив е еднаков на помалиот од овие негативни броеви зголемен за некоја позитивна дропка. На пример, log0.0056= -3 + позитивна дропка. Да претпоставиме дека оваа дропка е 0,7482. Тогаш тоа значи:

дневник 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Износите како што се - 3 + 0,7482 , кој се состои од негативен цел број и позитивна децимална дропка, се согласивме да напишеме скратено на следниов начин во логаритамските пресметки: 3 ,7482 (Оваа бројка гласи: 3 минус, 7482 десет илјадити.), односно ставаат знак минус над карактеристиката за да покажат дека таа се однесува само на оваа карактеристика, а не и на мантисата, која останува позитивна. Така, од горната табела е јасно дека

дневник 0,35 == 1 ,....; дневник 0,07 = 2,....; лог 0,0008 = 4 ,....

Нека воопшто . има децимална дропка во која пред првата значајна цифра α трошоците м нули, вклучувајќи 0 цели броеви. Тогаш е очигледно дека

- м < log A < - (м- 1).

Бидејќи од два цели броеви: - м И - (м- 1) има помалку - м , Тоа

дневник А = - м+ позитивна дропка,

а со тоа и карактеристиката дневник А = - м (со позитивна мантиса).

Така, карактеристиката на логаритмот на децимална дропка помала од 1 содржи онолку негативни колку што има нули на сликата на децималната дропка пред првата значајна цифра, вклучувајќи нула цели броеви; Мантисата на таков логаритам е позитивна.

д)Ајде да помножиме некој број Н(цел број или дропка - не е важно) за 10, за 100 на 1000 ..., генерално за 1 со нули. Ајде да видиме како се менува ова дневник Н. Бидејќи логаритмот на производот е еднаков на збирот на логаритмите на факторите, тогаш

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3;итн.

Кога да дневник Ндодаваме цел број, тогаш овој број секогаш можеме да го додадеме на карактеристиката, а не на мантисата.

Значи, ако log N = 2,7804, тогаш 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, итн.;

или ако log N = 3,5649, тогаш 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649, итн.

Кога некој број се множи со 10, 100, 1000,..., генерално со 1 со нули, мантисата на логаритмот не се менува, а карактеристиката се зголемува за онолку единици колку што има нули во факторот .

Слично, имајќи предвид дека логаритамот на количникот е еднаков на логаритамот на дивидендата без логаритамот на делителот, добиваме:

лог N / 10 = дневник N- лог 10 = дневник N -1;

лог N / 100 = лог N- лог 100 = дневник N -2;

лог N / 1000 = дневник N- лог 1000 = дневник N -3;и така натаму.

Ако се согласиме, при одземање на цел број од логаритам, секогаш да се одземе овој цел број од карактеристиката и да се остави мантисата непроменета, тогаш можеме да кажеме:

Со делење на број со 1 со нули не се менува мантисата на логаритмот, но карактеристиката се намалува за онолку единици колку што има нули во делителот.

276. Последици.Од имотот ( д) може да се заклучат следните две последици:

А) Мантисата на логаритмот на децимален број не се менува кога се преместува во децимална точка , бидејќи поместувањето на децимална точка е еквивалентно на множење или делење со 10, 100, 1000 итн. Така, логаритми на броеви:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

се разликуваат само по карактеристиките, но не и по богомолките (под услов сите богомолки да се позитивни).

б) Мантисите на броеви кои имаат ист значаен дел, но се разликуваат само по завршувањето на нули, се исти: Така, логаритмите на броевите: 23, 230, 2300, 23.000 се разликуваат само по карактеристики.

Коментар. Од посочените својства на децималните логаритми јасно е дека можеме да ги најдеме карактеристиките на логаритмот на цел број и децимална дропка без помош на табели (ова е голема погодност на децималните логаритми); како резултат на тоа, само една мантиса е ставена во логаритамски табели; дополнително, бидејќи наоѓањето на логаритмите на дропките се сведува на пронаоѓање на логаритми на цели броеви (логаритам на дропка = логаритам на броителот без логаритам на именителот), во табелите се сместени мантисите на логаритми од само цели броеви.

Трето поглавје.

Дизајн и употреба на четирицифрени табели.

277. Системи на логаритми.Систем од логаритми е збир на логаритми пресметани за голем број последователни цели броеви користејќи иста основа. Се користат два системи: системот на обични или децимални логаритми, во кои како основа се зема бројот 10 , и систем на таканаречени природни логаритми, во кои како основа се зема ирационален број (од некои причини што се јасни во другите гранки на математиката) 2,7182818 ... За пресметките се користат децимални логаритми, поради практичноста што ја наведовме кога ги набројавме својствата на таквите логаритми.

Природните логаритми се нарекуваат и Неперов, именуван по пронаоѓачот на логаритми, шкотски математичар Непера(1550-1617), и децимални логаритми - Бригс именувани по професорот Брига(современ и пријател на Напиер), кој прв ги составил табелите на овие логаритми.

278. Претворање на негативен логаритам во оној чија мантиса е позитивна и инверзна трансформација. Видовме дека логаритмите на броеви помали од 1 се негативни. Ова значи дека тие се состојат од негативна карактеристика и негативна мантиса. Таквите логаритми секогаш може да се трансформираат така што нивната мантиса е позитивна, но карактеристиката останува негативна. За да го направите ова, доволно е да додадете позитивен на мантисата, а негативен на карактеристиката (што, се разбира, не ја менува вредноста на логаритамот).

