Menyelesaikan sistem 3 persamaan linear menggunakan kaedah matriks. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang
Mari kita pertimbangkan sistem persamaan algebra linear(SLAU) secara relatifnya n tidak diketahui x 1 , x 2 , ..., x n :
Sistem ini dalam bentuk "runtuh" boleh ditulis seperti berikut:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Selaras dengan peraturan pendaraban matriks, sistem persamaan linear yang dipertimbangkan boleh ditulis dalam bentuk matriks Ax=b, Di mana
,
,.
Matriks A, lajur yang merupakan pekali untuk yang tidak diketahui yang sepadan, dan baris adalah pekali untuk yang tidak diketahui dalam persamaan yang sepadan dipanggil matriks sistem. Matriks lajur b, unsur-unsur yang merupakan sisi kanan persamaan sistem, dipanggil matriks sebelah kanan atau ringkasnya sebelah kanan sistem. Matriks lajur x , yang unsur-unsurnya adalah tidak diketahui, dipanggil penyelesaian sistem.
Sistem persamaan algebra linear yang ditulis dalam bentuk Ax=b, ialah persamaan matriks.
Jika matriks sistem tidak merosot, maka ia mempunyai matriks songsang dan kemudian penyelesaian kepada sistem ialah Ax=b diberikan oleh formula:
x=A -1 b.
Contoh Selesaikan sistem 
kaedah matriks.
Penyelesaian mari kita cari matriks songsang bagi matriks pekali sistem
Mari kita hitung penentu dengan mengembangkan sepanjang baris pertama:
Kerana ia Δ ≠ 0 , Itu A -1 wujud.
Matriks songsang ditemui dengan betul.
Mari cari penyelesaian kepada sistem 
Oleh itu, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Peperiksaan: 
7. Teorem Kronecker-Capelli mengenai keserasian sistem persamaan algebra linear.
Sistem persamaan linear mempunyai bentuk:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Di sini a i j dan b i (i = ; j = ) diberikan, dan x j ialah nombor nyata yang tidak diketahui. Menggunakan konsep hasil darab matriks, kita boleh menulis semula sistem (5.1) dalam bentuk:
di mana A = (a i j) ialah matriks yang terdiri daripada pekali untuk sistem yang tidak diketahui (5.1), yang dipanggil matriks sistem, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ialah vektor lajur yang masing-masing terdiri daripada x j yang tidak diketahui dan sebutan bebas b i .
Koleksi yang dipesan n nombor nyata (c 1, c 2,..., c n) dipanggil penyelesaian sistem(5.1), jika hasil daripada menggantikan nombor ini dan bukannya pembolehubah sepadan x 1, x 2,..., x n, setiap persamaan sistem bertukar menjadi identiti aritmetik; dengan kata lain, jika terdapat vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T sedemikian sehingga AC B.
Sistem (5.1) dipanggil sendi, atau boleh diselesaikan, jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem itu dipanggil tidak serasi, atau tidak dapat diselesaikan, jika ia tidak mempunyai penyelesaian.
,
dibentuk dengan memberikan lajur sebutan bebas di sebelah kanan matriks A dipanggil matriks lanjutan sistem.
Persoalan keserasian sistem (5.1) diselesaikan dengan teorem berikut.
Teorem Kronecker-Capelli . Sistem persamaan linear adalah tekal jika dan hanya jika kedudukan matriks A danA bertepatan, i.e. r(A) = r(A) = r.
