2 operasjoner med matriser. Matriseløsning

Dette er et konsept som generaliserer alle mulige operasjoner utført med matriser. Matematisk matrise - en tabell over elementer. Om et bord hvor m linjer og n kolonner, sier de at denne matrisen har dimensjonen m på n.

Generell oversikt over matrisen:

Til matriseløsninger du må forstå hva en matrise er og kjenne hovedparametrene. Hovedelementene i matrisen:

• Hoveddiagonal som består av elementer a 11, a 22 ... a mn.
• Sidediagonal bestående av elementer а 1n ,а 2n-1 …..а m1.

Hovedtyper av matriser:

• Firkant - en slik matrise, der antall rader = antall kolonner ( m=n).
• Null - der alle elementene i matrisen = 0.
• Transponert matrise - matrise I, som ble hentet fra den opprinnelige matrisen EN ved å erstatte rader med kolonner.
• Enkelt - alle elementer i hoveddiagonalen = 1, alle andre = 0.
• En invers matrise er en matrise som, multiplisert med den opprinnelige matrisen, resulterer i identitetsmatrisen.

Matrisen kan være symmetrisk med hensyn til hoved- og sekundærdiagonalene. Det vil si hvis en 12 = en 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-ln =a mn-1, da er matrisen symmetrisk i forhold til hoveddiagonalen. Bare kvadratiske matriser kan være symmetriske.

Metoder for å løse matriser.

Nesten alle matriseløsningsmetoder er å finne dens determinant n orden og de fleste av dem er ganske tungvinte. For å finne determinanten for 2. og 3. orden, finnes det andre, mer rasjonelle måter.

Finne determinanter av 2. orden.

For å beregne matrisedeterminanten MEN 2. orden er det nødvendig å trekke produktet av elementene i den sekundære diagonalen fra produktet av elementene i hoveddiagonalen:

Metoder for å finne determinanter av 3. orden.

Nedenfor er reglene for å finne 3. ordens determinant.

Forenklet trekantregelen som en av matriseløsningsmetoder, kan representeres som følger:

Med andre ord, produktet av elementer i den første determinanten som er forbundet med linjer er tatt med et "+"-tegn; også, for den andre determinanten - de tilsvarende produktene tas med tegnet "-", det vil si i henhold til følgende skjema:

På løse matriser etter Sarrus-regelen, til høyre for determinanten, legges de to første kolonnene til, og produktene til de tilsvarende elementene på hoveddiagonalen og på diagonalene som er parallelle med den, tas med et "+"-tegn; og produktene av de tilsvarende elementene i sekundærdiagonalen og diagonalene som er parallelle med den, med tegnet "-":

Rad- eller kolonneutvidelse av determinant ved løsning av matriser.

Determinanten er lik summen av produktene av elementene i raden av determinanten og deres algebraiske komplementer. Velg vanligvis raden/kolonnen der det er nuller. Raden eller kolonnen som dekomponeringen utføres på vil være indikert med en pil.

Redusere determinanten til en trekantet form ved løsning av matriser.

På løse matriser Ved å redusere determinanten til en trekantet form, fungerer de slik: ved å bruke de enkleste transformasjonene på rader eller kolonner, blir determinanten trekantet og da vil dens verdi, i samsvar med egenskapene til determinanten, være lik produktet av elementene som står på hoveddiagonalen.

Laplaces teorem for løsning av matriser.

Når man løser matriser ved hjelp av Laplaces teorem, er det nødvendig å kjenne selve teoremet direkte. Laplaces teorem: La Δ er en determinant n-te orden. Vi velger hvilken som helst k rader (eller kolonner), oppgitt k≤ n - 1. I dette tilfellet, summen av produktene til alle mindreårige k rekkefølgen i den valgte k rader (kolonner), vil deres algebraiske tillegg være lik determinanten.

Invers matriseløsning.

