Sudut antara garis lurus melalui pekali. Sudut antara garis bersilang: definisi, contoh penemuan

Saya akan bagi ringkas. Sudut antara dua garis lurus adalah sama dengan sudut antara vektor arah mereka. Oleh itu, jika anda berjaya mencari koordinat bagi vektor arah a = (x 1 ; y 1 ; z 1) dan b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), anda boleh mencari sudut. Lebih tepat lagi, kosinus sudut mengikut formula:

Mari lihat cara formula ini berfungsi menggunakan contoh khusus:

Tugasan. Dalam kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, titik E dan F ditanda - masing-masing titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1. Cari sudut antara garis AE dan BF.

Memandangkan tepi kubus tidak dinyatakan, mari kita tetapkan AB = 1. Kami memperkenalkan sistem koordinat piawai: asalan adalah pada titik A, paksi x, y, z diarahkan di sepanjang AB, AD dan AA 1, masing-masing. Segmen unit adalah sama dengan AB = 1. Sekarang mari kita cari koordinat vektor arah untuk garisan kita.

Mari cari koordinat vektor AE. Untuk ini kita memerlukan mata A = (0; 0; 0) dan E = (0.5; 0; 1). Oleh kerana titik E ialah tengah segmen A 1 B 1, koordinatnya adalah sama dengan min aritmetik bagi koordinat hujungnya. Ambil perhatian bahawa asal vektor AE bertepatan dengan asal koordinat, jadi AE = (0.5; 0; 1).

Sekarang mari kita lihat vektor BF. Begitu juga, kami menganalisis mata B = (1; 0; 0) dan F = (1; 0.5; 1), kerana F ialah tengah segmen B 1 C 1. Kami ada:
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1).

Jadi, vektor arah sudah sedia. Kosinus sudut antara garis lurus ialah kosinus sudut antara vektor arah, jadi kita mempunyai:

Tugasan. Dalam prisma segi tiga biasa ABCA 1 B 1 C 1, semua tepi yang sama dengan 1, titik D dan E ditanda - titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing. Cari sudut antara garis AD dan BE.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat piawai: asalan adalah pada titik A, paksi x diarahkan sepanjang AB, z - sepanjang AA 1. Mari kita halakan paksi-y supaya satah OXY bertepatan dengan satah ABC. Segmen unit adalah sama dengan AB = 1. Mari kita cari koordinat vektor arah untuk garisan yang diperlukan.

Mula-mula, mari cari koordinat vektor AD. Pertimbangkan mata: A = (0; 0; 0) dan D = (0.5; 0; 1), kerana D - tengah segmen A 1 B 1. Oleh kerana permulaan vektor AD bertepatan dengan asal koordinat, kita memperoleh AD = (0.5; 0; 1).

Sekarang mari kita cari koordinat vektor BE. Titik B = (1; 0; 0) mudah dikira. Dengan titik E - tengah segmen C 1 B 1 - ia lebih rumit sedikit. Kami ada:

Ia kekal untuk mencari kosinus sudut:

Tugasan. Dalam prisma heksagon sekata ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , semua tepi yang sama dengan 1, titik K dan L ditanda - titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing. . Cari sudut antara garis AK dan BL.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat piawai untuk prisma: kita letakkan asal koordinat di tengah tapak bawah, paksi x diarahkan sepanjang FC, paksi y diarahkan melalui titik tengah segmen AB dan DE, dan z paksi diarahkan menegak ke atas. Segmen unit sekali lagi sama dengan AB = 1. Mari kita tuliskan koordinat tempat yang menarik kepada kita:

Titik K dan L ialah titik tengah bagi segmen A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing, jadi koordinatnya ditemui melalui min aritmetik. Mengetahui titik, kita dapati koordinat bagi vektor arah AK dan BL:

Sekarang mari kita cari kosinus sudut:

Tugasan. Dalam piramid segi empat biasa biasa SABCD, semua tepi yang sama dengan 1, titik E dan F ditanda - titik tengah sisi SB dan SC, masing-masing. Cari sudut antara garis AE dan BF.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat piawai: asalan adalah pada titik A, paksi x dan y masing-masing diarahkan sepanjang AB dan AD, dan paksi z diarahkan secara menegak ke atas. Segmen unit adalah sama dengan AB = 1.