Untuk set M penyelesaian sistem (5.1) terdapat tiga kemungkinan:
1) M = (dalam kes ini sistem tidak konsisten);
2) M terdiri daripada satu unsur, iaitu. sistem mempunyai penyelesaian yang unik (dalam kes ini sistem dipanggil pasti);
3) M terdiri daripada lebih daripada satu elemen (kemudian sistem dipanggil tidak pasti). Dalam kes ketiga, sistem (5.1) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
Sistem ini mempunyai penyelesaian unik hanya jika r(A) = n. Dalam kes ini, bilangan persamaan tidak kurang daripada bilangan yang tidak diketahui (mn); jika m>n, maka persamaan m-n adalah akibat daripada yang lain. Jika 0 Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sewenang-wenangnya, anda perlu dapat menyelesaikan sistem di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui - yang dipanggil Sistem jenis cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistem (5.3) diselesaikan dalam salah satu cara berikut: 1) kaedah Gauss, atau kaedah menghapuskan yang tidak diketahui; 2) mengikut formula Cramer; 3) kaedah matriks. Contoh 2.12. Teroka sistem persamaan dan selesaikan jika ia konsisten: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Penyelesaian. Kami menulis matriks lanjutan sistem:
Mari kita hitung pangkat matriks utama sistem. Adalah jelas bahawa, sebagai contoh, minor urutan kedua di sudut kiri atas = 7 0; bawah umur peringkat ketiga yang mengandunginya adalah sama dengan sifar: Akibatnya, pangkat matriks utama sistem ialah 2, i.e. r(A) = 2. Untuk mengira pangkat matriks lanjutan A, pertimbangkan minor bersempadan ini bermakna pangkat bagi matriks lanjutan r(A) = 3. Oleh kerana r(A) r(A), sistem itu tidak konsisten. Persamaan secara umum, persamaan algebra linear dan sistemnya, serta kaedah untuk menyelesaikannya, menduduki tempat yang istimewa dalam matematik, baik secara teori mahupun gunaan. Ini disebabkan oleh fakta bahawa sebahagian besar masalah fizikal, ekonomi, teknikal dan juga pedagogi boleh diterangkan dan diselesaikan menggunakan pelbagai persamaan dan sistemnya. Baru-baru ini, pemodelan matematik telah mendapat populariti tertentu di kalangan penyelidik, saintis dan pengamal dalam hampir semua bidang subjek, yang dijelaskan oleh kelebihannya yang jelas berbanding kaedah lain yang terkenal dan terbukti untuk mengkaji objek pelbagai sifat, khususnya, kompleks yang dipanggil. sistem. Terdapat pelbagai jenis definisi berbeza bagi model matematik yang diberikan oleh saintis pada masa yang berbeza, tetapi pada pendapat kami, yang paling berjaya ialah pernyataan berikut. Model matematik ialah idea yang dinyatakan oleh persamaan. Oleh itu, keupayaan untuk mengarang dan menyelesaikan persamaan dan sistemnya adalah ciri penting pakar moden. Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, kaedah yang paling biasa digunakan ialah Cramer, Jordan-Gauss dan kaedah matriks. Kaedah penyelesaian matriks ialah kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dengan penentu bukan sifar menggunakan matriks songsang. Jika kita menulis pekali untuk kuantiti yang tidak diketahui xi dalam matriks A, kumpulkan kuantiti yang tidak diketahui dalam lajur vektor X, dan sebutan bebas dalam lajur vektor B, maka sistem persamaan algebra linear boleh ditulis dalam bentuk mengikuti persamaan matriks A · X = B, yang mempunyai penyelesaian unik hanya apabila penentu matriks A tidak sama dengan sifar. Dalam kes ini, penyelesaian kepada sistem persamaan boleh didapati dengan cara berikut X = A-1 · B, Di mana A-1 ialah matriks songsang. Kaedah penyelesaian matriks adalah seperti berikut. Marilah kita diberikan sistem persamaan linear dengan n tidak diketahui: Ia boleh ditulis semula dalam bentuk matriks: AX =
B, Di mana A- matriks utama sistem, B Dan X- lajur syarat percuma dan penyelesaian sistem, masing-masing: Mari kita darabkan persamaan matriks ini dari kiri dengan A-1 - matriks songsang matriks A: A -1 (AX) = A -1 B Kerana A -1 A = E, kita mendapatkan X= A -1 B. Bahagian kanan persamaan ini akan memberikan lajur penyelesaian sistem asal. Syarat untuk kebolehgunaan kaedah ini (serta kewujudan umum penyelesaian kepada sistem persamaan linear yang tidak homogen dengan bilangan persamaan yang sama dengan bilangan yang tidak diketahui) ialah ketakdegenerasian matriks A. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ini ialah penentu matriks tidak sama dengan sifar A:det A≠ 0. Untuk sistem persamaan linear homogen, iaitu, apabila vektor B = 0
, sesungguhnya peraturan yang bertentangan: sistem AX =
