Apakah ekstrem fungsi: titik kritikal maksimum dan minimum. Extrema fungsi

Titik ekstrem fungsi ialah titik dalam domain takrifan fungsi di mana nilai fungsi mengambil nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik ini dipanggil extrema (minimum dan maksimum) fungsi.

Definisi. titik x1 domain fungsi f(x) dipanggil titik maksimum fungsi , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar daripada nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, terletak di sebelah kanan dan kirinya (iaitu, ketidaksamaan berlaku f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definisi. titik x2 domain fungsi f(x) dipanggil titik minimum fungsi, jika nilai fungsi pada titik ini adalah kurang daripada nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, terletak di sebelah kanan dan kirinya (iaitu, ketidaksamaan berlaku f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Dalam kes ini kita mengatakan bahawa fungsi mempunyai pada titik x2 minimum.

Katakan titik x1 - titik maksimum fungsi f(x). Kemudian dalam selang sehingga x1 fungsi bertambah, oleh itu terbitan fungsi lebih besar daripada sifar ( f "(x) > 0 ), dan dalam selang selepas x1 fungsi berkurang, oleh itu, terbitan bagi suatu fungsi kurang daripada sifar ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Marilah kita juga menganggap bahawa perkara itu x2 - titik minimum fungsi f(x). Kemudian dalam selang sehingga x2 fungsi itu berkurangan, dan terbitan bagi fungsi itu kurang daripada sifar ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 fungsi semakin meningkat, dan terbitan fungsi lebih besar daripada sifar ( f "(x) > 0 ). Dalam kes ini juga pada titik x2 terbitan bagi fungsi itu adalah sifar atau tidak wujud.

Teorem Fermat (tanda perlu kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi). Jika titik x0 - titik ekstrem fungsi f(x) maka pada ketika ini terbitan bagi fungsi tersebut adalah sama dengan sifar ( f "(x) = 0 ) atau tidak wujud.

Definisi. Titik di mana terbitan fungsi adalah sifar atau tidak wujud dipanggil titik kritikal .

Contoh 1. Mari kita pertimbangkan fungsinya.

Pada titik itu x= 0 terbitan fungsi ialah sifar, oleh itu titik x= 0 ialah titik kritikal. Walau bagaimanapun, seperti yang boleh dilihat pada graf fungsi, ia meningkat di seluruh domain definisi, jadi titik x= 0 bukan titik ekstrem bagi fungsi ini.

Oleh itu, syarat bahawa terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan sifar atau tidak wujud adalah syarat yang perlu untuk ekstrem, tetapi tidak mencukupi, kerana contoh fungsi lain boleh diberikan yang syarat ini dipenuhi, tetapi fungsi tidak mempunyai ekstrem pada titik yang sepadan. sebab tu mesti ada bukti yang mencukupi, membolehkan seseorang menilai sama ada terdapat ekstrem pada titik kritikal tertentu dan jenis ekstrem itu - maksimum atau minimum.

Teorem (tanda pertama yang mencukupi bagi kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi). Titik kritikal x0 f(x) jika, apabila melalui titik ini, derivatif fungsi berubah tanda, dan jika tanda berubah dari "tambah" kepada "tolak", maka ia adalah titik maksimum, dan jika dari "tolak" kepada "tambah", maka ia adalah titik minimum.

Jika dekat titik x0 , ke kiri dan ke kanannya, terbitan mengekalkan tandanya, ini bermakna fungsi sama ada hanya berkurangan atau hanya bertambah dalam kejiranan tertentu titik x0 . Dalam kes ini, pada titik itu x0 tidak ada yang melampau.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem fungsi, anda perlu melakukan perkara berikut :

  1. Cari terbitan bagi fungsi tersebut.
  2. Samakan terbitan kepada sifar dan tentukan titik kritikal.
  3. Secara mental atau di atas kertas, tandakan titik kritikal pada garis nombor dan tentukan tanda terbitan fungsi dalam selang yang terhasil. Jika tanda derivatif berubah daripada "tambah" kepada "tolak", maka titik kritikal adalah titik maksimum, dan jika dari "tolak" kepada "tambah", maka titik minimum.
  4. Kira nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2. Cari ekstrem bagi fungsi tersebut .

Penyelesaian. Mari cari terbitan fungsi:

Mari kita samakan derivatif kepada sifar untuk mencari titik kritikal:

.

Oleh kerana untuk sebarang nilai "x" penyebutnya tidak sama dengan sifar, kami menyamakan pengangka dengan sifar:

Mendapat satu titik kritikal x= 3 . Mari kita tentukan tanda terbitan dalam selang yang dihadkan oleh titik ini:

dalam julat dari tolak infiniti hingga 3 - tanda tolak, iaitu, fungsi berkurangan,

dalam selang dari 3 hingga tambah infiniti terdapat tanda tambah, iaitu, fungsi meningkat.

Iaitu, tempoh x= 3 ialah titik minimum.

Mari cari nilai fungsi pada titik minimum:

Oleh itu, titik ekstrem fungsi ditemui: (3; 0), dan ia adalah titik minimum.

Teorem (tanda kedua yang mencukupi bagi kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi). Titik kritikal x0 ialah titik ekstrem bagi fungsi f(x) jika terbitan kedua bagi fungsi pada titik ini tidak sama dengan sifar ( f ""(x) ≠ 0 ), dan jika terbitan kedua lebih besar daripada sifar ( f ""(x) > 0 ), maka titik maksimum, dan jika terbitan kedua kurang daripada sifar ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Nota 1. Jika pada titik itu x0 Jika kedua-dua derivatif pertama dan kedua lenyap, maka pada ketika ini adalah mustahil untuk menilai kehadiran ekstrem berdasarkan kriteria kedua yang mencukupi. Dalam kes ini, anda perlu menggunakan kriteria pertama yang mencukupi untuk ekstrem fungsi.

Catatan 2. Kriteria kedua yang mencukupi untuk ekstrem fungsi tidak boleh digunakan walaupun apabila terbitan pertama tidak wujud pada titik pegun (maka terbitan kedua juga tidak wujud). Dalam kes ini, anda juga perlu menggunakan tanda pertama yang mencukupi bagi ekstrem fungsi.