Titik E dan F masing-masing ialah titik tengah bagi segmen SB dan SC, jadi koordinatnya didapati sebagai min aritmetik bagi hujungnya. Mari tuliskan koordinat tempat-tempat menarik kepada kami:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Mengetahui titik, kita dapati koordinat bagi vektor arah AE dan BF:

Koordinat vektor AE bertepatan dengan koordinat titik E, kerana titik A ialah asalan. Ia kekal untuk mencari kosinus sudut:

Oh-oh-oh-oh-oh... baik, sukar, seolah-olah dia membaca ayat untuk dirinya sendiri =) Namun, kelonggaran akan membantu kemudian, terutamanya sejak hari ini saya membeli aksesori yang sesuai. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya berharap pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Kedudukan relatif dua garis lurus

Ini berlaku apabila penonton menyanyi bersama dalam korus. Dua garis lurus boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : Sila ingat tanda persimpangan matematik, ia akan muncul dengan kerap. Notasi bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik .

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali sepadannya adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" supaya kesamaan itu dipenuhi

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan cipta tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan –1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan dipotong dengan 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua, apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya adalah berkadar: , Tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, ia agak jelas.

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIADA nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan itu dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan mencipta sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , yang bermaksud sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pembolehubah adalah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, anda boleh menggunakan skema penyelesaian yang baru dibincangkan. Ngomong-ngomong, ia sangat mengingatkan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami lihat di dalam kelas Konsep kebergantungan linear (dalam) vektor. Asas vektor. Tetapi terdapat pembungkusan yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, yang bermaksud bahawa vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti lebih jauh, terus ke Kashchei the Immortal =)

b) Cari vektor arah garis:

Garisan mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau bertepatan. Tidak perlu mengira penentu di sini.

Jelas sekali bahawa pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, dan .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Oleh itu,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Pekali perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memenuhi persamaan ini (sebarang nombor secara umum memenuhinya).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau sudah pun belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dibincangkan secara lisan secara literal dalam masa beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak nampak apa-apa guna menawarkan apa-apa untuk penyelesaian bebas; lebih baik meletakkan satu lagi bata penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk membina garis selari dengan yang diberikan?

Kerana kejahilan tentang tugas paling mudah ini, Nightingale si Perompak menghukum dengan keras.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Mari kita nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan keadaan tentang dia? Garis lurus melalui titik itu. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor arah garis lurus "tse" juga sesuai untuk membina garis lurus "de".

Kami mengambil vektor arah daripada persamaan:

Jawab:

Contoh geometri kelihatan mudah:

Ujian analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Dalam kebanyakan kes, ujian analitik boleh dilakukan secara lisan dengan mudah. Lihatlah dua persamaan, dan ramai di antara anda akan dengan cepat menentukan keselarian garisan tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk penyelesaian bebas hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta pelbagai teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Terdapat cara yang rasional dan tidak begitu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami bekerja sedikit dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garis bertepatan adalah kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang sangat biasa kepada anda dari kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Di sini anda pergi makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui- ini adalah dua garis bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Kaedah grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian kepada sistem. Pada asasnya, kami melihat penyelesaian grafik sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk mencipta lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persimpangan itu sendiri mungkin terletak di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan menggunakan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan demi sebutan bagi persamaan telah digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang relevan, ambil pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Semakan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Adalah mudah untuk membahagikan tugas kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Tuliskan persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometri, dan saya akan berulang kali memfokuskan pada perkara ini.