0 mempunyai penyelesaian bukan remeh (iaitu, bukan sifar) hanya jika det A= 0. Hubungan sedemikian antara penyelesaian sistem persamaan linear homogen dan tidak homogen dipanggil alternatif Fredholm. Contoh penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear yang tidak homogen. Mari kita pastikan bahawa penentu matriks, yang terdiri daripada pekali yang tidak diketahui bagi sistem persamaan algebra linear, tidak sama dengan sifar. Langkah seterusnya ialah mengira pelengkap algebra bagi unsur-unsur matriks yang terdiri daripada pekali bagi yang tidak diketahui. Mereka akan diperlukan untuk mencari matriks songsang. Kaedah matriks songsang adalah kes khas persamaan matriks Selesaikan sistem menggunakan kaedah matriks Penyelesaian: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks. Kami mencari penyelesaian sistem menggunakan formula (lihat formula terakhir) Kami mencari matriks songsang menggunakan formula: Pertama, mari kita lihat penentu: Di sini penentu dikembangkan pada baris pertama. Perhatian! Jika, maka matriks songsang tidak wujud, dan adalah mustahil untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah matriks. Dalam kes ini, sistem diselesaikan dengan penghapusan kaedah yang tidak diketahui (kaedah Gaussian). Sekarang kita perlu mengira 9 minor dan menulisnya ke dalam matriks minor Rujukan: Adalah berguna untuk mengetahui maksud subskrip berganda dalam algebra linear. Digit pertama ialah nombor baris di mana unsur itu terletak. Digit kedua ialah nombor lajur di mana unsur itu terletak: Semasa penyelesaian, adalah lebih baik untuk menerangkan pengiraan kanak-kanak di bawah umur secara terperinci, walaupun dengan beberapa pengalaman anda boleh membiasakan diri untuk mengira mereka dengan ralat secara lisan. Urutan pengiraan kanak-kanak bawah umur adalah tidak penting sama sekali; di sini saya mengira mereka dari kiri ke kanan baris demi baris. Adalah mungkin untuk mengira kanak-kanak bawah umur mengikut lajur (ini lebih mudah). Oleh itu: – matriks penambahan algebra. – matriks terpindah bagi penambahan algebra. Saya ulangi, kami membincangkan langkah-langkah yang dilakukan secara terperinci dalam pelajaran. Bagaimana untuk mencari songsangan matriks? Sekarang kita tulis matriks songsang: Dalam keadaan apa pun kita tidak boleh memasukkannya ke dalam matriks, ini akan merumitkan pengiraan selanjutnya secara serius. Pembahagian perlu dilakukan jika semua nombor dalam matriks boleh dibahagi dengan 60 tanpa baki. Tetapi dalam kes ini adalah sangat perlu untuk menambah tolak ke dalam matriks; sebaliknya, ia akan memudahkan pengiraan selanjutnya. Yang tinggal hanyalah melakukan pendaraban matriks. Anda boleh belajar cara mendarab matriks dalam kelas. Tindakan dengan matriks. Dengan cara ini, contoh yang sama dianalisis di sana. Perhatikan bahawa pembahagian dengan 60 telah dilakukan terakhir sekali. Jawab: Contoh 12 Selesaikan sistem menggunakan matriks songsang. Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas (sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran). Cara paling universal untuk menyelesaikan sistem ialah kaedah menghapuskan yang tidak diketahui (kaedah Gaussian). Ia tidak begitu mudah untuk menerangkan algoritma dengan jelas, tetapi saya cuba! Semoga anda berjaya! Jawapan: Contoh 3:
Contoh 6:
Contoh 8:
,
. Anda boleh melihat atau memuat turun contoh penyelesaian untuk contoh ini (pautan di bawah). Contoh 10, 12: Kami terus mempertimbangkan sistem persamaan linear. Pelajaran ini adalah yang ketiga mengenai topik ini. Sekiranya anda mempunyai idea yang samar-samar tentang sistem persamaan linear secara umum, jika anda berasa seperti teko, maka saya cadangkan bermula dengan asas pada halaman Seterusnya, adalah berguna untuk mengkaji pelajaran. Kaedah Gaussian adalah mudah! kenapa? Ahli matematik Jerman terkenal Johann Carl Friedrich Gauss, semasa hayatnya, menerima pengiktirafan sebagai ahli matematik terhebat sepanjang zaman, genius, dan juga nama samaran "Raja Matematik." Dan segala-galanya yang bijak, seperti yang anda tahu, adalah mudah! Ngomong-ngomong, bukan sahaja penghisap mendapat wang, tetapi juga jenius - potret Gauss berada pada wang kertas 10 Deutschmark (sebelum pengenalan euro), dan Gauss masih tersenyum secara misteri kepada orang Jerman dari setem pos biasa. Kaedah Gauss adalah mudah kerana PENGETAHUAN MURID DARJAH LIMA CUKUP untuk menguasainya. Anda mesti tahu cara menambah dan mendarab! Bukan kebetulan bahawa guru sering mempertimbangkan kaedah pengecualian berurutan yang tidak diketahui dalam elektif matematik sekolah. Ia satu paradoks, tetapi pelajar mendapati kaedah Gaussian paling sukar. Tiada apa-apa yang mengejutkan - ini semua tentang metodologi, dan saya akan cuba bercakap tentang algoritma kaedah dalam bentuk yang boleh diakses. Pertama, mari kita sistematikkan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear boleh: 1) Mempunyai penyelesaian yang unik. Kaedah Gauss ialah alat yang paling berkuasa dan universal untuk mencari penyelesaian mana-mana sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Kaedah peraturan dan matriks Cramer tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Dan kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita kepada jawapan! Dalam pelajaran ini, kita sekali lagi akan mempertimbangkan kaedah Gauss untuk kes No. 1 (satu-satunya penyelesaian kepada sistem), artikel ditumpukan kepada situasi mata No. 2-3. Saya perhatikan bahawa algoritma kaedah itu sendiri berfungsi sama dalam ketiga-tiga kes. Mari kita kembali kepada sistem yang paling mudah dari pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear? Langkah pertama ialah menulis matriks sistem lanjutan: Rujukan:
Saya cadangkan anda ingatsyarat
algebra linear.Matriks Sistem
ialah matriks yang hanya terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem:
.
