Табела вредности на функции. Закон за распределба на веројатност на дискретна случајна променлива

2.1. Лапласова функција (интеграл на веројатност)има форма:

Графикот на Лапласовата функција е прикажан на Сл. 5.

Функција Ф(X) табеларно (види Табела 1 од додатоците). За да ја користите оваа табела треба да знаете својства на Лапласовата функција:

1) Функција Ф( X) чудно: Ф(-X)= -Ф(X).

2) Функција Ф(X) монотоно се зголемува.

3) Ф(0)=0.

4) Ф(+¥ )=0,5; Ф(-¥ )=-0,5. Во пракса, можеме да претпоставиме дека за x³5 функцијата Ф(X)=0,5; за x £ -5 функција Ф(X)=-0,5.

2.2. Постојат и други форми на Лапласовата функција:

И

За разлика од овие форми, функцијата Ф(X) се нарекува стандардна или нормализирана Лапласова функција. Тоа е поврзано со други форми на односи:

ПРИМЕР 2.Континуирана случајна променлива Xима нормален закон за распределба со параметри: м=3, с=4. Најдете ја веројатноста дека како резултат на тестот случајната променлива X: а) ќе ја земе вредноста содржана во интервалот (2; 6); б) ќе земе вредност помала од 2; в) ќе има вредност поголема од 10; г) отстапува од математичкото очекување за износ што не надминува 2. Графички илустрирај го решението на проблемот.

Решение.а) Веројатноста дека нормална случајна променлива Xспаѓа во наведениот интервал ( а, б), Каде а=2 и б=6, еднакво на:

Вредности на Лапласовата функција F(x)утврдени според табелата дадена во прилог имајќи предвид дека Ф(–X)= –Ф(X).

б) Веројатноста дека нормална случајна променлива Xќе земе вредност помала од 2, еднаква на:

в) Веројатноста дека нормална случајна променлива Xќе има вредност поголема од 10, еднаква на:

г) Веројатноста дека нормална случајна променлива X г=2, еднакво на:

Од геометриска гледна точка, пресметаните веројатности се нумерички еднакви на засенчените области под нормалната крива (види Сл. 6).

Ориз. 6. Нормална крива за случајна променлива X~Н(3;4)
ПРИМЕР 3.Дијаметарот на вратилото се мери без систематски (ист знак) грешки. Случајните мерни грешки се предмет на нормална дистрибуција со стандардно отстапување од 10 mm. Најдете ја веројатноста дека мерењето ќе биде направено со грешка што не надминува 15 mm во апсолутна вредност.

Решение.Математичкото очекување за случајни грешки е нула м Xќе отстапи од математичкото очекување за износ помал од г=15, еднакво на:

ПРИМЕР 4. Машината произведува топки. Топката се смета за валидна ако отстапувањето Xдијаметарот на топката од дизајнерската големина во апсолутна вредност е помал од 0,7 mm. Под претпоставка дека случајната променлива Xраспределени нормално со стандардна девијација од 0,4 mm, пронајдете го просечниот број на соодветни топчиња меѓу 100 произведени.

Решение.Случајна вредност X- отстапување на дијаметарот на топката од големината на дизајнот. Математичкото очекување на отстапувањето е нула, т.е. М(X)=м=0. Тогаш веројатноста дека нормална случајна променлива Xќе отстапи од математичкото очекување за износ помал од г=0,7, еднакво на:

Следи дека приближно 92 топки од 100 ќе бидат соодветни.

ПРИМЕР 5.Докажи правило „3“ с».

Решение.Веројатноста дека нормална случајна променлива Xќе отстапи од математичкото очекување за износ помал од d= 3с, е еднакво на:

ПРИМЕР 6.Случајна вредност Xнормално распределени со математичко очекување м=10. Погоди Веројатност Xво интервалот (10, 20) е еднаков на 0,3. Која е веројатноста за удирање Xво интервалот (0, 10)?

Решение.Нормалната крива е симетрична за права линија X=м=10, затоа областите ограничени горе со нормалната крива, а долу со интервалите (0, 10) и (10, 20) се еднакви една со друга. Бидејќи областите се нумерички еднакви на веројатностите за удирање Xво соодветен интервал, тогаш.