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran:

Tidak ada sepasang kasut pun yang haus sebelum kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garis lurus

Mari kita mulakan dengan tugas biasa dan sangat penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang ini, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk membina garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan berserenjang dengan garis yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Dengan syarat diketahui bahawa . Alangkah baiknya untuk mencari vektor pengarah baris. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kembangkan lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Kami mengeluarkan vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab skalar bagi vektor kita sampai pada kesimpulan bahawa garis-garis itu memang berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Ujian itu, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang jika persamaan diketahui dan tempoh.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam masalah, jadi mudah untuk merumuskan penyelesaian titik demi titik.

Perjalanan menarik kami diteruskan:

Jarak dari titik ke garisan

Kami mempunyai jalur sungai yang lurus di hadapan kami dan tugas kami adalah untuk pergi ke sana dengan laluan terpendek. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah untuk bergerak di sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani “rho”, contohnya: – jarak dari titik “em” ke garis lurus “de”.

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: apa yang anda perlu lakukan ialah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan menjalankan pengiraan:

Jawab:

Mari buat lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda melukis lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. = 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Mari kita pertimbangkan tugas lain berdasarkan lukisan yang sama:

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik yang simetri kepada titik berbanding dengan garis lurus . Saya cadangkan anda melakukan langkah-langkah itu sendiri, tetapi saya akan menggariskan algoritma penyelesaian dengan hasil perantaraan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat titik tengah segmen kita dapati .

Adalah idea yang baik untuk menyemak bahawa jaraknya juga 2.2 unit.

Kesukaran mungkin timbul dalam pengiraan di sini, tetapi mikrokalkulator adalah bantuan besar dalam menara, membolehkan anda mengira pecahan biasa. Saya telah menasihati anda berkali-kali dan akan mengesyorkan anda sekali lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk anda membuat keputusan sendiri. Saya akan memberi anda sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk menyelesaikannya. Memberi taklimat pada akhir pelajaran, tetapi lebih baik anda cuba meneka sendiri, saya rasa kepintaran anda telah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Setiap sudut adalah jamb:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut "raspberi".

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah sudut "menatal" pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, contohnya jika .

Mengapa saya memberitahu anda ini? Nampaknya kita boleh bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Hakikatnya ialah formula yang kita akan cari sudut boleh dengan mudah menghasilkan keputusan negatif, dan ini tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Dalam lukisan, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan anak panah (mengikut arah jam).

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis lurus? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian Dan Kaedah satu

Mari kita pertimbangkan dua garis lurus yang ditakrifkan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak berserenjang, Itu berorientasikan Sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Marilah kita perhatikan dengan teliti penyebutnya - ini betul-betul produk skalar mengarah vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut formula menjadi sifar, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketidakserenjangan garis lurus dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, adalah mudah untuk memformalkan penyelesaian dalam dua langkah:

1) Mari kita hitung hasil kali skalar bagi vektor arah garis:
, yang bermaksud garisan tidak berserenjang.

2) Cari sudut antara garis lurus menggunakan formula:

Menggunakan fungsi songsang adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan arctangent (lihat. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapan anda, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam kedua-dua darjah dan radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, tolak, bukan masalah besar. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam penyataan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "membuka skru" sudut bermula tepat dengannya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garisan, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama. Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .

Ia berguna untuk setiap pelajar yang sedang bersiap untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik untuk mengulang topik "Mencari sudut antara garis lurus." Seperti yang ditunjukkan oleh statistik, apabila lulus ujian pensijilan, tugasan dalam bahagian stereometri ini menyebabkan kesukaran kepada sebilangan besar pelajar. Pada masa yang sama, tugasan yang memerlukan mencari sudut antara garis lurus ditemui dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu pada kedua-dua peringkat asas dan khusus. Ini bermakna semua orang harus dapat menyelesaikannya.

Detik asas

Terdapat 4 jenis kedudukan relatif garisan dalam ruang. Mereka boleh bertepatan, bersilang, selari atau bersilang. Sudut di antara mereka boleh menjadi akut atau lurus.