Sifat setempat dari ekstrema fungsi

Daripada takrifan di atas, ia mengikuti bahawa ekstrem fungsi adalah bersifat setempat - ia adalah nilai terbesar dan terkecil fungsi berbanding dengan nilai berdekatan.

Katakan anda melihat pendapatan anda dalam tempoh satu tahun. Jika pada bulan Mei anda memperoleh 45,000 rubel, dan pada bulan April 42,000 rubel dan pada bulan Jun 39,000 rubel, maka pendapatan Mei adalah maksimum fungsi pendapatan berbanding dengan nilai berdekatan. Tetapi pada bulan Oktober anda memperoleh 71,000 rubel, pada bulan September 75,000 rubel, dan pada bulan November 74,000 rubel, jadi pendapatan Oktober adalah minimum bagi fungsi pendapatan berbanding dengan nilai berdekatan. Dan anda boleh melihat dengan mudah bahawa maksimum antara nilai April-Mei-Jun adalah kurang daripada minimum September-Oktober-November.

Secara umumnya, pada selang waktu fungsi boleh mempunyai beberapa ekstrem, dan mungkin ternyata beberapa minimum fungsi itu lebih besar daripada maksimum. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan dalam rajah di atas, .

Iaitu, seseorang tidak sepatutnya berfikir bahawa maksimum dan minimum fungsi adalah, masing-masing, nilai terbesar dan terkecil pada keseluruhan segmen yang sedang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi mempunyai nilai terbesar hanya berbanding dengan nilai-nilai yang terdapat pada semua titik yang cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum ia mempunyai nilai terkecil sahaja berbanding dengan nilai tersebut. bahawa ia mempunyai pada semua titik yang cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh itu, kita boleh menjelaskan konsep titik ekstrem fungsi di atas dan memanggil mata minimum mata minimum tempatan, dan mata maksimum mata maksimum tempatan.

Kami mencari ekstrem fungsi bersama-sama

Contoh 3.

Penyelesaian: Fungsi ditakrifkan dan berterusan pada keseluruhan garis nombor. Derivatifnya juga wujud pada keseluruhan garis nombor. Oleh itu, dalam kes ini, titik kritikal adalah hanya yang di mana, i.e. , dari mana dan . Titik kritikal dan bahagikan keseluruhan domain definisi fungsi kepada tiga selang kemonotonan: . Mari pilih satu titik kawalan dalam setiap satu daripadanya dan cari tanda terbitan pada ketika ini.

Untuk selang, titik kawalan boleh: cari. Mengambil mata dalam selang, kita dapat, dan mengambil mata dalam selang, kita ada. Jadi, dalam selang dan , dan dalam selang . Mengikut kriteria pertama yang mencukupi untuk ekstrem, tiada ekstrem pada titik (kerana terbitan mengekalkan tandanya dalam selang), dan pada titik fungsi mempunyai minimum (kerana derivatif menukar tanda daripada tolak kepada tambah apabila lulus melalui titik ini). Mari cari nilai yang sepadan bagi fungsi: , a . Dalam selang fungsi berkurangan, kerana dalam selang ini , dan dalam selang ia meningkat, kerana dalam selang ini .

Untuk menjelaskan pembinaan graf, kita dapati titik persilangannya dengan paksi koordinat. Apabila kita memperoleh persamaan yang puncanya ialah dan , iaitu, dua titik (0; 0) dan (4; 0) graf fungsi itu ditemui. Menggunakan semua maklumat yang diterima, kami membina graf (lihat permulaan contoh).

Contoh 4. Cari ekstrem fungsi dan bina grafnya.

Domain definisi fungsi ialah keseluruhan garis nombor, kecuali titik, i.e. .

Untuk memendekkan kajian, anda boleh menggunakan fakta bahawa fungsi ini adalah genap, kerana . Oleh itu, grafnya adalah simetri tentang paksi Oy dan kajian hanya boleh dilakukan untuk selang waktu.

Mencari terbitan dan titik kritikal fungsi:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi mengalami ketakselanjaran pada ketika ini, jadi ia tidak boleh menjadi titik ekstrem.

Oleh itu, fungsi yang diberikan mempunyai dua titik kritikal: dan . Dengan mengambil kira pariti fungsi, kami akan menyemak hanya titik menggunakan kriteria kedua yang mencukupi untuk ekstrem. Untuk melakukan ini, kami mencari derivatif kedua dan tentukan tandanya di: kita dapat . Sejak dan , ia ialah titik minimum fungsi, dan .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang graf fungsi, mari kita ketahui kelakuannya di sempadan domain definisi:

(di sini simbol menunjukkan keinginan x kepada sifar dari kanan, dan x kekal positif; sama bermaksud aspirasi x kepada sifar dari kiri, dan x kekal negatif). Oleh itu, jika , maka . Seterusnya, kita dapati

,

mereka. jika , maka .

Graf fungsi tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi. Gambar adalah pada permulaan contoh.

Kami terus mencari extrema fungsi bersama-sama

Contoh 8. Cari ekstrem bagi fungsi tersebut.

Penyelesaian. Mari cari domain takrifan fungsi tersebut. Oleh kerana ketidaksamaan mesti dipenuhi, kita memperoleh daripada .

Mari cari terbitan pertama bagi fungsi tersebut:

Mari cari titik kritikal fungsi tersebut.

pengenalan

Dalam banyak bidang sains dan dalam aktiviti praktikal, seseorang selalunya perlu berhadapan dengan masalah mencari ekstrem sesuatu fungsi. Hakikatnya ialah banyak teknikal, ekonomi, dll. proses dimodelkan oleh fungsi atau beberapa fungsi yang bergantung kepada pembolehubah - faktor yang mempengaruhi keadaan fenomena yang dimodelkan. Ia diperlukan untuk mencari ekstrem fungsi sedemikian untuk menentukan keadaan optimum (rasional) dan kawalan proses. Jadi dalam ekonomi, masalah meminimumkan kos atau memaksimumkan keuntungan sering diselesaikan - masalah mikroekonomi syarikat. Dalam kerja ini, kami tidak mempertimbangkan isu pemodelan, tetapi hanya mempertimbangkan algoritma untuk mencari ekstrem fungsi dalam versi paling mudah, apabila tiada sekatan dikenakan ke atas pembolehubah (pengoptimuman tanpa syarat), dan ekstrem dicari hanya untuk satu fungsi objektif.