Matriks Sistem Lanjutan
– ini adalah matriks sistem yang sama ditambah lajur istilah bebas, dalam kes ini:
. Untuk ringkasnya, mana-mana matriks boleh dipanggil matriks. Selepas sistem matriks lanjutan ditulis, perlu melakukan beberapa tindakan dengannya, yang juga dipanggil transformasi asas. Transformasi asas berikut wujud: 1) rentetan matriks boleh disusun semula di beberapa tempat. Sebagai contoh, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, anda boleh menyusun semula baris pertama dan kedua tanpa rasa sakit: 2) Jika terdapat (atau telah muncul) baris berkadar (sebagai kes khas - serupa) dalam matriks, maka anda harus padam daripada matriks semua baris ini kecuali satu. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks 3) Jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga sepatutnya padam. Saya tidak akan melukis, sudah tentu, garis sifar ialah garisan di mana semua sifar. 4) Baris matriks boleh darab (bahagi) kepada sebarang nombor bukan sifar. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Di sini adalah dinasihatkan untuk membahagikan baris pertama dengan –3, dan darab baris kedua dengan 2: 5) Transformasi ini menyebabkan paling sukar, tetapi sebenarnya tidak ada yang rumit sama ada. Kepada barisan matriks anda boleh tambah satu lagi rentetan yang didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar. Mari lihat matriks kami dari contoh praktikal: . Mula-mula saya akan menerangkan transformasi dengan terperinci. Darab baris pertama dengan –2: Dalam amalan, sudah tentu, mereka tidak menulisnya secara terperinci, tetapi menulisnya secara ringkas: "Saya menulis semula matriks dan menulis semula baris pertama: " “Lajur pertama. Di bahagian bawah saya perlu mendapat sifar. Oleh itu, saya darabkan yang di bahagian atas dengan –2: , dan menambah yang pertama ke baris kedua: 2 + (–2) = 0. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: “Sekarang ruangan kedua. Di bahagian atas, saya darab -1 dengan -2: . Saya menambah yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: " “Dan lajur ketiga. Di bahagian atas saya darab -5 dengan -2: . Saya menambah yang pertama pada baris kedua: –7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: Sila fahami contoh ini dengan teliti dan fahami algoritma pengiraan berjujukan, jika anda memahami ini, maka kaedah Gaussian boleh didapati di dalam poket anda. Tetapi, sudah tentu, kami masih akan mengusahakan transformasi ini. Transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan ! PERHATIAN: dianggap manipulasi tak boleh guna, jika anda ditawarkan tugas di mana matriks diberikan "sendiri". Contohnya, dengan "klasik" operasi dengan matriks Dalam apa jua keadaan, anda tidak boleh menyusun semula apa-apa di dalam matriks! Mari kembali ke sistem kami. Ia hampir selesai. Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, kurangkan kepada pandangan melangkah: (1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. By the way, kenapa kita darab baris pertama dengan –2? Untuk mendapatkan sifar di bahagian bawah, yang bermaksud menyingkirkan satu pembolehubah dalam baris kedua. (2) Bahagikan baris kedua dengan 3. Tujuan transformasi asas–
kurangkan matriks kepada bentuk berperingkat: Hasil daripada transformasi asas, kami memperoleh bersamaan sistem persamaan asal: Kini sistem perlu "dilepaskan" ke arah yang bertentangan - dari bawah ke atas, proses ini dipanggil songsang kaedah Gaussian. Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah mempunyai hasil siap sedia: . Mari kita pertimbangkan persamaan pertama sistem dan gantikan nilai "y" yang telah diketahui ke dalamnya: Mari kita pertimbangkan situasi yang paling biasa, apabila kaedah Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga yang tidak diketahui. Contoh 1 Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss: Mari kita tulis matriks lanjutan sistem: Sekarang saya akan segera melukis hasil yang akan kami perolehi semasa penyelesaian: Pertama, lihat nombor kiri atas: Sekarang baris pertama akan kekal tidak berubah sehingga akhir penyelesaian. Sekarang baik. Unit di penjuru kiri sebelah atas disusun. Kini anda perlu mendapatkan sifar di tempat ini: Kami mendapat sifar menggunakan transformasi "sukar". Mula-mula kita berurusan dengan baris kedua (2, -1, 3, 13). Apakah yang perlu dilakukan untuk mendapatkan sifar pada kedudukan pertama? Perlu ke baris kedua tambah baris pertama didarab dengan –2. Secara mental atau pada draf, darab baris pertama dengan –2: (–2, –4, 2, –18). Dan kami secara konsisten melaksanakan (sekali lagi secara mental atau pada draf) tambahan, ke baris kedua kita tambah baris pertama, sudah didarab dengan –2: Kami menulis hasilnya dalam baris kedua: Kami