Untuk mencari sudut antara garisan dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu atau, sebagai contoh, dalam penyelesaian, pelajar sekolah di Moscow dan bandar lain boleh menggunakan beberapa cara untuk menyelesaikan masalah dalam bahagian stereometri ini. Anda boleh menyelesaikan tugas menggunakan pembinaan klasik. Untuk melakukan ini, adalah bernilai mempelajari aksiom asas dan teorem stereometri. Pelajar perlu boleh membuat penaakulan secara logik dan mencipta lukisan untuk membawa tugasan kepada masalah planimetrik.

Anda juga boleh menggunakan kaedah vektor koordinat menggunakan formula, peraturan dan algoritma mudah. Perkara utama dalam kes ini ialah melakukan semua pengiraan dengan betul. Projek pendidikan Shkolkovo akan membantu anda mengasah kemahiran menyelesaikan masalah anda dalam stereometri dan bahagian lain kursus sekolah.

Bahan ini ditumpukan kepada konsep seperti sudut antara dua garis bersilang. Dalam perenggan pertama kami akan menerangkan apa itu dan menunjukkannya dalam ilustrasi. Kemudian kita akan melihat cara di mana anda boleh mencari sinus, kosinus sudut ini dan sudut itu sendiri (kami akan mempertimbangkan secara berasingan kes dengan satah dan ruang tiga dimensi), kami akan memberikan formula yang diperlukan dan menunjukkan dengan contoh dengan tepat bagaimana ia digunakan dalam amalan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Untuk memahami sudut yang terbentuk apabila dua garis bersilang, kita perlu mengingati definisi sudut, keserenjangan dan titik persilangan.

Definisi 1

Kami memanggil dua garisan bersilang jika mereka mempunyai satu titik sepunya. Titik ini dipanggil titik persilangan dua garis.

Setiap garis lurus dibahagikan dengan titik persilangan kepada sinar. Kedua-dua garis lurus membentuk 4 sudut, dua daripadanya menegak, dan dua bersebelahan. Jika kita mengetahui ukuran salah satu daripadanya, maka kita boleh menentukan yang selebihnya.

Katakan kita tahu bahawa salah satu sudut adalah sama dengan α. Dalam kes ini, sudut yang menegak berkenaan dengannya juga akan sama dengan α. Untuk mencari sudut yang tinggal, kita perlu mengira perbezaan 180 ° - α. Jika α sama dengan 90 darjah, maka semua sudut akan menjadi sudut tegak. Garisan yang bersilang pada sudut tepat dipanggil berserenjang (artikel berasingan dikhaskan untuk konsep keserenjangan).

Tengok gambar:

Mari kita beralih kepada merumuskan definisi utama.

Definisi 2

Sudut yang dibentuk oleh dua garis bersilang adalah ukuran yang lebih kecil daripada 4 sudut yang membentuk dua garis ini.

Kesimpulan penting mesti dibuat daripada definisi: saiz sudut dalam kes ini akan dinyatakan dengan sebarang nombor nyata dalam selang (0, 90). Jika garisan berserenjang, maka sudut di antara mereka dalam apa jua keadaan akan menjadi. sama dengan 90 darjah.

Keupayaan untuk mencari ukuran sudut antara dua garis bersilang berguna untuk menyelesaikan banyak masalah praktikal. Kaedah penyelesaian boleh dipilih daripada beberapa pilihan.

Sebagai permulaan, kita boleh mengambil kaedah geometri. Jika kita mengetahui sesuatu tentang sudut tambahan, maka kita boleh mengaitkannya dengan sudut yang kita perlukan menggunakan sifat-sifat angka yang sama atau serupa. Sebagai contoh, jika kita mengetahui sisi segitiga dan perlu mengira sudut antara garis di mana sisi ini terletak, maka teorem kosinus sesuai untuk penyelesaian kita. Jika kita mempunyai segi tiga tepat dalam keadaan kita, maka untuk pengiraan kita juga perlu mengetahui sinus, kosinus dan tangen sudut itu.

Kaedah koordinat juga sangat mudah untuk menyelesaikan masalah jenis ini. Mari kita terangkan cara menggunakannya dengan betul.