EKSTREMA FUNGSI

Pertimbangkan graf bagi fungsi selanjar y=f(x) ditunjukkan dalam rajah. Nilai fungsi pada satu titik x 1 akan lebih besar daripada nilai fungsi di semua titik jiran di sebelah kiri dan di sebelah kanan x 1 . Dalam kes ini kita mengatakan bahawa fungsi mempunyai pada titik x 1 maksimum. Pada titik itu x Fungsi 3 jelas juga mempunyai maksimum. Jika kita mempertimbangkan perkara itu x 2, maka nilai fungsi di dalamnya adalah kurang daripada semua nilai jiran. Dalam kes ini kita mengatakan bahawa fungsi mempunyai pada titik x 2 minimum. Begitu juga untuk perkara itu x 4 .

Fungsi y=f(x) pada titik x 0 telah maksimum, jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar daripada nilainya pada semua titik selang tertentu yang mengandungi titik x 0, iaitu jika terdapat kejiranan seperti itu x 0, yang untuk semua orang x ≠x 0 , kepunyaan kejiranan ini, ketidaksamaan berlaku f(x) <f(x 0 ) .

Fungsi y=f(x) Ia ada minimum pada titik x 0 , jika terdapat kejiranan seperti itu x 0 , itu untuk semua orang x ≠x 0 kepunyaan kejiranan ini, ketidaksamaan berlaku f(x) >f(x 0 .

Titik di mana fungsi mencapai maksimum dan minimum dipanggil titik ekstrem, dan nilai fungsi pada titik ini dipanggil ekstrem fungsi.

Mari kita perhatikan fakta bahawa fungsi yang ditakrifkan pada segmen boleh mencapai maksimum dan minimumnya hanya pada titik yang terkandung dalam segmen yang sedang dipertimbangkan.

Ambil perhatian bahawa jika fungsi mempunyai maksimum pada satu titik, ini tidak bermakna bahawa pada ketika itu fungsi mempunyai nilai terbesar dalam keseluruhan domain definisi. Dalam rajah yang dibincangkan di atas, fungsi pada titik x 1 mempunyai maksimum, walaupun terdapat titik di mana nilai fungsi lebih besar daripada pada titik itu x 1 . khususnya, f (x 1) < f (x 4) iaitu minimum sesuatu fungsi adalah lebih besar daripada maksimum. Daripada takrifan maksimum ia hanya mengikuti bahawa ini adalah nilai terbesar fungsi pada titik yang cukup dekat dengan titik maksimum.

Teorem 1. (Sesuatu syarat yang perlu untuk kewujudan ekstrem.) Jika fungsi boleh dibezakan y=f(x) mempunyai pada titik x= x 0 extremum, maka terbitannya pada ketika ini menjadi sifar.

Bukti. Biarkan, untuk kepastian, pada titik itu x 0 mempunyai fungsi maksimum. Kemudian, untuk kenaikan yang cukup kecil Δ x kita ada f(x 0 + Δ x) 0 ) , iaitu

Tetapi kemudian

Melepasi ketaksamaan ini kepada had pada Δ x→ 0 dan mengambil kira bahawa terbitan f "(x 0) wujud, dan oleh itu had di sebelah kiri tidak bergantung pada bagaimana Δ x→ 0, kita dapat: pada Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 a pada Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Sejak f" (x 0) mentakrifkan nombor, maka kedua-dua ketaksamaan ini hanya serasi jika f" (x 0) = 0.

Teorem terbukti menyatakan bahawa titik maksimum dan minimum hanya boleh berada di antara nilai-nilai hujah di mana terbitan menjadi sifar.

Kami mempertimbangkan kes apabila fungsi mempunyai derivatif di semua titik segmen tertentu. Apakah keadaan dalam kes di mana derivatif tidak wujud? Mari lihat contoh.

y =|x |.

Fungsi tersebut tidak mempunyai derivatif pada titik tersebut x=0 (pada ketika ini graf fungsi tidak mempunyai tangen yang ditentukan), tetapi pada ketika ini fungsi mempunyai minimum, kerana y(0)=0, dan untuk semua x ≠ 0y > 0.

tidak mempunyai terbitan di x=0, kerana ia pergi ke infiniti di x=0. Tetapi pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum. tidak mempunyai terbitan di x=0, sejak di x→0. Pada ketika ini fungsi tidak mempunyai maksimum atau minimum. sungguh, f(x)=0 dan pada x <0f(x) <0, а при x >0f(x) >0.

Oleh itu, daripada contoh yang diberikan dan teorem yang dirumuskan, adalah jelas bahawa fungsi boleh mempunyai ekstrem hanya dalam dua kes: 1) pada titik di mana terbitan wujud dan sama dengan sifar; 2) pada titik di mana derivatif tidak wujud.

Namun, jika pada satu ketika x 0 kita tahu itu f "(x 0 ) =0, maka seseorang tidak boleh membuat kesimpulan daripada ini bahawa pada titik itu x 0 fungsi mempunyai ekstrem.

Sebagai contoh.

.

Tetapi tempoh x=0 bukan titik ekstrem, kerana di sebelah kiri titik ini nilai fungsi terletak di bawah paksi lembu, dan di sebelah kanan di atas.

Nilai hujah daripada domain fungsi di mana terbitan fungsi hilang atau tidak wujud dipanggil titik kritikal .

Daripada semua perkara di atas, ia menunjukkan bahawa titik ekstrem fungsi adalah antara titik kritikal, dan, bagaimanapun, tidak setiap titik kritikal adalah titik ekstrem. Oleh itu, untuk mencari ekstrem fungsi, anda perlu mencari semua titik kritikal fungsi, dan kemudian memeriksa setiap titik ini secara berasingan untuk maksimum dan minimum. Teorem berikut berfungsi untuk tujuan ini.