Ако, на пример, имаме логаритам - 2,0873 , тогаш можете да напишете:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

или скратено:

Спротивно на тоа, секој логаритам со негативна карактеристика и позитивна мантиса може да се претвори во негативен. За да го направите ова, доволно е да додадете негативен на позитивната мантиса, а позитивен на негативната карактеристика: така, можете да напишете:

279. Опис на четирицифрени табели.За решавање на повеќето практични проблеми сосема се доволни табели со четири цифри, чие ракување е многу едноставно. Овие табели (со натпис „логаритми“ на врвот) се ставени на крајот од оваа книга, а мал дел од нив (за објаснување на распоредот) е отпечатен на оваа страница. Тие содржат мантис

Логаритми.

логаритми на сите цели броеви од 1 пред 9999 вклучително, пресметано до четири децимални места, при што последното од овие места е зголемено за 1 во сите оние случаи кога 5-то децимално место би било 5 или повеќе од 5; затоа, табелите со 4 цифри даваат приближни мантиси до 1 / 2 десетилјадитиот дел (со недостаток или вишок).

Бидејќи можеме директно да го карактеризираме логаритамот на цел број или децимална дропка, врз основа на својствата на децималните логаритми, мора да ги земеме само мантисите од табелите; Во исто време, мораме да запомниме дека позицијата на децималната точка во децимален број, како и бројот на нули на крајот од бројот, не влијаат на вредноста на мантисата. Затоа, кога ја наоѓаме мантисата за даден број, ја отфрламе запирката во овој број, како и нулите на крајот од него, доколку ги има, и ја наоѓаме мантисата на целиот број формиран после ова. Може да се појават следните случаи.

1) Цел број се состои од 3 цифри.На пример, да речеме дека треба да ја најдеме мантисата на логаритмот на бројот 536. Првите две цифри од овој број, т.е. 53, се наоѓаат во табелите во првата вертикална колона лево (види табела). Откако го најдовме бројот 53, се движиме од него по хоризонтална линија надесно додека оваа линија не се пресече со вертикална колона што минува низ еден од броевите 0, 1, 2, 3,... 9, поставени на врвот (и дното) од табелата, која е 3-та цифра од даден број, т.е. во нашиот пример, бројот 6. На раскрсницата ја добиваме мантисата 7292 (т.е. 0,7292), која припаѓа на логаритамот на бројот 536. Слично , за бројот 508 ја наоѓаме мантисата 0,7059, за бројот 500 наоѓаме 0,6990 итн.

2) Цел број се состои од 2 или 1 цифри.Потоа ментално доделуваме една или две нули на овој број и ја наоѓаме мантисата за така формираниот трицифрен број. На пример, додаваме една нула на бројот 51, од кој добиваме 510 и ја наоѓаме мантисата 7070; на бројот 5 доделуваме 2 нули и ја наоѓаме мантисата 6990 итн.

3) Цел број се изразува со 4 цифри.На пример, треба да ја пронајдете мантисата од дневникот 5436. Потоа прво ја наоѓаме во табелите, како што е наведено, мантисата за бројот претставен со првите 3 цифри од овој број, т.е. за 543 (оваа мантиса ќе биде 7348) ; потоа се движиме од пронајдената богомолка по хоризонталната линија надесно (на десната страна на табелата, која се наоѓа зад дебелата вертикална линија) додека не се пресече со вертикалната колона што минува низ еден од броевите: 1, 2 3,. .. 9, кој се наоѓа на врвот (и на дното ) од овој дел од табелата, што ја претставува 4-та цифра од даден број, т.е., во нашиот пример, бројот 6. На пресекот ја наоѓаме исправката (број 5), што мора ментално да се примени на мантисата од 7348 за да се добие мантисата од бројот 5436; На овој начин ја добиваме мантисата 0,7353.

4) Цел број се изразува со 5 или повеќе цифри.Потоа ги отфрламе сите цифри освен првите 4, земаме приближно четирицифрен број и ја зголемуваме последната цифра од овој број за 1 во тој број. случај кога отфрлената 5-та цифра од бројот е 5 или повеќе од 5. Значи, наместо 57842 земаме 5784, наместо 30257 земаме 3026, наместо 583263 земаме 5833 итн. За овој заокружен четирицифрен број, ја наоѓаме мантисата како што е објаснето.

Водени од овие упатства, да ги најдеме, на пример, логаритмите на следните броеви:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Најпрво, засега без да се свртиме кон табелите, ќе ги спуштиме само карактеристиките, оставајќи простор за богомолките, кои ќе ги напишеме потоа:

дневник 36,5 = 1,.... дневник 0,00345 = 3,....

лог 804,7 = 2,.... лог 7,2634 = 0,....

дневник 0,26 = 1,.... дневник 3456,86 = 3,....

дневник 36,5 = 1,5623; дневник 0,00345 = 3,5378;

дневник 804,7 = 2,9057; дневник 7,2634 = 0,8611;

дневник 0,26 = 1,4150; дневник 3456,86 = 3,5387.