Kami mempunyai sistem koordinat segi empat tepat (Cartesian) O x y, di mana dua garis lurus diberikan. Mari kita nyatakan mereka dengan huruf a dan b. Garis lurus boleh diterangkan menggunakan beberapa persamaan. Garis asal mempunyai titik persilangan M. Bagaimana untuk menentukan sudut yang diperlukan (mari kita nyatakan α) antara garis lurus ini?

Mari kita mulakan dengan merumuskan prinsip asas mencari sudut dalam keadaan tertentu.

Kita tahu bahawa konsep garis lurus berkait rapat dengan konsep seperti vektor arah dan vektor normal. Jika kita mempunyai persamaan garis tertentu, kita boleh mengambil koordinat vektor ini daripadanya. Kita boleh melakukan ini untuk dua garisan bersilang sekaligus.

Sudut yang dicangkum oleh dua garis bersilang boleh didapati menggunakan:

• sudut antara vektor arah;
• sudut antara vektor biasa;
• sudut antara vektor normal satu garis dan vektor arah garis yang lain.

Sekarang mari kita lihat setiap kaedah secara berasingan.

1. Mari kita andaikan bahawa kita mempunyai garis a dengan vektor arah a → = (a x, a y) dan garis b dengan vektor arah b → (b x, b y). Sekarang mari kita plot dua vektor a → dan b → dari titik persilangan. Selepas ini kita akan melihat bahawa mereka masing-masing akan terletak di garis lurus mereka sendiri. Kemudian kita mempunyai empat pilihan untuk susunan relatif mereka. Lihat ilustrasi:

Jika sudut antara dua vektor tidak tumpul, maka ia akan menjadi sudut yang kita perlukan antara garis bersilang a dan b. Jika ia tumpul, maka sudut yang dikehendaki adalah sama dengan sudut yang bersebelahan dengan sudut a →, b → ^. Oleh itu, α = a → , b → ^ jika a → , b → ^ ≤ 90 ° , dan α = 180 ° - a → , b → ^ jika a → , b → ^ > 90 ° .

Berdasarkan fakta bahawa kosinus sudut yang sama adalah sama, kita boleh menulis semula kesamaan yang terhasil seperti berikut: cos α = cos a →, b → ^, jika a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jika a →, b → ^ > 90 °.

Dalam kes kedua, formula pengurangan digunakan. Oleh itu,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Mari kita tulis formula terakhir dalam perkataan:

Definisi 3

Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus yang bersilang akan sama dengan modulus kosinus sudut antara vektor arahnya.

Bentuk umum formula untuk kosinus sudut antara dua vektor a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) kelihatan seperti ini:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Daripadanya kita boleh memperoleh formula untuk kosinus sudut antara dua garis lurus yang diberikan:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Kemudian sudut itu sendiri boleh didapati menggunakan formula berikut:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Di sini a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) ialah vektor arah bagi garisan yang diberi.

Mari kita berikan contoh penyelesaian masalah.

Contoh 1

Dalam sistem koordinat segi empat tepat pada satah, dua garis bersilang a dan b diberi. Ia boleh diterangkan oleh persamaan parametrik x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R dan x 5 = y - 6 - 3. Kira sudut antara garisan ini.

Penyelesaian

Kami mempunyai persamaan parametrik dalam keadaan kami, yang bermaksud bahawa untuk baris ini kami boleh segera menulis koordinat vektor arahnya. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil nilai pekali untuk parameter, i.e. garis lurus x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R akan mempunyai vektor arah a → = (4, 1).

Baris kedua diterangkan menggunakan persamaan kanonik x 5 = y - 6 - 3. Di sini kita boleh mengambil koordinat daripada penyebut. Oleh itu, garis ini mempunyai vektor arah b → = (5 , - 3) .

Seterusnya, kami bergerak terus ke mencari sudut. Untuk melakukan ini, cuma gantikan koordinat sedia ada bagi dua vektor ke dalam formula di atas α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Kami mendapat perkara berikut:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Jawab: Garis lurus ini membentuk sudut 45 darjah.