Teorem 2. (Sesuatu keadaan yang mencukupi untuk kewujudan ekstrem.) Biarkan fungsi itu berterusan pada beberapa selang yang mengandungi titik kritikal x 0, dan boleh dibezakan pada semua titik selang ini (kecuali, mungkin, titik itu sendiri x 0). Jika, apabila bergerak dari kiri ke kanan melalui titik ini, derivatif berubah tanda dari tambah kepada tolak, maka pada titik x = x 0 mempunyai fungsi maksimum. Jika, apabila melalui x 0 dari kiri ke kanan, derivatif bertukar tanda dari tolak ke tambah, maka fungsi mempunyai minimum pada ketika ini.

Justeru, jika

f "(x)>0 pada x <x 0 dan f "(x)< 0 pada x> x 0, kemudian x 0 – titik maksimum;

di x <x 0 dan f "(x)> 0 pada x> x 0, kemudian x 0 – titik minimum.

Bukti. Mari kita anggap bahawa apabila melalui x 0 tanda perubahan terbitan daripada tambah kepada tolak, i.e. di hadapan semua orang x, dekat dengan tujuan x 0 f "(x)> 0 untuk x< x 0 , f "(x)< 0 untuk x> x 0 . Mari gunakan teorem Lagrange kepada perbezaan f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), di mana c terletak di antara x Dan x 0 .

biarlah x< x 0 . Kemudian c< x 0 dan f "(c)> 0. sebab tu f "(c)(x- x 0)< 0 dan oleh itu

f(x) - f(x 0 )< 0, iaitu f(x)< f(x 0 ).

biarlah x > x 0 . Kemudian c>x 0 dan f "(c)< 0. Bermakna f "(c)(x- x 0)< 0. sebab tu f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Oleh itu, untuk semua nilai x cukup dekat dengan x 0 f(x) < f(x 0 ) . Dan ini bermakna bahawa pada titik itu x 0 mempunyai fungsi maksimum.

Bahagian kedua teorem minimum dibuktikan dengan cara yang sama.

Mari kita jelaskan maksud teorem ini dalam rajah. biarlah f "(x 1 ) =0 dan untuk mana-mana x, cukup dekat dengan x 1, ketidaksamaan dipenuhi

f "(x)< 0 pada x< x 1 , f "(x)> 0 pada x> x 1 .

Kemudian ke kiri titik x 1 fungsi bertambah dan berkurang di sebelah kanan, oleh itu, apabila x = x 1 fungsi pergi daripada meningkat kepada menurun, iaitu, ia mempunyai maksimum.

Begitu juga, kita boleh mempertimbangkan mata x 2 dan x 3 .


Semua perkara di atas boleh digambarkan secara skematik dalam gambar:

Peraturan untuk mengkaji fungsi y=f(x) untuk ekstrem

Cari domain bagi suatu fungsi f(x).

Cari terbitan pertama bagi suatu fungsi f "(x) .

Tentukan titik kritikal untuk ini:

cari punca sebenar persamaan f "(x) =0;

cari semua nilai x yang mana derivatifnya f "(x) tidak wujud.

Tentukan tanda terbitan di sebelah kiri dan kanan titik genting. Oleh kerana tanda terbitan kekal malar antara dua titik genting, adalah memadai untuk menentukan tanda terbitan pada satu titik ke kiri dan satu titik di sebelah kanan titik genting.

Kira nilai fungsi pada titik ekstrem.

Untuk menentukan sifat fungsi dan bercakap tentang kelakuannya, adalah perlu untuk mencari selang peningkatan dan penurunan. Proses ini dipanggil penyelidikan fungsi dan grafik. Titik ekstrem digunakan apabila mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi, kerana pada mereka fungsi meningkat atau berkurangan daripada selang.

Artikel ini mendedahkan definisi, merumuskan tanda peningkatan dan penurunan yang mencukupi pada selang dan syarat untuk kewujudan ekstrem. Ini terpakai untuk menyelesaikan contoh dan masalah. Bahagian pada fungsi pembezaan harus diulang, kerana penyelesaiannya perlu menggunakan mencari derivatif.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Fungsi y = f (x) akan meningkat pada selang x apabila, bagi mana-mana x 1 ∈ X dan x 2 ∈ X, x 2 > x 1, ketaksamaan f (x 2) > f (x 1) dipenuhi. Dengan kata lain, nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Definisi 2

Fungsi y = f (x) dianggap berkurangan pada selang x apabila, untuk sebarang x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, kesamaan f (x 2) > f (x 1) dianggap benar. Dalam erti kata lain, nilai fungsi yang lebih besar sepadan dengan nilai hujah yang lebih kecil. Pertimbangkan rajah di bawah.

Ulasan: Apabila fungsi adalah pasti dan berterusan pada hujung selang peningkatan dan penurunan, iaitu (a; b), di mana x = a, x = b, titik-titik dimasukkan dalam selang peningkatan dan penurunan. Ini tidak bercanggah dengan definisi; ini bermakna ia berlaku pada selang x.

Sifat utama fungsi asas jenis y = sin x ialah kepastian dan kesinambungan untuk nilai sebenar hujah. Dari sini kita dapati bahawa sinus bertambah sepanjang selang - π 2; π 2, maka pertambahan pada segmen mempunyai bentuk - π 2; π 2.

Definisi 3

Titik x 0 dipanggil titik maksimum untuk fungsi y = f (x), apabila untuk semua nilai x ketaksamaan f (x 0) ≥ f (x) adalah sah. Fungsi maksimum ialah nilai fungsi pada satu titik, dan dilambangkan dengan y m a x .

Titik x 0 dipanggil titik minimum untuk fungsi y = f (x), apabila untuk semua nilai x ketaksamaan f (x 0) ≤ f (x) adalah sah. Fungsi minimum ialah nilai fungsi pada satu titik, dan mempunyai sebutan bentuk y m i n .

Kejiranan titik x 0 dipertimbangkan titik melampau, dan nilai fungsi yang sepadan dengan titik ekstrem. Pertimbangkan rajah di bawah.

Extrema fungsi dengan nilai terbesar dan terkecil fungsi. Pertimbangkan rajah di bawah.

Angka pertama mengatakan bahawa adalah perlu untuk mencari nilai terbesar fungsi daripada segmen [a; b] . Ia didapati menggunakan titik maksimum dan bersamaan dengan nilai maksimum fungsi, dan angka kedua lebih seperti mencari titik maksimum pada x = b.