Rekkefølge av handlinger for invers matriseløsninger:

1. Finn ut om den gitte matrisen er kvadratisk. Ved et negativt svar blir det klart at det ikke kan være en invers matrise for det.
2. Vi beregner algebraiske addisjoner.
3. Vi komponerer den allierte (gjensidige, vedlagte) matrisen C.
4. Vi komponerer en invers matrise fra algebraiske addisjoner: alle elementer i den adjoint matrisen C dividere med determinanten til den opprinnelige matrisen. Den resulterende matrisen vil være den ønskede inverse matrisen i forhold til den gitte.
5. Vi sjekker arbeidet som er utført: vi multipliserer matrisen til den initiale og de resulterende matrisene, resultatet skal være identitetsmatrisen.

Løsning av matrisesystemer.

Til løsninger av matrisesystemer mest brukt er Gauss-metoden.

Gauss-metoden er en standard måte å løse systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE), og den består i at variabler elimineres sekvensielt, dvs. ved hjelp av elementære endringer bringes ligningssystemet til et ekvivalent system av en trekantet form, og fra den, sekvensielt, fra den siste (etter tall), finn hvert element i systemet.

Gauss metode er det mest allsidige og beste verktøyet for å finne matriseløsninger. Hvis systemet har et uendelig antall løsninger eller systemet er inkompatibelt, kan det ikke løses ved hjelp av Cramers regel og matrisemetoden.

Gauss-metoden innebærer også direkte (reduksjon av den utvidede matrisen til en trinnvis form, dvs. å få nuller under hoveddiagonalen) og omvendt (å få nuller over hoveddiagonalen til den utvidede matrisen). Forovertrekket er Gauss-metoden, det motsatte er Gauss-Jordan-metoden. Gauss-Jordan-metoden skiller seg fra Gauss-metoden bare i sekvensen for eliminering av variabler.

Dette emnet vil dekke operasjoner som addisjon og subtraksjon av matriser, multiplikasjon av en matrise med et tall, multiplikasjon av en matrise med en matrise, matrisetransposisjon. Alle symboler som brukes på denne siden er hentet fra forrige emne.

Addisjon og subtraksjon av matriser.

Summen $A+B$ av matrisene $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ og $B_(m\ ganger n)=(b_(ij))$ er matrisen $C_(m \ ganger n) =(c_(ij))$, hvor $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ for alle $i=\overline(1,m)$ og $j=\overline( 1,n) $.

En lignende definisjon er introdusert for forskjellen mellom matriser:

Forskjellen $AB$ av matrisene $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ og $B_(m\ ganger n)=(b_(ij))$ er matrisen $C_(m\ ganger n)=( c_(ij))$, hvor $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ for alle $i=\overline(1,m)$ og $j=\overline(1, n)$.

Forklaring på oppføringen $i=\overline(1,m)$: show\hide

Oppføringen "$i=\overline(1,m)$" betyr at parameteren $i$ endres fra 1 til m. For eksempel, oppføringen $i=\overline(1,5)$ sier at $i$-parameteren tar verdiene 1, 2, 3, 4, 5.

Det er verdt å merke seg at addisjons- og subtraksjonsoperasjoner kun er definert for matriser av samme størrelse. Generelt er addisjon og subtraksjon av matriser operasjoner som er intuitivt klare, fordi de faktisk betyr bare summering eller subtraksjon av de tilsvarende elementene.

Eksempel #1

Tre matriser er gitt:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Er det mulig å finne matrisen $A+F$? Finn matriser $C$ og $D$ hvis $C=A+B$ og $D=A-B$.

Matrise $A$ inneholder 2 rader og 3 kolonner (med andre ord, størrelsen på matrise $A$ er $2\ ganger 3$), og matrise $F$ inneholder 2 rader og 2 kolonner. Dimensjonene til matrisen $A$ og $F$ stemmer ikke overens, så vi kan ikke legge dem til, dvs. operasjonen $A+F$ for disse matrisene er ikke definert.

Størrelsene på matrisene $A$ og $B$ er de samme, dvs. matrisedata inneholder et likt antall rader og kolonner, så addisjonsoperasjonen gjelder for dem.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Finn matrisen $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Svar: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Multiplisere en matrise med et tall.