berurusan dengan baris ketiga dengan cara yang sama (3, 2, -5, -1). Untuk mendapatkan sifar dalam kedudukan pertama, anda perlukan ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan –3. Secara mental atau pada draf, darab baris pertama dengan –3: (–3, –6, 3, –27). DAN ke baris ketiga kita tambah baris pertama didarab dengan –3: Kami menulis hasilnya dalam baris ketiga: Dalam amalan, tindakan ini biasanya dilakukan secara lisan dan ditulis dalam satu langkah: Tidak perlu mengira semuanya sekaligus dan pada masa yang sama. Susunan pengiraan dan "menulis dalam" keputusan konsisten dan selalunya begini: mula-mula kita tulis semula baris pertama, dan perlahan-lahan menghembus diri - SECARA KONSISTEN dan SECARA PERHATIAN: Dalam contoh ini, ini mudah dilakukan; kami membahagikan baris kedua dengan –5 (kerana semua nombor di sana boleh dibahagi dengan 5 tanpa baki). Pada masa yang sama, kami membahagikan baris ketiga dengan –2, kerana lebih kecil nombor, lebih mudah penyelesaiannya: Pada peringkat akhir transformasi asas, anda perlu mendapatkan satu lagi sifar di sini: Untuk ini ke baris ketiga kita tambah baris kedua didarab dengan –2: Tindakan terakhir yang dilakukan ialah gaya rambut hasilnya, bahagikan baris ketiga dengan 3. Hasil daripada transformasi asas, sistem persamaan linear yang setara telah diperolehi: Kini kebalikan kaedah Gaussian mula dimainkan. Persamaan "berehat" dari bawah ke atas. Dalam persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil sedia: Mari kita lihat persamaan kedua: . Makna "zet" sudah diketahui, oleh itu: Dan akhirnya, persamaan pertama: . "Igrek" dan "zet" diketahui, ia hanya soal perkara kecil: Jawapan: Seperti yang telah dinyatakan beberapa kali, untuk mana-mana sistem persamaan adalah mungkin dan perlu untuk menyemak penyelesaian yang ditemui, mujurlah, ini mudah dan cepat. Contoh 2 Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran. Perlu diingatkan bahawa anda kemajuan keputusan mungkin tidak bertepatan dengan proses keputusan saya, dan ini adalah ciri kaedah Gauss. Tetapi jawapannya mesti sama! Contoh 3 Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat: Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita sepatutnya mempunyai satu di sana. Masalahnya ialah tiada unit dalam lajur pertama sama sekali, jadi menyusun semula baris tidak akan menyelesaikan apa-apa. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini: (1) Pada baris pertama kita tambahkan baris kedua, didarab dengan –1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan –1 dan menambah baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah. Kini bahagian atas sebelah kiri ialah -1, yang sesuai dengan kami. Sesiapa sahaja yang ingin mendapatkan +1 boleh melakukan pergerakan tambahan: darab baris pertama dengan –1 (tukar tandanya). (2) Baris pertama didarab dengan 5 telah ditambah pada baris kedua. Baris pertama didarab dengan 3 telah ditambah pada baris ketiga. (3) Baris pertama didarab dengan –1, pada dasarnya, ini adalah untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga ditukar dan ia dipindahkan ke tempat kedua, supaya pada "langkah" kedua kami mempunyai unit yang diperlukan. (4) Baris kedua ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan 2. (5) Baris ketiga dibahagikan dengan 3. Tanda buruk yang menunjukkan ralat dalam pengiraan (lebih jarang, kesilapan menaip) ialah garis bawah "buruk". Iaitu, jika kita mendapat sesuatu seperti , di bawah, dan, sewajarnya, Kami mengecas sebaliknya, dalam reka bentuk contoh mereka sering tidak menulis semula sistem itu sendiri, tetapi persamaan "diambil terus dari matriks yang diberikan." Langkah terbalik, saya ingatkan anda, berfungsi, dari bawah ke atas: Jawapan: Contoh 4 Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, ia agak rumit. Tidak mengapa jika ada yang keliru. Reka bentuk penyelesaian dan sampel penuh pada akhir pelajaran. Penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya. Pada bahagian terakhir kita akan melihat beberapa ciri algoritma Gaussian. Ciri kedua ialah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami meletakkan sama ada -1 atau +1 pada "langkah". Mungkinkah ada nombor lain di sana? Dalam beberapa kes mereka boleh. Pertimbangkan sistem: Di sini di sebelah kiri atas "langkah" kita mempunyai dua. Tetapi kita perhatikan hakikat bahawa semua nombor dalam lajur pertama boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki - dan satu lagi ialah dua dan enam. Dan dua di kiri atas akan sesuai dengan kita! Dalam langkah pertama, anda perlu melakukan transformasi berikut: tambah baris pertama didarab dengan –1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan –3. Dengan cara ini kita akan