280. Забелешка. Во некои четирицифрени табели (на пример, во табели В. Лорченко и Н. Оглоблина, С. Глазенап, Н. Каменшчикова) не се ставаат корекции за 4-та цифра од овој број. Кога се работи со такви табели, треба да се најдат овие корекции користејќи едноставна пресметка, која може да се изврши врз основа на следнава вистина: ако бројките надминуваат 100 и разликите меѓу нив се помали од 1, тогаш без чувствителна грешка. може да се претпостави дека разликите помеѓу логаритмите се пропорционални со разликите помеѓу соодветните броеви . Нека, на пример, треба да ја најдеме мантисата што одговара на бројот 5367. Оваа мантиса, се разбира, е иста како и за бројот 536,7. Во табелите за бројот 536 ја наоѓаме мантисата 7292. Споредувајќи ја оваа мантиса 7300 соседна десно, што одговара на бројот 537, забележуваме дека ако бројот 536 се зголеми за 1, тогаш неговата мантиса ќе се зголеми за 8 десет -илјадити (8 е т.н разлика во табелатапомеѓу две соседни богомолки); ако бројот 536 се зголеми за 0,7, тогаш неговата мантис ќе се зголеми не за 8 десетилјадити, туку за некој помал број X десет илјадитинки, кои, според претпоставената пропорционалност, мора да ги задоволат пропорциите:

X :8 = 0,7:1; каде X = 8 07 = 5,6,

што е заокружено на 6 десетилјадити. Ова значи дека мантисата за бројот 536,7 (а со тоа и за бројот 5367) ќе биде: 7292 + 6 = 7298.

Забележете дека наоѓањето среден број со користење на два соседни броеви во табелите се нарекува интерполација.Интерполацијата опишана овде се нарекува пропорционален, бидејќи се заснова на претпоставката дека промената во логаритамот е пропорционална со промената на бројот. Се нарекува и линеарна, бидејќи претпоставува дека графички промената на логаритамската функција се изразува со права линија.

281. Граница на грешка на приближниот логаритам.Ако бројот чиј логаритам се бара е точен број, тогаш може, како што рековме, да се земе границата на грешка на неговиот логаритам што се наоѓа во табелите со 4 цифри. 1 / 2 десетилјадитиот дел. Ако оваа бројка не е точна, тогаш на оваа граница на грешка мора да ја додадеме и границата на друга грешка што произлегува од неточноста на самиот број. Докажано е (го испуштаме овој доказ) дека таквата граница може да се земе како производ

а(г +1) десет илјадити.,

во која А е маргината на грешка за најнепрецизниот број, под претпоставка дека неговиот целоброен дел содржи 3 цифри, а г табеларна разлика на богомолките што одговара на два последователни трицифрени броеви меѓу кои лежи дадениот непрецизен број. Така, границата на конечната грешка на логаритмот потоа ќе се изрази со формулата:

1 / 2 + а(г +1) десет илјадити

Пример. Најдете дневник π , земајќи за π приближен број 3.14, точно до 1 / 2 стотинки.

Со поместување на запирката по третата цифра во бројот 3.14, броејќи од лево, го добиваме трицифрениот број 314, точно до 1 / 2 единици; Ова значи дека маргината на грешка за неточен број, т.е. она што го означивме со буквата А , ете го 1 / 2 Од табелите наоѓаме:

дневник 3,14 = 0,4969.

Разлика во табелата г помеѓу богомолките на броевите 314 и 315 е еднаква на 14, така што грешката на пронајдениот логаритам ќе биде помала

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 десет илјадити.

Бидејќи не знаеме за логаритамот 0,4969 дали е дефицитарен или прекумерен, можеме само да гарантираме дека точниот логаритам π лежи помеѓу 0,4969 - 0,0008 и 0,4969 + 0,0008, т.е. 0,4961< log π < 0,4977.

282. Најдете број користејќи даден логаритам. За да се најде број користејќи даден логаритам, истите табели може да се користат за пронаоѓање на мантисите на дадените броеви; но попогодно е да се користат други табели кои ги содржат таканаречените антилогаритми, т.е. броеви што одговараат на овие богомолки. Овие табели, означени со натписот на врвот „антилогаритми“, се ставени на крајот од оваа книга по табелите со логаритми; мал дел од нив е поставен на оваа страница (за објаснување).

Да претпоставиме дека ви е дадена 4-цифрена мантиса 2863 (не обрнуваме внимание на карактеристиката) и треба да го пронајдете соодветниот цел број. Потоа, имајќи табели со антилогаритми, треба да ги користите на ист начин како што беше претходно објаснето за да ја пронајдете мантисата за даден број, имено: ги наоѓаме првите 2 цифри од мантисата во првата колона лево. Потоа се движиме од овие броеви по хоризонталната линија надесно додека не се пресече со вертикалната колона што доаѓа од 3-та цифра на мантисата, која мора да се бара во горната линија (или долната страна). На раскрсницата го наоѓаме четирицифрениот број 1932, што одговара на богомолката 286. Потоа од овој број се движиме понатаму по хоризонталната линија надесно до пресекот со вертикалната колона што доаѓа од 4-та цифра на богомолката, која мора да да се најде на врвот (или дното) меѓу броевите 1, 2 поставени таму , 3,... 9. На раскрсницата наоѓаме исправка 1, која мора да се примени (во умот) на бројот 1032 пронајден порано со цел за да се добие бројот што одговара на мантисата 2863.