Produktet av matrisen $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ og tallet $\alpha$ er matrisen $B_(m\ ganger n)=(b_(ij))$, hvor $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ for alle $i=\overline(1,m)$ og $j=\overline(1,n)$.

Enkelt sagt, å multiplisere en matrise med et tall betyr å multiplisere hvert element i den gitte matrisen med det tallet.

Eksempel #2

Gitt en matrise: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Finn matriser $3\cdot A$, $-5\cdot A$ og $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Notasjonen $-A$ er en forkortelse for $-1\cdot A$. Det vil si at for å finne $-A$ må du multiplisere alle elementene i $A$-matrisen med (-1). Faktisk betyr dette at tegnet til alle elementene i matrisen $A$ vil endre seg til det motsatte:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Svar: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Produktet av to matriser.

Definisjonen av denne operasjonen er tungvint og ved første øyekast uforståelig. Derfor vil jeg først indikere en generell definisjon, og deretter vil vi analysere i detalj hva det betyr og hvordan man arbeider med det.

Produktet av matrisen $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ og matrisen $B_(n\ ganger k)=(b_(ij))$ er matrisen $C_(m\ ganger k )=(c_( ij))$, der hvert element i $c_(ij)$ er lik summen av produktene til de tilsvarende elementene i den i-te raden i matrisen $A$ og elementene i j-te kolonne i matrisen $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Trinn for trinn vil vi analysere multiplikasjonen av matriser ved å bruke et eksempel. Du bør imidlertid umiddelbart være oppmerksom på at ikke alle matriser kan multipliseres. Hvis vi ønsker å multiplisere matrise $A$ med matrise $B$, må vi først sørge for at antall kolonner i matrise $A$ er lik antall rader med matrise $B$ (slike matriser kalles ofte avtalt). For eksempel kan ikke matrise $A_(5\ ganger 4)$ (matrise inneholder 5 rader og 4 kolonner) multipliseres med matrise $F_(9\ ganger 8)$ (9 rader og 8 kolonner), siden antall kolonner av matrise $A $ er ikke lik antall rader av matrise $F$, dvs. $4\neq 9$. Men det er mulig å multiplisere matrisen $A_(5\ ganger 4)$ med matrisen $B_(4\ ganger 9)$, siden antall kolonner i matrisen $A$ er lik antall rader i matrise $B$. I dette tilfellet er resultatet av å multiplisere matrisene $A_(5\ ganger 4)$ og $B_(4\ ganger 9)$ matrisen $C_(5\ ganger 9)$, som inneholder 5 rader og 9 kolonner:

Eksempel #3

Oppgitte matriser: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrise) \right)$ og $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Finn matrisen $C=A\cdot B$.

Til å begynne med bestemmer vi umiddelbart størrelsen på matrisen $C$. Siden matrise $A$ har størrelse $3\ ganger 4$ og matrise $B$ har størrelse $4\ ganger 2$, er størrelsen på matrise $C$ $3\ ganger 2$:

Så, som et resultat av produktet av matrisene $A$ og $B$, bør vi få matrisen $C$, bestående av tre rader og to kolonner: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Hvis betegnelsene på elementene reiser spørsmål, så kan du se på forrige emne: "Matriser. Typer matriser. Grunnleggende termer", i begynnelsen av hvilken betegnelsen på matriseelementene er forklart. Målet vårt er å finne verdiene til alle elementene i matrisen $C$.

La oss starte med $c_(11)$-elementet. For å få elementet $c_(11)$, må du finne summen av produktene til elementene i den første raden i matrisen $A$ og den første kolonnen i matrisen $B$:

For å finne selve elementet $c_(11)$ må du multiplisere elementene i den første raden i matrisen $A$ med de tilsvarende elementene i den første kolonnen i matrisen $B$, dvs. det første elementet til det første, det andre til det andre, det tredje til det tredje, det fjerde til det fjerde. Vi oppsummerer oppnådde resultater:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

La oss fortsette løsningen og finne $c_(12)$. For å gjøre dette må du multiplisere elementene i den første raden i matrisen $A$ og den andre kolonnen i matrisen $B$:

I likhet med den forrige har vi:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Alle elementene i den første raden i matrisen $C$ er funnet. Vi går videre til den andre linjen, som begynner med elementet $c_(21)$. For å finne den må du multiplisere elementene i den andre raden i matrisen $A$ og den første kolonnen i matrisen $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Det neste elementet $c_(22)$ finnes ved å multiplisere elementene i den andre raden i matrisen $A$ med de tilsvarende elementene i den andre kolonnen i matrisen $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

For å finne $c_(31)$ multipliserer vi elementene i den tredje raden i matrisen $A$ med elementene i den første kolonnen i matrisen $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Og til slutt, for å finne elementet $c_(32)$, må du multiplisere elementene i den tredje raden i matrisen $A$ med de tilsvarende elementene i den andre kolonnen i matrisen $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Alle elementene i matrisen $C$ er funnet, det gjenstår bare å skrive ned at $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \right)$ . Eller for å skrive det i sin helhet:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Svar: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

For øvrig er det ofte ingen grunn til å beskrive i detalj plasseringen av hvert element i resultatmatrisen. For matriser, hvis størrelse er liten, kan du gjøre følgende:

Det er også verdt å merke seg at matrisemultiplikasjon er ikke-kommutativ. Dette betyr at generelt $A\cdot B\neq B\cdot A$. Bare for noen typer matriser, som kalles permutasjonsmessig(eller pendler), er likheten $A\cdot B=B\cdot A$ sann. Det er på grunnlag av ikke-kommutativiteten til multiplikasjon at det er nødvendig å indikere nøyaktig hvordan vi multipliserer uttrykket med en eller annen matrise: til høyre eller til venstre. For eksempel betyr uttrykket "multipliser begge sider av likheten $3EF=Y$ med matrisen $A$ til høyre" at du ønsker å få følgende likhet: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponert med hensyn til matrisen $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ er matrisen $A_(n\ ganger m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, for elementer der $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Enkelt sagt, for å få den transponerte matrisen $A^T$, må du erstatte kolonnene i den opprinnelige matrisen $A$ med de tilsvarende radene i henhold til dette prinsippet: det var den første raden - den første kolonnen blir; det var en andre rad - den andre kolonnen blir; det var en tredje rad - det vil være en tredje kolonne og så videre. La oss for eksempel finne den transponerte matrisen til matrisen $A_(3\ ganger 5)$:

Følgelig, hvis den opprinnelige matrisen hadde størrelse $3\ ganger 5$, så har den transponerte matrisen størrelse $5\ ganger 3$.

Noen egenskaper ved operasjoner på matriser.

Det antas her at $\alpha$, $\beta$ er noen tall, og $A$, $B$, $C$ er matriser. For de fire første eiendommene indikerte jeg navnene, resten kan navngis analogt med de fire første.

1. $A+B=B+A$ (kommutativitet av addisjon)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (addisjonsassosiativitet)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (fordeling av multiplikasjon med en matrise med hensyn til addisjon av tall)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (fordeling av multiplikasjon med et tall med hensyn til matriseaddisjon)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, hvor $E$ er identitetsmatrisen til den tilsvarende rekkefølgen.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, hvor $O$ er en nullmatrise av tilsvarende størrelse.
10. $\left(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

I neste del vil operasjonen med å heve en matrise til en ikke-negativ heltallspotens bli vurdert, og det vil bli løst eksempler der flere operasjoner på matriser vil kreves.

Matrisetillegg$ A $ og $ B $ er en aritmetisk operasjon, som skal resultere i en matrise $ C $, hvor hvert element er lik summen av de tilsvarende elementene i de adderte matrisene:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

I detaljer Formelen for å legge til to matriser ser slik ut:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ end(pmatrix) = C $$

Merk at du bare kan legge til og trekke fra matriser med samme dimensjon. Med summen eller differansen vil matrisen $ C $ fås med samme dimensjon som summene (fratrukket) av matrisen $ A $ og $ B $. Hvis matrisene $ A $ og $ B $ avviker fra hverandre i størrelse, vil addisjon (subtraksjon) av slike matriser være en feil!