Keadaan yang mencukupi untuk fungsi bertambah dan berkurang

Untuk mencari maksima dan minima fungsi, adalah perlu untuk menggunakan tanda ekstrem dalam kes apabila fungsi itu memenuhi syarat ini. Tanda pertama dianggap paling kerap digunakan.

Syarat pertama yang mencukupi untuk ekstrem

Definisi 4

Biarkan fungsi y = f (x) diberikan, yang boleh dibezakan dalam kejiranan ε titik x 0, dan mempunyai kesinambungan pada titik x 0 yang diberi. Dari sini kita dapat itu

  • apabila f " (x) > 0 dengan x ∈ (x 0 - ε ; x 0) dan f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
  • apabila f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 untuk x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), maka x 0 ialah titik minimum.

Dengan kata lain, kami memperoleh syarat mereka untuk menetapkan tanda:

  • apabila fungsi itu selanjar pada titik x 0, maka ia mempunyai terbitan dengan tanda berubah, iaitu, dari + ke -, yang bermaksud titik itu dipanggil maksimum;
  • apabila fungsi itu selanjar pada titik x 0, maka ia mempunyai terbitan dengan tanda berubah dari - kepada +, yang bermaksud titik itu dipanggil minimum.

Untuk menentukan titik maksimum dan minimum fungsi dengan betul, anda mesti mengikut algoritma untuk mencarinya:

  • cari domain definisi;
  • cari terbitan bagi fungsi pada kawasan ini;
  • mengenal pasti sifar dan titik di mana fungsi tidak wujud;
  • menentukan tanda terbitan pada selang waktu;
  • pilih titik di mana fungsi bertukar tanda.

Mari kita pertimbangkan algoritma dengan menyelesaikan beberapa contoh mencari ekstrem fungsi.

Contoh 1

Cari titik maksimum dan minimum bagi fungsi yang diberi y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Penyelesaian

Domain takrifan fungsi ini ialah semua nombor nyata kecuali x = 2. Mula-mula, mari cari derivatif fungsi dan dapatkan:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Dari sini kita melihat bahawa sifar fungsi ialah x = - 1, x = 5, x = 2, iaitu setiap kurungan mesti disamakan dengan sifar. Mari tandakannya pada paksi nombor dan dapatkan:

Sekarang kita tentukan tanda-tanda derivatif dari setiap selang. Ia adalah perlu untuk memilih titik yang termasuk dalam selang dan menggantikannya ke dalam ungkapan. Contohnya, titik x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Kami dapat itu

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, yang bermaksud selang - ∞ ; - 1 mempunyai terbitan positif. Begitu juga, kita dapati bahawa

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Memandangkan selang kedua ternyata kurang daripada sifar, ini bermakna derivatif pada selang itu akan menjadi negatif. Yang ketiga dengan tolak, yang keempat dengan tambah. Untuk menentukan kesinambungan, anda perlu memberi perhatian kepada tanda derivatif; jika ia berubah, maka ini adalah titik ekstrem.

Kami mendapati bahawa pada titik x = - 1 fungsi akan berterusan, yang bermaksud bahawa terbitan akan menukar tanda dari + kepada -. Menurut tanda pertama, kita mempunyai bahawa x = - 1 ialah titik maksimum, yang bermaksud kita mendapat

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Titik x = 5 menunjukkan bahawa fungsi itu berterusan, dan terbitan akan menukar tanda dari – kepada +. Ini bermakna bahawa x = -1 ialah titik minimum, dan penentuannya mempunyai bentuk

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Imej grafik

Jawapan: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Perlu diberi perhatian kepada fakta bahawa penggunaan kriteria pertama yang mencukupi untuk ekstrem tidak memerlukan kebolehbezaan fungsi pada titik x 0, ini memudahkan pengiraan.

Contoh 2

Cari titik maksimum dan minimum bagi fungsi y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Penyelesaian.

Domain fungsi ialah semua nombor nyata. Ini boleh ditulis sebagai sistem persamaan dalam bentuk:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Kemudian anda perlu mencari derivatif:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Titik x = 0 tidak mempunyai derivatif, kerana nilai-nilai had satu sisi adalah berbeza. Kami mendapat bahawa:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Ia berikutan bahawa fungsi adalah selanjar pada titik x = 0, maka kita mengira

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Ia adalah perlu untuk melakukan pengiraan untuk mencari nilai hujah apabila terbitan menjadi sifar:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Semua mata yang diperoleh mesti ditanda pada garis lurus untuk menentukan tanda setiap selang. Oleh itu, adalah perlu untuk mengira derivatif pada titik arbitrari untuk setiap selang. Sebagai contoh, kita boleh mengambil mata dengan nilai x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Kami dapat itu

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Imej pada garis lurus kelihatan seperti

Ini bermakna kita sampai pada kesimpulan bahawa adalah perlu untuk menggunakan tanda pertama extremum. Marilah kita mengira dan mencarinya

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , maka dari sini titik maksimum mempunyai nilai x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Mari kita teruskan untuk mengira minimum:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Mari kita hitung maksima fungsi tersebut. Kami dapat itu

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Imej grafik

Jawapan:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 x 3 y m = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Jika fungsi f " (x 0) = 0 diberikan, maka jika f "" (x 0) > 0, kita memperoleh bahawa x 0 ialah titik minimum jika f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Contoh 3

Cari maksima dan minima bagi fungsi y = 8 x x + 1.

Penyelesaian

Pertama, kita mencari domain definisi. Kami dapat itu

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Ia adalah perlu untuk membezakan fungsi, selepas itu kita dapat

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Pada x = 1, derivatif menjadi sifar, yang bermaksud bahawa titik adalah ekstrem yang mungkin. Untuk menjelaskan, adalah perlu untuk mencari derivatif kedua dan mengira nilai pada x = 1. Kita mendapatkan:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Ini bermakna dengan menggunakan 2 keadaan yang mencukupi untuk ekstrem, kita memperoleh bahawa x = 1 ialah titik maksimum. Jika tidak, entri kelihatan seperti y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Imej grafik

Jawapan: y m a x = y (1) = 4 ..