Така, бројот ќе биде 1933. По ова, обрнувајќи внимание на карактеристиката, треба да го ставите окупираното на соодветно место во бројот 1933. На пример:

Ако дневник x = 3,2863, тогаш X = 1933,

„ дневник x = 1,2863, „ X = 19,33,

, дневник x = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ дневник x = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Еве повеќе примери:

дневник x = 0,2287, X = 1,693,

дневник x = 1 ,7635, X = 0,5801,

дневник x = 3,5029, X = 3184,

дневник x = 2 ,0436, X = 0,01106.

Ако мантисата содржи 5 или повеќе цифри, тогаш ги земаме само првите 4 цифри, отфрлајќи ги останатите (и зголемувајќи ја 4-та цифра за 1 ако 5-та цифра има пет или повеќе). На пример, наместо мантиса 35478 земаме 3548, наместо 47562 земаме 4756.

283. Забелешка.Корекцијата за 4-та и следните цифри на мантисата може да се најде и преку интерполација. Значи, ако мантисата е 84357, тогаш, откако го најдовме бројот 6966, што одговара на мантисата 843, можеме дополнително да резонираме на следниов начин: ако мантисата се зголеми за 1 (илјада), т.е. прави 844, тогаш бројот како може да се види од табелите, ќе се зголеми за 16 единици; ако мантисата се зголеми не за 1 (илјада), туку за 0,57 (илјада), тогаш бројот ќе се зголеми за X единици, и X мора да ги задоволува пропорциите:

X : 16 = 0,57: 1, од каде x = 16 0,57 = 9,12.

Ова значи дека потребниот број ќе биде 6966+ 9,12 = 6975,12 или (ограничено на само четири цифри) 6975.

284. Граница за грешка на пронајдениот број.Докажано е дека во случај кога во пронајдениот број запирката е по третата цифра од лево, односно кога карактеристиката на логаритамот е 2, збирот може да се земе како граница на грешка.

Каде А е граница на грешка на логаритамот (изразен во десет илјадити делови) со кој е пронајден бројот, и г - разликата помеѓу богомолките од два последователни трицифрени броја меѓу кои лежи пронајдениот број (со запирка после 3-та цифра од лево). Кога карактеристиката не е 2, туку некој друг, тогаш во пронајдениот број запирката ќе треба да се премести налево или надесно, т.е. да се подели или да се помножи бројот со некоја моќност од 10. Во овој случај, грешката резултатот исто така ќе се подели или помножи со иста моќност од 10.

Нека, на пример, бараме број користејќи го логаритамот 1,5950 , за која се знае дека е точна до 3 десетилјадити; тоа значи тогаш А = 3 . Бројот што одговара на овој логаритам, пронајден од табелата со антилогаритми, е 39,36 . Поместувајќи ја запирката по 3-та цифра од лево, го имаме бројот 393,6 , кој се состои помеѓу 393 И 394 . Од табелите на логаритми гледаме дека разликата помеѓу мантисите што одговараат на овие два броја е 11 десет илјадитинки; Средства г = 11 . Грешката на бројот 393,6 ќе биде помала

Ова значи дека грешката во бројот 39,36 ќе има помалку 0,05 .

285. Операции на логаритми со негативни карактеристики.Додавањето и одземањето логаритми не претставува никакви тешкотии, како што може да се види од следните примери:

Исто така, нема потешкотии при множење на логаритамот со позитивен број, на пример:

Во последниот пример, позитивната мантиса посебно се множи со 34, а потоа негативната карактеристика се множи со 34.

Ако логаритамот на негативна карактеристика и позитивна мантиса се помножат со негативен број, тогаш постапете на два начина: или дадениот логаритам прво се претвори негативен, или мантисата и карактеристиката се множат одделно и резултатите се комбинираат заедно, на пр. :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Кога се дели, може да се појават два случаи: 1) негативната карактеристика се дели и 2) не е делив со делител. Во првиот случај, карактеристиката и мантисата се одделени одделно:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

Во вториот случај, толку многу негативни единици се додаваат на карактеристиката, така што добиениот број се дели со делителот; ист број на позитивни единици се додава на мантисата:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Оваа трансформација мора да се направи во умот, па дејството оди вака:

286. Замена на одземените логаритми со членови.Кога пресметувате некои сложени изрази користејќи логаритми, треба да додадете некои логаритми и да одземете други; во овој случај, на вообичаениот начин на извршување на дејствијата, тие одделно го наоѓаат збирот на додадените логаритми, потоа збирот на одземените, а вториот го одземаат од првиот збир. На пример, ако имаме:

дневник X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

тогаш вообичаеното извршување на дејствата ќе изгледа вака:

Сепак, можно е одземањето да се замени со собирање. Значи:

Сега можете да ја организирате пресметката вака:

287. Примери за пресметки.

Пример 1. Оценете го изразот:

Ако A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127И D = 7,246.

Да земеме логаритам на овој израз:

дневник X= 1/3 лог A + 4 лог Б - 3 лог C - 1/3 лог Д

Сега, за да избегнеме непотребно губење време и да ја намалиме можноста за грешки, прво ќе ги организираме сите пресметки без да ги извршиме засега и, според тоа, без да се повикуваме на табелите:

После ова, ги земаме табелите и ставаме логаритми во преостанатите слободни места:

Ограничување на грешка.Прво, да ја најдеме границата на грешка на бројот x 1 = 194,5 , еднаква на:

Значи, прво треба да најдете А , т.е., границата на грешката на приближниот логаритам, изразена во десет илјадити. Да претпоставиме дека овие бројки А, Б, ЦИ Дсите се точни. Тогаш грешките во поединечни логаритми ќе бидат како што следува (во десет илјадити):

В logA.......... 1 / 2

В 1/3 дневник А......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 додадено затоа што кога се делиме со 3 логаритми од 1,9146, го заокруживме количникот со отфрлање на неговата 5-та цифра и, според тоа, направивме уште помала грешка 1 / 2 десетилјадити).