mendapat sifar yang diperlukan dalam lajur pertama. Atau contoh konvensional lain: Kaedah Gauss adalah universal, tetapi terdapat satu keanehan. Anda dengan yakin boleh belajar menyelesaikan sistem menggunakan kaedah lain (kaedah Cramer, kaedah matriks) secara literal pada kali pertama - mereka mempunyai algoritma yang sangat ketat. Tetapi untuk merasa yakin dengan kaedah Gaussian, anda harus "memasukkan gigi anda" dan menyelesaikan sekurang-kurangnya 5-10 sepuluh sistem. Oleh itu, pada mulanya mungkin terdapat kekeliruan dan kesilapan dalam pengiraan, dan tidak ada yang luar biasa atau tragis tentang ini. Cuaca musim luruh hujan di luar tingkap.... Oleh itu, untuk semua orang yang mahukan contoh yang lebih kompleks untuk diselesaikan sendiri: Contoh 5 Selesaikan sistem 4 persamaan linear dengan empat tidak diketahui menggunakan kaedah Gauss. Tugas sedemikian tidak begitu jarang dalam amalan. Saya fikir walaupun teko yang telah mengkaji halaman ini dengan teliti akan memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem sedemikian secara intuitif. Pada asasnya, semuanya adalah sama - hanya terdapat lebih banyak tindakan. Kes apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten) atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga dibincangkan dalam pelajaran Sistem dan sistem yang tidak serasi dengan penyelesaian yang sama. Di sana anda boleh membetulkan algoritma kaedah Gaussian yang dipertimbangkan. Semoga anda berjaya! Penyelesaian dan jawapan: Contoh 2: Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat. terbalik:
Contoh 4: Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat: Penukaran dilakukan: Dengan "langkah" kedua semuanya menjadi lebih teruk
, "calon" untuknya ialah nombor 17 dan 23, dan kami memerlukan sama ada satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) akan bertujuan untuk mendapatkan unit yang dikehendaki (3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –1. Kaedah matriks Penyelesaian SLAU digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan di mana bilangan persamaan sepadan dengan bilangan yang tidak diketahui. Kaedah ini paling baik digunakan untuk menyelesaikan sistem pesanan rendah. Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah berdasarkan aplikasi sifat pendaraban matriks. Kaedah ini, dengan kata lain kaedah matriks songsang, dipanggil sedemikian kerana penyelesaiannya berkurang kepada persamaan matriks biasa, untuk menyelesaikan yang anda perlukan untuk mencari matriks songsang. Kaedah penyelesaian matriks SLAE dengan penentu yang lebih besar atau kurang daripada sifar adalah seperti berikut: Katakan terdapat SLE (sistem persamaan linear) dengan n tidak diketahui (melalui medan sewenang-wenangnya): Ini bermakna ia boleh ditukar dengan mudah ke dalam bentuk matriks: AX=B, Di mana A- matriks utama sistem, B Dan X— lajur terma percuma dan penyelesaian sistem, masing-masing: Mari kita darabkan persamaan matriks ini dari kiri dengan A−1— matriks songsang kepada matriks A: A −1 (AX)=A −1 B. Kerana A −1 A=E, Bermaksud, X=A −1 B. Bahagian kanan persamaan memberikan lajur penyelesaian sistem awal. Syarat untuk kebolehgunaan kaedah matriks ialah matriks bukan degenerasi A. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ini ialah penentu matriks tidak sama dengan sifar A: detA≠0. Untuk sistem persamaan linear homogen, iaitu jika vektor B=0, peraturan bertentangan memegang: sistem AX=0 terdapat penyelesaian bukan remeh (iaitu tidak sama dengan sifar) hanya apabila detA=0. Hubungan antara penyelesaian sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan linear dipanggil alternatif Fredholm. Oleh itu, penyelesaian SLAE menggunakan kaedah matriks dijalankan mengikut formula Adalah diketahui bahawa untuk matriks persegi A pesanan n pada n terdapat matriks songsang A−1 hanya jika penentunya bukan sifar. Oleh itu, sistem n persamaan algebra linear dengan n Kami menyelesaikan perkara yang tidak diketahui menggunakan kaedah matriks hanya jika penentu matriks utama sistem tidak sama dengan sifar. Walaupun fakta bahawa terdapat batasan pada kebolehgunaan kaedah sedemikian dan kesukaran pengiraan untuk nilai pekali dan sistem pesanan tinggi yang besar, kaedah itu boleh dilaksanakan dengan mudah pada komputer. Mula-mula, mari kita semak sama ada penentu matriks pekali SLAE yang tidak diketahui adalah tidak sama dengan sifar. Sekarang kita dapati matriks kesatuan, alihkan dan gantikannya ke dalam formula untuk menentukan matriks songsang. Gantikan pembolehubah ke dalam formula: Sekarang kita mencari yang tidak diketahui dengan mendarabkan matriks songsang dan lajur sebutan bebas. Jadi, x=2; y=1; z=4. Apabila beralih daripada bentuk biasa SLAE ke bentuk