Kita boleh menyelesaikan masalah yang sama dengan mencari sudut antara vektor normal. Jika kita mempunyai garis a dengan vektor normal n a → = (n a x , n a y) dan garis b dengan vektor normal n b → = (n b x , n b y), maka sudut di antara keduanya akan sama dengan sudut antara n a → dan n b → atau sudut yang akan bersebelahan dengan n a →, n b → ^. Kaedah ini ditunjukkan dalam gambar:

Formula untuk mengira kosinus sudut antara garis bersilang dan sudut ini sendiri menggunakan koordinat vektor normal kelihatan seperti ini:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b 2 + n a y 2 n b 2

Di sini n a → dan n b → menandakan vektor normal dua garisan yang diberi.

Contoh 2

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, dua garis lurus diberikan menggunakan persamaan 3 x + 5 y - 30 = 0 dan x + 4 y - 17 = 0. Cari sinus dan kosinus sudut antara mereka dan magnitud sudut ini sendiri.

Penyelesaian

Garis asal ditentukan menggunakan persamaan garis normal dalam bentuk A x + B y + C = 0. Kami menandakan vektor normal sebagai n → = (A, B). Mari cari koordinat bagi vektor normal pertama untuk satu baris dan tuliskannya: n a → = (3, 5) . Untuk baris kedua x + 4 y - 17 = 0, vektor normal akan mempunyai koordinat n b → = (1, 4). Sekarang mari tambah nilai yang diperoleh pada formula dan hitung jumlahnya:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jika kita mengetahui kosinus sudut, maka kita boleh mengira sinusnya menggunakan identiti trigonometri asas. Oleh kerana sudut α yang dibentuk oleh garis lurus tidak tumpul, maka sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Dalam kes ini, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Jawapan: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Marilah kita menganalisis kes terakhir - mencari sudut antara garis lurus jika kita mengetahui koordinat vektor arah satu garis lurus dan vektor normal yang lain.

Mari kita andaikan bahawa garis lurus a mempunyai vektor arah a → = (a x , a y) , dan garis lurus b mempunyai vektor normal n b → = (n b x , n b y) . Kita perlu mengetepikan vektor ini daripada titik persilangan dan mempertimbangkan semua pilihan untuk kedudukan relatifnya. Lihat dalam gambar:

Jika sudut antara vektor yang diberikan tidak lebih daripada 90 darjah, ternyata ia akan melengkapkan sudut antara a dan b kepada sudut tegak.

a → , n b → ^ = 90 ° - α jika a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Jika kurang daripada 90 darjah, maka kita mendapat yang berikut:

a → , n b → ^ > 90 ° , kemudian a → , n b → ^ = 90 ° + α

Menggunakan peraturan kesamaan kosinus sudut yang sama, kita menulis:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α untuk a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α untuk a → , n b → ^ > 90 ° .

Oleh itu,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Mari kita buat kesimpulan.

Definisi 4

Untuk mencari sinus sudut antara dua garis yang bersilang pada satah, anda perlu mengira modulus kosinus sudut antara vektor arah baris pertama dan vektor normal kedua.

Mari kita tulis formula yang diperlukan. Mencari sinus sudut:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Mencari sudut itu sendiri:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Di sini a → ialah vektor arah bagi baris pertama, dan n b → ialah vektor normal bagi baris kedua.

Contoh 3

Dua garis bersilang diberikan oleh persamaan x - 5 = y - 6 3 dan x + 4 y - 17 = 0. Cari sudut persilangan.

Penyelesaian

Kami mengambil koordinat panduan dan vektor normal daripada persamaan yang diberikan. Ternyata a → = (- 5, 3) dan n → b = (1, 4). Kami mengambil formula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 dan hitung:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Sila ambil perhatian bahawa kami mengambil persamaan dari masalah sebelumnya dan memperoleh keputusan yang sama, tetapi dengan cara yang berbeza.

Jawapan:α = a r c sin 7 2 34

Mari kita kemukakan cara lain untuk mencari sudut yang dikehendaki menggunakan pekali sudut garis lurus yang diberikan.