Локални и интегрални теореми на Лаплас

Оваа статија е природно продолжение на лекцијата за независни тестови, каде што се запознавме Формулата на Бернулии работеше на типични примери на темата. Локалните и интегралните теореми на Лаплас (Moivre-Laplace) решаваат сличен проблем со таа разлика што се применливи за доволно голем број независни тестови. Нема потреба да се премолчуваат зборовите „локално“, „интегрално“, „теореми“ - материјалот е совладан со истата леснотија со која Лаплас ја тапкаше кадравата глава на Наполеон. Затоа, без никакви комплекси и прелиминарни коментари, веднаш да разгледаме демонстративен пример:

Монетата се фрла 400 пати. Најдете ја веројатноста да добиете глави 200 пати.

Според карактеристичните особини, овде треба да се примени Формулата на Бернули . Да се ​​потсетиме на значењето на овие букви:

– веројатноста дека во независни испитувања случаен настан ќе се случи точно еднаш;
– биномен коефициент;
– веројатност за појава на настан во секое испитување;

Во однос на нашата задача:
– вкупен број на тестови;
– бројот на фрлања во кои мора да паднат главите;

Така, веројатноста дека како резултат на 400 фрлања парички, главите ќе се појават точно 200 пати: ...Стоп, што да правиме следно? Микрокалкулаторот (барем мојот) не успеа да се справи со 400-тиот степен и капитулираше пред факториели. Но, не сакав да пресметам нешто преку производ =) Ајде да користиме стандардна функција Excel, кој успеал да го обработи чудовиштето: .

Би сакал да го свртам вашето внимание на добиеното точнозначење и таквото решение се чини дека е идеално. На прв поглед. Еве неколку убедливи контрааргументи:

– прво, софтверот можеби не е при рака;
– и второ, решението ќе изгледа нестандардно (со голема веројатност ќе мора да се премислите);

Затоа, почитувани читатели, во блиска иднина очекуваме:

Локална Лапласова теорема

Ако веројатноста за појава на случаен настан во секое испитување е константна, тогаш веројатноста дека настанот ќе се случи точно еднаш во секое испитување е приближно еднаква на:
, Каде.

Покрај тоа, колку е поголема, толку подобро пресметаната веројатност ќе ја приближи точната добиена вредност (барем хипотетички)според формулата на Бернули. Препорачаниот минимален број на тестови е приближно 50-100, инаку резултатот може да биде далеку од вистината. Дополнително, локалната Лапласова теорема работи подобро колку е поблиска веројатноста до 0,5 и обратно - дава значителна грешка за вредности блиску до нула или една. Поради оваа причина, уште еден критериум за ефективна употреба на формулата е нееднаквоста () .

Така, на пример, ако , тогаш примената на Лапласовата теорема за 50 тестови е оправдана. Но, ако и , тогаш исто така приближување (по точна вредност)ќе биде лошо.

За тоа зошто и за посебна функција ќе зборуваме на час за нормална дистрибуција на веројатност, но засега ни е потребна формалната пресметковна страна на прашањето. Конкретно, важен факт е паритетоваа функција: .

Ајде да ја формализираме врската со нашиот пример:

Проблем 1

Монетата се фрла 400 пати. Најдете ја веројатноста главите да слетаат точно:

а) 200 пати;
б) 225 пати.

Каде да започнете решение? Прво, да ги запишеме познатите количини за да бидат пред нашите очи:

– вкупен број на независни тестови;
– веројатноста за добивање глави при секое фрлање;
– веројатност за слетување на главите.

а) Да ја најдеме веројатноста дека во серија од 400 фрлања, главите ќе се појават точно еднаш. Поради големиот број тестови, ја користиме локалната теорема на Лаплас: , Каде .

На првиот чекор, ја пресметуваме потребната вредност на аргументот:

Потоа ја наоѓаме соодветната вредност на функцијата: . Ова може да се направи на неколку начини. Пред сè, се разбира, директните пресметки се сугерираат:

Заокружувањето обично се прави до 4 децимални места.

Недостаток на директното пресметување е тоа што не секој микрокалкулатор може да го свари експонентот, освен тоа, пресметките не се особено пријатни и бараат време. Зошто толку многу страдаат? Користете тервер калкулатор (точка 4)и добијте вредности веднаш!