Сега ја наоѓаме границата на грешка на логаритмот:

А = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (десет илјадити).

Дозволете ни да дефинираме дополнително г . Бидејќи x 1 = 194,5 , потоа 2 последователни цели броеви меѓу кои лежи x 1 ќе 194 И 195 . Разлика во табелата г помеѓу богомолките што одговараат на овие бројки е еднаква на 22 . Тоа значи дека границата на грешка на бројот е x 1 Ете го:

Бидејќи x = x 1 : 10, потоа границата на грешка во бројот x еднакви 0,3:10 = 0,03 . Така, бројот што го најдовме 19,45 се разликува од точниот број за помалку од 0,03 . Бидејќи не знаеме дали нашата апроксимација е пронајдена со недостаток или со вишок, можеме само да гарантираме дека

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , т.е.

19,48 > X > 19,42 ,

и затоа, ако прифатиме X =19,4 , тогаш ќе имаме приближување со недостаток со точност до 0,1.

Пример 2.Пресметајте:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Бидејќи негативните броеви немаат логаритми, прво наоѓаме:

X" = (2,31) 3 5 √72

со распаѓање:

дневник X"= 3 лог 2,31 + 1 / 5 лог72.

По пресметката излегува:

X" = 28,99 ;

оттука,

x = - 28,99 .

Пример 3. Пресметајте:

Овде не може да се користи континуирана логаритмизација, бидејќи знакот на коренот е c u m m a. Во такви случаи, пресметајте ја формулата по делови.

Прво наоѓаме Н = 5 √8 , Потоа Н 1 = 4 √3 ; тогаш со едноставно собирање одредуваме Н+ Н 1 , и на крајот пресметуваме 3 √Н+ Н 1 ; излегува:

N=1.514, Н 1 = 1,316 ; Н+ Н 1 = 2,830 .

дневник x= дневник 3 √ 2,830 = 1 / 3 дневник 2.830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

Четврто поглавје.

Експоненцијални и логаритамски равенки.

288. Експоненцијални равенки се оние во кои непознатата е вклучена во експонентот, и логаритамски- оние во кои непознатото влегува под знакот дневник. Ваквите равенки можат да се решат само во посебни случаи, а треба да се потпреме на својствата на логаритмите и на принципот дека ако броевите се еднакви, тогаш нивните логаритми се еднакви, и обратно, ако логаритмите се еднакви, тогаш соодветните броевите се еднакви.

Пример 1.Реши ја равенката: 2 x = 1024 .

Ајде да ги логаритамизираме двете страни на равенката:

Пример 2.Реши ја равенката: а 2x - а x = 1 . Ставање а x = на , добиваме квадратна равенка:

y 2 - на - 1 = 0 ,

Бидејќи 1-√5 < 0 , тогаш последната равенка е невозможна (функција а x секогаш има позитивен број), а првиот дава:

Пример 3.Реши ја равенката:

дневник ( a + x) + дневник ( b + x) = дневник ( c + x) .

Равенката може да се напише вака:

дневник [( a + x) (b + x)] = дневник ( c + x) .

Од еднаквоста на логаритмите заклучуваме дека броевите се еднакви:

(a + x) (b + x) = c + x .

Ова е квадратна равенка, чиешто решение не е тешко.

Поглавје пет.

Сложена камата, орочени плаќања и орочени плаќања.

289. Основен проблем за сложената камата.Во колку ќе се претвори главниот град? А рубли, дадени во раст на Р сложена камата, по т години ( т - цел број)?

Велат дека капиталот се плаќа со сложена камата ако се земе предвид таканаречената „камата на камата“, односно ако парите од камати кои доспеваат на капиталот се додаваат на капиталот на крајот од секоја година за да се зголемат. тоа со камата во следните години.

Секоја рубља капитал подарена Р %, ќе донесе профит во рок од една година стр / 100 рубља, и, според тоа, секоја рубља капитал за 1 година ќе се претвори во 1 + стр / 100 рубљата (на пример, ако капиталот е даден во 5 %, тогаш секоја рубља од него за една година ќе се претвори во 1 + 5 / 100 , односно во 1,05 рубљата).

За краткост, означување на дропката стр / 100 со една буква, на пример, р , можеме да кажеме дека секоја рубља капитал за една година ќе се претвори во 1 + р рубли; оттука, А рубли ќе бидат вратени за 1 година на А (1 + р ) тријте. По уште една година, односно 2 години од почетокот на растот, секоја рубља од овие А (1 + р ) тријте. ќе контактира повторно 1 + р триење; Тоа значи дека целиот капитал ќе се претвори во А (1 + р ) 2 тријте. На ист начин откриваме дека по три години главниот град ќе биде А (1 + р ) 3 , за четири години ќе биде А (1 + р ) 4 ,... генерално преку т години ако т е цел број, ќе се сврти кон А (1 + р ) ттријте. Така, означувајќи со Аконечниот капитал, ќе ја имаме следната формула за сложена камата:

А = А (1 + р ) тКаде р = стр / 100 .