I formelen er 3 x 3 matriser lagt til, noe som betyr at en 3 x 3 matrise skal oppnås.

Matrisesubtraksjon helt lik addisjonsalgoritmen, bare minustegnet. Hvert element i den ønskede matrisen $ C $ oppnås ved å trekke fra de tilsvarende elementene i matrisene $ A $ og $ B $:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

La oss skrive ned det detaljerte formel for å subtrahere to matriser:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ end(pmatrix) = C $$

Det er også verdt å merke seg at du ikke kan addere og subtrahere matriser med vanlige tall, så vel som med noen andre elementer.

Det vil være nyttig å kjenne egenskapene til addisjon (subtraksjon) for ytterligere løsninger på problemer med matriser.

Egenskaper

1. Hvis matrisene $ A,B,C $ har samme størrelse, gjelder assosiativitetsegenskapen for dem: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. For hver matrise er det en nullmatrise, betegnet $ O $, som den opprinnelige matrisen ikke endres med når den legges til (fratrekkes): $$ A \pm O = A $$
3. For hver ikke-null matrise $A$ er det en motsatt matrise $(-A)$ hvis sum forsvinner: $$A + (-A) = 0 $$
4. Når man legger til (subtraherer) matriser er kommutativitetsegenskapen tillatt, det vil si at matrisene $ A $ og $ B $ kan byttes ut: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Løsningseksempler

I artikkelen: «Addisjon og subtraksjon av matriser» ble det gitt definisjoner, regler, bemerkninger, egenskaper ved operasjoner og praktiske eksempler på løsningen.

Definisjon. En matrise er et sett med tall som utgjør en rektangulær tabell som består av m rader og n kolonner

Kort fortalt er matrisen betegnet som følger:

hvor elementene i denne matrisen, i er radnummeret, j er kolonnenummeret.

Hvis antall rader i matrisen er lik antall kolonner ( m = n), så kalles matrisen torget n-te orden, ellers rektangulær.

Hvis m= 1 og n > 1, så får vi en en-rads matrise

som kalles rad vektor , hvis m>1 og n=1, da får vi en én-kolonne matrise

som kalles kolonnevektor .

En kvadratisk matrise der alle elementer, bortsett fra elementene i hoveddiagonalen, er lik null, kalles diagonal.

En diagonalmatrise hvis oppføringer på hoveddiagonalen er lik én kalles enkeltvis, angitt E.

Matrisen oppnådd fra en gitt ved å erstatte raden med en kolonne med samme tall kalles transponert til denne. Utpekt.

To matriser er like hvis elementene på samme steder er like, det vil si hvis

for alle Jeg Og j(i dette tilfellet antall rader (kolonner) med matriser EN Og B skal være det samme).

1°. Summen av to matriser EN=(en ij) Og B=(b ij) med samme beløp m linjer og n kolonner kalles en matrise C=(c ij), hvis elementer bestemmes av likheten

Summen av matriser er angitt C=EN+B.

Eksempel.

tjue . Matriseprodukt EN=(en ij) per nummer λ en matrise kalles, der hvert element er lik produktet av det tilsvarende elementet i matrisen EN per nummer λ :

λA=λ (en ij)=(λa ij), (Jeg=1,2…,m; j=1,2…,n).

Eksempel.

tretti . Matriseprodukt EN=(en ij), som har m linjer og k kolonner, per matrise B=(b ij), som har k linjer og n kolonner, kalt en matrise C=(c ij), som har m linjer og n kolonner hvis element c ij er lik summen av produkter av elementer Jeg raden i matrisen EN Og j-th kolonne av matrisen B, dvs

I dette tilfellet, antall matrisekolonner EN må være lik antall matriserader B. Ellers er produktet udefinert. Produktet av matriser er betegnet A*B=C.

Eksempel.

Produktet av matriser tilfredsstiller ikke likhet mellom matriser EN* B Og B* EN, i det generelle tilfellet kan en av dem ikke være definert.

Å multiplisere en kvadratisk matrise av hvilken som helst rekkefølge med den tilsvarende identitetsmatrisen endrer ikke matrisen.