Kami mempunyai garis a, yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat menggunakan persamaan y = k 1 x + b 1, dan garis b, ditakrifkan sebagai y = k 2 x + b 2. Ini adalah persamaan garis dengan cerun. Untuk mencari sudut persilangan, kami menggunakan formula:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, dengan k 1 dan k 2 ialah cerun bagi garisan yang diberi. Untuk mendapatkan rekod ini, formula untuk menentukan sudut melalui koordinat vektor normal telah digunakan.

Contoh 4

Terdapat dua garis yang bersilang dalam satah, diberikan oleh persamaan y = - 3 5 x + 6 dan y = - 1 4 x + 17 4. Kira nilai sudut persilangan.

Penyelesaian

Pekali sudut garis kami adalah sama dengan k 1 = - 3 5 dan k 2 = - 1 4. Mari kita tambahkannya pada formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 dan hitung:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Jawapan:α = a r c cos 23 2 34

Dalam kesimpulan perenggan ini, perlu diperhatikan bahawa formula untuk mencari sudut yang diberikan di sini tidak perlu dipelajari dengan hati. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mengetahui koordinat panduan dan/atau vektor biasa bagi garisan yang diberikan dan dapat menentukannya menggunakan jenis persamaan yang berbeza. Tetapi lebih baik untuk mengingati atau menulis formula untuk mengira kosinus sudut.

Bagaimana untuk mengira sudut antara garis bersilang dalam ruang

Pengiraan sudut sedemikian boleh dikurangkan untuk mengira koordinat vektor arah dan menentukan magnitud sudut yang dibentuk oleh vektor ini. Untuk contoh sedemikian, alasan yang sama yang kami berikan sebelum ini digunakan.

Mari kita anggap bahawa kita mempunyai sistem koordinat segi empat tepat yang terletak dalam ruang tiga dimensi. Ia mengandungi dua garis lurus a dan b dengan titik persilangan M. Untuk mengira koordinat vektor arah, kita perlu mengetahui persamaan garis-garis ini. Mari kita nyatakan vektor arah a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Untuk mengira kosinus sudut di antara mereka, kami menggunakan formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Untuk mencari sudut itu sendiri, kita memerlukan formula ini:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Contoh 5

Kami mempunyai garis yang ditakrifkan dalam ruang tiga dimensi menggunakan persamaan x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Adalah diketahui bahawa ia bersilang dengan paksi O z. Kira sudut pintasan dan kosinus sudut itu.

Penyelesaian

Mari kita nyatakan sudut yang perlu dikira dengan huruf α. Mari kita tuliskan koordinat vektor arah untuk garis lurus pertama – a → = (1, - 3, - 2) . Untuk paksi terpakai, kita boleh mengambil vektor koordinat k → = (0, 0, 1) sebagai panduan. Kami telah menerima data yang diperlukan dan boleh menambahkannya pada formula yang dikehendaki:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Hasilnya, kami mendapati bahawa sudut yang kami perlukan akan sama dengan a r c cos 1 2 = 45 °.

Jawapan: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan memanggil mana-mana sudut bersebelahan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang dilukis melalui titik arbitrari selari dengan data.

Biarkan dua baris diberikan dalam ruang:

Jelas sekali, sudut φ antara garis lurus boleh diambil sebagai sudut antara vektor arah dan . Sejak , kemudian menggunakan formula untuk kosinus sudut antara vektor yang kita dapat

Keadaan keselarian dan keserenjangan dua garis lurus adalah bersamaan dengan keadaan keselarian dan keserenjangan vektor arahnya dan:

Dua lurus selari jika dan hanya jika pekali sepadannya adalah berkadar, i.e. l 1 selari l 2 jika dan hanya jika selari .

Dua lurus berserenjang jika dan hanya jika hasil tambah hasil pekali yang sepadan adalah sama dengan sifar: .