Пример.Нека а =2.300 руб., стр = 4, т=20 години; тогаш формулата дава:

р = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2.300 (1,04) 20.

Да се ​​пресмета А, користиме логаритми:

дневник а = дневник 2 300 + 20 лог 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

A = 5031рубљата.

Коментар.Во овој пример моравме дневник 1.04множете се со 20 . Од бројот 0,0170 има приближна вредност дневник 1.04до 1 / 2 десетилјадитиот дел, потоа производот од овој број за 20 дефинитивно ќе биде само до 1 / 2 20, односно до 10 десетилјадити = 1 илјадити. Затоа вкупно 3,7017 Не можеме да гарантираме не само за бројот од десет илјадити, туку и за бројот од илјадитите. За да се добие поголема точност во такви случаи, подобро е за бројот 1 + р земете логаритми не со 4 цифри, туку со голем број цифри, на пример. 7-цифрена. За таа цел, овде ви претставуваме мала табела во која се запишани 7-цифрени логаритми за најчестите вредности Р .

290. Главната задача е за итни плаќања.Некој зеде А рубли по Р % со услов да се отплати долгот заедно со каматата што му доспева, во т години, плаќајќи го истиот износ на крајот од секоја година. Која треба да биде оваа сума?

Збир x , што се плаќа годишно под такви услови, се нарекува итна исплата. Ајде повторно да означиме со буквата р годишни каматни пари од 1 руб., т.е. број стр / 100 . Потоа до крајот на првата година долгот А се зголемува до А (1 + р ), основно плаќање X тоа ќе чини рубли А (1 + р )-X .

До крајот на втората година, секоја рубља од оваа сума повторно ќе се претвори во 1 + р рубли, и затоа долгот ќе биде [ А (1 + р )-X ](1 + р ) = А (1 + р ) 2 - x (1 + р ), и за плаќање x рубли ќе бидат: А (1 + р ) 2 - x (1 + р ) - X . На ист начин ќе се погрижиме до крајот на 3-та година долгот да биде

А (1 + р ) 3 - x (1 + р ) 2 - x (1 + р ) - x ,

и воопшто и крајот т година ќе биде:

А (1 + р ) т - x (1 + р ) т -1 - x (1 + р ) т -2 ... - x (1 + р ) - x , или

А (1 + р ) т - x [ 1 + (1 + р ) + (1 + р ) 2 + ...+ (1 + р ) т -2 + (1 + р ) т -1 ]

Полиномот во заградите го претставува збирот на членовите на геометриската прогресија; кој го има првиот член 1 , последно ( 1 + р ) т -1, и именителот ( 1 + р ). Користејќи ја формулата за збир на членови на геометриска прогресија (Дел 10 Поглавје 3 § 249) наоѓаме:

а висината на долгот по т -та уплата ќе биде:

Според условите на проблемот долгот е на крајот т -тата година мора да биде еднаква на 0 ; Затоа:

каде

При пресметувањето на ова итни формули за плаќањекористејќи логаритми прво мора да го најдеме помошниот број Н = (1 + р ) тпо логаритам: дневник N= тдневник (1+ р) ; откако најдоа Н, одземе 1 од него, па го добиваме именителот на формулата за X, по што со секундарен логаритам наоѓаме:

дневник X= дневник а+ дневник N + дневник r - дневник (N - 1).

291. Основна задача за орочени придонеси.Некој го депонира истиот износ во банка на почетокот на секоја година. А тријте. Определете кој капитал ќе се формира од овие придонеси после т години ако банката плаќа Р сложена камата.

Назначен од р годишни каматни пари од 1 рубља, т.е. стр / 100 , резонираме вака: до крајот на првата година главниот град ќе биде А (1 + р );

на почетокот на 2-та година ќе се додаде на оваа сума А рубли; тоа значи дека во ова време капиталот ќе биде А (1 + р ) + а . До крајот на 2-та година ќе биде А (1 + р ) 2 + а (1 + р );

на почетокот на 3-та година повторно се внесува А рубли; тоа значи дека во ова време ќе има капитал А (1 + р ) 2 + а (1 + р ) + А ; до крајот на 3-ти ќе биде А (1 + р ) 3 + а (1 + р ) 2 + а (1 + р ) Продолжувајќи ги овие аргументи понатаму, откриваме дека до крајот т година потребниот капитал Аќе:

Ова е формулата за орочените придонеси направени на почетокот на секоја година.

Истата формула може да се добие со следново расудување: аванс до А рубли додека сте во банка т години, ќе се претвори, според формулата за сложена камата, во А (1 + р ) ттријте. Втората рата, да се биде во банка една година помалку, т.е. т - 1 години, контакт А (1 + р ) т-1тријте. Исто така, третата рата ќе даде А (1 + р ) т-2итн., и на крај последната рата со оглед на тоа што е во банка само 1 година ќе оди на А (1 + р ) тријте. Ова значи конечниот капитал Атријте. ќе:

А= А (1 + р ) т + А (1 + р ) т-1 + А (1 + р ) т-2 + . . . + А (1 + р ),

која по поедноставувањето ја дава формулата најдена погоре.