Покрај тоа, постои табела за вредности на функцијата, што е во речиси секоја книга за теорија на веројатност, особено во учебникот В.Е. Гмурман. Ако сè уште не сте го преземале, преземете го - има многу корисни работи таму ;-) И не заборавајте да научите како да ја користите табелата (во моментов!)– соодветна компјутерска опрема можеби не е секогаш при рака!

Во последната фаза ја применуваме формулата :
– веројатноста дека во 400 фрлања парички, главите ќе слетаат точно 200 пати.

Како што можете да видите, добиениот резултат е многу блиску до точната вредност пресметана од Формулата на Бернули.

б) Најдете ја веројатноста дека во серија од 400 испитувања главите ќе се појават точно еднаш. Ја користиме локалната теорема на Лаплас. Еден, два, три - и ќе завршиш:

– саканата веројатност.

Одговори:

Следниот пример, како што многумина претпоставуваа, е посветен на породувањето - а ова е вие ​​сами да одлучите :)

Проблем 2

Веројатноста да се има момче е 0,52. Најдете ја веројатноста дека меѓу 100 новороденчиња ќе има точно: а) 40 момчиња, б) 50 момчиња, в) 30 девојчиња.

Заокружете ги резултатите на 4 децимални места.

...Фразата „независни тестови“ овде звучи интересно =) Патем, реално статистичка веројатностстапката на наталитет за момче во многу региони во светот се движи од 0,51 до 0,52.

Приближен пример за задача на крајот од часот.

Сите забележаа дека бројките се покажаа прилично мали, и тоа не треба да биде погрешно - на крајот на краиштата, зборуваме за индивидуални веројатности, локалнивредности (оттука и името на теоремата). И има многу такви вредности, и, фигуративно кажано, веројатноста „треба да биде доволна за секого“. Навистина, многу настани ќе бидат речиси невозможно.

Дозволете ми да го објаснам горенаведеното користејќи го примерот на монети: во серија од четиристотини обиди, главите теоретски може да паднат од 0 до 400 пати, а овие настани се формираат целосна група:

Сепак, повеќето од овие вредности се мали, на пример, веројатноста дека главите ќе се појават 250 пати е веќе еден на десет милиони: . За вредностите како Ајде тактично да молчиме =)

Од друга страна, скромните резултати не треба да се потценуваат: ако се работи само за , тогаш веројатноста за слетување на главите, да речеме, од 220 до 250 пати, ќе биде многу забележливо.

Сега да размислиме: како да се пресмета оваа веројатност? Не брои по теоремата за собирање на веројатности на некомпатибилни настаниизнос:

Овие вредности се многу поедноставни комбинираат. И комбинирањето на нешто, како што знаете, се нарекува интеграција:

Лапласова интегрална теорема

Ако веројатноста за појава на случаен настан во секое испитување е константна, тогаш веројатноста дека настанот ќе се случи во испитувања ни помалку ни повеќе пати (од до моменти инклузивно), приближно е еднаква на:

Во овој случај, бројот на тестови, се разбира, исто така треба да биде доволно голем и веројатноста не треба да биде премногу мала/висока (приближно), инаку приближувањето ќе биде неважно или лошо.

Функцијата се нарекува Лапласова функција, а неговите вредности повторно се сумирани во стандардна табела ( најдете и научете да работите со него!!). Микрокалкулаторот нема да помогне овде, бидејќи интегралот не може да се комбинира. Но, Excel ја има соодветната функционалност - употреба точка 5 дизајн распоред.

Во пракса, најчестите вредности се:
- Копирајте го во вашата тетратка.
Почнувајќи од , можеме да претпоставиме дека или, да го напишеме построго:

Покрај тоа, функцијата Лаплас чудно: , и овој имот активно се користи во задачи од кои веќе сме уморни:

Проблем 3

Веројатноста стрелецот да ја погоди целта е 0,7. Најдете ја веројатноста дека со 100 истрели целта ќе биде погодена од 65 до 80 пати.