matriks, berhati-hati dengan susunan pembolehubah yang tidak diketahui dalam persamaan sistem. Sebagai contoh: Ia TIDAK BOLEH ditulis sebagai: Pertama sekali, adalah perlu untuk menyusun pembolehubah yang tidak diketahui dalam setiap persamaan sistem dan hanya selepas itu meneruskan ke tatatanda matriks: Di samping itu, anda perlu berhati-hati dengan penetapan pembolehubah yang tidak diketahui, sebaliknya x 1, x 2 , …, x n mungkin ada surat lain. Cth: dalam bentuk matriks kita menulisnya seperti ini: Kaedah matriks adalah lebih baik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di mana bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem tidak sama dengan sifar. Apabila terdapat lebih daripada 3 persamaan dalam sistem, mencari matriks songsang akan memerlukan lebih banyak usaha pengiraan, oleh itu, dalam kes ini, adalah dinasihatkan untuk menggunakan kaedah Gaussian untuk menyelesaikannya. (kadang-kadang kaedah ini juga dipanggil kaedah matriks atau kaedah matriks songsang) memerlukan pengenalan awal dengan konsep seperti bentuk matriks tatatanda SLAE. Kaedah matriks songsang bertujuan untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana penentu matriks sistem adalah berbeza daripada sifar. Sememangnya, ini mengandaikan bahawa matriks sistem adalah segi empat sama (konsep penentu hanya wujud untuk matriks segi empat sama). Intipati kaedah matriks songsang boleh dinyatakan dalam tiga perkara: Mana-mana SLAE boleh ditulis dalam bentuk matriks sebagai $A\cdot X=B$, dengan $A$ ialah matriks sistem, $B$ ialah matriks sebutan bebas, $X$ ialah matriks yang tidak diketahui. Biarkan matriks $A^(-1)$ wujud. Mari kita darabkan kedua-dua belah kesamaan $A\cdot X=B$ dengan matriks $A^(-1)$ di sebelah kiri: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Oleh kerana $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ ialah matriks identiti), kesamaan di atas menjadi: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Oleh kerana $E\cdot X=X$, maka: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Contoh No. 1 Selesaikan SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ menggunakan matriks songsang. $$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$ Mari kita cari matriks songsang kepada matriks sistem, i.e. Mari kita hitung $A^(-1)$. Dalam contoh No. 2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan) . $$ Sekarang mari kita gantikan ketiga-tiga matriks ($X$, $A^(-1)$, $B$) ke dalam kesamaan $X=A^(-1)\cdot B$. Kemudian kita melakukan pendaraban matriks $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan)\cdot \left(\mula(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\kanan)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\kanan). $$ Jadi, kami mendapat kesamaan $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( tatasusunan )\kanan)$. Daripada kesamarataan ini kita ada: $x_1=-3$, $x_2=2$. Jawab: $x_1=-3$, $x_2=2$. Contoh No. 2 Selesaikan SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ menggunakan kaedah matriks songsang. Mari kita tuliskan matriks sistem $A$, matriks sebutan bebas $B$ dan matriks yang tidak diketahui $X$. $$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\kanan);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$ Kini giliran untuk mencari matriks songsang kepada matriks sistem, i.e. cari $A^(-1)$. Dalam contoh No. 3 pada halaman khusus untuk mencari matriks songsang, matriks songsang telah pun ditemui. Mari gunakan hasil siap dan tulis $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\mula(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array)\kanan). $$ Sekarang mari kita gantikan ketiga-tiga matriks ($X$, $A^(-1)$, $B$) ke dalam kesamaan $X=A^(-1)\cdot B$, dan kemudian lakukan pendaraban matriks di sebelah kanan kesamarataan ini. $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\kanan) $$ Jadi, kami mendapat kesamaan $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\kanan)$. Daripada kesamarataan ini kita ada: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
.
, di manakah matriks terpindah bagi pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan.
Iaitu, subskrip berganda menunjukkan bahawa elemen berada dalam baris pertama, lajur ketiga, dan, sebagai contoh, elemen berada dalam 3 baris, 2 lajur.
– matriks bawah umur unsur-unsur matriks yang sepadan.
Kadang-kadang ia mungkin tidak terpisah sepenuhnya, i.e. boleh mengakibatkan pecahan "buruk". Saya sudah memberitahu anda apa yang perlu dilakukan dalam kes sedemikian apabila kami meneliti peraturan Cramer.
2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
3) Tidak mempunyai penyelesaian (jadi bukan sendi).
dan selesaikannya menggunakan kaedah Gaussian.