Кога пресметувате користејќи логаритми од оваа формула, мора да постапите на ист начин како и при пресметувањето на формулата за итни плаќања, т.е., прво најдете го бројот N = ( 1 + р ) тспоред неговиот логаритам: дневник N= тдневник(1 + р ), потоа бројот N- 1а потоа земете логаритам со формулата:

дневник А = дневник а+log(1+ р) + дневник (N - 1) - 1огр

Коментар.Доколку итен придонес за А тријте. беше направено не на почетокот, туку на крајот на секоја година (како, на пример, се врши итна исплата X да го отплати долгот), потоа резонирајќи слично како претходното, констатираме дека до крајот т година потребниот капитал А"тријте. ќе биде (вклучувајќи ја и последната рата А Бришење, без камата):

А"= А (1 + р ) т-1 + А (1 + р ) т-2 + . . . + А (1 + р ) + А

што е еднакво на:

т.е. А"завршува во ( 1 + р ) пати помалку А, што требаше да се очекува, бидејќи секоја рубља капитал А"лежи во банката за една година помалку од соодветната рубља капитал А.

Продолжуваме да ги проучуваме логаритмите. Во оваа статија ќе зборуваме за пресметување на логаритми, овој процес се нарекува логаритам. Прво ќе го разбереме пресметувањето на логаритмите по дефиниција. Следно, ајде да погледнеме како се наоѓаат вредностите на логаритмите користејќи ги нивните својства. После ова, ќе се фокусираме на пресметување на логаритми преку првично наведените вредности на другите логаритми. Конечно, да научиме како да користиме логаритамски табели. Целата теорија е дадена со примери со детални решенија.

Навигација на страницата.

Пресметување на логаритми по дефиниција

Во наједноставните случаи можно е да се изврши доста брзо и лесно наоѓање на логаритам по дефиниција. Ајде внимателно да погледнеме како се случува овој процес.

Неговата суштина е да го претстави бројот b во форма a c, од кој, според дефиницијата за логаритам, бројот c е вредноста на логаритамот. Односно, по дефиниција, следниот синџир на еднаквости одговара на наоѓање на логаритамот: log a b=log a a c =c.

Значи, пресметувањето на логаритам по дефиниција се сведува на наоѓање број c таков што a c = b, а самиот број c е саканата вредност на логаритамот.

Земајќи ги предвид информациите во претходните ставови, кога бројот под знакот на логаритам е даден со одредена моќност на логаритамската основа, можете веднаш да наведете на што е еднаков логаритамот - тој е еднаков на експонентот. Ајде да покажеме решенија за примери.

Пример.

Најдете го логот 2 2 −3, а исто така пресметајте го природниот логаритам на бројот e 5,3.

Решение.

Дефиницијата на логаритамот ни овозможува веднаш да кажеме дека log 2 2 −3 =−3. Навистина, бројот под знакот на логаритам е еднаков на основата 2 до моќноста -3.

Слично, го наоѓаме вториот логаритам: lne 5.3 =5.3.

Одговор:

log 2 2 −3 =−3 и lne 5,3 =5,3.

Ако бројот b под знакот за логаритам не е наведен како моќност на основата на логаритамот, тогаш треба внимателно да погледнете дали е можно да се дојде до претстава за бројот b во форма a c. Честопати ова претставување е сосема очигледно, особено кога бројот под знакот на логаритам е еднаков на основата со моќност од 1, или 2, или 3, ...

Пример.

Пресметај ги логаритмите log 5 25 и .

Решение.

Лесно е да се види дека 25=5 2, ова ви овозможува да го пресметате првиот логаритам: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Ајде да продолжиме со пресметување на вториот логаритам. Бројот може да се претстави како моќност од 7: (видете ако е потребно). Оттука, .

Да го преработиме третиот логаритам во следната форма. Сега можете да го видите тоа , од што заклучуваме дека . Според тоа, по дефиниција за логаритам .

Накратко, решението би можело да се напише вака: .

Одговор:

дневник 5 25=2 , И .

Кога има доволно голем природен број под знакот на логаритам, не е повредено да се факторинг во прости фактори. Често помага да се претстави таков број како некоја моќност на основата на логаритмот, и затоа се пресметува овој логаритам по дефиниција.

Пример.

Најдете ја вредноста на логаритамот.

Решение.

Некои својства на логаритмите ви овозможуваат веднаш да ја одредите вредноста на логаритмите. Овие својства го вклучуваат својството на логаритамот на еден и својството на логаритамот на број еднаков на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a 1 =1. Односно, кога под знакот на логаритмот има број 1 или број a еднаков на основата на логаритмот, тогаш во овие случаи логаритмите се еднакви на 0 и 1, соодветно.

Пример.

На што се еднакви логаритмите и log10?

Решение.

Бидејќи , тогаш од дефиницијата за логаритам следува .

Во вториот пример, бројот 10 под знакот логаритам се совпаѓа со неговата основа, така што декадниот логаритам од десет е еднаков на еден, односно lg10=lg10 1 =1.

Одговор:

И lg10=1.

Забележете дека пресметувањето на логаритмите по дефиниција (за кое разговаравме во претходниот пасус) подразбира употреба на логот за еднаквост a a p =p, што е едно од својствата на логаритмите.

Во пракса, кога број под знакот логаритам и основата на логаритамот лесно се претставени како моќност на одреден број, многу е погодно да се користи формулата , што одговара на едно од својствата на логаритмите. Ајде да погледнеме пример за наоѓање логаритам кој ја илустрира употребата на оваа формула.