Definisi 5

Fungsi y = f (x) mempunyai terbitannya sehingga tertib ke-n dalam kejiranan ε bagi titik x 0 tertentu dan terbitannya sehingga tertib n + 1 pada titik x 0 . Kemudian f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Ia berikutan bahawa apabila n ialah nombor genap, maka x 0 dianggap sebagai titik infleksi, apabila n ialah nombor ganjil, maka x 0 ialah titik ekstrem, dan f (n + 1) (x 0) > 0, maka x 0 ialah titik minimum, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Contoh 4

Cari titik maksimum dan minimum bagi fungsi y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Penyelesaian

Fungsi asal ialah keseluruhan fungsi rasional, yang bermaksud bahawa domain definisi adalah semua nombor nyata. Ia adalah perlu untuk membezakan fungsi. Kami dapat itu

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4" = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Derivatif ini akan pergi ke sifar pada x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Iaitu, mata boleh menjadi titik ekstrem yang mungkin. Ia adalah perlu untuk memohon syarat ketiga yang mencukupi untuk ekstrem. Mencari derivatif kedua membolehkan anda menentukan dengan tepat kehadiran maksimum dan minimum fungsi. Derivatif kedua dikira pada titik ekstrem yang mungkin. Kami dapat itu

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Ini bermakna x 2 = 5 7 ialah titik maksimum. Menggunakan kriteria mencukupi ke-3, kita memperoleh bahawa untuk n = 1 dan f (n + 1) 5 7< 0 .

Ia adalah perlu untuk menentukan sifat titik x 1 = - 1, x 3 = 3. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari derivatif ketiga dan mengira nilai pada titik ini. Kami dapat itu

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Ini bermakna x 1 = - 1 ialah titik infleksi fungsi, kerana untuk n = 2 dan f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Adalah perlu untuk menyiasat titik x 3 = 3. Untuk melakukan ini, kami mencari terbitan ke-4 dan melakukan pengiraan pada ketika ini:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Daripada apa yang telah diputuskan di atas kita membuat kesimpulan bahawa x 3 = 3 ialah titik minimum fungsi.

Imej grafik

Jawapan: x 2 = 5 7 ialah titik maksimum, x 3 = 3 ialah titik minimum bagi fungsi yang diberikan.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Ini adalah bahagian yang agak menarik dalam matematik, yang pasti semua graduan dan pelajar hadapi. Namun, tidak semua orang suka matan. Ada yang tidak dapat memahami perkara asas seperti kajian fungsi yang kelihatan standard. Artikel ini bertujuan untuk membetulkan kesilapan tersebut. Ingin mengetahui lebih lanjut tentang analisis fungsi? Adakah anda ingin mengetahui apa itu titik ekstrem dan cara mencarinya? Maka artikel ini adalah untuk anda.

Mempelajari graf fungsi

Pertama, anda perlu memahami sebab anda perlu menganalisis graf sama sekali. Terdapat fungsi mudah yang tidak sukar untuk dilukis. Contoh menarik bagi fungsi sedemikian ialah parabola. Tidak sukar untuk melukis graf. Apa yang diperlukan ialah, menggunakan penjelmaan mudah, untuk mencari nombor di mana fungsi mengambil nilai 0. Dan pada dasarnya, ini semua yang anda perlu tahu untuk melukis graf parabola.

Tetapi bagaimana jika fungsi yang kita perlukan untuk membuat graf adalah lebih kompleks? Oleh kerana sifat-sifat fungsi kompleks tidak begitu jelas, adalah perlu untuk menjalankan analisis keseluruhan. Hanya selepas ini fungsi boleh digambarkan secara grafik. Bagaimana untuk melakukan ini? Anda boleh mendapatkan jawapan kepada soalan ini dalam artikel ini.

Pelan Analisis Fungsi

Perkara pertama yang perlu kita lakukan ialah menjalankan kajian cetek fungsi, di mana kita mencari domain definisi. Jadi, mari kita mulakan mengikut urutan. Domain definisi ialah set nilai yang mana fungsi itu ditakrifkan. Ringkasnya, ini adalah nombor yang boleh digunakan dalam fungsi dan bukannya x. Untuk menentukan skop, anda hanya perlu melihat rekod. Sebagai contoh, adalah jelas bahawa fungsi y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 mempunyai domain takrifan iaitu set nombor nyata. Nah, dengan fungsi seperti (x 2 - 2x)/x semuanya sedikit berbeza. Oleh kerana nombor dalam penyebut mestilah tidak sama dengan 0, domain takrifan fungsi ini ialah semua nombor nyata selain sifar.

Seterusnya, anda perlu mencari sifar fungsi yang dipanggil. Ini adalah nilai hujah di mana keseluruhan fungsi mengambil nilai sifar. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menyamakan fungsi dengan sifar, pertimbangkan secara terperinci dan lakukan beberapa transformasi. Mari kita ambil fungsi yang sudah biasa y(x) = (x 2 - 2x)/x. Dari kursus sekolah kita tahu bahawa pecahan adalah sama dengan 0 apabila pengangkanya sama dengan sifar. Oleh itu, kami membuang penyebut dan mula bekerja dengan pengangka, menyamakannya dengan sifar. Kami mendapat x 2 - 2x = 0 dan meletakkan x daripada kurungan. Oleh itu x (x - 2) = 0. Hasilnya, kita dapati bahawa fungsi kita adalah sama dengan sifar apabila x sama dengan 0 atau 2.

Apabila memeriksa graf fungsi, ramai orang menghadapi masalah dalam bentuk titik ekstrem. Dan ia pelik. Lagipun, keterlaluan adalah topik yang agak mudah. Tidak percaya saya? Lihat sendiri dengan membaca bahagian artikel ini, di mana kita akan bercakap tentang mata minimum dan maksimum.

Pertama, ia patut memahami apa itu ekstrem. Extremum ialah nilai had yang dicapai oleh fungsi pada graf. Ternyata terdapat dua nilai ekstrem - maksimum dan minimum. Untuk kejelasan, anda boleh lihat gambar di atas. Di kawasan yang dikaji, titik -1 ialah maksimum bagi fungsi y (x) = x 5 - 5x, dan titik 1, sewajarnya, adalah minimum.