. Saya fikir semua orang boleh melihat dengan prinsip apakah pekali ditulis. Garis menegak di dalam matriks tidak mempunyai apa-apa makna matematik - ia hanyalah coretan untuk memudahkan reka bentuk.
. Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah berkadar, jadi cukup untuk meninggalkan hanya satu daripadanya: 
.
. Tindakan ini sangat berguna kerana ia memudahkan transformasi selanjutnya matriks.
, Dan ke baris kedua kita tambah baris pertama didarab dengan –2: . Sekarang baris pertama boleh dibahagikan "kembali" dengan –2: . Seperti yang anda lihat, baris yang DITAMBAH LI – tidak berubah. Sentiasa baris KEPADA YANG DITAMBAH berubah UT.
Sekali lagi: ke baris kedua menambah baris pertama didarab dengan –2. Garis biasanya didarab secara lisan atau pada draf, dengan proses pengiraan mental berjalan seperti ini:
» »
. Dalam reka bentuk tugas, mereka hanya menandakan "tangga" dengan pensil mudah, dan juga membulatkan nombor yang terletak pada "langkah". Istilah "pandangan berperingkat" itu sendiri tidak sepenuhnya teori; dalam kesusasteraan saintifik dan pendidikan ia sering dipanggil pandangan trapezoid atau pandangan segi tiga.
Dan saya ulangi, matlamat kami adalah untuk membawa matriks ke bentuk berperingkat menggunakan transformasi asas. Di mana hendak bermula?
Hampir selalu ada di sini unit. Secara umumnya, -1 (dan kadangkala nombor lain) akan berjaya, tetapi entah bagaimana secara tradisinya berlaku bahawa nombor itu biasanya diletakkan di sana. Bagaimana untuk mengatur unit? Kami melihat lajur pertama - kami mempunyai unit siap! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga: 
Dan saya telah membincangkan proses mental pengiraan itu sendiri di atas.
Cuba fikirkan sendiri tindakan ini - darab baris kedua secara mental dengan –2 dan lakukan penambahan.
Sejuk.
, maka dengan tahap kebarangkalian yang tinggi kita boleh mengatakan bahawa ralat telah dibuat semasa transformasi asas.
Ya, inilah hadiahnya: 
.
Ciri pertama ialah kadangkala beberapa pembolehubah hilang daripada persamaan sistem, contohnya: 
Bagaimana untuk menulis matriks sistem lanjutan dengan betul? Saya sudah bercakap tentang perkara ini di dalam kelas. Peraturan Cramer. Kaedah matriks. Dalam matriks lanjutan sistem, kami meletakkan sifar sebagai ganti pembolehubah yang hilang: 
Ngomong-ngomong, ini adalah contoh yang agak mudah, kerana lajur pertama sudah mempunyai satu sifar, dan terdapat lebih sedikit transformasi asas untuk dilakukan. .
. Di sini tiga pada "langkah" kedua juga sesuai dengan kita, kerana 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan sifar) boleh dibahagikan dengan 3 tanpa baki. Ia adalah perlu untuk menjalankan transformasi berikut: tambah baris kedua ke baris ketiga, didarab dengan -4, akibatnya sifar yang kita perlukan akan diperolehi.
Transformasi asas dilakukan:
(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan -1.Perhatian!
Di sini anda mungkin tergoda untuk menolak yang pertama dari baris ketiga; Saya sangat mengesyorkan agar tidak menolaknya - risiko ralat meningkat dengan ketara. Lipat sahaja!
(2) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar.Nota
, bahawa pada "langkah" kita berpuas hati bukan sahaja dengan satu, tetapi juga dengan -1, yang lebih mudah.
(3) Baris kedua ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan 5.
(4) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan –1). Baris ketiga dibahagikan dengan 14.
Jawapan: 
.
(1) Baris kedua telah ditambah pada baris pertama. Oleh itu, unit yang dikehendaki disusun di sebelah kiri atas "langkah".
(2) Baris pertama didarab dengan 7 ditambah pada baris kedua. Baris pertama didarab dengan 6 ditambah kepada baris ketiga.
(4) Baris ketiga ditambah pada baris kedua, didarab dengan –3.
Item yang diperlukan pada langkah kedua telah diterima.
.
(5) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 6.
(6) Baris kedua didarab dengan –1, baris ketiga dibahagi dengan -83. Jelas sekali bahawa pesawat itu ditakrifkan secara unik oleh tiga titik berbeza yang tidak terletak pada garisan yang sama. Oleh itu, sebutan tiga huruf pesawat agak popular - dengan mata kepunyaan mereka, sebagai contoh, ; .Jika ahli percuma
. Atau, penyelesaian kepada SLAE didapati menggunakan matriks songsang A−1.Contoh penyelesaian SLAE tidak homogen.