Пример.

Пресметајте го логаритамот.

Решение.

Одговор:

.

Својствата на логаритмите кои не се споменати погоре се користат и во пресметките, но за ова ќе зборуваме во следните параграфи.

Наоѓање логаритми преку други познати логаритми

Информациите во овој став ја продолжуваат темата за користење на својствата на логаритмите при нивното пресметување. Но, тука главната разлика е во тоа што својствата на логаритмите се користат за изразување на оригиналниот логаритам во однос на друг логаритам, чија вредност е позната. Да дадеме пример за појаснување. Да речеме дека знаеме дека log 2 3≈1.584963, тогаш можеме да го најдеме, на пример, log 2 6 со правење мала трансформација користејќи ги својствата на логаритмот: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Во горниот пример, доволно ни беше да го искористиме својството на логаритам на производ. Меѓутоа, многу почесто е потребно да се користи поширок арсенал на својства на логаритмите за да се пресмета оригиналниот логаритам преку дадените.

Пример.

Пресметајте го логаритамот од 27 до основата 60 ако знаете дека log 60 2=a и log 60 5=b.

Решение.

Значи треба да го најдеме дневникот 60 27 . Лесно е да се види дека 27 = 3 3 , а оригиналниот логаритам, поради својството на логаритамот на моќта, може да се препише како 3·log 60 3 .

Сега да видиме како да го изразиме логот 60 3 во однос на познатите логаритми. Својството на логаритам на број еднаков на основата ни овозможува да го напишеме логот за еднаквост 60 60=1. Од друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= лог 60 2 2 + дневник 60 3 + лог 60 5= 2·лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5 . Така, 2 лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5=1. Оттука, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Конечно, го пресметуваме оригиналниот логаритам: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Одговор:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Одделно, вреди да се спомене значењето на формулата за премин кон нова основа на логаритмот на формата . Ви овозможува да се движите од логаритми со која било основа до логаритми со одредена основа, чии вредности се познати или е можно да се најдат. Обично, од оригиналниот логаритам, користејќи ја формулата за транзиција, тие се префрлаат на логаритми во една од базите 2, e или 10, бидејќи за овие бази постојат табели на логаритми кои овозможуваат нивните вредности да се пресметаат со одреден степен на точност. Во следниот пасус ќе покажеме како се прави ова.

Логаритмски табели и нивна употреба

За приближна пресметка на логаритамските вредности може да се користат логаритамски табели. Најчесто користена табела со логаритам со основа 2, табела со природен логаритам и децимална логаритамска табела. Кога работите во децимален броен систем, погодно е да се користи табела со логаритми заснована на основата десет. Со негова помош ќе научиме да ги наоѓаме вредностите на логаритмите.

Презентираната табела ви овозможува да ги пронајдете вредностите на децималните логаритми на броеви од 1.000 до 9.999 (со три децимални места) со точност од десет илјадити дел. Ќе го анализираме принципот на пронаоѓање на вредноста на логаритам користејќи табела со децимални логаритми користејќи конкретен пример - вака е појасно. Ајде да го најдеме log1.256.

Во левата колона од табелата со децимални логаритми ги наоѓаме првите две цифри од бројот 1,256, односно наоѓаме 1,2 (овој број е заокружен со сино за јасност). Третата цифра од бројот 1.256 (цифра 5) се наоѓа во првата или последната линија лево од двојната линија (овој број е заокружен со црвено). Четвртата цифра од оригиналниот број 1.256 (цифра 6) се наоѓа во првата или последната линија десно од двојната линија (овој број е заокружен со зелена линија). Сега ги наоѓаме броевите во ќелиите на табелата со логаритам на пресекот на означениот ред и означените колони (овие бројки се означени со портокалова боја). Збирот на означените броеви ја дава саканата вредност на декадниот логаритам точна до четвртото децимално место, т.е. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Дали е можно, користејќи ја горната табела, да се најдат вредностите на децималните логаритми на броеви кои имаат повеќе од три цифри по децималната точка, како и оние што го надминуваат опсегот од 1 до 9,999? Да ти можеш. Ајде да покажеме како се прави ова со пример.

Ајде да пресметаме lg102.76332. Прво треба да запишете број во стандардна форма: 102,76332=1,0276332·10 2. По ова, мантисата треба да се заокружи на третото децимално место, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, додека оригиналниот децимален логаритам е приближно еднаков на логаритамот на добиениот број, односно земаме log102.76332≈lg1.028·10 2. Сега ги применуваме својствата на логаритмот: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Конечно, ја наоѓаме вредноста на логаритмот lg1.028 од табелата со децимални логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Како резултат на тоа, целиот процес на пресметување на логаритам изгледа вака: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Како заклучок, вреди да се напомене дека користејќи табела со децимални логаритми можете да ја пресметате приближната вредност на кој било логаритам. За да го направите ова, доволно е да ја користите формулата за транзиција за да отидете до децимални логаритми, да ги пронајдете нивните вредности во табелата и да ги извршите преостанатите пресметки.

На пример, да го пресметаме дневникот 2 3 . Според формулата за премин кон нова основа на логаритамот, имаме . Од табелата со децимални логаритми наоѓаме log3≈0.4771 и log2≈0.3010. Така, .

Библиографија.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.Алгебра и почетоците на анализа: Учебник за 10 - 11 одделение на општообразовните установи.
• Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).