U gol antara garisan dan satah

Biar lurus d- tidak berserenjang dengan satah θ;
d′− unjuran garis d ke satah θ;
Sudut terkecil antara garis lurus d Dan d' kami akan telefon sudut antara garis lurus dan satah.
Mari kita nyatakan sebagai φ=( d,θ)
Jika d⊥θ, kemudian ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− sistem koordinat segi empat tepat.
Persamaan satah:

θ: Ax+Oleh+Cz+D=0

Kami menganggap bahawa garis lurus ditakrifkan oleh titik dan vektor arah: d[M 0,hlm→]
vektor n→(A,B,C)⊥θ
Kemudian ia kekal untuk mengetahui sudut antara vektor n→ dan hlm→, mari kita nyatakan sebagai γ=( n→,hlm→).

Jika sudut γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Jika sudut ialah γ>π/2, maka sudut yang dikehendaki ialah φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Kemudian, sudut antara garis lurus dan satah boleh dikira menggunakan formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√hlm 21+hlm 22+hlm 23

Soalan29. Konsep bentuk kuadratik. Tandakan kepastian bentuk kuadratik.

Bentuk kuadratik j (x 1, x 2, …, x n) n pembolehubah nyata x 1, x 2, …, x n dipanggil jumlah bentuk
, (1)

di mana a ij – beberapa nombor dipanggil pekali. Tanpa kehilangan sifat umum, kita boleh menganggapnya a ij = seorang ji.

Bentuk kuadratik dipanggil sah, Jika a ij Î GR. Matriks bentuk kuadratik dipanggil matriks yang terdiri daripada pekalinya. Bentuk kuadratik (1) sepadan dengan satu-satunya matriks simetri
Itu dia A T = A. Oleh itu, bentuk kuadratik (1) boleh ditulis dalam bentuk matriks j ( X) = x T Ah, Di mana x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Dan, sebaliknya, setiap matriks simetri (2) sepadan dengan bentuk kuadratik unik sehingga notasi pembolehubah.

Kedudukan bentuk kuadratik dipanggil pangkat matriksnya. Bentuk kuadratik dipanggil tidak merosot, jika matriksnya bukan tunggal A. (ingat bahawa matriks A dipanggil tidak merosot jika penentunya tidak sama dengan sifar). Jika tidak, bentuk kuadratik merosot.

pasti positif(atau positif sepenuhnya) jika

j ( X) > 0 , untuk sesiapa X = (X 1 , X 2 , …, x n), kecuali X = (0, 0, …, 0).

Matriks A bentuk kuadratik pasti positif j ( X) juga dipanggil pasti positif. Oleh itu, bentuk kuadratik pasti positif sepadan dengan matriks pasti positif unik dan sebaliknya.

Bentuk kuadratik (1) dipanggil ditakrifkan secara negatif(atau negatif sepenuhnya) jika

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), kecuali X = (0, 0, …, 0).

Begitu juga seperti di atas, matriks bentuk kuadratik pasti negatif juga dipanggil pasti negatif.

Akibatnya, bentuk kuadratik pasti positif (negatif) j ( X) mencapai nilai minimum (maksimum) j ( X*) = 0 pada X* = (0, 0, …, 0).

Perhatikan bahawa kebanyakan bentuk kuadratik bukan tanda-pasti, iaitu, ia tidak positif mahupun negatif. Bentuk kuadratik sedemikian bertukar kepada 0 bukan sahaja pada asal sistem koordinat, tetapi juga pada titik lain.

Bila n> 2, kriteria khas diperlukan untuk menyemak tanda bentuk kuadratik. Mari lihat mereka.

Majoriti bawah umur bentuk kuadratik dipanggil minor:

iaitu, ini adalah bawah umur dari urutan 1, 2, ..., n matriks A, terletak di sudut kiri atas, yang terakhir bertepatan dengan penentu matriks A.

Kriteria Kepastian Positif (Kriteria Sylvester)

X) = x T Ah adalah positif pasti, adalah perlu dan mencukupi bahawa semua minor utama matriks A positif, iaitu: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Kriteria kepastian negatif Untuk bentuk kuadratik j ( X) = x T Ah adalah negatif pasti, adalah perlu dan mencukupi bahawa anak bawah umur utamanya yang tertib genap adalah positif, dan tertib ganjil - negatif, iaitu: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n