Eksempel. La da, i henhold til regelen for matrisemultiplikasjon, vi har

,

hvorfra vi konkluderer med det

Determinanter og deres egenskaper.

La en kvadratisk matrise av tredje orden gis:

Definisjon. Tredjeordens determinanten som tilsvarer matrisen (1) er tallet angitt med symbolet

og definert av likheten

For å huske hvilke produkter på høyre side av likhet (2) som er tatt med "+"-tegnet og hvilke med "-"-tegnet, er det nyttig å bruke følgende trekanterregel.

Eksempel.

La oss formulere hovedegenskapene for tredjeordens determinanter, selv om de er iboende i determinanter av enhver rekkefølge.

1. Verdien til determinanten vil ikke endres hvis radene og kolonnene byttes om, dvs.

2. Å bytte to kolonner eller to rader med en determinant tilsvarer å multiplisere den med -1.

3. Hvis determinanten har to like kolonner eller to like rader, er den lik null.

4. Multipliser alle elementene i en kolonne eller en rad av en determinant med et hvilket som helst tall λ tilsvarer å multiplisere determinanten med dette tallet λ .

5. Hvis alle elementene i en kolonne eller en rad i en determinant er lik null, er selve determinanten lik null.

6. Hvis elementene i to kolonner eller to rader i en determinant er proporsjonale, er determinanten null.

7. Hvis hvert element n-th kolonne ( n linje) av determinanten er summen av to ledd, så kan determinanten representeres som summen av to determinanter, hvorav en i n-th kolonne ( n-th line) inneholder den første av termene ovenfor, og den andre - den andre; elementene på de resterende stedene er de samme for alle tre determinantene.

For eksempel,

80. Hvis vi legger til elementene i en bestemt kolonne (rad) av determinanten de tilsvarende elementene i en annen kolonne (rad) multiplisert med en hvilken som helst felles faktor, vil ikke verdien av determinanten endres.

For eksempel,

Liten et element i determinanten kalles determinanten som oppnås fra den gitte determinanten ved å slette raden og kolonnen i skjæringspunktet for dette elementet.

For eksempel er elementet mindre men 1 determinant Δ er 2. ordens determinant

Det algebraiske komplementet til et element av determinanten er minor av dette elementet, multiplisert med (-1) s, hvor R- summen av rad- og kolonnenumrene i skjæringspunktet for dette elementet.

Hvis for eksempel elementet men 2 er i skjæringspunktet mellom 1. kolonne og 2. rad, deretter for ham R=1+2=3 og det algebraiske komplementet er

90. Determinanten er lik summen av produktene til elementene i en hvilken som helst kolonne eller rad og deres algebraiske komplementer.

ett hundre . Summen av produktene til elementene i en kolonne eller en hvilken som helst rad av determinanten og de algebraiske komplementene til de tilsvarende elementene i en annen kolonne eller en annen rad er lik null.

Spørsmålet oppstår om det er mulig med en kvadratisk matrise MEN velg en matrise slik at ved å multiplisere matrisen med den MEN som et resultat, få identitetsmatrisen E, en slik matrise kalles den inverse av matrisen MEN.

Definisjon. En matrise kalles en invers kvadratisk matrise A if.

Definisjon. En kvadratisk matrise kalles ikke-singular hvis determinanten er ikke-null. Ellers kalles kvadratmatrisen degenerert.

Hver ikke-degenerert matrise har en invers.

Elementære transformasjoner av matriser er:

permutasjon av to parallelle rader av matrisen;

multiplikasjon av alle matriseelementer med et tall som ikke er null;

tillegg til alle elementene i raden i matrisen til de tilsvarende elementene i den parallelle raden, multiplisert med samme tall.

Matrisen I hentet fra matrisen MEN ved hjelp av elementære transformasjoner, kalles tilsvarende matrise.

For en ikke-degenerert kvadratisk matrise

tredje ordens invers matrise MEN-1 kan beregnes ved hjelp av følgende formel

her er Δ matrisedeterminanten MEN,EN ij – algebraiske komplementer av elementer en ij matriser MEN.

Matriseradelementet kalles ekstrem hvis den ikke er null og alle elementene i strengen til venstre for den er lik null. Matrisen kalles tråkket hvis det siste elementet i hver linje er til høyre for det siste elementet i forrige linje. For eksempel:

Ikke tråkket; - tråkket.

Denne veiledningen vil hjelpe deg å lære hvordan matriseoperasjoner: addisjon (subtraksjon) av matriser, transponering av en matrise, multiplikasjon av matriser, finne inversen til en matrise. Alt materiale presenteres i en enkel og tilgjengelig form, relevante eksempler er gitt, slik at selv en uforberedt person kan lære å utføre handlinger med matriser. For selvkontroll og selvtest kan du laste ned en matrisekalkulator gratis >>>.

Jeg vil prøve å minimere teoretiske beregninger, noen steder er forklaringer "på fingrene" og bruk av uvitenskapelige termer mulig. Elskere av solid teori, vennligst ikke delta i kritikk, vår oppgave er lære å jobbe med matriser.

For SUPERRASK forberedelse til temaet (hvem "brenner") er det et intensivt pdf-kurs Matrise, determinant og offset!

En matrise er en rektangulær tabell av noen elementer. Som elementer vi vil vurdere tall, det vil si numeriske matriser. ELEMENT er et begrep. Det er ønskelig å huske begrepet, det vil ofte forekomme, det er ikke tilfeldig at jeg brukte fet skrift for å fremheve det.

Betegnelse: matriser er vanligvis merket med store latinske bokstaver

Eksempel: Tenk på en to-til-tre-matrise:

Denne matrisen består av seks elementer:

Alle tall (elementer) inne i matrisen eksisterer på egen hånd, det vil si at det ikke er snakk om noen subtraksjon:

Det er bare en tabell (sett) med tall!

Vi er også enige ikke omorganiser nummer, med mindre annet er angitt i forklaringen. Hvert nummer har sin egen plassering, og du kan ikke blande dem!

Den aktuelle matrisen har to rader:

og tre kolonner:

STANDARD: når man snakker om dimensjonene til matrisen, da først angi antall rader, og bare da - antall kolonner. Vi har nettopp brutt ned to-til-tre-matrisen.

Hvis antallet rader og kolonner i en matrise er det samme, kalles matrisen torget, for eksempel: er en tre-av-tre-matrise.

Hvis matrisen har én kolonne eller én rad, kalles også slike matriser vektorer.

Faktisk kjenner vi konseptet med en matrise siden skolen, tenk på for eksempel et punkt med koordinatene "x" og "y": . I hovedsak er koordinatene til et punkt skrevet inn i en en-og-to-matrise. Forresten, her er et eksempel for deg hvorfor rekkefølgen av tall betyr noe: og er to helt forskjellige punkter på flyet.

La oss nå gå videre til studiet. matriseoperasjoner:

1) Handling én. Fjerne et minus fra en matrise (introdusere et minus i en matrise).

Tilbake til matrisen vår . Som du sikkert har lagt merke til, er det for mange negative tall i denne matrisen. Dette er veldig upraktisk med tanke på å utføre ulike handlinger med matrisen, det er upraktisk å skrive så mange minuser, og det ser bare stygt ut i designet.

La oss flytte minus utenfor matrisen ved å endre fortegnet til HVERT element i matrisen:

Ved null, som du forstår, endres ikke tegnet, null - det er også null i Afrika.

Omvendt eksempel: . Ser stygt ut.

Vi introduserer et minus i matrisen ved å endre tegnet til HVERT element i matrisen:

Vel, det er mye penere. Og viktigst av alt, det vil være LETTERE å utføre alle handlinger med matrisen. Fordi det er et slikt matematisk folketegn: jo flere minuser - jo mer forvirring og feil.

2) Handling to. Multiplisere en matrise med et tall.

Eksempel:

Det er enkelt, for å multiplisere en matrise med et tall, trenger du hver multipliser matriseelementet med det gitte tallet. I dette tilfellet tre.

Et annet nyttig eksempel:

– multiplikasjon av en matrise med en brøk

La oss først se på hva vi skal gjøre INGEN BEHOV:

Det er IKKE NØDVENDIG å legge inn en brøk i matrisen, for det første gjør det bare ytterligere handlinger med matrisen vanskelig, og for det andre gjør det det vanskelig for læreren å sjekke løsningen (spesielt hvis - det endelige svaret på oppgaven).

Og spesielt, INGEN BEHOV del hvert element i matrisen med minus syv:

Fra artikkelen Matematikk for dummies eller hvor du skal begynne, husker vi at desimalbrøker med komma i høyere matematikk prøver å unngå på alle mulige måter.

Den eneste tingen ønskeligå gjøre i dette eksemplet er å sette inn et minus i matrisen:

Men hvis ALLE matriseelementer ble delt på 7 uten et spor, da ville det vært mulig (og nødvendig!) å dele.

Eksempel:

I dette tilfellet kan du NØDVENDIG multipliser alle elementene i matrisen med , siden alle tallene i matrisen er delbare med 2 uten et spor.

Merk: i teorien om høyere matematikk er det ikke noe skolebegrep om "divisjon". I stedet for uttrykket "dette er delt på dette", kan du alltid si "dette er multiplisert med en brøk." Det vil si at divisjon er et spesielt tilfelle av multiplikasjon.

3) Handling tre. Matrisetransponering.

For å transponere en matrise, må du skrive dens rader inn i kolonnene i den transponerte matrisen.

Eksempel:

Transponer matrise

Det er bare én linje her, og i henhold til regelen må den skrives i en kolonne:

er den transponerte matrisen.

Den transponerte matrisen er vanligvis angitt med en hevet skrift eller et slag øverst til høyre.

Steg for steg eksempel:

Transponer matrise

Først omskriver vi den første raden til den første kolonnen:

Deretter skriver vi om den andre raden til den andre kolonnen:

Og til slutt, omskriver vi den tredje raden til den tredje kolonnen:

Klar. Grovt sett betyr å transponere å snu matrisen på siden.

4) Handling fire. Sum (forskjell) av matriser.

Summen av matriser er en enkel operasjon.
IKKE ALLE MATRIKSER KAN BETES. For å utføre addisjon (subtraksjon) av matriser, er det nødvendig at de har SAMME STØRRELSE.

For eksempel, hvis en to-til-to-matrise er gitt, kan den bare legges til en to-til-to-matrise og ingen andre!

Eksempel:

Legg til matriser Og

For å legge til matriser, må du legge til de tilsvarende elementene:

For forskjellen på matriser er regelen lik, det er nødvendig å finne forskjellen mellom de tilsvarende elementene.

Eksempel:

Finn forskjell på matriser ,

Og hvordan løser du dette eksemplet lettere, for ikke å bli forvirret? Det er tilrådelig å kvitte seg med unødvendige minuser, for dette vil vi legge til et minus til matrisen:

Merk: i teorien om høyere matematikk er det ikke noe skolebegrep om "subtraksjon". I stedet for uttrykket "trekk dette fra dette", kan du alltid si "legg til et negativt tall til dette". Det vil si at subtraksjon er et spesielt tilfelle av addisjon.

5) Aksjon fem. Matrisemultiplikasjon.

Hvilke matriser kan multipliseres?

For at en matrise skal multipliseres med en matrise, slik at antall kolonner i matrisen er lik antall rader i matrisen.

Eksempel:
Er det mulig å multiplisere en matrise med en matrise?

Så du kan multiplisere dataene til matrisen.

Men hvis matrisene omorganiseres, er multiplikasjon i dette tilfellet ikke lenger mulig!

Derfor er multiplikasjon umulig:

Det er ikke uvanlig med oppgaver med et triks, når en elev blir bedt om å multiplisere matriser, hvis multiplikasjon åpenbart er umulig.

Det skal bemerkes at det i noen tilfeller er mulig å multiplisere matriser på begge måter.
For eksempel for matriser, og både multiplikasjon og multiplikasjon er mulig