Juga, jangan mengelirukan konsep. Titik ekstrem fungsi ialah hujah di mana fungsi tertentu memperoleh nilai ekstrem. Sebaliknya, ekstrem ialah nilai minimum dan maksimum fungsi. Sebagai contoh, pertimbangkan semula rajah di atas. -1 dan 1 ialah titik ekstrem bagi fungsi, dan 4 dan -4 ialah titik ekstrem itu sendiri.

Mencari titik melampau

Tetapi bagaimana anda mencari titik ekstrem fungsi? Semuanya agak mudah. Perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mencari terbitan persamaan. Katakan kita menerima tugas: "Cari titik ekstrem bagi fungsi y (x), x ialah hujah. Untuk kejelasan, mari kita ambil fungsi y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Mari bezakan dan dapatkan persamaan berikut: 3x 2 + 4x + 1. Akibatnya, kita mempunyai persamaan kuadratik piawai. Apa yang perlu kita lakukan seterusnya ialah menyamakannya dengan sifar dan mencari puncanya. Memandangkan diskriminasi lebih besar daripada sifar (D = 16 - 12 = 4), persamaan ini ditentukan oleh dua punca. Cari mereka dan dapatkan dua nilai: 1/3 dan -1. Ini akan menjadi titik ekstrem bagi fungsi tersebut. Namun, bagaimanakah anda masih boleh menentukan siapa itu? Titik yang manakah adalah maksimum dan yang manakah minimum? Untuk melakukan ini, anda perlu mengambil titik jiran dan mengetahui nilainya. Sebagai contoh, ambil nombor -2, yang terletak di sebelah kiri sepanjang garis koordinat dari -1 Gantikan nilai ini ke dalam persamaan kita y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Hasilnya, kita mendapat nombor positif. Ini bermakna dalam selang dari Fungsi meningkat daripada 1/3 kepada -1. Ini , seterusnya, bermakna bahawa pada selang dari tolak infiniti hingga 1/3 dan dari -1 hingga tambah infiniti fungsi berkurangan. Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa nombor 1/3 ialah titik minimum fungsi pada selang yang dikaji, dan -1 ialah titik maksimum.

Perlu juga diperhatikan bahawa Peperiksaan Negeri Bersepadu memerlukan bukan sahaja mencari mata ekstrem, tetapi juga melakukan beberapa jenis operasi dengan mereka (menambah, mendarab, dll.). Atas sebab inilah ia patut memberi perhatian khusus kepada keadaan masalah. Lagipun, kerana kurang perhatian, anda boleh kehilangan mata.

Pelajaran tentang topik: "Mencari titik ekstrem fungsi. Contoh"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 10 dari 1C
Kami menyelesaikan masalah dalam geometri. Tugas pembinaan interaktif untuk gred 7-10
Persekitaran perisian "1C: Pembina Matematik 6.1"

Apa yang akan kita kaji:
1. Pengenalan.
2. Mata minimum dan maksimum.

4. Bagaimana untuk mengira extrema?
5. Contoh.

Pengenalan kepada Function Extrema

Kawan-kawan, mari kita lihat graf fungsi tertentu:

Perhatikan bahawa kelakuan fungsi kita y=f (x) sebahagian besarnya ditentukan oleh dua titik x1 dan x2. Mari kita lihat lebih dekat pada graf fungsi pada dan sekitar titik ini. Sehingga titik x2 fungsi meningkat, pada titik x2 terdapat infleksi, dan sejurus selepas titik ini fungsi menurun ke titik x1. Pada titik x1 fungsi bengkok semula, dan selepas itu ia meningkat semula. Buat masa ini, kami akan memanggil mata x1 dan x2 titik infleksi. Mari kita lukis tangen pada titik ini:


Tangen pada titik kami adalah selari dengan paksi-x, yang bermaksud bahawa kecerunan tangen adalah sifar. Ini bermakna terbitan fungsi kita pada titik ini adalah sama dengan sifar.

Mari lihat graf fungsi ini:


Adalah mustahil untuk melukis garis tangen pada titik x2 dan x1. Ini bermakna derivatif tidak wujud pada titik ini. Sekarang mari kita lihat semula titik kita pada dua graf. Titik x2 ialah titik di mana fungsi mencapai nilai terbesarnya di sesetengah kawasan (berhampiran titik x2). Titik x1 ialah titik di mana fungsi mencapai nilai terkecilnya di sesetengah kawasan (berhampiran titik x1).

Mata minimum dan maksimum

Takrif: Titik x= x0 dipanggil titik minimum bagi fungsi y=f(x) jika terdapat kejiranan titik x0 di mana ketaksamaan memegang: f(x) ≥ f(x0).

Takrif: Titik x=x0 dipanggil titik maksimum bagi fungsi y=f(x) jika terdapat kejiranan titik x0 di mana ketaksamaan memegang: f(x) ≤ f(x0).

Kawan-kawan, apa itu kejiranan?

Definisi: Kejiranan suatu titik ialah satu set titik yang mengandungi titik kita dan yang berdekatan dengannya.

Kita boleh menetapkan sendiri kejiranan. Sebagai contoh, untuk titik x=2, kita boleh mentakrifkan kejiranan dalam bentuk titik 1 dan 3.

Mari kita kembali ke graf kita, lihat titik x2, ia lebih besar daripada semua titik lain dari kejiranan tertentu, kemudian mengikut definisi ia adalah titik maksimum. Sekarang mari kita lihat titik x1, ia adalah lebih kecil daripada semua titik lain dari kejiranan tertentu, maka secara definisi ia adalah titik minimum.

Kawan-kawan, mari kita perkenalkan notasi:

Y min - titik minimum,
y maks - titik maksimum.

Penting! Guys, jangan mengelirukan mata maksimum dan minimum dengan nilai terkecil dan terbesar fungsi. Nilai minimum dan maksimum dicari di seluruh domain definisi fungsi tertentu, dan mata minimum dan maksimum dicari dalam kejiranan tertentu.

Extrema fungsi

Untuk mata minimum dan maksimum terdapat istilah biasa - mata ekstrem.

Extremum (lat. extremum – extreme) – nilai maksimum atau minimum fungsi pada set tertentu. Titik di mana ekstrem dicapai dipanggil titik ekstrem.