Го избрав најреалниот пример, инаку овде најдов неколку задачи во кои стрелецот испука илјадници истрели =)

Решение: во овој проблем за кој зборуваме повторени независни тестови, а нивниот број е доста голем. Според условот, треба да ја пронајдете веројатноста дека целта ќе биде погодена најмалку 65, но не повеќе од 80 пати, што значи дека треба да ја користите интегралната теорема на Лаплас: , каде

За погодност, ајде да ги преработиме оригиналните податоци во колона:
– вкупни снимки;
– минимален број на погодоци;
– максимален број на погодоци;
– веројатност да се погоди целта со секој истрел;
- веројатноста за промашување при секој удар.

Затоа, теоремата на Лаплас ќе даде добра апроксимација.

Ајде да ги пресметаме вредностите на аргументите:

Би сакал да го свртам вашето внимание на фактот дека делото не мора целосно да се извлече од своите корени. (бидејќи авторите на проблемот сакаат да ги „прилагодат“ броевите)– без сенка на сомнеж, извлечете го коренот и заокружете го резултатот; Навикнат сум да оставам 4 децимали. Но, добиените вредности обично се заокружуваат на 2 децимални места - оваа традиција доаѓа од табели за вредности на функции, каде што аргументите се претставени токму во оваа форма.

Ја користиме табелата погоре или дизајн распоред за тервер (точка 5).
Како писмен коментар, ве советувам да ја ставите следната фраза: ќе ги најдеме вредностите на функциите користејќи ја соодветната табела:

– веројатноста дека со 100 истрели целта ќе биде погодена од 65 до 80 пати.

Задолжително искористете го непарниот број на функцијата!За секој случај, ќе го напишам детално:

Факт е дека табела за вредности на функцијатасодржи само позитивни „Х“, а ние работиме (барем според „легендата“)со маса!

Одговори:

Резултатот најчесто се заокружува на 4 децимални места (повторно според форматот на табелата).

За да го решите сами:

Проблем 4

Во зградата има 2500 светилки, веројатноста да се вклучи секоја од нив навечер е 0,5. Најдете ја веројатноста дека навечер ќе бидат вклучени најмалку 1250 и не повеќе од 1275 светилки.

Приближен примерок од конечниот дизајн на крајот од лекцијата.

Треба да се забележи дека задачите што се разгледуваат многу често се случуваат во „безлична“ форма, на пример:

Се спроведува одреден експеримент во кој може да се случи случаен настан со веројатност од 0,5. Експериментот се повторува под непроменети услови 2500 пати. Одреди ја веројатноста дека во 2500 експерименти настанот ќе се случи од 1250 до 1275 пати

И слични формулации се преку покривот. Поради клише природата на задачите, тие често се обидуваат да ја прикријат состојбата - ова е „единствената шанса“ некако да го диверзифицираат и комплицираат решението:

Проблем 5

На институтот студираат 1000 студенти. Трпезаријата има 105 седишта. Секој ученик оди во кафетеријата на големиот одмор со веројатност 0,1. Која е веројатноста дека во обичен училишен ден:

а) трпезаријата нема да биде полна повеќе од две третини;
б) нема доволно места за секого.

Би сакал да го свртам вашето внимание на важната клаузула „на РЕДОВЕН училишен ден“ - гарантира дека ситуацијата ќе остане релативно непроменета. По празниците, значително помалку студенти може да дојдат во институтот, а гладна делегација може да се спушти на „Денот на отворени врати“ =) Односно, на „невообичаен“ ден веројатностите ќе бидат значително различни.

Решение: ја користиме Лапласовата интегрална теорема, каде

Во оваа задача:
– вкупно студенти на институтот;
– веројатноста ученикот да оди во кафетеријата на долга пауза;
– веројатност за спротивен настан.

а) Да пресметаме колку места сочинуваат две третини од вкупниот број: места

Да ја најдеме веројатноста дека во вообичаен училишен ден кафетеријата нема да биде полна повеќе од две третини. Што значи тоа? Тоа значи дека за време на големата пауза ќе дојдат од 0 до 70 луѓе. Тоа што никој не доаѓа или доаѓаат само неколку студенти - има настани практично невозможно, сепак, за да се примени интегралната теорема на Лаплас, овие веројатности сепак треба да се земат предвид. Така:

Ајде да ги пресметаме соодветните аргументи:

Како резултат:

– веројатноста дека во вообичаен училишен ден кафетеријата нема да биде полна повеќе од две третини.

Потсетник : кога функцијата Лапласова се смета за еднаква на .

Сепак, тоа е задоволство на толпата =)

б) Настан „Нема доволно места за секого“е дека од 106 до 1000 луѓе ќе дојдат на ручек во трпезаријата за време на големата пауза (главната работа е добро да се набие =)).Јасно е дека големата посетеност е неверојатна, но сепак: .

Ги пресметуваме аргументите:

Така, веројатноста дека нема да има доволно места за секого е:

Одговори:

Сега да се фокусираме на едно важна нијансаметод: кога вршиме пресметки на еден сегмент, тогаш сè е „без облак“ - одлучете според разгледуваниот шаблон. Меѓутоа, ако земеме во предвид целосна група на настанитреба да се прикаже одредена точност. Дозволете ми да ја објаснам оваа точка користејќи го примерот на проблемот што штотуку беше дискутиран. Во точката „би“ ја најдовме веројатноста дека нема да има доволно места за секого. Следно, користејќи ја истата шема, пресметуваме:
– веројатноста дека ќе има доволно места.

Од овие настани спротивно, тогаш збирот на веројатностите треба да биде еднаков на еден:

Што е проблемот? – Се чини дека овде сè е логично. Поентата е дека функцијата Лапласова е континуирано, но не зедовме предвид интервалод 105 до 106. Овде исчезна парчето 0,0338. Затоа користејќи ја истата стандардна формулатреба да се пресмета:

Па, или уште поедноставно:

Се поставува прашањето: што ако најпрво најдеме? Потоа ќе има друга верзија на решението:

Но, како може ова да биде?! – двата методи даваат различни одговори! Едноставно е: интегралната теорема на Лаплас е метод затворипресметки, и затоа двата начина се прифатливи.

За попрецизни пресметки треба да користите Формулата на Бернулии, на пример, функцијата Excel БИНОМИДСТ. Како резултат неговата применадобиваме:

И ја изразувам мојата благодарност до еден од посетителите на страницата кој го привлече вниманието на оваа суптилност - испадна од моето видно поле, бидејќи проучувањето на комплетна група настани ретко се наоѓа во пракса. Заинтересираните можат да се запознаат со

Една од најпознатите неелементарни функции, која се користи во математиката, во теоријата на диференцијални равенки, во статистиката и во теоријата на веројатност е Лапласовата функција. Решавањето на проблемите со него бара значителна подготовка. Ајде да дознаеме како можете да го пресметате овој индикатор користејќи алатки на Excel.

Функцијата Лапласова има широка применета и теоретска примена. На пример, доста често се користи за решавање на диференцијални равенки. Овој термин има друго еквивалентно име - интеграл на веројатност. Во некои случаи, основата за решението е изградбата на табела на вредности.

NORM.ST.DIST оператор

Во Excel, овој проблем е решен со помош на операторот NORM.ST.DIST.. Неговото име е кратенка за терминот „нормална стандардна дистрибуција“. Бидејќи нејзината главна задача е да ја врати стандардната нормална кумулативна дистрибуција во избраната ќелија. Овој оператор спаѓа во статистичката категорија на стандардни Excel функции.

Во Excel 2007 и претходните верзии на програмата, овој оператор беше повикан НОРМСДИСТ. Од причини за компатибилност, тој е задржан во модерните верзии на апликациите. Но, сепак, тие препорачуваат употреба на понапреден аналог - NORM.ST.DIST..

Синтакса на операторот NORM.ST.DIST.како што следи:

NORM.ST.DIST(z;интеграл)

Наследен оператор НОРМСДИСТе напишано вака:

NORMDIST(z)

Како што можете да видите, во новата верзија на постоечкиот аргумент "З"додаден аргумент „Интегрално“. Треба да се напомене дека секој аргумент е потребен.

Аргумент "З"ја означува нумеричката вредност за која е конструирана дистрибуцијата.

Аргумент „Интегрално“претставува Булова вредност која може да има претстава „ВИСТИНА“ („1“)или "ЛАГА" («0») . Во првиот случај, кумулативната дистрибутивна функција се враќа во наведената ќелија, а во вториот случај, функцијата за распределба на тежината се враќа.

Решението на проблемот

За да ја извршите потребната пресметка за променлива, користете ја следната формула:

NORM.ST.DIST(z;интеграл(1))-0,5

Сега да ја погледнеме употребата на операторот користејќи конкретен пример NORM.ST.DIST.да реши конкретен проблем.

Функцијата Лапласова е неелементарна функција и често се користи и во теоријата на диференцијални равенки и теоријата на веројатност и во статистиката. Функцијата Лаплас бара одреден сет на знаење и обука, бидејќи ви овозможува да решавате различни проблеми од областа на применети и теоретски апликации.

Функцијата Лапласова често се користи за решавање на диференцијални равенки и често се нарекува интеграл на веројатност. Ајде да видиме како оваа функција може да се користи во Excel и како функционира.

Интегралот за веројатност или Лапласовата функција во Excel одговара на операторот „NORMSDIST“, кој ја има синтаксата: „=NORMSDIST(z). Во поновите верзии на програмата, операторот го има и името „NORM.ST.DIST“. и малку изменета синтакса „=NORM.ST.DIST(z; интеграл).

Аргументот „Z“ е одговорен за нумеричката вредност на дистрибуцијата. Аргументот „Интегрален“ враќа две вредности - „1“ - функцијата за интегрална дистрибуција, „0“ - функцијата за распределба на тежината.

Ја средивме теоријата. Да продолжиме да вежбаме. Ајде да погледнеме како да ја користиме функцијата Лаплас во Excel.

1. Напишете вредност во ќелија и вметнете функција во следната.

2. Да ја напишеме функцијата рачно „=NORM.ST.DIST(B4;1).

3. Или го користиме волшебникот за вметнување на функции - одете во категоријата „Статички“ и означете „Целосна азбучна листа.

4. Во прозорецот за аргументи за функции што се појавува, наведете ги почетните вредности. Нашата оригинална ќелија ќе биде одговорна за променливата „Z“ и вметнете ја „1“ во „Интеграл“. Нашата функција ќе ја врати функцијата за кумулативна дистрибуција.

5. Добиваме готово решение на стандардната нормална интегрална распределба за оваа функција „NORM.ST.DIST“. Но, тоа не е сè, нашата цел беше да ја најдеме функцијата Лаплас или интегралот на веројатноста, па да извршиме уште неколку чекори.

6. Функцијата Лаплас имплицира дека „0,5“ мора да се одземе од вредноста на добиената функција. Ја додаваме потребната операција на функцијата. Притискаме „Enter“ и го добиваме конечното решение. Посакуваната вредност е точна и брзо се наоѓа.

Excel лесно ја пресметува оваа функција за која било вредност на ќелија, опсег на ќелии или референци на ќелии. Функцијата „NORM.ST.DIST“ е стандарден оператор за пребарување на интегралот на веројатност или, како што се нарекува и Лапласова функција.

Формула на Бејс

Настаните B 1, B 2,…, B n се некомпатибилни и формираат целосна група, т.е. P(B 1)+ P(B 2)+…+ P(B n)=1. И нека настанот А се случи само кога ќе се појави еден од настаните B 1, B 2,…, B n. Тогаш веројатноста за настанот А се наоѓа со помош на формулата за вкупна веројатност.

Нека настанот А веќе се случил. Тогаш, веројатностите на хипотезите B 1, B 2, ..., B n може да се преценат со помош на формулата на Бејс:

Формулата на Бернули

Нека се извршат n независни испитувања, во секое од кои настан А може или не може да се случи. Веројатноста за појава (непојавување) на настанот А е иста и еднаква на p (q=1-p).

Веројатноста дека во n независни испитувања настанот А ќе се случи точно еднаш (во зависност од која низа) се наоѓа со помош на формулата на Бернули:

Веројатноста дека некој настан ќе се случи во n независни испитувања е:

А). Помалку од пати P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).

б). Повеќе од еднаш P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

V). барем пати P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).

G). не повеќе од k пати P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Локални и интегрални теореми на Лаплас.

Ги користиме овие теореми кога n е доволно голем.

Локална Лапласова теорема

Веројатноста дека некој настан ќе се случи точно 'k' пати во n независни испитувања е приближно еднаква на:

Табелата на функции за позитивни вредности (x) е дадена во книгата за проблеми на Гмурман во Додаток 1, стр. 324-325.

Бидејќи () е парен, ја користиме истата табела за негативни вредности (x).

Лапласова интегрална теорема.

Веројатноста дека некој настан ќе се случи барем 'k' пати во n независни испитувања е приближно еднаква на:

Лапласова функција

Табелата на функции за позитивни вредности е дадена во книгата за проблеми на Гмурман во Додаток 2, стр. 326-327. За вредности поголеми од 5 поставуваме Ф(х)=0,5.

Бидејќи функцијата Лаплас е непарна Ф(-х)=-Ф(х), тогаш за негативни вредности (x) ја користиме истата табела, само што ги земаме вредностите на функциите со знак минус.

Закон за распределба на веројатност на дискретна случајна променлива

Закон за биномна дистрибуција.

Дискретна- случајна променлива, чиишто можни вредности се поединечни изолирани броеви, кои оваа променлива ги зема со одредени веројатности. Со други зборови, можните вредности на дискретна случајна променлива може да се нумерираат.

Бројот на можни вредности на дискретна случајна променлива може да биде конечен или бесконечен.

Дискретните случајни променливи се означуваат со големи букви X, а нивните можни вредности со мали букви x1, x2, x3...

На пример.

X е бројот на фрлени точки на коцката; X зема шест можни вредности: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 со веројатности p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.

Закон за распределба на дискретна случајна променливанаведете список на неговите можни вредности и нивните соодветни веројатности.

Законот за распределба може да се даде:

1. во форма на табела.

2. Аналитички - во форма на формула.

3. графички. Во овој случај во правоаголниот координатен систем XOP се конструираат точките M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn). Овие точки се поврзани со прави сегменти. Добиената бројка се нарекува дистрибутивен полигон.

За да се напише законот за дистрибуција на дискретна случајна променлива (x), неопходно е да се наведат сите нејзини можни вредности и да се најдат соодветните веројатности.

Ако соодветните веројатности се најдат со помош на формулата Бернули, тогаш таквиот закон за распределба се нарекува бином.

Пример бр. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Нумерички вредности на дискретни случајни променливи.

Очекување, варијанса и стандардна девијација.

Карактеристиката на просечната вредност на дискретна случајна променлива е математичкото очекување.

Математичко очекувањеДискретна случајна променлива е збирот на производите на сите нејзини можни вредности и нивните веројатности. Оние. ако е даден законот за распределба, тогаш математичкото очекување

Ако бројот на можни вредности на дискретна случајна променлива е бесконечен, тогаш

Покрај тоа, серијата од десната страна на еднаквоста апсолутно конвергира, а збирот на сите веројатности пи е еднаков на една.

Својства на математичкото очекување.

1. M(C)=C, C=константа.

2. M(Cx)=CM(x)

3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)

4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).

5. За закон за биномна распределба, математичкото очекување се наоѓа со формулата:

Карактеристики на дисперзијата на можните вредности на случајна променлива околу математичкото очекување се дисперзија и стандардно отстапување.

Варијансадискретна случајна променлива (x) се нарекува математичко очекување на квадратното отстапување. D(x)=M(x-M(x)) 2.

Удобно е да се пресмета дисперзијата користејќи ја формулата: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.

Својства на дисперзија.

1. D(S)=0, C=константа.

2. D(Cx)=C 2 D(x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Дисперзија на законот за биномна распределба

Стандардна девијацијаслучајна променлива се нарекува квадратен корен на варијансата.

примери. 191, 193, 194, 209, d/z.

Кумулативна дистрибутивна функција (CDF) на веројатностите на континуирана случајна променлива (RCV). Континуирано- количина што може да ги земе сите вредности од некој конечен или бесконечен интервал. Постојат голем број можни вредности за NSV и не може да се пренумери.

На пример.

Растојанието што проектилот го минува кога е испукан е NSV.

IFR се нарекува функција F(x), која ја одредува за секоја вредност x веројатноста NSV X да ја земе вредноста X<х, т.е. F(x)=Р(X

Често, наместо IFR, тие велат FR.

Геометриски, еднаквоста F(x)=P(X

Својства на IF.

1. Вредноста IF припаѓа на интервалот, т.е. F(x).

2. IF е функција која не се намалува, т.е. x2>x1.

Заклучок 1. Веројатноста дека NSV X ќе земе вредност содржана во интервалот (a; b) е еднаква на зголемувањето на интегралната функција на овој интервал, т.е.

P(a

Заклучок 2. Веројатноста дека NSV X ќе земе една специфична вредност, на пример, x1=0, е еднаква на 0, т.е. P(x=x1)=0.

3. Ако сите можни вредности на NSV X припаѓаат на (a;c), тогаш F(x)=0 на x<а, и F(x)=1 при х>В.

Заклучок 3. Валидни се следните гранични односи.

Функција на диференцијална распределба (DDF) на веројатностите на континуирана случајна променлива (RNV) (густина на веројатност).

DF f(x)распределби на веројатност на NSV се нарекува прв дериват на IFR:

Често, наместо PDR, тие велат густина на веројатност (PD).

Од дефиницијата произлегува дека, знаејќи го DF F(x), можеме да го најдеме DF f(x). Но, се врши и инверзна трансформација: знаејќи го DF f(x), можете да го најдете DF F(x).

Најдена е веројатноста NSV X да земе вредност што припаѓа на (a;b):

А). Ако е дадено АКО, заклучок 1.

Б). Ако е наведено DF

Својства на ДФ.

1. ДФ - не негативен, т.е. .

2. неправилниот интеграл на DF во () е еднаков на 1, т.е. .

Заклучок 1. Ако сите можни вредности на NSV X припаѓаат на (a;c), тогаш.

Примери. Бр. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z.

Нумерички карактеристики на NSV.

1. Математичкото очекување (ME) на NSV X, чиишто можни вредности припаѓаат на целата оска OX, се одредува со формулата:

Ако сите можни вредности на NSV X припаѓаат на (a;c), тогаш MO се одредува со формулата:

Сите својства на MO означени за дискретни количини се зачувани и за континуирани количини.

2. Дисперзијата на NSV X, чиишто можни вредности припаѓаат на целата оска OX, се одредува со формулата:

Ако сите можни вредности на NSV X припаѓаат на (a;c), тогаш дисперзијата се одредува со формулата:

Сите дисперзивни својства наведени за дискретни количини се зачувани и за континуирани количини.

3. Стандардното отстапување на NSV X се одредува на ист начин како и за дискретни количини:

Примери. Бр. 276, 279, X, d/z.

Оперативен калкулус (OC).

ИЛИ е метод кој ви овозможува да ги намалите операциите на диференцијација и интеграција на функции на поедноставни дејства: множење и делење со аргументот на таканаречените слики на овие функции.

Користењето на OI го олеснува решавањето на многу проблеми. Конкретно, проблеми на интеграција на LDE со константни коефициенти и системи на такви равенки, сведувајќи ги на линеарни алгебарски.

Оригинали и слики. Лаплас се трансформира.

f(t)-оригинал; F(p)-слика.

Се нарекува преодот f(t)F(p). Лапласова трансформација.

Лапласовата трансформација на функцијата f(t) се нарекува F(p), во зависност од сложената променлива и дефинирана со формулата:

Овој интеграл се нарекува Лапласов интеграл. За конвергенција на овој неправилен интеграл, доволно е да се претпостави дека во интервалот f(t) е парче континуирано и за некои константи M>0 и ја задоволува неравенката

Се повикува функцијата f(t) со такви својства оригинален, и се нарекува преминот од оригиналот кон неговата слика Лапласова трансформација.

Својства на Лапласовата трансформација.

Директното определување на сликите со помош на формулата (2) е обично тешко и може значително да се олесни со користење на својствата на Лапласовата трансформација.

Нека F(p) и G(p) се слики на оригиналите f(t) и g(t), соодветно. Тогаш важат следните својства-релации:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - својство на хомогеност.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - својство на адитивност.

3. f(t)F(p-) - теорема за поместување.

премин на n-тиот извод од оригиналот во слика (теорема за диференцијација на оригиналот).