Oleh itu, jika minimum dicapai, titik ekstrem dipanggil titik minimum, dan jika maksimum dicapai, ia dipanggil titik maksimum.

Bagaimana untuk mencari ekstrem fungsi?

Mari kembali ke carta kami. Pada titik kami, derivatif sama ada lenyap (pada graf pertama) atau tidak wujud (pada graf kedua).

Kemudian kita boleh membuat pernyataan penting: Jika fungsi y= f(x) mempunyai ekstrem pada titik x=x0, maka pada ketika ini terbitan fungsi itu sama ada sifar atau tidak wujud.

Titik di mana derivatif adalah sama dengan sifar dipanggil pegun.

Titik di mana terbitan fungsi tidak wujud dipanggil kritikal.

Bagaimana untuk mengira keterlaluan?

Kawan-kawan, mari kita kembali ke graf pertama fungsi:


Menganalisis graf ini, kami berkata: sehingga titik x2 fungsi meningkat, pada titik x2 satu infleksi berlaku, dan selepas titik ini fungsi berkurangan ke titik x1. Pada titik x1 fungsi bengkok semula, dan selepas itu fungsi meningkat semula.

Berdasarkan penaakulan sedemikian, kita boleh membuat kesimpulan bahawa fungsi pada titik ekstrem mengubah sifat monotoni, dan oleh itu fungsi derivatif berubah tanda. Ingat: jika fungsi berkurangan, maka terbitan adalah kurang daripada atau sama dengan sifar, dan jika fungsi bertambah, maka terbitan lebih besar daripada atau sama dengan sifar.

Mari kita ringkaskan pengetahuan yang diperoleh dengan pernyataan berikut:

Teorem: Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem: biarkan fungsi y=f(x) berterusan pada beberapa selang X dan mempunyai titik pegun atau kritikal x= x0 di dalam selang itu. Kemudian:

  • Jika titik ini mempunyai kejiranan di mana f’(x)>0 memegang untuk x x0, maka titik x0 ialah titik minimum bagi fungsi y= f(x).
  • Jika titik ini mempunyai kejiranan di mana f'(x) memegang untuk x 0 dan x> x0. Jika titik ini mempunyai kejiranan di mana kedua-dua ke kiri dan ke kanan titik x0 tanda-tanda terbitan adalah sama , maka pada titik x0 tiada keterlaluan.

Untuk menyelesaikan masalah, ingat peraturan ini: Jika tanda-tanda derivatif ditakrifkan maka:


Algoritma untuk mengkaji fungsi selanjar y= f(x) untuk monotonicity dan extrema:

  • Cari terbitan bagi y'.
  • Cari titik pegun (derivatif ialah sifar) dan titik kritikal (derivatif tidak wujud).
  • Tandakan titik pegun dan titik kritikal pada garis nombor dan tentukan tanda terbitan pada selang yang terhasil.
  • Berdasarkan pernyataan di atas, buat kesimpulan tentang sifat titik ekstrem.

Contoh mencari titik ekstrem

1) Cari titik ekstrem bagi fungsi dan tentukan sifatnya: y= 7+ 12*x - x 3

Penyelesaian: Fungsi kami adalah berterusan, maka kami akan menggunakan algoritma kami:
a) y"= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, pada x= ±2,

Titik x= -2 ialah titik minimum fungsi, titik x= 2 ialah titik maksimum fungsi.
Jawapan: x= -2 ialah titik minimum fungsi, x= 2 ialah titik maksimum fungsi.

2) Cari titik ekstrem fungsi dan tentukan sifatnya.

Penyelesaian: Fungsi kami adalah berterusan. Mari gunakan algoritma kami:
A) b) pada titik x= 2 terbitan tidak wujud, kerana Anda tidak boleh membahagi dengan sifar Domain definisi fungsi: , tiada ekstrem pada ketika ini, kerana kejiranan titik tidak ditentukan. Mari cari nilai yang derivatifnya sama dengan sifar: c) Tandakan titik pegun pada garis nombor dan tentukan tanda terbitan: d) lihat angka kami, yang menunjukkan peraturan untuk menentukan ekstrem.
Titik x= 3 ialah titik minimum fungsi.
Jawapan: x= 3 ialah titik minimum bagi fungsi tersebut.

3) Cari titik ekstrem bagi fungsi y= x - 2cos(x) dan tentukan sifatnya, untuk -π ≤ x ≤ π.

Penyelesaian: Fungsi kami berterusan, mari gunakan algoritma kami:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) cari nilai di mana terbitannya adalah sama dengan sifar: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
kerana -π ≤ x ≤ π, maka: x= -π/6, -5π/6,
c) tandakan titik pegun pada garis nombor dan tentukan tanda terbitan: d) lihat angka kami, yang menunjukkan peraturan untuk menentukan ekstrem.
Titik x= -5π/6 ialah titik maksimum fungsi.
Titik x= -π/6 ialah titik minimum fungsi.
Jawapan: x= -5π/6 ialah titik maksimum fungsi, x= -π/6 ialah titik minimum bagi fungsi itu.

4) Cari titik ekstrem fungsi dan tentukan sifatnya:

Penyelesaian: Fungsi kita mempunyai ketakselanjaran hanya pada satu titik x= 0. Mari kita gunakan algoritma:
A)
b) cari nilai di mana terbitan adalah sama dengan sifar: y"= 0 pada x= ±2,
c) tandakan titik pegun pada garis nombor dan tentukan tanda terbitan:
d) lihat angka kami, yang menunjukkan peraturan untuk menentukan ekstrem.
Titik x= -2 ialah titik minimum fungsi.
Titik x= 2 ialah titik minimum fungsi.
Pada titik x= 0 fungsi itu tidak wujud.
Jawapan: x= ±2 - titik minimum fungsi.

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

a) Cari titik ekstrem bagi fungsi dan tentukan sifatnya: y= 5x 3 - 15x - 5.
b) Cari titik ekstrem fungsi dan tentukan sifatnya:
c) Cari titik ekstrem fungsi dan tentukan sifatnya: y= 2sin(x) - x untuk π ≤ x ≤ 3π.
d) Cari titik ekstrem fungsi dan tentukan sifatnya: